IPPT PAN W arszawa
I STOSOWANA 1/ 2, 20 (1982)
POLA SPRZĘ Ż ONE I NIEKLASYCZNE OŚ ROD KI CIĄ G ŁE
DOMINIK R O G U L A
1. Wstę p
Inspiracją badań naukowych rozważ anych w niniejszej pracy był a refleksja nad pod-stawowymi problemami mechaniki ciał deformowalnych i jej zwią zkami z innymi zjawis-kami fizycznymi. Podstawowe poję cia mechaniki oś rodków cią gł ych, w postaci odpowied-niej do opisu deformowalnych ciał stał ych były prawie cał kowicie sformuł owane w pierw-szej poł owie XIX wieku, a ś ciś lej w latach 1820 - 1840, w historycznych pracach N aviera, Cauchy'ego i G reena. Poję cia te do dnia dzisiejszego stanowią podstawę mechaniki ciał odkształ calnych i jej ogromnych osią gnię ć w pobudzaniu i kształ towaniu ludzkiej dzia-ł alnoś ci technologicznej. Idee te okazatowaniu ludzkiej dzia-ł y się tak ż ywotne, że przez pół tora wieku był y i pozostają nadal bogatym ź ródł em inspiracji w stosowanych gał ę ziach mechaniki.
Sytuacja taka jest dla naukowców niekwestionowanym powodem do satysfakcji. Z wyją tkiem może elektrodynamiki Maxwella, trudno był oby znaleźć teorię naukową o porównywalnych osią gnię ciach praktycznych.
Z drugiej jednak strony sytuacja ta był a powodem do nie zawsze ł atwego do odparcia zarzutu pewnej stagnacji w mechanice, przynajmniej jeś li chodzi o jej gł ę bszy rozwój. Bez wą tpienia moż na dowodzić, że mechanika klasyczna daje sobie radę w prawie wszyst-kich praktycznie interesują cych problemach mechanicznych, nie jest wię c usprawiedliwione ani pogł ę bianie jej rozwoju, ani rewolucjonizowanie podstaw, jako że takie próby bę dą przypominał y przysł owiowe szukanie dziury w cał ym. Obrona taka jednakże nie wytrzy-mał a próby historii. We wczesnych latach sześ ć dziesią tych pojawił a się fala prac przed-stawiają cych nowe idee w dziedzinie mechaniki oś rodków materialnych. Zrewolucjoni-zował y one podstawy mechaniki oś rodków cią gł ych i odsł onił y perspektywy dalszego rozwoju i poszerzenia zakresu jej zastosowań. Idee te pojawił y się niezależ nie w wielu oś rodkach naukowych cał ego ś wiata, w tym również i Polski. U dział polskiej nauki zwią -zany jest w przeważ ają cej czę ś ci albo z profesorem N owackim osobiś cie, albo z jego uczniami, a wię kszość tych prac dotyczył a problemów sprzę ż onych pól mechanicznych, termicznych i elektromagnetycznych i (lub) nieklasycznych modeli oś rodków materialnych ze wzbogaconą strukturą kinematyczną lub dynamiczną . Czytelnikowi gł ę
biej zaintere-Referat wygł oszony n a zebraniu Komitetu Mechaniki PAN z okazji 70- lecia profesora Witolda N o-wackiego.
sowanemu tą problematyką radzimy się gną ć do monografii Nowackiego [1 - 5] i podanej w nich literatury.
2. Klasyczny oś rodek cią gł y.
Wprawdzie interesujemy się tutaj nieklasyczną , uogólnioną teorią oś rodków cią gł ych, przedstawimy jednak krótko podstawowe zał oż enia klasycznej mechaniki kontinuów. Bę dziemy się dalej na nie powoł ywali. Zamierzeniem danego tu sformuł owania zał oż eń jest przedstawienie id'ej' stanowią cych podstawową architekturę mechaniki oś rodków
cią gł ych, bez wdawania się w szczegół y czy formalizację .
1. Podstawowe zał oż enie kinematyczne: ciał o materialne jest cią głym zbiorem bez-strukturalnych obiektów zachowują cych się jak punkty materialne.
Kinematyka ciał a jest w peł ni okreś lona przez funkcję • (2.1) x:BxT ^ - E,
gdzie J3, T i E przedstawiają odpowiednio materialny oś rodek cią gły, czas fizyczny i prze-strzeń fizyczną . Odwzorowanie to przedstawia konfigurację ciał a w funkcji czasu.
2. Podstawowe zał oż enia dynamiczne: oddział ywania wewnę trzne w materii są w każ-dej chwili jednoznacznie okreś lone przez pole symetrycznego tensora naprę ż eń. Dokł ad-niej mówią c jest to czteropoziomowa hierarchia nastę pują cych stwierdzeń:
(i) istnieją tylko oddział ywania kontaktowe, (ii) oddział ywania te są dane przez wektory sił , (iii) wektory sił są okreś lone przez tensor naprę ż eń, (iv) tensor naprę ż eń jest symetryczny.
Mówią c bardziej szczegół owo znaczenie zał oż enia (i) polega na dopuszczeniu tylko „dwuciał owych" lub „ binarnych" wzajemnych oddział ywań pomię dzy nieskoń czenie bliskimi czą stkami materialnymi. Przy tym zał oż eniu ma sens poję cie „oddział ywania przez element powierzchni". O oddział ywaniu przez rozł ą czone obszary powierzchni zakł ada się , że jest addytywne.
Zgodnie z zał oż eniem (iii) sił y oddział ywania dział ają cego przez elementy powierzchni mogą być wyprowadzone z wektora pt danego wzorem:
(2.2) Pk = otknu.
gdzie tensor naprę ż eń alk nie zależy od elementu powierzchni. W szczególnoś ci oznacza to,
że wektor naprę ż eń p{ zależy od wektora normalnego nk. Zał oż eni
e (iv) mówi, że od od-dział ywań mię dzy czą stkami nie może pochodzić ż aden moment sił e (iv) mówi, że od od-dział ają cy na czą stkę . 3. Podstawowe zał oż enie konstytutywne: tensor naprę ż eń w punkcie materialnym
X może być cał kowicie okreś lony na podstawie tensora deformacji w tym samym
punkcie.
Opierają c się na powyż szych zał oż eniach mechanika oś rodków cią głych osią gnę ł a wiele sukcesów w rozwią zywaniu rozmaitych problemów. Jednak w wielu okolicznoś ciach niektóre z tych zał oż eń są cał kowicie lub czę ś ciowo naruszone. Moż na tu przytoczyć nastę pują ce przykł ady: Koncentracje naprę ż eń w pobliżu mikrodefektów, drgania o wy-sokiej czę stotliwoś ci i bardzo mał ej fali, efektywne wł asnoś
ci kompozytów i innych ma-teriał ów posiadają cych m ezostrukturę , maci kompozytów i innych ma-teriał y m akrom olekularn e, oddział ywanie z po-lem elektromagnetycznym poprzez silną polaryzację elektryczną lu b m agnetyczną itd.
Efektem szeregu prób usunię cia tych braków teorii klasycznej był o powstan ie wielu uogólnionych, nieklasycznych modeli oś rodków m aterialn ych.
Autorzy kierowali się róż nymi koncepcjami. Wiele z nich, jak n p . oddział ywan ia przez m om enty kon taktowe lub sił y nielokalne, czy też uogóln ion a kin em atyka z dodatkowym i stopn iam i swobody może być wyprowadzone z klasycznych prac C auch y'ego, Voigta, i D uhem a.
3. N icklasyczne oś rodki cią gle
D opuszczają c pewną swobodę wyraż eń, przez nieklasyczny oś rodek cią gł y bę dziemy rozumieć matematyczny m odel ciał a m aterialnego, który n arusza (lub przyn ajm n iej nie w peł ni honoruje) jedn o lub wię cej zał oż eń klasycznych, pozostawiają c jedn akże ideę cią gł ego rozkł adu m aterii. Z ależ nie od rodzaju i stopn ia n aruszan ia tych zał oż eń powstają róż ne nieklasyczne teorie m aterialnych oś rodków cią gł ych.
1. Z ał oż enie kinematyczne m oż na naruszyć przez obdarzen ie oś rodka rodzajem struk-tury lokalnej definiowanej dla każ dej czą stki ciał a. Struktura t aka, a prio ri niezależ na od konfiguracji (2.1), do przedstawienia stanu kinematycznego ciał a wym aga pewnych dodatkowych definiowanych n ad n im pól. Z e wzglę du n a dodatkowe wynikają ce z takiej struktury stopnie swobody pole wektora przemieszczeń nie wystarcza ju ż d o tego celu. P rzez specyfikację okreś lonych struktur lokalnych m oż na otrzym ać róż ne teorie n ie-klasyczne.
W znanej pracy COSSERATÓW [6] każ dy p u n kt m aterialn ego oś rodka cią gł ego został wyposaż ony w sztywną prostoką tn ą triadę , której osie zależą od p u n kt u m aterialn ego i mogą zmieniać się w czasie, definiują c w ten sposób lokalną strukturę z dodatkowym i stopn iam i swobody typu rotacyjnego.
We współ czesnej historii problem u niektórzy autorzy, kierowan i ideam i fizycznymi, wyprowadzili nieklasyczne oś rodki cią gł e takie jak ciecz wirują ca WAYSSEN HOFFA i R.AA-BE'EG O [7] lub ciecz czą steczek dwuatom owych Ż ELAZN EGO [8].
Z fenomenologicznego pun ktu widzenia najprostsza fizycznie spójna st ru kt u ra lokaln a polega n a przyję ciu m i k r o r o t a c j i , niezależ nych od lokaln ych rotacji poch odzą cych od pola przemieszczeń. I dea ta prowadzi do tzw. teorii m i k r o p o l a r n e j , om ówion ej szerzej w nastę pnym rozdziale.
N astę pnym krokiem w uogólnieniu kin em atyki m aterialn ego oś rodka cią gł ego jest dopuszczenie deformowalnej m ikrostruktury, w przeciwień stwie do sztywnej m ikro-struktury w teorii m ikropolarn ej. Tutaj najlepiej zn an e są : t eo ria m u l t i p o l a r n a G reen a i Rivlina [9] oraz Toupin a teoria kon tin uum obdarzon ego dowoln ym ukł adem wektorów k i e r u n k o w y c h [10].
D alsze uogólnienie polega n a traktowan iu czą stek m aterialn ego o ś ro d ka cią gł ego jako oddzielnych m ikrokon tin uów, niezależ nych kinem atycznie od przem ieszczeń w zwyk-ł ym makro- poziomie kon tin uum . N a takiej idei opart a jest m i k r o m o r f i c z n a teoria ERIN G EN A i SU H U BI'EG O [1]. P rzy takim podejś ciu każ dy p u n kt m aterialn ego kon
-tin uum posiada nieskoń czenie wiele lokalnych stopni swobody. Jednakże czę sto trzeba ograniczyć m ikrokontinuuni do skoń czonej wartoś ci liczbę lokalnych stopni swobody, co efektywnie redukuje ten przypadek do poprzedniego.
Ogólnie, stan wzbogaconej struktury kinematycznej materialnego kontinuum może być przedstawiony przez funkcję o nastę pują cej postaci
(3.1) x- B- ^ ExY
gdzie Y oznacza odpowiednią przestrzeń struktury lokalnej. Chociaż w najprostszych przypadkach 7 jest przestrzenią wektorową , w ogólnoś ci zał oż enie takie nie jest konieczne. N awet wię cej: istnieje wiele fizycznie uzasadnionych przykł adów przestrzeni struktur lokalnych które nie mogą być wyposaż one w sensowną strukturę wektorową , jak ś wiadczą 0 tym przykł ady skoń czonych rotacji, nasyconego spinu czy przestrzeń sieci Bravaisa rozważ ana w pracy [12].
2. N ajprostsza moż liwa modyfikacja zał oż enia dynamicznego polega na odrzuceniu stwierdzenia (iv) przy pozostawieniu trzech poprzednich (i - iii). Tym sposobem dopuszcza się niesymetryczne tensory naprę ż eń. Podejś cie takie, na gruncie czysto mechanicznym propon ował BODASZEWSKI [66]. Bardziej konsekwentne wydaje się jednak wprowadzenie asymetrycznego tensora naprę ż eń przez poł ą czenie tej modyfikacji z inną , kinematyczną lub konstytutywną .
N astę pna modyfikacja mogł aby polegać na odrzuceniu stwierdzenia (iii), przy po-zostawieniu (i - ii). W tym kierunku nie wykonywano jedn ak ż adnych badań. Idea ta może prowadzić do zależ nego od krzywizny przenoszenia sił przez elementy powierzchni. Jeś li bowiem zał oży się , że przekazywanie sił nie zależy od zakrzywienia, wtedy przy pomocy podrę cznikowych argumentów wnioskuje się , że zależ ność przekazywanej sił y od wektora normalnego do elementu powierzchni jest liniowa. W konsekwencji powinien istnieć ten sor naprę ż eń i zał oż enie (iii) był oby speł nione.
Przy modyfikacji stwierdzenia (ii) moż na stworzyć wiele nieklasycznych modeli oś rod-ków cią gł ych. N ajprostsza modyfikacja tego typu polega na pozostawieniu zał oż enia (i) 1 modyfikacji (ii) przez dopuszczenie, oprócz oddział ywania przez wektory sił , dodatko-wych oddział ywań przez wektory momentów sił . Prowadzi to do tzw. teorii n a p r ę ż eń m o m e n t o w y c h . Z godnie z tą teorią oddział ywania kontaktowe pochodzą od ogól-niejszego stanu naprę ż eń, który może być opisany przez dwa pola tensorów: zwykł y ten sor naprę ż eń sił owych <flk i dodatkowy tensor naprę ż eń momentowych juik.
Wektor naprę ż eń momentowych dany jest wzorem
(3.2) mt « iiklnk,
a ten sor jiu wchodzi do bilansu momentu pę du. Ani c ^ , ani jj,ik nie muszą być symetryczne. Wprowadzon e powyż ej dodatkowe oddział ywania mogą być zał oż one w sposób ogól-niejszy. M oż na mianowicie wprowadzać h i p e r n a p r ę ż e n ia coraz wyż szych rzę -dów, opisują cych nieklasyczne oddział ywania przez, multipole sił wyż szych rzę dów. Jako przykł ad m oż na wskazać teorię TOU PIN A [10], nieprostych materiał ów z hipernaprę ż e -niami najniż szego rzę du.
H ipernaprę ż enia w wę ż szym sensie definiują oddział ywania kontaktowe, które nie wchodzą bezpoś rednio do bilansu sił i pę dów. Jednakże zawsze wchodzą one do bilansu energii.
Również stwierdzenie (i) może być modyfikowane. Daje to pewien rodzaj nielokalnych dynamicznie modeli typu cał kowego [14, 15].
3. Klasyczne zał oż enie konstytutywne również może być naruszane w sposób róż ny. Moż na je modyfikować przez branie tensora naprę ż eń zależ nego nie tylko od tensora deformacji, ale również od jego gradientu, lub nawet gradientów wyż szych rzę dów. W te-oriach ze strukturą lokalną w odpowiednich zwią zkach konstytutywnych mogą również pojawiać się odpowiednie dodatkowe stopnie swobody, jak np. w sprę ż ystoś c i mikropo-larnej. Moż na również zał oż yć, że tensor naprę ż eń zależy od temperatury i/ lub pola elektromagnetycznego, co prowadzi do teorii pól, sprzę ż onych. N ie mniej waż na jest moż liwość odrzucenia zasady lokalnoś ci zawartej w klasycznym zał oż eni u konstytutyw-nym, przez przyję cie, że tensor naprę ż e ń w punkcie X zależy od sytuacji w punkcie Y po-ł oż onym w skoń czonej odległ oś ci od X. W ten sposób otrzymano modele kontinuum z nielokalnym zwią zkiem naprę ż eń z odkształ ceniami [16- 19].
4. Moż liwe, a czasem nawet konieczne są również odpowiednie kombinacje powyż szych modyfikacji, z należ ytym wszakże uwzglę dnieniem ich wzajemnych zależ noś ci. N astę pne rozdział y bę dą poś wię cone kilku przykł adom.
4. Oś rodki mikropolarne
Jak wspomnieliś my poprzednio pomysł oś rodka mikropolarnego był wynikiem do-puszczenia lokalnie sztywnej mikrostruktury z niezależ nymi mikro- rotacyjnymi stopniami swobody. Oznacza to, że klasyczne zał oż eni e kinematyczne zmodyfikowano przez wpro-wadzenie zamiast (2.1) nastę pują cej postaci funkcji
(4.1) xx&:BxT - > Ex$,
gdzie # przedstawia przestrzeń mikrorotacji. Element tej przestrzeni może być repre-zentowany matematycznie jako t r i e d r e t r i r e c t a n g l e Cosseratów, sztywna triada Toupina, czy macierz ortogonalna, lub inny równoważ ny sposób. W liniowej teorii mikro-polarnej naturalne jest zastą pienie przestrzeni skoń czonych mikrorotacji • & przez liniową , trójwymiarową przestrzeń wektorową , której elementy reprezentują infinitezymalne mikrorotacje. W rozdziale tym ograniczymy się do przypadku liniowego. Wektor mikro-rotacji bę dzie oznaczony przez cpi, a odpowiedni moment bezwł adnoś ci (dla uproszczenia zał oż ono izotropowoś ć) przez / .
Aby istniał o oddział ywanie mię dzy mikrorotacjami w róż nych punktach konieczne jest wprowadzenie pola przedstawiają cego przekazywanie odpowiednich sił uogólnionych. Najprostszym rozwią zaniem są tutaj naprę ż enia momentowe. Podobnie, aby zapewnić oddział ywanie mię dzy mikrorotacjami, a polem przemieszczenia, konieczna jest antysy-metryczna czę ść tensora naprę ż eń. Aby otrzymać nietrywialną teorię trzeba wię c mody-fikację (4.1) zał oż enia kinematycznego uzupeł nić przez odpowiednie modyfikacje zał o-ż enia dynamicznego.
gdzie fiji, yt, i (pt oznaczają odpowiednio tensor naprę ż e
ń momentowych, momenty ma-sowe i infinitezymalne mikrorotacje.
W przypadku liniowego izotropowego sprę ż ystego oś rodka mikropolarnego gę stość energii sprę ż ystoś ci może być wyraż ona jako
X B
(4.3) U = wopyUj) + ay«j>y<!J> + ^ykkynn + yxitJ)xiiJ) + £x<!J>xOj> + ?~
gdzie wprowadzono nastę pują ce skróty:
Yn = uu- ekJl<pk, (4.4) K n = <PI,J> Wtedy fit U) = 2y %(M) + flxkk d u,
i,, podstawieniu tych wyraż eń do (4.2), otrzymuje się nastę pują cy ukł ad równań dla pól przemieszczeń i mikrorotacji
(4.6) (ł« + a)V 2
M + (A+/ii—«)gra.ddrvu+2ocvot(p + X = Q'U,
U kł ad ten stanowi podstawę do formuł owania i rozwią zywania szczegół owych pro-blemów teorii mikropolarnej. Wiele z nich został o już rozwią zanych lub w peł ni zbadanych, jak podstawowe zwią zki, twierdzenia wariacyjne, równania naprę ż eniowe, potencjał y uogólnione, róż ne problemy statyczne i dynamiczne, powstawanie i rozchodzenie się fal, warunki promieniowania, jednoznaczność rozwią zań i inne [3, 4, 20 - 38]. Badany był również przypadek zwią zanych mikrorotacji [39]; skonstruowano uogólnienia wł ą czają ce efekty cieplne [40 - 46], pola elektromagnetyczne [47 - 53] i defekty [54 - 56].
5. Pola sprzę ż one. Magneto- termo- sprę ż ystość
Rozwój dziedziny pól sprzę ż onych w oś rodkach materialnych motywowany jest pod-stawowymi przesł ankami. Z jednej strony wzajemna zależ ność mię dz y zjawiskami w przy-rodzie jest zasadniczym problemem wiedzy ludzkiej, z drugiej strony zwią zki mię dzy zjawiskami cieplnymi i mechanicznymi, lub mechanicznymi i elektromagnetycznymi stanowią fundament nowoczesnej technologii. Wiele szczególnych zjawisk z dziedziny pól sprzę ż onych jest znanych w przyrodzie i wykorzystywanych w technice. Moż na tu wymienić magnetohydrodynamikę (pompa metalu ciekł ego, generator M H D ), zjawisko piezoelektryczne, elektro- i magnetostrykcję, magnetoakustykę, zjawiska elektro- akustycz-ne, wzmacniacze elektromechaniczne, efekt ż yromagnetyczny i wiele innych.
Jako przykł ad rozważ my dziedzinę znaną jako magneto- termosprę ż ystość [57 - 62, 5], w przypadku stał ego oś rodka o skoń czonym przewodnictwie elektrycznym Ao
rot£ ' = rot A = c divA = 0, 0. (5.1)
gdzie h oznacza zaburzenie pola magnetycznego (cał kowite natę ż enie pola magnetycznego jest równe H+li). D la gę stoś ci prą du elektrycznego otrzymuje się nastę pują ce wyraż enie
Równanie ruchu ma ogólną postać
gdzie tensor Tij przedstawia dodatkowe naprę ż enia pochodzenia elektromagnetycznego. Może on być przedstawiony przez zlinearyzowane wyraż enie Maxwella
(< 1\ T Po ru
Po wyeliminowaniu z powyż szego równania pola elektrycznego i po wzię ciu pod uwagę przewodzenia ciepł a dochodzi się do nastę pują cego ukł adu równań
V2/ i- / 5A= (5.4) / J,V 2 u+(^.+^)gvadu- (>u+^rot(.hxH)+X= ygrad<9, kV2 &- ce0- r) div ii = - W ,
gdzie współ czynniki przedstawiają stał e materiał owe. Ten ukł ad równań może być uogól-niony dla oś rodka mikropolarnego przez wprowadzenie mikrorotacji. Podobnie dla oś rodków polaryzowanych elektrycznie lub magnetycznie. Szczególnie ciekawa sytuacja powstaje, gdy wektor polaryzacji lub magnetyzacji jest kinematycznie niezależ ny od pola elektromagnetycznego lub makro- ruchu. Wtedy oś rodek jest obdarzony strukturą lokalną bezpoś rednio czuł ą na pole magnetyczne. W przypadku polaryzacji magnetycznej pod-stawowe równania pól sprzę ż onych, wł ą czają ce dynamikę spinów magnetycznych, są wyprowadzone w pracy [63] przez wykorzystanie odpowiednio zmodyfikowanej techniki nawiasów Poissona.
D la ogólnie nieliniowych równań pól sprzę ż onych przy wł ą czeniu dowolnej skoń czenie wymiarowej struktury lokalnej pokazana jest w pracy [64] technika Lagrange'a. W szczegól-noś ci technika ta jest odpowiednia do rozpatrywania dynamiki polaryzacji elektrycznej.
Oprócz wielu zjawisk wynikają cych z pojedynczych sprzę ż eń takich jak wspomniane na począ tku tego rozdział u, znane są zjawiska zwią zane z bardziej skomplikowanymi ukł adami sprzę ż eń. Jako przykł ad moż emy podać wzmocnienia ultradź wię kowe w pół -metalach [65], gdzie fala ultradź wię kowa przenosi się w skrzyż owanyc h polach magne-tycznym i elektrycznym Hi Ew kierunku ExH.
Przy zał oż eniu, że noś niki prą du są sprzę ż one z falą dź wię kową przez potencjał de-formacji wynika wzmocnienie ultradź wię ku, pod warunkiem, że
(5.5) Ec > Hs
gdzie e i s oznaczają odpowiednio prę dkość ś wiatła i dź wię ku. Iloś ciowo efekt ten jest dość silny: w sprzyjają cych warunkach może osią gną ć 300 db/ cm. Efekt znika gdy nie ma pola elektrycznego lub magnetycznego, albo noś ników, albo sprzę ż enia mię dzy falą dź wię-kową i noś nikami, lub wreszcie gdy dryf noś ników w kierunku Ex H jest sł aby. Pouczają cy jest fakt, że interesują ce zjawisko może wynikać z dość skomplikowanego ukł adu pól
i sprzę ż eń.
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. N OWACKI, Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford 1962 American edition: Reading, M ass. Addison, Wesley 1962.
2. W. N OWACKI, Dynamie problems of thermoelasticity, N ordhof Publ., Leyden 2975 Polish edition: P WN , Warszawa 1966, Russian tran slation : Mir, Moscow 1970.
3. W. N OWAC KI , Theory of asymmetric elasticity [in Polish], P WN , Warszawa 1970 [second edition: 1981].
4 . W. NowACKr, Theory of micropolar elasticity, CISM , Courses and Lectures, 25, Springer, Wien 1970. 5. W. N OWACKI, Foundations of linear piezoelectricity, Magnetoelasticity, in : CISM Courses and Lectures, 257, Elektromagnetic Interactions, in Elastic Solids, Ed. H . Parkus, Springer, Wien—N ew York 1979.
6. E . COSSERAT, F . COSSERAT, Theorie des corps deformables, H ermann 1909.
7. J. W. WEYSSENHOF, A. RAABE, Relativistic dynamics of spin fluids and spin particles, Acta Phys. Polon., 9, 1947.
8. R . Ż ELAZN Y, Derivation of hydrodynamic equations of quantum system of diatomic molecules, Phys. Rev., 117, 1, 1960.
9. A. E. G REEN , R. S. R I VLI N , Multipolar continuum mechanics, ARM A, 17, 113, 1964. 10. R. A. TOU P I N , Theories of elasticity with couple- stress, ARM A, 17, 85, 1964.
11. A. C. ERIN G EN , E. C. SU H U BI, Nonlinear theory of simple mkroelastic solids, I . I I , IJES, 2, 189, 389, 1964.
12. D . ROQU LA, L arge dzformations of crystals, homotopy and defects, in: Trends in Application of Pure M athematics t o Mechanics, Proc. Conf. Lecce 1975, Ed. G . F ichera, Pitman Publ., London 1976. 13. D . ROQU LA, Continuum models of structured media, in: Study N o 12, Continuous Models^of D iscrete
Systems, P roc. Symp. M ont G abriel 1977; E d. J. W. Provan, U niv. of Waterloo Press, 1978.
14. I . A. K U N I N , Model of simple elastic medium with spatial disperion [in Russian], Prikl. M ath., 30, 542 1966.
15. E . KRON ER, Elasticity theory of materials with long- range cohesive forces, IJSS, 3, 731, 1967. 16. E. KRON ER, B. K. D ATTA, Nichtlokale Elastostatik. Ableitung aus der G ittertheorie, Z .F . Physik,
196, 203, 1966.
17. D . G . B. ED ELEN , A. E . G REEN , N . LAWS, Nonlocal continuum mechanics, ARM A, 43, 36, 1971. IS. A. C. ERIN G EN , D . G . B. EDELEN , On nonlocal elasticity, IJES, 10, 233, 1972.
19. A. C. ERIN G EN , Nonlocal polar elastic continua, IJES, 10, 1, 1972. 20. A. C. ERIN G EN , Foundations of micropolar elasticity, CISM Courses, 23, Springer Verlag 1970. 21. R . STOJAN OYIĆ, Mechanics of polar continua, CISM Courses, Voline 1970. 22. J. STEFANIAK, Reflection of a plane longitudinal wave from a free plane in a Cosserat medium, Arch. M ech., 21, 745, 1969. 23. J . IG N ACZAK, Radiation conditions in asymmetric elasticity, J. of Elasticity, 2, 307, 1972.
24. J. IONACZAK, Theorems of Boggio's type in asymmetric elastodynamics. Bull. Acad. P olon. Sci., Serie Sci. techn., 25, 139, 1977.
25. W. N OWACKI, Plane problems in micropolar elasticity. Bull. Acad. Polon. Sci. Serie Sci. techn., 19, 525, 1971.
26. W. N OWACKI, Zweidimensionale Probleme der mikropolaren Elastostatik, Z . Angew. M ath. M ech., 52, 268, 1972.
27. W. N OWACKI, Three- dimensional problem of micropolar elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 22, 363, 1974.
28. A. WACHECKA- SKOWRON, Uniqueness for plane crack problems in micropolar theory of elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 25, 825, 1977.
29. S. MATYSIAK, A. WACHECKA- SKOWRON, On the uniqueness of some two- dimensional boundary value problems in micropolar theory of elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 25, 845, 1977. 30. S. M. KH AN , R. S. DHALIVAL, Axisymmetric problem for a halfspace in the micropolar theory of elasticity, J. Blast., 7, 13, 1977. 31. S. M. KH AN , R. S. DHALIVAL, Effects due to body- forces and body couples in the interior of micropolar elastic halfspace, J. Elast., 7, 33, 1977. 32. J. DYSZLEWICZ, S. MATYSIAK, Singularity of stresses in a micropolar elastic semi- space due to disconti-nuous boundary load, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 21, 975, 1973. 33. J. DYSZLEWICZ, S. MATYSIAK, Singularity of stresses in a micropolar elastic semi- space due to concentrated load, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 21, 763, 1973. 34. D . IESAN, The plane micropolar strain of ortotropic elastic solids, Arch. M ech., 25, 547, 1973. 35. D . IESAN, On the existence and uniqueness of the solutions of the dynamic theory of the linear elasticity microstruclure, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 22, 329, 1974. 36. D . IESAN, Almansi's problem in micropolar elasticity, IJES, 12, 361, 1974.
37. D . lE3*iN, Torsion of anisotropic micropolar elastic cylinders, Z . Angew. M ath. M ech., 54, 773, 1974 38. D . IESAN, Saint- Venants problem for inhomogeneous and anisotropic elastic solids with microstructure,
Arch. Mech., 419, 29, 1977.
39. M . SOKOLOWSKI, Theory of couple stresses in bodies with constrained relations, CISM Courses, 26, U dine 1970.
40. W. N OWACKI, Couple- stresses in the theory of thermoelasiicity, Proc. IU TAM Symp. Vienna 1966, Springer Verlag, Wien 1968. 41. A. C. ERIN G EN , Foundations of micropolar thermoetasticity, CISM Courses, 27, Springer Verlag 1970. 42. J. STEFANIAK, A generalization of Galerkiits functions for asymmetric thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 16, 391, 1968. 43. W. NowACKr, Green functions for micropolar thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn. 16, 11- 12, 1968. 44. E. Rusu, Op- some theorems in a generalized theory of linear micropolar thermoelasticity, Bull. Inst. Politechn. ł asi, A22, 87, 1976.
45. T . R. TAUCHERT, W. D . CLAUSS Jr., A. ARIMAN , The linear theory of micropolar thermoelasticity, I JES, 6, 37, 1968.
46. K. L. CHOWDHURY, P . G . G LOCKN ER, On the matrix method in micropolar thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 23, 511, 1975.
47. W. N OWACKI, Some problems of micropolar magneto- elasticity, Proc. Vibr. Probl., 12, 105, 1971. 48. S. KALISKI, Thermo- magneto- microelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 16, 7, 1968. 49. S. KALISKI, W. N OWACKI, W ave- type equations of thermo- magneto- microelasticity, Bull. Acad. P olon.
Sci., Serie Sci. techn., 18, 277, 1970.
50. C . E. POUG H, M . SIN G H , Couple stresses in elastic dielectrics, Indian J. Pure Appl. M ath,, 5, 530, 1974. 51. Cz. RYMARZ, W. N IEPORET, Micro- structural electrohydrodynamic model of a continuous medium,
J. Techn. Phys., 17, 195, 1976.
52. E . C. ERIN G EN , R. C. D IXON , A dynamical theory of polar elastic dielectrics, I JES, 3, 359, 1965. 53. R. D . M IN D LIN , A continuum theory of diatomic dielectrics, IJES, 8, 7, 1972.
54. J. P . N OWAC KI , The linear theory of dislocation in Cosserat elastic continuum, Bull. Acad. Polon. AcL, Serie Sci. techn., 22, 611, 1974.
55. J. P. N OWAC KI , Theory of disclinations in elastic Cosserat media, Arch. Mech., 29, 531, 1977. 56. S. MIN AG AWA, Elastic fields of dislocations and dislocations in a isotropic micropolar continuum, Lett.
Appl. Engng. Sci., 5, 85, 1977.
57. W. N OWAC KI , Two- dimensional problem of magneto- thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 10, 2, 1962.
58. S. KALISKI, W. N OWACKI, Combined elastic and electromagnetic waves produced by thermal shock in the case of medium of finite electric conductivity, Bull. Acad. Polon. Sci. Serie Sci. techn., 10, 5, 1962. 59. W. N OWAC KI , Problem of linear couple magneto- thermoelasticity I. Energetic theorem and uniqueness
theorem of solution, II. Variation theorems, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 13, 4, 6, 1965. 60. W. N OWAC KI, Coupled fields in elasticity, in : Trends, in Applications of Pure M ath, to Mechanics,
Ed. G . F ischera, P itman Publ., London 1976.
61. H . PARKU S, Variational principles in thermo- and magneto- elasticity, Courses and Lectures, 58, U dine 1970.
62. H . PARKU S, Magneto- thermoelasticity, Courses and Lectures, 118, Springer Verlag, U dine, 1972. 63. S. KALISKI, Z . PŁOCH OCKI, D . ROG U
LA, Asymmetric stress tensor and the angular momentum comser-vation law in the equations of combined mechanical and electromagnetic field in a continuous medium, P roc. Vibr. P robl., 3, 253, 1962. 64. D . R OG U LA, N oether theorem for a continuous medium interacting with external fields, Proc. Vibr. Probl., 7, 337, 1966. 65. W. P. D U M KE , R. R. H EARIN G , Ultrasonic amplification in semimetals, Phys., Rev., 126, pp. 1974, 1962. 66. S. BODASZEWSKI, On non- symmetric state of stress and its application in mechanics of continuous media, Arch. M ech. 5, 351, 1953.
