9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW
Trapez
b w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a , b – podstawy trapezu c h d c, d - ramiona trapezu α β h – wysokość trapezu a
α
+
δ
=
180
°
β
+
γ
=
180
°
`Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i
wyraŜa się wzorem
2
b
a
x
=
+
a a Wzór na pole trapezu :P
=
(
a
+
b
)
⋅
h
2
1
h bTrapez równoramienny
bβ β - kąty wewnętrzne trapezu równoramiennego przy tej samej c c podstawie są równe,
α α - przekątne trapezu równoramiennego są równe i dzielą się e e samym stosunku, - wzór na e w trapezie równoramiennym:
2
b
a
e
=
−
Trapez prostokątny
- wzór na e w trapezie prostokątnym :e
=
a
−
b
b h h c·
e a
b
x
a
Przykład 9.5.1. Ramiona trapezu mają długości 4 i 8 , a obwód trapezu jest równy 30.
Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
8
=
c
x
2
b
a
x
=
+
4
=
d
Ob
=
a
+
b
+
c
+
d
30
=
Ob
Analiza zadania.d
c
b
a
Ob
=
+
+
+
18
12
30
4
8
30
=
+
+
+
=
+
+
+
=
b
a
b
a
b
a
Wykorzystując obwód, obliczamy sumę podstaw.9
2
18
2
=
=
+
=
a
b
x
Obliczamy x ze wzoru:2
b
a
x
=
+
Przykład 9.5.2. DłuŜsza podstawa trapezu równoramiennego ma 16, ramię 6,
a kąt ostry
60 . Oblicz pole trapezu.
°
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
16
=
a
P
P
=
(
a
+
b
)
⋅
h
2
1
°
=
=
60
6
α
c
Analiza zadania.c
h
=
α
sin
3
3
2
:
/
3
6
2
6
2
3
6
60
sin
=
=
=
=
°
h
h
h
h
Obliczmy h korzystając ze wzoru:
stokatna
przeciwpro
naprzeciw
katna
przyprosto
α
α
_
_
sin
=
3
2
:
/
6
2
6
2
1
6
60
cos
cos
=
=
=
=
°
=
e
e
e
e
c
e
α
Obliczmy e korzystając ze wzoru:stokatna
przeciwpro
y_α
katna_ prz
przyprosto
cosα
=
10
6
16
16
6
2
/
2
16
3
=
−
=
−
=
⋅
−
=
b
b
b
b
Obliczamy b wykorzystując wzór:2
b
a
e
=
−
(
)
(
16
10
)
3
3
39
3
2
1
2
1
=
⋅
+
=
⋅
+
=
a
b
h
Równoległobok
a
β α - w równoległoboku przeciwległe boki są równe b b i równoległe,
- w równoległoboku przeciwległe kąty są równe, α β - w równoległoboku
α
+
β
=
180
°
a - w równoległoboku przekątne przecinają się w połowie
Wzory na pole równoległoboku:
h
P
=
a
⋅
h
a bP
=
a
⋅
b
⋅
sin
α
α aPrzykład 9.5.3. Krótsza przekątna równoległoboku wynosi
2
7
i tworzy z krótszym bokiem
kąt prosty. Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3 : 4 .
Oblicz pole i obwód równoległoboku.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
7
2
=
d
P,
Ob
P
=
⋅
b
⋅
d
2
1
2
4
3
=
a
b
Ob
=
2
a
+
2
b
°
=
90
α
Analiza zadania.
Pole równoległoboku moŜemy obliczyć wykorzystując fakt, Ŝe jest on zbudowany z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. 2 2 2 2 2
28
a
b
a
d
b
=
+
=
+
Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa8
64
16
7
:
/
28
16
7
28
16
9
28
4
3
4
3
28
4
3
2 2 2 2 2 2 2 2=
=
−
−
=
−
−
=
−
=
+
=
=
+
=
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
6
8
4
3
⋅
=
=
b
Budujemy układ równań z niewiadomymi a i b, .który rozwiązujemy metodą
podstawiania.
48
8
6
2
1
2
⋅
⋅
=
⋅
=
=
b
d
P
Obliczamy pole równoległoboku.28
6
2
8
2
2
2
+
=
⋅
+
⋅
=
=
a
b
Ob
Obliczamy obwód równoległoboku.Romb
a
β α - w rombie wszystkie boki są równe, a a - w rombie przeciwległe kąty są równe, - w rombie
α
+
β
=
180
°
α βa
Przekątne w rombie: - dzielą się na połowę,
· · - przecina ją się pod kątem prostym, 2 2 1 d 1 2 1
d - dzielą kąty wewnętrzne na połowę α 2 1 β 2 1
Okrąg wpisany w romb:
- środek okręgu wpisanego w romb jest punktem przecięcia przekątnych rombu
r - wzór na promień okręgu wpisanego w romb
r
h
2
1
Wzory na pole rombu
hP
=
a
⋅
h
a aP
=
a
2⋅
sin
α
α ad
1 1 22
1
d
d
P
=
⋅
2d
Przykład 9.5.4. Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuŜsza od drugiej.
Wyznacz stosunek obwodu rombu do sumy jego przekątnych.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
1 22d
d
=
2 1
d
d
Ob
+
Ob
=
4
a
Analiza zadania. 2 2 2 2 12
1
2
1
a
d
d
=
+
2 2 1 2 1 2 2 1 2 14
1
2
2
1
4
1
a
d
d
a
d
d
=
+
=
⋅
+
Przekątne w rombie są prostopadłe, zatem
°
=
90
α
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa i wykonując odpowiednie podstawienie układamy równanie z niewiadomą 1
d
.1 2 2 1
2
5
4
5
d
a
a
d
=
=
3
5
2
3
2
5
4
2
4
1 1 1 1 2 1=
⋅
=
+
=
+
d
d
d
d
a
d
d
Ob
Obliczamy stosunek obwodu rombu do sumy jego przekątnych.
Przykład 9.5.5. Oblicz pole rombu wiedząc, Ŝe krótsza przekątna ma długość 6
i kąt ostry rombu ma miarę
60
°
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
6
1=
d
P
1 22
1
d
d
P
=
⋅
°
=
60
α
Analiza zadania.Przekątne w rombie są prostopadłe, zatem trójkąt ABF jest prostokątny.
Z własności rombu wynika równieŜ:
°
=
=
30
2
1
α
β
12
1
d
BF
=
22
1
d
AF
=
2 12
1
2
1
d
d
tg
β
=
2 130
d
d
tg
°
=
Obliczamyd
2 wykorzystując wzór:α
α
α
_
_
_
_
przy
katna
przyprosto
naprzeciw
katna
przyprosto
tg
=
3
6
3
:
/
3
18
3
3
/
18
3
6
3
3
2 2 2 2=
=
⋅
=
=
d
d
d
d
3
18
3
6
6
2
1
2
1
2 1⋅
=
⋅
⋅
=
=
d
d
P
Obliczamy pole rombu.Prostokąt
b
- przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy
a a
- wzór na pole prostokąta
:
P
=
a
⋅
b
bOkrąg opisany na prostokącie:
R - środkiem okręgu opisanego na prostokącie jest punkt
przecięcia przekątnych prostokąta
- wzór na promień okręgu opisanego na prostokącie
R
d
2
1
=
d – przekątna prostokątaPrzykład 9.5.6. Prostokąt wpisany jest w okrąg o promieniu 20, stosunek długości jego boków
jest równy 3 : 4 . Oblicz pole tego prostokąta.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
20
=
R
P
P
=
a
⋅
b
4
3
=
a
b
Analiza zadania.( )
1600
2
2 2 2 2 2=
+
=
+
b
a
R
b
a
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa dlatego trójkąta zapisujemy równanie z niewiadomymi a i b
=
+
=
1600
4
3
2
2
b
a
a
b
=
+
=
1600
4
3
2 2b
a
a
b
1600
16
25
1600
16
9
1600
4
3
2 2 2 2 2=
=
+
=
+
a
a
a
a
a
32
1024
2=
=
a
a
24
32
4
3
4
3
=
⋅
=
=
a
b
Zapisujemy układ równań z niewiadomymi
a i b, który rozwiązujemy metodą
podstawiania.
768
24
32
⋅
=
=
⋅
=
a
b
P
Obliczmy pole prostokąta.Kwadrat
a- przekątne kwadratu są równe, przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy
a
d - wzór na przekątną kwadratu:
d
=
a
2
- wzór na pole kwadratu:
P
=
a
2Okrąg wpisany w kwadrat i okrąg opisany na kwadracie
- punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem okręgu
wpisanego w kwadrat i środkiem okręgu opisanego na
kwadracie.
- wzór na promień okręgu wpisanego w kwadrat :
a
r
2
1
=
- wzór na promień okręgu opisanego na kwadracie:
R
d
2
1
=
R rPrzykład 9.5.7. RóŜnica między długością przekątnej i długością boku kwadratu wynosi 2 cm
Oblicz pole i obwód kwadratu
Rozwiązanie
Komentarz
Dane : Szukane: Wzory:
2
=
−
a
d
P,
Ob
P
=
a
22
4
a
d
a
Ob
=
=
Analiza zadania.2
=
−
a
d
(
2
1
)
2
/
:
(
2
1
)
2
2
−
=
−
=
−
a
a
a
(
2 1)
/1
2
2
+ ⋅−
=
a
2
2
2
1
2
2
2
2
+
=
−
+
=
a
Układamy i rozwiązujemy równanie z niewiadomą a.
Usuwamy niewymierność z mianownika
(
) ( )
2
8
12
4
2
8
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2+
=
+
+
=
=
+
⋅
⋅
+
=
+
=
=
a
P
Obliczamy pole kwadratu.Do wykonania działania
(
2
2
+
2
)
2 wykorzystujemy wzór skróconego mnoŜenia :(
a
+
b
)
2=
a
2+
2
ab
+
b
2(
2
2
2
)
8
2
8
4
4
=
+
=
+
=
a
Ob
Obliczamy obwód kwadratu.Przykład 9.5.8. Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na kwadracie do promienia
okręgu wpisanego w kwadrat.
Rozwiązanie
Komentarz
Szukane: Wzory:
r
R
R
d
2
1
=
a
r
a
d
2
1
2
=
=
Analiza zadania.2
2
2
1
2
1
=
=
=
=
a
a
a
d
a
d
r
R
Obliczamy stosunek promienia okręgu opisanego na kwadracie do promienia okręgu wpisanego w kwadrat
Ć
WICZENIA
Ć
wiczenie 9.5.1. (3pkt ) W trapezie prostokątnym wysokość
h
=
8
cm
,a kąt ostry
α
=
45
°
.
Oblicz obwód trapezu wiedząc, Ŝe krótsza podstawa
b 10
=
cm
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości ramienia nieprostopadłego do podstaw.
1
2 Podanie długości dłuŜszej podstawy trapezu.
1
3 Podanie obwodu trapezu.
1
Ć
wiczenie 9.5.2. (3pkt ) Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, w którym podstawy
mają długości
16
cm
i cm
6
oraz ramię ma
5
2
cm
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wysokości trapezu.
1
2 Podanie pola trapezu
1
3 Podanie obwodu trapezu.
1
Ć
wiczenie 9.5.3. (3pkt ) Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku o bokach
3
2
cm
I cm
5
, jeŜeli kąt ostry ma miarę
45 .
°
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wysokości równoległoboku opuszczonej nadłuŜszy bok.
1
2 Podanie długości odcinków , na które wysokość dzieli
dłuŜszy bok.
1
3 Podanie długości krótszej przekątnej równoległoboku.
1
Ć
wiczenie 9.5.4. (3pkt ) Oblicz pole i obwód rombu wiedząc, Ŝe promień okręgu wpisanego
w ten romb wynosi
4
cm
i kąt ostry tego rombu
30
°
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wysokości rombu.
1
2 Podanie długości boku rombu.
1
Ć
wiczenie 9.5.5. (2pkt ) Oblicz długości przekątnych rombu o kącie ostrym
60 i boku
°
10 cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krótszej przekątnej.
1
2 Podanie długości dłuŜszej przekątnej.
1
Ć
wiczenie 9.5.6. (3pkt ) Oblicz pole i obwód prostokąta wiedząc, Ŝe jego przekątna ma
długość 5 cm , a jeden z boków jest dwa razy większy od drugiego.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości boków prostokąta.
1
2 Podanie pola prostokąta.
1
3 Podanie obwodu prostokąta.
1
Ć
wiczenie 9.5.7. (3pkt ) Oblicz pole i obwód kwadratu wiedząc, Ŝe promień okręgu
opisanego na tym kwadracie wynosi
4
2
cm
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości boku kwadratu.
1
2 Podanie pola kwadratu.
