Impulsowe funkcje przejścia połączeń sekcji LTV

Piwowar A.: Impulsowe funkcje przejścia połączeń sekcji LTV, Mater. konf. XXXVI IC-SPETO, Ustroń, 22-25 maj 2013, ss. 63-64

ANNA

PIWOWAR

SILESIAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, POLAND

IMPULSE RESPONSES OF LTV SECTIONS CONNECTIONS

IMPULSOWE FUNKCJE PRZEJŚCIA POŁĄCZEŃ SEKCJI LTV

Słowa kluczowe: LTV, sekcja parametryczna,

kaska-dowe połączenie, równoległe połączenie, odpowiedź impulsowa.

Wstęp

W syntezie układów LTI (linear time invariant) często wykorzystuje się techniki polegające na połączeniu równoległym bądź kaskadowym sekcji uniwersalnych. Połączenia sekcji są wykorzystywane przy projektowaniu złożonych filtrów wysokich rzędów [3]. Do realizacji połączeń wykorzystuje się najczęściej sekcje pierwszego i drugiego rzędu. W dziedzinie czasu ciągłego lub dyskretnego algebra przekształceń schematów blokowych złożonych z elementarnych układów SISO (single input single output) klasy LTI opiera się na działaniach (±,∗)

względem impulsowych funkcji przejścia układów

elementarnych. W dziedzinie L-transformat lub

F-transformat algebra przekształceń opiera się na

klasycznie rozumianych działaniach (±, ⋅ ) na

transmi-tancjach operatorowych lub widmowych bloków elemen-tarnych [3].

W przypadku sekcji LTV (linear time varying) o zmiennych w czasie współczynnikach klasyczne pojęcie transmitancji operatorowej nie ma sensu [2], [5]. Znane z literatury [3] metody wyznaczenia równań różniczkowych opisujących układy złożone z połączeń sekcji LTI i ich rozwiązań, nie mogą być stosowane dla układów LTV.

W artykule opisano metody wyznaczania odpowiedzi impulsowych uogólnionych sekcji zastępczych n-tego rzędu, złożonych z kaskadowych i równoległych połączeń sekcji LTV pierwszego i drugiego rzędu. Przykłady ilustrujące powyższe metody pokazane zostaną na konferencji IC-SPETO 2013.

1. UOGÓLNIONE UKŁADY PARAMETRYCZNE SISO

Uogólniony układ parametryczny n-tego rzędu (por.

rys.1) składa się z połączenia elementarnych sekcji LTV pierwszego i drugiego rzędu.

Rys. 1. Transformacja złożonego układu LTV na układ zastępczy

W artykule rozpatrzono dwa typy układu zastępczego: model typu I składający się z połączenia równoległego sekcji elementarnych, oraz model typu II składający się z połączenia kaskadowego sekcji elementarnych.

1.1 Modele elementarnych sekcji LTV I-go i II-go rzędu

Elementarne sekcje parametryczne LTV opisywane są równaniami różniczkowymi, których współczynniki zmie-niają się w czasie. Dolnoprzepustowe sekcje LTV pierwszego rzędu opisane są parametrycznym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu:

n i t x t y t t y'()+

ω

() ()= (), =1,2,..., , (1) natomiast dolnoprzepustowe sekcje LTV rzędu drugiego opisane są parametrycznym równaniem różniczkowym drugiego rzędu:

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

2

)

(

"

t

t

t

y

t

2

t

y

t

x

t

y

+

ω

σ

+

ω

=

, (2) przy czym:

ω

(t),

σ

(t)– funkcje parametryzujące klasy

C

(n−1)

[

0

,

∞

)

. W prowadzonych badaniach [5],[6],[7] przyjęto nie-okresowe przebiegi zmienności funkcji parametry-zujących, które mogą być interpretowane jako zmienna w

czasie pulsacja graniczna ω(t) oraz zmienny w czasie

współczynnik tłumienia σ(t) filtru. Przez przyjęty zakres

współczynników parametry układów elementarnych są ściśle dodatnio określone, co ma istotny wpływ na stabilność układów parametrycznych [1], [7].

1.2 Model uogólnionej sekcji typu I

Pierwszym rozpatrywanym modelem zastępczej sekcji parametrycznej jest uogólniona sekcja typu I (rys. 2), złożona z równoległego połączenia sekcji elementarnych pierwszego i drugiego rzędu. W pracy [5] opisany został algorytm umożliwiający uzyskiwanie równań różniczko-wych połączeń równoległych sekcji LTV pierwszego i drugiego rzędu w postaci zamkniętej.

Rys. 2. Równoległe połączenie sekcji LTV (a) schemat połączeń,(b) uogólniona sekcja LTV typu I

Piwowar A.: Impulsowe funkcje przejścia połączeń sekcji LTV, Mater. konf. XXXVI IC-SPETO, Ustroń, 22-25 maj 2013, ss. 63-64

1.3 Model sekcji uogólnionej typu II

Połączenie kaskadowe parametrycznych sekcji

elementarnych, pokazane na rys. 3, jest równoważne uogólnionej sekcji LTV typu II.

Rys. 3. Kaskadowe połączenie sekcji LTV (a) schemat połączeń,(b) uogólniona sekcja LTV typu II

Rząd równania różniczkowego opisującego sekcję zastępczą typu II jest równy sumie rzędów wszystkich sekcji wchodzących w skład połączenia. W

przeci-wieństwie do połączeń kaskadowych sekcji LTI,

połączenie kaskadowe sekcji LTV nie jest przemienne [6].

2. Impulsowe funkcje przejścia sekcji typu I

W efekcie przeprowadzonych rozważań połączenie

równoległe n sekcji pierwszego rzędu i m sekcji drugiego

rzędu zastąpić można połączeniem n+2m sekcji

pier-wszego rzędu. Modelem matematycznym uogólnionej sekcji typu I jest parametryczne równanie różniczkowe zwierające wyrażenia złożone z kompozycji funkcji wykładniczych, Bessela i hipergeometrycznych, oraz całek z iloczynów funkcji wykładniczych, Bessela, hiper-geometrycznych oraz sygnału wejściowego [5].

Zakładając, że każda z sekcji połączenia

równoległego jest opisana znaną impulsową funkcją przejścia hi(t,τ), i=1,2,…,n, (w wielu przypadkach funkcje

hi(t,τ) można wyznaczyć w sposób jawny [5]), odpowiedź

sekcji na dowolne wymuszenie określa wzór:

∫

= t i i t h t x y 0 d ) ( ) , ( ) (

τ

τ

τ

, (3)

sygnał wyjściowy układu z rys. 2 można zapisać jako:

∑∫

= = n i t i t x h t y 1 0 d ) ( ) , ( ) (

τ

τ

τ

, (4)

z czego wynika, że impulsową funkcję przejścia sekcji

uogólnionej typu I opisuje wzór:

∑

=

=

n i i z

t

h

t

h

1

)

,

(

)

,

(

τ

τ

. (5)

Impulsowa funkcja przejścia sekcji zastępczej stanowi sumę impulsowych funkcji przejścia sekcji elementarnych.

3. Impulsowe funkcje przejścia sekcji typu II

Połączenie pokazane na rys. 3 nie jest komutatywne

[6], dlatego też liczba struktur połączenia kaskadowego n

sekcji jest równa liczbie permutacji n elementów (sekcji

elementarnych). Redukcja połączeń kaskadowych sekcji LTV przeprowadzona może być metodą krokową przez wielokrotne łączenie dwóch sąsiadujących ze sobą sekcji. Niezależnie od punktu schematu połączenia kaska-dowego sekcji od którego rozpoczyna się redukcję połączeń i kierunku redukcji połączeń ostateczny rezultat

redukcji, czyli sekcja zastępcza (por.rys.3) musi być opisana tym samym równaniem różniczkowym.

Zakładając, że każda z sekcji połączenia szeregowego

jest opisana impulsową funkcją przejścia hi(t,τ), i=1,2,…,n.

Dla połączenia kaskadowego dwóch sekcji o numerach i,

i+1, można wykazać że [4]:

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ d ) ( ) , ( d d ) ( ) , ( ) , ( ) ( 0 0 1 1 1 1

∫

∫∫

= = + t z t t i i t h x h t x h t y ,(6) gdzie:

∫

+

=

t i i z

t

h

t

h

h

τ

τ

τ

τ

τ

τ

)

1

(

,

1

)

(

1

,

)

d

1

,

(

, (7)

jest to impulsowa funkcja przejścia układu zastępczego. Stosując wzory (6), (7) do połączeń dwóch kolejnych sekcji z rys. 3 można sprowadzić redukcję połączenia

kaskadowegon-sekcji do pojedynczej sekcji zastępczej.

4. Podsumowanie

Odpowiedzi impulsowe sekcji parametrycznych są funkcjami nie tylko czasu (jak w przypadku klasycznych sekcji stacjonarnych LTI), zależą także od momentu podania wymuszenia na wejście układu. Układy połączeń sekcji parametrycznych dążą asymptotycznie do sekcji zastępczych złożonych z układów LTI co wynika z przyjętych założeń dotyczących funkcji parametry-zujących. W stanach nieustalonych zmian parametrów łączenie układów niestacjonarnych pozwala na szerokie kształtowanie ich właściwości.

5. LITERATURA

1. Anyels D., Peutman J,: On exponential stability of time-varying differential equations, Automatica, Vol. 35, No.6, pp. 1091-1100, 1999

2. Bayan N., Erfani S.: Frequency analysis of time varying systems, IEEE Conf. of Electro/Information Technology, Ontario, 7-10 May 2006, pp. 33-36. 3. Chen W. K.: The circuits and filters handbook, IEEE

Press, New York, 1995

4. D’Angelo H.: Linear time-varying systems. analysis and synthesis, Allyn and Bacon, Inc. Boston 1970 5. Piwowar A: Analysis of parametric systems with first

and second order sections, PhD thesis, Faculty of Electrical Engineering of Silesian University of Technology, Gliwice 2011.

6. Walczak J, Piwowar A.: Cascade connection of parametric sections and its properties, Przegląd Elektrotechniczny, No.1, 2010 pp: 56-58

7. Walczak J., Romanowska A.: Stability of the second order parametric systems, Rozdział w Monografii ZKwE 2008 pod przewodnictwem PAN, Poznań 2008, pp: 53-61

6. ABSTRACT

In this paper the methods of determination the impulse

responses of generalized parametric n-th order system

have been presented. Those systems are consist of cascade and parallel connections of elementary LTV sections.

Dr inż. Anna Piwowar Politechnika Śląska Wydział Elektryczny

Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka 10

44-100 Gliwice