Obliczanie długości łuku krzywych

(1)

Obliczanie długości łuku

krzywych

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

DEFINICJA

Definicja 1: Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

Rozważmy krzywą zadaną parametrycznie w następujących sposób:

gdzie i są funkcjami ciągłymi w przedziale . Zdefiniujmy długość łuku krzywej . Podzielmy przedział na podprzedziałów wybierając punkty podziału ( ) tak, aby zachodziła zależność

Niech oraz . Zauważmy, że punkty ( ) wyznaczają łamaną , która przybliża krzywą w przedziale .

Rysunek 1: Krzywa zadana parametrycznie wraz z oznaczonymi na niej punktami odpowiadającymi punktom podziału przedziału

Długość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem

gdzie jest długością odcinka łączącego punkty i . Jeżeli istnieje granica

i jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału (czyli takich jego podziałów, że ), to mówimy, że krzywa jest krzywą prostowalnąkrzywą prostowalną w przedziale . Granicę tę nazywamy długością łukudługością łuku krzywej krzywej w przedziale

Γ

Γ = {(x, y) ∈

R

2

: x = φ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β]},

φ ψ

[α, β]

d

Γ

[α, β] n

t

k

k = 0, …, n

α = < < … < = β.

t

0

t

1

t

n

= −

Δ

k

t

k

t

k−1

δ

n

= max{

Δ

k

: k = 1, …, n}

P

k

= (φ( ), ψ( )) ∈ Γ

t

k

t

k

k = 1, …, n

Γ

n

Γ

[α, β]

[α, β]

=

|

|,

d

n

∑

k=1 n

P

k−1

P

k

|

P

k−1

P

k

|

P

k−1

P

k

(k = 1, …, n)

lim

n→∞

d

n

[α, β]

= 0

lim

n→∞

δ

n

Γ

[α, β]

Γ

[α, β].

(3)

(1)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o długości krzywej zadanej parametrycznie

o długości krzywej zadanej parametrycznie

Jeżeli jest krzywą prostowalną zadaną parametrycznie, a funkcje i są klasy , to długość krzywej wyraża się wzorem

DOWÓD DOWÓD

Na początku zauważmy, że dla każdego długość łamanej jest równa

Ponieważ funkcje i są klasy na przedziale , więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów

( ) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty i należące do przedziału , że

Stąd po przekształceniach otrzymujemy

gdzie oznacza długość przedziału . Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na , dostajemy

Teraz przechodząc z do granicy przy (i oczywiście pamiętając, że ), otrzymujemy

CND. CND.

Γ

φ : [α, β] → R ψ : [α, β] → R

C

1

Γ

d =

∫

dt.

α β

( (t) + ( (t)

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−−

−

√

n ∈ N

Γ

n

=

|

| =

.

d

n

∑

k=1 n

P

k−1

P

k

∑

k=1 n

(φ( ) − φ(

t

k

t

k−1

) + (ψ( ) − ψ(

)

2

t

k

t

k−1

)

2

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

φ ψ

C

1

_{[α, β]}

_[

_t

_k−1

_{, ]}

_t

_k

k = 1, …, n

ξ

k

ξ

_k∗

(

t

k−1

, )

t

k

= ( ) oraz

= ( ).

φ( )−φ(tk tk−1) − tk tk−1

φ

′

_ξ

_k ψ( )−ψ(tk tk−1) − tk tk−1

ψ

′

_ξ

∗ k

φ( ) − φ(

t

k

t

k−1

) = ( )( −

φ

′

ξ

k

t

k

t

k−1

) = ( ) ,

φ

′

ξ

k

Δ

k

ψ( ) − ψ(

t

k

t

k−1

) = ( )( −

ψ

′

ξ

k∗

t

k

t

k−1

) = ( ) ,

ψ

′

ξ

k∗

Δ

k

Δ

k

(

t

k−1

, )

t

k

d

n

=

.

d

n

∑

k=1 n

( ( )

φ

′

_ξ

_k

_Δ

_k

₎

2

+ ( ( )

_ψ

′

_ξ

∗ k

Δ

k

)

2

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

∑

k=1 n

( ( ) + ( ( )

φ

′

_ξ

_k

₎

2

_ψ

′

_ξ

∗ k

)

2

−

−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

Δ

k

d

n

n → ∞

_n→∞

lim

δ

n

= 0

d =

_n→∞

lim

∑

=

dt.

k=1 n

( ( ) + ( ( )

φ

′

_ξ

_k

₎

2

_ψ

′

_ξ

∗ k

)

2

−

−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

Δ

k

∫

α β

( (t) + ( (t)

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−−

−

√

(4)

Przykład 1:

Obliczymy długość krzywej zwanej asteroidąasteroidą , która jest zadana równaniami parametrycznymi

gdzie , natomiast jest ustaloną liczbą dodatnią.

Rysunek 2: Asteroida

Asteroida jest symetryczna względem obu osi układu współrzędnych, więc do obliczenia jej długości wystarczy wyznaczyć długość łuku leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zauważmy, że i są funkcjami klasy

, a ich pochodne wynoszą odpowiednio:

Obliczmy wartość wyrażenia dla każdego . Otóż

Korzystając ze wzoru ( 1 ) na długość krzywej, otrzymujemy

Wartości i są nieujemne dla każdego , zatem

Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej .

{ x = φ(t) :=

a

3

cos

3

t,

y = ψ(t) :=

a

3

_sin

3

t,

t ∈ [0, 2π]

a

x = φ(t) y = ψ(t)

C

1

(t)

φ

′

(t)

ψ

′

= −3

a

3

_cos

2

t sin t,

= 3

a

3

sin

2

t cos t.

(( (t) + ( (t) > 0

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

_{t ∈ (0, )}

π 2

( (t) + ( (t)

φ

′

)

2

_ψ

′

₎

2

_{= (−3}

_a

3

_cos

2

_{t sin t + (3}

₎

2

_a

3

_sin

2

_{t cos t}

₎

2

= 9

a

6

_cos

4

t

_sin

2

t + 9

_a

6

_sin

4

t

_cos

2

t

= 9

a

6

_cos

2

t

_sin

2

t(

_cos

2

t +

_sin

2

t)

= 9

a

6

_cos

2

t

_sin

2

t > 0.

d = 4

∫

dt = 4

dt = 4 3 | cos t|| sin t|dt.

0 π 2

( (t) + ( (t)

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−

−

√

∫

0 π 2

9 a

6

_cos

2

t

_sin

2

t

−

−−−−−−−−−−

−

√

∫

0 π 2

a

3

sin t cos t

t ∈ [0, ]

π 2

d = 12

a

3

_∫

cos tsin tdt = 6

sin 2tdt = 6 ⋅ (− cos 2t) = 3 ⋅ 2 = 6 .

0 π 2

a

3

_∫

0 π 2

a

3 1 2

∣∣

π 2 0

a

3

a

3

x

(5)

(2)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o długości krzywej będącej wykresem funkcji jednej zmiennej

o długości krzywej będącej wykresem funkcji jednej zmiennej

Długość łuku krzywej będącej wykresem funkcji , która jest klasy , wyraża się wzorem

DOWÓD DOWÓD Przyjmijmy, że

Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy

CND. CND.

d

f : [a, b] → R

C

1

d =

∫

dx.

a b

1 + ( (x)

f

′

₎

2

−

−−−−−−−−

−

√

x = φ(t) := t oraz y = ψ(t) := f(t) dla t ∈ [a, b].

d =

∫

dt =

dt.

a b

( (t) + ( (t)

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−−

−

√

∫

a b

1 + ( (t)

f

′

₎

2

−

−−−−−−−

−

√

(6)

(3)

Przykład 2:

Obliczmy długość linii łańcuchowej , gdzie

Rysunek 3: Linia łańcuchowa

Ponieważ pochodna funkcji wyraża się wzorem

więc wyrażenie podpierwiastkowe ma postać

Podstawiając to wyrażenie do wzoru ( 2 ), otrzymujemy długość krzywej

Dla krzywej zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: o długości krzywej zadanej w postaci biegunowej

o długości krzywej zadanej w postaci biegunowej

Jeżeli krzywa zadana jest w postaci biegunowej , gdzie jest funkcją klasy , a łuk krzywej nie ma punktów wielokrotnych, to długość tej krzywej wyraża się wzorem

DOWÓD DOWÓD

Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych:

f(x) = ( +

1

)

2

e

x

e

−x

x ∈ [−1, 1].

f

(x) = ( −

),

f

′ 1 2

e

x

e

−x

1 + ( (x) = 1 +

f

′

₎

2 ( −ex _e−x₎2

=

.

4 4+ −2+e 2x _e−2x 4 e +2+ 2x _e−2x 4 ( +e x _e−x₎2 4

d =

∫

dx =

= e −

.

−1 1

1 + ( (x)

f

′

₎

2

−

−−−−−−−−

−

√

∫

−1 1 _{( +}_ex _e−x₎2 4

−

−−−−−

−

√

_∫

−1 1 ₊ ex _e−x 2 e− x _e−x 2

∣∣

1 −1

e

−1

Γ

r = r(ϕ)

r : [α, β] → R

C

1

_Γ

d =

∫

dϕ.

α β

(r(ϕ) + ( (ϕ)

)

2

_r

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−

−

√

{ x = φ(ϕ) := r(ϕ) cos ϕ,

(7)

gdzie , a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( 1 ). Ponieważ pochodne funkcji i są postaci

dla , to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać

W konsekwencji CND. CND.

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Wyprowadzimy wzór na długość okręgu o promieniu . Równanie okręgu we współrzędnych biegunowych ma postać

Podstawiając i do wzoru ( 3 ) na długość krzywej, otrzymujemy znany wzór na długość okręgu

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:08:00

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=00edd5b85bc6ac68dfb7e15226a7927b