Wyznaczanie macierzy wykładniczej

(1)

Wyznaczanie macierzy

wykładniczej

Autorzy:

Julian Janus

(2)

Wyznaczanie macierzy wykładniczej

Autor: Julian Janus

Do wyznaczania macierzy wykładniczej wykorzystamy następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Niech będzie dowolną rzeczywistą lub zespoloną macierzą kwadratową wymiaru

TEZA: TEZA:

Wtedy istnieje nieosobliwa macierz , taka że

gdzie jest tak zwaną macierzą Jordana macierzy macierzą Jordana macierzy . Macierz Jordana ma postać:

elementy macierzy są zwane klatkami Jordanaklatkami Jordana.

Omówimy teraz jak wyznacza się klatki Jordana i macierz nieosobliwą P. Omówimy teraz jak wyznacza się klatki Jordana i macierz nieosobliwą P.

Niech będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru a będą wartościami własnymi macierzy .

Niech

będzie podprzestrzenią własną odpowiadająca wartości własnej . Rozważymy następujące przypadki.

1.

1. Wymiar przestrzeni jest równy krotności wartości własnej Niech - oznacza krotność wartości własnej i niech układ wektorów będzie bazą przestrzeni . Każdemu wektorowi odpowiada pojedyncza klatka Jordana, którą będziemy oznaczać W tym przypadku mamy jednakowych pojedynczych klatek Jordana. 2.

2. Wymiar przestrzeni jest mniejszy od krotności wartości własnej . Jeżeli - jest krotnością wartości własnej a - wymiarem przestrzeni własnej wtedy mamy wektorów z których tylko pierwszych stanowi bazę przestrzeni a pozostałe wektorów są wektorami głównymi odpowiednich rzędów związanymi niekoniecznie ze wszystkimi wektorami własnymi . Każdemu wektorowi własnemu odpowiada odpowiednio klatka Jordana

Jeżeli wektorowi - nie odpowiada żaden wektor główny, to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi jest jednoelementowa

Jeżeli natomiast wektorowi własnemu odpowiadają wektory główne związane z wektorem zależnościami:

e

tA

A

n × n.

P

A = PJ

P

−1

,

J

A

.

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

J

1

0 ⋮

0

0 J

2

0

0 …

⋱

…

0

0 J

k−1

0

0 ⋮

0 J

k

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

J

i

J

A

n × n,

λ

1

, …, , k ≤ n

λ

k

A

= {x : (A − I) ⋅ x = 0},

V

_i(0)

λ

i

λ

i

V

_i(0)

λ

i

.

m

λ

i

{

v

(0)_i₁

, …,

v

_i(0)_m

}

V

_i(0)

v

(0)_i_j

= [ ].

J

ij

λ

i

m

V

_i(0)

λ

i

m

λ

i

r

V

_i(0)

,

m

{

v

(0)_i₁

, …,

v

(0)_i_m

},

r

V

_i(0)

m − r

{

v

(0)_i₁

, …,

v

_i(0)_r

}

v

(0)_i₁

, …,

v

(0)_i_r

, …, .

J

i1

J

ir

v

(0)_i_j

v

(0)_i_j

= [ ].

J

ij

λ

i

v

_i(0)_j

v

_i(1)_j

, …,

v

(k)_i_j

v

(0)_i_j

⎧

⎨

⎪

= (A − λI)

(0) (1)

(3)

(1)

to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi ma wymiar

W macierzy jej pierwszej kolumnie odpowiada wektor własny , drugiej wektor główny odpowiednio -kolumnie wektor główny .

Kolumnami macierzy nieosobliwej są wektory własne i główne. Konstrukcje macierzy wyjaśnimy na przykładzie.

Niech macierz wymiaru ma dwie wartości własne: o krotności której odpowiadają wektory określone zależnością ( 1 ) oraz wartość własną o krotności 2 2 , której odpowiadają wektory określone zależnością ( 1 ).

Wówczas klatki Jordana odpowiadające wartościom własnym (odpowiednio ) mają postać

Macierz Jordana ma wtedy postać:

a kolumnami macierzy są odpowiednio współrzędne wektorów Macierz Jordana można zapisać też w postaci

ale wtedy kolumnami macierzy są odpowiednio współrzędne wektorów .

⎧

⎩

⎨

⎪

= (A − λI)

v

(0)_i_j

v

(1)_i_j

= (A − λI)

v

(1)_i_j

v

(2)_i_j

⋮

= (A − λI)

v

(k−1)_i_j

v

(k)_i_j

v

(0)_i_j

(k + 1) × (k + 1)

=

.

J

ij

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

λ

i

0 ⋮

0

1 λ

i

0

0 …

⋱

…

0

0 λ

i

0

0 ⋮

1 λ

i

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

J

ij

v

(0) ij

v

,

(1) ij

k + 1

v

(k)_i_j

P

A

5 × 5

λ

1

3,

v

(0)1

,

v

(1)1

,

v

(2)1

λ

2

v

(0)2

,

v

(1)2

λ

1

λ

2

=

,

= [

] .

J

1

⎡

⎣

⎢

λ

0

1

0

1 λ

1

0

1 λ

1

⎤

⎦

⎥

J

2

λ

₀

2

_λ

1

2

J

J = [

J

1

] =

0 J

0

2

⎡

⎣

⎢⎢

λ

1

0

1 λ

1

0

1 λ

1

0

0 λ

2

0

1 λ

2

⎤

⎦

⎥⎥

P

v

(0)₁

,

v

₁(1)

,

v

(2)₁

,

v

(0)₂

,

v

(1)₂

.

J

J = [

J

2

] ,

0 J

0

1

P

v

₂(0)

,

v

(1)₂

,

v

(0)₁

,

v

(1)₁

,

v

(2)₁

(4)

UWAGA

Uwaga 1:

Jeżeli to .

Istotnie, ponieważ więc

Zatem co należało wykazać.

UWAGA

Uwaga 2:

Jeżeli

Wynika to bezpośrednio z faktu, że -ta potęga macierzy jest równa

Niech będzie klatką Jordana wymiaru

Macierz możemy zapisać jako sumę macierzy

gdzie

A = P ⋅ J ⋅ P

−1

_e

tA

_{= P ⋅}

_e

tJ

_⋅

_P

−1

P ⋅

P

−1

= I

(P ⋅ J ⋅

P

−1

₎

k

= P ⋅ J ⋅

_P

−1

⋅ P ⋅ J ⋅

_P

−1

⋯P ⋅ J ⋅

_P

−1

= P ⋅

_J

k

⋅

_P

−1

.

=

e

tA

_{I + At +}

(At)

2

₊

_{+ ⋯ +}

_{+ ⋯ =}

2!

(At)

3

3!

(At)

n

n!

P ⋅

P

−1

+ P ⋅ J ⋅

_P

−1

t + (P ⋅ J ⋅

_P

−1

₎

2

t

2

+ ⋯ + (P ⋅ J ⋅

+ ⋯ =

2!

P

−1

)

n

t

n

n!

P ⋅

P

−1

+ P ⋅ J ⋅

_P

−1

t + P ⋅

_J

2

⋅

_P

−1

t

2

+ ⋯ + P ⋅

⋅

+ ⋯ =

2!

J

n

P

−1

t

n

n!

P ⋅ (I + Jt +

J

2

t

2

+ ⋯ +

+ ⋯) ⋅

= P ⋅

⋅

2!

J

n

t

n

n!

P

−1

e

tJ

P

−1

J =

⎡

to

=

.

⎣

⎢⎢

J

1

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

J

k

⎤

⎦

⎥⎥

e

tJ

⎡

⎣

⎢⎢

e

tJ1

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

e

tJk

⎤

⎦

⎥⎥

m

J

=

.

J

m

⎡

⎣

⎢⎢⎢

J

m 1

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

J

m k

⎤

⎦

⎥⎥⎥

J

i

s × s

=

.

J

i

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

λ

i

0 ⋮

0

1 λ

i

0

0 …

⋱

…

0

0 λ

i

0

0 ⋮

1 λ

i

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

J

i

=

+

J

i

D

i

M

i

=

i

=

.

⎡

⎢⎢

⎢

⎤

⎥⎥

⎥

⎡

⎢⎢

⎢

⎤

⎥⎥

⎥

(5)

Ponieważ więc na mocy uwagi 4 mamy

UWAGA

Uwaga 3:

Prawdziwość tej zależności pokażemy na przykładzie, gdy

Policzymy teraz . Ponieważ więc Policzymy teraz . Z uwagi 3 mamy Zatem

=

i

=

.

D

i

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

λ

i

0 ⋮

0

0 λ

i

0

0 …

⋱

…

0

0 λ

i

0

0 ⋮

0 λ

i

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

M

i

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0 ⋮

0

1

0

0 …

…

⋱

…

0

0 ⋮

1

0 ⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⋅

=

⋅

D

i

M

i

M

i

D

i

=

⋅

.

e

tJi

e

t( + )Di Mi

e

tDi

e

tMi

= 0

dla

n ≥ s.

M

n i

s = 3

=

,

=

,

=

M

i

⎡

⎣

⎢

0

1

0

1

0 ⎤

⎦

⎥ M

i 2

⎡

⎣

⎢

0

1

0

0 ⎤

⎦

⎥ M

3 i

⎡

⎣

⎢

0

0 ⎤

⎦

⎥

e

tDi

=

D

m i

⎡

⎣

⎢⎢⎢

λ

m i

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

λ

m i

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

e

tDi

I + t +

D

+

+ ⋯ +

+ ⋯ =

i

(tD

i

)

2

2!

(tD

i

)

3

3!

(tD

i

)

n

n!

=

.

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

( t

∑

∞ k=0 k!1

λ

i

)

k

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

( t

∑

∞ k=0 k!1

λ

i

)

k

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

e

λit

⋮

0 …

⋱

…

0 ⋮

e

λit

⎤

⎦

⎥⎥

e

tMi

=

e

tMi

I + t

M

_i

+

(tM

i

)

2

+

+ ⋯ +

=

2!

(tM

i

)

3

3!

(tM

i

)

s−1

(s − 1)!

.

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

1

0 ⋮

0

0 t

1 ⋮

0

1 2!

t

2

t

⋮

0

0 …

…

⋱

…

ts−2 (s−2)! ts−3 (s−3)!

⋮

1

0

ts−1 (s−1)! ts−2 (s−2)!

⋮

t

1 ⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=

⋅

=

.

⎡

⎢⎢

s−2 _t i s−1 it

⎤

⎥⎥

(6)

Wyznaczymy teraz macierze i dla niektórych przykładów z następujących modułów: "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są różne, ale nie wszystkie rzeczywiste", "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna", "Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna".

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Niech będzie macierzą z przykładu 1 .

Wartościami własnymi macierzy są , a odpowiadające im wektory własne generujące podprzestrzenie własne są odpowiednio równe:

Klatki Jordana odpowiadające wektorom są odpowiednio równe: .

Zatem

Uwzględniając fakt, że otrzymujemy

=

⋅

=

.

e

tJi

e

tDi

e

tMi

⎡

⎣

⎢⎢

e

λit

0 ⋮

0

0 te

λit

e

λit

⋮

0

0 …

…

⋱

…

ts−2 (s−2)!

e

λit ts−3 (s−3)!

e

λit

⋮

e

λit

0

ts−1 (s−1)!

e

λit ts−2 (s−2)!

e

λit

⋮

te

λit

e

λit

⎤

⎦

⎥⎥

J, P, e

tJ

A =

⎡

⎣

⎢

−1

1 −1

−1

1

0

2

0

1 ⎤

⎦

⎥

A

λ

1

= 1,

λ

2

= 1 + i,

λ

3

= 1 − i

,

V

₁(0)

V

₂(0)

V

₃(0)

=

,

=

,

=

.

v

(0)₁

⎡

⎣

⎢

0

2

1 ⎤

⎦

⎥

v

(0)₂

⎡

⎣

⎢

−i

1

1 ⎤

⎦

⎥

v

(0)₃

⎡

⎣

⎢

1 i

1 ⎤

⎦

⎥

,

v

(0)₁

v

(0)₂

v

(0)₃

= [ ] ,

= [

] ,

= [

]

J

1

1 J

2

1 + i

J

3

1 − i

J =

⎡

=

,

P =

.

⎣

⎢

J

0

1

0

0 J

2

0

0 J

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

1

0

0 1 + i

0

0 1 − i

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

0

2

1 −i

1

1 i

1

1 ⎤

⎦

⎥

=

(cos(βt) + i sin(βt))

e

αt+βti

_e

αt

_e

βti

_e

αt

=

e

tJ

⎡

₌

⎣

⎢

e

tJ1

0

0 e

tJ2

0

0 e

tJ3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

e

t

0

0 e

t(1+i)

0

0 e

t(1−i)

⎤

⎦

⎥

.

⎡

⎣

⎢

e

t

0

0 (cos t + i sin t)

e

t

0

0 (cos t − i sin t)

e

t

⎤

⎦

⎥

(7)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Niech będzie macierzą z przykładu 1. Wartościami własnymi macierzy są

i - o krotności 22. Podprzestrzeń własna jest generowana przez wektor a

podprzestrzeń własna ma wymiar 22 i generowana jest przez wektory i

Wektorom własnym i odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana: . Zatem

A =

⎡

⎣

⎢

−2

1

2 −2

1

2

1 ⎤

⎦

⎥

A

= −3

λ

1

λ

2

= 3

V

1(0)

v

(0)1

=

⎡

⎣

⎢

−1

1 ⎤

⎦

⎥

V

₂(0)

v

(0)₂

=

⎡

⎣

⎢

−1

1

0 ⎤

⎦

⎥

v

(0)₃

=

⎡

.

⎣

⎢

1

0

1 ⎤

⎦

⎥

,

v

(0)₁

v

(0)₂

v

(0)₃

= [

] ,

= [ ] ,

= [ ]

J

1

−3

J

2

3 J

3

3 J =

⎡

=

, P =

,

⎣

⎢

J

0

1

0

0 J

2

0

0 J

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

−3

0

3

0

3 ⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

−1

1 −1

1

0

1

0

1 ⎤

⎦

⎥

=

.

e

tJ

⎡

⎣

⎢

e

tJ1

0

0 e

tJ2

0

0 e

tJ3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

e

−3t

0

0 e

3t

0

0 e

3t

⎤

⎦

⎥

(8)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Niech będzie macierzą z przykładu 2 . Pięciokrotną wartością własną macierzy jest

Podprzestrzeń własna jest dwuwymiarowa i generowana jest przez wektory i

Wektorowi włąsnemu odpowiadają następujące wektory główne rzędu pierwszego i drugiego

a wektorowi własnemu odpowiada następujący wektor główny rzedu pierwszego

Wektorom własnym i odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana: Zatem

A =

⎡

⎣

⎢⎢

1

0

1

0

1

0

3 −4

0

1 −1

⎤

⎦

⎥⎥

A

λ = 1.

V

(0)

_v

(0)

₌

1

⎡

⎣

⎢⎢

0

1

0

0 ⎤

⎦

⎥⎥

=

.

v

(0)₂

⎡

⎣

⎢⎢

0

1 −2

⎤

⎦

⎥⎥

v

(0)1

=

,

=

v

(1)₁

⎡

⎣

⎢⎢

0

1

0

0 ⎤

⎦

⎥⎥

v

(2)1

⎡

⎣

⎢⎢

1

0

0 ⎤

⎦

⎥⎥

v

(0)2

=

.

v

(1)₂

⎡

⎣

⎢⎢

0

1 ⎤

⎦

⎥⎥

v

(0)₁

v

(0)₂

=

,

= [

] .

J

1

⎡

⎣

⎢

1

0

1

0

1

1 ⎤

⎦

⎥ J

2

1 ₀

1 ₁

J = [

J

1

] =

,

P =

,

0 J

0

2

⎡

⎣

⎢⎢

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1 ⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

0

1

0

1

0

1

0

1 −2

0

1 ⎤

⎦

⎥⎥

= [

] =

.

e

tJ

e

tJ1

0

0 e

tJ2

⎡

⎣

⎢⎢

e

t

0

0 te

t

e

t

0

1 2

t

2

e

t

te

t

e

t

0

0 e

t

0

0 te

t

e

t

⎤

⎦

⎥⎥

(9)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Niech będzie macierzą z zadania 1. Wartościami własnymi macierzy są - o

krotności 33 i - o krotności 22. Podprzestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej jest dwuwymiarowa i

generowana jest przez wektory i .

Podprzestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej jest jednowymiarowa i generowana jest przez wektor

Wektorowi włąsnemu odpowiada następujący wektor główny rzędu pierwszego .

Wektorom własnym i odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana:

Zatem

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 09:58:16

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=c7db6731e7c58612329527ed7ada3725