Mechanika ruchu ciała sztywnego Na chwilę zapominając o zderzeniach wyprowadzimy równania ruchu płaskiego dla tego ciała. Działają na nie następujące siły:

(1)

Mechanika ruchu ciała sztywnego

Na chwilę zapominając o zderzeniach wyprowadzimy równania ruchu płaskiego dla tego ciała. Działają na nie następujące siły:

• Siła tłumiąca (oporu)

• Siła czynna

• Siła, która może pojawić się w wyniku odbicia się od przeszkody

Dla każdego ciała w ruchu płaskim są trzy zmienne opisujące położenie:

• x = współrzędna x-owa środka masy

• y = współrzędna y-kowa środka masy

• θ = kąt obrotu wokół środka masy

Ponadto dla każdego ciała określa się prędkości odpowiadające tym zmiennym:

• x' = v_x

• y' = vy

• θ' = ω = prędkość kątowa

Równania ruchu tego ciała zawierają całkowitą siłę F = (F_x, F_y) i moment τ działający na to ciało:

Fx = m x'' F_y = m y'' τ = I θ''

gdzie m = masa and I = moment bezwładności względem środka masy. Wektory oznaczamy pogrubieniem.

Siła czynna

Zbudujemy teraz równania rychu dodając po jednej sile na raz, zaczynając od siły czynnej. Niech T = [T_x, T_y] będzie wektorem siły czynnej, który działa w punkcie P ciała. Siła ta powoduje przyspieszenie ciała zgodnie z II prawem Newtona:

m x'' = Tx

m y'' = Ty

(2)

W tych równaniach nie ma znaczenia gdzie na ciele siła jest przyłożona. Punkt P może być gdziekolwiek, ponieważ ciało jest sztywne – I dlatego siła powoduje przyspieszanie całego ciała. Z drugiej strony dla ruchu obrotowego jest bardzo ważne gdzie ta siła jest przyłożona.

Moment bezwładności jest dla ruchu obrotowego ekwiwalentem masy. Mierzy, jak trudno jest obracać ciało wokół danego punktu. Ponieważ nasz prostokąt obraca się swobodnie wokół środka masy przyjmiemy środek za punkt, względem którego będziemy obliczać moment bezwładności. Dla cienkiej prostokątnej płyty oblicza się go ze wzoru

I = m (długość² + wysokość²) ⁄ 12

Niech R = (R_x, R_y) będzie wektorem opisującym odległość od środka masy do P.

Moment obrotowy w punkcie P jest opisany iloczynem wektorowym R × T = R_x T_y − R_y T_x

skąd mamy

I θ'' = R × T

Faktycznie moment obrotowy jest wektorem, ale ponieważ pracujemy w 2 wymiarach to wiemy, że moment obrotowy jest zawsze prostopadły do płaszczyzny, tak że wykorzystujemy tylko jego trzecią współrzędną . Tak więc mamy tylko równanie dla trzeciej współrzędnej, bo

[R_x, R_y, 0] × [T_x, T_y, 0] = [0, 0, R_x T_y − R_y T_x] Ogólnie iloczyn wektorowy definiuje się jako:

[x, y, z] × [u, v, w] = [y w − z v, −x w + z u, x v − y u]

Siła, która może pojawić się w wyniku odbicia się od przeszkody

Przeszkoda działa wzdłuż wektora od punktu P do miejsca styku a przeszkodą;

nazwiemy ten wektor L. Siłą odbicia to B = (B_x, B_y) = s L gdzie s stałą odbicia. Działanie tej siły jest identyczne jak siły czynnej, więc dodajemy ją do równań tak: .

m x'' = Tx + Bx

m y'' = T_y + B_y I θ'' = R×T + R×B

Siła tłumiąca

Tłumienie (opór, tarcie) powoduje siłę przeciwną do kierunku ruchu. Im szybciej jedziesz, tym większy opór ruchu. Tak więc wielkość siły tłumienia jest

(3)

proporcjonalna do prędkości. Niech k będzie stałą proporcjonalnego tłumienia.

Dodając to do naszych równań ruchu daje

m x'' = Tx + Bx − k x' (1) m y'' = T_y + B_y − k y' (2) I θ'' = R×T + R×B − k θ' (3) W symulacji bardziej realistycznej mogą być różne współczynniki tłumienie dla ruchu obrotowego w porównaniu z ruchem postępowym. Ale tutaj używamy tych samych stałych.

Równania (1-3) są równania ruchu dla jednego naszego prostokątnego ciała.

Dopóki nie pojawi się zderzenie, równania te funkcjonują bez zarzutu. Oto podsumowanie niektórych zmiennych:

• m = masa

• k = stała tłumienia

• T = wektor siły czynnej

• B = wektor siły, która może pojawić się w wyniku odbicia się od przeszkody

• R = wektor od środka masy do punktu P, gdzie działa siła czynna

Jak obliczyć energię i pęd

Wyjaśnimy tu jak obliczana jest energia i pęd obiektów. Jeśli nie ma utraty energii mechanicznej na tarcie (tłumienie = 0) albo podczas zderzenia (zderzenia sa często sprężyste, co oznacza współczynnik restytucji = 1) wtedy energia mechaniczna układu się nie zmieni.

Zderzenie dwóch obiektów nie powinno zmienić momentu pędu. Jednakże zderzenie ze ścianą zmieni moment pędu. ponieważ ściana nie jest brana jako masa podczas obliczeń dotyczących pędu obiektów.

Energia kinetyczna ruchu postępowego jest równa m v²/2 gdzie v jest wektorem prędkości środka masy obiektu. Kwadrat prędkości obliczamy mnożąc skalarnie wektor prędkości przez siebie.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa I ω²/2 gdzie I jest momentem bezwładności, a ω jest prędkością kątową.

(4)

Pęd w kierunku x-owym jest równy m v_x, a w kierunku y-kowym m v_y.

Moment pędu (kręt) jeata mierzony względem określonego punktu w przestrzeni, np. początku układu współrzędnych. Jest określony wzorem:

I ω k + r × m v

gdzie r jest wektorem opisującym odległość od początku układu do środka masy obiektu. k jest wektorem jednostkowym (wersorem) osi 0z , prostopadłej do płaszczyzny 0xy. Kręt ma dwie składowe: składnik związany z wirowaniem

I ω k

i składnik związany z obrotem wokół początku układu, określony poprzez iloczyn wektorowy

r × m v.

Mechanika zderzenia dwóch ciał w 2D

Załóżmy, że wierzchołek ciała A uderza w brzeg ciała B w punkcie P.

Zdefiniujemy następujące zmienne

• ma, mb = masy ciał A i B

• r_ap = wektor od środka masy ciała A do punktu P

• r_bp = wektor od środka masy ciała B do punktu P

• ωa1, ωb1 = prędkości kątowe przed zderzeniem ciał A i B

• ω_a2, ω_b2 = prędkości kątowe po zderzeniem ciał A i B

• v_a1, v_b1 = prędkości środków mas przed zderzeniem ciał A i B

• va2, vb2 = prędkości środków mas po zderzeniem ciał A i B

• v_ap1 = prędkość przed zderzeniem punktu zderzenia w ciele A

• v_bp1 = prędkość przed zderzeniem punktu zderzenia w ciele B

(5)

• n = wektor normalny do brzegu ciała B

• t = wektor styczny do brzegu ciała B

• e = współczynnik restytucji (0 = zderzenie plastyczne, 1 = zderzenie sprężyste)

Wykorzystamy teraz standardowy wzór na prędkość dowolnego punktu ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim (złożenie ruchu postępowego I obrotowego), tu - punktu P. Najpierw prędkość przed zderzeniem:

vap1 = va1 + ωa1 × rap vbp1 = vb1 + ωb1 × rbp

Prędkości po zderzeniu, v_ap2 i v_bp2 :

vap2 = va2 + ωa2 × rap v_bp2 = v_b2 + ω_b2 × r_bp

Prędkość kątowa ma kierunek osi 0z, więc iloczyn wektorowy liczymy następująco:

ω × r = [0, 0, ω] × [rx, ry, 0] = [−ω ry, ω rx, 0]

Teraz znajdziemy prędkość z którą zderzają sie punkty obu ciał. Nazywamy ją prędkością względną. Niech v_ab1 będzie prędkością względną przed zderzeniem, a v_ab2 - . prędkością względną po zderzeniu. Definiujemy prędkości względne następująco:

vab1 = vap1 − vbp1

vab2 = vap2 − vbp2

Korzystając z podanych powyżej wzorów możemy napisać

v_ab1 = v_a1 + ω_a1 × r_ap − v_b1 − ω_b1 × r_bp (4)

v_ab2 = v_a2 + ω_a2 × r_ap − v_b2 − ω_b2 × rbp (5)

Zauważmy, że przed mającym nastąpić zderzeniem względne normalne prędkości muszą być przeciwne (czyli obiekty muszą zbliżać się do siebie).

Niech e – współczynnik restytucji. ponieważ może wystąpić odbicie w kierunku normalnej i w kierunku stycznej (bo są prędkości normalne i styczne), to rozróżnimy dwa współczynniki restytucji:

(6)

e_n – normalny współczynnik restytucji i

et – styczny współczynnik restytucji (współczynnik poślizgu).

Przyjmiemy ważne założenie w postaci następującego związków:

vab2 · n = −en vab1 · n (6a) v_ab2 · t = −e_t v_ab1 · t (6b)

Równania opisujące zderzenie

Aby rozwiązać problem zderzenia, wprowadzamy pojęcie impulsu siły Π (popędu). Popęd jest zmianą momentu pędu obiektu gdy duża siła działa przez krótki okres czasu. Gdy się zcałkuje tę siłę po tym czasie, otrzymamy impuls siły, czyli popęd:

=^t

∫

^ε dt

0

W Π

Dlaczego używamy konceptu impulse siły, a nie znanego konceptu wiążącego siłę z przyspieszeniem F = m a ? Odpowiedź jest taka, że nie wiemy, jakie siły działają podczas zderzenia, gdyż wiąże się to z oddziaływaniami wewnątrz materiału tych ciał.

Szczęśliwie możemy założyć, że zderzenie odbywa się na tyle szybko, że położenie I orientacja ciał podczas zderzenia sie nie zmienia. Zmieniają się tylko prędkości. Jako że zmiana prędkości oznacza zmianę pędu, mamy koncepcję impulsu siły.

Popęd jest wektorem, bo siła jest wektorem. Okazuje się, ze najwygodniejszym początkiem układu współrzędnych jest punkt zderzenia, a kierunkami osi – kierunki styczny (jako oś 0x) i normalny (jako oś 0y). Trzeba zatem zrzutować popęd na te osie i napisać równania pędu i popędu, które wynikają z zaistnienia zderzenia:

m_a(v_a2 - v_a1) = Π mb(vb2 – vb1) = –Π

Po zrzutowaniu na kierunki t i n (styczny i normalny), to znaczy po przemnożeniu onu równańskalarnie przez t i n, otrzymamy równania następujące:

m_a(v_an2 - v_an1) = Πn

(7)

m_a(v_at2 - v_at1) = Πt

(7) m_b(v_bn2 – v_bn1) = –Πn

mb(vbt2 – vbt1) = –Πt

Współrzędne środków mas obu ciał, A i B, w układzie t i n oznaczymy jako (x_a, y_a) oraz (x_b, y_b). Z równań (7) po wyeliminowaniu impulsu siły wynikają następujące dwa równania:

m_a(v_an2 - v_an1) + m_b(v_bn2 – v_bn1) = 0 (8a) m_a(v_at2 - v_at1) + m_b(v_bt2 – v_bt1) = 0 (8b)

Zmiany będą także dotyczyły krętu, gdyż pęd umieszcza się w środku masy ciała, a więc powstanie w każdym ciele moment utworzony przez impuls siły na ramieniu równym wektorowi opisującemu odległość od początku układu współrzędnych do środka masy ciała:

Ia (ωa2 - ωa1) k = r x Π I_b (ω_b2 - ω_b1) k = − r x Π

lub w zapisie na osi prostopadłej do płaszczyzny 0xy (rozpiętej na wektorach t i n) (tutaj wektor r_ap = [−x_a , −y_a , 0] oraz r_bp = [−x_b , −y_b , 0] z uwagi na to, że są to wektory zaczepione w środku masy o końcach w początku układu współrzędnych czyli w punkcie zderzenia:

Ia (ωan2 - ωan1) = −xa Πny + ya Πtx

Ib (ωbt2 - ωbt1) = xb Πny − yb Πtx

Po wyeliminowaniu impulsu siły przy wykorzystaniu równań pędu (7) wynikają stąd równania

Ia (ωan2 - ωan1) + xa ma(van2 - van1) - ya ma(vat2 - vat1) = 0 (9a) I_b (ω_bn2 - ω_bn1) + x_b m_b(v_bn2 - v_bn1) - y_b m_b(v_bt2 - v_bt1) = 0 (9b)

Normalny współczynnik restytucji en i styczny współczynnik restytucji et , określające związki pomiędzy prędkościami normalnymi i stycznymi przed i po zderzeniu, dają następujące dodatkowe związki

(8)

vab2 · n = −en vab1 · n (6a) v_ab2 · t = −e_t v_ab1 · t (6b) które wobec związków

vab1 = va1 + ωa1 × rap − vb1 − ωb1 × rbp (4)

v_ab2 = v_a2 + ω_a2 × r_ap − v_b2 − ω_b2 × rbp (5)

przyjmują postać

v_an2 − x_aω_a2 − v_bn2 + x_bω_b2= −e_n (v_an1 − x_a ω_a1 − v_b1 + x_bω_b1) (10a) vat2 + yaωa2 − vbt2 − ybωb2 = −et (vat1 + ya ωa1 − vb1 − ybωb1) (10b) Równania (8), (9) i (10) można zapisać w zwartej postaci macierzowej:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= −

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2

0 0

0

0 0

0

0 0

1 0

0 1

0 0

0

0 0

0

0 0

b bt bn a at an

t b t

t a t

n b n

n a n

b b

b a

a a a

a

b a

b bt bn a at an

b a

b b

b a

a a a

a

b a

v v v v

e y e

e x e

I m

y m

x I

m y m

x

m m

v v v v

y y

x x

I m

y m

x I

m y m

x

m m

ω ω ω

ω

(11)

lub

M₂V₂ = M₁V₁

gdzie postacie macierzy M i V wynikają ze wzoru (11). Przedstawiony model jest bardzo wygodny przy rekonstrukcji danych przerd zderzeniem, gdy łatwo jest oszaacować dane po zdarzeniu. Wówczas

V₁ = M₁^-1 M₂V₂