Snelheidsverticalen

1.

S N E L H E I D S V E R T I C A _L E_N .

V o o r d r a c h t d o o r ! Dr» J , J . D r o n k o r e .

B i j v e l e v r a a g s t u k k e n , d i e i n meer o f mindere mate met de vraterbeweging i n v e r b a n d s t a a n , i s h e t n o d i g ora een i n z i c h t t e hebben i n h e t v e r l o o p v a n de s n e l h e i d s ™ v e r d e l i n g , zowel i n v e r t i c a l e a l s i n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g , We z u l l e n ons h i e r b e p e r k e n

t o t de s n e l h e i d s v e r d e l i n g i n de v e r t i c a l e r i c h t i n g , z r i c h t i n g , v o o r een b e p a a l d e p l f i a t -v a n h e t s t r o o m g e b i e d . Men kan dan e -v e n t u e e l t r a c h t e n met b e h u l p ' -v a n p a r a m e t e r s , d i e v a n X en y afhang-en, om de s n e l h e i d s v e r d e l i n g i n h e t gehele g e b i e d weer t e geven. D i t

l a a t s t e z a l a l l e e n g e l u k k e n i n s p e c i a l e g e v a l l e n , b . v . i n een r e c h t r i v i e r v a k waar de s t r o o m v e r t i c a a l s t e e d s een overeenkomstige vorm h e e f t , I n r i v i e r b o c h t e n i s d i t b . v . v e e l m o e i l i j k e r en daar z a l ook de vorm v a n de s n e l h e i d s v e r t i c a a l v a n p l a a t s t o t p l a a t s

b e l a n g r i j k v e r a n d o r e n .

Van j i u i v e r p r a c t i s o h oogpunt u i t z a l h e t vaak n i e t n o d i g z i j n om een p r e -o i e s e f -o r m u l e v -o -o r deze s n e l h e i d s v e r d e l i n g ai' t e l e i d e n . M e e s t a l kan men v -o l s t a a n met de g r o o t t o van de max. s n e l h e i d o f v a n de gemiddelde s n e l h e i d . B i j " d e , h è p a l i n g van de ge-m i d d e l d e s n e l h e i d z a l ge-men e c h t e r w e l i e t s ge-moeten w e t e n o v e r h e t v e r l o o p v a n de strooge-m-- • v e r t i c a a l . Een d r i j v e r moet b . v . s t e e d s op e n i g e a f s t a n d van de bodem b l i j v e n , zoda.t -d v i c t i e f o r m u l e s t o e g e p a s t moeten v/or-den v o o r -de b e p a l i n g v a n -de gemi-d-del-de s n e l h e -d e n . B i j de w a t e r b e w e g i t i g i n een normale b o v e n r i v i e r z i j n deze r e d u c t i e f o r m u l e s e m p i r i s c h he--p a a l d , maar i n een b r a i c w a t e r g e b i e d kan men deze f o r m u l e s b . v , n i e t t o e he--p a s s e n .

I n h e t b r a k w a t e r g e b i e d h e e f t l i e t b e g r i p gemiddelde s n e l h e i d ook vaak w e i n i g z i n . l i e t kan dan voorkoinen;, dat de gemiddelde s n e l h e i d g e l i j k i s aan. n u l en t o c h aan h e t o p p e r v l a k de s n e l h e i d v r i j g r o o t i s . B i j bodem en o p p e r v l a k s t r o o m t dan h e t watf^i n t e g e n g e s t e l d e r watf^i c h t watf^i n g . B e t r e f f e n d e de max. s n e l h e watf^i d Icunnen overeenkomstwatf^ige a f w watf^i j -k i n g e n voor-komen.

I n h e t g e v a l van z o u t - en z o e t w a t e r b e w e g i n g z a l h e t dus vaak n o d i g z i j n om de s n e l h e i d s v e r d e l i n g u i t v o e r i g e r t e k e n n e n , , s p e c i a a l a l s de^bCTrog^^^der d i o h t -h e i d s v e r s c -h i l l e n b e s t u d e e r d moet worden. Ook b i j de p r a c t i s c -h e v r a a g s t u k k e n b e t r e f f e n d e h e t z a n d t r a n s p o r t en de s l i b b e w e g i n g (algemeen: beweging van me-vende s t o f f e n ) i s h e t onder a l l e omstandigheden n o d i g om de s n e l h e i d s v e r t i c a a l nauwkeuy-ig t e b e p a l e n , v o o r a l i n de n a b i j h e i d v a n de bodem. Helaas i s j u i s t i n de n a b i j h e i d v a n de bodem de s n e l h e i d s v e r t ' M a a l h e t m o e i l i j k s t v a s t t e s t e l l e n i n verband met de over h e t algemeen o n r e g e l m a t i g e vorm van de bodem,

v e r t i £ a a l jyan_^een _reoh.t j i v i e r g _ e d e e l t e _ e n ^ M j ^ h^^ V e r g e l i j k i n g der s ^ e l h e i d s v e r t i c s l e n . a) E e r s t v e r m e l d e n vre de b e i d e t h e o r e t i s c h e f o r m u l e s v o o r de s n e l h e i d s -v e r t i c a a l . Do t h e o r e t i s c h e a f l e i d i n g van de e e r s t e f o r m u l e w o r d t i n p a r , 6 i n h e t k o r t b e -h a n d e l d . Deze f o r m u l e l u i d t : I n de s l o t p a r a g r a a f , p a r . 7, w o r d t de e e n v o u d i g e r tweede t h e o r e t i s c h e s n e l h e i d s -kromme nog nader b e s p r o k e n .

I n b e i d e voorgaande f o r m u l e s s t e l t i h e t v e r h a n g v a n de r i v i e r en k een constant* ongeveer g e l i j k aan 0,4, v o o r . V e r d e r i s H de d i e p t e v a n de r i v i e r en z de hoogti boven de bodem.

Nu s t e l t ( l ) , r e s p . ( 2 ) , de f o r m u l e v o o r v a n de gemiddelde s n e l h e i d s v e r t i c a a l op een vak v a n een b o v e n r i v i e r b i j gegeven i en H. B e t r e f f e n d e deze f o r m u l e s merken we op, dat ze i n i e d e r g e v a l n i e t v o o r de gehele v e r t i c a a l g e l d e n , daar v o o r

3»

z = O, V = - Ov-; zou z i j n . B i j a f l e i d i n g v a n (1 ) en (2) v/erd n . l . aangenomen dat b i j de b o d e m - ™ = co i s , h e t g e e n o n j u i s t i s ( z i e p a r . 4 ) . Wel z a l b i j de bodem

dz dv

de waarde v a n — zeer g r o o t , maar e i n d i g z i j n , az

Deze f o r m u l e s moeten dus o n j u i s t z i j n v o o r een i n t e r v a l ( z = o, z = c ) , t e r w i j l v o o r i e d e r p r a c t i s c h g e v a l , z a l kunnen v e r a n d e r e n . Het i s v e r d e r d u i d e -l i j k , d a t ^ ook a f h a n k e -l i j k i s v a n de v e r e i s t e mate van n a u w k e u r i g h e i d , opdat v o o r h e t i n t e r v a l ( z = H , z = 6 ) de s n e l h e i d s v e r t i c a a l i n voldoende mate b e n a

-derd z a l worden.

Opgemerkt moet v e r d e r v/orden, d a t hoewel v o o r ( I ) , een meer f u n d a m e n t e -l e t h e o r e t i s c h e v e r a n t w o o r d i n g met b e h u -l p v a n de t u r b u -l e n t i e t h e o r i e gegeven k a n worden, deze f o r m u l e n i e t a l s e x a c t i n w i s k u n d i g e z i n kan worden beschouwd. Toch i s deze w e r k w i j z e , ook v a n p r a c t i s c h oogpunt u i t reeds zeer b e l a n g r i j k ; * h i e r d o o r w o r d t n . l . de m o g e l i j k h e i d geschapen dat ook v o o r meer a f w i j k e n d e g e

v a l l e n z o a l s i n p a r , 1 genoemd, t h e o r e t i s c h benaderende s n e l h e i d s v e r d e l i n g e n k u n -nen ¥rorden a f g e l e i d . E m p i r i s c h e f o r m u l e s z i j n dan n . l . m o e i l i j k op t e s t e l l e n .

B e t r e f f e n d e de tweede t h e o r e t i s c h e f o r m u l e (2) kan worden v a s t g e s t e l d dat ook h i e r v o o r een t h e o r e t i s c h e f u n d e r i n g kan worden gegeven, hoewel deze v a n minder f u n d a m e n t e l e aard i s , dan d i e welke aan ( I ) t e n g r o n d s l a g l i g t . ( z i e p a r .

6

en p a r .

7)'

V o o r l o p i g merken we nog op, dat v o l g e n s ( i ) en (2) r e s p . g e l d t :

b . Voor de s n e l h e i d s v e r d e l i n g e n i n de v e r t i c a a l z i j n i n de l o o p van

4e

Een v a n de e e n v o u d i g s t e en ook vaak meest bevredigende e m p i r i s c h e f o r m u l e s , l u i d t ;

(4)

V =

a \ J ^

a = s n e l h e i d op 1 m van de bodem, t e i ^ i v i j l q een exponent i s , d i e u i t snelheidsme¬ t i n g e n b e p a a l d moet worden. Voor onze ^ o v e n r i v i e r e n b l i j k t q m e e s t a l ongeveer 7 t e z i j n . I n h e t V l i e werd v o o r ^ ongeveer 5 gevonden, zodat ook a f w i j k e n d e waar-» den van q m o g e l i j k z i j n .

De f o r m u l e (4) werd r e e d s v r o e g t i j d i g t o e g e p a s t . Door D r . van Veen veer-den v o o r t a l r i j k e p r a c t i s c h e v o o r b e e l d e n de meest passende waardewvan q b e p a a l d en een n a d e r onderzoek i n g e s t e l d n a a r de n a u w k e u r i g h e i d van deze f o r m v i l e . ( Z i e Rappor-t e n en Mededelingen van de R i j k s w a Rappor-t e r s Rappor-t a a Rappor-t no 11), Op d i Rappor-t onderzoek z u l l e n we h i e r n i e t nader i n g a a n , V7e v e r m e l d e n a l l e e n nog, dat D r . • van Veen v o o r i e d e r g e v a l de z , g . v o l h e i d s f a c t o r l i e t b e p a l e n , n . l . h e t q u o t i e n t .

(5)

V Q gem. ^ V

q+1

max, •'•

Voor i e de re s n e l h e i d s v e r t i c a a l z i j n n . l , i^e gemiddelde s n e l h e i d Vgg^^ en de max, s n e l h e i d v g e m a k k e l i j k aan te geven. Daar n i e t van a a f h a n g t , i s met b e h u l p v a n ( 5 ) , q daarna d i r e c t t e b e p a l e n .

Uitgaande van de f o r m u l e , ^ 4 ) , . i s door D r , van Veen n i e t nader aangegeven op w e l k e h o o g t e , Zgem > <3e gemiddelde s n e l h e i d gevonden v / o r d t .

Het b l i j k t n . l . , . d a t met voldoende n a u w k e u r i g h e i d g e s t e l d kan w o r d e n :

(6)

2geni,=s^

0,4

H v o o r

4 ^ ' ^ ^ 8

Daar b i j a l l e p r a c t i s c h e vraagstuldcen b e t r e f f e n d e de s n e l h e i d s v e r t i c a a l , d i e v a n b e l a n g z i j n , q t u s s e n deze g r e n z e n g e l e g e n i s , i s h e t dus v o o r de b e p a l i n g v a n Zgem,

^'^ei;

n o d i g om q v o o r a f n a u w k e u r i g t e b e p a l e n . Na e n i g e b e r e k e n i n g w o r d t n , ! , gevonden, d a t :

(7) • t

Z o a l s bekend i s :

9

L j ry> t I ^ J \ iz> P > 2odat v o o r Ö ^ , c v ^ ~ O S'i H Voor G/m V w o r d t g c

-^ -^ -^' , . -^ ' -^ f u\ \ U

vonden dat Z O NiH • Steeds z a l dus g e l d e n : O / / j ^ \ O 3^ r f

5o

B i j nadere b e r e k e n i n g i s v o o r q = 8, ZgQ^^= 0,39 H , waarmede de bovenstaande b e w e r i n g aangetoond i s .

V e r d e r b l i j k t u i t h e t voorgaande, dat de gemiddelde s n e l h e i d s t e e d s voorkomt op een h o o g t e , d i e beneden h e t midden i s g e l e g e n . Wel w o r d t b i j t o e n e -mende q , h e t v e r s c h i l t u s s e n Vgem. en Vi^^a^^;-^ steeds k l e i n e r »

Daar we i n h e t v e r v o l g de f o r m u l e s ( l ) ^ ( 2 ) en (4) met e l k a a r v e r g e l i j k e n , z u l l e n we (4) i:iog op een andere w i j z e s c h r i j v e n door vj^j^x, ^'^ v o e r e n z i j n -de -de max. s n e l h e i d i n een v e r t i c a a l , a l s -de f o r m u l e (4) w o r d t t o e g e p a s t .

(4a) V = ^Jiax. + - vjjax.) = ^lax. * ^^(^/e - 1 ,

I n deze f o r m u l e komt nog de g r o o t h e i d a v o o r . Deze z u l l e n we nader be¬ r e k e n e n , u i t g a a n d e de v e r o n d e r s t e l l i n g d a t ook de f o r m u l e (4) de "gemiddelde" s t r o o m v e r t i c a a l i n een r i v i e r v a k ( v a n een B o v e n r i v i e r ) v o o r s t e l t . D i t i s dus een b e p e r k i n g , daar men_,door a v a n p u n t t o t p u n t t e l a t e n v a r i ë r e n , op i e d e r e p l a a t s van de r i v i e r de w e r k e l i j k voorkomende s n e l h e i d s v e r t i c a a l b i j b e n a d e r i n g kan weergeven. Nu i s : H . q - i / a ""gem. = H V z dz H A n d e r z i j d s g e l d t v o o r h e t b e t r e f f e n d e r i v i e r v a k v o l g e n s Chezy d a t •^em, = c V n i i s ; C = c o ë f f . v a n G h é z y , de h y d r a u l i s c h e s t r a a l i s v e r d e r vervangen door H, Dus i s :

/ON O N - ^ 1 4> q

(8) a = ^ 7 f - •

H

zodat u i t (4a) v o l g t :

T e n s l o t t e i s dan: — i _ 1 d v ^ C V H x 1_+_q ^ i " * / _dy \ j( C(1 + ^ ) / i ( 9 ) ( a ) a z ' 1/d q2 en ( b ) \ dz ' TT q2 H H ' c. V7e v e r g e l i j k e n nu de f o r m u l e s (l ) en (2) e n e r z i j d s en (kh) a n d e r -z i j d s met e l k a a r v o o r e e n -z e l f d e r i v i e r v a k , w a a r b i j dan C, i enH gegeven -z i j n . Het i s d u i d e l i j k dat v l a k b i j de bodem de j p r a c t i s c h e f o r m u l e minder v a n de w e r -k e l i j -k e v e r d e l i n g z a l a f v Y i j -k e n , dan de t h e o r e t i s c h e , l'Iaar t o c h z a l oo-k daar de f o r m u l e (4) f o u t i e v e r e s u l t a t e n geven, z o a l s u i t p a r , 4 v o l g t . Ook de f o r m u l e (4) 53al b i j b e n a d e r i n g g e l d e n v o o r een i n t e r v a l ( / ' / H),'-i>o, V e r d e r merken we op,

1

dat de g r o o t h e d e n yj^Q_x. '^max. i ^ i ^ t j p r e c i e s aan e l k a a r g e l i j k behoeven t e z i j n . Zov/el de t h e o r e t i s c h e a l s de p r a c t i s c h e f o r m u l e moeten de s n e l h e i d s v e r t i c a a l zo goed m o g e l i j k benaderen en h e t i s m o g e l i j k , d a t d i t b e r e i k t vrordt door de waarden v a n v^ax^ en v^ax. n i e t g e h e e l g e l i j k aan e l k a a r t e s t e l l e n .

I n h e t v e r v o l g v e r g e l i j k e n we e e r s t de u i t k o m s t e n r e s p , v o l g e n s de^'for"* mules (1 ) en (4b). _dv dz c i a a l aan h e t o p p e r v l a k , dus v o o r z = H ( z i e ( 3 a ) en (9t>). E e r s t b e p a l e n we — , r e s p . berekend v o l g e n s ( 1 ) en (4b) en w e l spe-dz

ïfe berekenen n u d i e waarde van q Viraarvoor b e i d e waarden van ~ aan e l ~ dz

k a a r g e l i j k z i j n . Dan moet dus g e l d e n :

(10) 'L'JjJ-^l

*q2 2k

S t e l l e n vre v e r d e r G = 50 en k = 0,4 , clan i s u i t deze b e t r e l d c i n g q t e b e p a l e n . H e t b l i j k t dan d a t q^^s^iS z a l z i j n , zodat dus d i c h t b i j h e t o p p e r v l a k de t h e o r e

-t i s c h e f o r m u l e (1 ) h e -t b e s -t vrord-t benaderd door;

V = a V z

?fe hebben e c h t e r reeds v e r m e l d , dat v o o r onze r i v i e r e n q'^s;? a b e d r a a g t . I n d i e n q^^IZ w o r d t g e s t e l d maakt d i t v o o r h e t v e r l o o p v a n de s n e l h e i d s -v e r t i c a a l d i c h t b i j h e t o p p e r -v l a k n i e t zo h e e l -v e e l -v e r s c h i l .

H i e r b i j moet overwogen ï f o r d e n , d a t i e d e r e u i t m e t i n g e n v e r k r e g e n s n e l h e i d s v e r t i -c a a l ook aan m e e t f o u t e n o n d e r h e v i g i s »

Over h e t v e r d e r e v e r l o o p van de t h e o r e t i s c h e kromme naar de bodem t o e worden de v e r s c h i l l e n e o h t e r ' steeds g r o t e r . Hen moet dus d e - v r a a g s t e l l e n s v ö o r welke waarde van q z a l de t h e o r e t i s c h e kromme over h e t gehele i n t e r v a l voor

z , ( H , / ) , h e t b e s t benaderd worden door een f o r m u l e van de vorm ( 4 ) « H o t b l i j k t dan d a t j ook i n v e r b a n d met de meetgrenzen, voor q g 7 een v r i j goede overeenstem»^, ming b e s t a a t t u s s e n aen v o o r s t e l l i n g zowel volgens ( l ) , a l s volgens ( 4 ) . Deze v e r

g e l i j k i n g z u l l e n we i n h e t v e r v o l g n i e t v e r d e r m a t h e m a t i s c h b a h a n d e l e n j maar t r e f -f e n een v e r g e l i j k i n g met een p r a c t i s o h v o o r b e e l d »

Daartoe k i e z e n vre H s 4 m en n a l . Voor q s 7 i s dan v o l g e n s ( s ) ,

i - 0,000114 dus 11 cm / km, m i t s C s 50 g e s t e l d w o r d t . D i t z i j n b e d r a g e n , d i e op een B o v e n r i v i e r kunnen voorkomene

Ihx i s i n f i g . 1 voor deze waarden de kromme ( 4 ) g r a f i s c h v o o r g e s t e l d j h e t b l i j k t dan d a t v-^x, » 1,23!,, i s , h e t g e e n ook i n de g r a f i e k , w a a r i n f o r r a u l e

( 1 ) getekend i s w e r d aangenomen. U i t f i g » 1 b l i j k t d a t voor h e t i n t e r v a l (z s 0,25 4 mjho t g r o o t s t e v o r s ' h i l op een h o o g t o v a n z s Q,25 m voor k o m t , n . l « o n g . 8 %, Voor z < 0 , 2 5 m neemt d i t v e r s c h i l s t e e d s t o e , zodat men 'moet aannerasn, zo&ls roods

gozegd, d a t dan de b e i d e f o r m u l e s ( l ) en ( 2 ) n i o t moor i n s t a a t z i j n om de w o r -k o l i j -k h e i d weer t e g e v e n . We z u l l e n dus aannemen d a t voor d i t g o v a l / ' 5 0 , 2 5 m i s ,

I n h o t voorgaande i s dus aangenomon, d a t V i m x , voor b e i d e g e v a l l e n oen g e l i j k e Vfaarde h e e f t . Men kan t r a c h t e n d o o r , v a n een der b e i d e krommen Vmax, oen w e i n i g t o v e r a n d e r e n , de v e r s c h i l l e n i n h e t gemiddelde nog k l e i n e r t e maken. I n h o t h i e r beschouwde g e v a l h o e f t d i t e o h t e r n i e t v e e l z i n , omdat deze v e r s c h i l " l e n b i n n e n de m o e t n a u w k e u r i g h e i d l i g g e n , t e r w i j l b i j de bodem de mee t a f w i j k i n g e n g r o t e r z i j n dan d i c h t e r b i j h o t o p p e r v l a k .

Op o v e r e e n k o m s t i g e w i j z e t r e f f e n we oon v e r g e l i j k i n g t u s s e n do u i t k o m -B t o n v o l g e n s de f o r m u l e s ( 2 ) en ( 4 b ) . Dan b l i j k t h e t merkviaardige r e s u l t a a t d a t

dozo v o r g e l i j k i n g b e v r e d i g e n d e r r e s u l t a t e n g e e f t dan d i e t u s s e n ( l ) en (4b), h o e -w e l de t h o o r o t i s c h o g r o n d s l a g van ( l ) i e t s d i e p e r l i g t dan d i e van ( 2 ) »

/ d v \ v o l g e n s

-De waarde v a n q,-. waarvoor — , b e p a a l d r e s p , (s<t) en ( 9 b ) , aan e l k a a r \ d z / M

g e l i j k z i j n , v o l g t u i t een analoge b e t r e l d c i n g a l s ( l O ) , n e l » )

q2 k

A l s weer C a 50 on k 3 0 , 4 i s , b l i j k t q 7 t o z i j n , dus i n v o l l e d i g e o v o r e e n s t e m » - : . . m i n g mot. do e m p i r i s c h e f o r m u l e (4 ) , I n f i g ? 1 i s voor d i t g e v a l ook h e t v e r l o o p

van de s n e l h e i d s v e r t i c a a l volgens ( 2 ) weergegeven met Vjfiax* s 1 , 2 1 m / seco Zoals reeds u i t h o t voorgaande g o c o n c l u d o e r d kan w o r d e n , i s e r t r e f f e n -de overeenstemming t u s s e n ( 2 ) en dc 7 ° _ g r a a d s p a r a b o o l , z o l f s b e t e r dan v o l g e n s ( l ) h o t g e v a l i s , s p e c i a a l voor hogere i m a r d e n van -Z-.io

De e i n d o o n o l u s i o l u i d t dus; De b e i d e t h e o r e t i s c h e f o r m u l e s geven r e s u l t a t e n v o o r de s n e l h e i d s v e r t i c a a l , die n i o t b e l a n g r i j k a f t v i j k e n van d i e , wolko e m p i r i s c h b e p a a l d z i j n » De e e n v o u d i g s t e f o r m u l e ( 2 ) b l i j k t dan z o l f s k l e i n e r e v o r s c h i l l o n t e geven dan do t h e o r e t i s c h b e t e r veran'bwoordo f o r m u l e ( l ) .

P a r , 3^, F l u o t u a t i e s b i j ho_t_ me t o n van sne Ihe d o n ,

Do s n e l h e i d d i o i n een b e p a a l d p u n t gemeten w o r d t b . v , mot b e h u l p v a n oen O t t - m e t e r , i s oon gemiddelde over oen zeker t i j d s v e r l o o p » A l s g e v o l g v a n de ;•, t u r b u l e n t i e o n d e r v i n d t n . l , do s n e l h e i d i n oon b e p a a l d p u n t steeds f l u c t u a t i e s , zo-d a n i g zo-d a t g e s t o l zo-d kan worzo-den voor zo-do s n e l h e i zo-d op een moment t s

(12)

V a V A v''" I u s u ^ W a a r b i j v do s n e l h e i d i n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g en u i n v e r t i c a l e r i c h t i n g i s . Do gomiddoldo s n e l h e i d v w o r d t dan b e p a a l d u i t de b e t r e k k i n g •~ . l 1 / ' ( 1 3 ) ™ , / v , d t s V t >

9,

m i t s t oen v o l d o e n d lange t i j d s d u u r i s . H i e r v o o r moot dus g e l d e n j

Y

t ,

-J

v \ l t « O j / u-^d t c « O

Hel; i s de v r a a g hoe l a n g do p o r i o d o t moot z i j n , opdat dezo i n t o g r a l e n p r a o t i s c h g e l i j k aan n u l z i j n en dus

V a V I U s O g e s t a l d kan virordon»

Zo w o r d t b i j s n e l h o i d s m e t i n g e n op de b e n e d e n r i - v i o r e n voor t een t i j d s - .. duur genomen die hoogstens een hal'^/e m i n u u t b e d r a a g t . B l i j k b a a r i s deze p e r i o d e te k o r t , want do f l u c t u a t i e s i n do a l z o b e p a a l d e gomiddoldo s n e l h e i d v bedragen zeker 5 fi« B i j dc bodem Icunnen deze f l u c t u a t i e s z o l f s t o t b . v » 30 a 50 toenemen. H e t i s e c h t e r b e z w a a r l i j k om d i t t i j d s i n t e r v a l t e v o r g r o t c n , daar wegens de v a r i a b e l e

s n e l h e i d a l s g e v o l g van do g o t i j b e w e g l n g , do snelheden i n de v e r t i c a a l gedurende ongeveer c é n I c v a r t i e r b e p a a l d moeten z i j n . Voor do b o v o n r i v i o r c n behoeven . -d e r g e l i j k e b o p c r k i n g e n n i e t t e g o l -d e n , zo-dect -dan -do v r a a g beantwoor-d kan w o r -d e n , hoe g r o o t h o t i n t e r v a l t moot z i j n , opdat de u i t de m e t i n g e n bepaalde snolheden b » v , Gon n a u w k e u r i g h e i d van 1 A 2 % z u l l e n b e z i t t e n .

V o l g e n s B a l d i m o t o f f Icunnon do f l u c t u a t i e s nog 3 % bedragen a l s b i j h e t op -p e r v l a k t e l k e n s gedurende 2 ^ m i n , gemeten w o r d t . D i t l i j k t voor onze r i v i e r e n w o l aan de g r o t e k a n t . B i j de bodem zou h e t z e l f s n o d i g z i j n om gedurende 10 m i n v t e n t e m e t e n .

H e t genoemde v r a a g s t u k i s van p r a c t i s c h b e l a n g en or z u l l e n nadere o n d e r zoekingen i n g e s t e l d worden door I r , S c h o n f e l d , i n verband mot h e t t u r b u l e n t i e -v r a a g s t u k , s p e c i a a l i n de n a b i j h e i d -van de bodem.

10„

« Do s n e j ^ e i d s T O j ^ ^

Zoals roods gozogd, geldon do f o r m u l e s ( l ) , ( 2 ) en ( 4 ) gerekend van h e t o p p e r v l a k a f s l e c h t s t o t een bepaalde hoogte r e s p . / ' • ^ , t f e n ^ T g boven de bodem.

B i j de s t r o m i n g door r e g e l m a t i g gevormde b u i z e n i s de genoemde m o e i l i j k -h e i d p r a o t i s c -h w o l o p g e l o s t . Langs de wand w o r d t oen z . g , g r e n s l a a g aangenomen, v/aarin de s n e l h e i d l i n e a i r v e r l o o p t en de s t r o m i n g l a m i n a i r ( g e l a a g d ) v e r o n d e r

s t e l d w o r d t . Deze l a m i i m i r e g r e n s l a a g kan zeer dun z i j n s de d i l c t o moet vaak u i t g e d r u k t worden i n d e l e n van mm. Verder moot een g e d e e l t e l i j k l a m i n a i r e en t u r b u l e n t e overgangslaag vforden aangenomen naar de v o l l e d i g e t u r b t l e n t e b o v r e g i n g . Do s n e l -h e i d s v e r d e l i n g i n deze o v e r g a n g s l a a g gaat dan over i n een s n e l -h e i d s v e r d e l i n g , waarvoor een f o r m u l e g e l d t , d i e o v e r e e n k o m s t i g i s met de f o r m u l e ( l ) , vrelke

l a a t s t e voor r i v i e r e n g e l d t » B i j de wand z e l f moet aangenomen w o r d e n , d a t de s n e l -h e i d g e l i j k aan n u l i s .

I n i e d e r g e v a l i s h e t o n j u i s t om t e v e r o n d e r s t e l l e n , d a t b i j " de bodem de snu;,heidskrommo aan de bodem r a a k t , z o a l s h e t g e v a l i s met de e m p i r i s c h e v e r -d e l i n g ( 4 ) . Zoals ree-ds i n p a r . 2 i s gozeg-d, lean ook b i j -de wan-d ( l ) noc?i ( 2 )

/ d v \ » 00 j u i s t z i j n . Do v e r o n d e r s t e l l i n g dat voor de a f l e i d i n g van ( l ) e n

dv

h a n g t samen met h e t f e i t , dat i n de g r e n s l a a g dz,hoevJ-el onbekend* i n d e r d a a d een g r o t e , rar,ar t o c h e i n d i g e waarde h e e f t »

Verder merken we op, dat de s t r o m i n g door een b u i s o . a , b e h e e r s t w o r c f t door de ruv/heid van de wand. Men kan i i « l . o n d e r s c h e i d maken t u s s e n h y d r a u l i s c h gladde l e i d i n g e n en h y d r a u l i s c h r u w e , a l naar gelang van de a a r d der r u w h e i d , I n h e t e e r s t e g e v a l z i j n de o n e f f e n h e d e n k l e i n t . o ^ v , de hoogto van de l a m i n a i r e g r e n s l a a g , b . v , - i - j i n h e t tweede g e v a l i s d i t n i e t z o . Zoals t e v e r w a c h t e n i s ,

6

z u l l e n voor do s t r o m i n g i n b o i d e g e ^ l l e n ook v e r s c h i l l e n d e f o r m u l e s g o l d e n . B i j de s t r o m i n g door gladde b u i z e n i s do waarde -van h e t z . g . k e m g e t a l van Reynolds vs.n i n v l o e d op de s t r o m i n g , t e r w i j l de l a m i n a i r e g r e n s l a a g dan voor een d o o l h o t v e r l o o p van de snolheden b e p a a l t . D i t i s b i j de ruwe b u i z e n n i e t h e t

Hi.

g e v a l | , , d G l a m i n a i r e g r e n s l a a g s p e e l t dan geen r o l , hoogstens de l a m i n a i r t u r b u -l o n t o o v e r g a n g s -l a a g .

Het b l i j k t n u , d a t voor de s t r o m i n g door r i v i e r e n analoge b e s o h o u w i n -gen g o l d e n a l s b i j die door b u i z e n , m i t s een r i v i e r a l s h y d r a u l i s c h r u w beschouTïd w o r d t , h o t g e o n ook samenhangt met h e t f e i t d a t voor onze r i v i e r e n h o t g e t a l van R e y -n o l d s ee-n zoor g r o t e waarde h e e f t , b » v , g r o t e r da-n l.OOOoOOO , B i j de bodom i s

er dan een zeer dunne, l a m i n a i r e g r e n s l a a g , d i e van geen b e t e k e n i s i s , w e l i s de l a m i n a i r e t u r b u l e n t e o v o r g a n g s l a a g V8.n b e t e k e n i s ,

Sr doot z i c h o c h t e r b i j de s t r o m i n g door r i v i e r e n vaak nog oen zeor o n -aangename c o m p l i c a t i e v o o r , die b i j de r e g e l m a t i g e gevormde b u i z e n , ^vaarmede t o t >;• nu t o o a l l e p r o o f n o m i n g e n hebben p l a a t s gehad, n i e t v o o r k o m t . Do bodem van de r i -v i e r i s n , l , -vaak g e g o l f d . Zo komen bodemgol-ven -v o o r mot oen hoogto -v a n 1 m en oon l o n g t o v a n 30 m. H o t v o o r f r o n t h e e f t dan b . v , een h e l l i n g 1 j 5 en h o t a c h t o r f r o n t van 1 s 2 5 , Op d i t g e g o l f d e bodemoppervlak b o v i n d o n z i c h dan weer o n -re g o I m a t i g h o de n , onz » >

Dozo g o l v e n z i j n dus b e l a n g r i j k hoger dan de v/aarde van 0,25 m boven do bodom, waarvoor do f o r m u l e s ( l ) on ( 2 ) on e i g e n l i j k ook ( 4 ) n i e t meer . g e l d o n . Hot i s dus d u i d e l i j k , d a t de s n e l h e i d s v e r d e l i n g b i j de bodem i n b e l a n g r i j k e mate w o r d t b o i n v l o e d door deze bodemgolven. Men moot ook p r e c i e s de p o l i t i e w e t e n v a n h e t mootpunt t , o . v , eon d e r g e l i j k e g o l f , m i t s g a d e r s de s t a n d van h e t m e e t t o e s t e l t , o , v , de bodom. Door deze g o l v e n z u l l e n e x t r a w e r v e l i n g e n o n t s t a a n , h e t g e e n een der oorzaken z a l z i j n van de b e l a n g r i j k e f l u c t u t i e s i n de s n e l h e d e n , die b i j de bodom voorkomen. Het i s ook vaak onbekend op welko w i j z e do s t r o m i n g door h e t m e o t t o o s t o l w o r d t b e i n v l o o d , I n i e d e r g e w l i s h o t gewenst om i n de t o e k o m s t d i t

v r a a g s t u k nader t o b e z i e n , s p e c i a a l i n h o t v e r b a n d met h e t t r a n s p o r t van v a s t e s t o f f e n , d a t v l a k b i j de bodom p l a a t s h e e f t . Omgekeerd z a l h e t v e r l o o p v a n do s n o l -h e i d i n d i t g o b i o d door d i t t r a n s p o r t worden b e i n v l o o d ,

I n do s i e ^ p a r a g r a a f ^ v o r d t nog i n h e t k o r t h o t v o r l o o p v a n do s n c l h o i d s -v o r d o l i n g b i j do bodem meor t h e o r e t i s c h b o s t u d o e r d s

1 2,

w a t e r g e b i e d . Zoj3_fa£atergebied:

Het i s dc v r a a g c f de vorm van de s n e l h e i d s v e r t i c a a l b e ï n v l o e d z a l worden door de g e t i j b e w e g i n g . Dan z i j n a l l e g r o o t h e d e n , d i e i n de f o r m u l e s ( ' l ) , ( 2 ) en (4) voorkomen f u n t . t i e s v a n de t i j d , met u i t z o n d e r i n g v a n k . Zo kan men dus de v r a a g s t e l

-l e n o f e r nog termen aan deze f o r m u -l e s moeten Avorden toegevoegd o f w e g g e -l a t e n . D i t b l i j k t n i e t h e t g e v a l wegens de langzame w i j z e , waarop de snelheden a l s g e v o l g v a n

1 1 de g e t i j b e w e g i n g v e r a n d e r e n i n v e r g e l i j k i n g met de g r o o t t e der f l u c t u a t i e s u en v , waarvan i n p a r . 3 gesproken i s . B i j de g e t i j b e w e g i n g z a l n . l . de gemiddelde s n e l h e i d

van de s n e l h e i d s v e r t i c a a l v o o r t d u r e n d v e r a n d e r e n , maar het v e r l o o p v a n de s n e l h e i d s -v e r t i c a a l b i j een bepaalde gemiddelde s n e l h e i d d e a e l f d e b l i j -v e n . D i t i s a l s -v o l g t

i n t e z i e n :

De . ••• v e r a n d e r i n g , d i e de gemiddelde s n e l h e i d wegens de g e t i j b e w e g i n g p e r t w i n t i g m i n u t e n ^o-h ondergaan, kan op 20 cm/sec. g e s t e l d worden en dus p e r

se-conde op 0,0X c n / s o c . De f l u c t u a t i e s , d i e de snelheden o n d e r v i n d e n a l s g e v o l g v a n de t u r b u l e n t i e , z i j n v e e l b e l a n g r i j k e r , b . v , 5 % v a n de s t r o o m s n e l h e i d . I n d i e n deze l a a t -s t e b . v , 1 m/-sec, b e d r a a g t , kan de v a r i a t i e 5 cm/-sec, z i j n . Deze f l u c t u a t i e -s z i j n dur v e e l b e l a n g r i j k e r , dan de v e r a n d e r i n g der s n e l h e i d a l s g e v o l g van de g e t i j b e w e g i n g .

Men moet dus v e r d a c h t e n dat de s n e l h e i d s v e r t i o a l e n n i e t v a n vorm v e r a n d e -r e n , a l s g e v o l g v a n de g e t i j b e w e g i n g ; ze passen z i c h s t e e d s b i j de nieuwe s i t u a t i e aan. Het i s e c h t e r m o g e l i j k dat omstreeks de k e n t e r i n g w i j z i g i n g e n Icunnen o p t r e d e n , daar v l a k v o o r en na de k e n t e r i n g de t u r b u l e n t i e minder s t e r k o n t w i k k e l d z a l z i j n , wegens de g e r i n g e snelheden d i e dan voorkomen. H i e r d o o r kan dó v o r m v a n de v e r t i c - ^ 1 b e ï n v l o e d worde^;. D i t b l i j k t e o h t e r n i e t u i t de m e t i n g e n : de a f w i j k i n g e n i n de gemete.i

s n e l h e d e n worden dan r e l a t i e f h e t g r o o t s t gevonden, maar h i e r b i j moet worden

OVOÏ^TOgen, dat de n a u w k e u r i g h e i d waarmede deze k l e i n e snelheden gemeten w o r d e n , j u i s t g e r i n -g e r i s j ' - i

V o l g e n s de v o r i g e p a r a g r a a f i s b i j s t a t i o n n a i r e bev/eging de c o n s t a n t e O i n de f o r m u l e v a n C h ê z y b e p a l e n d v o o r de w e e r s t a n d , d i e cle t o t a l e w a t e r b e w e g i n g i n h e t r i

-i 3 .

v i e r b e d o n d e r v i n d t en s t a a t ze dus i n v e r b a n d met de door de s t r o m i n g o n t w i k k e l d e

t u r b u l e n t i e , ( Z i e p a r , 9 )

De vmarde van C moet n a b e p a l i n g v a n de gemiddelde s n e l h e i d met b e h u l p v a n stroommetingen v o o r i e d e r r i v i e r v a k a p a r t berekend w o r d e n .

Ook i n g e v a l v a n g e t i j b e w e g i n g i s O bepalend v o o r de t o t a l e vroerstand door ' .'; h e t r i v i e r b e d u i t g e o e f e n d . Wegens de v o o r t d u r e n d veranderende s t r o m i n g i s h a a r bereken n i n g v e e l b e v r e r k e l i j k e r . Het i s dan n o d i g om aan h e t b e g i n v a n een r i v i e r v a k de s n e l -heden en h e t v e r t i c a a l g e t i j t e meten en aan h e t e i n d a l l e e n de g e t i j l i j n . Daarna kan na b e p a l i n g v a n V g ^ ^ ^ en h e t v e r h a n g met b e h u l p van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g * ' v a n ' ,

de g e t i j b e w e g i n g de waarde v a n 0 v a n moment t o t moment berekend worden.

Op de w i s k u n d i g e a i j d e van deze berekeningen, z u l l e n we n i e t v e r d e r i n g a a n . De m e t i n g e n en b e r e k e n i n g e n z u l l e n n a u w k e u r i g moeten g e s c h i e d e n j zo moeten s t e e d s

v a k l e n g t e n v a n hoogstens 5 km besohouvfd worden, Zo n o d i g z a l h e t v a k i n twee d e l e n g e s p l i t s t moeten w o r d e n . Ook moeten a l l e e v e n t u e l e c o r r e c t i e t e r m e n i n r e k e n i n g g e b r a c h t worden.

A l s v o o r b e e l d z i j n op de b i j l a g e n 2 en 3 v a n u u r t o t u u r de r e s u l t a t e n w e e r gegeven van C b e r e k e n i n g e n op de L e k , v o o r h e t v a k Krimpem a / d L e k S t r e e f k e r k , u i t -gaande v a n g e t i j l i j n e n en de afvoerkromme t e Krimpen, Do afvoerkrorame w e r d ook nog berekend met b e h u l p v a n de komberging op de L e k , A l s g e v r o o n l i j k vrorden t u s s e n b e i d e

afvoerkrommen v e r s c h i l l e n gevonden^ Voor twee v e r s c h i l l e n d e dagen z i j n de r e s u l t a t e n weergegeven, w a a r u i t men een i n z i c h t kan k r i j g e n i n de m o g e l i j k e v a r i a t i e s b e t r e f f e n d e de berekende G waarden. De u i t k o m s t e n van G z u l l e n vre h i e r n i o t nader i n t e r p r e t e r e n maar v e r m e l d e n a l l e e n dat b i j de k e n t e r i n g de u i t k o m s t e n v a n z e l f s p r e -kend h e t o n z e k e r s t z i j n , t e r w i j l G do n e i g i n g h e e f t om b i j Hw. en Lw. een minimum t e v e r t o n e n , w a a r v o o r n i e t met z e k e r h e i d een v e r k l a r i n g i s t e geven.

14 „

b s Bra Ig'fa te r ge hie d .

I n h a t b r a k w a t e r gebied kunnen a l s g e v o l g van d i c h t h e i d s v e r s o h i l l o n b i j g e t i j b e w e g i n g zeer a f w i j k e n d e s n e l h e i d s v e r t i o a l e n voorkomon, s p e c i a a l i n de mond van de r i v i e r , waar O s a , oen Z n g s oiadervloed k a n o p t r e d e n , I n h e t d e e l van de v e r -t i c a a l da-t aan h o -t o p p e r v l a k a a n s l u i -t s -t r o o m -t dan TO-ter zeev-rMr-tsj b i j de bodem r i v i e r o p w a a r t s » D i t v e r s c h i j n s e l t r e e d t i n Hook van H o l l a n d ongeveer twoe uur voor h e t l a a g s t e LJ'h op en o i n d i g t ongeveer twee u u r na L«Y/e

Dat de v e r t i c a l e n i n d i t b r a l c v a t e r g e b i o d een zo a f w i j k o n d e vorm loAnnen •;. I c r i j g e n , xvordt v e r o o r z a a k t door h e t g r o t e verhang van de z o u t w a t e r l a g e n , d i o ongo-,. veer 20 maal zo g r o o t i s , a l s d i e van h e t w a t e r o p p e r v l a k . D i t b l i j k t u i t d e volgondo r e d o n o r i n g , I n een p u n t P i s de s t a t i s c h e d r u k i P ( z ) gCzQ-zi) g(z]_-z) wat e roppe r v l a k en dus h e t d r u k v o r s c h i l s zou'bv/ater o p p e r v l a k I n deze u i t d r u k k i n g i s 14 )7 ü S n

c -Ji

do gowone vorhanglcraoht van do w a t e r s p i o g o l en

( 1 5 ) ( / o - / l ) g

d i e , Tralke t o danlcen i s aan do a a n w e z i g h e i d van de z o u t i v a t o r l a a g »

Nu i s X o • " S \ zoor k l e i n b s v »

0,02,

I n d i e n ^-r-—! o n g e l e r 20 maal zo g r o o t i ^-5-^ , w o r d t dus de l a a t s t genoemde v o r h a n g l r r a c h t v a n d e z e l f d e orde v o n g r o o t t e

a l s do v e r h a n g k r a c h t ( 1 4 ) en z a l do watorbexTOging door de d i c h t h e i d s v e r s c h i l l e n i n b e l a n g r i j k e mate b e i n v l o o d w o r d e n . Het b l i j k t m o g e l i j k om op ovoreehkomstige w i j z e a l s de t h o o r o t i s c h o s n e l h e i d s v e r d e l i n g ( l ) G , q o (2) kan worden b e p a a l d , een f o r m u l e

15

a f t e l e i d e n v o o r s n e l h e i d s v e r t i c a l e n i n h e t b r a k w a t e r g e b i e d . Dan moet de f o r m u l e v o o r de t u r b u l e n t i e c o ë f f „ Dj_ ( z i e p a r , 6 ) g e w i j z i g d worden, v o o r a l i n v e r b a n d met h e t f e i t , dat de t u r b u l e n t i e en dus D i b e l a n g r i j k afneemt i n d i e p u n t e n v a n de v e r t i c a a l , v/aar de d i c h t h e i d s t e r k v e r a n d e r i ^ D i t i s e c h t e r een i n g e w i k k e l d e Icwes-t i e waarop we n i e Icwes-t nader z u l l e n i n g a a n . De h i e r b o v e n aangegeven r e d e n e r i n g b e Icwes-t r e f - : f e n d e de i n v l o e d van de zoutvvaterlaag moet dan v a n z e l f s p r e k e n d i n de b e r e k e n i n -gen worden op-genomen.

B e t r e f f e n d e h e t v e r l o o p v a n de t u r b u l e n t i e c o ë f f . worden door I r , S c h ö n -f e l d nog nadere o n d e r z o e k i n g e n u i t g e v o e r d .

P a r . 6. De a f l e i d i n g v a n de f o r m u l e ( l ) ' v o o r de ^sn^lheW_syerd^eHiig^J^^ o a a l ,

I n deze p a r a g r a a f behandelen we i n h e t k o r t hoe de t h e o r e t i s c h e f o r m u l e v o o r de s t r o o m v e r t i c a a l v o l g e n s de meer moderne i n z i c h t e n kan worden b e p a a l d .

L a a t h e t w a t e r door de z v / a a r t e k r a c h t i n beweging worden g e b r a c h t a l s g e v o l g v a n h e t f e i t , dat de w a t e r s p i e g e l eon bepaald verhang h e e f t p We beschouwen een v l o e i s t o f element met d i k t e <é z op een hoogte z boven de bodem, l e n g t e /i x en b r e e d t e 1, De x c o ö r d i n a a t w o r d t dan p o s i t i e f gerekend i n de r i c h t i n g v a n de •/ 'jT \ s t r o o m ,

° • I n d i e n -fcwee opvolgende wa-*- ..

y..

->

4

t e r l a g e n met hoogte z en a +.// z een

^ ,

(/"^ "^/^'^J-^^-

v e r s c h i l l e n d e s n e l h e i d hebben, z a l e r /I j: t u s s e n de tvreu l a g e n een s c h u i f span¬

' ^ n i n g o p t r e d e n , waarvan de g r o o t t e p e r e e n h e i d van o p p e r v l a k t. w o r d t genoemd. U i t h e t e v e n w i c h t van de k r a c h t e n d i e op h e t v l o e i s t o f element j e w e r k e n ; ( z i e f r l g u u r ) v o l g t d a t :

•'IV

'ah

d f

/

( 1 7 ) ^ t)üg - I s : ( 1 8 ) ( : a - . ^ g i ( H - z ) - - / g i H 1 \ H y \wegens keuzo z - r i c h t i n g = H, O iso V e r d e r if? t s t e e d s p o s i t i e f , t e r w i j l ï N daar v o o r z = H , 1=0 i s . V e r d e r i s 6 s t e e d s p o s i t i e f , t e r w i j l ï v i n h e t besohoiBv-de g e v a l n e g a t i e f i s . Deze l a a t s t e v e r g e l i j k i n g i s besohoiBv-de g r o n d v e r g e l i j k i n g , w a a r u i t de f o r m u l e v o o r de s n e l h e i d s v e r d e l i n g moet worden a f g e l e i d . We v e r m e l d e n n o g , d a t v o o r z =3 O, dus b i j de bodem g e l d t : • ( 1 9 )

TQ

. - g i H L V/e mei'ken op dat de dimensie v a n ^ i s en d e r h a l v e |/— de dimensie h e e f t a l s de s n e l h e i d n . l . —

-T

I n v e r b a n d hiermede w o r d t vaak i n de n a v o l g i n g v a n P r a n d t l g e s t e l d : d o z e l f

-( 2 0 )

t e r w i j l Vo, de w r i j v i n g s s n e l h e i d vrordt genoemd. Ook merken we op, d a t v o l g e n s de be¬ kende e x p e r i m e n t e l e f o r m u l e v a n Chezy, Vge^. = G V ' H i ' ( C = c o ë f f . v a n Chezy) J-.'

( 2 1 ) v ^ = v - gem.

O r

Het d o e l v a n h e t v e r d e r e onderzoek i s om v o o r L een b e p a a l d e f u n c t i e v a n de a f -dv d^v

g e l e i d e n — en - — op t e s t e l l e n . Dan vrordt met b e h u l p v a n ( 1 8 ) een d i f f . v e r g . dz dz^

i n V gevonden, d i e g e i n t e g r e e r d moet worden om v a l s f u n c t i e v a n z t e b e p a l e n . Het i s d u i d e l i j k dat Z a f h a n k e l i j k i s v a n de v i s c o s i t e i t en v a n de t u r -b u l e n t i e en men s c h r i j f t n u ;

( 2 2 ) - •• ^ v i , c + ^ t u r b

f^' I n d i e n h o t v e r h a n g i , d a t a l s n c . a t i e f moet worden beschouwd, onder een w o r t e l -• t e k e n v o o r k o m t , . m o e t . s t e e d s de p o s i t i e v e waarde v a n i worden genomen.

1 7 .

Voor de a f h a n k e l i j k h e i d v a n de v i s c o s i t e i t kan z o a l s bekend, geschreven worden '.

(22a) n^UC^d —

w a a r i r y i t , de z . g . v i s o f j i t e i t s c o e f f i o i e n t i s . Dan v/ordt v a a k V = - ~ de k i n e m a t i s c h e II

v i s c o s i t e i t s c o e f f i c i e n t genoemd.

dv

Verder b l i j k t 7 t u r b 9 0 ^ ^ e v e n r e d i g met « - , dus

dv ^'^

(22b) " A u r b . = ^

-dz

H i e r i n i s D i de a , g . c o ë f f . van t u r b u l e n t i e . Het b l i j k t nu dat b i j r i v i e r e n , en i n h e t algemeen b i j s t r o m i n g e n met v r i j g r o t e snelheden, t u r b . ^eer g r o o t i s t . o . v .

T b . v . 100 a 500 maal zo g r o o t , z o d a t " f ^ ^ j ^ ^ k a n worden v e r w a a r l o o s d en dus kan

vrorden g e s t e l d :

dv

(23)

t

= iJ.

dz

B e t r e f f e n d e D^ kan worden opgemerkt, dat b i j h e t o p p e r v l a k en de bodem wegens h e t o n t b r e k e n v a n de v e r t i c a l e p u l s a t i e s , de t u i - b u l e n t i e g e l i j k aan n u l

z a l z i j n . Het l i g t dus v o o r de hand om aan t e nemen d a t D^ op een bepaalde hoogte boven de bodem een max, z a l b e z i t t e n , ( z i e nader p a r , 9 ) .

dv

B i j bodem en o p p e r v l a k z a l steeds = O z i j n , t e r v / i j l — <3aar onge-•^z

l i j k aan n u l i s . Hu b e r e i k t 7~ b i j de bodem haar g r o o t s t e waarde, zodat h e t v o l g e n s dv

(19)

en

(-.23)

n o o d z a l c e l i j k zou z i j n om aan t e nemen, dat — o n e i n d i g g r o o t i s . Xn • dz

p a r . 'é^ ^ i s e c h t e r aangetoond dat deze f o r m u l e n i e t t o t op de bodem toegepast^mag worden, omdat b i j de bodem een l a m i n a i r e g r e n s l a a g aanwezig z a l z i j n . Wel z a l —

dz daar een g r o t e waarde b e r e i k e n . ( Z i e nader p a r . 8 )

We z u l l e n nu v o o r T een f o r m u l e aangeven, d i e door Karman met b e h u l p v a n de r e s u l t a t e n v a n voorgaande onderzoekers v/erd a f g e l e i d . Deze r e s u l t a t e n l u i d e n : 1®, Volgens Reynolds kan v o o r de s c h u i f s p a n n i n g Y i n een l a a g , geschreven w o r d e n :

(24) L V ^

De g r o o t h e d e n J en v^ z i j n i n p a r , 4 g e d e f i n i e e r d , t e r w i j l de s t r e e p b e t e k e n t , dat de gemiddelde waarde o v e r een vol^r,r.\'^ "i•i.xg, L l j d s i u t e r v a l moet worden genomen. Men kan v e r d e r de v e r o u d ^ . o u c " ! ^ ^ - . . t , lüaken, dat u'' en v"" van d e z e l f d e g r o o t t e z i j n .

1 8 . 2®. Door P r a n d t l i s v e r d e r g e s t e l d :

(25)

dv dv v^ = 1 - . = 1 dz dz

1 i s dan e v e n r e d i g met de z . g . mengweg, d i e i n h e t v e r v o l g nader g e d e f i n i e e r d w o r d t . Volgens (24) en (25) i s dus:

, 2

(26)

(27)

2 / d v dz . V e r d e r i s v o l g e n s Karman: 1 = - k dv dz dz2 i o d a t

(28)

i = r ^

.'2

dv dz ZL .dz

₇

en diis ^± ~J' dv dz dz^

l+^o T e n s l o t t e b l i j k t v o l g e n s ( I 3 ) en ( 2 8 ) dat v moet v o l d o e n aan de d i f

-f e r ent i a a l v e r g e 1 i j k i n g :

(29)

i H (

1

- f ) d2 V d V + k I — } = O ^ dz^ \ d z w a a r b i j a l s randvoorviraarden g e l d e n : V o o r z = O i s = O ( z i e p a r , 4 en h e t h i e r v o o r g a a n d e ) t e r w i j l v o o r z = H, dv dz V = V i s . A l s o p l o s s i n g w o r d t . d a n de f o r m u l e ( I ) gevonden, max • T o e l i o h t a n g : 1*^, ï f e g e n s t u r b u l e n t i e o n d e r v i n d t een d e e l t j e v o o r t d u r e n d p u l -s a t i e a i n de v e r t i c a l e en h o r i z o n t a l e r i c h t i n g ( z i e p a r , 4 ) . De p u l -s a t i e -s i n v e r t i c a l e 1

z i n noemen we weer u"^, d i e i n h o r i z o n t a l e v"^ . Nu eens i s u ' ^ ( c . q , v ' ^ ) p o s i t i e f , dan weer n e g a t i e f enz.

-19.

We beschouwen verdei- twee l a g e n A en B, d i e boven e l k a a r g e l e g e n z i j n , (A beneden B ) . Door de v e r t i c a l e beweging u vrorden e r d e e l t j e s v a n A n a a r B ge-v o e r d en omgekeerd. E r h e e f t dus u i t w i s s e l i n g p l a a t s en h e t i s d u i d e l i j k , dat a l s g e v o l g van de t u r b u l e n t i e , de s n e l h e i d i n B r e l a t i e f d a a l t a l s de gemiddelde s n e l -h e i d i n B g r o t e r i s dan d i e van A. De s n e l -h e i d i n A z a l r e l a t i e f toenemen. I n -h e t gemiddelde z a l dus h e t s n e l h e i d s v e r s c h i l t u s s e n A en B b i j p u l s a t i e s g e r i n g e r z i j n dan zonder p u l s a t i e s . D i t e f f e c t i s analoog aan de i n v l o e d van een s c h u i f s p a n n i n g , d i e de s n e l l e r e l a a g v e r t r a a g t en de langzamere v e r s n e l t .

I n verband met de b e t e k e n i s van de f o r m u l e (24) v o o r h e t onderzoek b e -t r e f f e n d e de -t u r b u l e n -t i e z u l l e n we nog i e -t s d i e p e r op de Icwes-tie i n g a a n .

Daartoe beschoiwen we een v l o e i s t o f l a a g met l e n g t e L t u s s e n twee dwars-p r o f i e l e n en met a l s b o v e n v l a k de v m t e r s dwars-p i e g e l , t e r f f i j l h e t benedenvlak een hoog-t e z boven de bodem b e z i hoog-t . Beide v l a k k e n v e r l o p e n h o r i z o n hoog-t a a l over de b r e e d hoog-t e en l e n g t e v a n de r i v i e r , Y/e passen n u de i m p u l s s t e l l i n g t o e op deze v l o e i s t o f m a s s a . Deze z e g t , dat de som van de op deze h o e v e e l h e i d werkende u i t v / e n d i g e k r a c h t e n g e l i j k i s aan h e t o v e r s c h o t van de p e r t i j d s e e n h e i d u i t t r e d e n d e t . o . v , de binnenkomende 'U' i m p u l s .

Daar vro h i e r t e doen hebben met een s t a t i o n a i r e hoofdbevreging, waarop de t u r b u l e n t i e b e p a a l d door u ' , v"* , J , a l s h e t ware " gesuperponeerd " i s , behoeven we deze l a a t s t e a l l e e n t e beschowwen, We l a t e n êm ook w b u i t e n beschouwing-en ne^-. • men aan d a t de b r e e d t e g e l i j k aan ê é n i s . Door de z i j v l a k k e n i s de hoofdbevroging d e z e l f d e , t e r w i j l wegens de t u r b u l e n t i e e v e n v e e l i m p u l s z a l b i n n e n t r e d e n a l s v e r -t r e k k e n . We moe-ten dus h e -t i m p u l s v e r l o o p door h e -t benedenvlak nog b e z i e n , daar door het o p p e r v l a k geen i m p u l s kan binnenkomen. A l l e e n de i m p u l s door h e t benedenvlak b l i j k t een b i j d r a g e op t e l e v e r e n i n verband met h e t f e i t , dat de t u r b u l e n t i e v a n

de v l o e i s t o f n i e t i s o t r o o p i s wegens de s n e l h e i d s v e r a n d e r i n g d i e de v l o e i s t o f van de bodem t o t o p p e r v l a k o n d e r g a a t , immers: " J " ^ O I n d i e n e r geen s n e l h e i d s v e r a n -d e r i n g aanwezig i s , z a l -deze t u r b i i l e n t i e w e l i s o t r o o p z i j u , -d . w . z . i n i e -d e r p u n t z u l l e n de f l u o t u a t i e s u"^ en v ' o n a f h a n k e l i j k v a n e l k a a r z i j n en zowel u a l s v

20.

s t a t i s t i s c h v e r d e e l d z i j n . I n dat g e v a l z a l over een voldoend l a n g t i j d s i n t e r v a l ^ u'' v'' = 0 z i j n . Wegens de genoemde s n o l h e i d s v e r a n d e r i n g i s de t u r b u l e n t i e n i e t i s o t r o o p en we b e p a l e n n u de oomponente van de i m p u l s van de v l o e i s t o f d i e a l s ge-v o l g ge-van de t u r b u l e n t i e door h e t h o r i z o n t a l e ge-v l a k gaat en s p e c i a a l de oomponente

d i e i n de r i c h t i n g van de stroom v a l t . ( X r i o h t i n g ) » De massa p e r eenheid van o p p e r -v l a k , d i e i n de t i j d t door h e t beneden-vlak gaat ia^J^ u ^'z}t 5 '3® X-componente -van '

de s n e l h e i d i s v + v \ dus de X i m p u l s b e d r a a g t y u . (v + v'' ) . ^ t . Over een v o l -doend lange t i j d i s dus de X - i m p u l s p e r eenheid van oppervlalc gemiddeld g e l i j k aan:

J'

u^ .v"*

Deze X - i m p u l s w e r k t i n h e t beschouivde h o r i z o n t a l e g r e n s v l a k en g e e f t d e r h a l v e een s c h u i f spanning g e l i j k aan ~T (tyO^j- Over een o p p e r v l a k met l e n g t e L en b r e e d t e 1 i s ze g e l i j k aan iJ" ^ v^ L

V e r d e r w e r k t a l s u i t w e n d i g e k r a c h t de z w a a r t e k r a c h t v/egens h e t v e r h a n g van de w a t e r s p i e g e l ; haar g r o o t t e b e d r a a g t p e r eenheid van b r e e d t e en o v e r een hoogte

, ( H - z ) . y . g L i ( i = verhang w a t e r s p i e g e l ^ ö j

T e n s l o t t e w e r k t i n het h o r i z o n t a l e s c h e i d i n g s v l a k ook nog een schtiifspan-:,'-. n i n g a l s g e v o l g v a n de v i s c o s i t e i t , g e l i j k aary^^ » ~ L . U i t e i n d e l i j k w o r d t dus gevon^

den v o l g e n s de i m p u l s s t e l l i n g t o e g e p a s t op h e t beschouwde voluiTie;

/ g ' ( H - z ) i y ^ . | ^ ^ / u1 v1

Zoals reeds gezegd kan de v i s c e u s e s c h u i f s p a n n i n g worden v e r w a a r l o o s d t . o . v . de t u r b u l e n t i e , zodat g e s t e l d mag vrorden:

/ g . ( H - z) i.=fTT= -f^

Het i s n u de v r a a g o f i n h e t g e m . i d d e l d e J u^ v"' p o s i t i e f , n u l o f n e g a t i e f z a l z i j n . Het aniwoord l u i d t , dat ƒ u'' v^ i n h e t gemiddelde n e g a t i e f z a l z i j n , e v e n -a l s h e t verh-ang i i n d i e n u"^ i n de v e r t i c -a l e ^ z - r i c h t i n g ( t e g e n g e s t e l d -a-an de z^/v-a-arte- z^/vaarte-k r a c h t ) p o s i t i e f vrordt gerez^/vaarte-kend. D i t b l i j z^/vaarte-k t nader u i t h e t volgende p u n t . Ooz^/vaarte-k merz^/vaarte-ken

2 1 .

we nog o p , dat e r een z e e r nauw v e r b a n d b e s t a a t t u s s e n Y en de G c e i - t ó a t i e o o ë f f l ö l e n t

^ ' [ f ^ .v''^v/ior. .waardö a a n g o é f f hoe s t e r k de o o r r e l a t i e i s t u s s e n u"^ en v"^. Deze o o r

-ti

r e l a t i e c o e f f i o i e n t l u i d t n , l . ™u1 v1

2. Het v e r d e r e d o e l i s h u om v o o r u'' en v^ een meer p r a o t i s c h e f o r m u l e aan t e geven, h e t g e e n m o g e l i j k i s i . v . m . h e t f e i t , d a t i n de z - r i c h t i n g een s n e l h e i d s v e r v a l aan-w e z i g i s .

••/ordt n u een v l o e i s t o f m a s s a van een p l a a t s z met een gemiddelde s n e l h e i d i n x - r i c h t i n g g e l i j k aan v ( z ) i n de z - r i c h t i n g v e r p l a a t s t , a l s g e v o l g v a n u"^, dan z a l de s n e l h e i d , a l s ze i n een p u n t z + ] ^ i s a a n g e k o m e n , ^ v ( 2 + I j ) bedraden en dus i s h e t s n e l h e i d s v e r s c h i l b i j e e r s t e b e n a d e r i n g g e l i j k aan 1 | i - ï . ^ ^ ^ / c g . y ' ^ , j d_v

cl z

Deze r e d e n e r i n g h e e f t e c h t e r a l l e e n z i n a l s 1, zo g r o o t i s , d a t h e t v l o e i -s t o f d e e l t j e door vermenging met haar nieuvve omgeving nog n i e t h a a r i n d i v i d u a l i t e i t h e e f t v e r l o r e n . Aan h e t e i n d v a n . h a a r v/eg gekomen z a l h e t deelnemen aan de beweging v a n de l a a g , w a a r i n ze z i c h dan b e v i n d t «^cn daaraan haar s n e l h e i d a f g e v e n y ( ^ <>^-)«-u^J

?te moeten nu ook nog u'^ i n en 1 | u i t d r u l d c e n . Het i s wegens de e i s v a n d z

c o n t i n u f i y i o e i s t o f b e Y i f e g i n g g e r a a l d c e l i j k i n t e z i e n , dat u"^ en v"' v a n d e z e l f d e orde v v a n g r o o t t e z u l l e n z i j n . Immers a l s een v l o e i s t o f d e e l t j e u i t een p m i t i n de v e r t i è a l e z - r i c h t i n g , met s n e l h e i d u v e r t r e k t , z a l i n d i t p u n t ook de s n e l h e i d v een v a r i a t i e

V moeten ondergaan. D i t s t a a t ook i n v e r b a n d met h e t f e i t , d a t h e t p l a u s i b e l i s ,

d a t de t u r b x i l e n t i e z o w e l i n de X - a l s i n de Z - r i c h t i n g v a n d e z e l f d e orde z a l z i j n , en dus u^ en v^ ook v a n d e z e l f d e orde van g r o o t t e z u l l e n z i j n .

Men kan dus s t e l l e n :

1 1 2 f - , ^ ^ \ f ^ ^ ^ \ u ' v ' =

V-

C+ l i - • — ) • (+ l i )

a z d z

H i e r i n i s p 2 een g r o o t h e i d , d i e de o o r r e l a t i e van u ' en v ^ . n a d e r b e p a a l t . Het i s nog de v r a a g , hoe h e t s t a a t met h e t p r o d u c t ( + 1] ) • ( + 1.^ ) w a a r b i j a p r i o -r i v o o -r i e d e -r d e -r te-rmen op een moment o f h e t + t e k e n o f h e t - t e k e n genomen kan , •

22,

worden, i n d i e n n . l , en o n a f h a n k e l i j k v a n e l k a a r z i j n . D i t l a a t s t e b l i j k t n u n i e t h e t g e v a l , ook v/eer vanwege h e t f e i t , dat de s n e l h e i d i n de r i c h t i n g v a n h e t o p p e r v l a k ( z r i c h t i n g ) toeneemt. De n a a r bovengaande d e e l t j e s hebben een g e r i n g e r e v s n e l -h e i d , dan d i e van de -hoger gelegen l a g e n , zodat met p o s i t i e v e u'' vaak een n e g a t i e v e waarde v a n v^ z a l c o r r e s p o n d e r e n , dus L v o o r u'' mt - L. ^ - ^ v o o r v"! .

' ' d z ' d z

.ivenzo z u l l e n n a a r beneden gaande d e e l t j e s , dus met n e g a t i e v e u"!, vaalc met p o s i t i e

--1 ve V c o r r e s p o n d e r e n , I n m e e r d e r h e i d z a l dus g e s t e l d kxmnen w o r d e n :

2

1 1 T 2 <3 V U ' V '

^ M — .

d.-z T e n s l o t t e z a l dan i n h e t gemiddelde;

2

T 1 2 -,2 d Y u ' v ' =-p^ 1^1 , - X f c

z i j n » Het i s n u gewoonte om v o o r p i ] , 1 t e s t e l l e n en dan 1 de mengv/eg t e noemen. D i t i s n i e t g e h e e l j u i s t , w e l i s l i v a n d e z e l f d e oi-de a l s 1 , 1 b e v a t e o h t e r nog een

1 1

e v e h r e d i g h o i d s f a c t o r p , d i e de c o r r e l a t i e t u s s e n u en v a a n g e e f t ,

I n h e t algemeen z a l de mengvreg 1 van p l a a t s t o t p l a a t s v e r s c h i l l e n d z i j n , . ' . I n h e t b i j z o n d e r e g e v a l v a n de s t r o o m v e r t i c a a l i s h i e r o v e r door Karman een u i t s p r a a k gedaan s t e e d s uitga.ande v a n de v e r o n d e r s t e l l i n g , dat de v i s o d s i t e i t t e v e r w a a r l o z e n i s t , o , v , de t u r b u l e n t i e , hetgeen h e t g e v a l i s b i j g r o t e r e v/aarden v a n h e t g e t a l v a n R o j m o l d s .

3. We behandelen n u nog i n h e t k o r t de f o r m u l e v a n Karman (27) , d i e

h o t v e r l o o p v a n de mengi/reg 1 n a d e r b e h a n d e l l j . De a f l e i d i n g , d i e Karman gegeven h e e f t , i s zeer i n g e w i k k e l d en we z u l l e n h i e r s l e c h t s h e t p r i n c i p e noemen, d a t aan deze f o r -mule t e n g r o n d s l a g l i g t : n . l . :

Het p a t r o o n v m i de s e c u n d a i r e beYreging ( u ' ,v1 ) i s ' van p u n t t o t p u n t s t a - l t i s t i s c h o v e r e e n k o m s t i g , dus de c o r r e l a t i e p2 i n a l l e p u n t e n v a n de v l o e i s t o f be** t r e f f e n d e u^ en v'' i s d e z e l f d e , b e h a l v e b i j bodem en oppervlalc.

23.

Het g e h e l e v e r s c h i j n s e l i s dan nog a f h a n k e l i j k v a n de l e n g t e s o h a a l 1 , Voor deze l a a t -s t e w o r d t de' mengweg 1 v a n P r a n d t l gekozen, ( e i g e n l i j k zou I ] moeten w o r d e n genomen) t e r w i j l w o r d t g e s t e l d : d_y_^ d z (27) 1 = - k — ~ d£v dz2"

H i e r i n i s k oen nog nader t e b e p a l e n c o n s t a n t e , d i e een u n i v e r s e e l k a r a k t e r s c h i j n t t e d_v

a z

b e z i t t e n , t e r w i j l de f u n c t i e ™ — , cle dimensie v a n een l e n g t e ' h e e f t , z o a l s v e r e i s t : dz^

B e t r e f f e n d e de b e t e k e n i s v a n de voornoemde v e r o n d e r s t e l l i n g v o o r de s n e l -h e i d s v e r t i c a a l merken we nog -h e t v o l g e n d e op: ,

L a a t v o o r z^ en Z2,

vizf)

cn v ( z 2 ) gegeven z i j n . We s t e l l e n n u v o o r v ( z ) , r e s p , i n de omgeving v a n z^ en Z2 , de b i j b e h o r e n d e r e e k s v a n T a y l o r o p , a l a v o l g t : v ( z - j + ^ z ) = v ( z - i ) + v^ (z-] )A z + v l l (z^ )A 7?+ c . v(2^+ A z ) = v ( ^ )+ V* ( z 2 ) i 2+v' ( 2 2 ) ^ 2 ^ + . . . A l g de v e r s c h i l l e n d e c o ë f f . v a n deze b e i d e f o r m u l e s e v e n r e d i g zouden z i j n , g e l d t : V (z2) v " (z2) v ' " (z2) W© beschouwen n u a l l e e n v^ ( z J v ^ ^ ( z ^ ) v"' (z^) V^ (Zg) _ ^ , o f = c o n s t a n t . 7 7 ^ 2 ) v^^(z2) v ^ ^ - l ) V (z2) A l s d i t g e l d t v o o r i e d e r e waarde z, z a l = c o n s t a n t v (2) z i j n .

24.

Aan deze b e t r e k k i n g b l i j k t n u v o l g e n s de vooPAraarde van Karman v o l d a a n te z i j n , m i t s v o o r de c o n s t a n t e w o r d t g e s u b s t i t u e e r d .

V o l g e n s h e t voorgaande h e e f t dus op grond van de voorwaarde v a n Karman, de r e e k s v a n T a y l o r en dus de s n e l h e i d s v e r d e l i n g i n de omgeving van i e d e r p u n t b i j e e r -s t e b e n a d e r i n g een overeenkom-stige v o r m .

Immers s t r i k t genomen zou ook moeten g e l d e n , dat

^1 = c o n s t a n t i s enz.

V"

( z )

maar zo v e r g a a t Karman n i e t .

P a r . 7. Het v e r l o o p v a n de s n e l h e i d s v e r d e l i n g b i j de bodem. V o o r t z e t t i n g van deze f o r m u l e t o t aan h e t opperylalg.

Aan h e t v e r l o o p van de s n e l h e i d s v e r d e l i n g b i j de bodem z i j n i n de l i t e r a t u u r t a l r i j k e beschotcwingen g e w i j d . Hetgeen nu v o l g t i s een meer mathematische a a n v u l l i n g b e t r e f f e n d e hetgeen over het v e r l o o p b i j de bodem ; i n p a r . 4 behandelci i s .

a. B i j de bodem i s i e d e r e t r a n s v e r s a l e beweging o n m o g e l i j k ( u = O) en dus ook i e d e r e u i t w i s s e l i n g v a n h o e v e e l h e i d van beweging, ( z i e paï-. é ) . Het g e v o l g i s dat b i j de bodem a l l e e n ' / v i s c ^ ^ l " 'bestaan en^l ^^^.^ g e l i j k aan n u l z a l z i j n . Men z a l dus b i j de bodem een l a m i n a i r e l a a g moeten aannemen, w a a r i n de s n e l h e i d j f l i n e a i r v e r -l o o p t , ( z i e f i g u u r ) . Vo-lgens deze f i g u u r g e -l d t v o o r de -l a m i n a i r e -l a a g :

(30)

=

o v e r g a n g s l a a g l a m i n a i r e l a a g A n d e r z i j d s i s v o l g e n s (22) en (22a)

(31 )

ay_ _ dz ^ Z o a l s i n p a r . 4 i s u i t e e n g e z e t , b e v i n d t z i c h t u s s e n de z u i v e r t u r b u l e n -bodem t e l a a g en de z u i v e r l a m i n a i r e l a a g een o v e r g a n g s l a a g w a a r i n de l a m i n a i r e o v e r g a a t i n de t u r b u l e n t e b e w e g i n g . V o o r ' d e z e l a a g met hoogte ( z t ) g e l d t dus dat

25.

i n de b e t r e k i c i n g

C = v v i $ t + c t u r b

b e i d e termen v a n b e t e k e n i s z i j n . I n deze ovorgangslaag t r e e d t ê u s roeds u i t w i s s e l i n g v a n h o e v e e l h e i d v a n beweging met b e h u l p van v e r t i c a l e p u l s a t i e s o p .

Het i s i n de e e r s t e p l a a t s de v r a a g , hoecT en z t b e p a a l d moeton worden, I n h e t algemeen kan men daarover s l e o h t s s c h a t t i n g e n maken. Het i s t e b e g r i j p e n , d a t deze waarden ook a f h a n k e l i j k z i j n v a n de mate v a n t u r b u l e n t i e i n de h o o f d s t r o o m . Zo kam men a f l e i d e n , dat b i j toenemende i n v l o e d van de t u r b u l e n t i e , v m a r b i j h e t ge¬ t a l van Reynolds R maatgevend i s , de waarde van d'' z a l afnemen. Op r i v i e r e n z a l d é z e waarde v a n c / dan ook t e v e r w a a r l o z e n k l e i n z i j n . Het h e e f t dan s l e c h t s z i n om de o¬ v e r g a n g s l a a g t e beschouwen.

B i j h e t voorgaande moet nog opgemerkt v/orden, dat t e v e n s de aard der r u w h e i d van de wand van e s s e n t i ë l e b e t e k e n i s i s v o o r de s t r o m i n g i n de t u r b u l e n t e l a a g .

I n d i e n n . l . de wand zeer g l a d i s , zodanig dat de hoogteixder o n e f f e n h e d e n b e l a n g r i j k

k l e i n e r z i j n dan cP , z u l l e n deze o n e f f e n h e d e n geen i n v l o e d u i t o e f e n e n op de mate v a n '-iv t u ï ? b u l e n t i e i n de h o o f d s t r o m i n g . Do t u r b u l e n t e h o o f d s t r o m i n g w o r d t dan v o l l e d i g b e p a a l d door h e t t u r b u l e n t e gedrag v a n de v l o e i s t o f b i j de voorkomende gemiddelde s n e l h e d e n , a f h a n k e l i j k van h e t g e t a l van Reynolds Rg = " p "

I n d i e n e c h t e r de wand o f de bodem r'uw i s , z o a l s Qp r i v i e r e n h e t g e v a l i s , en dus de hoogte der o n e f f e n h e d e n ook g r o t o r d a n # . i s , z u l l e n d e z e t m o f f e n f a e d è n / v i a de genoemde o v e r gang s l a a g . D a n ^ V ö T w ^ a r ' d e v a n R^ i n v e e l mindere mate b e p a l e n d en z a l ook i n de overgangslaag reeds spoedig d^^j b e l a n g r i j k k l e i n e r dan

i^.^^-^

z i j n .

U i t t h e o r e t i s c h e en e x p e r i m e n t e l e beschouv/ingen z i j n v o o r </* v e r s c h i l l e n de f o r m u l e s a f g e l e i d . Deze f o r m u l e s hebben e c h t e r h o o f d z a k e l i j k b e t r e k k i n g op h y d r a u l i s c h gladde vfanden, Voor h y d r a u l i s c h ruwe wanden, i n w e l k g e v a l we b i j r i v i e r e n v e r k e r e n , z i j n nog geen t h e o r e t i s c h v e r a n t w o o r d e b e r e k e n i n g e n o p g e s t e l d ; i n v e r -band hiermede v e r g e l i j l c e n we a l l e e n met ae f o r m u l e v o o r gladde wanden:

26.

^ ^ ^ ^ ' ^ -^"^^^^ • • o f wegens • Vgem, = ^ i ^ ' *

(32)

V

w

r gem

We z u l l e n t e n s l o t t e v o o r do s n e l h o i d s v e r t i o a a l een b o n a d e r i n g s f o r m u l e aange-v e n , d i e b u i t e n de l a m i n a i r e en de z , g . o aange-v o r g a n g s l a a g , maar t o c h nog aange-v o o r waarden v a n z d i e voldoende k l e i n z i j n (dus d i c h t b i j de bodem), a l s voldoende kan worden

be--schouwd. M e r k w a a r d i g e r w i j s b l i j k t deze f o r m u l e z e l f s v o o r de gehele v e r t i c a a l b e v r e d i - . .v gende r e s u l t a t e n t e geven; h i e r v o o r i s ook w e l een nadere v e r k l a r i n g t e geven,

c r . I n de e e r s t e p l a a t s kan men v e r o n d e r s t e l l e n d a t v l a k b i j de bodem L w e x n i g z a l v a i - i e r e n en dus b i j de e e r s t e b e n a d e r i n g g e l i j k z a l z i j n aan ««Q b i j de bodem, dus

*Z = T Q ^ l / g i H ( z i e 1 9 )

Nu z u l l e n i n de genoemde o v e r g e n g s l a a g beschouwingen g e l d e n a l s i n p a r , 6,

dus b . v . ook de b e t r e k k i n g e n (24),(25) ,(26) en ( 2 ? ) .

H i e r b i j z a l dan r e k e n i n g gehouden moeten worden met h e t f e i t , dat b i j t o e -nemende z, d.w. z. b i j g r o t e r e a f s t a n d v a n de bodem, u"^ en v"^ z u l l e n toenemeng, t e a r w i j l

op de bodem z e l f u'' en v'' g e l i j k aan n u l z i j n .

1 1

Het l i g t v o o r de hand om t e v e r o n d e r s t e l l e n , dat u en v l i n e a i r met a z u l l e n toenemen. D i t w o r d t t o t u i t d r u k k i n g g e b r a c h t door v o l g e n s P r a n d t l v l a k b i j de bodera, de mengweg 1 e v e n r e d i g met z t e l a t e n toenemen en dus t e s u b s t i t u e r e n ;

(33) 1 = k z ( k i s een nader t e b e p a l e n c o n s t a n t e , d i e g e l i j k b l i j k t t e z i j n aan de waa.rde van k u i t de f o r m u l e van Karman).

Volgens (26) en h e t f e i t dat L = / Q i s , v o l g t ; 2 , . ., d V V g i H M l ^

2

/ d v \ 2 , d V (34) f \ z z / \ = * f goll oi — — ^ \A z] ^ . d z k g (35) v = ^-^^ l'ttz + A ( i onder w o r t e l t e k e n w o r d t p o s i t i e f g e r e k e n d ) . z o d a t ; k V o l g e n s de a f l e i d i n g g e l d t deze f o r m u l e s l e c h t s v o o r een b e p e r k t e a f s t a n d boven de bodem.

27.

De i n t e g r a t i e O o n s t a n t e A moet dan-fe*¥% u i t de volgende voorwaarde b e p a a l d w o r d e n | d a t v o o r 25 = z ^ b . v , v moet a a n s l u i t e n aan de v e r d e l i n g ( I ) , d i e v o o r h e t i n t e r v a l

g e l d t .

Men kan n u nagaan i n h o e v e r r e deze f o r m . (35) ook v o o r g r o t e r e w a r d e n van z, t o t z = H, z a l a f w i j k e n van de s n e l h e i d s v e r d e l i n g ( i ) d i e ook i n p a r . 2 b e h a n d e l d i s . Deze v e r g e l i j k i n g i s i n p a r , 2 g e t r o f f e n , waar immers ( i ) en (2) met e l k a a r v e r g e i l e k e n z i j n . De f o r m u l e (2) w o r d t dan gevonden u i t (35) door de i n t e g r a t i e c o n s t a n t e zo t e b e p a l e n , d a t v o o r z = H, v = v^^^^^ en dus:

(2) V = v „ „ ^ + l n è- . Z i e v o o r deze v e r g e l i j k i n g weer f i g . 1, Het b l i j k t dan dat e r een onverv/-acht goede overeenstemming i s .

Het i s e o h t e r m o g e l i j k om de f o r m u l e (2) nog op andere w i j z e a f t e l e i d e n , waarmede^ t e v e n s h e t zo j u i s t genoemde r e s u l t a a t d a t deze f o r m u l e v o o r de g e h e l e v e r t i -c a a l b e v r e d i g e n d e r e s u l t a t e n g e e f t - , e n i g s z i n s g e m o t i v e e r d w o r d t .

Zo k a n men ook u i t g a a n v a n de w e r k w i j z e v a n v . Karman a l s i n p a r . ó g e s c h e t s t . Met h e t v e r s c h i l e c h t e r d a t C = ^0 g e s t e l d . Dus:

d V d z

~ k = V g i H

V g i H

dz

U i t deze d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g kan eveneens (2) a f g e l e i d w o r d e n , m i t s de e e r s t e i n t e g r a t i e c o n s t a n t e weer vrordt b e p a a l d u i t de voorv/aarde d a t v e o r z = O,

i L . 3 00^ i s v r e l i s w a a r n i e t o n e i n d i g , maar t o c h zeer g r o o t . ' ^ " 4 ^ * * ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ " d z (3 z

Door P r a n d t l v/erd dus b l i j k e n s (33) v e r o n d e r s t e l d , d a t b i j toenemende z ook de mengweg t t j e z a l nemen. D i t i s e c h t e r v o o r de g e h e l e v e r t i c a a l n i e t j u i s t , i m -mers v o o r z =H z a l 1 weer g e l i j k aan n u l moeten z i j n . Men kan h i e r a a n tegemoet komen

door t e s t e l l e n :

(3é) 1

= kz

/ 1

-

-f-Dan i s zowel v o o r z = O, a l s z = H , 1 = 0 .

28.

c o n s t a n t i s , maar kunnen de j u i s t e u i t d r u k k i n g v o o r t aanhouden. U i t L = • ƒ g H i ( 1 - -rr ) v o l g t . d a n v/eer:

H

en dus f o r m u l e (34), m i t s (36) i s t o e g e p a s t , hiermede i s dus een meer algemene r e c h t v a a r d i g i n g v o o r de f o r m u l e (2) v e r k r e g e n , d i e b i j b e n a d e r i n g g e l d t v o o r h e t g e h e l e i n -t e r v a l

(CT^H).

Het e i g e n l i j k e d o e l v a n de ge p a r a g r a a f b e t r o f e c h t e r het v e r l o o p v a n de s n e l -h e i d s v e r d e l i n g d i c -h t b i j de bodera.

I n verband hiei-mede z u l l e n we h e t v e r l o o p v a n de t h e o r e t i s c h e f o r m u l e s , d i e i n deze en de v o r i g e p a r a g r a a f z i j n a f g e l e i d , n a d e r b i j de bodem onderzoeken en w e l spe-c i a a l v o o r h e t i n t e r v a l z - O, z =tf

Voor de f o r m u l e s (I ) en (2) kan d i c h t b i j de bodem g e s t e l d ivordens

0 ) v c ^ v ^ , ^ - . ( 1 - l n 2 . 1 n | )

( 2 ) V = V -f ^ S S . , m

4 .

max k H

I n d i e n zeer k l e i n i s , z a l ( 1 - l n 2 ) een k l e i n e waarde hebben t . o . v , de n e g a t i e v e waarde v a n l n ~ - , zodat dan de f o r m u l e s ( I ) en (2) een o v e r e e n k o m s t i g v e r l o o p

H hebben. L a a t v o l g e n s de f o r m u l e s (1 ) en (2) r e s p . v o o r Zj^ en Z2 , V = O z i j n . Dan i s ; _ , V -

1

+ l n 2

^ \. J"^!

max •g- = e V g i H