Istotność składników portfela

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Krzysztof Guzik Edward Smaga Katedra Matematyki. Istotność składników portfela 1. Wprowadzenie Każdy inwestor starannie dobiera składniki swojego portfela inwestycyjnego. W tym celu dokonuje analizy aktywów dostępnych na rynku inwestycyjnym, wykorzystując odpowiednie metody, takie jak: analiza fundamentalna, analiza techniczna, teoria portfelowa. Wybór metody uzależniony jest m.in. od horyzontu czasowego inwestycji. Charakterystyczną cechą teorii portfelowej jest to, że każdą inwestycję, także portfelową, opisuje się za pomocą dwóch parametrów: oczekiwanej stopy zwrotu oraz ryzyka (niekiedy dodaje się jeszcze inne charakterystyki, np. asymetrię rozkładu). Zatem dwie inwestycje o takich samych oczekiwanych stopach zwrotu i ryzyku są nierozróżnialne. Celem niniejszego artykułu jest wskazanie jeszcze jednej charakterystyki składników portfela, jaką jest istotność. Jest to nowe pojęcie wprowadzone przez autorów niniejszego artykułu, które autorzy postarają się opisać i ściśle zdefiniować. Przyjmijmy, że inwestor dokonał już wyboru składników swojego portfela inwestycyjnego oraz określił cel inwestycyjny w postaci pary wielkości ( s02 , E0 ), gdzie s02 oznacza dopuszczalne ryzyko mierzone wariancją (odchyleniem standardowym lub inną miarą ryzyka), natomiast E 0 oznacza oczekiwaną stopę zwrotu. Zakładamy również, że cel ten jest osiągalny, tzn. należy do zbioru możliwości inwestycyjnych wyznaczonego przez wybrane inwestycje. Można przyjąć, że punkt ( s02 , E0 ) charakteryzuje portfel efektywny, czyli portfel należący do krzywej Markowitza odpowiadającej tym składnikom portfela, jakkolwiek założenie to nie musi być spełnione. Przez istotność danego składnika rozumiemy stratę, jaką poniesie inwestor, jeżeli zrezygnuje z tego składnika..

(2) 114. Krzysztof Guzik, Edward Smaga. Może się zdarzyć, że usunięcie danego składnika nie wpłynie na zmianę portfela inwestycyjnego, czyli portfel ( s02 , E0 ) nadal będzie osiągalny. Prowadziłoby to do stwierdzenia, że składnik ten nie jest istotny w odniesieniu do założonego celu inwestycyjnego. Najczęściej jednak będzie tak, że po usunięciu danego składnika nie można osiągnąć celu inwestycyjnego ( s02 , E0 ), zwłaszcza jeśli cel inwestycyjny będzie znajdował się blisko krzywej Markowitza. Wówczas stwierdzamy, że dany składnik jest istotny (w odniesieniu do założonego celu inwestycyjnego). Miarą istotności składnika jest wielkość straty, jaką poniesie inwestor, rezygnując z tego składnika. Samą stratę można mierzyć na różne sposoby, co prowadzi do różnych miar istotności. Istotność składnika jest pojęciem względnym, gdyż zależy od założonego celu inwestycyjnego. Ponadto istotność składnika jest pojęciem subiektywnym, ponieważ wielkość straty ma charakter subiektywny. Wprowadzenie tego pojęcia ma na celu zmniejszenie liczby składników portfela przy jednoczesnym zachowaniu jego dwóch podstawowych parametrów, jakimi są wartość oczekiwana stopy zwrotu i jej wariancja. Zmniejszenie liczby składników portfela ma z kolei ułatwić zarządzanie takim portfelem. Ponadto dla pewnej liczby składników portfela (od 20 do 30 akcji) dalsze zwiększanie liczby składników portfela prowadzi do minimalnej redukcji wariancji, jest więc z tego punktu widzenia nieopłacalne (zob. [Guzik 2002, s. 25–28] oraz [Elton, Gruber 1998]). Obecnie fundusze inwestycyjne zarządzają portfelami o dużej liczebności, często na wielu rynkach finansowych za pomocą zaawansowanych technik komputerowych. Zatem duża liczba składników portfela nie jest dla funduszu większym problemem, zwłaszcza że zarządzaniem portfelem funduszu zajmuje się wielu analityków, często odpowiedzialnych za określony segment akcji. Jednak indywidualny inwestor zwykle dąży do zminimalizowania liczebności portfela, gdyż nie ma takich możliwości jak fundusz inwestycyjny. Należy również uwzględnić fakt, że każda transakcja sprzedaży lub kupna papieru wartościowego jest obarczona kosztami jej przeprowadzenia (prowizja). Zatem im mniej liczny jest portfel, tym mniejsze są opłaty transakcyjne. W porównaniu z funduszem inwestycyjnym, który ze względu na liczbę przeprowadzanych transakcji może wynegocjować niższe opłaty, inwestor indywidualny nie ma takiej możliwości. W celu ułatwienia śledzenia dalszych wywodów przytoczymy znane z literatury fakty dotyczące teorii portfelowej, które można znaleźć m.in. w pracach [Guzik, Smaga 2006], [Markowitz 1959], [Merton 1972], [Piasecki 2005]. Przyjmijmy, że dany jest N-elementowy zbiór inwestycji bazowych Ai, gdzie i ∈ {1, …, N}, z których inwestor tworzy swój portfel inwestycyjny. Jak już stwierdzono powyżej, każdą inwestycję, również inwestycję portfelową, charakteryzujemy za pomocą dwóch liczb: wartości oczekiwanej Er i wariancji s2 jej stopy zwrotu r. Z inwestycji bazowych można utworzyć nieskończenie wiele różnych.

(3) Istotność składników portfela. 115. portfeli, w zależności od udziałów xi przypisanych poszczególnym składnikom. Portfele te tworzą tzw. zbiór możliwości inwestycyjnych. Zbiór możliwości inwestycyjnych opisują następujące zależności: N. ErP = ∑ xi Eri i =1. sP2. N. N. N. = ∑ ∑ xi x j si s j rij = ∑ ∑ xi x j covij i =1 j =1. i =1 j. ,. N. N. ∑ xi = 1, i =1. (1) (2) (3). gdzie ErP i sP2 oznaczają wartość oczekiwaną i wariancję stopy zwrotu portfela, Eri i xi oznaczają wartość oczekiwaną i udział i-tego składnika w portfelu, kowariancja covij jest miarą skorelowania między i-tym a j-tym składnikiem i wyraża się poprzez współczynnik korelacji rij za pomocą zależności: covij = sisjrij . Zależności (1), (2) i (3) można zapisać w postaci macierzowej: ErP = XTE, sP2 = XTKX, [1]T X = 1, gdzie: XT = [x1 x2 … xN], E = [Er1 Er2 … ErN], [1]T = [1 1 … 1] oraz s12. K=. s2 s1r21 ....... sN s1rN 1. s1s2 r12 s22. ...... sN s2 rN 2. s1s3r13 .......s1sN r1N. s2 s3r23 .......s2 sN r2 N = covij . .......................... sN s3rN 3 .........sN2 ..... Istotne znaczenie dla niniejszego opracowania ma także brzeg zbioru możliwości inwestycyjnych, zwany krzywą Markowitza. Jej równanie można przedstawić w następującej postaci macierzowej:.

(4) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 116. sP2 =. C 2 2B A ErP − ErP + , D D D . (4). gdzie:. A = E T K −1 E , T. B = [1] K −1E , T. C = [1] K −1 [1] , D = A C − B2 .. Ważny jest również wzór opisujący minimalną wariancję przy zadanej wartości oczekiwanej E 0 (wynika z (4)): sm2 =. C 2 2B A Er0 − Er0 + . D D D . (5). Udziały w portfelu o minimalnej wariancji przy zadanej wartości oczekiwanej E 0 są równe:. X=. 1 1 ( AK −1[1] − BK −1E ) + (CK −1E − BK −1[1])E0 .. D D. (6). 2. Przykłady miar istotności Istotne znaczenie może tutaj mieć zastosowana metryka. Jej wybór może rzutować na tworzony ranking istotności. Ponadto metryka taka może uwzględniać preferencje inwestora co do relacji między zwrotem a ryzykiem. Podamy niżej przykłady dwóch metryk. Przykład 1 Jako pierwszą możliwość pomiaru odległości, szczególnie prostą ze względów rachunkowych (i nie tylko), rozważymy odległość punktu (s02 , E 0) od współrzędnych portfela utworzonego ze zredukowanego zbioru inwestycji bazowych, którego wartość oczekiwana będzie równa zadanej liczbie E 0, natomiast wariancja sm2 będzie możliwie najmniejsza. Tym samym przyjmujemy, że miarą istotności elementu A w odniesieniu do punktu ( s02 , E0 ) jest liczba: d = sm2 − s02 ..

(5) Istotność składników portfela. 117. E d. Er0. P. smin2 s2. s02. Rys. 1. Odległość punktu P od krzywej Markowitza zgodnie z metryką I Źródło: opracowanie własne.. Wykorzystując wzór (5) otrzymujemy konkretną postać miary istotności elementu A wyznaczonej za pomocą metryki I: d=. C 2 2B A Er0 − Er0 + − s02 .. D D D. (7). Powtarzając wyżej przedstawione postępowanie w stosunku do każdego elementu zbioru inwestycji bazowych oraz porównując odpowiadające im miary istotności, możemy otrzymać listę rankingową wszystkich elementów zbioru. Przykład 2 Innym sposobem mierzenia istotności składnika A w portfelu może być odległość zadanego punktu ( s02 , E0 ) od krzywej Markowitza wyznaczonej dla zbioru inwestycji bazowych zredukowanego o A. Należy zwrócić uwagę, że powyższą odległość obliczamy (tak jak w przypadku metryki I) tylko wtedy, gdy składnik jest istotny. E P. Er0. d. smin2 s02. s2. Rys. 2. Odległość punktu P od krzywej Markowitza zgodnie z metryką II Źródło: opracowanie własne..

(6) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 118. Aby wyznaczyć odległość punktu od krzywej, należy zminimalizować odpowiednią funkcję. W celu wyprowadzenia odpowiednich wzorów przesuniemy układ współrzędnych tak, aby wierzchołek paraboli (krzywej Markowitza) znajdował się w początku układu współrzędnych. Dla uproszczenia zapisu krzywą Markowitza (4) zapisujemy w postaci: s 2 = aE 2 + bE + c,. gdzie:. 2B C A ,b = − ,c = . D D D Nowe współrzędne u i w wyrażają się zatem następującymi wzorami:. a=. u=x+. b , 2a. w= y+. b2 − c. 4a. Wówczas krzywa Markowitza ma następujące równanie:. a punkt. ( s02 ,. w = au2,. E0 ) przechodzi w punkt (u 0, w0), gdzie:. (8). b 2a . b2 w0 = E0 + − c. 4a. u0 = s02 +. Wyznaczamy odległość punktu (u0, w0) od paraboli (8) jako minimum funkcji:. d 2 = (u − u0 )2 + (au 2 − w0 )2 .. Pochodna jest równa:. '. (d ) = 4a u 2. 2 3. (9). + 2u (1 − 2 aw0 ) − 2u0 .. W celu wyznaczenia jej miejsca zerowego należy rozwiązać równanie trzeciego stopnia: 1 − 2 aw0 u u3 + u − 02 = 0. (10) 2. 2a 2a Mamy zatem: u2 4 1 − 2 aw0 ∇ = 04 + 27 4a 2a2. 3. =. 27(2 ax0 + b )2 + (2 − 4 ay0 − b 2 + 4 ac)3 . 432 a 6.

(7) Istotność składników portfela. 119. Zgodnie ze wzorami Cardano, jeżeli ∇ > 0, to rozwiązanie równania (10) ma postać: u=. 3. u0 u0 − ∇ + ∇ 2 2 3 2a 2 a + . 2 2. Po podstawieniu do wzoru (9) otrzymujemy szukany wzór na odległość, a równocześnie miarę istotności składnika. 3. Badania empiryczne W badaniach empirycznych uwzględniono akcje, które były zaliczane do indeksu WIG20 w okresie od stycznia 2004 r. do grudnia 2005 r. przynajmniej przez jedno półrocze. W większości były to akcje, które w całym okresie tworzyły WIG20 – takich akcji było trzynaście: Agora, BPH, BRE, BZWBK, Computerland, Kęty, KGHM, Orbis, PKO, Prokom, Softbank, PKN, TPSA. Pozostałe akcje uwzględnione w analizie to: Dębica, Świecie, Netia, Budimex, PGF, Stalexport i Comarch. Na wykresach zastosowano skróty nazw poszczególnych akcji (pierwsze trzy litery). W tabeli 1 przedstawiono wyniki obliczeń uzyskanych na podstawie miesięcznych notowań w badanym okresie dwuletnim 01.2004–12.2005. Na tej podstawie wykonano rys. 3. W kolejnym etapie badań przystąpiono do wyznaczenia istotności poszczególnych składników na podstawie metod przedstawionych w poprzednim rozdziale, z uwzględnieniem różnego położenia zadanego punktu ( s02 , E0 ) – celu inwestycyjnego. Uwzględnione w badaniach punkty przedstawiono w tabeli 2. Punkty P1, P2, P3, P4 leżą wewnątrz zbioru możliwości inwestycyjnych przy uwzględnieniu krótkiej sprzedaży, przy czym punkt P1 reprezentuje parametry indeksu WIG20, a punkt P4 reprezentuje portfel minimalnego ryzyka bez krótkiej sprzedaży. Jak widać na rys. 3, punkty P5, P6, P7 leżą na krzywej Markowitza, przy czym punkt P7 reprezentuje portfel minimalnego ryzyka przy założonej krótkiej sprzedaży. W wyniku obliczeń wykonanych na podstawie formuł (7) dla metryki I oraz (9) dla metryki II okazało się, że dla celu inwestycyjnego reprezentowanego przez punkt P1 każdy ze składników portfela jest nieistotny. W przypadku celu inwestycyjnego reprezentowanego przez punkty P2, P3, P4 okazało się, że tylko akcje PKN, BPH i Netii były składnikami istotnymi w tworzonym portfelu. Uzasadnia ten fakt położenie wyżej wymienionych akcji na rys. 3. Z kolei dla punktów P5, P6, P7 reprezentujących cel inwestycyjny leżący na krzywej Markowitza każdy składnik portfela okazywał się istotny..

(8) 0,005. 0,046. Netia. 0,015. 0,072. Agora. 0,009. 0,064. Orbis. 0,034. 0,060. BPH. 0,041. 0,068. PKN. 0,027. 0,064. BRE. 0,017. 0,0233. Źródło: obliczenia własne.. 0,0515. Er. s. P1. Parametry portfela 0,05. 0,04. P2. P3. 0,1. 0,07. 0,056. PGF. 0,006. 0,086. 0,022. 0,066. PKO. 0,029. 0,075. 0,0035. 0,0194. P4. –0,005. 0,095. Prokom. 0,011. 0,061. 0,075 –0,026. 0,060. Dębica –0,001. 0,064. Kęty. 0,023. 0,114. 0,05. 0,0307. P5. 0,004. 0,131. 0,1. 0,0503. P6. –0,015. 0,069. Softbank Stalexport Świecie. 0,003. Budimex BZWBK Comarch Compland. Tabela 2. Parametry ustalonych celów inwestycyjnych. Źródło: obliczenia własne.. Er. s. Parametry portfela. Er. s. Parametry portfela. Tabela 1. Oczekiwane stopy zwrotu i odchylenie standardowe badanych akcji. 0,021. 0,078. TPSA. 0,041. 0,095. KGHM. –0,0243. 0,008. P7. 0,023. 0,052. WIG20. 120. Krzysztof Guzik, Edward Smaga.

(9) Istotność składników portfela. 121. 0,10. P6. P3. 0,08 0,05. P5. P2 P1. Zwrot. 0,03 P4. 0 –0,03. BPH. 0,02. 0,04. PKN. KGHM. BZW BRE PKO TPSA AGO PGF COMR ORB NET COMP BUD KET. 0,06. P7. 0,08. PRO. SOF STA. 0,10. 0,12. 0,14. SWI DEB. –0,05 –0,08 –0,10. Odchylenie standardowe WIG20(P1). akcje z indeksu WIG20 krzywa Markowitza cel inwestycyjny. Rys. 3. Przykładowe cele inwestycyjne na tle analizowanych akcji Źródło: opracowanie własne.. W tabelach 3 i 4 przedstawiono szczegółowo uzyskane wartości istotności za pomocą metody I oraz II wszystkich inwestycji bazowych w zależności od wyboru punktu P. W sytuacji gdy po usunięciu danej inwestycji z portfela analizowany punkt Pi jest nadal osiągalny, w tabelach 3 i 4 przyjęto wartości 0 – usunięty składnik jest nieistotny. W przypadku metryki I odległość jest wtedy ujemna co powoduje, że jest on również nieistotny zgodnie z metryką II. Należy zaznaczyć, że w tabeli 3 wyniki prezentowane są za pomocą wariancji. Tabela 3. Istotność według metody I Nazwa spółki. Agora. Kęty. P1 0. 0. P2 0. 0. P3 0. 0. P4. P5 ∈ KM. P6 ∈ KM. 0. 2,42E-07. 4,47E-06. 0. 9,56E-06. 1,48E-05. P7 ∈ KM 3,69E-06. 3,85E-06.

(10) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 122. cd. tabeli 3 Nazwa spółki. Compland. Dębica. BRE. P1. P2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. P3 0. 0. 0. P4 0. 0. 0. Prokom. 0. 0. 0. 0. BZWBK. 0. 0. 0. 0. Comarch. 0. 0. 0. TPSA. 0. 0. 0. Softbank. PGF. Świecie. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. P5 ∈ KM. P6 ∈ KM. 1,04E-05. 1,54E-05. 0,000101. 0,000427. 3,94E-05. 4,93E-05. 0,000229 3,14E-05. 0,000299. 0,001026. 2,13E-05. 0. 0,000484. 0,001976. 0,000129. 0. 0,000472. 0,001714. 5,61E-05. 0. 0,002296 0,001265. 2,93E-06. 0,001739. 7,8E-06. 0. 0. 0. 0. 0,000423. 0. 0,000567. Orbis. BPH. Netia. 0. 0. 0. 0. 0. 4,8E-05 0. 0. 0,000578 0. 8,1E-05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1,5E-05. 0,000181. 0,000563. Stalexport PKO. 7,69E-06. 0,000951. 0. PKN. 0,001697. 0,000292. 0 0. 8,79E-06. 2,67E-05. 0. 0 0. 3,29E-05. 0,000544. 0,000369. 0 0. 5,45E-05. 4,83E-06. 0,000337. 0,000164. 0. Budimex KGHM. 0,001418. P7 ∈ KM. 0,000703 0,000521. 0,002451 0,001215. 1,14E-05 0,00015. 5,9E-05. 2,44E-05. 0,001232. 0,004908. 0,000284. P5 ∈ KM. P6 ∈ KM. P7 ∈ KM. 0,049635 0,049708 0,049791 0,049796 0,049785 0,049801 0,049815 0,049818 0,049817 0,049823 0,049825 0,049825. 0,099613 0,09968 0,099764 0,099772 0,099781 0,099786 0,09979 0,099798 0,099801 0,099804 0,099805 0,099807. 0,024661 0,024584 0,024503 0,024499 0,024524 0,024499 0,024481 0,02448 0,024484 0,024475 0,024473 0,024474. 0,000377. 0,000621. 0,000125. Źródło: obliczenia własne.. Tabela 4. Istotność według metody II Nazwa spółki. Netia Orbis PKO Stalexport Dębica Softbank PKN Świecie Prokom Comarch KGHM BZWBK. P1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. P2. P3. P4. 0 0 0,003157 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,049807 0,099755 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.

(11) Istotność składników portfela. 123. cd. tabeli 4 Nazwa spółki. P1. P2. P3. P4. P5 ∈ KM. Kęty BPH PGF Agora Budimex TPSA BRE. 0. 0 0 0 0 0 0 0. 0. 0. 0. 0,049826. Compland. 0 0,049824 0 0 0 0 0. Źródło: obliczenia własne.. 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0. 0,049826 0,049831 0,049827 0,049831 0,049832 0,049832 0,049832. P6 ∈ KM. P7 ∈ KM. 0,09981. 0,024475. 0,099811 0,09981 0,099815 0,099816 0,099815 0,099815 0,099817. 0,024474 0,024469 0,024477 0,02447 0,024469 0,024469 0,024469. 4. Uwagi końcowe Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski: 1) wyznaczona lista rankingowa istotności składników portfela zależy od punktu odniesienia, którym jest cel działania inwestycyjnego, 2) im bliżej krzywej Markowitza znajduje się cel działania inwestycyjnego, tym bardziej są istotne poszczególne składniki portfela, 3) analogiczny ranking istotności można przeprowadzić dla grup inwestycji bazowych, np. należących do tej samej branży, 4) zbiór inwestycji jest bardziej istotny niż każdy jego podzbiór, 5) wybór metryki może mieć istotne znaczenie dla tworzonego rankingu; rozpatrywana metryka I jest prosta od strony obliczeniowej oraz dobrze współbrzmi z zadaniem optymalizacyjnym: wyznaczyć portfel, który dla zadanej wartości oczekiwanej ma możliwie najmniejszą wariancję, 6) najbardziej istotne okazały się składniki portfela leżące najbliżej krzywej Markowitza, 7) różnice w istotności poszczególnych składników portfela w badanej grupie akcji były minimalne. Literatura Elton E.J., Gruber M.J. [1998], Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych, WIG-Press, Warszawa. Guzik K. [2002], Relacja ograniczonej ceny ryzyka w modelowaniu rynku kapitałowego, Praca doktorska, AE w Krakowie (maszynopis)..

(12) 124. Krzysztof Guzik, Edward Smaga. Guzik K., Smaga E. [2006], Aksjomatyczne modele działalności gospodarczej, Opracowanie w ramach badań statutowych 99/KM/2/2006/S. LeRoy S.F., Werner J. [2002], Principles of Financial Economics, University of Minnesota (maszynopis). Markowitz H. [1959], Portfolio Selection, Jon Wiley and Sons, New York. Merton R. [1972], An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, „Journal of Financial and Quantitative Analysis”, vol. 7, nr 4. Piasecki K. [2005], Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo AE w Poznaniu, Poznań. The Significance of Portfolio Components There are two parameters which describe investments in portfolio theory: an expected value of return and the variance of expected value of return which is interpreted as a measure of risk. This paper presents significance as an additional characteristic of each component of a portfolio. The authors define the significance of a component as a loss in relation to an assumed investment aim, which is the expected value of return and also a risk when the component is omitted. The component is not significant in relation to the aim when the omission of the component does not have an effect on the realization of the investment aid. The paper presents two measures of significance and empirical research carried out on the basis of the WIG 20 stock portfolio from the years 2004 and 2005..

(13)