Een systeem van vergelijkingen voor scheepsbewegingen, die rekening houden met de koppeling tussen de domp-, verzet- en rolbewegingen door L.I.Pletneva-Machabeli

E E N S Y S T E E M VAN V E R G E L I J K I N G E N VOOR S C H E E P S B E W E G I N G E N , D I E R E K E N I N G HOUDEN MET DE K O P P E L I N G T U S S E N DE POMP-, V E R Z E T - EN ROLBE'vVEGINGEN. D o o r L . I . P l e t n e v a - M a c h a b e l i . V e r s l a g e n v a n h e t L e n l n g r a d s S c h e e p s b o u w k u n d i g I n s t i t u u t , U i t g a v e X X I I . V e r t a l i n g d o o r W. B e u k e l m a n » R a p p o r t No. 1 0 8 . L a b o r a t o r i u m v o o r S c h e e p s b o u w k u n d e . o k t o b e r I 9 6 3 .

o n t w i k k e l i n g v a n de h e d e n d a a g s e t e c h n i e k e e n r e v i s i e p l a a t s v a n de k l a s s i e k e o p g a v e , d i e g e p a a r d g a a t met g e d e t a i l l e e r d e a n a l y s e e n v e r a n d e r i n g i n de o p s t e l l i n g e n m e t h o d e v a n b e r e k e n e n . H i e r u i t v o l -g e n soms p r i n c i p i e e l n i e u w e r e s u l t a t e n , d i e de m o -g e l i j k h e d e n v a n p r a c t i s c h e o n d e r z o e k i n g e n v a n de b e s t u d e e r d e v e r s c h i j n s e l e n a a n z i e n -l i j k u i t b r e i d e n . I n de t e g e n w o o r d i g e t i j d z i j n e r g o e d e b e w e r k i n g e n , d i e g e b a -s e e r d z i j n op de o n d e r z o e k i n g e n v a n L . E u l e r , D. B e r n o u i l l i , R. Bour^ g e r , W. F r o u d e , E . H e r t e n , W. R a n k i n , B. G e v e n a n e n a n d e r e n en u i t -e i n d -e l i j k d-e v -e r k r -e g -e n f o r m u l -e s i n d-e w -e r k -e n v a n A.N. K r i l o f k o De v o l g e n d e o n t w i k k e l i n g i n de b e r e k e n i n g v a n de s c h e e p s b e w e g i n g e n i s i n a a n z i e n l i j k e m a t e g e b a s e e r d op b e p a a l d e t h e o r i e ë n v a n A . N . X r i l o f e n e r z i j n n o g s l e c h t s e n i g e d e t a i l s v a n d e z e t h e o r i e ë n g e ï n t r o -d u c e e r -d . De v o l g e n -d e v o o r b e e l -d e n v a n -de t h e o r i e v a n A.N. K r i l o f i n z a k e de r o l b e w e g i n g e n z i j n g e g e v e n d o o r W.K. W l a s o f 3 i A . B « K e r a s i -m o f , K o E . P a v l e n k o 5 e n C N . B l a k o w e t s j e n s k i ?. » I n de l a a t s t e j a r e n w a s e r i n de l i t e r a t u u r e e n b e g i n v a n de b e s c h o u w i n g d e r v e r s c h i l l e n d e n i e t - l i n e a i r e v e r s c h i j n s e l e n , d i e p l a a t s v i n d e n b i j de s c h e e p s b e w e g i n g e n . B i j de m e e r d e r h e i d v a n d e z e a u t e i i T s w e r d o p n i e u w a a n d a c h t b e s t e e d a a n b e r e k e n i n g e n met b e h u l p v a n d e z e o f a n d e r e h y p o t h e s e n v a n e e n n i e t l i n e a i r s t a b i l i t e i t s d i a g r a m , z o n d e r de m o g e l i j k h e d e n t e b e s c h o u w e n v a n de v e r g e l i j k i n -g e n op b a s i s v a n de a l -g e m e n e t h e o r i e d e r s c h e e p s b e w e -g i n -g e n v a n A.N. K r i l o f ^ met de n a u w k e u r i g h e i d v a n d e l e d e n e r v a n met e e n a n

-d e r e o r -d e v a n k l e i n h e i -d . I n t u s s e n w a r e n de genoemde v e r g e l i j k i n g e n n o d i g v o o r h e t o n -d « r z o « k v a n -de v r a g e n n a a r -de k o p p e l i n g e n t u s s e n -de b e w e g i n g e n i n v e r s c h i l l e n d o p z i c h t , v o o r de b e s t u d e r i n g v a n de s t a b i l i t e i t s p r o -b l e m e n e n p a r a m e t r i s c h e r e s o n a n t i e -b i j de -b e w e g i n g e n . D a a r o m i s h e t d o e l v a n h e t a a n g e b o d e n w e r k om e e n o v e r z i c h t t e t o n e n v a n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n v a n de b e w e g i n g e n met een n a u w k e u r i g -h e i d v a n de l e d e n t o t e n met de 2e o r d e v a n k l e i n -h e i d . Op g r o n d v a n de g e v o l g t r e k k i n g e n v a n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n v o o r de b e w e g i n g e n v a n s c h e p e n , d i e z i c h i n e e n g o l f b e v i n d e n , z i j n de v o l g e n d e v e r o n d e r s t e l l i n g e n a a n g e n o m e n :

2

2

-1 )

o I n e l k pxint van h e t n a t o p p e r v l a k van h e t s c h i p i s een h y d r o

-d y n a m i s c h e -d r u k van -de g r o o t t e , w e l k e e r zou z i j n op -d i t punt

van de r u i m t e b i j a f w e z i g h e i d van h e t s c h i p .

2 )

. De h o o f d t r a a g h e i d s a s i n de l e n g t e r i c h t i n g van h e t s c h i p i s

l o o d r e c h t op h e t v l a k van z i j n s p a n t e n o

3 )

0 Het s c h i p i s g e p l a a t s t met h e t boord i n de g o l v e n .

k ) . Het s c h i p b e v i n d t z i c h i n z u i v e r e s i n u s v o r m i g e g o l v e n .

5 )

0 De stamp- en g i e r b e w e g i n g kan v e r w a a r l o o s d worden»

6 )

. Het s c h i p i s i n h e t g e b i e d van de w a t e r l i j n r e c h t w a n d i g .

I n h e t t o t a l e v e r k r e g e n s y s t e e m van s c h e e p s b e w e g i n g s v e r g e l i j

-k i n g e n

( 1 0 7 ) , ( 1 0 8 ) ( I O 9 )

b e v i n d e n z i c h coëfficiënten d i e p e r i o d i e k

z i j n met de t i j d . Deze v e r g e l i j k i n g e n b e p a l e n de w i s s e l w e r k i n g van

de o n d e r s c h e i d e n vormen van bewegingen«

O p s t e l l i n g van de opgave.

W i j z u l l e n twee coördinaatsystemen i n v o e r e n (fig«

1 ) .

-4-1 )

0 Verbonden met h e t s c h i p i s h e t s y s t e e m x, y , z d a t a l s b e g i n

h e e f t h e t s c h e e p s z w a a r t e p u n t

0 }

de a a x i s g e r i c h t op de boeg

van h e t s c h i p ( b e w e e g l i j k systeem)»

2 ) „ O n b e w e e g l i j k s y s t e e m 7,^ s a m e n v a l l e n d met h e t bewegende

s y s t e e m voor h e t s c h i p i n r u s t o

Dan z u l l e n b i j de boven gemaakte v e r o n d e r s t e l l i n g e n de

beweg i n beweg s v e r beweg e l i j k i n beweg e n van h e t s c h i p z o a l s bekend, h e t v o l beweg e n d e a a n

-z i e n hebben:

g i g

l e = ( 3 ) ,

w a a r i n :

D - g e w i c h t van h e t s c h i p

I - m a s s a t r a a g h e i d s m o m e n t van h e t s c h i p met b e t r e k k i n g t o t de

e e n t r a l e l e n g t e - a s

Gx-H en Z - p r o j e c t i e s op de a s

0^7^

en

0 ^ ^

van de h o o f d v e c t o r k r a c h t

d i e op h e t s c h i p w e r k t

M - hoofdmoment van a l l e k r a c h t e n met b e t r e k k i n g t o t de a s Gx4

B i j de gemaakte v e r o n d e r s t e l l i n g e n z i j n a l l e k r a c h t e n d i e op

h e t s c h i p werken t e r u g t e b r e n g e n t o t z w a a r t e k r a c h t e n en k r a c h t e n

t e n g e v o l g e van w a t e r d r u k . Het g e w i c h t van h e t s c h i p D g r i j p t aan

i n h e t g e w i c h t s z w a a r t e p u n t en i s v e r t i c a a l n a a r beneden g e r i c h t .

De p r o j e c t i e van k r a c h t D op de a s 0^ en 0^ i s g e l i j k a a n n u l ,

maar de p r o j e c t i e op de a s - d a a r v a n i s g r o o t t e de k r a c h t D.

Het moment van deze k r a c h t met b e t r e k k i n g t o t de a s s e n i s g e l i j k

aan nul»

Voor de b e p a l i n g van de p r o j e c t i e van de h o o f d v e c t o r e n en

mo-menten van de w a t e r d r u k k r a c h t e n , z o n d e r e n we op h e t n a t o p p e r v l a k

van h e t s c h i p een o p p e r v l a k t e - e l e m e n t j e d C a f ( z i e figs, 1 ) en h i e r |

van w o r d t de b u i t e n s t e n o r m a a l n met e n i g e hoeken s a m e n g e s t e l d

• e t de p o s i t i e v e r i c h t i n g a a s s e n O^t^ en

0 ^ ^

» De d r u k k r a c h t van

h e t w a t e r op h e t o p p e r v l a k t e - e l e m e n t i s g e l i j k aan p d ü »

Na s a m e n s t e l l i n g van de weergegeven p r o j e c t i e s d e r k r a c h t e n

p op de a s s e n 0^1^ en 0^*1^ en van de momenten t e n g e v o l g e van

de w a t e r d r u k k r a c h t e n met b e t r e k k i n g t o t de a s Gx en na g e l i j k t i j d i

ge i n t e g r a t i e van hen o v e r h e t n a t o p p e r v l a k s t v i n d e n we de a l

-g^emene u i t d r u k k i n g voor de g r o o t t e van H, Z en M^:

H = - / p cos(n;>7) d i i ' . W

Z = D - / p c o s ( n i J " ) d i i (

( 5 )

= / p f ( ^ - ^ g ) c o s ( n ; ^ ) -

( 7 -

c o s ( n ; ? ) ] d Q

( 6 )

Voor v e r d e r o n d e r z o e k i s h e t g e m a k k e l i j k o v e r t e gaan met

b e h u l p van de f o r m u l e s van O s t r o k r a d s k voor i n t e g r a t i e van h e t n a t

o p p e r v l a k t o t de i n t e g r a a l v o o r de ondergedompelde r u i m t e . Dan

k r i j g e n de u i t d r u k k i n g e n

( 4 ) , ( 5 )

en

( 6 )

h e t a a n z i e n :

dv ( 7 )

V,

if

-Z =

4 j

d v ( t )

w a a r i n V - de i n h o u d van h e t ondergedompelde d e e l i s van h e t s c h i p

op h e t t i j d s t i p t„ Op grond van de algemene b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n

van zware i d e a l e v l o e i s t o f f e n i s t e v i n d e n :

f

^ E

f

g

-

C

K

n ^^^^

)o * > O * G

w a a r i n :

C* - d i c h t h e i d van h e t w a t e r

g - de v e r s n e l l i n g van de z w a a r t e k r a c h t

G ~ Pr°J®*^^^® "^^^ v e r s n e l l i n g d e r v l o e i s t o f d e l e n van de

v o o r t l o p e n d e g o l f i n hun o r b i t a a l b e w e g i n g .

s u b s t i t u t i e van

( 1 0 )

en

( 1 1 )

i n

( 7 ) ( 8 )

en

( 9 )

v e r k r i j g e n we

b i j b e r e k e n i n g van ^ ^ g = J :

H = ï

) V, dv

f "

Z =

- Y V ^ +

d

t g ^ G

^ t t

I n de u i t d r u k k i n g e n

( 1 2 ) , ( 1 3 )

en ( l ^ f ) b e v i n d e n z i c h de g r o o t

heden, d i e a f h a n k e l i j k z i j n v a n de p a r a m e t e r s d e r v o o r t l o p e n d e g o l

ven» De componenten van de k r a c h t e n en momenten, d i e de tweede a f

-g e l e i d e v a n de -g r o o t h e d e n ^ b e v a t t e n , doW.Zc de v e r s n e l l i n -g

van de v l o e i s t o f d e e l t j e s k a r a k t e r i s e r e n de h y d r o d y n a m i s c h e d r u k v e r

-d e l i n g i n h e t w a t e r . We z u l l e n nu -de u i t -d r u k k i n g e n v o o r -de

opge-wekte k r a c h t e n en momenten v a n vorm v e r a n d e r e n .

De coördinaten van de v l o e i s t o f d e e l t j e s b i j hun o r b i t a a l b e w e

-g i n -g z i j n i n h e t v l a k van de v o o r t l o p e n d e -g o l f t e b e p a l e n met de

u i t d r u k k i n g e n :

= 7^^

+ e " ^ ^ a i n ( k 7 - C t )

( 1 5 )

^G=^o* « " " " ^ « i n d ^ ^ - ^ t ) ( 1 6 )

w a a r i n :

Ag - de s t r a a l van de o r b i t a a l b e w e g i n g d e r d e e l t j e s d i e z i c h

i n de v o o r t l o p e n d e g o l v e n b e v i n d e n ,

V en ^ - coördinaatpunten van o r b i t a a l b e w e g i n g d e r v l o e i s t o f d e e l ¬

t j e s ,

k - f r e q u e n t i e - v o r m van de v o o r t l o p e n d e g o l f , d i e i n v e r b a n d

met de l e n g t e van de g o l f A de v e r h o u d i n g b e p a a l t :

k =

2 r / p ^

C - c i r k e l f r e q u e n t i e iran de g o l f , d i e g e k o p p e l d met de p e r i o

de van de g o l f T de v e r h o u d i n g b e p a a l t :

T u s s e n de f r e q u e n t i e s k en b e s t a a t de a f h a n k e l i j k h e i d :

k = s d ( 1 9 )

I n de r e c h t e r d e l e n van de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n

( 1 2 ) , ( 1 3 )

en

(1^+)

b e v i n d e n z i c h de v e r s n e l l i n g e n van de v l o e i s t o f d e e l t j e s

De waarde van v o o r de d e e l t j e s , d i e z i c h b e v i n d e n i n h e t

g e b i e d van de l a s t l i j n , d.w.z. n a b i j h e t v r i j e o p p e r v l a k , v e r k r i j

-gen we u i t v e r g e l i j k i n g

( l 6 ) ,

n a d a t d a a r i n = O i s genomen:

5 g = r ^ c o s ( k J ^ - C T t ) (20)

Na twee maal differentiëren v o l g e n s de t i j d v i n d e n we voor de u i t

-d r u k k i n g e n

( 1 5 )

en

( 1 6 ) :

Op grond van v e r g e l i j k i n g

( 1 9 )

en f o r m u l e s i s :

6

w a a r i n d de g r o o t s t e hoek van de g o l f h e l l i n g i s ; na s u b s t i t u

-o

t i e van

( 2 5 )

i n

( 2 1 )

en

( 2 2 )

k r i j g e n we:

^ : ? G = - r ' ^ o « " ' ' ^ " - ( k Y - ö ' t )

I n de u i t d r u k k i n g e n ( 2 4 ) ,

( 2 5 )

i s e^^±Ti g r o o t t e van de e e r

s t e orde van k l e i n h e i d , z o d a t de s t r a a l t"^ van de baan der v o o r t

-l o p e n d e g o -l f k -l e i n i s v e r g e -l e k e n «et hun -l e n g t e X „

De i n t e g r a l e n , d i e z i c h b e v i n d e n i n de u i t d r u k k i n g e n

( 1 2 ) ,

( 1 3 ) en ( 1 4 ) z i j n d o e l t r e f f e n d u i t t e r e k e n e n i n de «oordinaten

X, y en z d i e verbonden z i j n aan h e t s c h i p . De v e r b i n d i n g t u s s e n

de coördinaten i s weergegeven i n f i g . 2.

- 7

FIG. 2

7^ = ^ + y c o s e - z s i n ©

De grootte van ^ en i s u i t t e drukken i n de algemene

coördinaten 77 » * » ö v o l g e n s de f o r m u l e s :

7 7 ^ = 77

^ - z ^ s i n t

( 2 8 )

Y> = K + a c o s e

en geven u i t

( 2 6 )

en

( 2 7 )

a l s r e s u l t a a t van s u b s t i t u t i e :

z =

Voor b e r e k e n i n g van

( 2 8 )

en

( 2 9 )

kan de v e r h o u d i n g

( 2 6 )

en

( 2 7 )

v o o r g e s t e l d worden door=

12 =

+ y c o s O - ( z -

s i n O

^ = + ( z - z ) c o s O + y s i n 9

( 3 0 ) ( 3 1 )

V o o r h e t b e r e k e n e n v a n de i n t e g r a a l , d i e z i c h b e v i n d t i n de u i t -d r u k k i n g e n ( 1 2 ) , ( 1 3 ) e n ( l 4 ) v o e r e n w i j de h u l p i n v a n e e n c o m p l e x e g r o o t h e i d v a n I , d i e b e p a a l d w o r d t met de f o r m u l e : I =

1.^+

(32)

-1

f

V

t

t

(^ + 177)

r = z +

+ r

(4o)

(41)

fo

-t

M ^

We z u l l e n n u de vorm v e r a n d e r » » v a n i n t e g r a a l : _{.xen n u a e vorm v e r a n a e r « n v a n i n i i e g r a a j . :} / -kW ^ - I c w o / -k r e " ^ ® , > = / e d v = e y e d v ( 4 2 ) Na d e l i n g v a n V. i n V e n Ir. k u n n e n we u i t d r u k k i n g (42) s c h r i j v e n i n de v o r m : = e -kW, J e d v + y e d v ( 4 3 ) I n g e v o e r d v.oi-den de a a n d u i d i n g e n : - i

e

/

o

/

(44)

( 4 5 )

(46)

(47)

r Ir

('::•)

9

en i n t e g r a a l K i s door i n v o e r i n g v a n een algemene complexe v e r a n d e r -l i j k e n a d e r a a n t e d u i d e n . We k r i j g e n :

Daar de u i t d r u k k i n g t u s s e n de v i e r k a n t e haken g e l i j k i s aan e~^^^Y~''*| zo k r i j g t men a l s r e s u l t a a t van e e n v o u d i g e vorm v e r a n d e r i n g e n door r e k e n i n g t e houden met v e r g e l i j k i n g ( 5 6 ) : Op t e merken i s , d a t a a n w e z i g i s de v e r h o u d i n g : ( r - y ^ ) + i ( 7 - 7 , ) = w - w ( 5 0 ) Na t o t a l e vorm v e r a n d e r i n g k r i j g t de i n t e g r a a l K de vorm: K = - ï - ƒ (w - w g ) i ; g d v ( 5 1 ) ^ t

S u b s t i t u t i e van de waarde w^ i n u i t d r u k k i n g ( 4 9 ) l e i d t t o t de

formu-l e :

r

l | . i

^ * r

( w

ƒ

10

-Aangenomen w o r d t :

f

^ - i

e ^

ü . / / - e - ^ ^

-1 e

en i n g e v o e r d de a a n d u i d i n g

a

= k e Dan, n a o n t l e d i n g van de i n

-t e g r a a l v o l g e n s i n -twee i n -t e g r a l e n v o l g e n s en v ^ k r i j g e n we:

r e d V + y Ae

^ - a r . / ^ - a r

w a a r i n :

/r

d v =

/

re"**" d v = ÏÏ

T e n s l o t t e neemt u i t d r u k k i n g

( 5 5 )

de vorm a a n :

K = -Yo^

l i

e

^'^*r

(w - w )

O

m

g

' O ''t •

Op t e merken i s , d a t ïï^ s l e c h t s a f h a n g t van de h e l l i n g s h o e k 0 ,

• a a r de u i t d r u k k i n g v ^ - ook van de vorm van h e t g o l f o p p e r v l a k .

I n u i t d r u k k i n g

( l 4 )

i s v o o r h e t moment van de k r a c h t nog de i n t e

-^ a a l i n g e b r a c h t :

ƒ (

77- 77 ) d

d i e a l s r e s u l t a a t van de o v e r g a n g t o t de coördinaten x, y en z ,

v o l g e n s f o r m u l e

( 3 0 ) , ( 3 1 )

t e s c h r i j v e n i s i n de vorm:

y c o s © - ( z - z ) s i n © d v

Na a n a l y s e v a n de i n h o u d V. i n twee o n d e r d e l e n V en v. en na i n ¬

t

t

v o e r i n g van e l k e i n t e g r a a l d i e overeenkomt met z i j n a a n d u i d i n g ,

k r i j g e n we:

t

o

t

w a a r i n :

11

-f r

1

'"^v =K

® " ( ^ ~ z ) s i n

d v ;

*o f V L J

o

= Y y " y COS Q - ( z - z ^ ) s i n 0 d v .

•^v = Y / y c o s 0 - ( z - z ^ ) s i n 0 | d v ; ( 6 4 )

( 6 5 )

t

Voor v e r d s r e v o r m v e r a n d e r i n g van de bovengenoemde i n t e g r a l e n s t e l l e c j

w i j de v e r g e l i j k i n g e n samen v o o r h e t w a t e r o p p e r v l a k i n de

coördinat e n X , y en z . I n de coördinacoördinaten ^ , ^ ^n ^ hebben de v e r g e l i j k i n

-gen van h e t v r i j e g o l f o p p e r v l a k , o v e r e e n k o m s t i g

( 2 0 )

de vorm:

^ = cos(kr7 - C tX

" o p p . G (opp

_{opp. (i '•9P}

V a n d a a r d a t voor de b e r e k e n i n g van

( 2 6 )

en

( 2 ? )

v e r k r e g e n w o r d t :

^ + z c o a O y a i n e = _ c o a k(17 + y c o s O - z s i n Q)-C3't

O opp G L (o opp

( 6 6 )

V e r g e l i j k i n g

( 6 6 )

met de b e t r e k k i n g z ^ ^ ^ =

l a de v e r g e l i j k i n g van K e p l e r en z i j n o p l o s s i n g kan men v o o r s t e l l e n ,

i n de vorm van een r e e k s v o l g e n s de B e s s e l s e f u n c t i e s

1 ) .

Een e e n v o u d i g e b e n a d e r d e o p l o s s i n g van deze v e r g e l i j k i n g k a n

v e r k r e g e n worden door de v e r o n d e r s t e l l i n g d a t "^q/^» ®t ^opp^'^*/^

en ^"X k l e i n z i j n i n v e r g e l i j k i n g t o t de e e n h e d e n . Na o n t l e d i n g

i n r e e k s e n en b e r e k e n i n g van a l l e e n de l e d e n t o t en met de tweede

o r d e van k l e i n h e i d , k r i j g e n we de u i t d r u k k i n g :

z _ = -'S* + r _ c o s ( k y - ( r t ) - y © - k17^r « i n ( k y - C ' t ) ( 6 ? )

opp o • ^ O u

w a a r i n z ^ ^ ^ i n d u i d e l i j k e vorm v o o r g e s t e l d wordt»

1 ) .

Z i e b i j v . L.K. L o j s j a n s k i j en A . I . L o e r j e .

T h e o r e t i s c h e m e c h a n i c a d e e l I I OHTI

U i t g a v e g a s t c o l l e g e

1 9 3 4 ,

12

12

-S a m e n a t e l l i n g van de v e r g e l i j k i n g e n met een n a u w k e u r i g h e i d t o t en

met de l e d e n van de tweede o r d e van kleinheid»

De bovengenoemde v e r g e l i j k i n g e n worden i n p r i n c i p e g e b r u i k t OB

de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n met een w i l l e k e u r i g e g r a a d van n a u w k e u r i g

h e i d v a s t t e s t e l l e n . De m o e i l i j k h e i d , b i j de b e p a l i n g v a n z u i t

opp

v e r g e l i j k i n g

( 6 7 )

kwam b i j A.N. K r i l o f en de m e e r d e r h e i d v a n z i j n

n a v o l g e r s voor b i j de v e r w a a r l o z i n g v a n a l l e l e d e n van de orde

bo-ven de e e r s t e v o l g e n s de v e r h o u d i n g ^ /A

"V /'\ t z

, en

t^„/'\''

0 A

opp li

I n h e t o n d e r h a v i g e w e r k k r i j g e n we v e r g e l i j k i n g e n van s c h e e p s b e w e

-g i n -g e n met een n a u w k e u r i -g h e i d van de l e d e n t o t en met de tweede orde

van k l e i n h e i d z o w e l b i j de aangegeven v a r i a b e l e n , a l . i j de h e l l i n g a

hoek

0 .

W i j merken op d a t , d a a r w i j de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n

( 1 2 ) ,

( 1 3 )

en

( l 4 )

wensen samen t e s t e l l e n met een n a u w k e u r i g h e i d t o t en

• e t de l e d e n van de tweede o r d e van k l e i n h e i d , h e t n o d i g i s i n d e z e

i n t e g r a a l v e r g e l i j k i n g e n een b e r e k e n i n g van de i n t e g r a l e n u i t t e

v o e r e n met een n a u w k e u r i g h e i d t o t en met de e e r s t e orde v a n k l e i n ¬

h e i d , a a n g e z i e n een k l e i n e v e r m e n i g v u l d i g e r

cL -

— r — ^ v o o r

• A

s t a a t , d i e v o o r s t e l t de m a x i m a l e hoek van g o l f h e l l i n g , w e l k e r e e d s

de e e r s t e o r d e van k l e i n h e i d b e z i t ,

We r i c h t e n ons nu op h e t b e r e k e n e n van i n t e g r a a l

( 4 7 ) .

O v e r e e n

-k o m s t i g

( 4 4 )

wordt v e r k r e g e n :

P „ d v-ï ƒ e

- ' " - ' 1

- i ' ' > d , ,

en n a v o r m v e r a n d e r i n g v a n de u i t d r u k k i n g voor met de aangenomen

g r a a d van n a u w k e u r i g h e i d , v e r k r i j g e n w i j :

P^ = / e"^'* e^ ^®'d v"^ / ( I + i k ö ) e - ^ d v = A + i k © A ,

( 6 8 )

*o V V

w a a r i n :

/

V e d

= A

( 6 9 )

J

r

d

= A.

( 7 0 )

V '

13

13

-G e b r u i k s a k e n d van a f h a n k e l i j k h e i d (39) v i n d e n w i j v o o r de

u i t d r u k k i n g A^:

A ^ = 7 . - ^ " d

O

v = / e - ^ ^ - * i y ^ d v = / e - ^ ^ - ^ ^ ^ d V =

V V

- e ^ c o s k y - i s i n k y ) d V = ^

" c o s k y d v - i / e ' ^ ^ s i n k y d v

V V V

O O O

( 7 1 )

s y m m e t r i e van de i n h o u d V t e n o p z i c h t e van h e t d i a m e

-o

t r a a l - v l a k z i j n de i n t e g r a l e n van oneven f u n c t i e s van de v a r i a b e l e

y o v e r de i n h o u d V , g e l i j k a a n n u l . Daarom v o l g t u i t ( 7 1 ) :

li

c o s k y d v

( 7 2 )

V

O

Beschouwd wordt de tweede i n t e g r a a l , d i e i n u i t d r u k k i n g

( 6 8 )

i n g e v o e r d i s , n a m e l i j k i n t e g r a a l A^. Door r e k e n i n g t e houden met a f i j

h a n k e l i j k h e i d

( 3 9 )

i s h e t m o g e l i j k deze i n t e g r a a l t e s c h r i j v e n i n

A, = / ( z + i y ) e - ^ ^ ^ i y ^ d v ,

O

a een r e e k s b e w e r k i n g e n :

A^= ^ e ' ^ * ( z COS k y + y s i n k y ) d v + i y e"*

o f na een r e e k s b e w e r k i n g e n

( y c o s k y - z s i n k y ) d ^

° ( 7 3 )

A a n g e z i e n de tweede i n t e g r a a l , wegens s y m m e t r i e van de i n h o u d

v a n h e t s c h i p en oneven f u n c t i e s onder de i n t e g r a a l , g e l i j k i s aan

n u l , zo i s :

V

O

k z

( z c o 8 k y + y s i n k y ) d v ( 7 4 )

We k e r e n nu t e r u g t o t de b e r e k e n i n g van de i n t e g r a a l en k r i j g e n : ]

3

= ƒ

e - ^ ^ « ' ' % v : ^ / e - ^ ' ' d v . i k e / e"^'*

^ ' t ^

d

14

-; i e n

f

^h

( 7 5 )

y )

j e d v = / d s . /

d

( 7 6 )

J

( 7 7 )

( y , t ) e - ^ ^ y d s = - y

f

+ r ^ ^ c o s ( k y C t )

c o s k

/

P

y ö

k y d

c o s k y d s f c o s C t / c o s k y d s

-i

2 (

- i r _ s i n C t J s i n k y d s + i ö / y s i

i n

y

15

-I n g e v o e r d w o r d t de a a n d u i d i n g

f

c o s k y d s =

J

s±n^ k y d s =

ƒ

f

y s i n k y d s = B

V.

o

2

Q

3 G o

1

-t

a

J

T

^s

V /

r . f . I

t

+ 9 y

/ds = S, I

= 16

2

X

\ \ \

=

( 8 1 )

( 8 1 ) : ,

J

( 8 2 )

j

r

t • \

y

17

--

1 7

' f y s i n k y c o s k y d s = || f cos^y As = B^.

/ 2

0,

\

/ 2

= ( 8 4 )

)

( J ^

5

Op grond van (46) kan g e s c h r e v e n worden: o "t t Bedenkend d a t : -kw - k ( ? H e O = e O •^o^

t

+ k ( T

+

± 7

)

en na s u b s t i t u t i e van de waarde voor (79) k r i j g e n we: t ^1 = ^ ^ ^ - ^ o ) - ^ I o^ 2 '"G^5 c o s C t + i e(k H B^ ) -- i B s i n C ^ t G O V e r d e r v i n d e n we: ( w ^ . w ^ ) _ S ^ = - Z g ,

(86)

(87)

We b e p a l e n de g r o o t t e van de tweede d a a r b i j t e voegen u i t d r u k k i n g

( 6 0 ) . I n o v e r e e n s t e m m i n g met ( 8 5 ) 1 » : ^ - ( k w^ + i e) U [-1 - k ( 5 ' ^ + i 7^ ^ ) - i 9 X L + 3r B^ - r ^ A ^ c o s G ' t + + i( k 9 A ^ + 9 B 2 - G ^ ^ s i n t ) Na v e r m e n i g v u l d i g i n g en g r o e p e r i n g van o v e r e e n k o m s t i g e l e d e n en na s u b s t i t u t i e van (86) en (87) i n (69), v i n d e n we: k Ap - z ( k A. + B A ) -5 g 1 1 O - ( A ^ - B ^ ) ]^\[- Z g( A 2- k A^ )-.B^ - A ^ k] - i y^ [ - k A^ z ^ + k A^ - ( - r g Z g A j + rQAi^)cosG' t + i r Q( + Z g B^ - A^ ) s i n ö ' t ; We v o e r e n a a n d u i d i n g e n i n v o o r de c o n s t a n t e n : "- z (A + A . ) = g O I

J 1

A5

(88)

-- 19 " - z k A + k A. = Rj^; O

' J

(89)

=-yo^^

cos

<j

't

(e

+ s i n < J ' t

( R ^ + y^R^ - R^ c o s C j

't

) J

(90)

/

-

) -

-

- Zg)

dv}

( y l )

= ï ^

V

ƒ

® I

)

>

20

. 20 Wegens s y m m e t r i e v a n de i n h o u d V m e t b e t r e k k i n g t o t h e t d i a -m e t r a a l v l a k i s h e t s t a t i s c h -mo-ment t o t d a t v l a k g e l i j k a a n n u l , d.w.z. y d v = O, en d a a r o m : w a a r i n z a f s t a n d i s v a n h e t d r u k k i n g s p u n t o n d e r de g e l a d e n l a s t -c l i j n b i j e e n b e p a a l d e v e n w i c h t . We m e r k e n o p , d a t D = ƒ e n ( z - z ) g e l i j k i s a a n de a f s t a n d « , d a t i s de a f s t a n d t u s s e n h e t c g z w a a r t e p u n t e n d r u k k i n g s p u n t e n k r i j g e n : = - D « © O

(92)

/

/ z d v . y z g © /

(93)

S Z

t o p p

/

ƒ

J

We d u i d e n h e t t r a a g h e i d s m o m e n t v a n de w a t e r l i j n met b e t r e k

k i n g t o t de l e n g t e a s / d s , a a n d o o r I ^ . Dan, i n d i e n we r e k e

-n i -n g houde-n met de bove-nge-noemde a a -n d u i d i -n g e -n , k r i j g e -n we:

/ y d v = - [ f g s i n

e't

" Ö I ^ j

(9^)

^ t

B e z i e n we de t w e e d e i n t e g r a a l van u i t d r u k k i n g

(93):

i e ƒ z d v = o ƒ d s y z d z

= 0

v ^ S Z

t opp»

Deze i n t e g r a a l i s t e b e s c h o u w e n a l s g e l i j k aan n u l vanwege h e t f e i i

d a t z i j r e e d s t e r m e n van de t w e e d e o r d e v a n k l e i n h e i d b e v a t . De den

de i n t e g r a a l van u i t d r u k k i n g

(93)

i s ook i n g r o o t t e v a n de t w e e d e

o r d e van k l e i n h e i d en k a n daarom ook g e l i j k aan n u l w o r d e n g e s t e l d :

V z

0 fdv=yz e ƒ d s / 2 d z

= 0

0 s 4 0 s s i

t o p p .

Na s u b s t i t u t i e yan de w a a r d e v a n de i n t e g r a a l i n u i t d r u k k i n g

(93)

c n r e k e n i n g h o u d e n d met de aangenomen n a u w k e u r i g h e i d s g r a a d k r i j g e n

we met b e h u l p v a n

(92)

en de b e t r e k k i n g = + •

o t

Q = -

Da© +-y©

- ^ f g B ^ s i n C t

(95)

l x

I n d i e n v/e r e k e n i n g h o u d e n met

f = "7^

w a a r i n ^ de d w a r s m e t a c e n t e r

-r a d i u s i s , k -r i j g e n we:

Q = D ( ^ - 5 . ) o

- ijTgB^

sinCJ't

(96)

V e r v o l g e n s i s op t e m e r k e n , d a t a a n g e z i e n de i n h o u d v ^ z i c h

v o o r d o e t a l s k l e i n v a n de e e r s t e o r d e , de i n t e g r a a l v o l g e n s de i n

-h o u d V k l e i n v a n de t w e e d e o r d e , b i j de g e m a a k t e v e r o n d e r s t e l l i n ¬

gen n i e t t e b e p a l e n i s en d i t g e e f t n i e t de m o g e l i j k h e d e n om de

v e r a n d e r i n g v a n de m e t a c e n t e r h o o g t e van de i n h o u d v ^ n a u w k e u r i g e r

t e o n d e r z o e k e n o

Het h a n d h a v e n i n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n van de l e d e n v a n

de d e r d e o r d e v a n k l e i n h e i d s t a a t toe om i n de i n t e g r a a l v o l g e n s v^

t e r e k e n e n met de t w e e d e o r d e van k l e i n h e i d en dus n a u w k e u r i g e r de

v e r a n d e r i n g v a n de m e t a c e n t e r h o o g t e n van de i n h o u d v ^ t e b e r e k e n e n ,

22

-H e t i s m o g e l i j k , d a t h i e r m e d e n i e u w e a s p e c t e n t e o n t d e k k e n z i j n

v a n de b e w e g i n g s v o o r v / a a r d e n , H e t a a n g e g e v e n v r a a g s t u k z a l h i e r e c h

-t e r n i e -t b e s c h o u w d v/orden.

Met g e b r u i k m a k i n g v a n h e t g e e n h i e r b o v e n g e v o n d e n i s , gaan

de

u i t d r u k k i n g e n na s a m e n s t e l l i n g o v e r i n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n

-gen v a n de s c h e e p s b e w e g i n g e n o Voor

h e t

s a m e n s t e l l e n v a n de

twee e e r

-s t e b e w e g i n g -s v e r g e l i j k i n g e n

(12)

en

(13)

v i n d e n we de g r o o t t e

v a n

I

i n o v e r e e n s t e m m i n g met

( 3 2 ) , (91)

en

( 3 8 ) .

I = - YpL J i A

c o s G '

t - A

s i n C

t - i k A ^

c o s C

t + k A 3 s i n C j

t +

U o J o

O o o 0"^ O

+ k A W c o s C t + i k A 77 s i n t ^ t + i AcosCJt A s i n C f t

-o

^ o o t o

- ' o 2 - ' o 2

- i r„ A-jCos

^Ct

r ^ A - C o s C t s i n C J t - k A.O

c o s ^ t ^

i k A.O sinC

^t

-(j ^ -(j ^

1 1. .

- 0

B . c o s C j t - i

0

B . s i n O t + r „ B c o s C t s i n G t + i B

s i n ^ C '

t \

1 1

UI o

1

(97)

Het reële en i m a g i n a i r e d e e l v a n de l a a t s t e u i t d r u k k i n g z i j n :

R I = - Y o i <- A s i n C t + k A ^

s i n C t

+ k A 77 oosCt -5 A _ s i n

t ¬

e ^ o l o 0*^0 o ( o

o 2

- 0

( k A . + B, ) c o s C ? t ^ f r „ ( A , ^ B ) s i n 26*t .

(98)

T

l

0

I I = Vo^ ik cosCTt k A y cosCït 77 s i n ' ^ ' t + V'A^COS <^t

-m

( | o | o o ' ' o

oio

' ' 0 2

- 0

( k A ^ + B j s i n G * t - r,A

,cos

^(T

't

+ r^B s i n ^ t j

' t

f

(99)

1

1

p

0

J

D a a r : /•

-V^

=

E = ^

7 7'

d v =

I ,

g (G ' g

u 'G

e •

t

k r i j g t

de

d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g na s u b s t i t u t i e v a n

(98)

de vorm:

-V„ = - VoL l- k s i n C t + k A

T s i n C

^ t + k A

77

c o s

C f t

-g t G

Q

o l 0 0

"'o

-T A _ s i n C t -

0

( k A- + B.

) c o s ö ' t -

i r _ ( A - , - r B ) s i n 2

(5't

V

0 2 1 1

0

1

(100)

23

-H e t r e c h t e r d e e l v a n de b e v / e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n h e t s c h i p

( 2 ) ,

z a l o v e r e e n k o m s t i g

( 1 3 ) , ( 8 0 ) en ( 9 9 )

z i j n : Z = D - V V + I I . Op deze

(/ X> Dl

w i j z e

i s :

+ y " ? S

=yr

A

-cosCTt -

c o s ö ' t

- k

"If

cos<^t +

g ^'g

f

O

G

2

+ k A

7

s i n C 7 t + ^ T A

- c o s C t -

0 ( k A . + B

. ) s i n C 5 ' t

-o t -o

~ir„ ( A , - B ) + ( A , + B

)cos2<5

't y

( 1 0 1

GL

3

3

J

We s t e l l e n

de

u i t d r u k k i n g samen,

d i e

i n h e t r e c h t e r d e e l v a n v e r g e

-l i j k i n g ( 1 4 ) g e v o r m d

i s .

Dan neemt a l s r e s u l t a a t v a n e e n v o u d i g e

v o r m v e r a n d e r i n g e n , h e t d e r d e d e e l v a n

de

b e v / e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n

een s c h i p ,

de

vorm a a n :

I

ö

+ D ( ^ - 5

.)Q =

-^o^^.

R ^ s i n C T t - Y o R i ^ c o s C t +

X

^R^sinC t +

+ 0 l ? 2 C o s 0 ' t +

i r^iE^

- R ^ ) s i n

2^

t ,

+ ^ r ^ B

^ s i n C r t

(102

I n o v e r e e n s t e m m i n g met

( 2 8 )

en

( 2 9 )

k r i j g e n we met e e n n a u w k e u r i g

-h e i d v a n de l e d e n t o t en met de t w e e d e o r d e v a n k l e i n -h e i d :

7

- z

e

's

e

p

J g ^

g 2

Voor b e p a l i n g v a n de vorm v a n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n e e n

s c h i p i n t r o d u c e r e n we l n p l a a t s v a n en n i e u w e a l g e m e n e

coör-d i n a t e n ^ * » ^ • v o l g e n s coör-de f o r m u l e s :

7 ' = 7 „

- V

U i t

( 1 0 3 )

en

( 1 0 4 )

k r i j g e n we:

en dan k a n de u i t d r u k k i n g v o o r S en ^ o p n i e u w g e s c h r e v e n w o r d e n

o '

i n de v o r m :

2k -+ z Q g 3 = J • + z •^o J • g 2 ( 1 0 6 ) Na s u b s t i t u t i e v a n de w a a r d e n ^n i n v e r g e l i j k i n g ( l O O ) , ( 1 0 1 ) e n (102) e n b e r e k e n i n g v a n de l e d e n t o t e n met de t w e e d e o r d e v a n k l e i n h e i d , n a i n v o e r i n g v a n e e n c o r r e c t i e a l s de t o e g e v o e g d e w a t e r m a s s a , n a h e t i n b r e n g e n v a n w e e r s t a n d s k r a c h t e n , e v e n r e d i g e e e r - | s t e g r a a d s s n e l h e d e n e n v e r v a n g i n g v a n oL^ d o o r i n o v e r e e n s t e m -m i n g -m e t (23) e n ( 1 9 ) » n a g r o e p e r i n g e n w e g l a t i n g v a n l e d e n h o g e r d a n de t w e e d e o r d e v a n k l e i n h e i d , i n t r o d u c e r e n w i j de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v a n e e n s c h i p i n d e f i n i t i e v e v o r m . I ) e V e r g e l i j k i n g v a n h e t v e r z e t t e n : (£ + M ) ^ , + R ^ : j ? , . - ^ ^ r ( . | - A ^ s i n C r t + y ' , ( | ^ \ ^ - A 2 ) 3 i n ( r t +

2 2 2

.^i^-^r^iA^

r

^-x

. - 3 r

^ ( ^ A

( g o

3

25 -+ i TQi'R^- 'R^)s±n2(3t • ( 1 0 9 ) w a a r i n : - t o e g e v o e g d e m a s s a b i j gemengde v e r z e t - e n d o m p b e w e g i n g e n v a n e e n s c h i p , A I - c o ë f f i c i ë n t m a s s a t r a a g h e i d s m o m e n t v a n h e t w a t e r b i j s l i n ^ g e r b e w e g i n g e n , R ^ , R Q c o ë f f i c i ë n t v a n de w a t e r w e e r s t a n d o v e r e e n k o m e n d met g e -mengde v e r z e t - , domp- e n s l i n g e r b e w e g i n g e n . V e r g e l i j k i n g ( 1 0 ? ) , ( 1 0 8 ) e n ( 1 0 9 ) v o r m e n h e t g e z o c h t e s y s t e e m v a n de d r i e s a m e n g e v o e g d e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n v a n e e n s c h i p , o n t w i k k e l d m e t e e n n a u w k e u r i g h e i d v a n de l e d e n t o t e n m e t de t w e e d e o r d e v a n k l e i n h e i d . I n t e r e s s a n t e b i j z o n d e r h e d e n v a n de v e r k r e g e n s y s t e m e n , d i e z i c h o n d e r s c h e i d e n v a n de g e b r u i k e l i j k e t o e p a s s i n g e n , komen t e v o o r s c h i j n l ) , d a t z i j n i e t u i t e e n v a l l e n i n o p z i c h z e l f s t a a n d e v e r g e l i j k i n -g e n , m a a r z o d a t i n a l l e v e r -g e l i j k i n -g e n a l l e -g e z o c h t e f u n c t i e s v o o r k o m e n , 2 ) . de a a n w e z i g h e i d v a n l e d e n , v a n b e t r e k k e l i j k l i n e a i r e g e z o c h t e f u n c t i e s met v e r a n d e r l i j k e c o ë f f i c i ë n t e n i n a l l e v e r g e l i j k i n g s s y s t e m e n . We m e r k e n o p , d a t i n d i e n i n de v e r k r e g e n v e r g e l i j k i n g e n ( 1 0 ? ) , ( 1 0 8 ) e n ( 1 0 9 ) de l e d e n w e g g e l a t e n w o r d e n b o v e n de e e r s t e o r d e , w i j komen t o t e e n s y s t e e m v a n d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n met p e r m a n e n -t e c o ë f f i c i ë n -t e n , d i e w a -t k a r a k -t e r b e -t r e f -t p r e c i e s o v e r e e n k o m -t me-t de l i n e a i r e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n v a n e e n s c h i p , g e g e v e n d o o r A,N. K r i l o f . B i j h e t o n d e r z o e k v a n de a a n g e g e v e n v e r g e l i j k i n g e n met de met h o d e v a n P o e a n k e r w a s e e n p r e r i o d i e k e o p l o s s i n g g e v o n d e n v a n o v e r -e -e n k o m s t i g g -e s t a b i l i s -e -e r d -e b -e w -e g i n g -e n -e n i s a a n g -e t o o n d , d a t d-e v r a a g o v e r de r e s o n a n t i e - p a r a m e t e r s i n w e z e n o v e r e e n k o m t m e t de v r a a g o v e r de s t a b i l i t e i t v a n p e r i o d i e k e o p l o s s i n g s s y s t e m e n ( 1 0 ? ) » ( 1 0 8 ) , ( 1 0 9) 0 26

-_ 26 . H i e r b i j w o r d t v a s t g e s t e l d , d a t men de v r a a g o v e r r e s o n a n t i e -p a r a m e t e r s v a n e e n s c h i -p n i e t m o e t o -p l o s s e n d o o r m i d d e l v a n h e t o n d e r z o e k v a n één v e r g e l i j k i n g v a n de t w e e d e o r d e , i n v o l d o e n d s t r i n g e n t e o p s t e l l i n g o v e r e e n k o m e n d met de s l i n g e r b e w e g i n g v a n een s c h i p , m a a r d o o r m i d d e l v a n b e s t u d e r i n g v a n w i j z e n v a n o p l o s s i n g d e r d r i e v e r g e l i j k i n g s s y s t e m e n v a n de t w e e d e o r d e o A l s g e v o l g d a a r v a n z i j n de v e r k r e g e n f o r m u l e s e r v o o r de b e r e k e n i n g v a n de w a a r d e n d e r g o l f f r e q u e n t i e s , w e l k e k u n n e n o v e r e e n -komen met de z o n e s v a n r e s o n a n t i e - p a r a m e t e r s , (J* = 2 üüX = 2iO

max max

r?