Zad. 1 Nast¸epujące pary nie są grupami. Proszę uzasadnić dlaczego? a) (Z11·)· mnożenie modulo 11
b) (Z14∗ , ·), Z14∗ = Z14\{0}.
Zad. 2 Proszę przedstawić permutację
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 9 12 2 1 6 9 3 11 7 5 10
jako iloczynu transpozycji.
Zad. 3 Niech h : C4→ C4 dane będzie wzorem: h(z) = ¯z3/z3. Pokazać, że h jest homomorfizmem. Opisać jądro i obraz h.
Zad. 4 Obliczyć rząd elementu: t =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 6 4 7 5 2 1 9 0 8
w grupie permutacji liczb{0... 9}. Zad. 5 Udowodnić, że zbiór:
{ i 0 0 −i , −1 0 0 −1 , −i 0 0 i , 0 1 1 0 , 1 0 0 1 , 0 i −i 0 , 0 −i i 0 , 0 −1 −1 0 } jest podgrupą GL(2, C). Opisać centrum.
Zad. 6 Ile elementów ma zbiór Hom(Z3, S4). Zad. 7 Ile elementów ma grupa GL(2, Z5).
Zad. 8 Niech Sn bedzi¸e grup¸a permutacji. Udowodnić, że jeśli n > 2 to
centrum Z(Sn) = 0.
Zad. 9 Funkcja x→ log(|x|) opisuje homomorfizm h : (R∗, ·) → (R, +).
Oblicz kerh, co to jest R∗/kerh ?
Zad. 10 Ile elementów ma podgrupa grupy GL(2, Z5) składająca się z ma-cierzy o wyznaczniku 1.
Zad. 11 Opisać wszystkie grupy rzędu 4. Zad. 12. Oblicz rząd elementu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 4 5 6 7 10 11 12 13 1 2 8 9
Zad. 13 Podać przykład grupy H nie abelowej nieskończonej, której centrum Z(H) jest Z, a iloraz H/ZH jest izomorficzny z Z2. Wsk. Grupa Heisenberga.
Zad. 14 Wskazać (o ile istnieje nietrywialny homomorfizm f : Z30→ Z5.
Wsk. Czy w grupie Z30 istnieje podgrupa rzędu 6 ?
Zad. 15 Udowodnić, że jeżeli Z jest grupą liczb wymiernych z dodawaniem jako działaniem dwuargumentowym, to wszystkie elementy w grupie ilorazowej O/Z są rzędu skończonego.
Zad. 16 Ile istnieje epimorfizmów (homomorfizmów „na”) f : Z141→ Z11. Zad. 17 Udowodnić, że przemienna grupa G rzędu 12 zawierająca element rzędu 4 jest cykliczna.
Zad. 18 Udowodnić, że dowolne grupy przemienne rzędu 25 zawierające tyle samo elementów rzędu 5 są izomorficzne.
Zad. 19 Ile jest elementów rzędu 25 w grupie Z5× Z125.
Zad. 20 Udowodnić, że zbiór{γ, γ4, γ7, γ10} jest warstwą względem pewnej podgrupy grupy cyklicznej Z12=γ
Zad. 21 Udowodnić, że istnieje nietrywialny homomorfizm f : Z30→ Z5. Zad. 22 Udowodnić, że dwie przemienne grupy rzędu 625 zawierające tyle samo elementów rzędu 5 są izomorficzne.
Zad. 23 Udowodnić, że każda grupa rzędu 21 jest przemienna. Zad. 24 Czy każda grupa rzędu 12 jest przemienna?
Zad. 25 Czy Z5× D14 D70.
Zad. 26 Czy istnieje epimorfizm f : Z4× D10→ Z20? Zad. 27 Czy Z2× D10 D20?
Zad. 28 Czy kazda bijekcja f grupy Z2× Z2 w siebie spełniająca warunek f(e) = e jest izomorfizmem ?
Zad. 29 Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykazać, że istnieją dokładnie dwie (z dokładnością do izomorfizmu) grupy rzędu p2.
Zad. 30 Wyznaczyć wszystkie (z dokładnością do izomorfizmu) grupy rzędu 8.
Zad. 31 Wykazać, ze poniższa lista podaje wszystkie (z dokładnością do izomorfizmu) grupy rzędu n dla 2 n 9.
n = 2 − C2, n = 3 − C3, n = 4 − C4, C2⊕ C2, n = 5C5, n = 6 − C6, S3, n =
7− C7, n = 8 − C8, C4⊕ C2, C2⊕ C2⊕ C2, grupa kwaternionów, grupa izometrii kwadratu, n = 9− C9, C3⊕ C3.
Zad. 32 Następujące permutacje rozłożyć na cykle rozłączne: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 7 8 5 1 6 b) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 8 3 6 7 4 5 1
Zad. 33 Dane są permutacje p = 1 2 3 4 5 6 2 6 4 1 3 5 , s = 1 2 3 4 5 6 3 2 6 5 1 4 , t = 1 2 3 4 5 6 6 5 3 4 1 2 . Wyznaczyć permutacje ps, st, pst, p−1st−1, a następnie każdą z nich rozłożyć
na cykle rozłączne.
Zad. 34 Następujące permutacje przedstawić w postaci iloczynu transpozycji: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 8 3 6 7 4 5 1 , b)(1, 2, 3)(2, 5, 4)(1, 3, 6)(2, 3). Zad. 35 W zbiorze permutacji liczb 1,2,3,4,5,6 rozpatrujemy następujące cykle p = (1, 3, 6, 4), r = (2, 4, 5), s = (1, 2, 4, 6), t = (3, 4, 5). Wyznaczyć per-mutacje psr, spt, ptrs−1, a następnie każdą z nich rozłożyć na cykle rozłączne. Zad. 36 Dowieść, że cykl długości n jest permutacją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą nieparzystą.
Zad. 37 Udowodnić, że jeżeli permutacją jest iloczynem k cykli rozłącznych długości r1, r2, . . . , rk odpowiednio, to jest ona permutacją parzystą wtedy i
tylko wtedy, gdy k + r1+ r2+ . . . + rk jest liczbą parzystą.
Zad. 38 Niech n będzie liczbą pierwszą. Wykazać, że jeśli G jest podgrupą grupy Sn zawierającą cykl długości n i transpozycję, to G = Sn.
Zad. 39 Wykazać, że jeśli s jest cyklem długości n, t dowolną permutacją, to tst−1 jest cyklem długości n.
Zad. 40 Podać przykład takich dwóch permutacji parzystych, które są sprzę-żone w grupie Sn, ale nie są sprzężone w grupie An.
Zad. 41 Wykazać, że dwie permutacje są elementami sprzężonymi w grupie Sn wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na cykle rozłączne każdej z nich
występuje ta sama liczba cykli i każdemu cyklowi w rozkładzie jednej można jednoznacznie przyporządkować cykl tej samej długości w rozkładzie drugiej.
Zad. 42 Wyznaczyć klasy elementów sprzężonych grupy a) S3, b) S4, c) S5. Zad. 43 Wykazać, że jeśli permutacja t∈ Sn w rozkładzie na cykle rozłączne
zawiera cykle długości k1, k2, . . . , kn, to rząd elementu t w grupie Sn jest równy
najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb k1, k2, . . . , kn.
Zad. 44 Wykazać, że jeśli q = pn gdzie p jest liczbą pierwszą, to każdy element rzędu q w grupie Sq jest cyklem długości q. Czy założenie o liczbie q jest istotne?
Zad. 45 Wykazać, że grupa Sn ma tylko jedną podgrupę indeksu 2.
Zad. 46 Wyznaczyć wszystkie dzielniki normalne grupy a) S3, b) S4. Zad. 47 Wyznaczyć centrum grupy Sn.
Zad. 48 Wskazać izomorfizm grupy G z odpowiednią grupą permutacji, gdy G jest grupą:
a) cykliczną rzędu n, b) czwórkową, c) izometrii własnych trójkąta równobocz-nego, d) izometrii własnych kwadratu.
Zad. 49 Wykazać, że wszystkie macierze nieosobliwe stopnia n o współczyn-nikach z ciała K tworzą grupę względem mnożenia macierzy. Grupę tę nazywa-my pełną grupą liniową i oznaczanazywa-my przez GL(n, K) lub w przypadku, gdy K jest ciałem q–elementowym, przez GL(n, q). Określić rząd grupy GL(n, q).
Zad. 50 Niech p będzie liczbą pierwszą, q = pm, Wykazać, że macierze ma-jące jedynki na głównej przekątnej i zera pod przekątną tworzą maksymalną p–podgrupę grupy GL(n, q).
Zad. 51 Wykazać, że macierze stopnia n o współczynnikach z ciała K i wyznaczniku równym 1 tworzą grupę. Grupę tę nazywamy specjalną grupą li-niową i oznaczamy przez SL(n, K), a w przypadku ciała q–elementowego przez SL(n, q). Wykazać, że rz(SL(n, q)) = 1
q−1
n−1
i=0(qn− qi).
Zad. 52 Który z następujących zbiorów macierzy kwadratowych stopnia n o współczynnikach z pewnego ciała K tworzy grupę względem mnożenia macierzy:
a) zbiór wszystkich macierzy,
b) zbiór macierzy nieosobliwych, tzn. o wyznaczniku = 0, c) zbiór macierzy o wyznaczniku równym 1,
d) zbiór macierzy, których wyznaczniki należą do pewnej podgrupy grupy mul-typlikatywnej K∗= K− {0},
e) zbiór macierzy ortogonalnych, tzn. takich, żenj=1aij· akj = σik,
f) zbiór macierzy nieosobliwych trójkątnych (górnych), tzn. takich, że aij = 0 dla i > j.
Zad. 53 W zbiorze liczb całkowitych określamy działanie a◦ b = a + b + 2. Czy zbiór liczb całkowitych tworzy grupę względem tego działania ?
Zad. 54 a) NiechG1, ◦, e1 i G2, 2, e2 będą grupami. Udowodnić, że zbiór par (g1, g2), gdzie g1∈ G1, g2∈ G2, tworzy grupę względem działania okre-ślonego wzorem
(g1, g2) (g1, g2) = (g1◦ g1, g22g2).
Grupę tę nazywamy sumą prostą grup G1 i G2, i oznaczamy G1⊕ G2. b) Niech ogólniej G1, 1, e1, G2, 2, e2, . . . , Gn, n, en będzie
skończo-nym ciągiem grup. Wykazać, że zbiór ciągów (g1, g2, . . . , gn), gdzie gi ∈ Gi
tworzy grupę względem działania określonego wzorem
(g1, g2, . . . , gn)◦ (h1, h2, . . . , hn) = (g11h1, g22h2, . . . , gnnhn). Grupę tę nazywamy sumą prostą grup G1, G2, . . . , Gn i oznaczamy
Zad. 55 Niech G będzie zbiorem liczb rzeczywistych r spełniających nierów-ność 0 r 1. W zbiorze G określamy działanie
r1◦ r2=
r
1+ r2 dla r1+ r2< 1
r1+ r2− 1 dla r1+ r2 1
Udowodnić, że G tworzy grupę względem działania o (por. zad. 26 oraz 5. 16).
Zad. 56 Udowodnić, że jeśli dta każdego elementu a grupy G jest a2 = e, gdzie e jest elementem jednostkowym grupy G, to G jest grupą przemienną.
Zad. 57 Wykazać, że jeśli w grupie jest dokładnie jeden element rzędu 2, to jest on przemienny z każdym elementem grupy.
Zad. 58 Przez izometrię własną figury płaskiej (przestrzennej) rozumiemy taką izometrię płaszczyzny (przestrzeni}, w której obrazem rozważanej figury jest ona sama. j Wyznaczyć grupę wszystkich izometrii własnych
a) prostokąta (nie będącego kwadratem), b) trójkąta równobocznego,
c) kwadratu.
Zad. 59 Wyznaczyć grupę izometrii własnych
a) prostopadłościanu, którego, trzy krawędzie wychodzące z jednego wierz-chołka mają długości parami różne,
b) prostopadłościanu mającego w podstawie kwadrat, ale nie będącego sześcia-nem.
Zad. 60 Czy tworzy podgrupę grupy liczb rzeczywistych względem dodawa-nia
a) zbiór liczb wymiernych, b) zbiór liczb całkowitych, c) zbiór liczb naturalnych,
d) zbiór liczb postaci a + b√2, gdzie a, b∈ Z, e) zbiór liczb dodatnich?
Zad. 61 Centrum grupy G nazywamy zbiór tych elementów G, które są prze-mienne z dowolnym elementem G : Z(G) ={a ∈ G :g∈Gag = ga}. Wykazać, że Z(G) jest podgrupą grupy G.
Zad. 62 Wyznaczyć centrum a) grupy izometrii własnych trójkąta równo-bocznego,
b) grupy izometrii własnych kwadratu.
Zad. 63 Wyznaczyć centrum grupy macierzy postaci
10 a b1 c 0 0 1
Zad. 64 Wyznaczyć centrum grupy macierzy nieosobliwych stopnia n o współ-czynnikach z ciała K.
Zad. 65 Udowodnić, ze centrum sumy prostej grup G1i G2jest równe sumie prostej centrum grupy G1, i centrum grupy G2.
Zad. 66 Niech X będzie podzbiorem zbioru elementów grupy G. Centraliza-torem podzbioru X w grupie G nazywamy zbiór ZG(X) tych, elementów.grupy G, które są przemienne z każdym elementem podzbioru X : ZG(X) ={g ∈ G :
gx = xg}.
W szczególności, gdy X ={x} jest podzbiorem jednoelementowym, wtedy ZG(x) nazywamy centralizatorem elementu x.
Dowieść, że centralizator dowolnego podzbioru X grupy G jest podgrupą grupy G.
Zad. 67 Normalizatorem podgrupy H grupy G nazywamy zbiór tych ele-mentów g ∈ G, że gH = Hg : NG(H) = {g ∈ G : gH = Hg. Dowieść, że
normalizator podgrupy H grupy G jest podgrupą zawierającą centralizator tej podgrupy.
Zad. 68 Niech H1 i H2 będą podgrupami grupy G. Wykazać, że H1H2 = {h1h2 : h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy
H1H2= H2H1.
Zad. 69 Rozpatrzmy zbiór przekształceń prostej x → ax + b, gdzie a, b ∈ R, a = 0. Udowodnić, że jest to grupa przekształceń. Wykazać, ze zbiór prze-kształceń postaci
a) x→ x + b, b ∈ R, b) x → ax, a ∈ R, a = 0 tworzy podgrupę.
Zad. 70 Rozważmy na płaszczyźnie sieć przystających trójkątów równobocz-nych utworzorównobocz-nych przez trzy rodziny prostych równoległych, przy czym kolejne proste każdej rodziny są odległe o 1, a kierunki każdych dwóch rodzin tworzą kąt 60◦. Wyznaczyć wszystkie podgrupy skończone grupy izometrii własnych tej sieci.
Zad. 71 Tworzymy na płaszczyźnie sieć kwadratową, prowadząc przez punkty o współrzędnych całkowitych proste poziome oraz pionowe. W grupie izoinetrii własnych takiej sieci wskazać podgrupę a) nieskończoną, b) ośmioelementową. Wykazać, że jeśli podgrupa ma więcej niż 8 elementów, to ma ich nieskończenie wiele.
Zad. 72 Wykazać, że w zbiorze {e, e, i, i, j, j, k, k} można określić działa-nie grupowe (zapiszemy je jako mnożedziała-nie) spełniające warunki: e jest elementem jednostkowym, (e)2 = e, i2= (i)2= j2= (j)2= k2 = (k)2= e, ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik == j. Wykazać, że powyższe warunki wyznaczają
działanie grupowe’jednoznacznie.
Uwaga. Grupę opisaną wyżej nazywamy grupą kwaternionów. Elementy jej ozna-cza się zazwyozna-czaj symbolami 1,−1, i, −i, j, −j, k, −k.
Zad. 74 Udowodnić, że grupa określona w zadaniu 55 jest izomorficzna z grupą obrotów płaszczyzny dokoła ustalonego punktu.
Zad. 75 Wykazać, że zbiór U macierzy postaci
1 x 0 1
,
gdzie x ∈ K, jest podgrupą grupy T2 macierzy trójkątnych nieosobliwych stopnia 2 izomorficzną z grupą K+.
Zad. 76 Czy grupa addytywna liczb rzeczywistych jest izomorficzna z grupą multyplikatywną a) liczb rzeczywistych różnych od 0, b) liczb rzeczywistych dodatnich?
Zad. 77 W zbiorze A liczb rzeczywistych > 1 określamy działanie jak następuje: a b = ab− a − b + 2. Sprawdzić, że A jest grupą względem . Czy grupa ta jest izomorficzna z grupą R+ liczb rzeczywistych dodatnich z działaniem mnożenia?
Zad. 78 Udowodnić, że grupa izometrii własnych rombu (nie będącego kwa-dratem) jest sumą prostą dwóch swoich podgrup cyklicznych rzędu 2.
Zad. 79 Udowodnić, że grupa izometrii własnych prostokąta (nie będącego kwadratem) jest sumą prostą dwóch swoich podgrup cyklicznych rzędu 2.
Zad. 80 Czy grupa izometrii własnych n–kąta foremnego jest sumą prostą podgrupy obrotów tego n–kąta i grupy dwuelementowej?
Zad. 81 Wykazać, że grupa izometrii własnych graniastosłupa prawidłowego, którego podstawą jest n–kąt, gdzie n = 1, 2, 4, jest izomorficzna z sumą prostą grupy izometrii własnych podstawy i grupy dwuelementowej.
Zad. 82 Czy grupa G jest izomorficzna z sumą prostą pewnych swych pod-grup właściwych, gdy a) G = C6, b) G = S3, c) G jest grupą izometrii własnych kwadratu?
Zad. 83 Wskazać wszystkie izomorfizmy grupy izometrii własnych prostokąta na grupę izometrii własnych rombu. (Zakładamy, że żadna z tych figur nie jest kwadratem).
Zad. 84 Wykazać, że grupa addytywna ciała liczb wymiernych nie jest izo-morficzna z sumą prostą żadnych swych podgrup właściwych.
Zad. 85 Dowieść, że grupa D(n, K) macierzy nieosobliwych diagonalnych stopnia n nad ciałem K jest izomorficzna z sumą prostą n egzemplarzy grupy multyplikatywnej ciała K.
Zad. 86 Niech H będzie podgrupą grupy F generowaną przez kwadraty wszystkich elementów F . Wykazać, że H jest podgrupą charakterystyczną. Ob-liczyć indeks H w F , gdy F jest grupą wolną rangi n.
Zad. 87 Wykazać że każda grupa jest obrazem homomorficznym pewnej gru-py wolnej.
Uwaga. Jeśli grupa G jest obrazem homomorficznym grupy wolnej F , przy ho-momorfizmie h, to obrazy wolnych generatorów grupy. F tworzą układ{gi}i∈I
generatorów grupy G. Niech{uj}j∈J będzie układem generatorów pewnej pod-grupy, której normalizator w grupie G jest równy jądru homomorfizmu h. Ukla-dem relacji dla generatorów g, nazywamy układ równości h(uj) = e, j ∈ J. Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę G.
Zad. 88 Wskazać układ generatorów i układ relacji dla grupy a) Zm, b) S3,
c) izometrii kwadratu, d) kwaternionów.
Zad. 89 Czy grupa o następujących generatorach i relacjach jest przemienna? Czy jest ona skończona?
a){x, y} : x3= e, y3= e, xyx2y2= e, b){x, y} : x3= e, y3= e, xyx2y = e, c){x, y} : x4= e, y4= e, x2y2= e, d){x, y} : x2= e, xyx = y,
