Podstawowe idee mechaniki Heinricha Hertza

Aszot G rig orja n

P O D S T A W O W E IDEE M E C H A N IK I H E IN R IC H A H E R T Z A *

W X V I I w. dzięki pracom Galileusza i Newtona zostały ustalone za­ sadnicze podstawy klasycznej mechaniki.

W wiekach X V I I I i X I X Euler, d ’Alem bert, Lagrange, Ham ilton, Jacobi i Ostrogradski, wychodząc z tych podstaw, zbudowali wspaniałą konstrukcję analitycznej mechaniki i zaopatrzyli ją w mocne, matema­ tyczne metody.

W ydaw ało się, że mechanika — ten raj nauk matematycznych, jak ją nazwał Leonardo da V in ci — osiągnęła w ysoki stopień doskonałości i zupełności. Zupełność ta była jednak tylko pozorna, gdyż w podstawo­ wych pojęciach i prawach mechaniki zostały zawarte rozliczne trudnoś­ ci, które tylko chw ilow o b y ły odsunięte, ale bynajm niej nie rozwiązane, głębokim rozkw item analitycznej mechaniki.

Jeszcze przed gruntowną rew izją fizyczn ej treści podstawowych za­ sad mechaniki klasycznej, dokonaną przez teorię względności i mecha­ nikę kwantową, pojaw iło się w iele prac, w których od nowa starano się uściślić te zasady. Te usiłowania związane b y ły przede wszystkim z tym , że jednocześnie z fizyk ą ciał dyskretnych-powstała fizyk a ciągłego pola, wym agająca krytycznego przeglądu podstaw klasycznej mechaniki.

Takim usiłowaniem była w szczególności znakomita książka H einri­ cha Hertza Zasady m echaniki wyłożone w now ym u jęciu 1, która speł­ niła ważną rolę nie tylko w rozw oju klasycznej mechaniki, ale i w h i­ storycznym przygotowaniu teorii względności Einsteina.

F IL O Z O F IC Z N E P O D S T A W Y M E C H A N IK I H E R T Z A

Przedśm iertne dzieło H ertza Zasady m echaniki nie miało na celu rozwiązania praktycznych zadań czy opracowania metod mechaniki. Ce­ lem dzieła było pokazanie, jak ogólne twierdzenia mechaniki i cały je j m atem atyczny aparat mogą być konsekwentnie rozw inięte w oparciu o jedną zasadę.

W świetle marksistowsko-leninowskiej filo z o fii i postępów nowo­ czesnej fiz y k i jest jasne, że rozwiązanie tego problemu przez H ertza miało mechaniśtyczny charakter. Jednakże u podstaw tego rozwiązania leżała prawidłowa, m aterialistyczna tendencja do rozpatryw ania wszyst­ kich zjawisk p rzyrody jako p rzejaw ów ruchu materii. Ograniczenie

* Artykuł nadesłany z M oskwy przez prof. A . T. Grigorjana, znanego czytelnikom „Kwartalnika” dzięki artykułowi Z osiągnięć i zadań historii nauki i techniki

w ZSR R (nr 3— 4/1964), tłumaczył doc. Stanisław Szpikowski.

1 Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Leipzig

1394. Dalej cytuję w edług edycji dzieł zebranych: Heinrich H e r t z , Gesammelte

Werke. T. 111. Leipzig 1910.

m aterializm u Hertza do ram mechanistycznego światopoglądu i pew ien w p ły w rozlicznych odmian kantyzmu b y ły przyczyną jego niekonsek­ w en cji i wahań m iędzy kantyzmem a materializmem.

W ykorzystując te wahania i poszczególne odchylenia od konsek­ wentnego, m aterialistycznego światopoglądu, idealiści różnych odcieni usiłowali, przekręcając fakty, pokazać, że koncepcje filozoficzne leżące u podstaw Zasad m echaniki Hertza posiadają kaniowski albo machi- stowski charakter. W M aterializm ie i em piriokrytycyzm ie Lenin k ry ty ­ kuje te m anew ry idealistów i broni materialistycznych podstaw Zasad m echaniki znakomitego niem ieckiego fizyka. „H . Cohen — pisze Lenin — usiłuje zwerbować sobie sojusznika w osobie znakomitego fizyka Hen­ ryka Hertza. H ertz jest nasz, jest kantystą, tu i ówdzie zakłada on coś a p r io r i! H ertz jest nasz, jest machistą — oponuje machista K lein p eter — albowiem prześwieca u niego »ten sam, co u Macha, subiektywistyczny pogląd na istotę naszych p ojęć«. Ten zabawny spór o to, czyj jest Hertz, stanowi doskonałą próbkę tego, jak filo zo fo w ie idealistyczni podchwy­ tują wszelki, choćby nawet najdrobniejszy błąd, najdrobniejszą niejas­ ność w wypowiedziach znakomitych przyrodników w celu usprawiedli­ w ienia sw o jej odświeżonej z lekka obrony fideizmu. W rzeczywistości jednak filo zo ficzn y wstęp H. Hertza do jego M echaniki ujawnia zw ykłe stanowisko przyrodnika zastraszonego przez profesorskie wrzaski prze­ ciw «m etafizyczności» materializmu, ale w żaden sposób nie mogącego przezw yciężyć instynktownego przekonania o realności świata zewnętrz­ nego. P rzyzn aje to sam Kleinpeter, z jednej strony bombardujący masę czytelników na wskroś kłam liw ym i broszurkami popularnymi o teorii poznania p r z y r o d o z n a w s t w a , w których Mach figuru je obok Hertza — a z drugiej strony przyznający w fachowych artykułach filo ­ zoficznych, że «H ertz w przeciw ieństwie do Macha i Pearsona wciąż jeszcze trzym a się przesądu, jakoby całą fizyk ę można było objaśnić mechanicznie», że zachowuje on pojęcie rzeczy w sobie i «zw yk łe sta­ nowisko fizy k ó w », że «w ciąż jeszcze uznaje istnienie świata w sobie» itd.” 2.

Podkreślając niekonsekwencje Hertza, Lenin jednocześnie stanow­ czo w ydziela podstawową m aterialistyczną linię mechaniki Hertza, przeciwstawiając ją kaniowskiemu aprioryzm ow i i machistowskiemu subiektywizmowi. Lenin pisze: „R e y również nie zna absolutnie dia- lektyki. L ecz i on zmuszony jest stwierdzić, że wśród fizyk ó w najnow ­ szego pokolenia nie brak kontynuatorów tradycji «mechanizmu» (tzn. materializmu). Drogą «m echanizm u» — stwierdza — idą nie tylko K irch - hoff, Hertz, Boltzmann, M axw ell, Helmholtz, lord K e lv in ” 3. I dalej: „[...] H ertzow i nie przychodzi nawet do głow y możliwość zapatrywa­ nia się na energię w sposób niem aterialistyczny. D la filo zo fó w energe­ tyka stała się powodem do ucieczki od m aterializm u do idealizmu. P r z y ­ rodnik zapatruje się na energetykę jako na dogodny sposób wyłożenia praw ruchu materialnego w takim okresie, kied y fiz y c y — jeżeli m ożn a, tak się w yrazić — odeszli już od atomu, a nie doszli jeszcze do elek­ tronu” 4.

W e wstępie do M echaniki H ertz wysuwa jako najbliższy i najw aż­ niejszy cel naukowego poznania przew idyw anie pożytecznych przyszłych

2 W . I. L e n i n , Dzieła. T. 14. W arszawa 1949, ss. 324— 325. 3 Tamże, s. 302.

Podstawowe idee mechaniki Hertza 547

odkryć i organizowanie, ze względu na nie, naszych praktycznych i teo­ retycznych w ysiłków w teraźniejszości.

W procesie poznania, w edług Hertza, w ych odzi się z nagrom adzonego już doświadczenia. Metoda zaś wyprow adzania (przew idyw ania) p rz y ­ szłości z przeszłości polega na tym, że z nagromadzonego bogatego ma­ teriału doświadczalnego sprawdzonego przez praktykę kształtują się „w ew n ętrzn e obrazy” (tj. pojęcia) zewnętrznych przedm iotów. „O b ra zy” te pow inny spełniać następujące podstawowe wym aganie: logicznie ko­ nieczne następstwa tych „obrazów ” czy pojęć pow in ny być „obrazam i” naturalnie koniecznych następstw własności zewnętrznych przedm io­ tów. A b y to wym aganie mogło być spełnione, powinna oczywiście istnieć pewna odpowiedniość m iędzy przyrodą a naszym myśleniem. P raktyka pokazuje, że taka odpowiedniość istnieje w rzeczywistości. O dpow ied­ niość, u której podwalin leżą wspólne prawa myślenia i świata zew n ętrz­ nego, wyjaśnia, dlaczego logicznie konieczne następstwa poprawnych pojęć naukowych niezawodnie urzeczywistniają się niezależnie od czło­ wieka lub p rzy jego współdziałaniu, skoro tylko pojaw ią się w szystkie konieczne warunki.

Te podstawowe, gnoseologiczne tw ierdzenia H ertza w yrażają jego m aterialistyczny pogląd na cel i metodę naukowego poznania przyrody. Jako przyrodoznawca H ertz przekonany był o obiektywności przyrody. Poznaw szy obiektywne prawa rozwoju zewnętrznych przedm iotów, m oż­ na świadomie przyspieszyć nastąpienie przyszłości, tj. wykorzystać obiek­ tyw ne prawa przyrod y w interesie człowieka.

K S IĄ Ż K A H E R T Z A Z A S A D Y M E C H A N IK I I JEJ M IEJSCE W R O Z W O J U M E C H A N IK I

Osobne miejsce wśród wariacyjnych zasad mechaniki, z których po­ w in n y wynikać całki lub funkcje posiadające ekstrema dla rzeczyw i­ stego ruchu układu, zajm uje zasada najm niejszego przymusu Gaussa. Zasada ta ma charakter ogólnego praw a i może być wyrażona jednym z najprostszych analitycznych sformułowań, w edług którego poszuki­ wanie równania ruchu dowolnego układu, holonomicznego czy nieholo- nomicznego, sprowadza się do znajdowania minimum funkcji drugiego stopnia.

Ustalenie tej zasady, opublikowanej przez Gaussa w 1829 r., zw ią­ zane jest, na co sam Gauss zwraca uwagę, z jego pracami nad metodą najmniejszych kwadratów.

W krótkiej n o tatce9 Gauss ze zdumiewającą jasnością i lakonicznoś­ cią nie tylko naświetlił zagadnienia związane ze sformułowaną zasadą, ale także w y ra ził wielce interesujące uw agi metodologiczne i dokonał krótkiego przeglądu istniejących wówczas zasad mechaniki. Rozpatru­ jąc ich znaczenie, pisał: „Jeśli dla postępu w rozw oju nauki i w bada­ niach indywidualnych w ydaje się bardziej poręczne przechodzenie od rzeczy łatwych do trudniejszych, od praw prostych do bardziej złożo­ nych, to, z drugiej strony, umysł nasz, doszedłszy do odpowiednio sze­ rokiego spojrzenia, potrzebuje odwrotnej drogi, w której św ietle cała statyka przedstawia się mu jako szczególny przypadek dynamiki. Także

5 K. F. G a u s s , Ob odnom nowom obszczem principie miechaniki. Aneks do rosyjskiego wydania dzieła: J. L. L a g r a n g e , Analiticzeskaja miechanika. T. 2. M oskwa— Leningrad 1950, ss. 411— 414.

wspom niany przez nas geom etra (mowa o Lagran ge’u — przyp. autora), ocenił, jak się w ydaje, tę odwrotną drogę, przedstawiając jako zaletę zasady najm niejszego działania możliwość ujęcia jednocześnie praw ru­ chu i praw równowagi, jeżeli rozpatrywać ją w charakterze zasady naj­ większej czy najm niejszej siły żyw ej. N a leży jednak przyznać, że myśl ta okazuje się bardziej pomysłowa, niż prawdziwa, gdyż w tych dwóch wypadkach minimum ma miejsce p rzy całkowicie różnych warunkach” 6. Taki punkt widzenia Gaussa doprowadza go w sposób naturalny do sformułowania ogólnej zasady mechaniki — zasady najm niejszego p rzy­

musu. '

Ścisłe sformułowanie zasady Gaussa brzmi: dla m aterialnego układu z w ięzam i bez tarcia, znajdującego się pod działaniem dowolnych sił, rzeczyw isty ruch odróżnia się od wszystkich pozostałych ruchów ż tym i samymi więzam i tym, że dla niego reakcja w ięzów (a także i ciśnienie na w ię zy ) osiąga najmniejszą wielkość, jeśli nie brać pod uwagę ruchu swobodnego.

Głębokie rozw inięcie idei Gaussa, w związku z ideą Helm holtza o ki­ netycznym wyjaśnieniu wszystkich rodzajów energii p rzy pomocy „u k rytych ruchów” , podał Heinrich H ertz w latach dziewięćdziesiątych X I X w., opracowując zasadę najprostszej drogi. Wartość poznawcza tej zasady polega na tym, że sprowadza ona zadania mechaniki do proble­ mu lin ii geodezyjnych, w sposób zasadniczy geom etryzując klasyczną dynamikę.

W e wstępie do Zasad m echaniki H ertz charakteryzuje istniejące po­ glądy na procesy mechaniczne. Opisuje, jak d o p ołow y X I X w. uważa­ no, że pełne wyjaśnienie zjawisk p rzyrod y uzyskuje się przez sprowa­ dzenie tych zjawisk do niezliczonych, działających na odległość sił m iędzy atomami m aterii. A le w końcu X I X w., pod w p ływ em szybko rosnącego znaczenia zasady zachowania energii, fizyk a zaczęła fa w o ry­ zować rozważania „zjaw isk należących do niej jako przemian jednej fo rm y energii w drugą i uważać za ostateczny cel sprowadzenie tych zjaw isk do praw przem iany energii” 7. Tak w ięc w mechanice pojęcie siły ustępuje pojęciu energii. Jednakże, jeśli obraz mechaniki oparty na pojęciu siły został ustalony, „to o drugim obrazie pow iedzieć tego nie można” 8. Zdaniem Hertza, wychodzi się tutaj z czterech niezależnych, podstawowych pojęć, a związki m iędzy nimi pow in ny stanowić treść, mechaniki. Dwa z tych pojęć, według Hertza, posiadają matematyczny charakter — to przestrzeń i czas; dw a pozostałe — masa i energia — wprowadzone jako dw ie fizyczn e wielkości, Obdarzone są własnościami niezniszczalności. Z analizy w yn ik ów doświadczenia w yw od zi się wnio­ sek, że energię możną rozdzielić na dw ie części: jedna za leży tylko od prędkości zmian uogólnionych współrzędnych, a druga od samych współ­ rzędnych. Są tu związane ze sobą pojęcia przestrzeni, masy' i energii. A b y związać wszystkie cztery pojęcia, a w związku z tym i b ieg czasu, posłużyć się można jedną z całkowych zasad zw yk łej mechaniki używa­ jącej pojęcia energii. „Jest praktycznie obojętne, którą zasadę w yk orzy­ stamy; można posłużyć się zasadą Hamiltona, do czego m am y pełne praw o” 9.

6 Tamże, s. 412.

7 H. H e r t z , op. cit., s. 28. 8 Tamże.

Fodstawowe idee mechaniki Hertza 549

W jakim stosunku obraz ten pozostaje do obrazu klasycznej mecha­ niki? Przede wszystkim ujm uje on znacznie w ięcej cech ruchu niż kla­ syczny, oparty na pojęciu siły.

Podstawowe pojęcia tego obrazu mogą być związane zasadą H am il­ tona, której znaczenie w id zi H ertz w tym, że różnica m iędzy energią k i­ netyczną a potencjalną powinna być m ożliw ie mała w ciągu całego cza­ su ruchu.

Chociaż ta zasada nie ma prostej form y, ujm uje ona w jednym je d y ­ nym wyrażeniu w sposób jednoznaczny wszystkie istotne zam iany ener­ gii z jednego rodzaju na drugi, a tym samym pozwala przew idzieć p rzy­ szły przebieg zjawisk fizycznych (przynajm niej odwracalnych). Jednakże zasada Ham iltona w zw ykłej postaci nie obejm uje ruchu układów z nie- holonomicznymi więzami.

H ertz wysuwa trzeci system zasad mechaniki, k tóry odróżnia' się od pierwszych dwóch głównie tym, że próbuje oprzeć się tylko na trzech podstawowych pojęciach: czasie, przestrzeni i masie. H ertz p ow ołu je się p rzy tym na K irc h h o ffa 10, k tóry w swoim kursie mechaniki jeszcze wcześniej zauważył, że te trzy niezależne od siebie pojęcia są konieczne, ale także i dostateczne do rozw oju mechaniki. Zamiast siły i energii, które H ertz usunął z podstawowych pojęć, w prow adził on pojęcia ukry­ tych więzów, ukrytych mas, ukrytych ruchów.

Podstawową zasadę, wiążącą fundamentalne pojęcia przestrzeni, czasu i masy, w yraża H ertz w postaci będącej ścisłą analogią do zw y ­ kłego prawa bezwładności: „K a żd y rzeczyw isty ruch niezależnego ukła­ du materialnego polega na tym, że układ porusza się ze stałą prędkoś­ cią po jednym ze swoich najprostszych torów ” 11.

Takie ujęcie obejm uje zasadę bezwładności i jednocześnie zasadę najm niejszego przymusu w jedno stwierdzenie.

Prostym torem nazywa H ertz taki tor, którego w szystkie elem enty m ają jednakowe kierunki, a k rzyw ym — taki, w k tórym kierunki ele­ m entów ulegają zmianie. Podobnie jak w geometrii, tak i tutaj w p row a­ dza się definicję k rzyw izn y jako prędkości zm iany kierunku p rzy zm ia­ nie położenia. Dla układu, którego ruch jest ograniczony w ięzam i, ze Wszystkich m ożliw ych torów w yróżniają się te, które posiadają szcze­ gólnie proste własności. T o są przede w szystkim te tory, które w e wszyst­ kich miejscach są zakrzywione tak znikomo, jak to tylko m ożliw e. Te właśnie tory nazywa H ertz najprostszymi toram i układu. Następnie idą to ry najkrótsze. Pojęcia torów najprostszych i najkrótszych zachodzą na siebie p rzy pewnych warunkach. „T en zw iązek — m ów i H ertz — będzie w pełni zrozumiały, jeśli w eźm iem y pod uwagę teorię powierzchni [...]. Przeliczenie i usystematyzowanie wszystkich występujących tu stosun­ k ów odnosi się do geom etrii układu punktów [...]. Poniew aż układ n punktów w ykazuje 3vi różnorodnych ruchów, które jednakże mogą być zmniejszone przez w ię zy układu do dowolnej liczby, tó w w yniku po­ w staje w iele analogii z geom etrią w ielow ym ia row ej przestrzeni, p rzy czym te analogie zachodzą po części tak daleko, że te same sytuacje i określenia mogą występować tak tu, jak i tam” 12.

Sens takiej m etody wykładu, według Hertza, polega przede w szyst­ kim na tym,' że pozwala ona na usunięcie sztucznego rozdziału mecha­ 10 G. K i r c h h o f f , Vorlesungen über theoretische Physik. T. 1: Mechanik. Leipzig 1872, s. 1.

11 H. H e r t z , op. cit., s. 33 . 12 Tamże, s. 36.

niki punktu od mechaniki układu. Oprócz tego taka zgeometryzowana metoda „jasno uwypukla ten fakt; że metoda wykładu Hamiltona po­ siada korzenie nie w specjalnych podstawach mechaniki, jak to zw yk le się uważa, ale że jest ona, właściw ie mówiąc, czysto geometryczną m e­ todą, która może być uzasadniona i rozwinięta zupełnie niezależnie od mechaniki, nie znajdując się z nią w bardziej ścisłym związku niż do­ w olnie inny, w ykorzystujący mechanikę, geom etryczny system” 13. Zna­ lazło to w yraz w analogiach, które zostały w yjaw ion e p rzy konfrontacji idei Ham iltona w mechanice i w geom etrii w ielow ym iarow ej przestrzeni.

H ertz dowodzi, że dla holonomicznych układów, każdy najprostszy tor jest linią geodezyjną i odwrotnie, p rzy czym torem geodezyjnym układu materialnego nazywa tor, którego długość m iędzy dwoma dow ol­ nym i położeniami różni się jedynie nieskończenie małą wielkością w y ż ­ szego rzędu od długości dowolnie innego, nieskończenie bliskiego toru m iędzy tym i położeniami (dla układów nieholonomicznych zależność ta ńie zachodzi).

N ajkrótszy tor m iędzy dwoma położeniami jest torem geodezyjnym , ale tor geodezyjn y nie jest koniecznie najkrótszy, chociaż zawsze jest najkrótszy m iędzy dowolnymi, dostatecznie bliskimi, sąsiednimi poło­ żeniami, znajdującym i się w skończonej odległości jeden od drugiego. Koniecznym i dostatecznym warunkiem analitycznym linii geode­ zy jn e j jest, aby całka m iędzy dow olnym i dwoma położeniami toru miała w ariację równą zeru, p rzy czym w ariacje pow inny znikać na granicy całkowania a w ariacje współrzędnych i ich różniczki pow inny spełniać równania-warunki układu.

Znikanie w a riacji całki nie jest, jednakże, dostatecznym warunkiem tego, aby droga m iędzy dwoma skończonymi położeniami była najkrót­ sza; do tego konieczne jest, aby druga w ariacja była dodatnia. Dla dosta­ tecznie bliskich położeń sąsiednich warunek ten spełniony jest zawsze. Już z dotychczasowych rozważań widoczne są dwie właściwości me­ chaniki Hertza związane z tym, że w w yjściow ych założeniach ogranicza się on do trzech, a nie czterech (jak to miało miejsce u Newtona i H a­ m iltona) pojęć. P o pierwsze, brak pojęcia siły (czy energii) wśród pod­ stawowych pojęć powoduje zwiększenie trudności wykładu i nie daje prostego sposobu p rzy rozwiązywaniu konkretnych zadań. P o drugie, szczególnie ważna rola przypada obrazom geometrycznym. O ile p ierw ­ sza właściwość ograniczała praktyczne znaczenie mechaniki Hertza, o ty le druga była nadzwyczaj ważnym etapem na drodze syntezy anali­ tycznego i geom etrycznego aspektu mechaniki.

Następnie H ertz udowadnia twierdzenie, w którym w yrażon y został, w istocie rzeczy, głęboki związek jego mechaniki z geometryczną opty­ ką i twierdzeniem Beltrami-Lipschitza. Tw ierdzen ie Hertza głosi: je ­ żeli w ystaw ić w e wszystkich punktach pew nej powierzchni linie naj­ mniejszych dróg (a zatem, w wypadku układu holonomicznego — linie geodezyjne) prostopadłe do tej powierzchni i odłożyć na tych liniach równe odcinki, to otrzym am y nową powierzchnię, która będzie przeci­ nać te najkrótsze drogi także prostopadle.

W ten sposób w samym rdzeniu mechaniki Hertza zostały umiesz­ czone pojęcia geometryczne, które wiążą ją z ogólną teorią powierzchni. Przestrzenne form y ruchu mechanicznego materialnych ciał grają za­ tem u Hertza podstawową rolę.

Podstawowe idee mechaniki Hertza 551

W sposób naturalny nasuwa się zagadnienie związku m iędzy zasadą Hertza a zasadą najm niejszego działania E ulera-Lagrange’a w je j kla­ sycznej form ie i w form ie, którą nadał je j Jacobi, oraz zasadą Hamiltona. H ertz poświęcił temu zagadnieniu kilka rozdziałów książki. Pon ie­ w aż w systemie holonomicznym najprostsza droga m iędzy dwoma, do­ statecznie bliskimi, położeniami jest jednocześnie drogą najkrótszą, prze­ to rzeczywista droga układu m iędzy tym i położeniami jest krótsza, niż jakakolwiek inna m ożliw a droga m iędzy nimi. To tw ierdzenie natych­ miast prowadzi do zasady najm niejszego działania w ujęciu Jacobiego. Zgodnie ze zw yk łym rozumieniem mechaniki — zaznacza H ertz — przedstawione tw ierdzenie jest specjalnym wypadkiem tw ierdzenia Ja­ cobiego, a mianowicie wypadkiem, w którym nie ma sił. Jednakże „ w e ­ dług naszego zdania, na odwrót, założenia pełnego tw ierdzenia Jacobie­ go należy uważać za węższe, a tw ierdzenie Jacobiego — za specjalną form ę wyrażenia naszego tw ierdzenia” 14. Taki punkt widzenia H ertza oparty jest na tym, że Jacobi dla wykazania zasady najm niejszego dzia­ łania musiał wykorzystać p raw o zachowania energii, aby z jego pomocą W yrugować czas, zasada zaś H ertza zupełnie nie zależy od tego prawa. Oprócz tego formuła Jacobiego, w odróżnieniu od form u ły Hertza, jest słuszna tylko dla układów holonomicznych.

Łatw o jest dalej wykazać, idąc za Hertzem, że rzeczyw isty ruch swo­ bodnego układu holonomicznego przeprowadza ten układ z pewnego po­ czątkowego położenia w dostatecznie bliskie, końcowe położenie w krót­ szym czasie niż jakikolw iek inny dow olny ruch z jednakowym i, stały­ mi wartościami energii, gdyż w takim wypadku energia i prędkość po­ zostają jednakowe, a czas przejścia jest proporcjonalny do długości dro­ gi. W tym wypadku całka z energii po czasie równa jest iloczynow i danej stałej wartości energii przez czas, w jakim zachodzi zmiana poło­ żenia. W taki sposób otrzym uje się zasadę najm niejszego działania Eule- ra-Lagrange’a. Stosunek tej zasady do zasady H ertza jest taki sam, jak zasady najm niejszego działania w sformułowaniu Jacobiego.

Analogiczne rozumowanie może być przeprowadzone i dla zasady Hamiltona.

N a koniec rozpatruje H ertz zagadnienie, w jakim stopniu wnioski teleologiczne są naprawdę związane z tym i zasadami. W edług niego, taki związek nie w ynika w sposób konieczny z rozważania przyszłych celów ruchu. Co w ięcej, wyobrażenie o takim teleologizm ie jest naw et niedopuszczalne. Teza, że „takie pojm ow anie tych zasad nie jest koniecz­ ne, wynika z tego, że własności rzeczyw istego ruchu, ujawniające jak gdyby celowość, w rzeczy samej są przez nas ustanowione, jako koniecz­ ne następstwa prawa (to jest zasady Hertza — przyp. autora), w którym nie zawierają się żadne przesłanki do przew idyw ania przyszłości” 15. Niedopuszczalność takich wyobrażeń w ynika z tego, że „je ś lib y p rzy ­ roda rzeczyw iście miała na celu: osiągnąć najkrótsze drogi, najm niejsze straty energii, najkrótsze czasy, to niem ożliwością byłoby zrozumieć, jak mogą istnieć układy, p rzy których — choć osiągnięcie tego celu jest m ożliw e — przyroda doznaje niepowodzeń” 16.

W ten sposób H ertz z m aterialistycznej pozycji całkowicie odrzuca

14 Tamże, s. 175. 15 Tamże, s. 178. 16 Tamże, s. 196.

jakiekolw iek teleologiczne domniemania, wiązane bez należytego uza­ sadnienia z rozpatryw anym i zasadami.

Badając dalej charakterystyczne i główne funkcje Hamiltona, H ertz zaznacza, że w nich, według jego zdania, „zaw iera się tylko lekko za- w oalow any prosty sens najprostszej odległości [...]” 11.

Zasada Hertza byłaby po prostu specjalnym przypadkiem zasady Gaussa, gd yb y nie Zamiana sił, działających na układ, na w ięzi tego układu z innym i układami, w zajem nie oddziaływującym i. W ten spo­ sób H ertz jak gd yb y badał tylko swobodne układy. P r z y geom etrycznym zaś sposobie podejścia H ertz musiał uważać wszystkie masy za w ielo­ krotność pew nej umownej masy jednostkowej.

Som m erfeld słusznie zauważył, że „Mechanika Hertza wyłożona zo­ stała w w ysokim stopniu logicznie i zajmująco, ale z powodu zawiłości w y n ik łej z zamiany sił na w ię zy okazała się mało płodna” 18.

PO JĘ C IE S I Ł Y W M E C H A N IC E H E R T Z A

Mechanika H ertza często nazywa się „mechaniką bez sił” . Pojęcie siły, chociaż wprowadzone przez Hertza, nie jest pojęciem podstawo­ w ym i w yjścio w ym jego mechaniki. W tym w yraża się przede wszyst­ kim wyraźna różnica m iędzy mechaniką Hertza a zw yk łym je j w yk ła­ dem. Złożoność pojęcia siły w klasycznej mechanice, absolutyzacja jego przez w ielu skrajnych newtonistów oraz nęcąca możliwość wyjaśnienia siły ruchami pewnych (choćby i ukrytych) mas skłoniły licznych fiz y ­ k ów drugiej p ołow y X I X w. do podjęcia próby przebadania miejsca i sensu pojęcia s iły w systemie mechaniki.

N ajw ażn iejszym impulsem w tym w zględzie był rozw ój fiz y k i pola, w szczególności elektromagnetycznego.

K lasyczne pojęcie siły, które w ynikało z badania bezpośredniego kon­ taktu (zderzenia) dwóch mas, stopniowej. zaczęło być rozpatrywane nie jako w yraz oddziaływania ciał w procesie imchu, a jako coś, co nie za­ le ży od ruchu materii. Fizyka pola natomiast ze względu na sam swój charakter poddawała możliwość rozpatrywania sił jako pojęć wtórnych, wyrażających oddziaływanie środowiska (eteru) na ciała ciężkie.

W tym też kierunku szło wprowadzone przez Helm holtza pojęcie ukrytych mas i ukrytych ruchów w odniesieniu do specyficznego, nie mieszczącego się w ramach zw yk łej mechaniki, charakteru procesów cieplnych. D latego konsekwentne w ydaw ało się podjęcie próby w y rze­ czenia się w mechanice złożonego pojęcia siły jako pojęcia w yjściowego, a położenie u podstaw oddziaływań m iędzy u k rytym i a obserwowany­ m i masami. Zasadniczo koncepcja ta była postępowa, gdyż dążyła do wyrażenia wszystkich podstawowych pojęć mechaniki poprzez ruchy mas, które uważano za punkt w y jśc io w y rozważań. Jednakże, wobec hi­ storycznej ograniczoności fizyk i X I X w., w koncepcji te j charakter i sposób zachowania się ukrytych obiektów rozpatrywano jako czysto m echaniczny zespół oddziaływań. Oprócz tego ukryte masy pozostawa­ ł y ukrytym i, niepoznawalnym i elementami tego obrazu, co nieuchron­ nie prowadziło do agnostycznych. konkluzji.

H ertz nie był pierw szym uczonym, opracowującym w drugiej poło­ w ie X I X w. „mechanikę bez sił” . W najbardziej w yraźnej form ie pró­

17 Tamże.

Podstawowe idee mechaniki Hertza 553

bował przed nim zrobić to samo K irchhoff. K irch h o ff nie odrzucał zu­ pełnie pojęcia siły, a jedyn ie odmawiał mu pierwotności. „Mechanika, według naszego zdania — m ów ił — powinna czerpać określanie pojęć, z którym i ma do czynienia z jednego tylk o ruchu. Stąd wynika, że po wprowadzeniu układu sił w miejsce prostych sił mechanika nie jest w stanie podać dokładnego określenia pojęcia s iły” 19. Jednakże wszech­ stronnie rozw inął i logicznie w y ło ży ł ten punkt w idzen ia dopiero /Hertz. D rogę w kierunku w ykluczenia pojęcia siły wskazuje sama mecha­ nika Galileusza-Newtona. W ra z bowiem z w łaściw ym i siłami, będący­ m i przyczynam i zm iany stanu ruchu, mechanika ta w prow adziła drugi rodzaj sił, a m ianowicie siły Warunkujące w ię z y układu i ograniczające stopnie swobody jego ruchu. Kierunek tych ostatnich sił określony jest czysto geom etrycznym i warunkami, a wielkość ich, ściśle mówiąc — nie jest znana.

Mechanika elementarna w zw yk łym w yk ład zie miesza te dwa rodza­ je sił, rozpatrując siły w ięzó w jako właściwe siły o wielkości początko­ w o nie znanej. S iły ograniczające ruch sprowadzone są zatem do sił właściwych. Jednakże już w mechanice analitycznej różnica pom iędzy tym i siłami występuje bardzo Wyraźnie, w yraźn iej niż w mechanice ele­ mentarnej. W równaniach analitycznej mechaniki siły w ięzów ruchu mają zupełnie inną postać niż siły właściwe, będąc, określone tylko geo­ m etrycznym i warunkami ruchu.

H ertz postawił sobie zadanie odwrotne do tego, jakie w taki czy inny sposób rozw iązuje elementarna mechanika: c zy nie należy wszyst­ kich właściwych sił sprowadzić do sił ograniczających ruch? Być może, wszystkie w ogóle obserwowane zm iany prędkości, których nie w ym a­ ga jakoby punkt widzenia w ięzó w geometrycznych, spowodowane są, w rzeczy samej, nie siłami, ale jakimiś jeszcze nie zbadanymi geom e­ trycznym i więzami. Sama siła jest tylk o sposobem opisu tych więzów, dającym się stosować w pewnych warunkach, ale bynajm niej nie ko­ niecznym do jednoznacznego, jasnego i naukowego badania świata. P o ­ jęcie siły jako p rzyczyn y opóźnień czy przyspieszeń zupełnie nie w y ­ stępuje w mechanice Hertza. Siła, z punktu widzenia Hertza, jest tylko m iarą przenoszenia czy w zajem nej w ym ian y ruchu m iędzy „bezpo­ średnio sprzężonym i” układami. Zagadkowa energia potencjalna zacho­ wawczych układów zw yk łe j mechaniki okazuje się zw ykłą energią k i­ netyczną ukrytych układów materialnych. U podstaw oddziaływania występującego m iędzy odległym i ciałami (np. planetam i) le ży m aterial­ n y proces, przebiegający w ukrytych m aterialnych układach wiążących zwykłe, tzn. obserwowane, układy. Mechanika Hertza daje w ięc bardzo jasny, w ew nętrznie niesprzeczny, matem atycznie um otyw ow any obraz mechaniki. Jedynym brakiem tego obrazu okazuje się jego ... „ilu zo- ryczność” . H ertz w ykazał tylko, że ukryte czyli adiabatyczno-cykliczne układy, dopełniające zw yk łe układy do stanu swobodnego, obdarzone są wszystkim i własnościami zw ykłych, zachowawczych układów. A le z tego jeszcze nie wynika, że realne, zachowawcze układy okażą się ta­ kimi, jakim i są one w mechanice Hertza.

N osicielem ukrytych układów cyklicznych, w edług Hertza, jest świa­ to w y eter, a ponieważ ukrytym układom przypisuje H ertz ogólnie p rzy­ jęte własności mechanicznych ruchów, przeto i eter ma w mechanice Hertza charakter czysto mechanicznego układu: cząstkom eteru

rządkowane zostały własności zw yk łej m aterii bezwładnej, zw ykłe me­ chaniczne ruchy i kinetyczna energia, ruch cząstek eteru podporządko­ w any został prawom klasycznej mechaniki itd.

Główna wada mechaniki Hertza nie le ży w jej konkretnych mecha­ nicznych konstrukcjach, ale w uniwersalizacji rozw iniętej w tej mecha­ nice in terpretacji sił. Przekonanie H ertza o tym, że pozorne działanie

sił na odległość sprowadza się wyłącznie do ruchów mechanicznych w w ypełniającym przestrzeń środowisku, którego najmniejsze cząstki połączone są stałymi więzami, zostało obalone przez późniejszy rozw ój fizyk i, a przede wszystkim przez mechanikę Einsteina. Mechaniczna teoria eteru, na której oparty był system Hertza, okazała się bezpod­ stawna.

Jednakże niektóre ważne koncepcje teorii względności i mechaniki Hertza mają w iele wspólnego. W teorii względności ruch planet w okół Słońca w yjaśnia się bez wprowadzania działających sił, a p rzy pom ocy pojęcia bezwładności jako podstawowej własności ciał. Plan ety poru­ szają się, analogicznie jak w mechanice Hertza, po najkrótszych torach w przestrzeni Riemana. Pod tym względem rozbieżność m iędzy mecha­ niką Hertza a teorią względności polega tylko na tym, że w tej ostatniej materialne, poruszające się ciała określają m etrykę czasoprzestrzeni, je j geometrię, podczas gd y u Hertza taki ruch określony jest kinematycz­ nym i warunkami narzuconymi przez ukryte masy układu.

Bez w zględu w ięc na całe historyczne ograniczenie związane z m e- chanistycznym obrazem świata, mechanika Hertza odegrała doniosłą ro­ lę w rozw oju jednego z podstawowych zagadnień fizy k i — czasowo-prze- strzennej fo rm y ruchu materii.

OCHOBHblE H A EH MEXAHHKH TEHPHXA TEPHA

F e n p M K T ę p i ł iimpoKo H3BecTeH b o b c c m M H pe Kax o o t h H 3 Kpyimefinnuc y n eH B ix KOHua XIX Be- xa. OcTptiń h CMelmił yM, mupoKoe (¡Hranco-MaTeMaTmecKoe o6pa3óBaHHe, rjiy6oKoe noHHMame

OCHOBHLIX n p o S jlC M COBpeMCHHOFO eMy CCreCTB03HaHHiI H B H p T y 0 3 H0 e BJia/jeHHC TCXHHKOH 3K C n e-

pHMCHTa n o 3BOJ7HjiH re p y y nojiyH H Tb H ayiH B ie p e 3y jib T a T b i n e p B O C T e n e H H o ro w a 'te H H «. O h ^

o 6 o raran <j)H3mecKyio HayKy c b o h m h <j>yHAaMeHTajiBHbiMH HCCJieflOBamiaMH b oónacTH 3J ie K T p o - AHHaMHKH. H ap a ay c HCCJieflOBamiaMH no <|>H3HKe Tepu TaK*e pa3pa6aTbiBaji p a « aKTyanbHbix BOnpOCOB FHUpOflUHaMHKM, TCOpHH yilpyTOCTH, MCXaHHKH.

B nocjieflHHH nepHoa CBoefi jkh3hh oh Hanncaji cb oio 3HaMeHHTyio KHury Ilpmifunu Mexanmu,

u3/ioMceHiibte e noeou cen3u, Bbimefljnyro b CBeT yace nocne ero CMepTH. 3Ta KHHra Tepiia aBjiaeTCa

oflHHM H3 caMBix rny6oKHx h CBoeo6pa3HBix HccneflOBaHHii 4>yHflaMeHTantHBix M/ień KJiaccmec- Koił MexaHHKH b MHpoBoił Haymoił jiHTepaType. HcKjnoHHTenbHaa jionwecKaa CTpoiiHOCTb h 3a- BepmeHHOCTb, ójiecTam ec o6o6meiiHe M exaH H K H HbioTOHa, rjiyfioK aa reoMeTpH3au,Ha o c h o b flHHaMHKH xapaKTepH3yioT 3Ty n p e flC M e p T H y io paSory r . Tepua. BaacHO O T M eT H T b , h t o o Fepue HeoflHOKpaTHO ynoMHHaji B. H. JleHHH b CBoeft KBHre Mamepua/iU3M u 3MnupuoKpumuąu3M, o t - Heca ero k (J)H3HKaM-MaTepHajniCTaM. Fepijy, — iracaji JleHHH, — flaace h He npnxoflHT b r o - noBy B03M03KH0CTb HeMaTepnajiHCTH'iecKoro B3rjiaaa Ha 3Hepnno.

C T a T b a n o c B a m e H a p a S o T a M r e p u a b oÓ J iacT H M ex aH H K H h e r o (J>nnoco(j)CKHM B a r jia ija M .

P R IN C IP A L ID E A S O F H E IN R IC H H E R T Z’S M E C H A N IC S

Heinrich Hertz is widely known "the w orld over as one of the greatest scientists at the close of the nineteenth century. The sharp and bold mind, the broad education in physics and mathematics, the profound comprehesion of basic

Podstaw ow e idse m ech a n ik i H ertza 555

problems of contemporary natural science and the masterly command of the technique of experiment enabled Hertz to get scientific achievements of greatest importance. He enriched physical science with his fundamental research in the field of electrodynamics. Apart from investigations in the sphere of physics, he was also elaborating a number of important problems of hydrodynamics, of the theory of elasticity and of mechanics.

In the last years of his life, he wrote his famous book Principles of Mechanics,

Expounded in their N ew Connection which did not appear till he was dead. This

book of Hertz is one of the most profound and the' most original works on fun­ damental ideas o f classical mechanics in the w orld scientific literature. It is characterized by its exceptionally logical harmoniousness and elaborateness, by the excellent generalization of Newton’s mechanics and by the profound geo- metrization of the fundamentals of dynamics. It is important to emphasize that Lenin in his book Materialism and Empiriocriticism repeatedly referred to Hertz, counting him among the physicists-materialists. The possibility of a non-m ater­ ialist view on energy does even not come into his head, writes Lenin.

The paper deals with Hertz’s work in the field of mechanics and with his philosophical views.