Nawigacja - pochodne

Rok I Temat 8 POCHODNE FUNKCJI 1. Definicja pochodnej 2. Pochodne jednostronne 3. Reguły różniczkowania 4. Pochodne wyższych rzędów 1. Definicja pochodnej

Pochodną funkcji f x

( )

w punkcie x₀

(

f′

( )

x₀

)

(o ile istnieje) nazywamy granicę ilorazu różnicowego ∆ ∆ y x     

, gdy przyrost argumentu

(

∆ x

)

dąży do zera

lim lim

(

)

( )

( )

, ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x x y x f x x f x x f x → = → + − = ′ 0 0 0 0 0 gdzie ∆ x=x−x0.

Funkcję f x

( )

nazywamy różniczkowalną w punkcie x₀, gdy ma w tym punkcie skończoną pochodną.

Funkcję, która ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału otwartego nazywamy różniczkowalną w tym przedziale. Pochodną funkcji f x

( )

w danym przedziale U0

(

x∈U₀

)

f′

( )

x nazywamy funkcją pochodną. 2. Pochodne jednostronne

Pochodną prawostronną funkcji f x

( )

w punkcie x₀

(

f₊′

( )

x₀

)

nazywamy granicę prawostronną ilorazu różnicowego ∆ ∆ y x      

( )

(

)

( )

′ = + − + → + f x f x x f x x x 0 0 0 0 lim ∆ ∆ ∆ , ∆ x → + 0 , jeżeli x→x+ 0

(

x>x0

)

Pochodną lewostronną funkcji f x

( )

w punkcie x₀

(

f₋′

( )

x₀

)

nazywamy granicę lewostronną ilorazu różnicowego ∆ ∆ y x      

( )

(

)

( )

′ = + − − → − f x f x x f x x x 0 0 0 0 lim ∆ ∆ ∆ , ∆ x → − 0 , jeżelix→x₀−

(

x<x₀

)

Pochodna f′

( )

x₀ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe, tzn. f′

( )

x0 = f₋′

( )

x0 = f₊′

( )

x0 .

Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodną funkcji y= f x

( )

interpretujemy geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie P x₀

(

₀, y₀

)

należącym do wykresu funkcji

tzn. f′

( )

x₀ =tgα, α – kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji względem dodatniego zwrotu osi OX.

Równanie stycznej do krzywej y= f x

( )

w punkcie P x₀

(

₀,y₀

)

leżącym na tej krzywej jest postaci y−y₀ = f′

( ) (

x₀ x−x₀

)

przy założeniu, że istnieje f′

( )

x₀ .

Równanie normalnej (prostej prostopadłej do stycznej w punkcie styczności) do krzywej y= f x

( )

jest postaci

( )

(

)

y y f x x x − = − ′ − 0 0 0 1

przy założeniu, że f′

( )

x₀ ≠0.

3. Reguły różniczkowania 1. f x ≡

( )

C (C – stała), f′

( )

x =0 2.

[

Cf x

( )

]

′ =Cf′

( )

x 3.

[

f x

( )

±g x

( )

]

′ = f′

( )

x ± ′g x

( )

4.

[

f x

( ) ( )

⋅g x

]

′ = f′

( ) ( )

x g x + f x g x

( ) ( )

′ 5.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[

]

f x g x f x g x f x g x g x         ′ = ′ − ′ 2 , g x ≠

( )

0.

Pochodna funkcji złożonej

Jeżeli y= f u

( )

, u∈D, u=g x

( )

, x ∈∆ wówczas pochodną funkcji złożonej y= f g x

[

( )

]

, f – funkcja zewnętrzna, g – funkcja wewnętrzna (wnętrze) obliczamy ze wzoru

( )

[

]

{

f g x

}

′ = f′

_[

g x

( )

_]

⋅ ′g x

( )

przy założeniu, że obie funkcje f i g są różniczkowalne.

Pochodna funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja x= f−1

( )

y jest funkcją odwrotną względem funkcji y= f x

( )

, wówczas

( )

( )

[

]

′ = ′ − f x f y 1 1 ,

[

f−1

( )

y

]

′ ≠0. 4. Pochodne wyższych rzędów

( )

_{( )}

( )

_{( )}

[

( )

_{( )}

]

yn x = f n x = f n−1 x ′

Funkcję f, która ma pochodną rzędu n, nazywamy funkcją n-krotnie różniczkowalną. Przykłady pochodnych n rzędu, n∈N

1.

(

sinx

)

( )n =sinx+ ⋅n      π 2 2.

(

cosx

)

( )n =cosx+ ⋅n      π 2 3.

(

lnx

)

( )n = −

( )

1(n−1)

(

n−1

)

!x−n 4.

( )

x ( ) n k x n _n α α α =       − ! Przykłady

1. Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji: f(x)=cos2x w punkcie x . ₀ Rozwiązanie. lim lim

(

)

( )

( )

, ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x x y x f x x f x x f x → = → + − = ′ 0 0 0 0 0 gdzie ∆ x=x−x0 = ∆ − ∆ + = ∆ − ∆ + → ∆ → ∆ _x x x x x x f x x f x x 0 0 0 0 0 0 2 cos ) ( 2 cos lim ) ( ) ( lim , 2 sin 2 1 2 sin 2 sin lim 2 sin 2 sin ) 2 sin( 2 lim 2 2 ) ( 2 sin 2 2 ) ( 2 sin 2 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = ⋅ − = ∆ ∆ ⋅ − = ∆ ∆ ∆ + − = = ∆ − ∆ + ⋅ + ∆ + − = → ∆ → ∆ → ∆

gdyż limsin 1 0 = ∆ ∆ → ∆ _x x x .

2. Obliczyć pochodną funkcji f(x)=sin3x3. Rozwiązanie

Funkcją zewnętrzną jest _f(u)=u3_{, natomiast wnętrzem funkcja u =sin x}3_{, która również jest} funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest u=sinv, wnętrzem v =x3. Ponieważ

2 2

3_{)' 3 ,(sin )' cos , ' 3}

3. Wyznaczyć pochodną n-tego rzędu funkcji x x f( )=5 . Rozwiązanie 5 ln 5 )' 5 ( ) ( ' _x x x f = = , _f ''(_x)₌(5xln5)'₌(5x)'ln5₌(5xln5)ln5₌5xln25_, 5 ln 5 5 ln ) 5 ln 5 ( 5 ln )' 5 ( )' 5 ln 5 ( ) ( '' ' _x x 2 x 2 x 2 x 3 f = = = = . _f(n)(_x)₌5xlnn5 _{(dowód indukcyjny).} Zadania

1. Na podstawie definicji wyznaczyć pochodną funkcji f(x)=2x. 2. Wyznaczyć pochodne funkcji:

a) _f(x)=ecosx_{; b) ( ) ln(sin2 )} x x f = ; c) x x f( )=arcsin1. 3. Obliczyć pochodne funkcji:

a) f(x)=

(

lnx

)

x; b) f(x)=

(

sinx

)

sinx

4. Wyprowadzić wzór na n-tą pochodną funkcji a) f(x)=lnx; b) _f(x)=xex_. Odpowiedzi: 1. f'(x)=2xln2; 2. a) f'(x)=ecosx(−sinx); b) f'(x)=2ctg2x; c) 1 . 1 1 1 ) ( ' ₂ 2       − − = x x x f 3. a) f'(x)=

(

lnx

)

x−1

[

1+lnxln(lnx)

]

, x>e; b) f'(x)=(sinx)sinxcosx(1+lnsinx), sinx>0. 4. a) ( )( )=(−1) −1( −1)! − , >0 x x n x f n n n ; b) f(n)(x)=ex(x+n). Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

III § 4-10 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

IV § 4.1.-4.5. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.