WYKŁAD 9

WYKŁAD 9 3.4. Pochodna funkcji w punkcie. Interpretacja geometryczna pochodnej.

Własności pochodnych. Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego.

Regula de lHôspitala.

Niech y f x( ),x O x ( )₀ , będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu

) (x₀

O punktu x ₀ , i ₀

def

x x x

   oznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x O x ( )₀ . Przyrostowi x odpowiada przyrost

0 0

( ) ( )

def

y f f x x f x

       wartości funkcji.

3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego

0 0

( ) ( )

y f f x x f x

x x x

     

   funkcji f w punkcie x przy ₀  dążącym do 0 x (o ile istnieje) nazywamy pochodną (właściwą) funkcji f w punkcie x i ₀

oznaczamy przez '( ), '( ),_{0 0} dy y x f x

dx itd.

Przykłady:

1) ( )f x  c const f x( )   c c 0 f x'( )( )'c  ; 0

2) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )' lim0 1

x

f x x f x x x x x f x x x

  x

             

 ;

3) ( )'e^x e^x (dowód:

0

( ) ( )

'( ) lim

x

f x x f x

f x ^{ } x

  

 

 lim⁰

x x x

x x

e e

x e



 

 

 ^{0 3 71}

lim 1

x

x

x A B C

e e

x



   

  

 ).

3A83 (Definicja). Funkcję y f x( ),x O x ( )₀ , nazywamy różniczkowalną w punkcie x₀, jeżeli jej przyrost  f f x( ₀   x) f x( )₀ można dla każdego x dostatecznie bliskiego zeru przedstawić w postaci         , y f A x o( x) gdzie A jest stałą (AA x( ))₀ ; o( zaś jest nieskończenie małą rzędu x) wyższego niż x , gdy   . x 0

3A+B84 (Twierdzenie). Funkcja f x ,( ) x O x ( )₀ , ma pochodną w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy gdy jest w tym punkcie różniczkowalna, przy czym

'( )0 ( )

f f x x o x

     , gdy   x 0 (1) (tzn. A f x'( )₀ ).

3A+B85 (Definicja). Różniczką funkcji y f x( ),x O x ( )₀ , w punkcie x i dla ₀ przyrostu  zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn x f x'( )₀  w (1). x Różniczkę oznaczamy symbolem df x( )₀ czyli krótko df lub dy .

Mamy więc dla y f x( ) x dydx( )'x    i przyrost xx x  nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x i oznaczamy dx . Mamy zatem

0 0 0

( ) '( ) '( )

def

df x  f x  x f x dx lub dy f '(x dx₀) lub krótko

' ' dy

dy y dx y

   dx.

3A+B86 (Uwaga: zastosowanie do obliczeń przybliżonych). Różniczka funkcji jest główną (błąd = ( )o  ) liniową częścią przyrostu (1) funkcji. Mamy zatem x (linearyzację funkcji):

( ) y dy f x

    f⁽x0⁾ f^'(x0⁾⁽xx0⁾ (2)

(błąd w (2) jest ( )o  ,x   ). Błąd przybliżenia dy przyrostu x 0 y czyli głównej liniowej części f x( )₀  f x'( )₀ x funkcji f x dąży szybciej do zera ( ) niż przyrost  zmiennej niezależnej x . Wtedy błąd bezwzględny x  y obliczanej wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym  y f '(x₀)  . x 3A+B87 (Interpretacja geometryczna):

y y=f(x)

Δy

f(x0) x

x0 x0+Δx=x y = f(x0) + f x'( )₀ (x- x0)

87.1. Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty ( , ( )),(x f x_{0 0} x₀  x f x, ( ₀   do dodatniej części osi x))

: f

Ox tg

x 

 

 .

87.2. Pochodna f x jest tangensem kąta nachylenia stycznej przechodzącej '( )₀ przez punkt ( , ( ))x f x_{0 0} wykresu funkcji do dodatniej części osi

: '( )0

Ox f x tg

(prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie ( , ( ))x f x_{0 0} , jeżeli jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty

0 0

( , ( ))x f x , ( , ( ))x f x , gdy x ). x₀

87.3. Różniczka dy jest przyrostem rzędnej punktu stycznej gdy odcięta x biegnie od x do ₀ x₀   . x

87.4. Linearyzacja (2) jest zastępowaniem wykresu funkcji w otoczeniu punktu

0 0

( , ( ))x f x odcinkiem stycznej w tym otoczeniu.

Uwaga. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ( , ( ))x f x_{0 0} ma postać y f x( )₀  f x'( )(₀ xx₀).

3A+B88 (Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych). Jeżeli istnieją pochodne '( )f x i '( )g x , to

88.1) ( ( )f x g x( ))' f x'( )g x'( );

88.2) ( ( )f x g x( ))' f x'( )g x( ) f x( )g x'( ); 88.3)

'

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( )

f x f x g x f x g x

g x g x

     

 

  (o ile ( )g x  ). 0

Dowód wynika (B) z własności granic.

Wniosek: (сf x( ))'cf x'( ) dla dowolnej stałej c  . 0

3A+B89 (Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja uu x( ) ma pochodną '( )u x , natomiast funkcja y f u( ) ma pochodną f u , to funkcja '( ) złożona y f u x( ( )) ma pochodną y' f u u x'( ) '( ) przy czym na miejsce u należy podstawić u x . Mamy zatem ( )

dx x du du

u df dx dy

x u u

) ( )

(

) (







lub krótko

x u

x f u

y'  '  ' .

Schemat dowodu (B):

( ) ( ) '( ) ( )

y f u u f u f u u o u

         

'( )( '( ) ( )) ( '( ) ( ))

f u u x   x o x o u x   x o x 

'( ) '( ) ( )

f u u x x o x

     

y '

 f '

 u '

3 2 3

2 3

2 3

2 )' (2 3)' (2( )' (3)') 2

( 3 2 , )

(u e^u u x  e ^x e ^x x e ^x x   e ^x

f .

3A+B90 (Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja xg y( ) jest ściśle monotoniczna i posiada pochodną '( ) 0g y  , to funkcja y f x( ) odwrotna do niej posiada pochodną 1

'( ) '( )

f x  g y lub krótko 1 '^x '_y y  x . Dowód: mamy

3 89

( ( )) '_y '_x 1

A B

g f x x g y

    . 

3A+B91 (Obliczanie pochodnych (nazywamy różniczkowaniem)). Niech ( )

uu x będzie funkcją z niezależnej zmiennej ^x,

 

 

dx oznacza różniczkowanie względem zmiennej x . Oto najważniejsze wzory do obliczania pochodnych:

91.1) ( )'с  , gdzie 0 cconst; 91.2) ( )' 1x  ;

91.3) ( )' ¹ x 2

 x ;

91.4) (u^)' 



91.7) 1

(log )' '

au ln u

u a

  _{dla a0,a ; 1}

91.8) '

(ln )' u u  u ; 91.9) (sin )' cosu  u u '; 91.10) (cos )'u  sinu u ';

91.11) 1₂

( )' '

tgu cos u

 u  _;

91.12) 1₂

( )' '

сtgu sin u

  u _; 91.13)

2

(arcsin )' 1 ' 1

u u

u

 

 ^;

91.14)

2

(arccos )' 1 '

1

u u

u

  

 ^;

91.15) 1 ₂

( )' '

arctgu 1 u

 u 

 ^;

91.16) 1 ₂

( )' '

arcctgu 1 u

  u 

 ^;

91.17) (shu)'chu u '; 91.18) (chu)'shu u ';

91.19) 1₂

(thu)' u'

 ch u _;

91.20) 1₂ (сthu)' u'

 sh u ; 91.21)

  



91.22)





u ln v v

u



 

 

 

Ćwiczenie (A+B): uzasadnić własności 91.1) – 91.22).

3A+B92 (Definicja – uwaga). Pochodną logarytmiczną funkcji nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego: ^{ln ( ) '} ^{'( )}

( ) f x f x

f x

 . Znając





obliczyć '( )f x : f x'( ) f x( )(ln ( )) 'f x . Przykłady:

1) f x( )u x( )^{v x( )} '

( ^v) ' ( ^v) (ln ^v) ' ^v( 'ln u )

u u u u v u v

     u u^vlnu v  ' v u^v1u'; 2)

3

2 8

(5 1)

( ) '( ) ( )(ln ( ))'

( 1)

x x

x tg x

f x f x f x f x

e x

    



3

2

2 8

(5 1)

( ln 3ln (5 1) 8ln( 1))' ...

( 1)

x x

x tg x

x x tg x x x

e x

      



3A93 (Uwaga: pochodne wyższych rzędów). Jeżeli funkcja f jest

różniczkowalna na przedziale ( , )a b (to znaczy w każdym punkcie x( , )a b ), to definiuje funkcję f ' określoną na tym samym przedziale. Jeśli funkcja f ' jest różniczkowalna, jej pochodną nazwiemy drugą pochodną funkcji f lub

pochodną rzędu 2. Zapisujemy ją jako f '' , f ⁽²⁾ lub

2 2

d f

dx . Ogólnie, pochodną rzędu n definiujemy następująco ^{( )} ( ^{( 1)})'

def n

n n

n

f f d f

dx

   .

Przykłady:

1)

(0) def

( ) ( )

f x  f x ;

2) f x( )xⁿ  f^{( )k} ( )x n n(     1) ... (n k 1)x^{n k} dla 1 k  ; n 3) ( ) sin ^{( )}( ) sin( ),

2

f x _ x_ f n x _ x_n n_{ .} N

Uwaga. Jeżeli funkcja ma w pewnym punkcie pochodną rzędu n to mówimy, że jest w tym punkcie n-krotnie różniczkowalną.

3A+B94 (Twierdzenie o pochodnej funkcji określonej parametrycznie). Jeżeli

funkcja y f x( ) jest określona parametrycznie ( ) _{1 2} , ( , ) ( )

x x t

t t t y y t

  

  , przy czym

istnieją pochodne y'_t, 'x  , to istnieje także pochodna _t 0 '_x dy y

dx

 przy czym '

'

t t

dy y

dx  x . Jeżeli istnieje 2 2

dx y d , to

t t x

x y dx

y d

' )' ' (

2

2  itd.

Schemat dowodu:

t t x t x

t x

t y y y x

t y x f y x t t

x '

' ' ' ' )) ( ( ) ( )

( 0

'           . 

3A95 (Definicja: pochodne jednostronne). Pochodną lewostronną f ' (_ x₀)

funkcji y  f x( ),xO x_( ₀) w punkcie x nazywamy granicę właściwą (o ile ₀ istnieje)

0

0

0

0

( ) ( )

lim _ ( )

x x

f x f x def

f x

x x

 







0

0 0

0

( ) ( )

( ) lim

x x

def f x f x

f x

x x

 







3A+B96 (Ćwiczenie). Podać interpretacją geometryczną pochodnych jednostronnych.

3A+B97 (Fakt). Funkcja f ma pochodną w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy ₀

0 0

'_( ) '( )

f x  f_ x .

3A+B98 (Twierdzenie: warunek konieczny istnienia pochodnej). Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Dowód wynika z 3A+B84. Kontrprzykład: y f x( ) x x, ₀  ; pochodna 0 '(0)

f nie istnieje natomiast funkcja w punkcie x  jest ciągła. ₀ 0

3B99 (Definicja: pochodna niewłaściwa funkcji). Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x ₀ . Funkcja f ma w punkcie x₀ pochodne niewłaściwe jeżeli



 



 0

0) ( ) lim (

0 x x

x f x f

x

x (albo

0

0 0

( ) ( )

lim

x x

f x f x x x



  

 ).

Ćwiczenie: podać interpretacją geometryczną (B+C).

3A+B100 (Twierdzenie Rolle’a). Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) jest ciągła na

 

2) ma pochodną (co najmniej niewłaściwą) na ( , )a b ;

3) ( )f a  f b( ), to istnieje punkt c( , )a b taki że f c  . '( ) 0

y

( )f a  f b( )

0 a c b

Uwaga (A+B+C) wszystkie założenia 1)-3) twierdzenia Rolle’a są istotne, ale zamiast 1) i 3) można przyjąć _ ^

 ( )

lim f x

a

x lim f(x)

b

x ^ przy czym granice mogą być niewłaściwe ( albo  ).

3A+B101 (Twierdzenie o przyrostach Lagrange’a). Jeżeli funkcja f jest 1) ciągła na

 

2) ma pochodną (może być niewłaściwa) na ( , )a b ,

to istnieje punkt c( , )a b taki że ( )f b  f a( ) f c b'( )(  . a)

Interpretacją geometryczną (A): przy założeniach twierdzenia Lagrange’a na wykresie funkcji istnieje co najmniej jeden punkt ( , ( ))c f c , w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej łączącej jego końce.

f(b)

f(a)

a 0 c b

3A+B102 (Twierdzenie o przyrostach Cauchy’ego). Jeżeli funkcje f i g 1) są ciągłe na

 

2) mają pochodne (mogą być niewłaściwe) na ( , )a b ; 3) '( )g x  dla 0  x ( , )a b ,

to istnieje punkt c ( , ) a b taki, że ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f b f a f c

g b g a g c

 

 .

Interpretacją geometryczną (B) jest taka sama jaka dla twierdzenia Lagrange’a ale dla funkcji określonej parametrycznie ( )

( ) y f t x g t

 

  . f(b)

f(a)

0 g(a) c g(b)

3A+B103 (Twierdzenie: reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności

0 0 lub



 ).

Jeżeli:

1) funkcje ( ) ( ) f x

g x i '( ) '( ) f x

g x są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x ; ₀ 2) a)

0

lim ( )

x x

f x





0

lim ( ) 0

x x

g x





0

lim ( )

x x

f x



 

0

lim ( )

x x

g x



 

3) istnieje granica

0

lim '( )

'( )

x x

f x

 g x (właściwa lub niewłaściwa), to

0

lim ( ) ( )

x x

f x g x

 

0

lim '( ) '( )

x x

f x g x

 .

Uwaga. Twierdzenie de L’Hospitala jest prawdziwe także dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności.

Przykłady:

1) 





 

 0

0 cos

lim1 ₂

0 x

x

x  

 ( )'

)' cos 1 lim( ₂

0 x

x

x 2

1 2

limsin

0 

 x

x

x ;

2)







 





 x

x x

x

lim sin  



 x

x

xlim  



 sin 1

lim x x

x   



 1

)' (

)' sin lim (

x x x

x x

xlim cos





(granica ilorazu pochodnych nie istnieje, tzn. reguły de L’Hospitala nie można zastosować);

3) lim ^ln

x

x x^

   ...

4) lim

x x

x a



   ...

5) lim ...

x

x x

a

x

  

3B104 (Wzór Leibniza): pochodną rzędu n dla iloczynu u(x)v(x) obliczamy ze

wzoru ^{( ) ( ) ( )}

0

( ( ) ( )) ( ) ( )

n

n n k k

k

u x v x n u x v x

k





    





 



 .

Fakt. Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.

3B105 (Interpretacją fizyczną pochodnej funkcji wektorowej). Niech ( ) ( ( ), ( ))

def

r r t  x t y t oznacza wektor wodzący punktu materialnego P w chwili

1 2

( , )

t t t . Pochodną d r '( )

dt r t funkcji wektorowej r r t( ) w punkcie t określamy wzorem:

0

( ) ( )

limt

d r r t t r t

dt ^{ } t

  

  ⁰

lim ( )

t

r t

  t

 

 = ( '( ), '( ))x t y t

d r dt Δr(t) r(t) r(t +Δt)

0

(interpretacja geometryczna: w każdej chwili t wektor ( )v t  r t'( ) prędkości jest styczny do trajektorii punktu P. Wtedy ( ) '( ) ''( )

def

a t v t r t jest przyspieszeniem tego punktu).