Zestaw I

1

Szeregi potęgowe

Zadanie 1. Znaleźć promienie i przedziały zbieżności następujących szeregów: (a) ∞ X n=1 xn n (b) ∞ X n=1 xn n2 (c) ∞ X n=1 (−1)nx n n (d) ∞ X n=0 nxn _(e) ∞ X n=0 3n_xn _(f) ∞ X n=0 3n √ 2nx n (g) ∞ X n=0 xn n! (h) ∞ X n=0 n!xn _(i) ∞ X n=0 (−1)n x 2n (2n)! (j) ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n + 1)!) (k) ∞ X n=0 nn_xn Zadanie 2. Wykazać, że

 ∞ X n=0 xn2 = ∞ X n=0 (n + 1)xn dla |x| < 1.

Zadanie 3. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:

(a) ex _{(b) sin x (c) cos x}

2

Funkcje wielu zmiennych

Zadanie 1. Wyznaczyć i naszkicować dziedzinę funkcji:

(a) f (x, y) =√x_{− 1 + ln(2y + 3)} (b) g(x, y) =√_{2x − y + 1} (c) h(x, y) =√x2_{+ y}2_{− 1 − ln(4 − x}2_{− y}2₎

(d) i(x, y) = arc sin y

x (e) j(x, y) = arc sin xy

Zadanie 2. Wykazać, że funkcja

f_{(x, y) = ln x · ln y}

spełnia warunek

f(xy, uv) = f (x, u) + f (x, v) + f (y, u) + f (y, v).

Zadanie 3. Obliczyć granice:

(a) lim (x,y)→(3,π 3) x2sin y (b) lim (x,y)→(−π 2, π 2) sin x

cos x + 1 (c) (x,y)→(lim3 2,− 1 2) ln(x + y) x_{− y} (d) lim (x,y)→(0,0) x(y2_{+ 1)}

sin x cos y (e) (x,y)→(∞,0)lim

arc tg x

arc cos y (f) (x,y)→(ln 2,0)lim e

x+y

Zadanie 4. Zbadać, czy istnieje granica: lim

(x,y)→(∞,∞)xe

3

Pochodne cząstkowe

Zadanie 5. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji:

(a) f (x, y) = x2_{y (b) f (x, y) = x}2_y3_{+ xy + y (c) f (x, y) = x + y}2_{+ 2}

(d) f (x, y) = cos x + sin y − xy + 3 (e) f (x, y) = 2x2_y4_{− x}2_{− x cos y + 1}

(f) f (x, y) = cos x ln y + ex_{− ln y (g) f (x, y) = sin x cos y − e}y_{ln x + x + 2}

(h) f (x, y) = xy2_ey_{+ x sin x − y (i) f (x, y) = xe}x_y2_{ln y + x}2_y2_{sin y − x}

(j) f (x, y) = x+ y x_{− y} (k) f (x, y) = ex_{ln y} x2_{+ y}2 (l) f (x, y) = sin x cos y sin x + cos y (m) f (x, y) = ex2+y3 _{(n) f (x, y) = sin(x}2_{y) (o) f (x, y) = ln(2x − y}2₎ Zadanie 6. Znaleźć pochodne cząstkowe i ich wartości w podanym punkcie (x0, y0):

(a) f (x, y) = x sin x ln y, (x0, y0) = (π₂,1) (b) f (x, y) = ex_{ln y, (x} 0, y0) = (0, 1) (c) f (x, y) = x cos x · y sin y, (x0, y0) = (π₄,π₂) (d) f (x, y) = e x_{ln y} eyln x, (x0, y0) = (ln 2, e 2₎ (e) f (x, y) = e x_{sin y} ex+ ey, (x0, y0) = (0, π) (f) f (x, y) = x5_{arc tg x · ye}y_{, (x} 0, y0) = (1, ln 3) (g) f (x, y) = ex2+y3_{, (x} 0, y0) = (−1, 1) (h) f (x, y) = sin(x2_{− y}2_{), (x} 0, y0) = ( q π 2,0) (i) f (x, y) = ln(x2_{+ y}5_{), (x} 0, y0) = (0, 1)

(j) f (x, y) = arc tg(sin x + cos y), (x0, y0) = (−π₄,−π₄,)

(k) f (x, y) = ex+2y+sin x_{, (x} 0, y0) = (0, 1) (l) f (x, y) = sin(xy) + ex2_{, (x} 0, y0) = (π₂,1) (m) f (x, y) = (x + y)x_{, (x} 0, y0) = (1, 0)

Zadanie 7. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji: (a) f (x, y, z) = x2_y3_z4 _{+ xy}2 _{+ yz}3

(b) f (x, y, z) = x sin y cos z + ey_{cos z}

(c) f (x, y, z) = x+ y

2_{+ z}3

x3_{− y}2_{− z}

(d) f (x, y, z) = ex2+y3+z4

Zadanie 8. Znaleźć pochodne cząstkowe rzędu 2 funkcji:

(a) f (x, y) = x2_{+ cos}2_{x (b) f (x, y) = e}x2+y2 _{(c) f (x, y) = x}2_ex2+y2

(d) f (x, y) = ln(x2_{− y}2_{) (e) f (x, y) = arc tg(y}2_{− x}2_{) (f) f (x, y) = sin(e}x_{− e}y₎

(g) f (x, y, z) = x2y+ y2z+ z2x (h) f (x, y, z) = xyzex+y+z (i) f (x, y, z) = 2x2_{+ y}2_{+ z}2_{+ 2xy − 4y + z (j) f (x, y, z) = x +} y 2 4x+ z2 y + 2 z

Zadanie 9. Zapisać macierz drugiej pochodnej funkcji f w podanym punkcie: (a) f (x, y) = x4_y3_{, (x} 0, y0) = (1, 2) (b) f (x, y) = ex2_{y, (x} 0, y0) = (0, 3) (c) f (x, y) = x2ey_{, (x} 0, y0) = (2, 0) (d) f (x, y) = x3_y2_{(6 − x − y), (x} 0, y0) = (3, 2) (e) f (x, y) = ex−y_(x2_{− 2y}2_{), (x} 0, y0) = (−4, −2) (f) f (x, y, z) = x2_{+ y}2_{+ z}2 _{− xy − xz − yz, (x} 0, y0, z0) = (1, 2, 3) (g) f (x, y, z) = xyz(4 − x − y − z), (x0, y0, z0) = (1, 1, 1)