Zadanie 3.1 Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:

algebra liniowa

ekonometria i informatyka, 1 rok lista 3

Zadanie 3.1 Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:

(a) 1 + i, (b) −1 + i √

3, (c) − √

3 − i, (d) ( √

3 − i) ²⁰ , (e) p 2 + √

2 + i p 2 − √

2, (f)

 1+i 1+i √ 3

 2009

.

Zadanie 3.2 Wykonać działania stosując przedstawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

(a) ⁽¹⁺ⁱ⁾

(1+i √

3)

, (b) _1+i ³ⁱ , (c) 

1−i 1+i √ 3

 n

, (d) ²⁺²ⁱ _1−i , (e) ¹⁻

√

√ 3i

3+i , (f) _(1−i) ⁽¹⁺ⁱ⁾

dla n > 2.

Zadanie 3.3 Korzystając z własności liczb zespolonych wyrazić następujące funkcje za pomocą funkcji sin x i cos x:

(a) sin 4x, (b) cos 4x, (c) sin 5x, (d) cos 5x.

Zadanie 3.4 Wyznaczyć wszystkie wartości pierwiastków (wynik można podać w postaci trygonometrycznej):

(a) √

3 − 4i, (b) p

−1 + i √

3, (c) √

i, (d) √

8 − 8i, (e) p

−8 − 8 √

3i, (f) q

−1+i 1−i √ 3 , (g)

r 2 ⁽

√ 3−i)

(1+i)

, (h)

r

 1 2 + i

√ 3 2

 6

, (i) p(1 + i)

³ . Zadanie 3.5 (a) Wyznaczyć wszystkie wartości pierwiastka √

z wiedząc, że jedna z wartości tego pierwiastka jest znana i wynosi w.

(b) Wyznaczyć wszystkie wartości pierwiastków p(3 + 2i)

³ , p(5 − i)

¹² .

1