• Nie Znaleziono Wyników

L1 - Rwnowaga wzgldna w naczyniu wirujcym wok osi pionowej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "L1 - Rwnowaga wzgldna w naczyniu wirujcym wok osi pionowej"

Copied!
9
0
0

Pełen tekst

(1)

RÓWN

WIR

NOWA

RUJĄC

Ćwi

AGA W

CYM W

 

iczenie

WZGLĘD

WOKÓŁ 

e L1

DNA W

OSI PI

W NACZ

IONOW

ZYNIU 

WEJ

(2)

Laboratorium Mechaniki Płynów ĆWICZENIE L1   

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie pomiaru współrzędnych powierzchni

swobodnej cieczy w naczyniu wirującym wokół osi pionowej, a następnie porównaniu wyników pomiarów z wynikami uzyskanymi z modelu matematycznego.

2. Wstęp teoretyczny

Ciecz osiąga stan równowagi względnej wówczas, gdy pozostaje w stanie

spoczynku względem ścian poruszającego się naczynia i względem siebie – nie zachodzi wewnątrz płynu wymiana masy. Zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, warunek ten jest spełniony w następujących przypadkach:

a) naczynie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym, b) naczynie porusza się ruchem obrotowym wokół osi pionowej, ze stałą prędkością obrotową,

c) naczynie porusza się ruchem obrotowym wokół osi poziomej, ze stałą prędkością obrotową,

Na dowolny element płynu działa jednostkowa siła masowa, określona wektorem (1):

𝑓⃗ 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑑𝑄⃗ 𝑑𝑚

(1)

Obserwowanym rezultatem równowagi sił działających na ciecz jest kształt jaki przyjmuje powierzchnia swobodna cieczy. Powierzchnia swobodna jest jedną z

powierzchni jednakowego potencjału (rozdz. 4.1.2 w poz. [1]), inaczej nazywaną powierzchnią ekwipotencjalną cieczy.

W przypadku naczynia cylindrycznego , które wiruje wokół pionowej osi ze stałą prędkością obrotową, powierzchnia swobodna cieczy przyjmuje kształt paraboloidy obrotowej, której oś pokrywa się z osią obrotu naczynia.

Kształt powierzchni ekwipotencjalnej cieczy może zostać wyznaczony z podstawowego równania statyki płynu na rozkład ciśnienia (2):

𝑑𝑝 𝜌 𝑋𝑑𝑥 𝑌𝑑𝑦 𝑍𝑑𝑧 (2)

(3)

Uwzglę otrzym a równa N jednost i odśrod Rysu cylind N jednost gdzie: ω – prę Schema W wyni zależno ędniając, że ujemy war anie powie Na dowoln tkowa siła m dkowego. unek 1. Sche rycznym n Na dowoln tkowe siły m dkość kąto at opisywan iku podstaw ość: e ciśnienie n runek: 𝑓⃗ 0 erzchni ekw y element masowa, kt (a) emat układ aczyniu wi pionow y element masowe o n wa wirując nego układ wienia rów 𝜔 na powierz 0 ⇒ 𝑝 wipotencjal 𝑋𝑑𝑥 𝑌𝑑 płynu w zb tóra jest su du sił działa irującym ze wym (a) or płynu, znaj następując 𝑋 𝑌 𝑍 cego zbiorn du sił został wnań (5a–c) 𝑥 𝑑𝑥 𝜔 𝑦   zchni ekwip 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ lnej przyjm 𝑑𝑦 𝑍𝑑𝑧 biorniku wi umą wektor ających na e stałą pręd raz przekro jdujący się cych składo 𝜔 ∙ 𝑥 𝜔 ∙ 𝑦 𝑔 ika ł zamieszcz ) do równa 𝑦 𝑑𝑦 𝑔𝑑 potencjalne 𝑑𝑝 0 muje postać 0 irującym w rową przyś nieskończe dkością obr oju poziomy w punkcie owych zony na rys ania (4) otr 𝑑𝑧 0 ej jest stałe, : wokół osi pi śpieszenia z (b) enie mały e rotową – w ym (b). M(x, y, z), d sunku 1. zymuje się e, stąd ionowej dz ziemskiego element pły widok w prz działają ę następują (3) (4) iała o ynu w zekroju (5a) (5b) (5c) cą (6)

(4)

Laboratorium Mechaniki Płynów ĆWICZENIE L1   

Całkując równanie (6) oraz dokonując zmiany współrzędnych reprezentujących położenie nieskończenie małego elementu płynu, z prostokątnych (x, y, z) na walcowe (r, φ, z), , otrzymuje się równanie (7)

𝜔 𝑟

2 𝑔𝑧 𝐶

(7)

Stała C, będąca stałą całkowania, wyznaczana jest z warunków brzegowych dla punktu znajdującego się na powierzchni swobodnej cieczy, w osi obrotu zbiornika (punkt minimum paraboloidy). Warunki brzegowe dla tego punktu reprezentują równania 8a i 8b.

𝑟 0 (8a)

𝑧 𝑧 (8a)

Podstawiając warunki brzegowe (8a,b) do równania 7, otrzymuje się wartość stałej C (9) oraz wyrażenie opisujące kształt powierzchni swobodnej cieczy (10).

𝐶 𝑔𝑧 , (9)

𝑧 𝜔 𝑟

2𝑔 𝑧

(10)

Znając promień naczynia oraz wysokość położenia powierzchni swobodnej cieczy w stanie spoczynku (przy zerowej prędkości obrotowej), na podstawie bilansu objętości cieczy w naczyniu, można wyznaczyć stałą z0. Stąd przekształcając zależność (10)

otrzymuje się wyrażenie

𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 1 2 𝜔 𝑅 2𝑔 (11) gdzie: H – położenie lustra cieczy w nieruchomym zbiorniku, R – promień naczynia cylindrycznego.

Uwzględniając wartość z0 z równania (10) w wyrażeniu (7) otrzymuje się równanie (12)

opisujące kształt powierzchni swobodnej cieczy w wirującym zbiorniku. Równanie (12) stanowi model matematyczny kształtu powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku o

(5)

 

promieniu R wirującego ze stałą prędkością kątową ω, napełnionego w stanie stacjonarnym cieczą do poziomu H. Znając R, ω oraz H, można wyznaczyć położenie (wysokość) powierzchni cieczy (z) dla dowolnego punktu oddalonego od osi obrotu naczynia o promień (r). 𝒛 𝑯 𝝎 𝟐 𝟐𝒈 𝒓𝟐 𝑹𝟐 𝟐 (12)

Znając prędkość obrotową n, obr/min naczynia, można wyznaczyć jego prędkość kątową ω, rad/s na podstawie równania (13)

𝝎 𝟐 𝝅 𝒏 𝟔𝟎

(13)

3. Opis stanowiska

Stanowisko składa się z następujących elementów: –zbiornika z podziałką, wypełnionego cieczą (1),

– kamery rejestrującej obraz (2), – osłony zbiornika i kamery (3), – układu napędowego (4),

– panelu sterowania stanowiskiem (5), – komputera (6).

(6)

Laboratorium Mechaniki Płynów ĆWICZENIE L1   

4. Procedura badawcza

Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia należy: – zapoznać się z budową stanowiska

– sporządzić schemat stanowiska

– zaznaczyć na schemacie elementy stanowiska opisane w pkt. 3.

Procedura obowiązująca przy wykonywaniu ćwiczenia obejmuje następujące etapy:

Przygotowanie stanowiska do badań

1) Uzyskać zgodę prowadzącego na włączenie stanowiska 2) Włączyć kamerę rejestrującą obraz

3) Włączyć komputer

4) Sprawdzić połączenie komputera z siecią bezprzewodową (WiFi) 5) Uruchomić interfejs kamery za pośrednictwem przeglądarki 6) Włączyć zasilanie stanowiska

Realizacja badań

7) Włączyć rejestrację filmu w kamerze

8) Ustawić zadaną wartość prędkości obrotowej zbiornika za pomocą pokrętła na panelu sterowania

9) Zaczekać na ustabilizowanie się wartości prędkości obrotowej zbiornika oraz powierzchni swobodnej cieczy w naczyniu (około 30 sekund)

10) Odczytać wartość prędkości obrotowej n z wyświetlacza i zapisać w protokole pomiarowym

11) Zatrzymać naczynie

12) Zatrzymać rejestrację filmu na kamerze

13) Za pośrednictwem interfejsu w przeglądarce, pobrać plik z nagraniem na dysk komputera

14) Wyznaczyć położenie powierzchni swobodnej cieczy (H) w nieruchomym zbiorniku 15) Korzystając z wykonanych nagrań naczynia wirującego, dla każdego punktu

pomiarowego wzdłuż promienia naczynia (r), odczytać wartość współrzędnej (z) (wysokość położenia powierzchni swobodnej cieczy).

(7)

 

16) Zmierzone wartości r oraz z wpisać do protokołu.

Etapy 7–16 powtórzyć dla każdej z zadanych prędkości obrotowych

Wyłączenie stanowiska

17) Uzyskać zgodę prowadzącego na wyłączenie stanowiska

18) Wyłączyć panel sterowania oraz układ napędowy za pomocą przełącznika (Y). 19) Pod nadzorem prowadzącego, usunąć zarejestrowane zdjęcia z pamięci kamery. 20) Wyłączyć kamerę oraz komputer.

5. Tabela wielkości mierzonych

Tabela wielkości pomiarowych do tego ćwiczenia zamieszczona jest na końcu instrukcji. Tabelę należy uzupełnić o jednostki wielkości mierzonych.

6. Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów wykonanych w ramach niniejszego ćwiczenia obejmuje następujące etapy:

1) Dla każdej wartości promienia (r) z protokołu, wyznaczyć teoretyczną wartość położenia powierzchni swobodnej cieczy (zT), korzystając z równania (12). 2) Etap 1 wykonać dla każdej z zadanych wartości prędkości obrotowej.

3) Sporządzić wykres zawierający charakterystyki z(r) oraz zT(r) dla wszystkich wartości prędkości obrotowej zbiornika.

UWAGA: Dane pomiarowe powinny być naniesione na wykres wyłącznie w formie punktów (bez łączenia ich jakąkolwiek linią/krzywą), natomiast krzywa teoretyczna powinna stanowić wyłącznie linię ciągłą.

(8)

Laboratorium Mechaniki Płynów ĆWICZENIE L1   

7. Pytania kontrolne

1) Kiedy ciecz znajduje się w stanie równowagi względnej? 2) Co to jest jednostkowa siła masowa?

3) Przedstawić składowe wektora jednostkowej siły masowej dla cieczy znajdującej się w stanie równowagi względnej w naczyniu wirującym względem osi pionowej.

4) Przedstawić wektor jednostkowej siły masowej dla cieczy znajdującej się w naczyniu nieruchomym.

5) Jaki kształt przyjmuje powierzchnia swobodna cieczy w zbiorniku wirującym wokół osi pionowej?

6) Jakie warunki (zapisać równanie) spełnia element cieczy będący częścią powierzchni ekwipotencjalnej?

7) Przedstawić ogólne równanie hydrostatyki reprezentujące rozkład ciśnienia. 8) Wyjaśnić (zapisując odpowiednie równania) wpływ zmiany prędkości kątowej zbiornika na kształt powierzchni swobodnej cieczy.

(9)

 

Tabela pomiarowa do L1 Data wykonania pomiarów:………..……..

l.p.

n1= ……….obr/min. n2= ……….obr/min. n3= ……….obr/min.

r z r z r z 1 0 0 0 2 10 10 10 3 20 20 20 4 30 30 30 5 40 40 40 6 50 50 50 7 60 60 60 8 70 70 70 9 80 80 80 10 90 90 90 11 100 100 100 Sekcja nr

Lp. Nazwisko Imię Nr albumu

1. 2. 3.

Obraz

Tabela	pomiarowa	do	L1	 	 	 Data	wykonania	pomiarów:………………..……..

Cytaty

Powiązane dokumenty

W tych warunkach źródłem wysładzania i zmian składu chemicznego wód wydają się być wdzierające się z dużych głębokości, wzdłuż rozłamów wgłębnych, wspomnia-

Jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego jest

Celem pracy było określenie charakterystyki ochrony cieplnej przegrody za pomocą współczynnika przenikania ciepła oraz określenie rozkładu temperatury w

f (−|x|) zastąpienie prawej części wykresu symetrycznym odbiciem w osi Oy jego lewej części 9.. Przesunięcie to jest złożeniem wziętych w dowolnej kolejności przesunięć

Wyznaczanie wspóáczynnika konsolidacji zarówno w kierunku pionowym, jak i po- ziomym powinno byü oparte nie tylko na analizie osiadania próbki w czasie, ale dodatko- wo na

[r]

Proszę udowodnić zasadę szufladkową Dirichleta: jeśli n elementów rozmieszczamy w m pudełkach to pewne pudełko zawiera co najwyżej bn/mc przedmiotów (i pewne pudełko zawiera

Jeśli sieć docelowa jest bezpośrednio przyłączona do tego routera, pakiet jest. przekazywany bezpośrednio