Vermoeiing onder random belastingen – Het beschrijven van random signalen

van de afdel±ng der Weg- en Waterbouwkunde der TECHNISCHE HOGESCHOOL

0000

RAPPORT 6-70-5. Ra - III-1

VERMOEIING ONDER RANDOM BELASTINGEN.

het beschrijven van randcm signalen.

september 1970. ir J. Strating.

Deift,

Stevinweg L+.

INHOUD.

Pagina Inleiding

Random processen

Energie dichtheidsfunkties 6

-. Ergodische random processen 12

Lineaire transformaties van random processen 14

Lineaire Systemen met enkelvoudige invoer 15

Inleiding.

Sinds W6hler in 1858 resultaten publiceerde van verrnoeiingsproeven op assen van spoorwagons is de naar hem genoemde proef met een konstante amplitude belasting jarenlang toegepast voor het oplossen _{van vermociingsproblemen.} Als spanningsamplitude wordt in de Wahler proef meestal uitgegaan van de grootste voorkomende spanningswisseling. Het is echter niet waarschijnlijk dat juist deze spanningswisseling een vermoeiingsbreuk zal vcroorzaken in een konstruktie onder zijn gebruiksbelasting.

De gebruiksbelasting zal zijn samengesteld uit een groot aantal belastings-wisselingen met een variabele amplitude en frekwentie. Meestal _{zullen grote}

amplituden weinig voorkomen, terwiji de kleinere belastingswisselingen veel zullen voorkomen. Het lijkt daarom zinvol de vermoeiingssterkte van

een materiaal of konstruktie-detail te bepalen onder een belasting met variabele amplitude. Hiervoor is het noodzakelijk methoden _{te ontwikkelen} die een dergelijke belastingsafloop kunnen beschrijven.

Deze belastingen zullen voortaan "Random belastingen" worden genoemd. Random is het Engelse woord voor willekeurig, het is echter _{zo ingeburgerd} bij degenen die zich met vermoeiingsproblemen bezighouden, _{dat het gebruik} hiervan is gerechtvaardigd.

In het rapport worden de methoden samengevat die zijn ontwikkeld orn dergelijke

random belastingen te beschrijven. Hierbij is gebruik gemaakt van de literatuur die achterin is vermeld.

Random processen.

Een random proces kan worden gedefinierd als een verzameling tijd-funkties

xk(t) ,-<t<co, k,2,3, zodanig dat de verzameling beschreven wordt door zijn statistische eigenschappen.

Elke xk(t) uit deze verzameling is een tijdfunktie van de te onderzoeken grootheid. Stel twee willekeurige random processen zijn _{gegeven door:}

xk(t) en

Van belang kunnen zijn de gemiddelden van deze processen op eeli bepaald tijdstip t, terwijl x en y variaren over k. Dus:

u(t)

E (xkt)

(t)

xk±i(t)

-2-Hierin stelt E(..) de "expected value" of "de vrwachtingswaarde" _{voor van} de beschouwde giootheid. Indien de random processen niet aan byzondere eisen voldoen zullen deze waarden verschillen voor elke t dus:

P(ti)

(t2) als t1 t2

p(t1)

p(t2)

als t1 t2

a

A

AA

A.

V

T

t2

t +

T

A

I-let verband tussen de waarden van

_xK(t)

_{of yk(t) voor t1 t en t2 t + T} wordt beschreven door de kovariantie funktie n.l.:

p(t±T)})

De kovariantie funktie zal variren met T. Voor -rO gelden de byzondere waarden:

C = E({xk(t) - p(t)32) = C (t,t) E({yk(t) - (t)}2)

02(t)

y C_xy(t,t) E((xk(t) - (t)} {yk(t) - (t))) c (t) xy C (t, t+T) X E({xk(t) - p(t)) {xk(ttT) -C (t, t+T) y E((yk(t) - p(t)} {y(t±T) -C (t,t+ ) _{E({xk(t) -} (t)} _{yk(t+T) -Xy

Deze formules geven dus de gewone varianties van _{xk(t)) en {yk(t)}} voor een bepaalde t, terwijl C(t) de kovariantie geeft tussen _xk(t)}

en yk(t)}. Deze waarden zullen afhankeiijk zijn van t.

Andere statistische grootheden kunnen uiteraard worden gedefinieerd, zij zullen van meerdere t's afhangen (3e 4e en hogere momenten). Deze groot-haden samen beschrijven de verdelingsfunktie van het random proces. Een byzonder geval is het random proces waar {xk(t)} een gausse verdelings funktie voigt. Een gausse verdeling kan geheel beschreven worden door ge-middelde en standaardafwijking ( /variantie).

Hierop wordt later teruggekomen.

Aan een random proces kunnen bepaalde eigenschappen worden toegekend afhankelijk van de mathematische beschrijving. Indien de geiniddelden _{(t) en p (t) zowel als} de kovariantie funkties C (t, t+T), C (t, t-f-T) hetzelfde resultaat

X

opleveren voor elke t-waarde (dus onafhankelijk zijr van een tijdtranslatie), dan worden deze random processen zwak-stationair genoemd. Als ook de hogere momenten van de verdelingsfunkties onafhankelijk zijn van t dan zijn de random processen sterk-stationair. De sterk-stationair processen vormen dus een subgroep van de zwak-stationaire processen. Een gauss proces zal b.v. altijd sterk-stationair zijn indien zu _{zwak-stationair is, omdat zij geheel beschreven wordt door de eerste} twee momenten.

De tegenhanger van hat stationaire proces is het niet-stationaire random proces. De behandeiing hiervan is dermate gecompliceerd dat zu _{vait buiten het kader} van dit overzicht.

Een random proces is dus stationair indien de statistische eigenschappen onafhankeiijk zijn van de tijd. In de verdere behandeling van random processen zai bet stationair zijn worden verondersteld.

Bet gemiddeide, onafhankelijk van de tijd, wordt: E( _k(t))

=

p(x) dx

p _{E( yk(t)J}

J

r(y)

dy

waarin p(x) en p(y) de karisdichtheidsfunkties voorsteilen die behoren bij {xk(t)) en {ykt)}.

-Li-De kovariarite funkties zijn eveneens onafhankelijk van t; voor een willekeurige T

geldt: R

(T)

_{E (xk(t).xk(t+T))} X

R (T)

E (ykt.ykt+T)

y R_Xy

(T)

E (xkt.yk(t+T))

Hierin wordt R gebruikt als symbool orn aan te geven dat het orn een stationair random proces gaat.

R

_(T)

en R

_(T)

worden de autokorrelatiefunkties genoernd van resp. x (t)) en

x y k

{y (t)), terwiji R

(T)

de kruiskorrelatiefunktie voorstelt tussen {x (t)) en

k xy k

{yk(t)}.

Als R

(T)

R (-T) dan is het proces zwak stationair terwiji R

_(T)

een niet

negatieve kontinue funktie rnoet zijn. Het blijkt dat R(i) kontinu is indien zij in de oorsprong kontinu is. Hetzelfde geldt voor R(T).

In de vorm van kansdichtheidsfunkties geschreven geldt:

R(T)

JJ

x1 X2 p(x1, x2) dx1 dx2

R (T) = JJ

y1 y2 p(y1, y2) dy1 dy2

y

R(T)

jj

x1.y2 p(x1, y2) dx1 dy2

waarin X1 _{- Xk(t), X2 - Xk(tlT); y1 yk(t), y2 - yk(t+T)}

Tussen de kovariantiefunkties, de korrelatiefunkties en de gemiddelden gelden de volgende betrekkingen:

C

(T)

R

(T) -

2 X X X 2 C (-r) R

_(T)

_p y y

_y

C (-r) R

(T) - p .p

Xy Xy X _y

d.w.z. als pO is de kovariantie funktie geiijk _{aan de korrelatiefunktie.} Ui-t het stationair zijn van de processen voigt:

R

_(T)

z R (-T) X X R

_(T)

R (--r) y R

(T)z

R (-T) Xy YX

Bewezen kan worden dat: R _{(T)12 < R (o).R (o) dit wordt de kruiskorrelatie}

Xy

- X

_y

ongelijkheid genoemd.

Indien x(t) y(t) voigt hieruit:

IR(T)I

< R(o)

Dezelfde ongeiijkheden gelden voor de kovariantie funkties:

c _()!

< C (o).c

(o) Xy

- X

_y

en

IC (r)[

< C (o) X

- X

C

(T)

De waarde: p

_(T)

X/ _{wordt de} X

(o).0

(o) X _y

kovariantiefunktie kofficint genoemd. Is het gemiddeide _{gelijk aan nul dan geldt:} R (r) Xy p

(T) z

VR (o).R (o) X y de korrelatiefunktie kofficint.

Deze kofficint is een maat voor de lineaire afhankelijkheid tussen {xk(t)) en {yk(t)} voor eon zeker tijdinterval _T.

3. Energie dichtheidsfunkties.

De voorgaande beschouwingen hebben alle betrekking op het beschrij ven van een random proces in het tijd-gebied. Behalve hot verloop in de tijd van een funktie blijkt het interessant de frekwentie sarnensteiling van een tijdfunktie te be-schouwen, d.w.z. de funktie beschreven in het frekwentiegebied. Dit ieidt tot het begrip energiespektrum en energiedichtheidfunktie. Deze uitdrukkingen zijn afkomstig uit de elektrotechniek; voigens de wet van Ohm is de elektrische ener-gie evenredig met het kwadraat van de amplitude van de stroomsterkte n.l.

dt

Indien voor x(t) de hele fourierserie wordt ingevuld:

x(t) ₊

[(

cos2ft+bsin2I1ft)1

(verondersteld wordt dat x(t) periodisch is over ET, T]

of x(t) = o

L1

Ccos (211f t - e) dan voigt na integratie:

pC2+

C2

o n

n1

Hieruit voigt rechtstreeks dat de totale gemiddelde energie in x(t) alleen een

funktie

is

van

de

amplituden C behorende bij elke frekwentie f die in x(t) voorkomt. Zij is dus onafhankelijk van de fase hoek O.

blijkt dus een positieve stijgende funktie te zijn van Indien AP wordt gedefinieerd ais de gemiddelde energie in eon frekwentie band met breedte

¿f (Af f - f fl

(n-1)

dan is:

n n n n-1 2T 2T A P = P(f ) - P(f ) 1/2 C 2 n o n n n-1 n

¿P

1/2C2

f)

A f 1/2 T T.C2. -6-en

Dus: c n en

a)

00 xk(t)

J

Xk(f).

+i2ft

e df.

Voldoende voorwaarde hiervoor is dat xk(t) en k(t) kontinu zijn in elk eindig interval [a, b] en dat xk(t) integreerbaar is over [,].

Het vinden van de fourier transformatie kan nog problemen geven als het een konstante, periodieke funktie betreft. Hiervoor wordt de huip ingeroepen van

de delta-funktie 5(f). Als xk(t) i dan is de fourier transformatie:

JXk (f) e i2rrftdf

co

Xk(f) = Jxk(t) -i2ft

-i2ft

e dt je dt. Co

Deze laatste integraal wordt gelijk gesteld aan 6(f) dus:

co

f) = Je i2ftdt

G(f) wordt de spektrale energie dichtheidsfunktie genoemd van x(t) voor frekwen-tie f

n

In G(f) uitgedrukt wordt de totale gemiddelde energie

JG (f) df

Ilet is

gebleken dat de spektrale energie dichtheidsfunkties gevonden kunnen worden uit de fourier transformaties van de korrelatiefunkties. Voor de nu volgende

afleiding wordt aangenomen dat elke tijdfunktie xk(t) een fourier transformatie heeft n.l. Xk(f).

00

e dt

Xk(f) = Jxk(t).

De eigenschappen van de ó funktie zijn de volgende: (f) = O voor f O o) = df i voor alle > O, (f) (f) df F(0) voor elke F(f) i2lTf t

Stel xK(t) e o is een complexe periodieke funktie.

i2rf t I X i2irft e o _k(f).e df.

-en

dus:

J

ei2(f-f )to df

-en dus = 1 _{X (f+}

i2ft

_df J k o X (f-t-f ) = f) k o Xk(f) f_fo)

_i

i2ift

-i2Trft

Als xk(.t) cos 2ii ft - o +e o

dan is X(f)

I(f-f

) ± (f±f

L o

oJ

[

i2iîf t -i2ïf ti en voor x(t) sin 2iïf t e o e

of

Nu weer terug naar xk(t) en yk(t). Indien xk(t) reale waarden aanneemt kan xk(t) beschreven worden door de complexe vervoeging van X(f) n.l.XZ(f) daaruit voigt dat:

xk(t) =

J

-i2ft -e dt.

-Ç -i2lTft 1 i2'lTgt

xk(t)

= j

X(f) e

df. J Xk(g) e dg

-

-=

J X(f).X(g)

e2(E_f)tdfdg

-E

[2(t)]

= R(o) =

J

S(f)df.

-waarin S(f) de spektrale energie dichtheidsfunktie voorstelt _{voor een} stationair proces.

Dat dit za is voigt uit de betrekkingen tussen gemiddeide energie, amplitude in het kwadraat en energie dichtheid.

1dien xk(t) een funktie is met een gemiddeide u O dan:

E

[2(t)]

JJ

E

[xf)

x . xk(g)] e

i2-f)t

dfd g. 1 geldt x(f) =

[f_f

) -o (f+f )l

oJ

Hieruit Voigt dat:

00

i2T(g-f)t

dgl

S (f)

I E

[xxk(f).

_{Xk(g) e}

X en E

[xxk(f. xk(g)]

5(f) 6(f-g)

S(f) is de tweezijdige spektrale energie dîchtheidsfunktie

van het random

proces (xk(t)) met f in

(co, co).

De volgende beiangrijke betrekking kan nu worden afgeleid:

00 e

df.

Xk(t)

=

J X(f)

-i2Tft

00

i 2 gt

xk(t±T) =

JXk(g).

e

_dg.

co

e

df.

Xk(t).Xk(t+T)

Jx(f) -i2ft

J

(g)

i2(t+T)g

00 00 00

g f)t

i2lTgr

xk(t).xk(t±T)

JJX(f).Xk(5)

12 e

dfdg.

en

00

R

_(T)

= E

_{{xk(t).xk(t±T)]}

JJE {x(f).xk(E)].

_e

i2(g-f)t i2gT

_e

_dfdg.

X 00

i2rr(f g)t

i2lrgT

S (f).ô(f-g).e

-

.e

di-dg

Ji

hierin is

J 5(f g)

-

.e

_i2V(f_)tg

gelijk aan

i

te stellen dus:

co

i

(T) =

IS

(f).

eÎ2VfT

df

x

- co

-lo-de energie dichtheidsfunktie n.l. -lo-de energie dichtheidsfunktie is -lo-de fourier-transformatie van de autokorrelatie funktie. De omgekeerde relatie geeft uit de S (f) de R (-r) funktie. X X Dus: -i2TrfT S (f)

JX

R

(T)

e dT S (f) I

R ()

e

-i2fi

di y

Jy

S (f) I R

_(T)

e

-i2ft

di xy j xy -en R (i) I

s

(f) e

i2ft

df X R

_(T)

I

_s

_(f) ei2f-rdr y co

R ()

_I

s

(f) e

12fT

df Xy' ₎ X

Omdat S(f) alleen reale waarden aanneemt mag ook geschreven worden:

co

s

(f) _I R (t) cos2ft di X

-

co co 2

ix

_I R (i) cos2fT di o co S (f) 2 1 R (t) cos2fi dT y ) y o

-12--

i 2-rift S

_xy

(f)

R

(T) e

dT J xy

en

R (-c)

2 1

S (f) cos2fT df

X ₎ X o R

(T)

2

S (f) nos 2rrf(-t) df

y

,

y o R

(T)

I

s

(f)

e

i2fT

_df

Xy

_j

Xy

Deze relaties zijn bekend als de Wiener - lKhinchin relaties.

De afgeleide formules gelden voor een frekwentie bereik

[m,

H

Dit is natuurlijk niet physisch realiseerbaar.

_{Daarom wordt veelal S(f) vervangen}

door G(f) waarin G(f) de energie dichtheid beschrijft over het frekwentie interval

[

]

dus:

G (f)

_X

2 S (f)

_X o<f<co

G(f)2S(f)

o<f<c

G

(f)

2 S

(f)

_o<f<co

Xy Xy

Uit het voorgaande blijkt dat de

_{frekwentie samenstelling van}

_{een stationair}

random proces geheel beschreven wordt door S (f),

_{s (f) en S (f).}

X _y Xy

.

Ergodische random processen.

Tot nu toe is de afleiding beperkt gebleven tot het stationaire random proces.

De statistische eigenschappen hiervan worden

_{bepoald door de momenteti te bepalen.}

;:n speciale groep random processen wordt gevormd, door die processen waarvan _de statistische eigenschappen kunnen worden hepaald door het nemen van

tijd-gemiddelden over n tijdfunktie. Dit zijn de ergodische random processen.

Stel gegeven twee zwak stationaire random processen (xk(t)) _{en (yk(t))} Deze processen zijn zwak ergodisch, indien de gerniddelde waarden en de kovariantie funkties, gedefinieerd als gemiddelden over de hele verzameling op een tijdstip t, ook berekend kunnen worden als tijdgemiddelde van _{n serie} uit de verzameling. Dus: jim

f

xk(t) dt -T T p (k) 11m

J

dt y 2i T- -T

Dehalve onafhankelijk vari t (stationair) zijn deze waarden nu ook onafhankelijk van k. T O

(T)

C

(T,

k) -

um

J [xk(t)-P (k)} {vk(t+T)-PY(k)}] Xy Xy T- -T -1-T

= hm

_Jxk(t)

_{yk(t+T)dtPX(k) p(k)} R

_(T,

k) p (k).p (k) Xy X

_y

R_xy

(T) -

p p X _y

0(T)

= R(T)

-2

C (T)

R (-r) - p y y y

Indien alle statistische parameters gevonden kunnen worden door het _{nomon van} tijdgemiddelden dan zijn de betreffende processen stork ergodisch. De

stationaire processen zullen niet alle ergodisch zijn het omgekeerde is wel waar.

Er bestaan twee groepen random processen die zeker ergodisch zijn:

De groep der stationaireauss processen die een kontinu energie spektrum hebben.

De groep stationaire gauss-Markov processen. Een markov process is een random proces waarbij het verband tussen de waarden niet verder gaat dan de juist eraan voorafgegane.

De volgende voorwaarden kunnen worden opgesteld voor het ergodisch zijn van een random proces.

Een proces is zwak ergodisch indien hot zwak stationair is _{en bovendien} gemiddele en kovariantie funktie voor elke k dezelfde tijdgemiddelden opleveren.

Eon Gauss random proces is zwak ergodisch indien hot zwak stationair is _en indien de kovariantie funkties de volgendo eigenschappen bezitten:

co loe C

(T)

X co

C2(T)

dT<oe I: T C

(T)

X dT<oe dT<oe -1L-I: T

C2(T)

dT<oe

5. r±

transforrnaties van random processen.

Std x(t)} is een stationair random proces. Als A _{cen operator is die van}

differentiatie zijn dan is voor vt.

Een operator A wordt lineair en tijd-invariant genoemd als voor elke groep waarden x: x1, x2, x3, en konstanten a1, a2, a3, a1 geldt

E {y(v)] E {A[x(t)]J A [E{x(t)]].

voor elke t en

y.

Eigenschappen: 1). Als xk(t) een zwakstationair proces is en als A lineair en

tijd-variant is, dan is ook yk(v) A [xk(t)] een zwakstationair proces.

2). Als xk(t) een gausse verdelingsfunktie bezit en A is cen

lineaire, tijd-invariante operator dan bezit _{yk(v) A [xk(t)]} ook een gausse verdelingsfunktie.

6. Lineaire systemen met enkelvoudige invoer.

Systemen kunnen in drie groepen worden verdeeld.

Lineaire en niet-lineaire Systemen

Konstante parameter of variabele parameter Systemen Systemen die eindig of oneindig lang werkzaam zijn

Een systeem is lineair als voor alle invoer f(t), g(t) _{en konstanten a en b} geldt dat: H [a.f(t) bg(t)] = a

1r[f(t)J

+ b H[g(t)].

-N

N i-A E

a.x.

E

a.AIx.

n1

-'J

_n1

i

i

n systeem heeft konstante parameters als de respons van dat systeem onafhan-kelijk is van het gebruiksmoment, d.w.z. _{een tijdtranslatie in de invoer verandert} de uitvoer met dezelfde transiatie.

Een systeem dat oneindig lang werkzaarn is, heeft _{slechts wiskundig betekenis.}

Het nu volgende is van toepassing _{op lineaire systemen met konstante parameters.}

ii ± h(T) = weegfunktie o

J

H(f)

±2fT

e df o

h(-r) meet per definitie de respons van het systeern op een eenheidsimpuls funktie die

t

_{tijdseenheden eerder is aangebracht. Dus h(t-'t}

meet de uitvoer o tijdstip t t.g.v. een impuls invoer T _{tijdseenheden eerder aangebracht.}

De volgende relatie geldt: y(t)

J

h(t).x(t-)dt

o

als x(t) een stationair

random proces is dan is y(t)

_dit

_ook.

y(t).y(t±T) _{ffh(o).h().x(t_c).x(t_) do. d}

E [y(t). y(t±T)]

R(t)

II h(a). h(

_{.R(T+a) dads.}

_(a)

deze is onafhankelijk van t

x(t).y(t+T)

J

h(o)x(t).x(t-i-a) d (b)

-+ y(t)

lineair systeem met x(t) _{konstante parameters} h(T), H(f) overdrachtsfunktie

f

h()

12t

e dT

Door nu de fourier-transformatie van (a) en (b) te nemen worden zowel de energie-dichtheidsfunkties als de korrelatie funkties beschreven als complexe funkties in het frekwente gebied:

S (f) H(f)

2

S(f). Zie afleiding hieronder.

y

S (f)= Ii(f). S (f).

xy X

H(f) wordt de vergrotingsfaktor genoemd.

H(f) bevat zowel de vergrotingsfaktor als een fasefaktor (complex).

H(f) = H ( f)

iOf

Belangrijke relaties kunnen nu worden afgeleid:

w

R(T)

if

h(a) h(s) R(T+a_) da d Bekend is dat: w S (f) I

R (T)

e

2fT

dt X

Jx

00 S (f) = R

(T)

e-i2irfAT y

Jy

ingevuld geeft dit:

S (f) e

J

fi h(a) h(s) R (i±a-S) da dS]

03 03 I h(a) i2nfa J h(s)

-i2f

S (f) = e da. e d y o o 03

J R (T+a-)

edt

-i2iîf(t+a-)

X -03 -18--J R(t±a ) -i2f(t±c-8) - e dT S (f) _I H(f)12. S (f) y X

Dit wil dus zeggen dat, door het energie spektrum van de uitvoer te meten en de overdrachtsfunktie te berekenen, het energie spektrum van de invoer berekend kan worden.

7. Random processen met een gausse verdelingsfunktie.

Een belangrijke groep random processen wordt gevormd door die processen waarvan de random variabele een gausse verdelingsfunktie voigt. Deze verdelingsfunktic kan n-dimensionaai zijn. Dit soort processen komt veel voor.

Een gausse verdelingsfunktie wordt geheel beschreven door het gemiddeide en de variantie.

Stel x(t) is een ergodisch random proces met een gausse verdelingsfunktie. Het gemiddelde wordt eenvoudigheidshaive gelijk aan nul genomen.

De karrsdichtheidsfunktie ziet er dan als voigt uit:

p(x) = (o

/)1

exp

p(x) (o

/)1

exp 2 2e - X -co p E {x(t)] =

J

xp(x) dx

J

x(t) dt x o 2 E 1(x(t) -)2J E _1x2(t)] 2

-p

x [

xJ

x

De momenten van de verdelingsfunktie worden gedefinieerd door:

co

ir» E [(x

-

P)J

=

xp) p(x) dx

Een gausse verdelingsfunktie heeft de volgende momenten als pO

i = O als n oneven n hierin is co 2 E [X2(t)]

_{J ¿.p(x)}

dx X

-T 2 _i

J

x2(t) dt G

=-X T o co co 2 r G S (f) df G (f) df X

JX

Ix

o 2

Indien dus de energie dchtheidsfunktie bekend is dan voigt hieruit G en dus ook p(x).

Indien het gemiddelde niet gelijk is aan nul dan wordt de berekening iet:s gecompliceerder.

Dus m2 z _{1, 3, 5,} . (1n- vor n z 1, 2, 3, t 2 t q m1 z O; m2 z o; m3 O; mq z 3o etc.

Wordt de relatie gezocht tussen de random variabele op twee tijdstippen 1 z

en t2 t -t- -r dan verloopt de berekening als voigt:

()

E [x(t). x(t±T)] z _{x1.x2 p(x1,x2) dx1, dx2}

(T) voigt uit deze vergeiijking. Bestaat P(T) dan wordt p(x1,x2) geschreven:

p(x1,x2) z

(2vo2 /1-p2)

exp[ 2 2 2o

(_

2) (x1 - _2Px1x2+x2)j X X

Indien p(-)

z o

dan zijn x1 en x2 niet gekorroleerd en wordt voor

p(x1,x2)

geschreven: 2 -1 z _{(2Tro )} exp ( exp p(x1,x2) p(x1). p(x2) p(x1 ,x2)

p(x21x1)

_p(x1)

2O-2 2

-(x1 +x2

) 2 2e -X 2-o 2° X exp

p(x1)

O co 2 -x 2 2e

MI determinant van

X. .X.

13

tweede moment

stel voor de kans dat x1 een bepaalde waarde aanneemt als x2 al een zekere waarde heeft.

-

2-___

- -px

p(x21x1) = (o/1-p. /2i) exp

2 2

2o (1-p )

- X

-d.w.z. p(x2}x1) is ook norrnaal verdeeld met een gemiddelde waarde px1 en cen

variantie o2(1-p2). Deze p(x2jx1) wordt een voorwaardelijke kansdichtheidsfktie

gen oemd.

Wordt de relatie gezocht tussen meerdere random variabelen dan rnoet een

multi-dimensionale verdelingsfunktie worden opgebouwd.

Is de verdelingsfunktie normaal dan levert dit geen grote moeilijkheden op.

Als x1, x2, x3, ... x n random variabelen voorstellen met een gemiddelde waarde nul, dan is hun gezamenlijke verdelingsfunktie n-dimensionaal.

Is deze funktie normaal dan wordt de kansclichtheidsfun]<tie gegeven door:

d d

...d

nl n2 nfl -1 n i waarin M matrix

x) = (2

d d 11 12 d21 d22 d d 31 32

)_n/2M_1/2

...d

in ...

...d

3n exp i,j=1 M..x.x.

13 1

3

-2 M

en dus

p(x1) exp

M.. _{kofaktor van d.. in de determinant 1Ml}

'J 'J

n

IM! = d..

M..

_{-- d ., d} . , d

1]

-.

11 ₂₁₂ n1

Uit de formule voor de n-dirnensionale

normale verdeling blijkt aiweer dat de eigenschappen ervan alleen bepaald worden door de tweede momenten d1.

2 -xl 2 2o

X-2] Voor n1 reduceert p(x1)

M111

M (2)_1 d1 i de formule

d11E

-)-Ml_2

tot M 2 xl de exp d11

=0

X ndimensionale 1M11 2 2 _[MI X1 2 dichtheidsfunktie: voor n2: p(x1,x2) ¡'1

(2)

_Ml d11 d12 d21 d22 - d12 d21 -1/2 exp (M 2±M +M

y y 4M

en x2

(

-2-1 - -1

x

p(x1,x2) = (2ro1o2/1-p ) exp (a-)

2(1-p2) ol

zoals dus reeds eerder gevonden is.

E x1x2 = p0102. Waarin p dus de mate van korrelati.e meet tussen

Uit de bovenstaande afleiding volgt dat wanneer alle tweede momenten d.. voor

i

L _{j gelijk zijn aan nul, dwz. alle kruiskorrelatie-funk-ties tussen de}

verschillende random variabelen zijn gelijk aaì nul, dan is de n-dimensionale normale dichtheidsfunktie opgebouwd uit het produkt van de enkelvoudige

dichtheidsfunkties. dus: p(x1 ,x2,x3

x)

p(x1).p(x2).p(x3) M11 d M 22 d11 m12 -d21 -d12 M21 Stel nu E X1 2 2 E 2 X2 2 2

xx

x)

1 2 2 2p 0102 02

LITE 1ATUUR.

Bendat J.S. _{PRINCIPLES AND APPLICATIONS OF RANDOM} NOISE THEORY.

John Wiley & Sons Inc.

Bendat J.S. and A.G. Piersol _{MEASUREMENT AND ANALYSIS OF RANDOM DATA} John Wiley Sons Inc.