Janina Lisiecka-Frąszczak
Instytut Elektroniki i Telekonunikacji Politechnika Poznańska
j.lisiecka-fraszczak@et.put.poznan.pl
Algorytm obliczania wektora charakterystycznego obrazu czarno-białego
Streszczenie: W artykule formułuje się algorytm do wyznaczania wektora charakterystycznego b obrazu czarno-białego. Wektor ten jest potem używany do definiowania początkowego wektora wagowego perceptronu, który ma rozpoznać zadany obraz. Pojęcie wektora b ma związek z pewnymi funkcjami boolowskimi definiowanymi tablicami Karnuagh. Obraz czarno-biały zadawany jest kratownicą. Zachodzi zatem potrzeba adaptacji pierwotnej definicji do warunków istniejących w rozpoznawaniu obrazów.
1. WSTĘP
W artykule prezentuje się analizę, która ma na celu sformułowanie algorytmu do wyznaczania wektora b charakteryzującego zadany obraz czarno-biały.
Autorka tej pracy w swoich badaniach naukowych zajmuje się poszukiwaniem optymalnego, w sensie ∑ wi=min, wi ∈I, binarnego perceptronu dla danego obrazu czarno-białego. Okazuje się, że wektor charakterystyczny b wykorzystany do zdefiniowania początkowego wektora wagowego szukanego perceptronu, w konsekwencji znalezionej procedury prowadzi do znalezienia optymalnej, w w/w sensie, jego struktury.
Obraz czarno-biały zadaje się przez nałożenie na niego kratownicy, ponumerowanie jej pól (pixeli) i ocenie jaki kolor odpowiada kolejnej liczbie naturalnej.
Pojęcie wektora charakterystycznego b zostało wprowadzone przez Dertouzousa przy okazji poszukiwań pewnych klas funkcji boolowskich. Nas nie interesują jednak funkcje boolowskie jako takie, gdyż nie chcemy przekształcać obrazu do postaci wyrażenia boolowskiego. Zachodzi zatem potrzeba adaptacji definicji Dertouzousa do warunków spotykanych w rozpoznawaniu obrazów.
Ponieważ każda liczba naturalna ma swoje rozwinięcie w ciąg zero-jedynkowy zadany obraz czarno-biały można zdefiniować przez równoważny mu zbiór ciągów zero-jedynkowych. Równocześnie zostanie zauważone, że ciągi te są elementami n-krotnego iloczynu kartezjańskiego zbioru Q={0,1}.
Analiza własności zbioru Qn oraz analiza wzoru definiującego i-tą składową wektora b prowadzą do wniosków, które pozwolą przekształcić definicję Dertouzousa do postaci dającej się wykorzystać w syntezie perceptronu.
2. PRELIMINARIA
Dany jest zbiór Q = { 0,1}. Utwórzmy n-krotny iloczyn kartezjański tego zbioru , tj. Qn,
Qn = Q × Q × ... × Q, n powtórzeń Q.
Zbiór Qn ma moc równą 2n.
Funkcja boolowska odwzorowuje zbiór Qn w zbiór Q, f : Qn → Q.
Jedną z form zadawania funkcji boolowskiej jest tablica Karnaugh. Tablica ta składa się z 2n pól, czyli ilości ρ
= ( 0,1,...,2n-1), gdzie ρ oznacza numer pola.
W swojej analizie funkcji boolowskich Dertouzous posługuje się zbiorem dwuelementowym {-1,1}.Dotyczy to również zdefiniowanego przez niego a interesującego nas wektora charakterystycznego.
Wektor charakterystyczny Dertouzousa ma następującą definicję [1]:
b = { b1,b2,...,bn ;b0 }
bi = ∑ xi (ρ ) ⋅ F(ρ ) , ∀ i = 1,2,...,n b0= ∑ F(ρ ) ,
gdzie:
każda ∑ przebiega po wszystkich ρ , F(ρ ) - wartość funkcji w ρ , (równa –1 lub 1), xi(ρ ) - wartość i-tej zmiennej w ρ, (równa –1 lub 1).
Jak z powyższego wzoru widać, wektor b przyporządkowuje każdej zmiennej boolowskiej liczbę.
Równocześnie wiadomo [1], że opisuje on funkcję boolowską jednoznacznie.(Należy tutaj zaznaczyć, że interesuje nas tylko pierwszych n składowych tego wektora, bez składowej zerowej.)
Obraz czarno-biały zadaje się przez nałożenie na niego kratownicy, ponumerowanie kratek (zaczynając od zera) i ocenę jaki dany numer ma kolor. Odpowiada to następującemu przyporządkowaniu: gdy kolor pixela o numerze ρ jest czarny piszemy w(ρ) = 1, i piszemy w(ρ) = 0, gdy jest biały.
3. ANALIZA PROBLEMU
Celem tej publikacji jest analiza definicji Dertouzousa i doprowadzenie jej do takiej postaci, aby dane wyjściowe obrazu, tzn. numer oraz kolor kratki wystarczyły do zdefiniowania jego wektora charakterystycznego b.
Autorka artykułu wykorzystuje to pojęcie matematyczne do wyznaczenia początkowego wektora wag, a w konsekwencji dalszej procedury [2, 3, 4], do uzyskania optymalnego, w sensie ∑wi=min, wi ∈I, perceptronu rozpoznającego zadany obraz.
2006
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7 - 8 grudnia 2006
Z definicji Dertouzousa widać, że parametrem ogólnym wyrażenia na i- tą składową wektora b jest, będący liczbą naturalną, parametr ρ.
Obraz czarno-biały jest również definiowany zbiorem liczb naturalnych (zbiór numerów kratek).
Wykorzystamy ten fakt w dalszej analizie.
Obliczmy iloczyn kartezjański zbioru Q, tj. Qn i ułóżmy należące do niego n-tki jedną pod drugą w taki sposób, aby odpowiadały rozwinięciu kolejnych liczb naturalnych, z zerem włącznie. W ten sposób powstanie macierz zero-jedynkowa o n kolumnach i 2n wierszach.
Nazwiemy ją macierzą Qn .Okazuje się, że postać kolumn tej macierzy jest bardzo szczególna:
- w poszczególnych kolumnach zera i jedynki zebrane są w grupy tak samo liczne;
- grupy zer występują naprzemiennie z grupami jedynek.
Obliczymy ilość grup w i-tej kolumnie:
m(i) = 2i oraz
ilość elementów (zer lub jedynek) w każdej grupie danej kolumny:
p(i) = 2n-i . Można zauważyć dodatkowo:
w każdej kolumnie macierzy Qn pierwsza grupa złożona jest z zer (rozwinięcie liczby zero). Ponieważ zera występują z jedynkami naprzemiennie, w każdej drugiej grupie, każdej kolumny, znajdują się jedynki. Zatem grupy nieparzyste zawierają zera a grupy parzyste zawierają jedynki .
(Wymienione własności nie ulegną zmianie, gdy w kolumnach zera zostaną zastąpione przez (-1)).
Prześledźmy te własności na prostym przykładzie.
(Rysunek 1)
0 1 2 3
4 5 6 7
ρ 1 2 3
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
Rys. 1. Przykład obrazu i iloczynu Q3 Na rysunku umieszczono obraz czarno-biały składający się z 8 pixeli. Stąd n wynosi 3.
Poniżej obrazu , w pierwszej kolumnie, wymieniono liczby ρ =(0,1,...,7), a dalej macierz zero-jedynkową zawierająca ich binarne rozwinięcia. Daje się zauważyć regularność tej macierzy. Obliczone dla pierwszej kolumny wartości m(1) i p(1) wynoszą odpowiednio 2 i 4.
W zadaniu, które mamy rozwiązać dane wyjściowe są następujące: obraz czarno biały, czyli zbiór R={0,1,...,2n-1} odpowiadający ilości kratek oraz, dla każdego ρ∈R, wartość w(ρ). Ponieważ celem tej
publikacji jest wyznaczanie wektora
charakterystycznego obrazu w oparciu o jego definicję, musimy na nowo ocenić wzór na składową bi wektora charakterystycznego.
Spójrzmy ponownie na wyrażenie wyznaczające i- tą składową wektora b:
bi = ∑ xi (ρ ) ⋅ F(ρ ) , ∀ i = 1,2,...,n.
(Wektor b jest definiowany dla zbioru P={-1,1}.)
W wyrażeniu tym xi( ρ ) = 1, gdy na przecięciu i-tej kolumny i ρ-tego wiersza macierzy Qn znajduje się 1, oraz xi( ρ ) = 0(-1), gdy w tym miejscu macierzy znajduje się 0 (-1).
Obliczając bi definiujemy kolumnę macierzy Qn. Jej numer jest znany. Potrafimy również ocenić z ilu grup ta kolumna się składa, jak i ilość elementów w każdej grupie. Są to, ustalone wcześniej, liczby: m(i) oraz p(i).
Nie chcąc posługiwać się macierzą Qn musimy ukryć jej cechy w odpowiedniej interpretacji wielkości, które znamy czyli - ρ i w(ρ ).
Ze zbioru R utworzymy wektor kolumnowy r zawierający kolejne elementy tego zbioru. Podzielmy ten wektor na grupy. Niech tych grup będzie tyle ile ich jest w i-tej kolumnie macierzy Qn (czyli m(i)). W każdej z nich umieśćmy p(i) kolejnych elementów zbioru R.
Przyglądając się wyrażeniu na bi. Zauważamy, że składowa definiującej go sumy jest równa 1 tylko wtedy, gdy dla danego ρ, zarówno funkcja F(ρ ), jak i i-ta zmienna xi(ρ ) mają równą wartość. W każdym innym wypadku składnik sumy równy jest –1.
Taka sytuacja, w odniesieniu do obrazu czarno- białego odpowiada rysunkowi, na którym dla
- ρ należącego do grupy nieparzystej w( ρ ) = 0 (kolor biały), a dla
- ρ należącego do grupy parzystej w( ρ ) = 1 (kolor czarny).
Będziemy liczyli ile jest takich odpowiednich ρ i je dodawali.
Równocześnie, gdy ρ odpowiada grupie nieparzystej a obraz w tym miejscu jest czarny lub, gdy ρ odpowiada grupie parzystej a obraz jest biały, to jest to, w odniesieniu do funkcji boolowskich, sytuacja, w której składowa iloczynu pod znakiem ∑ równa się –1.Te przypadki muszą być zatem odejmowane.
Z tej analizy wynika co następuje:
w grupach nieparzystych od ilości elementów białych odejmujemy ilość elementów czarnych, zaś w grupach parzystych odwrotnie.
Dla zadanego obrazu wartości pixeli nie zmienia się. Każdemu polu przypisana jest stała wartość b(kolor).
Natomiast numery pól, w zależności od rozpatrywanej kolumny, znajdują się w różnych grupach-raz są w grupie parzystej a w innej kolumnie w grupie nieparzystej.
Wyznaczając bi przeglądamy kolejne ρ, ale równocześnie musimy wiedzieć, do której z grup ono należy.
Sformalizujmy powyższe spostrzeżenia.
4. OBLICZANIE SKŁADOWEJ bi
Dany jest obraz czarno-biały. Znamy jego wymiar ( ilość pixeli), czyli zbiór R, a także wielkość n. Znana jest również wartość każdego pixela, czyli w(ρ ), dla każdego ρ ∈ R. Chcemy wyznaczyć składową bi wektora charakterystycznego b zadanego obrazu.
Z postaci macierzy Qn daje się ustalić związek między wartością ρ a indeksem grupy, do której ten element należy:
dla j∈{1,2,...,m(i)}, ρ∈Gj, gdy ρ∈ { (j-1)⋅p(i),(j-1)⋅p(i)+1,...,j⋅p(i) –1}.
Ponieważ znany jest indeks -i można obliczyć wartości m(i) oraz p(i). Jak wcześniej ustalono wektor kolumnowy r zostanie podzielony na G1 ,G2 ,...,Gt , t = m(i) grup. W każdej grupie znajduje się p(i) kolejnych elementów tego wektora. Zbiór wartości w(ρ) zostanie również podzielony na grupy P1 ,P2 ,...,Pt w taki sposób, że w(ρ)∈Pk gdy ρ∈Gk.
Możemy powiedzieć, że wyznaczając bi
analizujemy w(ρ), przebiegając kolejne grupy Pj
odpowiadające i-tej kolumnie. Znajomość tych grup jest konieczna, gdyż inaczej traktujemy wartość w(ρ ) gdy indeks j jest parzysty, a inaczej w przeciwnym wypadku.
Jeżeli ρ należy do grupy nieparzystej Gm, to tworzymy równą A sumę zer znajdujących się w grupie Pm i równą B sumę występujących w grupie Pm jedynek.
Następnie obliczamy różnicę ∆m tych liczb, czyli ∆m = A - B.
Natomiast, gdy ρ należy do grupy parzystej Gs, to również obliczamy obie sumy A i B, ale interesująca nas różnica ma postać ∆s = B - A.
Suma wszystkich różnic ∆k gdy ρ przebiega wszystkie grupy Gj, j ∈{1,2,...,m(i)}, daje szukaną wartość bi.
5. ALGORYTM WYZNACZANIA WEKTORA CHARAKTERYSTYCZNEGO OBRAZU
CZARNO-BIAŁEGO
Przeprowadzone wcześniej rozważania pozwalają na sformułowanie algorytmu służącego do wyznaczania wektora charakterystycznego zadanego obrazu czarno- białego.
Algorytm ten oczywiście musi być wyposażony w kilka liczników, które będą ustalać kolejne indeksy i wartości obliczanych wielkości. I tak :
- indeks – i będzie oznaczać bieżącą składową wektora b.
- indeks – j będzie oznaczać numer analizowanej grupy
- a – jest bieżącą ilością zer w grupie Pj
- b – jest bieżącą ilością jedynek w grupie Pj
- s – jest aktualnie obliczaną sumą.
Algorytm winien posiadać trzy pętle:
- pętlę dotyczącą indeksu i, i= 1,2,...,n
- pętlę, wewnątrz której oblicza się sumy częściowe A i B
- pętlę indeksu grupy Gj, j= 1,2,...m(i) w obrębie aktualnego i.
Bardzo istotną informacją jest znajomość tego, czy znajdujemy się wewnątrz analizowanej grupy Gj,, czy też już z niej wyszliśmy. Dlatego w algorytmie bada się
warunek ρ > ρgr,
gdzie ρgr jest największą wartością w tej grupie.
Ponieważ obliczana wartość zależy od parzystości lub nie j-tego indeksu musimy to oceniać. Dla każdego ρ wyznaczana jest wartość w(ρ), która w zależności od parzystości indeksu j, zostaje dodana lub odjęta od sumy wynikającej z wcześniejszych obliczeń.
Wartość bi równa jest sumie końcowej ∆m(i). gdy wyczerpano wszystkie elementy zbiorów Gj i Pj .
Można zwiększyć licznik -i o 1 i obliczać kolejną składową wektora b. Gdy indeks i > n obliczenia zostaną zakończone.
Schemat blokowy algorytmu obliczającego wektor charakterystyczny zadanego obrazu czarno-białego umieszczono na rysunku 3.
Z pomocą tego algorytmu obliczono wektor b przykładowego obrazu z rysunku 2.
0 8 16 24 32 40 48 56
1 9 17 25 33 41 49 57
2 10 18 26 34 42 50 58
3 11 19 27 35 43 51 59
4 12 20 28 36 44 52 60
5 13 21 29 37 45 53 61 6 14 22 30 38 46 54 62 7 15 23 31 39 47 55 63 Rys.2.Przykład obrazu czarno-białego.
Szukany wektor ma postać b = {38,26,18,14,10,6}
a skonstruowany na jego podstawie początkowy wektor wagowy poszukiwanego perceptronu to W1
={7,6,5,4,3,2}. Po wykorzystaniu tego wektora do procedury prezentowanej w [ ] wyznaczono optymalny całoliczbowy perceptron. Ma on 6 ważonych wejść i próg o następujących parametrach:
W,T = { 9,7,5,4,3,2, 14,5 }.
6. WNIOSKI
W artykule sformułowano algorytm znajdowania wektora charakterystycznego b zadanego obrazu czarno- białego.
Rys. 3. Schemat blokowy algorytmu znajdowania wektora b.
Pojęcie to jest przez autorkę wykorzystywane do zdefiniowania początkowego wektora wagowego perceptronu, który ma ten obraz rozpoznać. Wektor ten, w rezultacie znalezionej procedury [2, 3, 4], pozwala wyznaczyć optymalny w sensie ∑wi=min, wi ∈I, perceptron .
Ponieważ wektor charakterystyczny został zdefiniowany przez Dertouzousa dla badania pewnych klas funkcji boolowskich ma on postać adekwatną do tego narzędzia matematycznego. Obraz czarno-biały jest definiowany przez zbiór pixeli i zbiór odpowiadających im wartości. Dlatego celem tej publikacji było takie zinterpretowanie definicji Dertouzousa, aby dane obrazu wystarczyły do wyznaczenia tego wektora.
Cel ten został osiągnięty. Sformułowano schemat blokowy poszukiwanego algorytmu. Algorytm ten zilustrowano przykładem.
SPIS LITERATURY
[1] M.L.Dertouzos, Threshold Logic: A Synthesis Approach, MIT Press, Cambridge, 1965.
[2] Lisiecka-Fr szczak J. ,ą Wst pna ocenaę parametrów dyskretnej sieci neuronowej, KOWBAN’99, Poland, pp.363-368
[3] Lisiecka-Fr szczak J., ą The Optimal Laerning Set for the Binary Discrete Perceptron, IWSSIP02 Proceedings, Manchester, UK 2002, pp.435-462
[4] Lisiecka-Fr szczak J., ą On the Classification Method of Lineary Nonseparable Binary Images, IWSSIP03 Proceedings, Prague, Czech Republic 2003, pp.186-189
