WOJCIECH WOħNIAK, JERZY MIKULIK Streszczenie
W pracy zaprezentowano wyniki badaĔ polegających na doborze odpowiedniej metody do prognozowania wielkoĞci udziału komponentów uszkodzonych w produkcji całkowitej w wybranym przedsiĊbiorstwie produkcyjnym. Wykorzystując metodĊ na-iwną, metody Ğredniej ruchomej oraz metody wygładzania wykładniczego zbudowano modele prognostyczne oraz porównano je ze sobą wg wybranych kryteriów.
Słowa kluczowe: analiza błdów, niezawodno, prognozowanie
Wprowadzenie
Istnieje wiele definicji poj prognoza czy prognozowanie. A. Zelia przyjmuje, e prognoza „to wybór – w ramach danego układu – najbardziej prawdopodobnej drogi rozwoju wyrónionego zjawiska ekonomicznego w nadchodzcym czasie, przy czym podstaw tego wyboru stanowi do-tychczasowy przebieg tego zjawiska i aktualny stan układu” [13, s. 15]. Definicja prognozowania, zaczerpnita z pracy M. Cielak mówi, e jest to po prostu „wnioskowanie o zdarzeniach nieznanych na podstawie zdarze znanych” [4, s. 15], jednak najwiksze uproszczenie mona znale w pracy C. Bozartha oraz R. B. Handfielda [2, s. 321] – wg tych autorów „prognoza to szacunkowe okrele-nie poziomu danej zmiennej”. Proces prognozowania przebiega według schematu opisanego w kolejnym akapicie.
Pierwszym etapem jest sformułowanie zadania prognostycznego – naley okreli prognozo-wane zjawisko oraz cel budowy prognozy. W kolejnym etapie badamy czynniki wpływajce na zmiany tego zjawiska. Etap trzeci to zebranie danych statystycznych oraz ich obróbka i analiza. W etapie czwartym naley wybra odpowiedni metod prognozowania, a nastpnie – w etapie pi-tym – w oparciu o t wybran metod zbudowa model prognostyczny i wyznaczy prognoz. Szóstym etapem jest ocena jakoci rozwizania – naley sprawdzi czy uzyskana prognoza daje dopuszczalne rezultaty. W sytuacji, gdy prognoza jest prognoz dopuszczaln nastpuje jej zastoso-wanie w praktyce. Ostatni etap polega na ocenie trafnoci prognozy [5, s. 22–35].
1. Metody prognozowania
Istnieje wiele metod prognozowania, które maj zastosowanie do rónej klasy szeregów czaso-wych. Jako najbardziej fundamentalne mona wymieni metody naiwne, metody redniej ruchomej oraz metody wygładzania wykładniczego.
Modele naiwne, jak napisano w pracy M. Cielak [4, s. 67–70] oparte s na prostym załoeniu braku istotnych zmian poziomu zmiennej prognozowanej w najbliszym czasie (równanie 1):
1 * −
=
t ty
y
(1) gdzie: * t61
1 − t
y
– warto zmiennej y w okresie t–1,W przypadku szeregów czasowych odznaczajcych si sezonowoci mona zastosowa me-tod opisan wzorem 2:
r t t
y
y
*=
− (2) gdzie: r ty
− – warto zmiennej y w odpowiadajcej fazie cyklu poprzedniego okresu,r
– liczba faz cyklu.Drug grup modeli prognostycznych stanowi modele ARIMA i SARIMA, które szczegó-łowo zostały omówione przez G. E. P. Boxa oraz G. M. Jenkinsa [1]. S to tzw. modele autoregresji AR i redniej ruchomej MA.
Model autoregresji AR ma ogóln posta [5, s. 98]:
t p t p t t t
y
y
y
y
=
ϕ
0+
ϕ
1 −1+
ϕ
2 −2+
...
+
ϕ
−+
ε
(3) gdzie: p t t t ty
y
y
y
,
−1,
−2,
...,
− – wartoci zmiennej prognozowanej w okresie t, t–1, t–2, …, t–p,p
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
0,
1,
2,
...,
– parametry modelu, tε
– błd modelu w okresie t, p – wielko opónienia.Budowa modeli AR opiera si na wzajemnej zalenoci zmiennej prognozowanej z wartociami tej samej zmiennej opónionymi w czasie. Model redniej ruchomej MA ma posta [4, s. 95]:
t q t q t t t
y
=
ϑ
0−
ϑ
1ε
−1−
ϑ
2ε
−2−
...
−
ϑ
ε
−+
ε
(4) gdzie: ty
– warto zmiennej prognozowanej w okresie t,p
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
0,
1,
2,
...,
– parametry modelu, q t t t tε
−ε
−ε
−ε
,
1,
2,
...,
– błdy modelu w okresach t, t–1, t–2, …, t–p, q – wielko opónienia.W przypadku modelu MA naley zaznaczy, e suma parametrów modelu
= − q i i t 1
ϑ
nie musi by równa jednoci, a ponadto parametry te nie musz by dodatnie [4, s. 95]. W wyniku połczenia modeli AR i MA otrzymujemy model ARMA [6, s. 120]:q t q t t p t p t t
y
y
y
=
ϕ
1 −1+
...
+
ϕ
−+
ε
+
ϑ
0−
ϑ
1ε
−1−
...
−
ϑ
ε
− (5)Omówione modele AR, MA oraz ARMA zakładaj stacjonarno szeregu zmiennej prognozo-wanej. W sytuacji, jeeli szereg czasowy nie jest szeregiem stacjonarnym naley przekształci go w szereg stacjonarny za pomoc operacji d-krotnego rónicowania [6, s. 239]. Proces rónicowania mona przedstawi za pomoc równa (wzór 6 – dla pierwszych rónic) oraz (wzór 7 – dla kolejnych rónic) [6, s. 120]. 1 −
−
=
∇
y
ty
ty
t (6)1 1 − −
∇
−
∇
=
∇
d t t d t dy
y
y
(7)Efektem zabiegu rónicowania niestacjonarnych szeregów czasowych jest moliwo ich progno-zowania przy uyciu modeli AR, MA oraz ARMA. Modele takie, w których uprzednio nastpiło rónicowanie nazywamy procesami zintegrowanymi: ARI (ang. Autoregressive Integrated – zintegro-wany proces autoregresji), IMA (ang. Integrated Moving Average – zintegrozintegro-wany proces redniej ruchomej) oraz ARIMA (ang. Autoregressive Integrated Moving Average – zintegrowany proces au-toregresji i redniej ruchomej). Modele zintegrowane mona przedstawi w ogólnej postaci ARIMA (p, q, d), gdzie p oznacza rzd autoregresji, d krotno rónicowania, a q wielko opónienia redniej ruchomej [12, s. 239]. Proces ARIMA (p, q, d) wyraa si wzorem [12, s. 240]:
t q t d p
(
B
)
∇
y
=
Θ
(
B
)
ε
Φ
(8)gdzie B, to tzw. operator przesunicia wstecz obliczany na podstawie wzoru 9:
1 −
=
t tB
ε
ε
(9)W przypadku wystpienia sezonowoci w szeregu czasowym model ARIMA podlega kolejnej modyfikacji, w wyniku której otrzymujemy model SARIMA (ang. Seasonal Autoregressive Inte-grated Moving Average – zintegrowany sezonowy proces autoregresji i redniej ruchomej). Model SARIMA ogólnej postaci wyraa si wzorem:
t S q t d S S p
(
B
)
∇
y
=
Θ
(
B
)
ε
Φ
(10)Jak napisano w pracy A. Lichoty [9, s. 57], „w modelu tym zakłada si, e wielko prognozo-wana w okresie t zaley od przeszłych jej wartoci i od błdów przeszłych prognoz oraz tych wartoci w okresie t–s”. W pracy tej moemy ponadto znale szczegółowe zalecenia dotyczce moliwoci stosowania wyej wymienionych metod [9, s. 57–58]. Model autoregresyjny naley sto-sowa gdy liczba współczynników korelacji czstkowej jest bardzo mała. W przeciwnym wypadku naley stosowa model redniej ruchomej. Model ARMA ma zastosowanie tam, gdzie wartoci współczynników zarówno funkcji autoregresji jak i autoregresji czstkowej malej wykładniczo w kierunku zera. Procesy zintegrowane maj zastosowanie tam, gdzie jak ju wczeniej wspo-mniano mamy do czynienia z niestacjonarnoci szeregu czasowego.
Kolejn grup statystycznych metod prognozowania s metody polegajce na wygładzaniu sze-regu czasowego za pomoc redniej ruchomej waonej. Metody te szczegółowo zostały omówione przede wszystkim w pracach R. G. Browna [3], C. C. Holta [7] oraz P. R. Wintera [11].
Model Browna, czyli proste wygładzanie wykładnicze opisuje równanie:
(
)
' 1 '1
−
−+
=
t t ty
y
y
α
α
(11) gdzie: ' ty
,y
t'−1 – wyrównane wykładniczo rednie oceny trendu po okresach t oraz t–1,t
y
– ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej,α – stała wygładzania, przyjmujca wartoci z przedziału
0
;
1
W przypadku tego modelu istotne jest pocztkowe ustalenie wartoci prognozy na okres t. Z reguły przyjmuje si j równ rzeczywistej wartoci zmiennej z tego okresu:
1 ' 1
y
63
Naley zauway, e im dłuszy jest szereg czasowy, tym mniejszy wpływ na prognoz ma przyjta warto pocztkowa
y
1'. Model ma zastosowanie w odniesieniu do stacjonarnych szeregówczasowych, w których mamy do czynienia z prawie stałym poziomem zmiennej prognozowanej oraz wahaniami przypadkowymi [10, s. 122].
Podwójne wyrównanie wykładnicze Holta, jak zauwaa M. Sobczyk „znajduje zastosowanie wówczas, gdy w szeregu czasowym wystpuje składowa systematyczna w postaci liniowego trendu oraz niewielkie wahania sezonowe [10, s. 127]. Model ten słuy do budowy prognoz krótkookreso-wych na jeden lub kilka okresów na przód. Zwikszajc horyzont prognozowania naley liczy si ze wzrostem niepewnoci.” Model opisuj równania:
(
1
−
)(
−1+
−1)
+
=
t t t ty
F
S
F
α
α
(13)(
−
−1) (
+
1
−
)
−1=
t t t tF
F
S
S
β
β
(14) 1 1 ' − −+
=
t t tF
S
y
(15) gdzie: tF
,F
t−1 – rednie obliczone wykładniczo po okresach t oraz t–1,t
S
,S
t−1 – rednie zmiany trendu obliczone wykładniczo po okresach t oraz t–1,β
α
,
– stałe wygładzania, przyjmujce wartoci z przedziału0
;
1
t
y
– ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej,W modelu wystpuj dwie stałe wygładzania α oraz
β
. Ich wartoci s dobierane ekspery-mentalnie w taki sposób, aby zminimalizowa redni kwadratowy błd prognoz wygasłych [10, s. 128]. W przypadku tego modelu istotne jest ustalenie wartoci pocztkowychF
1 orazS
1.Z reguły warto
F
1 przyjmuje si na poziomie równym y . Z kolei warto1S
1 mona przyj napoziomie równym 0 lub obliczy jako rónic y2−y1.
Model Wintera jest wykorzystywany, gdy w szeregu czasowym obok waha przypadkowych i trendu wystpuj równie wahania sezonowe [10, s. 130]. Rozróniamy wersj addytywn i mul-tiplikatywn modelu. Addytywny model Wintera opisuj równania:
(
−
−) (
+
1
−
)(
−1+
−1)
=
t t r t t ty
C
F
S
F
α
α
(16)(
−
−1) (
+
1
−
)
−1=
t t t tF
F
S
S
β
β
(17)(
t t) (
)
t r ty
F
C
C
=
γ
−
+
1
−
γ
− (18) r t n n tF
S
t
n
C
y
'=
+
(
−
)
+
− (19)Multiplikatywny model Wintera opisuj równania:
(
1
)(
1 1)
)
/
(
−+
−
−+
−=
t t r t t ty
C
F
S
F
α
α
(20)(
−
−1) (
+
1
−
)
−1=
t t t tF
F
S
S
β
β
(21)(
t t) (
)
t r ty
F
C
C
=
γ
/
+
1
−
γ
− (22)[
n n]
t r tF
S
t
n
C
y
'=
+
(
−
)
− (23)gdzie:
t
F
,F
t−1 – rednie obliczone wykładniczo po okresach t oraz t–1,t
S
,S
t−1 – rednie zmiany trendu obliczone wykładniczo po okresach t oraz t–1,t
C
– wskanik sezonowoci,γ
β
α
,
,
– stałe wygładzania, przyjmujce wartoci z przedziału0
;
1
t
y
– ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej,W modelu wystpuj trzy stałe wygładzania α ,
β
orazγ
. Ich wartoci – podobnie jak w przypadku modelu Holta – s dobierane eksperymentalnie w taki sposób, aby zminimalizowa redni kwadratowy błd prognoz wygasłych, przy czymα
wpływa na wygładzon ocen wartoci redniej na okres t,β
decyduje o wartoci przyrostu trendu liniowego na okres t, aγ
wpływa na wygładzon ocen wartoci absolutnych poziomów waha sezonowych. Istotne jest ustalenie war-toci pocztkowychF
1 ,S
1 orazC
1,C
2, …,C
r. Z reguły wartoF
1 przyjmuje si na poziomierównym y . Z kolei warto1
S
1 mona przyj na poziomie równym 0 lub obliczy jako rónic 12 y
y − . Wartoci
C
1,C
2, …,C
r dobiera si w taki sposób, aby ich suma była równa 1. 2. Prognozowanie wielkoĞci udziału produkcji wadliwejOmówione w poprzednim podrozdziale metody posłuyły jako narzdzie do prognozowania udziału komponentów uszkodzonych w produkcji całkowitej w wybranym przedsibiorstwie. Na rysunku 1 zaprezentowano dane, na podstawie których przeprowadzono analizy.
Jako dane wejciowe do utworzonych modeli prognostycznych posłuyły dane zebrane na prze-strzeni kolejnych 66 dni roboczych. Jak mona zauway na rysunku 1 udział komponentów uszkodzonych w produkcji całkowitej odznacza si trendem malejcym – najwyszy udział kompo-nentów uszkodzonych w produkcji całkowitej odnotowano pitego dnia analizowanego okresu, natomiast najniszy dnia pidziesitego siódmego. Wikszo danych skupiona jest jednak wokół redniej, czego potwierdzeniem s zamieszczone równie na rysunku 1 histogram danych oraz siatka prawdopodobiestwa rozkładu normalnego. Wartoci podstawowych miary statystycznych dla ana-lizowanego zbioru danych zestawiono z kolei w tabeli 1.
65 0 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Dane historyczne
kolejny dzieĔ analizy
U d z ia ł p ro d u k c ji w a d li w e j [% ] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 5 10 15 20 25 Histogram danych
Udział produkcji wadliwej [%]
c z Ċ s to Ğ ü w y s ta p ie n ia 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.98 0.99 Dane P ra w d o p o d o b ie Ĕ s tw o
Siatka rozkładu normalnego
Rysunek 1. Dane, na podstawie których przeprowadzono proces prognozowania Tabela 1. WartoĞci podstawowych miar statystycznych analizowanego zbioru danych
Miara statystyczna Warto miary
rednia 0,005853 Odchylenie standardowe 0,001737 Minimum 0,002195 Maksimum 0,010067 Rozstp 0,007872 Mediana 0,005811
Współczynnik kierunkowy liniowej funkcji trendu -0,000063 Wyraz wolny liniowej funkcji trendu 0,007967
Na rysunku 2 zaprezentowano przebiegi prognoz wygasłych uzyskanych z zastosowania wy-branych metod prognostycznych.
0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Metoda naiwna Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d li w e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Metoda Ğredniej ruchomej 2-okresowej
Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d li w e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Metoda Ğredniej ruchomej 3-okresowej
Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Metoda Ğredniej ruchomej 4-okresowej
Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Metoda Browna Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Metoda Holta Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Metoda addytywna Wintera
Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Metoda multiplikatywna Wintera
Kolejny dzieĔ U d z ia ł p ro d u k c ji w a d liw e j
Dane rzeczywiste Prognoza
Rysunek 2. Prognozy wielkoĞci udziału produkcji wadliwej w produkcji całkowitej uzyskane z zastosowania wybranych metod prognozowania
67
Oceny uzyskanych wyników dokonano na podstawie miar błdów ex post (tab. 2). Tabela 2. Podstawowe miary błĊdów ex post
Błd Funkcja błdu
Błd redni
(ang. Mean error)
(
)
=
−
=
n i i iy
y
n
ME
1 '1
Warto bezwzgldna błdu redniego
(ang. Mean absolut error)
=
−
=
n i i iy
y
n
MAE
1 '1
Pierwiastek bezwzgldnego błdu redniokwadratowego
(ang. Root mean squared error)
(
)
=
−
=
n i i iy
y
n
RMSE
1 2 '1
redni błd procentowy(ang. Mean percentage error)
=
−
=
n i i i iy
y
y
n
MPE
1 '1
redni wzgldny błd procentowy
(ang. Mean absolut percentage error)
=
−
=
n i i i iy
y
y
n
MAPE
1 '1
ródło: opracowanie własne na podstawie [8, s. 53].
W tabeli 3 zastosowano zestawienie tyche miar dla analizowanego przypadku. Tabela 3. WartoĞci błĊdów uzyskanych z zastosowania wybranych metod predykcji
do prognozowania udziału komponentów wadliwych w produkcji całkowitej
Metoda prognozowania Błd
ME MAE RMSE MPE MAPE Metoda naiwna -0,000100 0,000958 0,001490 -6,75% 19,99% Metoda redniej ruchomej 2-okresowej -0,000147 0,000940 0,001463 -8,65% 19,87% Metoda redniej ruchomej 3-okresowej -0,000200 0,000989 0,001475 -10,45% 21,33% Metoda redniej ruchomej 4-okresowej -0,000254 0,001004 0,001442 -11,78% 21,71% Metoda Browna -0,000272 0,000939 0,001327 -11,13% 19,98% Metoda Holta 0,000133 0,000971 0,001377 -4,78% 19,92% Metoda addytywna Wintera 0,000216 0,000353 0,000551 4,88% 6,84% Metoda multiplikatywna Wintera 0,000213 0,000343 0,000542 4,90% 6,68% W przypadku metod wygładzania wykładniczego stałe wygładzania zostały dobrane w taki sposób, aby zminimalizowa warto błdu RMSE. Zestawienie tyche stałych zamieszczono w tabeli 4.
Tabela 4. WartoĞci stałych wygładzania w utworzonych metodami Browna, Holta i Wintera modelach prognostycznych
Metoda prognozowania Stała wygładzania
α β γ
Metoda Browna 0,3398 - -
Metoda Holta 0,3198 0,1111 - Metoda addytywna Wintera 0,9054 0,2924 0,0010 Metoda multiplikatywna Wintera 0,9104 0,2948 0,0010
Najnisze wartoci błdów uzyskano dla prognoz zbudowanych w oparciu o modele Wintera. Analizy rozkładów błdów uzyskanych z zastosowania omawianych wczeniej metod prognostycz-nych potwierdziły słuszno wyboru modeli Wintera (rys. 3).
Rysunek 3. Analiza błĊdów uzyskanych z zastosowania modeli Wintera do prognozowania wielko-Ğci udziału produkcji wadliwej
69 3. Podsumowanie
Tematyka prognozowania i analizy szeregów czasowych stanowi nieprzerwanie istotny i aktualny obszar bada naukowych. W niniejszej pracy zbadano moliwo wykorzystania klasycznych metod prognostycznych do prognozowania wielkoci udziału komponentów uszkodzonych w produkcji cał-kowitej w przykładowym przedsibiorstwie. Wykorzystujc metod naiwn, metody redniej ruchomej oraz metody wygładzania wykładniczego najlepsze rezultaty uzyskano dla modeli progno-stycznych zbudowanych w oparciu o modele Wintera. Kolejne badania jakie bd prowadzone w tym temacie, bd zwizane ze sprawdzeniem moliwoci zastosowania metod wskaników sezonowoci oraz ich modyfikacji do prognozowania udziału komponentów wadliwych.
Bibliografia
[1] Box G. E. P., Jenkins G. M.: Analiza szeregów czasowych. PWE, Warszawa 1983. [2] Bozarth C., Handfield R. B.: Wprowadzenie do zarządzania operacjami i łaĔcuchem
dostaw. Helion, Gliwice 2007.
[3] Brown R. G.: Statistical Forecasting for Inventory Control. McGraw-Hill, Nowy Jork 1959. [4] Cielak M. [red.]: Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN, Warszawa 1999. [5] Dittmann P.: Prognozowanie w przedsiĊbiorstwie. Metody i ich zastosowanie. Wolters
Kluwer business, Kraków 2008.
[6] Dittmann P., Dittmann I., Szabela–Pasierbiska E., Szpulak A.: Prognozowanie w zarządzaniu przedsiĊbiorstwem. Wolters Kluwer business, Kraków 2009.
[7] Holt C. C.: Forecasting Seasonal and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages. ONR Research Memorandum No. 52/1957.
[8] Krzyaniak S.: Podstawy zarządzania zapasami w przykładach. ILiM, Pozna 2008. [9] Lichota A.: Prognozowanie krótkoterminowe na lokalnym rynku energii elektrycznej.
rozprawa doktorska, Wydział Zarzdzania AGH, Kraków 2006. [10] Sobczyk M.: Prognozowanie. PLACET, Warszawa 2008.
[11] Winters P. R.: General Exponential forecasting; A Computer Program for the IBM 360. ONR Research Memorandum No. 71/1960.
[12] Zelia A., Pawełek B., Wanat S.: Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania. PWN, Warszawa 2003.
SHORT-TERM FORECASTING OF THE SHARE OF FAILURE COMPONENTS IN TOTAL PRODUCTION USING CLASSICAL FORECASTING METHODS
Summary
In the paper short-term forecasting models of the share of failure components in total production in some production enterprise has been presented. Using naive method, moving average methods and exponential smoothing methods, forecasting models has been built. The obtained results has been compared and discussed.
Keywords: error analysis, reliability, forecasting
Praca realizowana w ramach bada statutowych prowadzonych w AGH nr 11.11.200.322. Wojciech Woniak
Jerzy Mikulik
Katedra Inynierii Zarzdzania Wydział Zarzdzania
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków
e-mail: wojciech.wozniak.293@zarz.agh.edu.pl jmikulik@zarz.agh.edu.pl
