Ruch falowy.

Pełen tekst

(1)Ruch falowy. 14.. 14-1. Ruch falowy. Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkształcenia) w ośrodku sprężystym. Wielkość zaburzenia ψ jest, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu. ψ = ψ (t ) Zaburzenie rozchodzi się w przestrzeni z określoną prędkością nazywaną prędkością fali. Zatem wielkość zaburzenia jest również funkcją położenia. ψ = ψ ( r!, t ) . ! ! Dla danego miejsca r0 funkcja ψ ( r0 , t ) przedstawia zależność. zaburzenia od czasu lub inaczej drgania ośrodka w tym miejscu. Dla ! danej chwili t0 funkcja ψ ( r , t0 ) przedstawia przestrzenny rozkład zaburzenia – migawkowe zdjęcie stanu ośrodka.. Weźmy pod uwagę falę, która w jednowymiarowym ośrodku rozchodzi się wzdłuż osi Ox z prędkością v. ψ = ψ ( x, t ) . Zmieniamy układ na poruszający się z tą samą prędkością co zaburzenie. W nowym układzie zaburzenie jest stacjonarne, nie zależy od czasu:. ψ = ψ (x ' ) ..

(2) Ruch falowy. 14-2. Transformacja Galileusza daje związek między współrzędnymi w obu układach. x' = x − v ⋅ t . Wracając do układu wyjściowego (w którym zaburzenie rozchodzi się) otrzymujemy. ψ =ψ ( x − v ⋅ t) . Jest to w dalszym ciągu funkcja położenia i czasu, tyle, że nie dowolna, ale zależna od ich specjalnej kombinacji. Funkcję ψ = ψ ( x − v ⋅ t ) nazywa się (jednowymiarową) funkcją falową.. W przypadku wielowymiarowym funkcja falowa ma postać. ! ! ψ = ψ (r − v ⋅ t ). Otrzymamy teraz równanie różniczkowe ruchu falowego.. ∂ψ ∂ψ ∂x' ∂ψ = ⋅ = ∂x ∂x ' ∂x ∂x'. ∂x ' =1 ∂x. ∂ψ ∂ψ ∂x' ∂ψ = ⋅ = −v ∂t ∂x ' ∂t ∂x '. ∂x ' = −v ∂t. ∂x'  ∂x   pochodne  wewnętrzne ∂x'   ∂t . ∂ψ ∂ψ (a dla ruchu w przeciwnym kierunku wystarczy = −v ∂t ∂x zmienić znak v). Czyli. Powtórne różniczkowanie daje 2 ∂ 2ψ 2 ∂ ψ =v ∂t 2 ∂x 2. albo po przekształceniu otrzymujemy ostatecznie równanie różniczkowe ruchu falowego.. ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = ⋅ ∂x 2 v 2 ∂t 2.

(3) Ruch falowy. 14-3. Ze względu na sposób jego otrzymania, każda funkcja typu ψ = ψ ( x ± v ⋅ t ) spełnia to równanie. Można się przekonać, że rozwiązania różniczkowego równania ruchu falowego spełniają zasadę superpozycji, tzn., jeżeli ψ 1 = ψ 1 ( x ± v ⋅ t ) i ψ 2 = ψ 2 ( x ± v ⋅ t ) są funkcjami falowymi spełniającymi równanie ruchu falowego. ∂ 2ψ 1 1 ∂ 2ψ 1 = 2⋅ 2 ∂x 2 v ∂t i ∂ 2ψ 2 1 ∂ 2ψ 2 = 2⋅ 2 , ∂x 2 v ∂t to ich suma ψ = ψ 1 + ψ 2 też jest rozwiązaniem tego równania. ∂ 2 (ψ 1 + ψ 2 ) 1 ∂ 2 (ψ 1 + ψ 2 ) . = 2⋅ ∂x 2 ∂t 2 v Wynika to wprost z faktu, że operacja różniczkowania jest rozdzielna względem dodawania funkcji. Zasadę superpozycji można rozszerzyć na dowolną liczbę funkcji falowych. Jeżeli ψ 1 = ψ 1 ( x − v ⋅ t ) , ψ 2 = ψ 2 ( x − v ⋅ t ) , .... ψ n = ψ n ( x − v ⋅ t ) są funkcjami falowymi, to ich dowolna kombinacja liniowa n. ψ ( x − v ⋅ t ) = ∑ ciψ i ( x − v ⋅ t ) i =1. ci – dowolne stałe. jest też funkcją falową, czyli spełnia odpowiednie równanie różniczkowe..

(4) Ruch falowy. 14-4. Fale harmoniczne Jeżeli funkcja falowa ma postać. ψ ( x, t ) = A ⋅ sin[k ( x ± v ⋅ t )] lub. ψ ( x, t ) = A ⋅ cos[k ( x ± v ⋅ t )] to nazywamy ją harmoniczną. Dla ustalonego miejsca, np. x = 0. ψ (0, t ) = A ⋅ sin[k ( ± v ⋅ t )] = ± A ⋅ sin(k ⋅ v ⋅ t ) staje się ona funkcją opisującą drgania harmoniczne o częstości kołowej. ω = k ⋅v. k=. ω 2π = v vT. gdzie: T jest okresem tych drgań. Dla ustalonej chwili, np. t = 0. ψ ( x,0) = A ⋅ sin(k ⋅ x ) = A ⋅ sin(. 2π x) v ⋅T. otrzymujemy funkcję przestrzenną okresową o okresie równym v⋅T. Iloczyn v⋅T nazywa się długością fali λ a T okresem fali. Zachodzi między nimi związek:. λ = v ⋅T Użyta wcześniej wielkość k. k=. 2π λ. nazywa się liczbą falową (ma wymiar m-1). W tym wypadku ω nazywamy częstością kołową fali i możemy dopisać kolejny związek. ω = k ⋅v.

(5) Ruch falowy. 14-5. Prędkość fazowa fali Podobnie jak dla drgań harmonicznych, argument harmonicznej funkcji falowej. ψ ( x, t ) = A ⋅ sin[k ( x − v ⋅ t )] = A ⋅ sin(kx − ωt ) nazywa się fazą fali. ϕ = kx − ωt . W ogólnym przypadku możemy mieć do czynienia z różną od zera fazą początkową. ϕ = kx − ωt + ϕ 0 . Pochodna fazy względem czasu daje, z dokładnością do znaku, częstość kołową fali. ∂ϕ = −ω , ∂t a względem położenia – liczbę falową. ∂ϕ 2π . =k = λ ∂x Ich stosunek. ∂ϕ ∂x ω 2π λ λ − ∂t = − = = = =v ∂ϕ ∂t k T 2π T ∂x jest prędkością fali. Prędkość fali, którą wprowadziliśmy na samym początku, była prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali (w układzie poruszającym się z prędkością v faza w danym punkcie jest stała). Dlatego prędkość tę nazywamy prędkością fazową fali.. vf =. ω k. vf =. λ . T. lub.

(6) Ruch falowy. 14-6. Fale przestrzenne. ! k - wektor falowy. ! ψ ( r! , t ) = A ⋅ sin( k ⋅ r! − ω ⋅ t ). Kierunek wektora falowego pokrywa się z kierunkiem rozchodzenia się fali, a jego długość wynosi. ! 2π . | k |= λ Punkty w przestrzeni, w których faza fali ma określoną wartość. ! ! k ⋅ r − ω ⋅ t = const. !. tworzą powierzchnie falowe (albo fazowe). Wektor k jest w każdym punkcie powierzchni falowej prostopadły do niej. Ze względu na kształt powierzchni falowych mówimy o falach płaskich, kulistych, walcowych, itp..

(7) Ruch falowy. 14-7. Odbicie i załamanie fal Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków. v1 > v2 ∆1 v1t = d d ∆ vt sin α 2 = 2 = 2 d d sin α1 v1 = sin α 2 v2 sin α1 =. Przy przejściu do innego ośrodka zmienia się prędkość fali i jej długość, nie zmienia się natomiast częstotliwość fali. Odbicie fali od granicy ośrodka. α1 = α '1.

(8) Ruch falowy. 14-8. Odbicie i załamanie na granicy dwóch ośrodków. α1 = α '1 sin α1 v1 = = n12 sin α 2 v2. Prawo odbicia ! ! Wektor k1 fali padającej, wektor k1 ' fali odbitej i normalna do powierzchni granicznej w miejscu odbicia leżą w jednej płaszczyźnie, i kąt padania jest równy kątowi odbicia α1 = α '1 . Prawo załamania (Snelius’a) ! ! Wektor k1 fali padającej, wektor k2 fali załamanej i normalna do powierzchni granicznej w miejscu załamania leżą w jednej płaszczyźnie, i. sin α1 = n12 . sin α 2 Jeżeli v2 > v1 , to jest taki graniczny kąt padania α1 = α gr ( sin α gr = n12 ), że kąt załamania jest prosty α 2 =. π 2. i zaburzenie rozchodzi się wzdłuż. granicy między ośrodkami. Dla kątów padania α1 > α gr fala nie przenika do drugiego ośrodka, ale ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu na granicy..

(9) Ruch falowy. 14-9. Prawa odbicia i załamania fal można wyprowadzić z bardzo ważnej zasady dotyczącej ruchu falowego – zasady Fermata. Zaburzenie (fala) rozchodzi się w ośrodku po takiej drodze, że czas przejścia między dwoma punktami jest ekstremalny – zwykle minimalny.. !. Linię, która jest w każdym punkcie styczna do wektora falowego k (albo prostopadła do powierzchni falowej) nazywamy promieniem fali. Można powiedzieć, że zaburzenie, rozchodzące się w ośrodku w postaci fali, przemieszcza się wzdłuż promieni tej fali. W ośrodkach jednorodnych, gdzie v = const, promienie fali są liniami prostymi. Na granicy takich ośrodków promienie załamują się – zmieniają kierunek.. !. W ośrodkach niejednorodnych prędkość fali nie jest stała v = v (r ) a promienie przestają być liniami prostymi.. W prawie wszystkich ośrodkach prędkość fali zależy od jej długości (częstotliwości) v = v (k ) , a w ośrodkach anizotropowych (np. w kryształach) występuje też zależność prędkości od kierunku rozchodzenia się ! v = v (k ) lub od kierunku polaryzacji fali (dla fal poprzecznych). W pierwszym przypadku mówimy o dyspersji fal – fale o różnych długościach (częstotliwościach) biegną z różnymi prędkościami. W ośrodkach anizotropowych występuje dodatkowe zjawiska: dwójłomności, polaryzacji..

(10)