Zajecia

Podstawy matematyki

Wykład 5 - Funkcje wielu zmiennych, wykresy, grupy, permutacje

Oskar Kędzierski 10 maja 2020

Funkcje wielu zmiennych

Definicja

Funkcją

wielu zmiennych

nazywamy dowolną funkcję

f : X₁× . . . × Xn−→ Y ,

gdzie X₁, . . . , Xn, Y są zbiorami. Uwaga

Dla x₁ ∈ X₁, x₂∈ X₂, . . . , xn∈ Xn, na ogół, zamiast pisać

f((x₁, x₂, . . . , xn))piszemyf(x₁, x₂, . . . , xn). Przykład

Na przykład, funkcja f: R3→ R zadaną wzorem

Funkcje wielu zmiennych cd.

Przykład

Macierze M(m × n; K)om wierszach,n kolumnach i

współczynnikach w cieleK można utożsamić z funkcjami f: {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → K.

Utożsamienie jest zadane przez bijekcję, gdzie A= [aij]

Wykres relacji

Definicja

Wykresem relacjiR ⊂ Rm_{× R}n gdzie_{n+ m ≤}3 nazywamy

graficzne przedstawienie punktów (x, y ) ∈ Rm× Rn takich, że xRy

w

kartezjańskim układzie współrzędnych

.

Przykład Wykres relacjiR = {(x, y ) ∈ R × R | x + y2 =1} −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 0 1 2 x y

Wykres relacji – własności

Stwierdzenie

Relacja jest R⊂ R × Rjest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy każda

prosta równoległa do osi 0y przecina wykres relacji w dokładnie

jednym punkcie. Przykład −3 −2 −1 1 2 3 −2 −10 1 2 x y R= {(x, y ) ∈ R × R | x + y2=1} −2 −1 1 2 −2 −10 1 2 x y R= {(x, y ) ∈ R × R | y = x3− x}

Funkcje rzeczywiste

Definicja

Dla dowolnego zbioru X funkcję f: X → R

nazywamy

funkcją rzeczywistą.

Funkcję f : Rn_{→ R} nazywamy

funkcją rzeczywistą n zmiennych rzeczywistych.

Przykład

Funkcja f : R2 → Rzadana wzorem f(x, y ) =1− x2− y2 jest

Funkcje rzeczywiste – przykład

−2 ₋₁ 0 ₁ 2 −1 0 1 −4 −2 0 x y z

wykres funkcji

f(x, y ) =

1

− x2− y2

Zestawienie funkcji

Definicja

Dla dowolnych zbiorów X, Y₁, . . . , Yn oraz funkcjifi: X → Yi,

gdzie i =1, . . . , n, funkcję

f: X → Y₁× · · · × Yn

zadaną wzorem f(x) = (f₁(x), f₂(x), . . . , fn(x)) dlax ∈ X

nazywamy

zestawieniem

funkcji f₁, . . . , fn. Piszemy

f = (f₁, . . . , fn). Przykład

Funkcja f : R2 → R2 zadana wzorem f(x, y ) = (x + y , x − y ) jest

zestawieniem funkcji f₁, f₂: R2 → Rzadanych wzorami f₁(x, y ) = x + y , f₂(x, y ) = x − y.

Zestawienie funkcji cd.

Stwierdzenie

Jeśli co najmniej jedna funkcja fi jest różnowartościowa, to funkcja

f = (f₁, . . . , fn) jest różnowartościowa. Jeśli funkcja f = (f1, . . . , fn)

jest „na”, to funkcje f₁, . . . , fn sa funkcjami „na”. Uwaga

Funkcja f : R2 → R2 zadana wzorem f(x, y ) = (x + y , x − y ) jest

różnowartościowa ale żadna z jej składowych nie jest

różnowartościowa. Funkcja (idX, idX) nie jest „na” ale jej składowe

Iloczyn kartezjański funkcji

Definicja

Dla dowolnych zbiorów X₁, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn oraz funkcji

fi: Xi → Yi,gdzie i=1, . . . , n, funkcję

f: X₁× · · · × Xn→ Y1× · · · × Yn

zadaną wzorem f(x₁, x₂, . . . , xn) = (f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn))dla

xi ∈ Xi nazywamy

iloczynem kartezjańskim

funkcji f1, . . . , fn.

Piszemy f = f₁× . . . × fn. Przykład

Funkcja f : R2 → R2 zadana wzorem f(x, y ) = (2x+1, −y )jest

iloczynem kartezjańskim funkcji f₁, f₂: R → Rzadanych wzorami f₁(x) =2x+1, f₂(x) = −x.

Iloczyn kartezjański funkcji cd.

Stwierdzenie

Funkcja f = f₁× . . . × fn jest różnowartościowa wtedy i tylko

wtedy, gdy funkcje f₁, . . . , fn są różnowartościowe. Funkcja

f = f₁× . . . × fn jest funkcją „na” wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje

f₁, . . . , fn są funkcjami „na”. Przykład

Funkcja f : R2 → R2 zadana wzorem f(x, y ) = (2x+1, −y )jest

wzajemnie jednoznaczna. Funkcja f = f₁× f₂ oraz funkcje f₁(x) =2x+1, f₂(x) = −x są funkcjami wzajemnie

Relacja odwrotna – przypomnienie

Definicja

Dla dowolnej relacjiR ⊂ X × Y definiujemy relację odwrotną R−1 ⊂ Y × X warunkiem

yR−1x ↔ xRy .

Stwierdzenie

Dla dowolnej relacjiR ⊂ R × Rwykres relacjiR−1 ⊂ R × Rjest

obrazem wykresu relacji R w symetrii prostopadłej względem

prostej U = lin((1,1)).

Dowód.

Odwzorowanie liniowe ϕ : R × R ∋ (x, y ) 7→ (y , x) ∈ R × R

przeprowadza wykres relacji R na wykres relacji R−1. Zauważmy, że ϕ((1,1)) =1· (1,1) orazϕ((1, −1)) = (−1) · (1, −1) zatem 1 oraz −1 są wartościami własnymi z prostopadłymi przestrzeniami

Wykres relacji odwrotnej – przykład

−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 x y R ={(x,y )∈R×R|x+y2=1} R−1_{={(x,y )∈R×R|x}2_{+y =1}}

Funkcja odwrotna

Stwierdzenie

Funkcja f : X → Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną wtedy i

tylko wtedy, gdy relacja odwrotna f−1⊂ Y × X jest funkcją.

Dowód.

(→) funkcja wzajemnie jednoznaczna f posiada funkcję odwrotną f−1: Y → X ,która jest zarazem relacją odwrotną,

(←) jeślif−1: Y → X jest funkcją, tof−1◦ f = idX oraz

f ◦ f−1 = idY,zatem f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Przykład

Funkcją odwrotną do funkcji f: R \ {1} → R \ {2} zadaną wzorem f(x) = 2_x−x+₁1 jest funkcja f−1: R \ {2} → R \ {1} zadana wzorem f−1(x) = x+_x−1₂.

Funkcja odwrotna – przykład

X

różnowartościowa ale nie „na’

Y X

„na” ale nie różnowartościowa

Y

X

ani różnowartościowa ani „na”

Y X

wzajemnie jednoznaczna

Funkcja odwrotna – przykład cd.

X

to nie jest funkcja

Y

Uwaga

Na poprzednim slajdzie, po odwróceniu kierunku strzałek, jedynie w przypadku funkcji wzajemnie jednoznacznej otrzymujemy funkcję.

Grupa

Definicja

Grupą

nazywamy zbiór G wyposażony w funkcję · : G × G → G ,

zwaną

działaniem

(lub

mnożeniem

), spełniającą warunki:

i) ∀a,b,c∈G (a · b) · c = a · (b · c)(łączność działania),

ii) ∃e∈G∀a∈G a· e = e · a = a(istnienie elementu neutralnego

względem działania),

iii) ∀a∈G∃a−1_∈G a· a−1 = a−1· a = e (istnienie elementu

odwrotnego względem działania).

Jeśli dodatkowo, zachodzi warunek ∀a,b∈G a· b = b · a grupę

nazywamy

przemienną

(lub

abelową

). Grupę, która nie jest przemienna nazywamy grupą

nieprzemienną

. Liczbę elementów grupy G (gdy jest skończona) nazywamy

rzędem

grupy G.

Uwaga

Własności

Stwierdzenie

Niech G będzie grupą. Wtedy

i) element neutralnye ∈ G jest wyznaczony jednoznacznie,

ii) dla dowolnego a∈ G element odwrotny a−1 jest wyznaczony

jednoznacznie,

iii) dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi(ab)−1= b−1a−1.

Dowód.

i) przypuśćmy, że e, e′ ∈ G są elementami neutralnymi, wtedy e = ee′ = e′,

ii) przypuśćmy, że dla pewnego a∈ G elementyb, c ∈ G są

elementami odwrotnymi do a, wtedy b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c,

iii) (ab)(b−1_a−1_{) = aea}−1 _{= aa}−1 _{= e}, element odwrotny jest

Przykłady grup

i) (Z, +)z elementem neutralnym 0 jest grupą przemienną,

ii) dla dowolnego ciałaK, grupami przemiennymi są (K, +) z

elementem neutralnym 0 (grupa addytywna ciała K) oraz (K \ {0}, ·) z elementem neutralnym 1 (grupa multyplikatywna

ciała K),

iii) dla dowolnego ciałaKgrupą (przemienną dlan =1 i

nieprzemienną dla n≥2) jest zbiór macierzy odwracalnych GL(n; K) = {A ∈ M(n × n; K) | det A 6=0} o współczynnikach

w ciele K,z mnożeniem macierzy jako działaniem oraz

macierzą identyczności I jako elementem neutralnym,

odwrotnością macierzyA jest macierz odwrotnaA−1,

iv) (N, +)z elementem neutralnym 0

nie jest

grupą (nie istnieją

elementy odwrotne),

Przykłady grup cd.

vi) pierwiastkin−tego stopnia z jedynki tj. 1, εn, ε2n, . . . , εn−n 1,

gdzieεn= e

2πi

n , wraz z mnożeniem tworzą grupę przemienną

rzędu n. Nazywamy ją

grupą cykliczną rzędu

n i oznaczamy Cn.

Rząd elementu grupy

Definicja

Rzędem elementu a∈ G nazywamy najmniejszą liczbę naturalną n ≥1 taką, żean=

nrazy

z }| {

a· a · . . . · a = e. Jeśli taka liczba nie istnieje,

mówimy, że ama

nieskończony rząd.

Rząd elementuaoznaczamy

przez rz(a).

Przykład

i) rz(e) =1 oraz rz(a) = rz(a−1₎dla dowolnej grupy _G,

dowolnego elementua∈ G oraz elementu neutralnegoe,

ii) rz  _{0 1} 1 0  =2, rz  _{1 1} 0 1  = ∞w grupie GL(2; R), bo  0 1_{1 0} 2 = I oraz  _{1 1} 0 1 n =  ₁ n 0 1  6= I dla n≥1,

iii) w grupie cyklicznej rzędu 6 mamyrz(1) =1, rz(ε3₆) =

Permutacje

Definicja

Jeśli X jest zbiorem skończonym, to każdą funkcję wzajemnie

jednoznaczną f: X → X nazywamy

permutacją

zbioruX.

Stwierdzenie

Permutacji zbiorun-elementowegoX jestn! =1·2·3· · · (n −1) · n.

Dowód.

Konstruujemy funkcję wzajemnie jednoznaczną ze zbioru X na zbiór X. Pierwszy element zbioruX może przejść nan dowolnych

elementów. Drugi element zbioru X może przejść nan−1

Permutacje cd.

Stwierdzenie

Jeśli f, g : X → X są permutacjami zbioru X, to permutacjami są

też funkcje g ◦ f orazf−1.

Dowód.

Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych (odp. funkcji „na”) jest funkcją różnowartościową (odp. funkcją „na”). Funkcja odwrotna do funkcji wzajemnie jednoznacznej jest funkcją wzajemnie

jednoznaczną.

Stwierdzenie

Niech X będzie zbiorem skończonym af : X → X funkcją.

Następujące warunki są równoważne:

i) f jest funkcją różnowartościową,

ii) f jest funkcją „na”,

Permutacje cd.

Dowód.

Z poprzedniego wykładu, jeśli złożenie g◦ f jest funkcją

różnowartościową (odp. funkcją „na”), to f (odp.g) jest funkcją

różnowartościową (odp. funkcją „na”). Oraz, jeślig ◦ f = g ◦ f′

(odp. g ◦ f = g′◦ f) orazg jest funkcją różnowartościową (odp.f

funkcją „na”), to f = f′ (odp._{g = g}′).

Zauważmy, że gdy f jest funkcją różnowartościową lub funkcją „na”,

w zbiorze {fn_{| n ≥}1_}pewne złożenia muszą wystąpić co najmniej

dwukrotnie (liczba funkcji X → X jest skończona), tzn. istnieją m> m′ ≥1 takie, że fm = fm′

, co z powyższych własności daje, że fm−m′ = idX.

i) → ii) istniejen≥1 takie, że fn= idX. Gdyn=1, tof = idX,

gdy n≥2,tof ◦ fn−1 _{= id}

X zatemf jest funkcją „na”, boidX jest

Permutacje cd.

Dowód.

ii) → iii) istniejen ≥1 takie, że fn= idX. Gdy n=1, to f = idX,

gdy n≥2,tofn−1◦ f = idX zatemf jest funkcją

różnowartościową (bo idX jest funkcją różnowartościową), zatemf

jest odwzorowaniem wzajmenie jednoznacznym, iii) →i) oczywiste

Grupa permutacji

Wniosek

Wszystkie permutacje zbiorun−elementowego X tworzą grupę,

oznaczaną Sym(X )(lub Sn dlaX = {1, . . . , n}).

Działaniem w tej grupie jest składanie funkcji, elementem neutralnym jest identyczność idX a elementem odwrotnym do

funkcji f jest funkcja odwrotnaf−1.

Dla dowolnych f, g , h ∈ Sym(X )zachodzą warunki

i) (f ◦ g ) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),

ii) f ◦ idX = idX◦f = f ,

iii) f−1◦ f = f−1◦ f = idX .

Jest to grupa rzędu n!, przemienna dla n=1,2, nieprzemienna dla n ≥3.

Grupa permutacji cd.

Definicja

Grupę Snwszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n} nazywamy

grupą

Zapis permutacji

Od tej pory przyjmujemy, że X = {1,2, . . . , n −1, n}.

Permutacja f ∈ Snjest jednoznacznie wyznaczona przez obrazy

kolejnych elementów 1,2, . . . , n.

Notacja

Permutację f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}zapisujemy przy pomocy

tabelki f =  _{1 2} . . . n−1 n f(1) f (2) . . . f (n −1) f (n)  .

Zapis permutacji cd.

Przykład

Niech n=5. Niech permutacjaf ∈ Sn będzie zadana warunkami

f(1) =5, f (2) =4, f (3) =1, f (4) =2, f (5) =3. Wtedy f = _{1 2 3 4 5} 5 4 1 2 3  . Przykład id = _{1 2 3 4 5} 1 2 3 4 5 

Składanie permutacji

Permutacje składamy stosują najpierw tabelkę permutacji stojącej po prawej stronie złożenia, a potem tabelkę permutacji stojącej po lewej stronie złożenia.

Przykład Niech f = 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3  , g = 1 2 3 4 5 2 1 3 4 5  . Wtedy f ◦ g = _{1 2 3 4 5} 4 5 1 2 3  , g◦ f = _{1 2 3 4 5} 5 4 2 1 3  .

Widać, że f ◦ g 6= g ◦ f. Niech id = 1 2 3 4 5_{1 2 3 4 5}
. Wtedy f ◦ id = id ◦f = f , g◦ id = id ◦g = g .

Składanie permutacji cd.

Przykład Niech f = _{1 2 3 4 5} 5 4 1 2 3  , g = _{1 2 3 4 5} 2 1 3 4 5  . Zauważmy, że g2 = g ◦ g = _{1 2 3 4 5} 1 2 3 4 5  = id .

Zatem rz(g ) =2, to znaczy rząd elementu g to 2. Można

Permutacja odwrotna

Permutację odwrotną liczymy zamieniając wiersze tabelki, a potem porządkując pierwszy wiersz.

Przykład Niech f = _{1 2 3 4 5} 5 4 1 2 3  , g = _{1 2 3 4 5} 2 1 3 4 5  . Wtedy f−1 = _{1 2 3 4 5} 3 4 5 2 1  , g−1= g = _{1 2 3 4 5} 2 1 3 4 5  .

Można sprawdzić, że

Rząd potęgi elementu

Stwierdzenie

Niech f ∈ SN będzie permutacją rzędun (rz(f ) = n) zbioru

N−elementowego, tj. fn_{= id}oraz liczba_{n ≥}1 jest najmniejszą

liczbą o tej własności. Wtedy, dla dowolnej liczby naturalnej m≥1

zachodzi

rz(fm) = NWW(n, m)

m .

Dowód.

Niech k ≥1 będzie taką liczbą naturalną, że (fm₎k _{= f}mk _{= id .}

Podzielmy liczbę mk z resztą przez n.Istnieje zatem liczba

naturalna l oraz liczba naturalna r spełniająca warunek 0≤ r < n

takie, że mk = ln + r. Ponieważfln_{= (f}n₎l _{= id}l _{= id}mamy

(fm₎k _{= f}nl_fr _{= f}r _{= id}. Z definicji liczby _n wynika, że _r=0.

Zatem mk = ln, czyli liczbamk jest wielokrotnościąm in.

Najmniejsza taka liczba jest najmniejszą wielokrotnością m in,

Rząd potęgi elementu cd.

Przykład Niech f = _{1 2 3 4 5} 5 4 1 2 3  , g = _{1 2 3 4 5} 2 1 3 4 5  ,

gdzie rz(f ) =6, rz(g ) =2. Wtedy, na przykład rz(f3) = NWW(3,6)

3 =2, , rz(f4) = NWW(44,6) =3, oraz

Rząd potęgi elementu cd.

Uwaga

Dla dowolnych liczb naturalnych m, n ≥1 zachodzi wzór NWW(n, m)

m =

n NWD(n, m),

Cykle

Niech 1≤ k ≤ noraz niech 1≤ i₁, i₂, . . . , ik ≤ n będą parami

różnymi liczbami naturalnymi.

Definicja

Cyklem nazywamy permutację f ∈ Sn taką, że istnieją liczby

i₁, . . . , ik jak wyżej oraz

f(x) =    ij+1 x = ij, j =1, . . . , k −1 i₁ x = ik x x 6= ij

Piszemy wtedy f = (i₁, i₂, . . . , ik). Liczbęk nazywamy długością

cyklu.

Uwaga

Oczywiście (i₁, i₂, . . . , in) = (i2, i3, . . . , in, i1) =

(i₃, i₄, . . . , in, i1, i2) = . . . = (in, i1, i2, . . . , in−2, in−1). Cykl długości

Cykle cd.

Przykład Na przykład f = 1 2 3 4 5_{3 2 5 4 1}
= (1,3,5) = (3,5,1) = (5,1,3) oraz f(1) =3, f (3) =5, f (5) =1 oraz f(x) = x dlax 6=1,3,5. Przykład Niech f = _{1 2 3 4 5} 5 4 1 2 3  , g = _{1 2 3 4 5} 2 1 3 4 5  . Wtedy f = (1,5,3)(2,4) g = (1,2).

Cykle cd.

Definicja

Cykle (i₁, i₂, . . . , ik) oraz (j1, j2, . . . , jl) nazywamy

rozłącznymi

jeśli

is 6= jt dla wszystkichs =1, . . . , k, t =1, . . . , l. Definicja

Transpozycją

nazywamy cykl długości 2, to jest postaci(i₁, i₂).

Przykład

Cykle (1,5,3)oraz (2,4) są rozłączne. Cykle (1,2,3) oraz(1,5)nie

są rozłączne. Cykl (2,4) jest transpozycją, cykl(1,5,3) nie jest

Własności cykli

Stwierdzenie

Rząd cyklu długości k jest równy k, tzn. rz((i₁, . . . , ik)) = k

.

Dowód.

Niech f = (i₁, . . . , ik). Wtedy dlal ≤ k

fl(x) =    ij+l x = ij, j =1, . . . , k − l ij+l−k x = ij, j = k − l +1, . . . , k x x 6= ij

Własności cykli cd.

Stwierdzenie

Niech cykle f = (i₁, i₂, . . . , ik) oraz g = (j1, j2, . . . , jl)będą

rozłączne. Wtedy

f ◦ g = g ◦ f .

Mówimy, że cykle f, g są

przemienne

.

Dowód.

Permutowanie elementów dwóch rozłącznych zbiorów nie zależy od kolejności tych zbiorów.

Przykład

Własności cykli cd.

Uwaga

Cykle, które nie są rozłączne na ogół nie są przemienne

(1,2)(1,3) = (1,3,2), (1,3)(1,2) = (1,2,3).

Zatem

Własności cykli cd.

Stwierdzenie

Każdą permutację da sie przedstawić jako iloczyn parami rozłącznych cykli.

Przykład

Zamiast dowodu przedstawimy przykład. Niech f ∈ S₉ będzie równa f =

_{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

5 8 1 4 3 9 6 2 7

 .

Zaczynamy rozpisywać f jako iloczyn rozłącznych cykli startując od

1:

f = (1, . . .

Liczba 1 przechodzi na 5, zatem wypisujemy 5 jako kolejną liczbę w cyklu:

Własności cykli cd.

f =

_{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

5 8 1 4 3 9 6 2 7



Liczba 5 przechodzi na 3, zatem wypisujemy 3 jako kolejną liczbę w cyklu:

f = (1,5,3. . .

Ponieważ liczba 3 przechodzi z powrotem na liczbę 1 kończymy cykl i zaczynamy następny startując od najmniejszej,

niewykorzystanej do tej pory liczby. Jest to liczba 2.

f = (1,5,3)(2, . . .

Liczba 2 przechodzi na liczbę 8, a liczba 8 z powrotem na 2. Najmniejsza niewykorzystana liczba to 4, która przechodzi na siebie.

Własności cykli cd.

f = _{1 2 3 4 5 6 7 8 9} 5 8 1 4 3 9 6 2 7  f = (1,5,3)(2,8)(4)

Najmniejsza niewykorzystana liczba, to liczba 6.

f = (1,5,3)(2,8)(4)(6, . . .

Ostatecznie, kontynuując jak wyżej:

f = (1,5,3)(2,8)(4)(6,9,7).

Kanoniczna/standardowa postać permutacji

i) rozkładamy permutację na cykle rozłączne,

ii) w każdym cyklu wybieramy element największy jako pierwszy,

iii) ustawiamy cykle porządkując je według pierwszego elementu, od najmniejszego do największego.

Uwaga: bierzemy pod uwagę cykle długości jeden.

Przykład

Postać standardowa permutacji

f = 1 2 3 4 5 6 7 8 9_{5 8 1 4 3 9 6 2 7}
= (1,5,3)(2,8)(6,9,7), to f = (4)(5,3,1)(8,2)(9,7,6).

Typ permutacji

Definicja

Mówimy, że permutacja f ∈ Sn jest

typu

1λ12λ2. . . nλn jeśli w

rozkładzie na cykle rozłączne ma dokładnie λi cykli o długościi dla

i =1, . . . , n (w zapisie pomijamy wyrazy zλi =0). Przykład

Permutacja f = (1,5,3)(2,8)(6,9,7) ∈ S₉ jest typu 112132.

Permutacja f = (1,5,3)(2,8)(6,9,7) ∈ S₁₀ jest typu 122132.

Rząd permutacji

Stwierdzenie

Jeśli f = h₁· . . . · hk jest rozkładem permutacjif na parami

rozłączne cykle to

rz(f ) = NWW(rz(h₁), . . . , rz(hk)).

Przykład

Niech f = 1 2 3 4 5 6 7 8 9_{5 8 1 4 3 9 6 2 7}
= (1,5,3)(2,8)(6,9,7), wtedy rz(f ) = NWW(3,2,3) =6.

Rozkład na iloczyn transpozycji

Stwierdzenie

Niech f = (i₁, i₂, . . . , ik) będzie cyklem. Wtedy

f = (ik, ik−1)(ik, ik−2) . . . (ik, i2)(ik, i1),

jest iloczynemk−1 transpozycji.

Przykład

(1,2,9,3,5) = (5,3)(5,9)(5,2)(5,1)

Wniosek

Każdą permutację można przedstawić jako iloczyn transpozycji.

Dowód.

W rozkładzie na iloczyn cykli rozkładamy każdy cykl na iloczyn transpozycji.

Rozkład na iloczyn transpozycji cd.

Uwaga

Rozkład na iloczyn transpozycji nie jest jednoznaczny. Na przykład, jeślif = (i₁, i₂, . . . , ik), to

f = (ik, ik−1)(ik, ik−2) . . . (ik, i2)(ik, i1)

oraz

Permutacje parzyste, znak permutacji

Definicja

Permutację, którą da się przedstawić jako iloczyn parzystej (odp. nieparzystej) liczby transpozycji nazywamy

parzystą

(odp.

nieparzystą

) i mówimy, że jej

znak

sgn(f ) jest równy 1

(odpowiednio −1). Przykład Permutacje parzyste sgn(id) = sgn((1,2)(2,3)) = sgn((1,2)(3,4)(5,6)(7,8)) =1. Permutacje nieparzyste sgn((1,2)) = sgn((1,2)(1,3)(2,1)) = sgn((1,2)(3,4)(5,6)) = −1.

Permutacje parzyste, znak permutacji cd.

Uwagi

i) przedstawienie jako iloczyn transpozycji nie jest jednoznaczne ale parzystość/nieparzystość jest zachowana, np.

(1,2,3) = (3,2)(3,1) = (2,1)(2,3) = (3,2)(1,3)(3,2)(2,3),

zatem sgn((1,2,3)) =1.

ii) cykl o długości parzystej jest permutacją nieparzystą, a cykl o długości nieparzystej jest permutacją parzystą, tzn.

sgn((i₁, . . . , ik)) = (−1)k−1,

iii) iloczyn dwóch permutacji parzystych lub dwóch permutacji nieparzystych jest permutacją parzystą, iloczyn permutacji parzystej i nieparzystej jest permutacją nieparzystą, tzn.

Permutacje parzyste, znak permutacji cd.

Uwagi

iv) jeśli rząd permutacji jest liczbą nieparzystą to jest ona parzysta (w rozkładzie na cykle rozłączne każdy cykl jest długości nieparzystej),

v) twierdzenie odwrotne nie zachodzi, permutacja (1,2)(3,4) jest

parzysta a ma rząd równy 2,

vi) jeśli rząd permutacji jest liczbą parzystą to może ona być parzysta lub nieparzysta, na przykład permutacja(1,2) ma

rząd 2 a jest nieparzysta, permutacja(1,2)(3,4) ma rząd 2 a

Permutacje parzyste, znak permutacji cd.

Wniosek

Jeśli permutacja f ∈ Snjest typu 1λ12λ2. . . nλn,to jest ona

parzysta (odp. nieparzysta) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

λ₂+ λ₄+ λ₆+ . . . jest parzysta (odp. nieparzysta) oraz sgn(f ) = (−1)λ2+λ4+..._.

Dowód.

sgn(f ) =h(−1)(1−1)iλ1h(−1)(2−1)iλ2h(−1)(3−1)iλ3· . . . ·h(−1)(n−1)iλn =

= (−1)λ2+λ4+..._,

to znaczy pomijamy cykle o długości nieparzystej, bo sa one permutacjami parzystymi, a mnożenie przez permutację parzystą nie zmienia parzystości.

Permutacje parzyste, znak permutacji cd.

Przykład

Permutacja f = 1 2 3 4 5 6 7 8 9_{5 8 1 4 3 9 6 2 7}
= (1,5,3)(2,8)(6,9,7) jest

nieparzysta jako iloczyn dwóch permutacji parzystych i jednej nieparzystej. Równoważnie, permutacjaf jest typu 112132 zatem

sgn(f ) = (−1)1= −1,

Macierz permutacji

Definicja

Dla dowolnej permutacjif ∈ Sn definiujemy jej

macierz

Af = [aij] ∈ M(n × n; Z) warunkiem aij =  ₀ i 6= f (j) 1 i = f (j) Stwierdzenie

Dla dowolnych permutacji f, g ∈ Sn zachodzi

i) Aid= I , ii) Afg = AfAg, iii) A−_f 1 = Af−1 = A ⊺ f, iv) sgn(f ) = det Af.

Macierz permutacji cd.

Przykład Niech f = (1,4)(2,3) ∈ S₄. Wtedy Af = A⊺f =     0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0    , A 2 f = Af2 = I .

Permutacje a wyznacznik

Uwaga

Można wykazać, że jeśli A= [aij] ∈ M(n × n; K), to

det A = X f∈Sn sgn(f )a₁f(1)a2f(2)· . . . · anf(n) = = X f∈Sn sgn(f )af(1)1af(2)2· . . . · af(n)n.

Inwersje

Definicja

Dla ustalonej permutacji f ∈ Sn

inwersją

nazywamy każdą parę

liczb 1≤ i < j ≤ ntaką, że f(i ) > f (j).

Uwaga

Liczba inwersji permutacji może się zmieniać od 0 (dla identyczności) do n(n−1)

2 (dla f = 1 2n n−1...n n−2 11

_).

Stwierdzenie

Permutacje parzyste (odp. nieparzyste) posiadają parzystą (odp. nieparzystą) liczbę inwersji.

Dowód. Niech s(f ) = Y 1≤i <j≤n xf(i )− xf(j) xi − xj .

Inwersje cd.

Dowód.

Niech k =liczba inwersji permutacjif, wtedy s(f ) =−1 2_{1 2}∤ k, | k. Dodatkowo s(fg ) = Y 1≤i <j≤n x_{fg(i )}− x_fg(j) xi − xj = = Y 1≤i <j≤n x_{f(i )}− x_f(j) xi− xj Y 1≤i <j≤n x_{f(g (i ))}− x_{f(g (j))} xf(i )− xf(j) .

Niech yk = xf(k),co jest równoważne xk = yf−1_(k). Wtedy

Y 1≤i <j≤n xf(g (i ))− xf(g (j)) xf(i )− xf(j) = Y 1≤i <j≤n yf−1_{(f (g (i )))}− yf−1_{(f (g (j)))} yi− yj = s(g ).

Inwersje cd.

Dowód.

Zachodzi zatem związek

s(fg ) = s(f )s(g ),

a ponieważ liczba inwersji transpozycji jest nieparzysta (ćwiczenie, użyj np. związku

(1,2) = (1, m)(2, n)(m, n)(2, n)(1, m),

dla m, n /∈ {1,2}), to

sgn(f ) = s(f ),

oraz liczba transpozycji w rozkładzie permutacji parzystej (odp. nieparzystej) na iloczyn transpozycji jest parzysta (odp.

Inwersje cd.

Definicja

Dla ustalonej permutacji f ∈ Sn

wektorem inwersji

nazywamy

n−tkę liczb naturalnych (a₁, . . . , an) ∈ Nn, gdzie

aj = |{i ∈ N |1≤ i < j ∧ f (i ) > f (j)}|. Uwaga

Pierwszy element wektora inwersji to 0. Suma liczb z wektora inwersji to liczba inwersji.

Niech f = 1 2 3 4 5_{5 4 1 2 3}
. Wtedy wektor inwersji jest równy (0,1,2,2,2),

a liczba inwersji permutacji f wynosi 7. Permutacja f jest

Kod Lehmera

Definicja

Dla ustalonej permutacji f ∈ Sn

kodem Lehmera

nazywamy

n−tkę liczb naturalnych (a₁, . . . , an) ∈ Nn, gdzie

aj = |{i ∈ N |1≤ j < i ∧ f (j) > f (i )}|. Uwaga

Ostatni element kodu Lehmera to 0. Suma liczb z wektora inwersji to liczba inwersji.

Niech f = 1 2 3 4 5_{5 4 1 2 3}
. Wtedy kod Lehmera permutacjif jest równy (4,3,0,0,0),

a liczba inwersji permutacji f wynosi 7. Permutacja f jest

Kod Lehmera cd.

Stwierdzenie Funkcja Sn∋ f 7→ {0, . . . , n −1} × {0, . . . , n −2} × . . . × {0,1} × {0}, jest bijekcją. Dowód.

Funkcja jest dobrze określona, ponieważ od f(i ) większych może

być co najwyżej n− i liczb. Ponieważ dziedzina i przeciwdziedzina

są równoliczne, wystarczy wykazać, że funkcja jest

różnowartościowa (lub równoważnie, każdy kod jednoznacznie wyznacza permutację).

Kod Lehmera cd.

Dowód.

Dla ustalonego kodu (a₁, . . . , an) permutacja o zadanym kodzie

dana jest przez

f(1) = a₁+1, f(i ) = (ai +1)-ta liczb wśród

liczb{1, . . . , n} \ {f (1), f (2), . . . , f (i −1)}.

Liczba f(1) jest większa oda₁ liczb wśród{1, . . . , n}. Po usunięciu f(1), liczbaf(2) jest większa oda₂+1 pozostałych liczb, itd.

Kod Lehmera – Przykład

Znaleźć permutację f ∈ S₆ o kodzie (4,1,2,2,0,0). {1,2,3,4,5,6} skądf(1) =5, {1,2,3,4,6} skądf(2) =2, {1,3,4,6} skądf(3) =4, {1,3,6} skądf(4) =6, {1,3} skądf(5) =1, {3}skąd f(6) =3, skąd f = 1 2 3 4 5 6_{5 2 4 6 1 3}
.

Średnia liczba inwersji

Stwierdzenie

Oczekiwana liczba inwersji w losowo wybranej permutacji zbioru

{1, . . . , n}to 1₂ n₂
.

Dowód.

Niech Lnoznacza sumę inwersji każdej permutacji w grupieSn. Zatem

poszukiwana liczba to Ln

n!. Ponieważ kody Lehmera to dokładnie elementy

zbioru{0, . . . , n −1} × . . . × {0, }, to Ln= (n −1)!(n −1) + Ln−1+ + (n −1)!(n −2) + Ln−1+ ... + (n −1)!1+ Ln−1+ + (n −1)!0+ Ln−1= = (n −1)!n(n −1) 2 + nLn −1.

Średnia liczba inwersji cd.

Stąd, po podzieleniu stronami przez n! Ln n! = n−1 2 + (n −Ln−11)!, skąd Ln n! = n−1 2 +n−2 2+ . . . + 22+L22! = = 1 2n2  , bo L₂=1.

Sprzężenie cyklu

Stwierdzenie

Jeśli f ∈ Sn jest permutacją, to dla dowolnego cyklu

(i₁, i₂, . . . , im) ∈ Sn zachodzi tożsamość

f ◦ (i₁, i₂, . . . , im) ◦ f−1 = (f (i1), f (i2), . . . , f (im)).

Dowód.

Permutacje ustalające jeden element

Stwierdzenie

Dla dowolnych 1≤ j ≤ n, odwzorowanie pomiędzy zbiorami A= {f ∈ Sn| f (1) = j}, B= {g ∈ {2, . . . , n} → {2, . . . , n} | g jest bijekcją}, dane wzorem A∋ f 7→ 7→  {2, . . . , n} ∋ i 7→ g (i) = 

f(i) +1 dlaf(i) < j

f(i) dlaf(i) > j ∈ {2, . . . , n} 

∈ B.

jest bijekcją. Dodatkowo, dla dowolnegof ∈ A sgn(f ) = (−1)j+1sgn(g ).

Permutacje ustalające jeden element cd.

Dowód.

Ponieważ,

f|_{2,...,n}: {2, . . . , n} → {1, . . . , ˇj, . . . , n},

jest także bijekcją, to

g: {2, . . . , n} → {2, . . . , n},

jest także bijekcją. Dodatkowo, każda inwersja g jest inwersją dlaf.

Permutacja f posiada więcej inwersji, są to dokładnie inwersje w

postaci 1 ≤ k orazj = f (1) > f (k). Zachodzi to w dokładnie j −1

przypadkach, dla k takiego, że f(k) =1,2, . . . , j −1. Ponieważ sgn(f ) = (−1)liczba inwersjif,

to

Równoważność definicji wyznacznika

Wniosek

Dla macierzy A∈ M(n × n; K). Niech

det A = X f∈Sn sgn(f )a₁f(1)a2f(2)· . . . · anf(n). Wtedy det A = n X j=1 (−1)j+1a₁jdet A1j,

gdzie A₁j ∈ M((n −1) × (n −1); K)jest macierzą powstałą z

macierzy Aprzez wykreślenie pierwszego wiersza oraz j-tej kolumny

Równoważność definicji wyznacznika cd.

Dowód. det A = X f∈Sn sgn(f )a₁f(1)a2f(2)· . . . · anf(n) = = n X j=1 X f∈Sn f(1)=j sgn(f )a₁ja₂f(2)· . . . · anf(n) = = n X j=1 (−1)j+1a₁j X f∈Sn f(1)=j sgn(g )a₁ja₂f(2)· . . . · anf(n), = n X j=1 (−1)j+1a₁jdet A1j.