LIGA MATEMATYCZNA LISTOPAD 2011
GIMNAZJUM
ZADANIE 1.
Rozwi¡» równanie
x
√144 +√
145 − 1
√36 +√ 37
+
x
√145 +√
146 − 1
√37 +√ 38
+ . . .
. . . +
x
√168 +√
169 − 1
√60 +√ 61
= 0.
ZADANIE 2.
Przecinaj¡c prostok¡tny arkusz papieru, otrzymano kwadrat oraz mniejszy prostok¡t. Z tego prostok¡ta równie» odci¦to kwadrat i znów otrzymano mniejszy prostok¡t. Sytuacja powtórzyªa si¦ jeszcze kilkakrotnie, a» do momentu otrzymania dziewi¦ciu ró»nych kwadratów i jednego prostok¡ta o wymiarach 1cm × 2cm. Jakie pole miaª arkusz papieru?
ZADANIE 3.
Liczby nieparzyste od 1 do 49 wypisano w poni»szej tablicy:
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Wybieramy z tej tablicy pi¦¢ liczb tak, aby »adne dwie nie le»aªy ani w jednej kolumnie, ani w jednym wierszu. Wyznacz wszystkie warto±ci, jakie mo»e przyjmowa¢ suma wybranych liczb.
ZADANIE 4.
Ania napisaªa trzy liczby pi¦ciocyfrowe u»ywaj¡c do zapisu ka»dej z tych liczb wszystkich cyfr spo±ród 1, 2, 3, 4, 5. Czy suma tych liczb jest podzielna przez 3? Czy jest podzielna przez 9?
ZADANIE 5.
Dany jest kwadrat o boku dªugo±ci a. Na jego bokach, na zewn¡trz, zbudowano trójk¡ty równoboczne. Wierzchoªki kolejnych trójk¡tów, nie b¦d¡ce wierzchoªkami danego kwadratu, poª¡czono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworok¡ta.
