Zjawisko błądzenia przypadkowego w ekonomicznych szeregach czasowych

Pełen tekst

(1)Jacek. Wołoszyn. Katedra Informatyki. Zjawisko błądzenia przypadkowego w ekonomicznych szeregach czasowych Streszczenie: Interesującą własnością fraktalnych szeregów czasowych jest smnopodoW pracy rozważane są wybrane zagadnienia związane ze statystycznymi i oblicze-. bieństwo.. niowymi aspektami chaosu fraktalnych szeregów czasowych. Rozpatrywane 8(1również zjawiska blqdzenia pr,ypadkowego oraz pewna ich charakterystyka. któnl jest wyklactnik. Hursta. Słowa. kluczowe: chaos deterministyczny, fraktalny szereg czasowy, błądzenie I)I-l ypad-. kowe. wykladnik Hursta.. 1. Wprowadzenie Zjawiska chaosu [Ott 1997). [Schuster 1995). [Gleick 1996) związane są ze specyficznym charakterem dynamiki systemu. w którym występują. Chaos oznacza występowanie w badanym systemie przebiegów mających bardzo nieregularny kształt. Dodatkowo przebiegi te są trudne do przewidzenia w dłu ż szym horyzoncie czasowym. Wzrasta liczba publikacji poświęconych badaniu różnych aspektów chaosu występującego w systemach ekonomicznych [Peters 1997]. [Zawadzki 1996]. Jednym z możliwych kierunków tych badm\ jest unaliza szeregów czasowych opisujących obserwowane zachowanie się wybranych zmiennych rozpatrywanego systemu dynamicznego. Dobrym przykładem szeregów czasowych poddawanych wspomnianym badaniom mogą być szeregi czasowe przedstawiające kursy akcji giełdowych. W dalszej części pracy poddane zostały badaniu szeregi czasowe przedstawiające kursy akcji niektórych spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w latach 1995-1998..

(2) I. Jacek. Wołoszyn. 2. Szeregi czasowe stóp zwrotu Ceny akcji wybranej spółki w notowaniach kolejnych sesji giełdowych twoszereg czasowy, Przyklad szeregu czasowego przedstawiającego ceny akcji WBK (Wielkopolski Bank Kredytowy) przedstawia rys, l, na którym widać nieregularny przebieg w czasie, rzą. 40,00. P(I). 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00. o. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. 500. 600.. 700. BOD. 900. 1000. Rys, I, Wykres dziennych cen akcji WBK. 0,15. (1'(1)-1'(1-1))/1'(1-1). 0,10 0,05 0,00 -0,05 -0,10 -0,15. o. 100. 200. 300. 400. Rys, 2, Wykres procentowych dziennych stóp zwrotu dla akcji WBK.

(3) Zjawisko blqdzenia przypadkowego .... 0,06. I. log (P(I)/P(I - I)). 0,04 0,02 0,00 -0,02 -0,04. -0,06 -0,08 .J--~-~~-~-~-~-~-~-~~ o 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000. Rys. 3, Wykres logarytmicznych dziennych stóp zwrotu dla akcji WBK wyznaczony zgodnie z formulą (2). 0,08. 10g(P(I)) -108(1'(1-1)) 10g(P(I-l)). 0,06 0,04 0,02 0,00 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,10. O. Rys. 4, Wykres logarytmicznych dziennych stóp zwrotu dla akcji WBK wyznaczony zgodnie z formulą (3). Skala osi pionowej wykresu cen różnych spólek giełdowych jest najczęściej W celu uzyskania szeregów porównywalnych pod względem zakresu zmienności należy dokonać jednego z kilku możliwych przeksztalceI\. Najczę ściej na podstawie szeregu czasowego cen P, wyznaczamy szereg czasowy S, procentowych stóp zwrotu (rys, 2):. różna..

(4) I. Jacek. Wołoszyn. s/ -- P, P-P,-I. (1). /-1. Obok zależności (1) przedstawić można inne metody wyznaczania stóp zwrotu. Często wykorzystywana jest logarytmiczna stopa zwrotu S/ definiowana następująco: S/ Logarytmiczną stopę. zwrotu. ~. P log _ /. (2). P'-I. zdefiniować można również. s/ ~ log P, -log P'-I log P'-I. w inny sposób: (3). Zarówno procentowe, jak i logarytmiczne stopy zwrotu dają szeregi czasowe porównywalne pod względem charakteru zmian. Interesującą własnością omawianych szeregów czasowych jest ich samopodobieństwo, które z natury rzeczy związane jest z obiektami fraktalnymi [Kudrewicz 1993], [Peitgen i in. 1997].. 3. Ruchy Browna Jedną. z ważnych hipotez dotyczących rynku kapitałowego jest jego efekto wiąże się m.in. ze zjawiskiem błądzenia przypadkowego. Zajmiemy się tym problemem rozpatrując pewne aspekty ruchów Browna. Zachowanie pewnej zmiennej losowej będziemy nazywać błądzeniem przypadkowym, jeżeli jej zmiany w czasie są niezależne od siebie oraz oczekiwane przyrosty wartości tej zmiennej są równe zero, natomiast oczekiwany dystans, na jaki wartość tej zmiennej oddali się od wartości początkowej, jest niezerowy. Tak określony proces nie preferuje żadnego kierunku zmian. Symulację błądzenia przypadkowego można łatwo przeprowadzić w jednym wymiarze dokonując sekwencji kolejnych losowml z równym prawdopodobieJ\stwem wartości kroku ze zbioru {-l; l}. Dla każdej z 75 zmiennych wygenerowano 400 losowych kroków o długości l lub -1. Na rys. 5 widać przebiegi zmian poszczególnych zmiennych narysowane cienkimi liniami. Grubsza linia przedstawia wykres obydwu gałęzi pierwiastka kwadratowego ze średniej kwadratów odległości, na które poszczególne zmienne oddaliły się w wyniku błądzenia przypadkowego od punktu startowego równego zero. Wykonana symulacja potwierdza przewidywania teoretyczne, wskazujące na zwiększanie się w procesie błądzenia przypadkowego średniej kwadratów odległości od punktu początkowego proporcjonalnie do liczby wykonanych kroków, co jest równoważne stwierdzeniu, że ś redni dystans ci oddalenia od tywność. Pojęcie.

(5) Zjawisko. błądzenia. I. przypadkowego .... punktu startowego jest proporcjonalny do pierwiastka z liczby kroków.. Ił. wykonanych. 40 30. 20 10 O. -10 -20 - 30 -40. Rys. 5. Blijdzenie przypadkowe zespolu 75 zmiennych dla horyzontu czasowego 400 losowych kroków. O. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. Rys. 6. Średni dystans: pierwiastek ze średniej kwadratów odleglości -linia gruba, średnia wartości bezwzględnych odleglości - linia cienka.

(6) I. Jacek. Wołoszyn. Przeprowadzimy jeszcze jedno doświadczenie symulacyjne, zastępując kwadratów przez średnią wartości bezwzględnych (rys. 6). Eksperymenty symulacyjne wykorzystywały programowy generator losujący z jednakowym prawdopodobieństwem krok o wartości +l lub-L średnią. 400 350 300 250 200 150 100 50. o O. 5. 10. 15. Rys. 7. Zależność wiążąca pierwiastek ze średniej kwadratów kroków -1inia gruba, parabola y = x 2 - linia cienka. 20. odleglości. oraz liczbę. Zmienimy teraz opisane własności generowania losowych kroków. Wprowadzimy pewną miarę obciążenia generatora w postaci parametru p, przyjmującego wartości Z przedziału [0;1]: - dla p = 0,5 otrzymujemy ciąg wartości +1 i -1 losowanych z jednakowym prawdopodobieilstwem (ruchy Browna, czyli blądzenie przpadkowe); - dla p> 0,5 generator produkuje ciąg wartości +1 i -l, ale są one losowane z różnym prawdopodobieilstwem, zależnym od wartości wylosowanej w poprzednim kroku zgodnie z zasadą: j eżeli poprzednią wartością w generowanym ciągu jest +1, to z prawdopodobiell stwem p losowana jest liczba +1 oraz z prawdopodobieństwem l - p losowana jest liczba -1. Jeżeli poprzednią wartością w generowanym ciągu jest-l , to z prawdopodobiellstwcm p losowana jest liczba -1 oraz z prawdopodobieństwem I - P losowana jest liczba +1; - dla p < 0,5 generator produkuje ciąg wartości + l i - 1 losowanych według zasady: jeżeli poprzednią wartością w generowanym ciągu jest + l, to z prawdopodobiellstwem p losowana jest liczba -l oraz z prawc\opoc\obiellstwem 1 - p losowana jest liczba +l . .Jeżeli poprzednią wartością w generowanym cią gu jest - I , to z prawdopodobieństwem p losowana jest liczba +l oraz z prawdopodobieilstwem I - P losowana jest liczba -1 ..

(7) Zjawisko. błądzenia. I. przypadkowego .... 400 350 300 250 200 150 100 50 O. 5. O. Rys. 8.. Obciążone błądzenie. 10. 15. 20. przypadkowe. Wartość parametru p = O,ł. Przy parametrze p> 0,5 występuje przypadek błądzenia persyslenlnego, w którym wzmacniana jest aktualna tendencja. Inne własności ma szereg antypersys/en/ny generowany z wartością p < 0,5, w którym większe szanse ma ruch powrotny niż ruch kontynujący dotychczasowy kierunek ruchu.. 400 350 300 250 200 150 100 50 O O. Rys. 9.. Obciążone błądzenie. 5. 10. 15. 20. przypadkowe. Wartość parametru p = 0,9.

(8) I. Jacek. Wołoszyn. 4. y = O,94lx + 0,048 3. 2. o ~~~~~~~~~~~~~~~~~~. O. 0.5. Rys. 10. Logarytm śred niej kwadratów kroków dl a wartości parametru p = 0.5. 1.5. 2. 2.5. 3. odleglości. w zależności od logarytmu liczby. odległości. w za l eż ności od logarytmu liczby. 4. 3. y=O.883x-O.614. 2. -I. Rys. II . Logarytm średniej kwadratów kroków dla wartości parametru p = 0,1. Zbadamy wpływ wartości parametru p generatora liczb losowych na przebieg pierwiastka ze średniej kwadratów od l eg ł ości w procesie błądzen ia. Przedstawioną wcześ niej zależność wiążącą li czbę wykonanych kroków ze.

(9) Zjawisko. błądze nia. I. przypadkowego .... średnią kwadratów odległości od zać można na wykresie o osiach. punktu startowego bardziej wyraziście pokaodwrotnych niż na wykresie 6. Zależność tę ilustruje rys . 7, na którym przedstawiono również parabolę y = X2, nary sowa n ą linią cienką. Grubsza linia reprezentuje relację zachodzącą pomiędzy lic zbą kroków i pierwiastkiem ze średniej kwadratów odleglośc i. Widzimy wzg lęd nie dobre dopasowanie obydwu zależności.. 4. y = 1.147.' + 0.621 3. 2. o. 0,5. Rys. 12. Logarytm średniej kwadratów kroków dla wartości parametru p =0,9. 1,5. odległości. 2. 2.5. 3. w zależności od logarytmu liczby. Zobaczmy teraz, jak zmienia s ię za leżność przedstawiona na rys. 7 pod stopniowego obciążania blądzenia przypadkowego poprzez nadawanie parametrowi p wartości różnych od 0,5. Otrzymane wyniki ilustrują wykresy pokazane na rys . 8 i 9. Zaob serwować możemy odchylanie się badanej zależności liczby kroków w stosunku do wzorcowej paraboli y = x2 Wpływ obciążenia na rezultaty błądzenia przypadkowego można poka zać również na wykresie średniej kwadratów odległości w funkcji liczby kroków w zależnośc i od parametru p. Wygodnym przekształceniem przy sporządzaniu tego rodzaju wykresów jest operacja logarytmowania. Do utworzenia wykresów przedstawionych na rys. 10, Iloraz 12 użyto łogary tmów dziesiętnych, ale z równym powodzeniem możn a zl ogary lmować prezentowane zmienne wybierając dowolną podstawę. Na wykresach przedstawi ona została równie ż linia trendu oraz zamieszczono jej równanie. Zaobserwować możemy prawie cloklaclnl! zależność liniową w przepadku błądzenia z parametrem p = 0,5. Dla wartości parametrów p różnych od 0,5 widać, że prezentowana nu wykresie zależność traci liniowość. wpływem.

(10) I 4.. Jacek. Wołoszy". Wykładnik Hursła. Teoretyczna analiza ruchów Browna przeprowadzona przez Einsteina doprowadziła do sformulowania przedstawionego już wcześniej przez nas prawa potęgowego, które stwierdza, Że podczas błądzenia przypadkowego średni dystans oddalenia od punktu startowego jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z liczby wykonanych kroków. Zależności tej można nadać postać: R = k· Nn.5 (4) gdzie: R - średni dystans, na jaki wartość szeregu czasowego oddali się od punktu startowego, N - liczba wykonanych kroków, k - stala proporcjonalności. Hurst zaproponował uogólnienie pojęcia "zwykłych ruchów Browna" na przypadki reprezentowane przez szeregi .czasowe, które nie spełniają zależno ści (4). Nowa zależność przedstawiona przez Hursta ma postać: RIS = Ic . Nil (5) gdzie: R/S - średni dystans błądzenia podzielony przez odchylenie standardowe szeregu, N -liczba wykonanych kroków, H - wykładnik Hursta,. k. -. stała proporcjonalności.. Wartość R/S jest nazywana przeskalowanym zakresem. Istnieje wiele poświęconych analizie przeskalowanego zakresu w różnych dziedzinach. prac [Va-. nouplines 1995], [De La Fuente i in. 1998]. Dla wartości wykladnika Hursta H = 0,5 zależność (5) wyraża prawo potę gowe błądzenia przypadkowego. Jeżeli wykladnik Hurstajest większy od 0,5, to mamy zjawisko persystentnego błądzenia przypadkowego. Zakres rośnie szybciej niż funkcja pierwiastkowa, co oznacza, że po wykonaniu kroku w pewnym kierunku jest bardziej prawdopodobne, że krok następny zachowa dotychczasowy kierunek, niż ten kierunek zmieni. Dla wykładnika Hursta mniejszego od 0,5 występuje blądzenie antypersystentne. Zakres rośnie wolniej niż funkcja pierwiastkowa. Po wykonaniu kroku w pewnym kierunku czę ściej nałeży oczekiwać kroku w kierunku przeciwnym. Logarytmując obustronnie załeżność (5) otrzymujemy równanie, które w sposób liniowy wiąże wartości logarytlllu przeskalowanego zakresu R/S z wartościami logarytmu liczby wykonanych kroków N. 10g(RIS) = 10g(lc) + H . Jog(N) (6) Wyznaczenie wykładnika Hursta dla danego szeregu czasowego można przeprowadzić konstruując ciąg wartości R/S jako funkcję liczby kroków błą-.

(11) I. Zjawisko b/qdzenia przypadkowego .... dzenia N. Na podstawie zależnośc i (6) współczynnik kierunkowy określający nachylenie wykresu R/S w funkcji N przedstawia szukany wykładnik Hursta badanego szeregu czasowego [Peters 1997]. Najistotniejszym elementem procedury obliczania wykładnika Hursta jest wyznaczenie zakresu R , który reprezentuje dystans opisujący zm ienność analizowanego szeregu czasowego w przedziale o dŁugości N kroków. Dystans ten jest mak sym aln ą odległością, na jnk ą oddali się kumul owana wa rtość odchyleń od średniej przy obliczeniach wykonywanych niezal eżnie dla przedziaŁów dłu gości N. Dla każdego takiego przedzialu wyznaczane jest równocześnie odchylenie standardowe. Obliczony zakres jest przeskalowany (podzielony) przez wartość odchylenia standardowego . Szereg czasowy, dla którego zamierzamy wy znaczyć wy kładnik Hursta, zostaje podzielony na segmenty o długości N kroków . Nas tępnie dŁa każdego segmentu wyznaczana jest wartość przeskalowanego zakresu R/S. W zbiorze uzyskanych wartości R/S obliczana jest średnia, która staje się wartością przeskalowanego zakresu R/S dla ustalonej dŁugości segmentu N. Opisana wyżej procedura jest wykonywana wielokrotnie. Zmieniając wartości liczby kroków N obliczamy odpowiadające im wartośc i R/S. Uzy skaną w ten sposób zależ ność poddajemy w dalszej kolejności logarytmowaniu, co już bezpośrednio prowadzi do wyznaczenia wykŁadnika Hursta H .. log(RlS). ••. ••. • log(N). Rys. 13. Poszczególne punkty zależności przeskalowanego zakresu II/S od długości przedziału N oraz linia trendu wyznaczOlla na podstawie tych punktów W praktyce wspomniana wyżej za l eżność log(R/S) jako funkcja log(N) nie jest dokladnie liniowa . Numeryczna metoda wyznaczenia wykladnika Hurs!a.

(12) I. Jacek. Wołoszyn. obejmuje zwykle regresję liniową zastosowaną do zbioru punktów w przestrzeni opisywanej przez 10g(R/S) oraz 10g(N), Interpretacją graficzną wykładnika Hursta jest nachylenie wykresu omawianej zależności. Ilustruje to rys, 13,. Rys, 14, Wykres zależności log(R/S) w funkcji log(N), Spólka Stomil. Logarytmiczne stopy zwrotu W dalszej części niniejszej pracy przedstawiono wybrane rezultaty prowadzonych badań związanych z wyznaczaniem wykładników Hursta dla szeregów czasowych dziennych cen akcji spółek giełdowych notowanych na GPW w Wm'szawie, W większości przypadków wspomniane dane dotyczą lat 1995-1998, Wyznaczanie wykładnika HU1'sta dla szeregu czasowego cen akcji z reguły poprzedzane jest procedurą pewnego przekształcenia oryginalnego szeregu czasowego, Najczęś ciej w takim przypadku wyznacza się szereg czasowy logarytmicznych stóp zwrotu, Dla tak przekształconych szeregów cen akcji wykonane zostały obłiczenia wyznaczające wykładnik Hursta, Obliczenia te obejmowały w sposób iteracyjny powtarzaną procedurę wyznaczania średnie go zakresu R przy podziale całego szeregu czasowego na segmenty długości N (w tym przypadku N jest liczbą kroków liczoną w dniach sesji giełdowych), Przyjęto zalożenie, że startowa długość segmentu obejmuje jeden tydziet\, co jest równoważne wartości początkowej N = 5 (pięć sesji giełdowych tygodniowo na GPW w Warszawie), W procesie obliczell na s tępowało sukcesyw -.

(13) I. Zjawisko blqdzenia przypadkowego .... ne. powiększanie wartości. końcowej. N z krokiem l, aż do osiqgnięcia przez N wartości ustalonej na 1/5 długości całego badanego szeregu czasowego.. lO. d(log(RlS))/dN. 8. 6 4. 2 O 0.8. 1,0. -2 -4. -6 -8. log(N). Rys. 15. Wykres pochodnej funkcji z rys. 14 Na rys, 14 pokazany został wykres wartości logarytmu R/S jako funkcji logarytmu N dla akcji spójki Stomil. Widać przybliżoną liniową zależność wyrażającą się równaniem linii trendu (na rysunku umieszczone zostało równanie tej prostej) o współczynniku kierunkowym 0,624. Oznacza to, że wykładnik j-jursta dla badanego szeregu czasowego ma wartość H = 0,624. Należy mieć oczywiście świadomość, że wyznaczona wartość H jest średnią wartością wykładnika Hursta w przedziale zmienności dlugości segmentu N. Jak widać na rys, 14, zależność pomiędzy logarytmami przeskalowanego zakresu R/S oraz logarytmami długości segmentu N jest jedynie globalnie zbliżona do liniowej, Jednym ze sposobów zbadania lokalnych własności tej zależ ności jest wyznaczenie jej pochodnej za względu na liczbę kroków N. W przypadku obliczeJ\ numerycznych realizowanych komputerowo pochodną zastąpimy odpowiednim ilorazem różnicowym, wyznaczanym według zależności:. log((RI S) NIl) -log((RI S) N) 10g(N +l)-log(N). (7).

(14) I. Jacek. Wołoszyn. gdzie: (RIS)N + I - wartość średnia przeskalowanego zakresu dla odcinka czasu. o dlugości N + l, (RIS)N- wartość średnia przeskalowanego zakresu ella odcinka czasu o dlugości. N. Wykres obliczonej, opisaną wyżej metodą, pochodnej funkcji przeskalowanego zakresu dla szeregu czasowego logarytmicznych stóp zwrotu akcji spólki Stomil przedstawiony został na rys. 15. Widać szybko narastającą zmienność pochodnej wraz ze zwiększaniem się długości segmentu N.. 10. d(log( RlS»)/dN. 8. 6 4. 2. o 06. 0.8. 1.0. 1.2. 2,4. 1,4. -2 -4. -6 log(N). -8. Rys. 16. Wykres pochodnej funkcji z rys. 14, uśredniania 5 dni. średnia. ruchoma,. dlugość. przedzialu. Jednym z czynników wpływających na stosunkowo duże wahania pochodnej jest właściwość samej metody jej numerycznego wyznaczania (przybliża nie różniczki za pomocą różnicy funkcji). Można wspomniane wahania w dużym stopniu ograniczyć poprzez zastosowanie wybranej metody filtrowania rezultatów numerycznego różniczkowania . Jednym ze sposobów jest wyznaczenie średniej ruchomej przy ustalonej długo ści przedziału (rys. ł6). Zbadamy teraz,jak zachowują się procentowe stopy zwrotu przy wyznaczaniu wykładnika Hursta. Po przekształceniu wyjściowego szeregu czasowego cen akcji do postaci procentowych stóp zwrotu powtarzamy wykonane obliczenia dla tej samej spółki giełdowej. Uzyskane w ten sposób wyniki w postaci wykresu logarytmu przeskalowanego zakresu w zależności od logarytmu dlu-.

(15) Zjawisko. błądzellia. I. przypadkowego .... gości segmentu przedstawia wykres na rys . 17. Porównując wykresy obserwujemy znaczne ich podobień stwo. Również niewiele różnią się międ zy sobą wartości wyznaczonych wykładników Hursta. Przeprowadzenie podobnych porównawczych obliczeń dla szeregów czasowych związanych z cenami akcji innych spółek prowadzi do podobnych wniosków. co oznacza. że wybór jednego z omówionych sposobów wstępnej transformacji szeregu cenowego nie zmienia w istotny sposób otrzymywanej wartośc i poszukiwanego wykładnika Hm·sta.. Rys. 17. Wykres stopy zwrotu. zależności. log(RIS) w funkcji log(N).. Spółk a. Stomil. Procentowe. Zależność pomiędzy łogarytmami przeskalowanego zakresu a łogarytmami długości przedziału wyznaczania zakresu nie jest liniowa. Zbadamy zm ienność wykładnika Hursta w całym przedziale rozpatrywanego horyzontu czasowego. Zastosowana przez nas metoda sprowadza się do wyznaczania linii trendu w pewnym przedziale. wybranym wewnątrz odci nka pełnego horyzontu. Dla szeregu czasowego cen akcji wybranej spółki giełdowej (w tym przypadku dane dotyczą spółki Elektrim) wyznaczona została zależność logarytmu R/S w funkcji logarytmu N. Rysunek 18 prezentuje pełną załeżność w całym horyzoncie czasowym. Linia trendu ma współczynnik kierunkowy 0.524. który przyjąć możemy jako wartość globalnego wykładnika Hursta..

(16) I. Jacek. Wo łoszyn. Rys. 18 . S pół ka Elektrim. Zal eż ność log(RIS) w funkcji log(N). Globalny wykladn ik Hursta H = 0,524. 1,4. log(RlS). y = 0,630.. - 0.139. 1,2 1,0 0,8 0.6 0,4 0,2 log(N) 0.0 0,6. 0,8. 1,0. 1,2. 1,4. 1,6. 1,8. 2,0. 2,2. 2,4. Rys. 19. Spólka Elekirim. Z ależność log(RIS) w funkcji log(N) . Trend dl a N z przedzialtl [5;20] . Wykład ni k HurSl. H = 0,630.

(17) Zjawisko. błądzenia. 1.4. I. przypadkowego .... log(R/S). y = 0,635x- 0,155. 1,2 1,0 0,8 0,6. 0.4 0,2 log(N). 0,0 0,6. 0,8. 1,0. 1,2. 1.4. 1,6. 1,8. 2,0. 2,2. 2.4. Rys. 20. Spółka Elektrim. Zależność log(RIS) w funkcji log(N). Trend z przedziału [20;50]. Wykładnik I-Iursta H = 0,635. dła. N. Rys. 2ł. Spółka Elektrim. Załeżność log(RIS) w funkcji z przedziału [50; 100]. Wykładnik HUl'sla H = 0,415. dła. N. łog(N),. Trend.

(18) I. Jacek WoloszY/l. Dzieląc caly horyzont czasowy, w którym obliczone zostały wartości funkcji logarytmu RIS, na leżące obok siebie przedzialy [5;20). [20;50). [50; 100] oraz [100;200). wyznaczamy niezależne linie trendu w tych przedziałach (rys. 19,20 i 21 przedstawiają niektóre rezultaty obliczel\). Jak widać, lokalne wykładniki Hursta zmieniają się w stosunkowo dużych granicach: od 0,415 do 0,635.. 6. dHId N. 4. 2 li. o 0,6. 0,8. -2. Rys . 22. Spólka Stomil. Wykres w przestrzeni flizowej Hursta i jego pochodną. określonej. przez wykładnik. Na zakOl\czenie przedstawimy jeszcze inną możliwość analizowania zmienwykladnika Hursta. Dysponując funkcją wiążącą jego wartości z długo ścią przedziału, w kt6rym wykładnik Hursta jest wyznaczany, możemy numerycznie uzyskać pochodną wykładnika, co pozwala na skonstruowanie wykresu fazowego, Przykład takiego wykresll w przestrzeni fazowej określonej przez wykładnik Hursta oraz jego pochodną pokazany został na rys. 22, ności. 5.. Zakończenie. Przedstawione w niniejszej pracy rozważania dotyczyly w głównej mierze fraktalnego charakteru szeregów czasowych. Własność samopoclobieIlstwa dotyczy również szeregów czasowych obserwowanych w systemach ekonomicznych. Szeregi czasowe cen akcji spółek gielclowych można traktować jako.

(19) Zjawisko b/qdzenia przypadkowego .... I. przypadkowego. Jakościowy aspekt takiego procesu można mierzyć wyznaczając dla danego szeregu wykładnik Hursta. Odrębnym zagadnieniem wartym dalszych bacla6 jest systematyka rozpatrywanych przypadków i interpretacja uzyskiwanych rezultatów w wyniku stosowania prezentowanych metod wyznaczania wielkości charakteryzujących fraktalną naturę wielu różnych zjawisk ekonomicznych.. rezultat. błądzenia. Literatura De La Fucnte I. M., Martincz L., Aguirregabiria J. M" Vcguillas 1. [1998],RlS Analysis ill Slral1ge Altractors, Fractals, Vol. 6, No 2, World Scientific Publislling Co. Oleick J. [1996], Chaos, Zysk i S-kR, Poznmi. I-łommcs ej-I. [1991], Chaotic Dynamies in Eco1!omic Models, Same Simple Case-Swdies, Woltcrs-Noordhoff, Groningen. Kudrcwicz J. [1993], Fraktale i chaos, WNT, Warszawa. Ou E. [1997], Chaos w lik/adach dynamicznych, WNT, Warszawa. Schli ster H.G. [1995], Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Pcitgcn H.-O., Jurgcns 1-1., Saupe D. [1997], Grallice chaosu. Frakta/e, cz. l i 2, PWN, Warszawa. Peters E.E. [1997], Teoria chaosl/ a ryllki kapitałowe. WIG-Press, Warszawa. Vanouplines P. [1995], Rescaled Rallge AI/alysis and tlle Fractal Dimellsioll oj' Pi, http://llomcpagcs.vub.ac.be/-pvouplin/piJpiinlrod.htm Zawadzki H. [1996], CJu/OtycZ/le systemy dynamiczne. Elelllellly teorii i wybrane przyklady ekonomiczne, Prace Naukowe AE w Katowicach, Katowiec.. Random Walk Phenomenon in Economic Tlme Series Self-similarity is an interesting property or fractal time sel'ies. The papcr cOIlsiders selected issues concerned the statistical and computational aspects of chaos in fractal timc series. It also analyses the random walk phenomena and their cCl'tain characteristics - thc Hurst exponent..

(20)