Bayesowskie porównywanie modeli SV

Pełen tekst

(1)2003. Anna Pajor Katedra Ekon.... trll. Bayesowskie porówn ·SV 1. Wprowadzenie Zmienna w czasie wariancja warunkowa, dobrze opisująca nieregularną zm ienność finan sowyc h szeregów czasowych, może być modelowana przy u życ iu procesów z mienności stochastycznej , w skrócie SV (ang. Stochaslic Volatility). W odróżnieniu od procesów typu ARCH i GARCH , gdzie wariancja rozkładu warunkowego (względem całej przeszło śc i) jest liniową funkcją kwadratów uprzednich realizacji procesu lub też uprzednich wariancji, proces SV specyfikuje wariancję warunkową jako odrębny proces stochastyczny. Logarytm tej wielko śc i podlega zwykle procesowi autoregresyjnemu rzędu jeden z odrębnym skladnikiem białoszumowym. Nadanie wariancji warunkowej jej wlasnej losow ości pozwala w naturaln y sposób modelować dużą wahliwość z mienności , charakterystyczną dła finan sowych szeregów czasowych. Jeś łi w równaniu obserwacji procesu SV zmienna losowa posiada rozkład normalny, to mamy do czynienia z tzw. procesem SV z normalnym błędem obserwacji. Własności tego procesu oraz bayesowska estymacja i prognoza zostały omówione w poprzedniej pracy autorki (zob. Pajor [200Ia]). Aby lepiej wyjaś nić pojawianie się obserwacji "nietypowych" (występujący c h dość często w przypadku danych finansowych), wykorzystuje się ro zkłady o ogonach grubszych od ogonów rozkładu normalnego , np . rozkład t-Studenta (zob. [Geweke 1994], [Jacquier , Poł son, Rossi 1999), [Rui z ł994), [Pajor 200łbj). Głównym tematem tej pracy jest porównanie siły wyjaśniającej różnych modeli SV, opis ujących kształtowanie się logarytmicznych stóp zmian indeksu WIG .. • Praca wykonana w ramach projektu badawczego nr l-H02B-022-18, finansowanego przez. Komitet Badań Naukow yc h. Autorka dziękuje prof. dr. hab. Jackowi Os iewaiskiemu za cenne uwagi i dyskusje dotyczijce niniejszej prac y ..

(2) Anna Pajor błędem. 2. Procesy SV z. normalnym oraz f-Studenta. Pierwszym pow szechnie stosowanym procesem, wyraźnie s p ec yfikującym wariancję warunkow ą oraz uwzględniający m jej zależność od poprzednich wartośc i procesu , j est proces ARCH , wprowadzony przez R .F . Eng le ' a w 1982 r. Du żą popularno ść zdo byly równie ż uogó lnienia tego procesu , tzw . procesy GARCH , zaproponowane przez T. Bollersleva [1986]. Procesy te stosowano do modelowania zmi enn ości indeksu WIG m.in. w pracach [BrzeszczyI\ski 2002] i [Fi szeder 200 I]. Do badania tych samych zjawisk poniżej wykorzystamy procesy SV. Proces stochastyczny { y, : t E Z} , gdzic Z o znacza zbiór liczb c ałkowitych , jest procesem z mi e nności stochast ycznej (ang. Stochastic Volatility Process ) z no rmalny m błędem o bserwacji , jeś li : JID. YI. = El. ~.. E,. -. N(O , I ),. (I). N (O, I ) ,. (2). JID. In h, = Y+ ~ In ",_ l + aś" E,. l Ś.". t,. S E. Ś,. -. Z,. JID E, -. N(O, I), T E Z oznacza ni ezal eż ne zmienne losowe O standardow ym rozkładzie normalnym; symbol l oznacza , że zmienne losowe E, i Ś, są niezale żne. Aby zapewnić ści słą stacjonarno ść procesu stochastycznego y" zakłada my , że I~I < I.Wówczas proces y" posiada zerową wartośc ią oczekiwan ą i s ko ńc zoną bezwarunkową wariancję ró wną : gdzie. R o zkład. Y, jest roz kł adem o ogonach go. Kurtoza rozkładu y, jest równa: KUrT(y,). =. c ięższych niż. E(y,') [E(y,'»)'. = 3 exp. (. rozkładu. ogony. I. normalne-. 2 ). =. <1>'. .. Za pomocą procesu SV jesteś m y w stanie modelować pod stawowe wła s no śc i finansowy c h szeregów czasowych , tj. zjawisko gruby ch ogonów (nawet gdy o = O, kurtoza y, j est większa niż dl a rozkładu normalnego), zjawisko skupiania się zmienn ości (za które w główn ej mierze odpowiada parametr <I> - wart ośc i bliskie jeden ś wiadc zą o dużym nasil eniu tego zjawi ska), z mienność waria ncji warunko wej (wa hliwość zmie nn ośc i), która w szczegó ln ości jest tym w ięk sz a , im w yższa jest wartość parametru o'..

(3) ie modeli SV. Jak wy nika z dOlychczasowych badań empi rycznyc h. warunkowa normalność procesu ARCH lub GARCH nie je Si w slanic wyjaś niać zw iększonej kurIOzy cech ującej rozklady brzegowe procesów finansowych oraz pojawianie s ię obserwacji .,nielypowych" (zob . [B o ll e rslev, Chou. Kraner 1992]). Z lego wzg l ędu wykorzystuje się rozkłady posiadające grubsze ogony niż rozklad normainy. Najczęściej jest to rozklad t-Studenla lub wprowadza się również skośny rozklad t-Sludenta (por.IOsiewal ski. Pipie'; 1999]). Podobnie jest w przypadku procesów SV. J. Geweke [1994] stwierdza, że proces SV z normalnym blędem w równaniu obserwacji może niedoslatecznie wyjaśniać pojawianie się obserwacji .,nietypowych", co potwierdzają również m.in. prace [Jacquier. Polson , Ros,i 1999, 200 I] oraz [Rui z 1994] . Rozważa s ię więc procesy SV z blę dem t-Sludenta o li czbie stopi swobody (v) będqcej przedmiolem wnioskowania (zob. IJacquier. Polson, Ros si 1999], [Pajor 200Ib]). Proces SV z błędem t-Studenta możemy zapisać:. Y, =. E,. /ID E, -. ~.. 1(0. I . v),. (3). N(O, I ),. (4). /ID. 1;, -. In h, = Y + <I> In h, _ J + al;" E, .L. 1;.,. ,. I. s E Z,. /ID. gdzie E, - N(O. 1. v), t E Z oznacza ni eza leżne zm ienn e losowe mające rozkład l-Studenta z v stopniami swobody, z zerowym parametrem niecentralnośc i i jednostkową precyzją'. Dla v> 2 istnieje skończo na bezwarunkowa wa• • • nancJa Y, rowna: v. Var(y ,) = v _ 2. ( y eXPI _. <I>. a2. + 2( l _ <»') .. Nato miast dla v > 4 możemy obliczyć kurlOzę rozkładu bezwarunkowego Y, ( i s lni eją wówczas bezwarunkowe mome nty Y, do czw artego rzęd u w łąc znie): v- 2 KUr/(y ,) = 3 v _ 4 exp Rozkład. 1 a '- , ).. - <»-. bezwarunkowy Y , jest teraz rozkł adem o grubszych ogonach niż w przypadku normalnego błędu obserwacji. Rozkład t-Sludenta z małą liczbą stopni swobody lepiej oddaje zwiększonq kurtozę. Grube ogony dła bezwarunkowego rozkładu Y , sprawiają, że skrajne obserwacje (dalekie od wartości l. Czyli zmienne losowe o gęstości równej:.

(4) Anna Pajor. oczekiwanej procesu) pojawiające się w szeregach finan sowych nie są traktowane jako wysoce nie prawdopodobne . Przy modelowaniu skmiczonego ciągu obserwacji. I = 1, 2, .. . , T , wykorzystujem y następujl!Cą s pecy fikację : U, E I ::::;. ~. ,. I E. { I , 2, ... , T},. gdzie u, i vw, są zmiennymi losowymi niezal eż nymi, u, ma standardowy rozkład normalny, a v"', ma rozkład X' z v stopniami swobody. Proces możemy . " WI ęC zapIsac: Y, ::::;. In h, = Y+. 'h ' ,. '. (5). In h, _ I + a~". (6). \ ,. Ul I UJ. <I>. IID. (li" Ę,,)'. x'(v) Ul,v. -. ,Ul,l( u,. ,~".),. N(O , /2)' I.S E {1.2 . ... ,T}.. Za pomocą procesu SV z błędem l-Studenta m ożna lepiej opisać pojawianie się obserwacji "nietypowych" niż w przypad ku no rmalnego błędu obserwacji. W modelu SV z normalnym błędem w równaniu obserwacji duże wartości ly,l z wi ąza ne są z du żymi wartościami h,. Natomiast w modelu z błędem I-Studenta wplyw obserwacji "nietypowych" na zmienne ukryte h, jest redukowany przez z mienną Ul" która wówczas może przyjąć bardzo malą wartość. Stąd pojedyncze , bardzo duże wartości ly,l, traktowane jako obserwacje "nietypowe", mają znacznie mniejszy wplyw na prognozę zmiennoś ci. Rozklad a posterior; dla Ul, może s lu żyć jako "diagnoza" pojawiania s i ę obserwacji ,.nietypowych".. 3. Bayesowskle porównanie modeli SV Za lóż m y ,. dla uproszczenia , że zbiór Y c RT jest zbiorem możliwyc h realizacji badanego zjawiska . a wektor y E Y oznacza pojedynczą realizację tego zj aw iska. Formalnym opisem zjawiska jest trójka ( Y, L, P), która nosi nazwę przestrzeni statys tycznej lub modelu statys tycznego. Symbol L oznacza rodzi nę podzb iorów zbioru Y c W będącą a-algebrą (c iale m prze liczalnie addytywnym). N ajczęśc iej przyjmuje się, że jest to a- algebra zbio rów borelowskich ' (najmniejsz" a-algebra zawierająca wszystkie zbiory otwarte zawarte w Y). Natomiast P jest rodziną rozkladów, miar unormo wanyc h, określonych na L. ~. Powodem . d lil którego rozwa7.a si y tylko o-algebrę zbiorów bore lows ki ch. a nie wszystkie zbiory mic rzulne w se nsie Lebc sgue' a, jest to, 7.C o-algebra zbiorów borelowsk ich jest "zgodna" z iloczynem kartezj f.ll lSkim, tzn. B(RN~ *) = B (RtJ) X B (W ) (zob. IOmbach 1997 J)..

(5) Bayesowskie porówll}'wanie modeli SV Jeśli. rodzina ta jest wprowadzona za pomocą rodziny indeksowanej przez wektor 8 E e c Rm, czyli P = {Po: e E e}, to takie przestrzenie statystyczne oraz takie rodziny rozkładów nazywamy parametrycznymi. Rozkład z rodziny P zadaje się zazwyczaj funkcją gęstości względem miary Lebesgue' a, tzn. P = {p(-18): 8 E e}, gdzie p(-18): Y --> R+ u {O} jest gęstością określoną na zbiorzc możliwych realizacji zjawiska. Na gruncie klasycznym (niebayesowskim) rodzina P określa jednoznacznie parametryczny model statystyczny, w ramach którego rozważa się zagadnienie estymacji wektora 8. Ocenę parametru 8 dokonuje się na podstawie posiadanej informacji, która jest ograniczona do wyników próby, a precyzję oceny określa się w terminach powtarzalnych, hipotetycznych prób. Na gruncie bayesowskim rodzina P nie określa jednoznacznie modelu statystycznego (tzw. bayesowskiego modelu statystycznego). Konieczne jest wprowadzenie miary probabilistycznej na zbiorze e - przez zadanie gęstości brzegowego rozkładu wektora parametrów p(8) - czyli tzw. rozkładu a priori. Przyjmuje się bowiem, że statystyk dysponuje dodatkową informacją o parametrze 8, którą wyraża poprzez rozkład prawdopodobieństwa określony na przestrzeni e. Parametr 8 traktowany jest jako zmienna losowa, w tym sensie, że (mierzalnym) zbiorom jego wartości przypisuje się prawdopodobieństwa reprezentujące stopień przekonania (ang. degree oj beliefJ. Stąd w analizie bayesowskiej najczęściej znajduje zastosowanie subiektywna interpretacja prawdopodobieństwa. Pełny układ aksjomatów gwarantujących istnienie i jednoznaczność miary stopnia przekonania prezentuje m.in. M.H. DeGroot [1981]. Bayesowski model statystyczny jest jednoznacznie scharakteryzowany przez gęstość łącznego rozkładu prawdopodobieństwa wektora obserwacji oraz wektora parametrów: p(y, e) = p(yIO)p(O),. gdzic 1'(8) jest gęstością rozkładu a priori. Wnioskowanie o interesujących nas wielkościach odbywa się zgodnie z twierdzeniem Bayesa. Estymacja parametrów polega na wyznaczeniu - z łącznego rozkładu wektora obserwacji i wektora parametrów - warunkowej gęstości dla parametrów przy danym wektorze y, czyli gęstość tzw. rozkładu a posteriori: p(yI8)p(O) p(8Iy) =. .. Jp(yI8)p(8)d8 s. Uzyskany rozkład a posteriori p(8Iy) reprezentuje całą wiedzę badacza o szacowanej wielkości 8 po zrealizowaniu wektora y. Często znajdujemy się w sytuacji, w której mamy określoną liczbę konkurencyjnych modeli, z których należy wybrać najlepszy. Jednym z kryteriów porównawczych modeli, na gruncie bayesowskim, jest przypisanie każdemu z nich, opierając się na wzorze Bayesa, prawdopodobieństwa a posteriori. Mo-.

(6) Anna. de i, który uzyska najwięk sze prawdopod obieńs two . może być trakto wa ny jako " najl epiej d opasowany" do badanyc h dan yc h empirycznych. Za l óżm y. że mam y n modeli bayesowskic h M" M" ... , M :. -. M ;: P/Y. e) = p /y IO;) p/e;l.. ". i = l , ... , n,. e; E. 8 ; oznacza wektor parametrów modelu M;, na to miast p/e) jest gę sto ś c i ą rozkładu a priori. Estymacja oraz predykcja w każdym z tych modeli może być przeprowadzona zgodnie z zasadami wnioskowania bayesowskiego omówionymi powyżej. Formalne, probabili styczne podejście do wyboru najlepszego modelu bazuje na prawdopodobi eń s twi e a posteriO/'i poszczególnych modeli (zob. [Osiewaiski, Steel 1993], [Zellner 1971 D. M odel, który uzyska n ajwiększe prawdopodobieństwo a posteriori, trak tujemy jako najlepszy. Aby móc korzystać z twi erdzenia Bayesa , zalóżmy , że {M" M 2 , ... , M n } to kompletny zbiór modeli danego zjawiska, parami wyk lu czającyc h s i ę. N iech ponadto p(M , ). p(M2 ) , . .. , p(Mn ) będą prawdopodobień s t wa mi a priori tych modeli . Wówczas prawdopodobieństwa a posteriori są równe: gdzie. p(Mly) ,. =. p (M;lp(yIM) n. L j == l. , i = 1, 2 , ... . 1/ .. p(M;lp(y IMj ). gdz ie p(yIM;l jest brzegową gęstością wektora obserwacj i w modelu M;: p(yIM j ). =P; (y) = f. P; (yle;lp j (O;lde j .. 0,. Brzegowa gęs tość wektora obserwacji jest więc średnią ważoną wartości funkcji wiarygodności na przestrzeni parametrów, przy czym funkcją wagową jest gęstość rozkładu a priori. Stąd brzegowa gęstość wektora obserwacji w modelu M, nie zależy jedynie od przyjęt ego rozkładu próbkowego, ale również istotnie zależy od rozkładu a priori dla parametrów tego modelu . Gęstość a priori, która " lepiej na ś laduje " funkcję wiarygodnośc i. prowadzi do więk szych waności Pj(y) dla danej próby ni ż rozklady a priori. któryc h wykres jest stosunkowo pł a s ki w porów naniu z wykresem funkcji wiarygodności ( por. [Osiewaiski , Steel 1993]). W każdy m przypadku , gdy rozk ład a priori nadaje wyż s ze prawd opodo bi eństw o podzbiorom przestrzeni parametrów, w których wartości funkcji wiarygodności są bliskie zeru, warto ści p , (y) będą mniej sze. Ponadto ni ew laśc i we rozkłady a priori (m iary a-skończone, które nie są miarami skończo nymi ) nie mogą być stosowane tak a utomatycznie jak w przypadku. gdy specyfikuje się rozkłady właściwe - zob. np .lOs iewalski 2001]. J eś li c hodzi o wybór prawdopodobień stw a priori p(M,) , i = I ..... n. w literaturze proponuje się przyjąć, iż są one jednakowe, lub dobrać je tak, aby modele prostsze (o mniejszej liczbie parametrów) byly bardziej prawdopodobne, zgod nie z tzw. zasadą brzytwy Ockhama (zob. [Jeffreys 1961], [OsiewaIski, Steel 1993])..

(7) Bayesuwskie purówll.vwan;e modeli SV. Przy porównywaniu modeli parami miarą porównawczą jest tzw. iloraz szans a posteriori (ang. posterior odds ralio), który jest równy iloczynowi ilorazu szans a priori (ang. prior odds ratio) p(M i )/p(M,) oraz czynnika Bayesa (ang. Bayes factor) Bij = p(ylMi )/p(yIM,): . p(Mi Iy) p(Mi ) p(yIMi ). p(M)y). p(M). p(yIMj ). Gdy prawdopodobieństwa a priori modeli są jednakowe, iloraz szans a 1'0steriori jest równy czynnikowi Bayesa, Tak więc czynnik Bayesa dostarcza informacji o wartościowaniu modelu Mi względem M.,jaka płynie z samych modeli bayesowskich, a nie zależy od ich prawdopodobieństw a priori p(Mi ), Obliczenie czynnika Bayesa jest równoważne z wyznaczeniem brzegowych gę stości wektora obserwacji, czyli stałych normujących dla odpowiednich rozkła dów a posteriori. Zazwyczaj nie można tego zrobić analitycznie, gdyż związa ne jest to z obliczeniem bardzo skomplikowanych całek. Dlatego też w literaturze proponuje się różne metody Monte Carlo (zob. [Newton, Raftery 1994], [Kass, Raftery 1995], [Chib 1995], [Gamerman 1997]). Mając próbę z rozkładu a posteriori {8,<Q)}G = ), brzegową gęstość wektora obserwacji, można aproksymować średnią harnioniczną funkcji wiarygodności:. f l)' ,G '1=' p,(yI8/,"). -). p(yIM) = (I ,. Estymator ten zaproponowali M.A. Newton i A.E. Raftery [19941. Pomimo zgodności jest on bardzo wrażliwy na małe wartości funkcji wiarygodności. Może być więc niestabilny , co wynika z tego, że odwrócona funkcja wiarygodności nie posiada skończonej wariancji a posteriori (nie zachodzi więc centralne twierdzenie graniczne) - zob. [Chib 1995J. Estymator ten jest jednak bardzo prosty do zastosowania (wykorzystując próbki losowe z łącznego rozkładu a posteriori uzyskane w cyklu Gibbsa); doświadczenie pokazuje, że dla dużych prób zachowuje się wystarczająco stabilnie, by dokonać porównania konkurencyjnych modeli. Oznaczmy przez y = (Yl' y" ... , Y1'Y wektor obserwacji, przez 8 wektor nieznanych parametrów modelu SV, natomiast '1 niech oznacza wektor zmiennych ukrytych. W przypadku procesu SV z normalnym błędem obserwacji 8 = (y, <1>, ,,'Y, '1 = h = (hl' h" ... , hTY, zaś w przypadku błędu l-Studenta e = (y, I{>, 0 2 , vY, 11 = (h', w'y = (hl' h" ... , hp w], w2 ' ... , (tlTY' Przedmiotem wnioskowania bayesowskiego w obu przypadkach jest wektor parametrów 8 i wektor zmiennych ukrytych '1. Bayesowski model statystyczny (będący modelem hierarchicznym) scharakteryzowany jest przez gę stość łącznego rozkładu wektora obserwacji y, wektora zmiennych ukrytych I) oraz wektora parametrów 8:. p(y, '1,8). =p(yl'1, 8) 1'(1), 8) = p(yl'1) 1'('118) 1'(8),.

(8) Anna Pajor. gdzie: p(yITj) =. n Ił 0,5-V2n exp 1J_ L. , '" I. T. p(y h,) =. I. T. n. y' ) 2~ dla SV z normalnym blędem obserwacji ,. T. I "". 1. W 0,5. T. 1. J. Y 2(0. '& exp J\ -,L_, ~h,'. I'" l Ił 0,5. 2n. 1. ). dla SV z. blędem l-Studenta.. Rozklad a priori na przestrzeni (0,11) E e x H c R'" (wartość parametru m, czyli liczba zmiennych będących przedmiotem wnioskowania, zależy od przyjętego modelu) specyfikujemy tak, aby rozklady a priori dla parametrów wspólnych obu modeli były identyczne: p(e, 11) = 17(1110) p(O),. - SV z normalnym. blędem. obserwacji :. p(e, 11) = p(Tjle) p(e) = p(hIO)p(f3lo'lp (o ' ),. - SV z. błędem. l-Studenta:. 17(0 , Tj) = p(Tj IO) p(O) = p(hIO)p(j3lo' )p(o' )p(rolv)p(v) ,. gdzie : p (hIO ) - iloczyn gęstości odpowiednich ro zkladó w lognormalnych,. 17(1310 2 ) - gęstość uciętego rozkładu gamma-normalnego, p(f3lo' ) ~ f N (j3Ij3o' o'A u'), I(I~I < l), j3 = (y, 4>)', p(e;-' ) = f c (0-2Iv o/2, srJ2) (symbolfN(-la , A) oznacza gęstość rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej a i macierzy kowariancji A, 1(-) jest funkcją charakterystyczną danego zbioru, natomiastfc(-Ia, b) oznacza gęstość rozkładu gamma ze średnią alb i wariancją alb') , p(rolv ) - gę stość warunkowego rozkładu (a priori) wektora ro, czyli rozkła du T niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie X' (v)lv), T. p(rolv) =. •• 12. . -1. ,~, ( ~ ) ~~ ). ro,(vl2) -. p ( v ) - gęstość wykładniczego rozkladu p ( v ) = Ar" I(v > O), A > O. Gęstość rozkładu. Q. I. exp(-. ~. ro}(ro, > O) ,. priori parametru stopni swobody ,. a posteriori dana jest wzorem Bayesa:. p(O, 11ly) =. p(ylTj )p( 11 10)17(0). ~~~~~~:.......--. f p(yITj)P(11IO)p(O)dOd11 .. ex!!. Aby uzyskać podstawowe charakterystyki tego rozkładu, wykorzystujemy metody Monte Carlo oparte na łańcuchach Markowa (ang. Markov Chain.

(9) modeli SV. •. Monte Carlo, MCMC), a w szczególn ości losowanie Gibbsa (opis jego zastosowania do modeli SV można znaleźć w pracach [Pajor 2001a. 200Ib]). Obliczenie czynnika Bayesa w przypadku porównania sily wyjaśniającej dwóch modeli SV z blędem l-Studenta o ustalonej liczbie stopn i swobody (v I oraz v) sprowadza s i ę do obliczenia wartości oczekiwanej (wedlug rozkladu a posleriori P v , (G. fIly)) odpowiedniej funkcji zmiennych ukrytych w (podobnie jak dla modelu regresji liniowej zob. [Geweke 1993]): = Pvl(y) _ .!,f,}y,O,h,W)dGdhdW =. B Vl "'2. _. -. f. Pv , ( y). f p(ylh, w)p(hIG)p(G)p(wlv = v l )dGdhdw. 9x H. P V2(y). p()'lh. w)p(hI8)p(G)p(wlv =. v). -. f. p{wlv=v l ). e,H. --. p(wlv = VI) p(wlv = v,). dGdhdw =. -. pv/y). (d x ll. --. (,) Pv,v. Pv/y, G, h, w) dedhdro. •. pv, (y). p(rolv = v, ). =. p{wlv = v,). f. •. p(wlv = v,). na s czynnik Bayesa Bv v, jest więc równy wartości oczekiwanej a posteriori ilorazu warunkowych Igęstości a priori dla w przy ustalonych (konkurencyj nyc h) wartościach v. czy li : Interesujący. (~' )'" ,12 ~; r x. n w, T. x Ep. (. "'2. I. == l. 'v,-v,'J2. l-ro,(V, V,) )) exp . 2. v 2 < VI < ~ funkcja zmiennych ukrytych, której wartość oczekiwan ą obliczamy, jest ograniczona, zatem wszystkie jej momenty a posleriori istnieją i są skończone. Do wyznaczenia powyższej wartości oczekiwanej wykorzystujemy próbę pseudolosową z rozkladu a posleriori Zauważmy, że. przy. za lożeniu.

(10) Anna Pajo,. /1v,(S. h , Olly) uzyskaną za pomocą metod Monte Carlo - przy bliżając powyż szą wielkość odpowiednią średnią. z próby. Alternatywną formulę obliczeniową. dog od ną, gdy v, = =, co odpowiada modelowi SV z normalnym blędem obserwacji, można otrzymać w następujący sposób' :. BVIV ). , IE. xE. {Jv? \. PV2. x. =. ( nTw {\"-"2)/2 ex J", 1. I. rl\ v,2 l_Trl. v I2+. I. \, [-Ol(V - V) j S," li= 1. P. 2. 1. 2. )T( 2 (12 ń v, . ,=,. (' I. == E/, V2. Dla v2 < v, < = funkcja pod znakiem wartości oczekiwanej jest ograniczona, stąd i stnieją momenty wszystkich rzędów. Ponieważ warto ść funkcji gamma dla dużych argumentów możemy wyrazić w przybliżeniu wzorem Stirhnga rex) ~ x·- II'e-' .J21t oraz korzystając z twierdzenia Lebesg ue' a o zmajoryzowanej zb ieżności (które pozwala przejść do granicy pod znakiem wartości oczekiwanej) , otrzymujemy: exp (Iim Bv v = El' ' 1 _'". 12. 1'2. TI 1 V r(V'(rl ' j'( 2. 2 ·. ,2. v:! ). ń (1 r= 1. (7) +. y,'. )-I"' "11. h/v? .. Wyrazi liśmy zatem czynnik Bayesa , wartościujący model SV o normalnym blędzie obserwacji względem modelu SV z blędem l-Studenta O ustalonej lic zbie stopni swobody (v 2 ), jako wartość oczekiwaną wedlug rozkladu Pv,(S . /zl y).. -' Do obliczenia poniż szej wiclkosci wykorzystano wzór:. -J. x" - 1 exp(- hx) tlx =. o. r(a) Iy'.

(11) . modeli SV. Bayesowskie. 4. Modelowanie. zmienności. Indeluu WIG. Jako ilu s trację e mpiryczną porównania konkuruj~c yc h ze sobą modeli SV przedstaw iono modelowanie zmienności warszawsk iego indeks u g iełdo wego (W IG) z okresu od 16 k wietnia 1991 r. do 29 grudnia 2000 r. Oznaczmy więc przez {XI: I = O, l, ... , T} szereg dziennych notowań indeksu WIG z tego okresu. Przedmiotem modelowania był szereg)'1 logaryt micznych stóp zmian indeksu WIG {Y I : I = l, ... , T}, liczba obserwacji modelowanych T = 1969 (rys. l).. 1. 7. 11. ~----------. __________________________________- .. +........ ............................ --- -- ................ -.. -.. . . . . .. ... 7 '0 •• o. "• o. ..,. ... .. . .... .... ..... ... ... ..•. .... .... .... ... ... .... .. ... •. 2 -). -8. II. II. . .. ... - . . . . .. ... ... .... .. .. ... _.. ...... "",,,,_. ... , ",,",,. ... --- --1------,.. -. -1 3 kolejne przyrosty. Rys. I . Szereg modelowanych logarytmicznych <!óp zm i"n indeksu WIG Zródlo : ob lic zenia. własne .. Do modelowania z miennośc i tego indek su wykorzys tali ś my proces SV z normaln ym blędem obserwacji oraz blęd e m l-S tudenta. Prezento wa ne wy niki u zyska li ś m y przyjmując następujące parame try rozkładu a priori: 130 = = (O, O)' , Ao = 0,0001 ' / , Vo = 4.so = 0 ,04. Aby wyznaczyć charakterystyki rozkładu a posleriori parametrów w ramach k ażdego modelu , zas tosowali śm y losowanie Gibbsa. D ok ładny opi s algorytmu losowania z rozkładów a posleriori można znaleźć w pracach A. Pajor [200 l a , 200 l b]. Tabela l zawiera charaktery styki rozkładu a posleriori dla parametru stopni swobody w zależ no ści od przyjętej wartości parametru A (wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe rozkładu a priori dla stopni swobody są równe l/A). Nie trudno zauważyć, że założenie normalności błędu obserwacji jest, w przypadku tych danych, adekwatne. Charakterystyki rozkładu a posleriori dla stopni swobody wzrastają wraz z malejącą wartością parametru A. Dane, w każdym przypadku, wskazują na większą liczbę stopni swobody ni ż za ł ożyli ś my a priori..

(12) Anna Pajor Dokonaliśmy. formalnego testowania mocy wyjaśniającej modeli SV z błę dem obserwacji o rozkładzie normalnym oraz t-Studenta, wykorzystując probabilistyczne narzędzia, jakie dostarcza wnioskowanie bayesowskie. Tabela 2 zawiera brzegowe gęstości wektora obserwacji (pomnożone przez 8''169) dla modeli SV z ustaloną liczbą stopni swobody oraz czynniki Bayesa (obliczone według wzoru (3.1)) dla modelu SV z normalnym błędem obserwacji przeciw SV z błędem t-Studenta o ustalonej liczbie stopni swobody (w nawiasach podano odchylenie standardowe). Wyniki obliczeń potwierdzają przypuszczenia, że adekwatnym narzędziem opisu zmienności szeregu finansowego jest SV z rozkładem normalnym w równaniu obserwacji. Tabela l. Charakterystyki rozkładu (l posteriori dla parametru stopni swobody w zależności od przyjętego rozkładu a priori dla tego parametru v. E(lvl DUr) Mediana. ,=0,5. ,=0,2. ,=0,15. ,= 0.1. ,= 0.05. 1..=001<.1 ,. 17.078. J6AJ6. 25,55. 14.626 36.68. 25J32. 16,62. 30,577 9.866 28,98. :W.268. J))95. 26,723 g .136. 177 .429 93,856 138,57. " wynik uzyskany przy dodatkowym ograniczeniu. l'. 51 ,52. < 300. Żródło: obliczenia własne.. Tabela 2. Brzegowa gęstość wektora obserwacji oraz czynnik Bayesa dla modeli z ustaloną liczbą stopni swobody. _.~~.. -23,796. Log(B,.v). ~. 4,423. ~~~. 3,798. I ,943. (94,R6?). (l ,474?). ~. .. _. ~. _. .. _. _. ~. I ,396. -. -~. 0,147. I ,I 31. I ,8 15. _. ". 13,529. _-_. _. __ ... ~~_. .. ...... . .......... " ......... " ......... " ...... "." .. ".", " .. " .. ".". , .. , .. "."." .. , .. , .. .. , .. , ..... (0.50441 .. _._ .... __ ..... , _. (I 7,4e+(6) (lO,2e+05) (1461 .71 ) ............ . .............. ,.-.".. - . " " . .. .. . .. .. 4,17e-17 8.46e-17 .. __._-16,380 -16.073. -,---_.. ~. __. 65,362. ". -. _ __ .. _... __ ...... ... ... 6274,57. ". -. 26467,59. BN". -I 6,595. ". ,. -27.169. .. , ..................................... . ................................. .................................. .................................. .. ...................... ,. -~"-~'. ... .. , .. , .. .. "." .. , .. , .. - -.. .... ~. ,. _~.~. ".", ". _. ..... ".". -. ~~~.~. _.. ".". .. -. 2,58c-17 ..... ". _. ~. ". .. ~.~~.~. ". _. ~~. ". .. ~. I ,6Oc-24. ". _. .. -,-". .. ... ., ...... .. .. , .. .. , ... , .. . ..... .. .. ... v-. .. -. ... 6,78c-28. v - 200. _. 2,96c-33. _ .. _... _ - ...... ....... ._............ ..... .... .... -32,528 Log(Plv l M,)) -50,240. .. - ... - 100 v-. ........... ... ... ... ....... ..... . ................................. ........................... , ,. 5,75c-51. p(vl M,). v -- 30. .. .......... v - 20. ~. ..... , .. , .. ,. v - 10. -. .. ,."."." .. , .. "., ... , .. ,. .... ........... 5. _. '" ".". --. .. v. Model. .... -. 0,145. Żródło: obliczenia własne.. Tabela 3. Brzegowe gęstości wektora obserwacji oraz ich logarytmy dla poszczególnych modeli Model. v. -. A - 0,0,1. ~. ,-. A - 0,05. O, I. A - 0,1 5. ............................................ . ................................. .................................. .................................. .......................... ...... . " .. ,. p(yl. M.,). 8 •46e- l 7. ........................................... ................. ............... Log(p(yl M»)). - l 6,073. --. 3 ,86e- l 9 .......................... - I 8,4 l 3. 2,23e-20 - ........... .. ................ - l 9,652. 2,3 1e-22. -- -. ... , .. .. , .. "." .. "." .. , ." .. "." ". - 0,2 .. .. .. ".".". ". " ". ,. --. 0,5. .. " ... "." ...... " ........... -. 5,72e-25. .......... _........ - .. ........ ............. - ...... _... -21 ,637. ,. 3 ,780-34 __. _2,87e-26 .. _........ _... _... _._, ... ............... _.... ...... .... -24.243. ,_. -25 ,542. ". -33,423. Zródlo: obliczenia własne.. Tabela 3 zawiera brzegowe gęstości wektora obserwacji i ich logarytmy dla modeli SV o różnych rozkładach a priori dla stopni swobody oraz modelu SV.

(13) . modeli SV. z normalnym błędem obserwacji (konse kwentnie w każdy m modelu brzegowa gęstość wektora obserwacji jest pomn ożo na przez 8 1')('''). Zauważamy. że im rozkład a priori dla stopni swobody jest bardziej rozproszony, tym więks zą otrzy mujem y brzegową gęstość wektora obserwacji. Możemy przypuszczać, że ro zkład a priori O małej wa rlo śc i para me tru A lepiej n aś laduje funk cję w i a rygodno śc i . ni 7. roz kład skupion y wokół mał yc h warlośc i łi czb y stopni swobody. Brzegowa gęs to ść wektora obserwacji jest jednak największa dla SV z normalnym błędem obserwacji. Tabela 4 natomiast zawiera prawdo pod obieństwa a posleriori modeli przy za łożeniu jednakowych prawdopodobieli stwa priori dla tych modeli. Wyniki te w skazują na nieadekwatn ość modeli SV z błędem f·Studenta o ustalonej - małej liczbie stopni swobody . Najbardziej preferowany przez dane jest model najprostszy - SV z normalny m błędem obserwacj i . S kupia on ponad 99% masy praw· dopodobieństwa a posleriori, przed modelami z wykładniczym rozkładem a priori dla stopni swobody z parametrem t. =0,0 1 (ok. 0.4%) i)" =0,05 (ok . 0,02%). Tabela 4.. Prawd o p odob i e ń s twa. Model. .. ._--- - -- - - - -__. p(M).ty). Model _. . . _._.. .... ..... -. __ __. _. _. 0.5 .._-. _.- .•. ..... .. A. ----- _. -. 3.3gc-iO. v- 5. v - 10. 3.79c- 35. 1'( M •. ly). 6 .73e-09. 2.27c-06. 0 .0002. v - 30 'o -.--.-- ..... ..................... .. ._... v - 100. A 0.1 . _- -_._._------- ._--_. _... ..-_ ........ -,---_._ ... ......-.. 4,44e- t S. _... _. -. A - 0.15. A - 0 .2. -. -.--- ...--.--.--.-.-...... a posteriori r óż nych modeli. •. • • _ . _ . _ • • • • • • __ o • • • •. v-. _ •. • •. . ---- -.--.--.. -. _. 4.47c-1 2. I .95e- 17. . -.. _. __. -. ---- - -- -- - -.- --.-.--. 0.0 I A ...-._-_. _.'_._ _---. -- - ------ ......-- ....--.--.-.. 0.004. 0 .995. A - 0.05. .. ...• ...-. _- -----------.--- _ -. I ,05c-08. '. \' - ••• , _. 0.1 67. - 2eX). • • _ . __ • __ ._ . . _.- __ o • __. v. ~. _. v --. -. .-. - .-------.--.--.--.--.---.-- .... 0558. 0 .275. Zródlo: obliczenia wł asne .. - 10. ,. .. ....... ----. --. -. norm ......... , .......... -..........."... ,.. ".. ,." ..."." '· .... ·..Lf.'__ · ._._ __. - 15 ··20. - 25. •.• • ,. .. _...... ...... . -- .-- .-- .. - .... ".". ... --- -_.. ... ........ _......... .. . .... , .. ..... .. __ .. _- -_ .. _-------- ------- ---.--.--_. _. Ry s. 2. Logarytmy brzegowych i Raftery'ego) Ż ródlo :. ' '' H '. . " ... . . .. _. 1_---------------. ....... - 30. " 'W. o bliczeni a wl,asnc .. .. ... ---.--.-•• ". ,.",.o. ....... ___ . _ .. .. .". gęsto śc i. .................- .... ...._. .. .._. __. .j'. .. " - " -- --- -_ . ...... ...". A ~ O.U I A = 0.05. -'-. ". ~.. ,"" .. )..=o. !. ". - - - . )..=0. 15 ł, = 0.2 )~ = 0.5. _. wektora obserwacji (metoda Newtona.

(14) Anna. O,JO. o'} ,_J. r-::;:::::::;:::::::::::::=;:;:::::=:=:=:=::;:::::::::=::=========1 r'. o. """,.,.. 0,20. .... .. .. 0. .. .. ". ,.. .. ... " " , .. • ". •. ' . .. • ••. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . " . " " " " , , ,. • ••••••• _ •• _ •• _ . . . . . . . . . . . . .. •. ..... .. ",, ". .. ....... .......... ....... . """. ................... _ ... ....... •••. "",". "". ". • .. ............. , • • 0. _. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. •••••••• _. •• _. •. •••• . . . . . . .. ". ,. ". " " . " •• " . " . . . . . .. .. •• . . . . . .. ". .. ... .. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. .. ... _._ ..... _. . . ,, '". ". .• " . ,. ............................. .. ~. 100. \' =. :'00. \'. n. 15. o. --. §. ~ ~. -. ~. oc. o o o o 8. -. ~. N N. --- -- 8 § - - X X § § 8 ~ § § 8 c, 0' :!; 0' c,. §. X 25. ~. ~. ~. ~. ~. c,. ~. ~. ~. ~. ~. o. o. ~. o. ~. c. ~ ~. c. 25 cc c ~. ~. ~. oc ~. 25 iS. ~. oc. ~. ~ ~. o o c o o c o c ~. o o. o. o. § § !:i. ~. c,. -------------~. ~. o. ~. ~. o o o. ~. ~. x. ~. 'o. ~. ~. ~. ~. ~. ~. oc. o. ~. ~ ~. Rys. 3. Logarylm y czynników Bayesa BN,' (250 000 losowa!', w tym 50000 cykli spalonych) Zródło : ob liczenia własne.. 6,-------------------------------------------, ='. ...... 4. ".. ~.~ ~ . ~. ---_ :".. .:3. ~_._---"'"',. .,,. . ...... _.. --._._-_..... ........ ~~-- -- _. ................. ............ _..... ------ ..... .. _.. ... _. -~:-. .........._._.__. ....... ....... .. ...•._.•._.. -. ._.~_. ... _.'" ... .. ...... ~ _.. _...... ...... -_. __ ... ................ _.- ............... .... _.. -._ ... -_.---._--- -._ .. _-- ---_ ....-. .. ". ". ... .... ".". v = 10. .,, . .. "." "" " "" .... ... . .................. """"""."." ....... ... . ........ """ ....... .""" .... "." .... ... . ...... ".".", ... ".. "." .. ,.. "." .... ... . ... "",,, ".............. .. v = 20. "•. v= 30 ._- -~. ...... Rys. 4. Logarylmy czynników Bayesa BN, (550 000 spalonych) Żródło:. obliczenia własne .. l osowań,. w lym 50 000 cykli.

(15) Bayesowskie ~~~~~~m~o~d~e",./~i~S~V~_ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __. Podobny wynik uzyskano porównując różn e modele SV z błęde m t-Studenta o ustalonej liczbie stopni swobody. Model SV z normalnym błęde m obserwacji. co odpowiada v = ~, skupia ok. 55 ,8% masy pra wdopodobi e ń st wa a po · steriori , przed modelam i z v = 200 (27 ,5%) . v = 100 (1 6,7%), co wynik a z tego , że ro zkład l-Studenta o v > 30 jest dobrze przybli żany rozkladem norma ln ym. Rysunk i 2-4 p rzed s taw i aj ą zachowanie się logarytm ów brzegowej gęstości obserwacji dła różn ych wa rtośc i parametru i, (250 000 ł osowań , w tym 50 000 cykli spa lon ych) oraz logarytmy czynników Baye sa dl a modelu SV z normalnym b ł ędem obserwacji przeciw SV z błęd e m l-Studenta z ustał oną li czbą stopni swobody. Ich zachowani e zdecydowanie wskazuje na preferowanie modełu SV z norm a łn y m błęde m obserwacji .. 5. Uwagi. końcowe. W pracy zaprezentowano bayesowskie porówny wanie konku re ncyjn ych modeli SV z normalnym błędem obserwacji i bł ędem l-Studenta . Przedstawiona metodol ogia wykorzystana zost a ła do porównani a mocy wyj a ś niaj ącej modeli SV wykorzystanych do opi su z mi enn ośc i warszawski ego indeksu giełd o wego.. Otrzymane wyniki. poz walają stw i e rdzić , że. "najlepszym" mode lem opi sujący m k ształtowanie s i ę z mi ennośc i badanego szeregu finansowego jest m ode ł naj prostszy - SV z n o rm a łn y m błęde m obserwacji, co pot wierd zi ł o wc ześni ej sze przypuszczenia. Przez nadani e wariancji warunkowej jej wł as n ej losowośc i jes teś m y w stanie c zęśc iowo wyjaśnić pojawianie s i ę obserwacji "nietypowych" . bez k o ni ec zn ośc i wykorzystywania roz kładów o bard zo grub ych ogonach, in aczej ni ż w przypadku mode ł i z klasy ARCH . Wni os kowanie bayesowskie dla modelu GARCH( I, I) i tego samego szeregu czasowego wskazuje. że warunkowy rozklad obserwacji jest w tym przypadku najl epiej przy bli żan y przez rozklad l-Studenta o ok . 9 stopniach swobody (zob . [Osiewal- ski. Pipi e ń 2003]) . Przedstawi one podejśc i e bayesowskie do porównywania mocy wyjaśni ają cyc h róż n ych modeli moż na za stosow ać do bogatej kl asy uogó l n i e ń modelu S V, np . do testowania takich zjawisk,jak ujemna kore ł acja mi ędzy reali zacjami procesu a jego zmi en nością (tzw. efekt d żwig ni ) lub t eż wy stępowania "premii za ryzyko" (model SV in Mean), co będ z i e przedmiotem dalszych bada ń . Literatura. Bollerslev T. [1986J. Gelleralized Auroregresive eOIiJiI ;onal Hererosccdl/Jlicity . .J ou rn al of Economelrics". vo l . 3 J . Boll erslev T .. Chou R .Y., Krone r K .r:. fJ 992J, ARell Modelfing ill Fill(lm:e: A Revicll' o[ fh e Theory tli/d Emprica/ Evidence, ...I ournal ot' Economelrics". vol. 52..

(16) AnI/a Brzeszczyllski J. 1"20021. lllle illość kursy - obroly lIa Gieldz.ie Papierów Warto.\:cimvych 11/ War .... zawie . Z(l.\· tu~·()waHi(l modeli ARCII rw :l Metody i/o.vciowe w lIaukach ekonomic:'l1ych , Drugie Warszlaty Doktorskie Z Za kresu Ekonometrii i Slalyslyki. pod red. A. Welfe, Szkola Glówna Handlowa w Warszawie , Warszawa . Ch ib S. l (9951. Margillal Likelilzood frOIll Ihe Gibh.'· Ompll! . .,Journal of the American Slatislica l Association". vol. 90. DcGroot M .H . [ 19811, Optymalne d('c)'::je statystyczne, PWN, Warszawa. Fiszeder P. [200 l 1. Jedn()rÓ~VIWl1iml'f I/lodele GARC H - (waliz.a procesów z achodzących na GPW w Warszawie lw:] Dynlll1licZl1l' modele ekonom etryczne. VII Ogólnopolskie Semi narium Naukowe, 4-6 września 2001, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika. Toruń. Gamerman D . [19971. Markov C/win MOf1lc Carlo (STCJ1istic Sill/u/athm for Bayesiall In{erel1ce ). Chapman and Hall, London. Geweke J . l19931, Bayesiall Trearmellt ol rhe Independel11 Stlfdelll -t Lillear Model. ,,Journal of Applied Econometrics", vol. 8. Geweke J . l1 9941 , COll1l11enl 011 BoyesilIlI ;\ I/o{y... i.\· ol 51Odlll.\'! ic Volar ili ty ModeIs , "Journal of Bus iness and Economic Slatistics", vol. 12. hcquier E ., Polson N .. Rossi P . L1994]. Ba)'csiall AlIlI/ysis (~r Swcluulic Vo/atility ModeIs (wfl" Di,w:us.\"ioll) . "Journal ol' Business :'lnd Econom ic SI.H ist ics", vol. 12 . hlcquicr E .. Polson N .. Rossi P. f 19991. Stocha.\"lil· Vollllilit \": Ullivll/"ialC alld Mullivar;ale EXlellsiolłs, Ca hiers C irano. Cen1re Inleruniversilaire de Rec herc he en Analyse des Organisa lion s, Montreal . Jacquicr E .. Pulson N., Rossi P. [200 l 1. Bayesiall AnalYJis ol Srochastic VolmiliTy : ModeIs wilh Far -Taiis al/d Carrelated Errors, Fina nce Departmenl. Boston College and CIRANO Gradua le School ol' Business , The Uni versity of Chicago. Jeffreys H . [1961 J. Theory o! Prohabiliry, Oxford Universi'y Press, Lnndon. Kass R.E .. Raflery A.E. [19951, Bayes Faeton,- , "Journal ol' the American Statistical Association". vol. 90. Newton M.A., Raftery A.E. [19941. Approxil1late Bay(~s iflll lnference by the Weighted Likelihood Bootstrap, "Journal of the Royal Statistic,il Society B", vol. 56. Ombach J . [1997], Wstęp do rachunku pra),','dopodobi eń slwa, Wydawnictwo Instytutu Matem.'yki AGH. Kraków. OsiewaIski J . f200 l ]. Ekon ometria hayesowska w zasTOsowalliach, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie . Kraków. Osie waiski J" Pipien M. [1999] . Ba:resiall Foreca.\·lillg (d Foreign Exchang e Rates Using GARCH models with Skewed l CO/lditiollal Dislribwiolls [w:] Macromodels'98 , Confcrence Proceetlings, ed . W. Welfe, Absolwenl . Łód ż. Osiewa iski J., PipieJi M. (2003), Bayesillll Allaly.\·i.'1 al/d OpliolI Pricing in Ullivar;ate GARCH Model.\· with Asymetries and GARCH-IIl·Me(UI EJfects, " Przegląd Statystyczny", I. 50. Osiewaisk i J., Steel M .F.J. r19931. A Bayes iall PerspecI'-ve on Model Selection (maszy nopis), opublikowano w j. hiszpańskim: U110 perspectiva ba)'o'jwl(l t'1I st'cción de mode/os , "Cuadernos Economicos", No 55. Pajor A, [200 l a], Bayesowska eSTymocja i progno::.owal1ie IV modelu stochastycznej zmienilOŚci Z normalnym hfędem obserwacji , Materi a ły Konferencyj ne XXXVII Konferencji Statystyków. Ekonometryków i Matematyków Akademii Ekonomicznych Polski Połu dniowej, Ustroń. 26- 28.03.2001 r. (w druko).. -.

(17) ,. ,. . modeli SV. Pajor A. [2001b ], Bayesowska estynu/(ja i prog noz()wallie Hi II/ oddu stochastycznej 7.l11iellllw:ci .:: błęd e m t-Stlldenta [w :J Dynamic:ne modele ekonometryczne , V 11 Ogó lnopol ski e Seminarium Nau kowe, 4-6 wrześ nia 2001. W ydil w ni ctwo Uniwersytetu Miko łaja Kope rnik a. TorUJ1. Rui z E . [ 1994 1. Quwii-MaximulIl Like/ihood Estimatioll o[ Slochasric Vola tilil y ModeIs . .,Jo um,,1 nf Eco no mclrics". vol. 63 . Ze llne r A. [ 197 1j. Al! / lItrodllctioll lO BlIyes iall I I/ference i n Ekonometrie.'i. J. Wiley, New Yo rk.. The Bayesian Comparison of Models SV The paper prese nlS ge nerał methods 01' Ihe Bayes ian i nfercnce and model sc lection . T he. Bayes ian me thodo logy is used lo compare va rio us Stochasli c Vo la tility mude Js deseribing Ihe vo lalilily o f Ihe Warsaw S loc k Exc ha nge InJex ( WIG ) , rro m 16 Apr;1 1991 liII 29 D<;:cember 2000. Wc I.:o nsider th e SV mode l wi lh Gauss ian e rrors in Ihe Illcan equat ion , and [he SV models where the mean equation di sturban ces follow Student -! distributions with fixed or unknown dcg rees of freedom . Our e mpirical result s indicate that the SV model with Gaussian errors (th e simplest possib le S V model) fits the data bene r tłum the SV mode ls with Studenr- r erro rs. By attributin g th e volatility its own slOc hn sti cs wc can partl y account for the o ulliers withou l lIsing a fat-tai led distributions..

(18)