Wykad 4

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak, prof. uczelni Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

https://eportal.pwr.edu.pl/course/view.php?id=8328 Miejsce konsultacji: pokój 27 bud. A-1

Wykład 4

Obliczenia

rozsyłów światłości są zasadniczo przedmiotem badań

konstruktorów opraw oświetleniowych.

Ze względu na (bardzo często) złożony kształt opraw, obliczenia takie są

najczęściej wstępem do założeń konstrukcyjnych – ostateczne wyniki

uzyskiwane są na drodze pomiarów.

PRZYPOMNIENIE:

Wykres światłości – to zależność światłości w danym kierunku od kąta

tego kierunku w stosunku do osi optycznej dla określonej płaszczyzny

przekroju bryły fotometrycznej, zawierającej oś optyczną.

Analogicznie, dla źródeł światła, rozsyły światłości są najczęściej wyznaczane

na drodze pomiarowej (to nawet łatwiejsze…

CZEMU?

). Ale można, przy

pewnych założeniach upraszczających, dokonać przybliżonych obliczeń

rozsyłów światłości niektórych form źródeł światła.

W obliczeniach światłości można wykorzystać definicję luminancji:





















cos

,

'

,

,

dS

C

dI

dS

C

dI

C

L





Dla wartości średnich:

 



LS

cos



LS

'

 



I





gdzie S’(γ) oznacza pole powierzchni pozornej źródła światła widzianego z

kierunku kąta γ.

Przyjmując założenia, że:

a)

luminancja dowolnego punktu powierzchni świecącej źródła światła

jest stała;

b)

każdy punkt powierzchni świecącej źródła ma stałą luminancję dla

każdego kąta obserwacji (źródło lambertowskie),

to obliczenie światłości źródła światła w danym kierunku sprowadza się do

obliczenia jego pola pozornej powierzchni S’(γ) z tego kierunku.

Założona stała wartość luminancji może być obliczona też w sposób

uproszczony z zależności określającej tzw. luminancję gabarytową źródła

światła:

S

L







Punktowe źródło światła

Obraz powierzchni świecącej jest taki sam, niezależnie od kierunku

obserwacji. Czyli: niekoniecznie musi być DALEKIE – ważne, żeby

geometrycznie „wyglądało” tak samo z każdego kierunku!

Przykłady:

źródło sferyczne, krótka skrętka walcowa, kuliste klosze „mleczne”, gwiazdy.

const

L



S

'

 





const

więc:

I

 





LS

'

 





const

I, biorąc pod uwagę zależność światłości kierunkowej od strumienia świetlnego oraz fakt, że pełny kąt bryłowy to… ILE? otrzymujemy:

 

C

const

I











4

,

Powierzchniowe źródło światła

Źródło światła w postaci ograniczonej płaskiej powierzchni, świecącej

jedną stroną. Dodatkowo zakładamy, że ta świecąca powierzchnia ma stała

luminancję:

Przykład:

Ciało doskonale czarne z definicji kandeli; wszelkie matowe powierzchnie, odbijające światło (kartka papieru, ściana, sufit).

 



'

 

0

cos



'

S

S



W tym przypadku: (rzut powierzchni na kierunek obserwacji!)

 



LS

'

 



LS

'

 

0

cos



I

cos



I







const

L



I ostatecznie:

czyli rozsył zgodny z prawem Lamberta! (okrąg styczny do punktu środkowego elementu świecącego)

Linia świetlna

Źródło światła o kształcie bardzo wydłużonego walca, promieniującego

strumień świetlny symetrycznie w stosunku do swojej osi i identycznie na

każdym odcinku długości.

Linia świetlna, teoretycznie nieskończenie cienka, musi być urealniona przez przyjęcie skończonego wymiaru średnicy i długości, inaczej luminancja rosłaby do .

Przykład:

Liniowa świetlówka, światłowód promieniujący „bokiem”, długa i prosta skrętka żarówki, dekoracyjny „wąż świetlny”.

W tym przypadku obrazem pozornym linii świetlnej jest prostokąt, którego szerokość odpowiada średniej szerokości linii x a długość jest dla każdego kąta inna i zmienia się od 0 do maksymalnej długości y. Wtedy:

 



LS

'

 



Lxy

sin



I

sin



Świetlówka kołowa –

Linia świetlna, ale zawinięta w „obwarzanek” (czyli torus).

Podstawą obliczeń rozsyłu światłości świetlówki kołowej jest wyznaczenie wielkości jej pola pozornej powierzchni z różnych kierunków obserwacji. Jest to więc problem czysto geometryczny. Można go rozwiązać „tradycyjnie” (tzn. przy wykorzystaniu znanych wzorów geometrycznych) używając przybliżonego modelu świetlówki albo numerycznie, obliczając rzeczywistą wartość pola pozornej powierzchni poprzez rzutowanie modelu przestrzennego na określone płaszczyzny.

Przykład liczbowy dla świetlówki o mocy 22 W:

Strumień świetlny: ₀=1250 lm Średnica rury: d=29mm

Świetlówka kołowa

Założenia, będące podstawą obliczeń:

1. Pomijamy nieświecący odcinek obwodu torusa związany z elektrodami;

2. Luminancja całej powierzchni świetlówki jest stała i wynosi L=₀/S, gdzie S oznacza powierzchnię gabarytowa świetlówki;

3. Promieniowanie z każdego elementu powierzchni świetlówki odbywa się zgodnie z prawem Lamberta.

Schemat obliczeń:

1. Obliczenie pola powierzchni gabarytowej:

A) skorzystanie z wzoru na pole powierzchni bocznej torusa (nie znam…); B) „wyprostowanie” torusa i obliczenie powierzchni bocznej walca:

2. Obliczenie luminancji gabarytowej:

2 2 0571 , 0 57107 2 / 2 ) 2 / 2 ( D d mm m S 







Świetlówka kołowa

Schemat obliczeń – cd.:

3. Pole powierzchni pozornej świetlówki można policzyć w sposób przybliżony jako różnica pól powierzchni elipsy opisanej na zewnętrznym gabarycie torusa i elipsy wpisanej w wewnętrzny gabaryt torusa.

Dla zmieniającego się kąta  w stosunku do osi obrotu świetlówki, charakteryzującego kierunek obliczanej światłości, wymiary dużej osi większej elipsy (2A) i dużej osi mniejszej elipsy (2B) nie ulegną zmianie. Zmieniają się małe osie obu elips, w przybliżeniu zgodnie z cos . Daje to wzór na pole powierzchni pozornej:















)

(

)

cos

cos

(

AB

ab

A

B

Dd

S











Świetlówka kołowa

Schemat obliczeń – cd.:

3a. Dla pewnego kąta obserwacji _gr „znika” mniejsza elipsa:

Kąt graniczny można obliczyć ze wzoru (tutaj: 80,78º):





arccos(

d

/

D

)

Dla kąta _gr=90º obraz pozorny świetlówki nie przypomina z kolei elipsy – widok z tego kierunku to „prawie prostokąt” z dwoma połówkami koła!

Świetlówka kołowa

Schemat obliczeń – cd.:

Z pewnym przybliżeniem wygląda to jak świecenie dwustronne powierzchni lambertowskiej!

Uwagi ogólne:

1) Obliczenie rozkładu światłości zawiera więc, jako element podstawowy,

określenie

wielkości

pozornej

powierzchni

świecącej

widzianej

z

określonego kierunku;

2) W przypadku promieniowania zgodnego z prawem Lamberta jest to więc

problem wyłącznie geometryczny!

3) W rzeczywistych przypadkach istotny jest rzeczywisty rozkład luminancji

źródła/oprawy, który ze względu na użyte materiały i kierunkowość

odbicia/transmisji,

może

mieć

istotnie

inny

rozkład,

niż

źródło

lambertowskie…

DEFINICJA

strumienia

świetlnego:

wielkość

fotometryczna,

wyprowadzona ze strumienia energetycznego (mocy promienistej), na

podstawie oceny promieniowania za pomocą odbiornika, którego względna

czułość widmowa odpowiada czułości widmowej ludzkiego oka,

przystosowanego do jasności:









V

d



K

Definicję tę można wykorzystać tylko dla źródeł, których rozkład

promieniowania przypomina rozkład ciała czarnego.

świetlnego, która oświetla dany obiekt. Ta część strumienia decyduje o

wytworzonym poziomie natężenia oświetlenia obiektu.

W takiej sytuacji niezbędna jest znajomość przestrzennego rozkładu

gęstości strumienia świetlnego źródła bądź oprawy, czyli po prostu

rozkładu światłości:

oraz ich relacji geometrycznej (położenia kątowego, odległości) z obiektem

oświetlanym.

 

C

,



f

I



Ważne się staje, pod jakim kątem bryłowym z punktu oświetlającego

„widać” obiekt i jaki strumień świetlny jest w tym kącie wyemitowany ze

źródła.

symetrycznych obrotowo

Jeżeli bryła fotometryczna oprawy/źródła jest symetryczna obrotowo, jej rozkład przestrzenny światłości charakteryzuje wykres światłości w jednej płaszczyźnie przekroju, przechodzącego przez oś symetrii I().

Jeżeli oprawa jest usytuowana symetrycznie względem obiektu oświetlanego i obiekt tez jest symetryczny obrotowo, obliczenia są bardzo proste. Gorzej, gdy któraś z symetrii jest niezachowana…

symetrycznych obrotowo – na podstawie analitycznej funkcji opisującej

rozkład światłości

W przypadku symetrii obrotowej rozkładu światłości strumień świetlny wypromieniowany w pewnym kącie bryłowym dla pewnego stożka można wyrazić zależnością:

_d

_

_

_Id



Skoro kąt bryłowy jest tu symetryczny obrotowo, można go wyrazić jako funkcję kąta płaskiego:

_

_

₂

_



₁

_

_cos

_



Co po zróżniczkowaniu daje:

d





2



sin



d



szukanego strumienia świetlnego jako:







 











sin

2

I

d

symetrycznych obrotowo – na podstawie analitycznej funkcji opisującej

rozkład światłości

PUNKTOWE ŹRÓDŁO ŚWIATŁA Ponieważ w tym przypadku:

 

I

const

I







Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ:









1

cos

2







I

symetrycznych obrotowo – na podstawie analitycznej funkcji opisującej

rozkład światłości

ELEMENT POWIERZCHNI ŚWIECĄCEJ LAMBERTOWSKO Ponieważ w tym przypadku:

 



I

cos



I



Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ:









2

cos

1

2







I

symetrycznych obrotowo – na podstawie analitycznej funkcji opisującej

rozkład światłości

LINIA ŚWIETLNA Ponieważ w tym przypadku:

 



I

sin



I



Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ:











 





2

2

sin







I

W praktyce mamy najczęściej do dyspozycji albo zmierzony, albo obliczony rozsył

światłości, który trudno opisać analitycznie – a nawet, gdyby taki analityczny model

zastosować, obliczanie odpowiednich całek byłoby skomplikowane.

Podstawą obliczeń strumienia świetlnego jest wtedy wykres światłości, który trzeba połączyć z odpowiednim podziałem obszaru wypromieniowywania tego strumienia. Metody obliczeniowe:

1) Rachunkowa (całka przybliżona sumą skończoną);

2) Wohlauera (dla brył fotometrycznych symetrycznych obrotowo, wykorzystuje biegunowy wykres rozsyłu światłości);

3) Rousseau (również dla opraw o symetrii obrotowej, pomocniczy wykres światłości w przeskalowanych współrzędnych).

rozkładów światłości lub niesymetrycznego kąta bryłowego wiązki

świetlnej

W tym przypadku stosujemy obliczenia numeryczne, bazujące na dyskretyzacji powierzchni (przestrzeni), przy czym dyskretyzować można zarówno powierzchnię źródła/oprawy, jak i kąt bryłowy, w którym dokonujemy obliczeń (co ma przełożenie na dyskretyzację powierzchni obiektu…).

Natężenie oświetlenia jest parametrem, którego obliczenia i pomiary są

najczęściej wykonywane w technice świetlnej –

DLACZEGO?

Większość norm określających „zapotrzebowanie” na oświetlenie obiektu

wyraża wymagania w postaci natężenia oświetlenia. Natężenie oświetlenia

w płaszczyźnie oka jest np. miarą olśnienia przeszkadzającego.

Czemu jednak nie luminancja? Ponieważ luminancja oświetlanych

obiektów i powierzchni zależy nie tylko od strumienia świetlnego

padającego na ten obiekt, ale też od właściwości odbiciowych

oświetlanych powierzchni!

Dlatego podstawową procedurą większości algorytmów, prowadzących do

wyznaczenia rozkładu oświetlenia np. wnętrz pomieszczeń jest obliczanie

rozkładu natężenia oświetlenia wybranych powierzchni tych wnętrz.

komputerowych

sprowadza

się do stosowania prawa odwrotności

kwadratów odległości:



cos

r

I

E



Pytanie, na ile to prawo jest stosowalne?

Dwa skrajne przypadki:

1) Ciało promieniuje zgodnie z prawem Lamberta – zagadnienie określenia światłości i powiązania jej z proporcją wymiarów ciała promieniującego do odległości, w której obliczane jest natężenie oświetlenia, rozwiązać analitycznie;

2) Wiązka świetlna odbijana od powierzchni bądź przez nią przepuszczona promieniuje w bardzo wąskim kącie bryłowym (reflektory, projektory) – ze względu na specyfikę odbicia kierunkowego strumienia świetlnego sumowanie działania oświetlającego poszczególnych wiązek zachodzi w sporej odległości.

rozproszonym powierzchni świecących

świecąca o boku a=2m, której luminancja w kierunku punktu P wynosi L=1000cd/m2_{. Punkt P} położony jest na osi symetrii w odległości 1m.

Obliczenie I: źródłem „punktowym” jest cały kwadrat:

Obliczenie II: źródłem „punktowym” są cztery składowe kwadraty:

lx r LS r I E_P 4000 1 4 1000 2 2      lx r S L r I E_P 0,82 1807 22 , 1 82 , 0 4 1000 35 cos 35 cos 4 4 35 cos 4 _{2 2} 1 2 1 1         

tarczę świecącą o stałej luminancji

Stosując znane już wzory dla brył o symetrii obrotowej:





L



d



E

cos























sin

L

E



tarczę świecącą o stałej luminancji – cd.

k D

r _

można wyrazić natężenie oświetlenia jako:



1

r

I

E



4

4

1

k

k







Współczynnik ten jest miarą dokładności, z jaką prawo odwrotności kwadratu odległości wyraża natężenie oświetlenia w zależności od proporcji odległości r punktu P do średnicy D tarczy świecącej.

Obliczanie

rozkładu natężenia

oświetlenia wywołanego przez

okrągłą tarczę świecącą o stałej

luminancji – cd.

0,5

1

2

3

4

5

7

10





od powierzchni zwierciadlanych

W układach opraw oświetleniowych bardzo często do kształtowania bryły fotometrycznej wykorzystuje się powierzchnie odbłyśników zwierciadlanych. Charakter emisji strumienia świetlnego jest tu zupełnie inny, niż promiennika lambertowskiego.

Odbicie elementarne źródła światła jest to wiązka promieni odbitych od

dowolnego punktu powierzchni zwierciadlanej, którą emituje w kierunku tego punktu źródło światła.

Kształt odbicia elementarnego, rozumiany jako zarys przekroju, zależy od kształtu źródła światła i położenia punktu odbicia. Wymiar kątowy odbicia elementarnego jest zależny od wielkości źródła światła i odległości źródła światła od powierzchni odbijającej.

od powierzchni zwierciadlanych

Reflektor paraboloidalny, ze źródłem światła umieszczonym w ognisku – nie wszystkie odbicia elementarne biorą udział w oświetlaniu badanych punktów.

od powierzchni zwierciadlanych

Graniczna odległość fotometrowania GOF zwierciadlanych reflektorów

paraboloidalnych jest to taka odległość liczona od lustra w kierunku osi optycznej, począwszy od której każdy punkt położony na osi jest obejmowany (oświetlany) przez każde odbicie elementarne bryły źródła światła.

Przykład: reflektor o średnicy D=20cm, ogniskowej f=5 cm i promieniu sfery r=0,5m ma GOF równą ok. 200 cm, czyli dwa razy więcej niż odległość, przy której można stosować prawo odwrotności kwadratów dla źródła lambertowskiego.