Zasady zachowania w mechanice

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-06

5. Zasady zachowania w mechanice

•

zasada zachowania energii,

•

zasada zachowania pędu,

•

zasada zachowania momentu pędu,

•

tarcie,

3

Energia całkowita E każdego układu odosobnionego (na który nie działają zewnętrzne pola siłowe), zawarta w wypełniających go masach i polach, we wszelkich jej postaciach, pozostaje stała w czasie.

E=E

+E

+U

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii (mechanicznej)

W układzie odosobnionym (takim na który nie działają zewnętrzne siły) energia mechaniczna E_M całego układu pozostaje stała

Cały świat opiera się na przemianach jednej formy energii w drugą. Energia:

• nie pojawia się nie wiadomo skąd, • nie ginie nie wiadomo gdzie.

4

Przykład – 1 – spadek swobodny

Dla pkt. A:

𝐸

= 0,

𝐸

= 𝑚𝑔ℎ

Suma energii kinetycznej i potencjalnej cząstki w polu sił

potencjalnych jest stała i nie zależy od punktu, w którym znajduje się cząstka

) ( ) ( ) ( ) (A P A K B P B K

E

E

E

E

+

=

+

𝑉 =

2𝑔ℎ

E=E

+E

=const

Dla pkt. B:

𝐸

=

𝑚𝑉

2

,

𝐸

= 0

0 + mgh =

𝑚𝑉

2

+ 0

Jaką prędkość osiągnie ciało o masie m przy swobodnym spadku z wysokości h

jeżeli można pominąć opory ruchu?

h

A

B



Zasada Galileusza – prędkość w spadku swobodnym nie zależy od masy a tylko od wysokości.

5

6 F_g F_g F_g F_od F_g F_od F_g F_od F_g F_od F_g F_od F_g Siła odśrodkowa F_od= 𝐦𝐕𝟐 𝐑 Siła grawitacji F_g= 𝐦𝐠

7 F_od v R E_PP = mgh E_KP = 0 E_PK = mg(2R) E_KK = mv2_/2

Wysokość startowa h musi być większa od 5/2 R

𝑚𝑔ℎ + 0 = 𝑚𝑔2𝑅 +𝑚𝑣 2 2 𝑔ℎ = 2𝑔𝑅 + 𝑣 2 2 𝑔 ℎ − 2𝑅 = 𝑣 2 2 𝑔 2ℎ − 4𝑅 = 𝑣2 𝑚𝑣2 𝑅 ≥ 𝑚𝑔 𝑣2 𝑅 ≥ 𝑔 𝑣2 ≥ 𝑔𝑅 𝑔 2ℎ − 4𝑅 ≥ 𝑔𝑅 2ℎ − 4𝑅 ≥ 𝑅 2ℎ ≥ 5𝑅 𝒉 ≥ 𝟓𝑹 F_g

8

Zasada zachowania pędu

Przypomnienie: II zasada dynamiki Newtona stwierdza, że zmiana

pędu ciała równa jest popędowi siły wywartemu na to ciało

_{𝑭𝑑𝑡 = 𝑑𝒑}

Rozważmy układ punktów materialnych, na które działają siły wewnętrzne F_w oraz siły zewnętrzne F_z – wówczas

𝑭 = ෍ 𝑭_𝑤 + ෍ 𝑭_𝑧

Z III zasady dynamiki wynika, że siły wewnętrzne występują parami, których składniki są równe co do wartości, lecz przeciwne co do kierunku. Stąd wniosek, że wypadkowa wszystkich sił wewnętrznych równa się zeru

෍ 𝑭_𝑤 = 0

Zatem przyrost pędu układu p może się dokonać tylko poprzez działanie na układ sił

zewnętrznych d𝒑

dt = ෍ 𝑭𝑧 = 𝑭

Jeżeli wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na rozważany układ równa się zeru to

Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego (na który nie działają siły zewnętrzne) pozostaje stała.

෍ 𝒑_𝑖 = const

Oddziaływanie wzajemne elementów układu siłami wewnętrznymi nie zmienia całkowitego pędu układu.

9

Przykład 3 – zderzenie niesprężyste

(zasada zachowania pędu + zasada zachowania energii)

Pocisk o masie m posiadający prędkość v_P uderza w przeszkodę o masie M. W wyniku uderzenia zagłębia się w przeszkodę i razem z nią porusza się z prędkością v_K. Należy obliczyć tą prędkość (v_K). Jest to zderzenie niesprężyste.

v_P m M M m v_K

𝒑

_𝑝

= 𝑚𝒗

_𝑝

𝑚𝑣

_𝑝

= 𝑚 + 𝑀 𝑣

_𝑘

𝒑

_𝑘

= (𝑚 + 𝑀)𝒗

_𝑘

10

Przykład 3 – zderzenie sprężyste

(zasada zachowania pędu + zasada zachowania energii)

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁𝑉₁ + 𝑚₂𝑉₂ ⇒ 𝑚₁(𝑣₁ − 𝑉₁) = 𝑚₂(𝑉₂ − 𝑣₂) 𝑚₁𝑣₁2 2 + 𝑚₂𝑣₂2 2 = 𝑚₁𝑉₁2 2 + 𝑚₂𝑉₂2 2 ⇒ 𝑚1(𝑣1 2 _{− 𝑉} 12) = 𝑚2(𝑉22 − 𝑣22) a) b) m1 v1 v2 m2 V1 m1 m2 V2 𝑉₁ = (𝑚1 − 𝑚2)𝑣1 + 2𝑚2𝑣2 𝑚₁ + 𝑚₂ oraz 𝑉2 = 2𝑚₁𝑣₁ + (𝑚₂ − 𝑚₁)𝑣₂ 𝑚₁ + 𝑚₂

Gdy m₁=m₂, wówczas następuje wymiana prędkości kul: V₁=v₂ i V₂=v₁.

Z zasady zachowania pędu

Z zasady zachowania energii (tutaj tylko kinetyczna)

11

Kula czerwona o masie m posiadająca prędkość v_1C uderza w kulę niebieską o masie m/2. W wyniku uderzenia kula niebieska zaczyna się poruszać z prędkością

v_2N i za nią porusza się (w tym samym kierunku) kula czerwona z prędkością v_2C. Obliczyć prędkości po zderzeniu: v_2C, v_2N

m m/2 v₁ C v₂ C v₂ N

Z zasady zachowania energii: 𝑚 𝑣1𝐶 2 2 = 𝑚 𝑣_2𝐶 2 2 + 1 2 𝑚 𝑣2𝑁 2 2 𝑚𝑣_1𝐶 = 𝑚𝑣_2𝐶 + 1 2𝑚𝑣2𝑁

Z zasady zachowania pędu:

Po podstawieniu z drugiego równania do

pierwszego za v_2C otrzymujemy: 𝑣1𝐶2 = 𝑣1𝐶 − 𝑣2𝑁 2 + 𝑣2𝑁2 𝑣_2𝑁 = 4 3𝑣1𝐶 𝑣2𝐶 = 1 3𝑣1𝐶 I ostatecznie

12

Zasada zachowania momentu pędu

Przypomnienie: Wielkości opisujące ruch obrotowy Moment siły M to iloczyn wektorowy () ramienia r

na którym działa siła i tej siły F:

𝑴 = 𝒓 × 𝑭

F

M

Moment pędu L to iloczyn wektorowy () ramienia r

i pędu p, który posiada ciało:

𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝑚𝒗

r p

L

Moment bezwładności (I) to (dla ciała dyskretnego) suma

iloczynów mas (m_i) i kwadratu odległości (r_i) i-tej masy od osi obrotu: m_i r_i

I = ෍

𝑚

𝒓

13

Jeżeli siła będzie skierowana wzdłuż promienia (albo do osi obrotu albo od osi obrotu) to na układ nie będzie działał moment siły!

𝑴 = 𝒓 × 𝑭

𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝑚𝒗

|𝑀| = 𝑟𝐹 sin ∢ 𝒓, 𝑭

Zmiana pędu na przeciwny powoduje, że moment pędu staje się skierowany w przeciwna stronę – zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego

14

W przypadku

bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

𝑑𝑳

𝑑𝑡

= 𝑴

W polu sił centralnych (L=const) ruch ciała jest ruchem płaskim przy czym prędkość polowa

dS/dt=const=L/2m.

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W układzie izolowanym, w którym występują pola i cząstki całkowity pęd, moment pędu i energia są zachowane.

𝑴 = 𝒓 × 𝑭

𝑴 = 0 gdy 𝒓 ||𝑭

15

Przykład 5 - Zastosowanie zasady zachowania

momentu pędu - I

Człowiek obraca się na krześle.

Przyciągając do siebie ciężarki zmniejsza moment bezwładności układu (I_i > I_f)

(krzesło+człowiek+ciężarki).

Na układ nie działają momenty sił zewnętrzne. Wobec stałości iloczynu:

𝐼𝝎 = 𝑳 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

gdy maleje I to musi proporcjonalnie wzrosnąć  (_f > _i).

16

Człowiek siedzi na krześle obrotowym trzyma jednocześnie koło obracające się (oś obrotu pionowa) z prędkością kątową _wh. Koło to ma moment pędu (L_wh) skierowany ku górze. Człowiek obraca koła tak aby jego moment pędu był skierowany w dół (- L_wh).

Wówczas sam na krześle obrotowym zaczyna się obracać w uzyskując moment pędu L_b takiej wartości aby wypadkowy moment pędu był taki sam (czyli skierowany do góry) jak to było przed początkiem ruchu.

+ =

Przykład 6 - Zastosowanie zasady zachowania momentu

pędu - II

17

Tarcie

▪

Tarcie jest oporem ruchu.

▪

Działa zawsze przeciwnie do

ruchu

▪

Zależy od nacisku i rodzaju

powierzchni

𝑓 =

𝑻

𝑵

⇒ 𝑻 = 𝑓𝑵

18

Przykład z tarciem

Dany jest układ jak na rysunku. Interesuje

19

m

m

m

Znamy wszystkie trzy masy: m₁, m₂, m₃. Linki łączące masy nie mają masy i są

20

m

m

m

m

g

m

g

m

g

21

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

Na linki łączące działają z jednej i drugiej strony takie same naciągi tych linek (bloczki bezwładne).

22

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

Dochodzi tarcie, które istnieje pomiędzy podłożem i ciałem m₃ oraz ciałami m₂ i m₃.

23

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

Tarcie wynika z sił nacisków i ze współczynników tarcia f:

ቊ

𝑻

= 𝑚

𝒈𝑓

24

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

a

Równania ruchu dla wszystkich trzech mas mają postać:

ቐ

𝑚

𝒈 − 𝑵

= 𝑚

𝒂

𝑵

− 𝑵

− 𝑻

= 𝑚

𝒂

25

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

a

𝑚

𝒈 − 𝑵

+ 𝑵

− 𝑵

− 𝑻

+ 𝑵

− 𝑻

− 𝑻

=

= 𝑚

𝒂

+ 𝑚

𝒂

+ 𝑚

𝒂

26

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

a

Po wyeliminowaniu sił N₁ i N₂ otrzymujemy:

𝑚

𝒈 − 𝑻

− 𝑻

− 𝑻

=

= 𝑚

+ 𝑚

+ 𝑚

𝒂

27

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

a

𝑚

𝒈 − 𝑚

𝒈𝑓 − 𝑚

+ 𝑚

𝒈𝑓 =

= 𝑚

+ 𝑚

+ 𝑚

𝒂

28

m

m

m

m

g

m

g

m

g

N

N

N

N

T

T

T

f

f

a

Otrzymujemy ostateczny wzór na przyspieszenie a układu:

𝒂

=

𝑚

− 2𝑚

+𝑚

𝑓

29

Rola zasad zachowania w mechanice

Przez symetrię będziemy rozumieć taką operację (przekształcenie), po wykonaniu, której, cechy obiektu jej poddanej nie ulegają zmianie

Podstawowe operacje symetrii to translacje (przesunięcia), obroty i odbicia zwierciadlane

Symetria przestrzeni względem translacji, oznacza, że żaden punkt przestrzeni nie jest wyróżniony - niezależnie od tego czy rozpatrujemy przebieg zjawiska fizycznego na odległej planecie, czy na Ziemi. Tę własność symetrii przestrzeni i czasu nazywamy ich jednorodnością.

Symetria przestrzeni względem obrotów odpowiada równoważności wszystkich kierunków w przestrzeni - mówimy, że przestrzeń jest izotropowa.

Jeżeli spełniona jest niezmienniczość praw fizyki względem pewnej transformacji, to poddając tej transformacji układ współrzędnych otrzymamy taki sam opis zjawisk.

Zasada zachowania pędu wynika z jednorodności przestrzeni Zasada zachowania energii wynika z jednorodności czasu

Zasada zachowania momentu pędu wynika z izotropii przestrzeni