Metoda macierzowa w zastosowaniu do optymalizacji charakterystyki odkształcalnego układu sterowania

M E C H AN I K A TEORETYC Z N A i STOSOWAN A 4, 24, (1986) METODA MACIERZOWA W ZASTOSOWANIU DO OPTYMALIZACJI CHARAKTERYSTYKI ODKSZTAŁCALNEGO UKŁADU STEROWANIA* STAN ISŁAW D U BI E L M ACIEJ M R Ó Z W ojskowa Akademia Techniczna

Sterowan ie lo t em o biekt ó w latają cych realizowan e jest najczę ś ciej za pom ocą  sił  aero-dyn am iczn ych lu b in n ych ró wn o waż n ych tym sił om oddział ywań . Jedn akże niezależ nie od sterowań wiele wł asn oś ci o biekt u istotn ych dla optym alizacji zwią zanych jest z jego kon st-rukcją , jego wewn ę trzn ym i p a r a m e t r a m i. Z m ian y w kon strukcji obiektu, wprowadzen ie d o d at ko wych sprzę ż eń pom ię dzy jego elem en tam i zasadn iczo wpł ywają  n a ch arakt er ruch u. Z ad an iem optym alizacji jest ustalen ie t akich zwią zków m ię dzy u kł ad em sterowan ia a para-m et raia a para-m i kon strukcyjn yia a para-m i obiektu, aby proces przejś ciowy cał ego u kł adu był  ja k najszyb-ciej tł um ion y.

Z ależ n oś ci p o m ię d zy p a r a m e t r a m i obiekt u a ch arakt erem jego ruch u wyraż one są  an a-litycznie przez współ czyn n iki r ó wn a ń róż n iczkowych opisują cych dan y proces. Z tego wzglę du optym alizacja r u c h u obiektu m oże być wykon ywan a n ie tylko przez d o bó r odpo-wiedn ich oddział ywań zewn ę trzn ych i p r o gr a m u ich zm ian y w czasie, lecz równ ież przez d o bó r odpowiedn iej kon strukcji obiekt u i p a r a m et r ó w u kł ad ó w wewn ę trzn ych. Synteza opt ym aln ych u kł a d ó w p o win n a uwzglę dn iać o ba obszary optymalizacji, t a k obszar stero-wań , ja k i obszar p a r a m e t r ó w obiekt u .

J a ko szczególny p rzyp ad ek zba d a n o dyn am ikę  podł uż n ego ru ch u sam olotu z ruch om ym waż kim sterem wysokoś ci i odkształ caln ym u kł a d em sterowan ia [4].

Stosowan e o zn aczen ia:

CH — współ czyn n ik tł um ien ia wiskotyczn ego w ukł adzie sterowan ia(zredukowan y), k —wsp ó ł c z yn n ik sztywnoś ci zastę pczej w ukł adzie sterowan ia,

xH — zr ed u ko wa n y współ czyn n ik sztywnoś ci Ca — CrSH, xH =  k m  Tgu, r sH  — p r o m i e ń  b e z wł a d n o ś ci st e r u wyso k o ś c i, m  —m a s a sa m o lo t u m sB — m a sa steru wysokoś ci,

eH — odległ ość ś r o d ka m asy steru wysokoś ci o d jego osi o bro t u , Zn — współ rzę dna osi obrotu steru wysokoś ci wzdł uż osi z,

*> Referat wygłoszony na I Krajowej Konferencji „Mechanika w lotnictwie".

Xd — przemieszczenie rą czki drą ż ka sterowanego w kierunku x,

V(U; V; W ) — prę dkość lotu i jej skł adowe wzgl. odpowiednich osi ukł adu Oxyz,

p,q,r  —p r ę d k o ś ci ką t o we o br o t u sa m o lo t u wzgl. o d p o wie d n ic h osi,

L — moment przechylają cy,

M — moment pochylają cy,

N — moment odchylają cy,

M — moment pochylają cy,

IH — masowy moment bezwł adnoś ci steru wysokoś ci wzgl. osi obrotu,

Iy — moment bezwł adnoś ci samolotu wzgl. osi Oy,

MH — moment zawiasowy steru wysokoś ci,

P(t) — zewnę trzna sił a wymuszają ca,

Q — cię ż ar samolotu,

Mwz — sterują cy moment zawiasowy steru wysokoś ci, T —c ią g silników

1. Równania ruchu samolotu

Rozpatruje się podł uż ny ruch samolotu o napę dzie odrzutowym . Przyjmuje się, iż ruch odbywa się w pionowej pł aszczyź nie, która pokrywa się z pł aszczyzną symetrii samolotu. Równania ruchu zapisano posł ugując się ukł adem osi przepł ywu Oxa z„, którego począ tek

umieszczono w ś rodku masy samolotu. Z ał oż ono, iż sam olot jest brył ą sztywną, natomiast ukł ad sterowania sterem wysokoś ci jest odkształ calny, charakteryzują cy się odpowiednią sztywnoś cią i tł umieniem.

Przyję to ustalony ruch prostoliniowy samolotu okreś lony nastę pują cymi param etram i V = v

o, ya =  Yao, @ = ®o, « =  «o =  &o~Yo, <5« =  <5//o — kąt wychylenia steru

wysokoś ci dla ustalon ego ruch sam olotu.

P onadto zakł ada się, iż mał e perturbacje V nie mają istotnego znaczenia dla procesu opty-malizacji, a wartoś ci ką tów y i a są mał e pozwalając n a linearyzację (sin • £ ~ • £ ; cos £ g

£ 1). D odatnie zwroty sił  i momentów dział ają cych n a sam olot przyję to jak n a rys. 1. Schemat odkształ calnego ukł adu sterowania sterem wysokoś ci pokazan o n a rys. 2. Przy powyż szych zał oż eniach ukł ad równań opisują cych ruch sam olotu wzglę dem trajektorii lotu poziomego m a postać:

OP TYM ALI Z AC JA U K Ł AD U  STEROWAN IA. 643

gdzie:

Rys. 1. U kł ad współ rzę dnych osi oraz dodatnie kierunki sił, momentów i ką tów

p,L, A

Rys. 2. Schemat odkształ calnego ukł adu sterowania steru wysokoś ci

V '6

_H

+ C

_H

-  b

_H -  bH =  mn- ~

da cfa

d t+  dt • (1.3) (1.4) ii*

że lot jest poziomy ze stałą  V

{Ya -  Yao =  0, sina s a),

równanie (1.2) moż na zapisać w postaci (1.2')

^L = b- a- g, (1.2')

gdzie:

Uwzglę dniają c (1.2') w równaniach (1.3) i (1.4), otrzymuje się  ukł ad równań ruchu samolo-tu z odkształ calnym ukł adem sterowania w nastę pują cej postaci:

+C+ oc -  a0 •  dII+al •  6H+ft, (1.5) dt2 gdzie: a0 =  — -Ms JH \ IH 1 \  in /   J ' •  (\ Ą - Y)- \  [\  I m Be BS H\  M < t l . „ •  M L hi \  In I h \  'n

W zapisie macierzowym ukł ad równań (1.5) i (1.6) przedstawia się  nastę pują co:

x =   A- x+ F ( O , (1.7) gdzie:

OP TYM ALI Z AC JA U KŁ AD U  STEROWAN IA. ₆₄₅ 0 2 1 0 4 1 1 « 2 2 0 a 0 « 2 3 0 0 0 2 4 1 « 4 4 • 0

fx

0 /• a2 2 =  — a₂₃ "Współczynniki- oznaczone *5  są  tymi parametrami, które należy w procesie optymalizacji dobrać celem zapewnienia odpowiedniej charakterystyki napę du ze wzglę du na tłumienie procesu przejś ciowego.

2. Optymalizacja parametrów dynamicznych

Wł asnoś ci dynamiczne obiektu reprezentuje macierz stanu A, zatem dla optymalizacji parametrów napę du sterów zapewniają cych najszybsze tłumienie wahań samolotu rozważ a -nia sprowadza się  do analizy ukł adu bez wymuszeń, czyli

x =  A- x. (2.1) Wartoś ci własne macierzy stanu A okreś lone są  przez równanie charakterystyczne o postaci:

I AT I I — 0.

gdzie: I —jest macierzą  jednostkową , a  , / " dla i = 1, 2, 3, 4] stanowią  wartoś ci własne macierzy A.

Macierz A nie musi posiadać rzeczywistych wartoś ci własnych, ale ponieważ |A- r l| =  0 ma współ czynniki rzeczywiste, to wszystkie zespolone wartoś ci własne muszą  być parami sprzę ż one.

4

Ponieważ trA =  J j r_t, a dla najszybszego tł umienia procesu przejś ciowego ż ą da się  aby wartoś ci własne był y niezależ ne i posiadał y jednakowe ujemne czę ś ci rzeczywiste a [1, 3] zatem:

»ff«- ~.  (2. 2) Zgodnie z tzw. Sylvestra warunek ujemnych wartoś ci o- jest speł niony, gdy:

4

detA =  [Jrt>0.

i

Warunek optymalizacyjny uzyskuje się  na drodze przekształ cenia macierzy stanu A w ma-cierz A stosują c przekształ cenie

x =   y e0

' , . (2.3) zatem:

A=  A- d,

i wówczas tr (A -  a I) =  tr A -  n •  a =  0

Poszukuje się  takich wartoś ci CH i xH aby rozwią zanie równania (2.4) był o rozwią -zaniem nierosną cym.

Ponieważ ś lad macierzy A jest równy zero

tr A =  0 ,

zatem wartoś ci wł asne det A winny być urojone lub równe zeru [1]. Przekształ camy w tym celu wyznacznik charakterystyczny macierzy do wielomianu

|A- a)l| =  {~\ )

n

[(o"- p

_L

m

n

-

1

 +p

₂

w"-

2

 + ... +(- l)"p„]. (2.5)

Współ czynniki/ ; (i = 1, 2, ..., n) tego wielomianu wyraż ają  się  za pomocą  elementów ma-cierzy A w sposób nastę pują cy:

=  5

_u

+ 3 a

₃

+  ... +a

_nl

, =

= tr A,

d2—jest sumą  minorów gł ównych (tj. minorów poł oż onych symetrycznie wzglę dem gł ów-nej przeką tnej) stopnia drugiego macierzy A

7 1 - 1

au au cfji aJ3

p3 — jest sumą  minorów gł ównych stopnia trzeciego

y

j > i,

Ps = n- 2

2

a u a,j alh h > j > i, itd, a p„ =  det A,

gd zie : ~aH = au — a.

Rozwią zanie równania bę dzie nierosną cym jeż eli:

Pi > 0, dla i — parzystych, Pi =  0, dla i — nieparzystych.

Otrzymuje się  w ten sposób warunki na charakterystykę  ukł adu napę dowego steru, a wię c

na CH i xH, która zapewnia najł agodniejsze sterowanie samolotem przy najkrótszym czasie

trwania procesu przejś ciowego.

D la rozpatrywanego przykł adu A ma postać: - o -  1 0 0 02i a₂₂ — a a₂₃ a₂*

0 0  - e r 1

«4i «42 a%3 a%A

-a poszukiwane warunki są  nastę pują ce:

OP TYM ALI Z AC JA U KŁ AD U  STEROWAN IA. 647 p2 =  3a

2

- a(2a22+at4)- (a2l + ai3) > 0, p3 =  - 2a

3

 + o2(2a22+a%4) + 0(a2l- a22a%4+a$3+a42+a24)+ (2.6) + (a4.2a23- a22ai3) =  0, p4 -  det A =  < 7 4 - cr3 ( a2 2 +  fl|4) +  ff 2 (a22^4- «l3- «42«24~«22) +

+  (T(fi(22fl43- «42fl23+ a21.a*l- fl24«4j) +  («23fl41- a2ia*3) >  0.

N ajszybsze tł umienie wymaga aby współ czynnik a%4 był  co do bezwzglę dnej wartoś ci

jak najwię kszy. Z atem jego wartość należy dobrać pod tym ką tem widzenia, uwzglę dniają c moż liwoś ci konstrukcyjne.

Ponieważ

zaś CH —jest współ czynnikiem tł umienia w ukł adzie wychylenia steru wysokoś ci,

wię c moż na dobrać współ czynnik a%A drogą  zwię kszania  ——^ —— oraz M\  Wartość —

moż na wstę pnie dobrać dla izolowanego napę du sterów. Z relacji najszybszego tł umienia dla ukł adu oscylacyjnego wynika

Pozostaje wię c dobran ie odpowiedniej wartoś ci współ czynnika a%3. Wykorzystuje się

do tego celu warunek na/ >3 =  0, z którego wynika, że a%3 winna mieć wartoś ć:

( 2

'8 )

Wartość ta musi pon adto speł niać warunki

p2 > 0 i p4 > 0,

czyli det A > 0 dla n — parzystego.

Zresztą  ten ostatni warun ek jest warunkiem koniecznym statecznoś ci ukł adu w ogóle. Istotne znaczenie mają  tu relacje mię dzy współ czynnikami wiersza drugiego i czwartego macierzy A. Szczególnie istotną  rolę  odgrywa ich zależ ność od prę dkoś ci i wysokoś ci lotu jak i stosunek pochodnych współ

czynników aerodynamicznych samolotu i sterów. Szczegó-ł owe omówienie ich wpczynników aerodynamicznych samolotu i sterów. Szczegó-ł ywu n a strukturę  ukczynników aerodynamicznych samolotu i sterów. Szczegó-ł adu sterowania i na optymalne wartoś ci od-powiednich współ czynników wymaga oddzielnego opracowania.

Wnioski

Zastosowanie nowej metody syntezy liniowego ukł adu dynamicznego przedstawiono na uproszczonym m odelu mechanicznym. U proszczenia idą  tak daleko a by\  jednej strony dać jak najbardziej przejrzysty obraz stosowania metody i wynikają cych z tego korzyś

ci, z dru-giej zaś strony aby model nie zniekształ cał  nadmiernie sensu fizycznego procesu. Za taki model uzn an o sterowanie podł uż nym ruchem samolotu, przy zał oż eniu, że mał

e pertur-molotu i dynamiki ukł adu sterowania. Potwierdzenie sł usznoś ci takiego zał oż enia wymaga porównania wyników ukł adu uproszczonego i ukł adu pomijają cego te uproszczenia. Zagadnieniu temu poś wię cona bę dzie oddzielna praca.

Korzyś cią uproszczonego modelu jest przejrzystość uzyskanego wyniku w postaci za-leż noś ci (2.8). P okazano w n im sprzę ż eni e charakterystyki dynamicznej samolotu i od-kształ calnego ukł adu sterowania. Znaczenie tej zależ noś c i jest szczególnie istotne dla pro-cesu projektowania.

D odatkową  korzyś cią jaką  daje zastosowanie proponowanej metody syntezy jest prosto-ta w uzyskaniu odpowiednich czę stoś ci wahań ukł adu. U ł atwia t o rozwią zanie równania dla ukł adu przekształ conego. Wyznaczenie pierwiastków czysto urojonych dla wyjś ciowego ukł adu 4- go rzę du sprowadza się  do rozwią zania równania bikwadratowego. D aje to moż li -wość uniknię cia stanów krytycznych [2] dla przypadku kiedy czę stoś ci zbliż ają  się  do siebie. Z punktu widzenia praktycznego posiada to niebagatelne znaczenie.

Literatura

1. S. DUBIEL, Liniowy ukł ad dynamiczny o najszybszym tł umieniu. Mech. Teoret. i Stosów. III/ 1986. 2. S. DUBIEL, M. PURWIN, Stan krytyczny w ukł adzie sterowania rakietą  w wią zce prowadzą cej. Biul. WAT

nr 10 (326) 1979 r.

3. A.  H . FonyEEHqEBj HmneipaAbHbie Memodu e dunaMUKe. K n e ś 1967  r .

4. A. KRZYŻ ANOWSKI, Dynamika nieautonomicznego ruchu samolotu z odkształ calnymi ukł adami sterowania — rozprawa doktorska WAT. Warszawa 1982 r.

P e 3 w M e

n P H M E H E H H E M AT P H ^ H O r O  M E T O M K 0n T H M H 3AD ; H H  HE>KECTKOfi[ CH CTEM LI yilP ABJI E H H il

orrniM H 3aicH n CHCTeMbi, o 6e c n ei

iH B a io m a H  caiwoe G bicT p o e 3a iyxa H iie n e p e xo flH o r o n p o q e c c a pjw jiu M ean o H  C H C TC M M o n u c a u H o H  M aTepiraH o- BeKTopH biM H  yp a BH ejo r a M H .

yCJIOBHH  B MaTpH IH OH  (boplYie flaiOT B03M0>KH0CTb 6 t I C T p o r o yCTaHOBJieHHH  COOTBeTCTByiOIUHX Kosi})(J)HHHeHTOB flnH  JiH tieH H MX CHCTeMj a B G oJiŁuiHHCTBe c jiyya e B ypaBn eH JM i yn p a sjiJ ie M b ix flH H aMn-MecKHX o6- teKToB n pH BefleH bi B ^ o p iwe M a i p a t m o fl cucTeM M yp a Bn eH H H .

fljia H JiJiiocTpaqH H  MeTOfla n p H Beflen  n p i m e p flU H aMH KH  n p o flo n B H o r o flBiiH <eiiH H  caM oJieTa c ia-pyjlH MH  BBICOTbl H  HeH<eCTK0H  CHCTeMOH

S u m m a r y

MATRIX METHOD  APPLIED  TO OPTIMIZATION  O F  TH E D EFORMABLE CON TROL SYSTEM CHARACTERISTICS

In most of the cases the dynamical control systems are presented in terms of the system of differential equations in the matrix form. Then the coefficients of linear systems of the strongest damping can be deter-mined directly from th i optimization conditions. The application of the matrix method has been illustrated by optimization characteristics of the deformable control system for the longitudinal motion of an airplane.