z. 64 Transport 2008
Tomasz AMBROZIAK, Konrad LEWCZUK Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej
Zakład Logistyki i Systemów Transportowych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa
tam@it.pw.edu.pl; kle@it.pw.edu.pl
WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU
MAGAZYNOWEGO
Streszczenie
Referat ma na celu przedstawienie wybranych zagadnień harmonogramowania procesu przepływu materiałów w obiektach magazynowych. Zaprezentowane są podstawowe zasady konstruowania harmonogramów pracy urządzeń i ludzi w obiektach magazynowych.
W drugiej części referatu przedstawiono metodę programowania nieliniowego optymalizacji harmonogramu procesu przepływu materiałów ze względu na koszty realizacji procesu dla wybranych założeń technologicznych. Metoda została zobrazowana przykładem.
Słowa kluczowe: harmonogram, harmonogramowanie, proces magazynowy, modelowanie
1. WPROWADZENIE
Zgodnie z definicją [7] harmonogramowanie jest przewidywaniem i ustalaniem postępu prac poprzez przydzielanie środków pracy do zadań i ustalanie momentów rozpoczęcia wykonywania tych zadań. Składowymi problemu harmonogramowania są: zadania do wykonania, potencjalne ograniczenia, środki pracy oraz funkcja kryterium. Problem winien zostać rozwiązany tak, aby funkcja kryterium osiągała wartość optymalną. Taka definicja sugeruje możliwość zastosowania metod optymalizacyjnych przy wyznaczaniu harmonogramów.
Harmonogramowanie jest przydzieleniem dla każdego z zadań pewnej liczby odcinków czasowych oraz jednego lub więcej typów urządzenia realizującego. Harmonogram może zostać przedstawiony w postaci wykresu Gantt’a zorientowanego na urządzenie lub na czynność (rys. 1). [2][4]
Rys. 1. Przykład harmonogramu: a) zorientowanego na urządzenie, b) zorientowanego na czynność. Źródło: opracowanie własne.
czynność 1 czynność 2
urządz. 1 urządz. 1
urządz. 3 urządz. 2 urządz. 3 czas
b)
urządzenie 1 urządzenie 2
czynn. 1 czynn. 2
czynn. 4 czynn. 3 czynn. 5
czas
Umiejscowienie harmonogramowania w procedurze projektowania obiektu magazynowego prezentuje rysunek 2:
Rys. 2. Procedura projektowa obiektu magazynowego. Źródło: opracowanie własne.
Z projektowego punktu widzenia ograniczenia czasowe procesu magazynowego mają charakter pierwotny względem projektowanego systemu, są ramami czasowymi wynikającymi z zewnętrznego zadania logistycznego magazynu (np. liczba zmian roboczych, stałe godziny dostaw i odbiorów itd.). Ukształtowany pod względem: 1) technologicznym, 2) przestrzennym proces magazynowy zostanie 3) zorganizowany w czasie za pomocą harmonogramu z uwzględnieniem powyższych ograniczeń.
Ukształtowany proces wymiaruje się ze względu na wydajność (liczbę urządzeń) na podstawie harmonogramu a co za tym idzie ze względu na nakłady i koszty realizacji. Jeżeli zwymiarowany proces nie spełnia oczekiwań, należy w pętli iteracyjnej projektowania powracać do etapów 1) lub 2) i ponownie kształtować proces (rys. 2), [2],[3]. Liczba iteracji może zostać zredukowana przez zastosowanie metody zaprezentowanej w punkcie 2.
Harmonogramowane zadania mogą być rozpatrywane w dwóch aspektach, [1]:
1. Operacja (zadanie) jest czynnością o charakterze jednorazowym – niecyklicznym. Istotne są moment rozpoczęcia i zakończenia wykonywania tej czynności. Wykonanie czynności w całości jest warunkiem rozpoczęcia kolejnego zadania (np. murowanie ścian można rozpocząć dopiero po wylaniu fundamentów – rys.3a).
2. Operacja (zadanie) składa się z czynności mających charakter powtarzalny – cykliczny, istotna jest liczba powtórzeń czynności i czas jej trwania. Wykonywanie kolejnych operacji w procesie może rozpocząć się po wykonaniu określonej liczby powtórzeń czynności w operacji poprzedzającej (np. opróżnianie bufora może rozpocząć się dopiero po pojawieniu się w nim określonej liczby jednostek – rys.3b).
Rys. 3. Odwzorowanie procesu: a) pojedyncze czynności, b) czynności wielokrotne. Źródło: opracowanie własne.
1 2 3
Wykonanie
fundamentów Murowanie ścian Wykonano prace
geodezyjne Fundamenty wykonane Wymurowano ściany a)
3
Napełnianie
bufora jłp Transport jłp do strefy składowania
Podstawiono naczepę z jłp W buforze pojawiła się określona liczba jłp jłp w strefie składowania 1 2 b) mierniki technologia organizacja liczba urządzeń dobór technologii przestrzenie przestrzenie wydajności koszty ustalanie kryteriów obliczanie wskaźników KSZTAŁTOWANIE WYMIAROWANIE (ze wzgl. na…) OCENA Iteracyjna p ętla p ro jek to wa pracochłonność harmonogram parametry ZADANIE LOGISTYCZNE
Operacje magazynowe wykazują cechy drugiej grupy, tj. składają się z pewnej liczby powtórzeń jednej, przeważnie krótkiej czynności. Z tego powodu możliwe jest przesunięcie akcentu z konieczności przydzielania konkretnego egzemplarza urządzenia do konkretnej operacji (pojedynczej czynności) na przydzielanie grupy urządzeń danego typu do czynności wielokrotnej. Podejście takie pozwala na wykorzystanie harmonogramu do wymiarowania procesu ze względu na wydajność, [2].
Harmonogramowanie operacji w procesie magazynowym służy określeniu czasu, w którym dane operacje magazynowe mogą być wykonywane, czyli tzw. czasu
dysponowanego brutto tz dla tych operacji. Czas ten pomniejszony przez wskaźniki wykorzystania czasu pracy φt będzie czasem dysponowanym netto, który posłuży do wyznaczenia liczby urządzeń j-tego typu realizujących i-tą operację [3]:
t tz R n j Dj U U j ϕ ⋅ = przy czym:
∑
∈ ⋅ = I i j Ui Dj Ui Dj U t R λ (1), (2) gdzie: Dj UR – pracochłonność dobowa wynikającą z wykorzystania urządz. j-tego typu [r.h]. Dj
Ui
λ – dobowa liczba powtórzeń i-tej operacji, j
Ui
t – czas wykonania jednego powtórzenia i-tej operacji [min].
Na podstawie zadania logistycznego, realizowanego w systemie, można wyznaczyć dobową liczbę powtórzeń i-tej operacji Dj
Ui
λ .
Proces magazynowy można oceniać przy pomocy syntetycznego parametru, tzw. pracochłonności sprowadzonej procesu, który pozwala na dodawanie pracochłonności rzeczywistych czynności realizowanych przez urządzenia różnych typów. Pracochłonność sprowadzoną wyznacza się przez wyważenie pracochłonności rzeczywistej kosztem pracy urządzenia. Taka wielkość może być dodawana i zapisana w postaci wykresu ogólnego dla całego harmonogramu (rys. 6d).
∑ ∑
∈ ∈ ⋅ = I i j J B j Dj Ui D U k k R R (3)gdzie: R – dobowa pracochłonnoUD ść sprowadzona procesu, [roboczo.h]. j
k – koszt godziny pracy urządzenia j-tego typu, [zł/h], B
k – koszt bazowy godziny pracy, stały dla wszystkich urządzeń w procesie [zł/h]. Optymalizacji procesu magazynowego można dokonywać poprzez „wygładzanie” wykresu pracochłonności sprowadzonej (tzn. równomierne wykorzystanie zainstalowanych technologii; minimalizowanie pola figury wypełnionej kolorem szarym – rys. 6d, wzór (12)) oraz w drodze minimalizowania wartości maksymalnych natężenia pracochłonności sprowadzonej (tzn. takie zorganizowanie procesu w czasie, które wymaga zainstalowania mniejszej liczby urządzeń, bądź instalowanie urządzeń tańszych, wzór (11)).
Wyznaczenia liczby urządzeń niezbędnych do realizacji procesu dokonuje się również poprzez bezpośrednie odczytanie z harmonogramu maksymalnej wartości pracochłonności godzinowej procesu z harmonogramu (rys. 6c):
⎡ ⎤
hj*U j U R n = , przy czym
{ }
hj U T h * hj U R R ∈ = max .2. MODEL OPTYMALIZACYJNY HARMONOGRAMU PROCESU MAGAZYNOWEGO
Dane wejściowe
Dysponujemy zbiorem I zadań (operacji, czynności) i∈I, I={ 21, ,...,i,...,I}, które mają zostać zorganizowane w czasie. Każde zadanie ma przypisany typ urządzenia j∈J ze zbioru typów urządzeń J ={ 21, ,...,j,...,J}, którym będzie realizowany. W związku z powyższym I jest zbiorem typów zadaj ń wykonywanych przez urządzenie j-tego typu, przy czym Ij⊂I. Każde i-te zadanie ma znaną pracochłonność dobową D
Ui
R wynikającą z liczby powtórzeń danej czynności oraz czasu wykonania jednego powtórzenia (2). Praca będzie organizowana poprzez przydzielanie do każdej i-tej czynności pewnej liczby odcinków czasowych t∈T ze zbioru odcinków czasu T={ 21, ,...,t,...,T}. Liczba elementów zbioru wynika z żądanej dokładności harmonogramu. Przeważnie odcinki czasowe odpowiednie dla czynności magazynowych są nie krótsze niż 30 min, co przy 8-godzinnej zmianie roboczej daje 16 odcinków czasu.
Założenia budowy modelu optymalizacyjnego
• dana jest pracochłonność dobowa realizacji i-tego zadania,
• ustala się długość czasu pracy l (czas, dla którego wykonuje się harmonogram) i określa na jego podstawie liczbę odcinków czasu t,
• typu rządzeń są na stałe przypisane do typów zadań, • dana jest (opcjonalnie) liczba urządzeń j-tego typu j
U
n jako ograniczenie,
• dane są koszty godziny pracy urządzenia j-tego typu kj,
• przydzielone do i-tego zadania odcinki czasu stanowią czas dysponowany tdi dla wykonywania tego zadania,
• czas wykonania jednego powtórzenia i-tego zadania jest znacząco mniejszy od czasu dysponowanego dla tego zadania (jako pewnej liczby powtórzeń czynności) tUij << . tdi • wszystkie i-te zadania muszą zostać wykonane w czasie T.
• natężenie pracochłonności na wykresie (rys.6) jest równomierne i wynika z (1).
Zmienne decyzyjne
Praca będzie organizowana poprzez przydzielanie do każdego i-tego rodzaju zadania odcinków czasowych t∈T ze zbioru odcinków czasu T={ 21, ,...,t,...,T}. Wszystkie zadania muszą mieć przypisany czas dysponowany w postaci odpowiedniej liczby odcinków czasowych (umiejscowionych na osi czasu zgodne z ograniczeniami).
Wprowadźmy do rozważań zmienne decyzyjne jt, i x binarne o interpretacji: ⎩ ⎨ ⎧ = , , xjt, i 0 1
Zmienne decyzyjne tworzą macierz
[ ]
I J T t, j ix X= ×× .
Ograniczenia nakładane na zmienne decyzyjne
1. Najwcześniejszy/najpóźniejszy moment rozpoczęcia/zakończenia wykonywania zadania. Ustalany jest poprzez definiowanie zbiorów odcinków czasu T dozwolonych dla i-tego i typu zadania (rys. 4):
jeżeli i-te zadanie ma być realizowane urządzeniem j-tego typu w t-tym odcinku czasu, w przeciwnym wypadku.
{
}
T T T TTi= t*i t,*i+1t,*i+2,...,Ti , i⊂ , i≤ ∀i∈I (4) 2. Wyłączenie przedziałów czasu (np. ze względów technologicznych). Dokonywane jest
poprzez wyzerowanie odpowiednich zmiennych decyzyjnych (rys. 4):
∑
< < ∈ = * * * i * * i i:t t t t t, j i x T 0 ∀i∈I ∀j∈J (5)Rys. 4. Ograniczenia ze względu na rozpiętość czasu dysponowanego dla zadań. Źródło: opracowanie własne.
3. Minimalny czas dysponowany tdi zadania, tj. minimalna liczba odcinków czasowych t,
które należy przydzielić do i-tego typu zadania ze względów technologicznych:
∑
∈ ≥ i t di t, j i t x T ,∑
∈ ≤ i t di t, j i t x T ∀i∈I ∀j∈J (6)4. Liczba urządzeń j-tego typu realizujących zadanie i-tego typu [wynika z (1)]:
a) [ ] Uj i gj s s , j i t, j i Dj Ui t n T x x R j i ≤ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⋅ ⋅
∑
∑
∈ ∈ ∈ I T T l ϕ max ∀j∈J (7) b) Uj i s s , j i t, j i Dj Ui gj n x x R l T j i ≤ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑
∈ ∈ I T ϕ ∀j∈J (8) gdzie: Dj UiR – pracochłonność dobowa wynikająca z realizacji i-tego zadania przez urządzenie j-tego typu [r.h],
T – liczność zbioru odcinków czasowych; liczba t-tych odcinków czasu,
l – długość zmiany roboczej [h], gj
ϕ – współczynnik wykorzystania czasu pracy przez urządzenie j-tego typu, j
U
n – liczba urządzeń j-tego typu.
5. Ziarnistość harmonogramu. Przy względnie dużej liczbie odcinków czasowych t, czasy dysponowane dla i-tych zadań będą ustalane w sposób ekstremalizujący funkcję celu, jednak nieefektywny ze względów technologicznych (np. uruchamianie linii produkcyjnej na 10 min). W tym celu wprowadzono ograniczenie na minimalną liczbę ci odcinków czasowych t, które muszą tworzyć nieprzerwany ciąg dla i-tego zadania (rys. 5):
{ } { } 0 1 min 1 1 1 min 0 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −
∑ ∏
∑ ∏
i=− i− += Tzi−=t,ci− s=t+t+z ij,s i c , t T z z t t s s , j i t i x x c α ∀i∈I∀ Tt∈ i:t<Ti (9)(
1)
{ } min{ 1} 0 1 1 1 min 0 ≥ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⋅ −∑ ∏
∑ ∏
− − = + + = − − = + = i i i i T t,c z z t t s s , j i c , t T z z t t s s , j i t i x x α ∀i∈I∀ Tt∈ i:t<Ti (10) 1 2 3 4 5 6 7 8 T t = * i t … t*i* j,5=0 i x t*i** … Ti T igdzie: ci – min. długość pojedynczego odcinka czasu (jedynego, lub jednego z kilku) wchodzącego w skład czasu dysponowanego i-tego zadania [odcinków], t
i
α – zmienna pomocnicza (binarna) t∈Α i
α , Α=
[ ]
αijt, I×Ti−1 warunkująca wykonanie ograniczenia w jednej z dwóch postaci: (9) lub (10). Zmienna ta ma interpretację: ⎩ ⎨ ⎧ = , , t i 0 1 αRys. 5. Przykład rozłożenia i-tego zadania w czasie a) bez zachowania ograniczeń (9), (10), b) z zachowaniem ograniczeń (9), (1).
Źródło: opracowanie własne. Funkcja celu
Zadanie optymalizacyjne może zostać rozwiązane względem dowolnej funkcji kryterium określającej jakość rozwiązania. Proponowane funkcje są określone na:
a) Minimalnej chwilowej pracochłonności sprowadzonej procesu magazynowego. Pracochłonność rzeczywista procesu po rozłożeniu jej w czasie dysponowanym jest wyważana za pomocą kosztu godziny pracy urządzenia. Takie pracochłonności dla całego procesu można dodawać uzyskując wykres natężenia pracochłonności procesu w poszczególnych chwilach. Minimalizowanie największej z chwilowych wartości pracochłonności sprowadzonej oznacza ulepszanie rozłożenia zadań w czasie.
b) Maksymalnym wykorzystaniu zainstalowanego potencjału technologicznego. Liczba zainstalowanych urządzeń (potencjał technologiczny) wynika z okresowego szczytu natężenia pracochłonności procesu. W pozostałych okresach część zainstalowanego potencjału pozostaje niewykorzystana (szare pole na rys. 6d). Minimalizowanie wielkości tego pola oznacza lepsze wykorzystanie urządzeń i unikanie strat związanych z przestojami [4]. a)
( )
[ ] I [ ]X T T X max →min ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑
∈ ∈ ∈ i gj B s s , i i j t, j i Dj Ui t x l k k T x R F i ϕ (11) b)( )
[ ] I I [ ]X T T X max →min ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ i B j Dj Ui i B s s , i i j t, j i Dj Ui t k k R T k x k x R F i (12)gdzie: kj – koszt godziny pracy urządzenia j-tego typu [zł/h],
kB – koszt bazowy dla wyliczania wartości pracochłonności sprowadzonej, przy
czym: [j ]
{ }
j B k k J ∈ = min [zł/h], pozostałe symbole j/w. NIE (niepoprawnie) TAK (poprawnie)odcinek czasu musi mieć długość
minimalną ci = 4 t-ty odcinek przydzielony
t-ty odcinek nieprzydzielony
a) b)
jeżeli dla i-tej czynności, w odcinku czasu t realizowane jest ogr. (9),
3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Rozważono prosty proces magazynowy składający się z trzech typów zadań: i=1 (rozładunek naczep i wypełnianie bufora wejściowego, wykonywany przez wózki j=1 typu),
i=2 (odstawienie materiałów do strefy składowania, wykonywane przez urządzenie j=2 typu) oraz i=3 (przewiezienie materiałów do strefy komisjonowania, wykonywane również przez urządzenie j=1 typu). Znana jest pracochłonność dobowa każdego zadania RD
1=40 [r.h],
RD
2=30 [r.h], RD3=15 [r.h]. Przyjęto, że minimalna jednostka czasu na harmonogramie wynosi
1h (stąd T=8 dla jednej zmiany roboczej). Koszt godziny pracy urządzeń ustalono na:
k1=10 [zł/h], k2=15 [zł/h].
Rys. 6. Przykład obliczeniowy: a) harmonogram rozłożenia zadań 1, 2 i 3 w czasie, b) wykres pracochłonności rzeczywistej realizacji czynności, c) wykres pracochłonności rzeczywistej realizacji czynności ze względu na
typy urządzeń, d) wykres sumaryczny pracochłonności sprowadzonej realizacji procesu. Źródło: opracowanie własne.
1 2 3 4 5 6 7 8 i=1, j=1, 1 40 1D = R [r.h] i=2, j=2, 2 30 2D = R [r.h] i=3, j=1, 1 15 3D = R [r.h] 0 10 2,5 0 5 0 0 0 5 19,5 10 6 10,5 6 8 i=1, j=1 i=1, j=1 i=2, j=2 i=3, j=1 17 0 10 11,5 10,5 0 1 14 1 3 1 1, = ,x, = x a) b) c) d) 10 4 40 1 1 = / = Rh [r.h] 6 5 30 2 2 = / = Rh [r.h] 5 2 6 15 1 3 / , Rh = = [r.h] 11 5 10 1 1= → = U h , n R max 6 6 2 2= → = U h n R max (10 10) 40 40 1 1 = ⋅ / = RD [r.h] (15 10) 45 30 2 2 = ⋅ / = RD [r.h] (10 10) 15 15 1 3 = ⋅ / = RD [r.h] 8 5 40 1 1 = / = Rh [r.h] 9 5 45 1 2 = / = Rh [r.h] 5 2 6 15 1 3 / , Rh = = [r.h]
Nałożono następujące ograniczenia (zgodnie z numeracją z rozdziału 2): • Ograniczenie nr 1: oznaczono na rys.6a kolorem szarym dla każdego zadania. • Ograniczenie nr 2: (nie obowiązuje).
• Ograniczenie nr 3: minimalny czas dysponowany: td1≤5, 5td2≤ , 3td3≥ .
• Ograniczenie nr 4: dana jest liczba urządzeń 1 =12 U
n ; 2 =10
U
n .
• Ograniczenie nr 5: minimalny ciągły odcinek czasu ci = 2 dla wszystkich zadań.
Zadanie zostało zaimplementowane w środowisku programu LINGO 9.0. Na podstawie danych przykładowych wyznaczono ciąg zmiennych reprezentujących przydział odcinków czasu dla każdego zadania (rys. 6a) przy wartości funkcji kryterium F
( )
X =19,5[r.h].3. PODSUMOWANIE
Zaprezentowany model optymalizacyjny jest próbą odwzorowania procesu magazynowego od strony organizacyjnej. Wspomaga on analizę procesów istniejących (kiedy znane są ograniczenia związane z liczbą urządzeń itd.) oraz proponowanie zmian w procesie (poprzez zmianę danych wyjściowych i ograniczeń) oraz projektowanie nowych rozwiązań.
Formalny zapis modelu matematycznego umożliwia zastosowanie podanego algorytmu jako składowej narzędzi informatycznych wspomagających projektowanie obiektów magazynowych.
LITERATURA
[1] Ambroziak T.: Metody i narzędzia harmonogramowania w transporcie, Biblioteka Problemów
eksploatacji. Wydawnictwo Instytutu Technologii i Eksploatacji – PIB, Warszawa 2007.
[2] Fijałkowski J.: Transport wewnętrzny w systemach logistycznych, Wybrane zagadnienia.
OWPW, Warszawa 2003.
[3] Fijałkowski J.: Technologia magazynowania. Wybrane zagadnienia, OWPW, Warszawa 1995r.
[4] Fijałkowski J., Czynniki kosztów w wymiarowaniu procesów przepływu ładunków w systemach
logistycznych, materiały konferencyjne XI Konferencji Logistyki Stosowanej "Total Logistic
Management", Zakopane 2007.
[5] Bruckner P.: Scheduling Algorithms, (5-te wyd.), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007r.
[6] Błażewicz J., Ecker K., Pesch E., Schmidt G., Węglarz J.: Handbook on Scheduling, From
Theory to Applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007r.
[7] T’kindt V., J.-C. Billaut.: Multicriteria Scheduling, Theory, Models and Algorithms, (2-gie
wyd.), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006r.
SOME ASPECTS OF SCHEDULING WAREHOUSE OPERATIONAL PROCESS Abstract
The paper presents selected problems of scheduling internal material flow in warehouse objects. The basic rules of constructing schedules for equipment usage and people engagement are presented. The second part of paper provides a non-linear programming method of optimizing schedule of internal material flow according to generated costs in reference to model constraints and technological assumptions. The method was supported by a numerical example.
Key words: schedule, scheduling, warehouse process, modeling
