GRANICE TECHNIKI MIKROFALOWEJ
– OSCYLACJE MOCY BIERNEJ W ENERGETYCE
I FALE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Praca jest próbą spojrzenia, z punktu widzenia techniki mikrofalowej, na zagadnienia do techniki mikrofalowej nienależące: na zjawiska dotyczące mocy w sieciach energetycznych oraz na obwody prądu stałego. W pierwszym przypadku motywacją do takiego podejścia jest tocząca się wśród elektryków dyskusja dotycząca interpretacji zjawisk fizycznych, związanych z oscylacjami mocy biernej. Wychodząc z założenia, że równania Maxwella wyjaśniają wszystkie makroskopowe zjawiska elektromagnetyczne, zastosowano technikę mikrofalową do obwodów 50-hertzowych, ilustrując rozwiązania przykładami. W technice mikrofalowej do wyjaśniania zjawisk związanych z mocą używa się opisu za pomocą jedynie dwóch fal przenoszących moce czynne; nie używa się w niej pojęcia mocy biernej do opisu do zjawisk energetycznych (choć tu go użyto w celach porównawczych). Rozważania ograniczono do jednofazowych przebiegów sinusoidalnych. Podejście to pozwoliło na odkrycie zjawiska zmiany wartości współczynnika mocy (cosφ) wzdłuż jednorodnej bezstratnej linii przesyłowej. Na zakończenie pokazano, że w obwodach prądu stałego fale również istnieją, chociaż nie można ich zmierzyć. Podstawą takiego stwierdzenia jest przekonanie, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się „nagle”; tzn., że pochodne po czasie muszą być skończone.
Słowa kluczowe: moc bierna, moc czynna, moc zespolona, moc pozorna, technika mikrofalowa, oscylacje mocy, fala odbita, fale stojące, współczynnik odbicia, moc dysponowana, obciążenie rzeczywiste, obciążenie zespolone, współczynnik mocy (cos φ), prąd stały.
WSTĘP
Równania Maxwella, teoria pola i teoria obwodów – czy zjawiska fizyczne zmieniają się nagle? W tym roku mijają 152 lata od sformułowania przez Maxwella
jego słynnych równań elektrodynamiki klasycznej. Dołączyły one do wielu innych równań różniczkowych fizyki, mocno już umocowanych w teorii fizyki XIX-wiecznej. Wszystkie niekwantowe zjawiska elektryczne występujące w przyro-dzie, a dokładniej zjawiska makroskopowe, których opis dotyczy nie mniej niż około 106 cząsteczek/atomów/fotonów, z ogromną dokładnością dają się opisać
równa-niami Maxwella.
W równaniach Maxwella, tak jak w wielu innych równaniach fizyki, występują pochodne po czasie. Żeby zjawiska tam opisywane miały sens fizyczny, pochodne te muszą być skończone. W przeciwnym wypadku pojawiłyby się nieskończone natężenia pól, nieskończone moce itp. W wielu sytuacjach w elektromagnetyzmie, przy analizie niektórych zjawisk wprowadza się opisy, w których pochodne po
czasie stają się nieskończone, np. delta Diraca, czy pobudzenie uskokiem jednostkowym. Jest to często niezbędne do opisania istoty pewnych zjawisk bez skomplikowanego balastu matematycznego, jednak w rzeczywistości w fizyce nic nie dzieje się nagle. Wiele procesów występujących w fizyce jest niezwykle szybkich, niektóre nazywa się wybuchami, ale zawsze jest to w skończonym czasie. Uwaga powyższa, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się nagle, przyda się do analizy tego, co się dzieje przy przechodzeniu w zjawiskach elektromagnetycznych od częstotliwości bardzo wysokich, gdy długości fal są porównywalne z wymiarami elementów, do 50 Hz, a nawet do częstotliwości 0. Wtedy zmienia się gwałtownie
sposób opisu zjawiska, co jest zrozumiałe, ale czy zjawiska występujące też zmieniają się nagle?
Równania Maxwella opisują tak szerokie spektrum częstotliwości, że nie stosuje się pełnego, skomplikowanego opisu do wszystkich sytuacji. Poza nie-którymi mniejszymi odgałęzieniami, z teorii Maxwella (używa się też pojęcia „teoria pola“) wynikają dwie wielkie teorie pochodne: teoria obwodów i optyka
geometryczna1, które są jej szczególnymi przypadkami. Pierwsza z nich opisuje
sytuacje, gdy wymiary elementów są małe w stosunku do długości fali, a druga – gdy długość fali jest mała w stosunku do elementu. W sytuacji gdy wymiary elemen-tów/struktur są porównywalne z długością fali, używa się pełnego opisu równaniami Maxwella – to jest przypadek techniki mikrofalowej. Chociaż więc termin „mikrofale” odnosi się do określonego przedziału częstotliwości2, to, np. do
zapro-jektowania byłego już masztu-anteny nadajnika Warszawy I w Konstantynowie, pracującego na częstotliwości zaledwie 225 kHz, należało użyć techniki mikrofalowej, gdyż jego wysokość 645,4 m była prawie połową długości fali.
Oczywiste jest, że nie ma ostrej granicy pomiędzy teorią pola a optyką i teorią
obwodów, i w wielu sytuacjach przenikają się one i uzupełniają. Trzeba jednak
pamiętać, że opis za pomocą tych teorii pochodnych jest, w pewnym sensie, upośledzony ze względu na założenia upraszczające leżące u ich podstaw. Brak odpowiedniej uwagi w ich stosowaniu może prowadzić do mylnych interpretacji.
Oscylacje mocy biernej. W artykule zakłada się, że wszystkie obwody są liniowe,
a napięcia i prądy są sinusoidalne (z wyjątkiem końcowej części punktu o prądzie stałym), co pozwala na zastosowanie amplitud zespolonych3.
Opisywanie drgań elektromagnetycznych za pomocą teorii obwodów4
przypomina sytuację człowieka, który poszedł na nadmorskie molo obserwować ruch fal, ale patrząc tylko w dół w szparę pomiędzy deskami. Widzi on jedynie ruch pionowy wody w funkcji czasu i nic nie wie o zjawiskach w przestrzeni. W ogromnej większości przypadków uwzględnienie jedynie zależności od czasu jest w teorii
1 Właściwie obie te teorie istniały w głównym zarysie jeszcze przed sformułowaniem teorii Maxwella. Nie było tylko wiadomo, że obie wywodzą się z tego samego źródła.
2 300 MHz – 1000 GHz.
3 Amplitudy zespolone, stosowane w technice mikrofalowej, opisują amplitudę i fazę sygnału w miejscu o współrzędnej przestrzennej równej zeru i w czasie t = 0.
obwodów wystarczające, a analiza jest istotnie prostsza. Jednak w sytuacji, gdy interpretacje fizyczne stają się niejasne, gdy różne autorytety mają różne opinie na temat tego samego zjawiska, gdy przekształca się równania trygonometryczne do różnych postaci i próbuje się nadawać nowym składnikom dziwne interpretacje fizyczne, jest czas, by podnieść głowę i zamiast obserwować szparę między deskami, rozejrzeć się dookoła – czyli zastosować podejście polowe. Nie po to, żeby przekreślić to, co robiło się do tej pory od dawna i z wieloma sukcesami, ale aby
lepiej zrozumieć. Opisana sytuacja dotyczy dyskusji na temat oscylacji mocy
biernej w energetyce [1–8, 10–15].
W dziedzinie wysokich częstotliwości/mikrofal często ma się do czynienia z przesyłaniem dużych mocy. Nadajniki radiolokacyjne, np. do kontroli przestrzeni powietrznej na większych obszarach (np. obszar Polski), wysyłają do anteny impuls o mocy ok. 2 MW. Przy projektowaniu takich systemów zwraca się szczególną uwa-gę, aby prawie cała moc została wypromieniowana. Nawet 5% mocy powracającej, czyli 100 kW, może uszkodzić nadajnik. W analizie tego typu układów nie używa się pojęcia mocy biernej, ani oscylacji mocy biernej. Opis tego, co się dzieje w torze transmisyjnym, wymaga rozwiązania równań Helmholtza, wynikających bezpośrednio z równań Maxwella w sytuacji rozpatrywania liniowego i jednorod-nego obszaru bez źródeł, tzn. w pewnej odległości od generatora. Jako rozwiązanie uzyskuje się równania opisujące ruch dwóch fal przenoszących moce czynne – jednej poruszającej się od generatora do obciążenia i drugiej fali powracającej. Te dwie fale wyczerpują możliwe sytuacje, jakie mogą wystąpić w torze5. To jest
odpowiedź fizyki: są dwie fale – i to jest wszystko.
Wspomniane dwie fale interferują ze sobą, wytwarzając tzw. falę stojącą (zazwyczaj tylko częściowo stojącą), której obraz wypadkowy zależy od tego, w jaki sposób fala powracająca powstała, czyli od charakteru impedancji obciążającej, która wpływa na jej amplitudę i przesunięcie fazowe.
Przekształcając odpowiednio otrzymane rozwiązanie, można wyliczyć moc
czynną dostarczaną do obciążenia, moc bierną, moc pozorną, moc zespoloną itd.,
wszystkie wielkości rozpatrywane w energetyce. Różnica jest taka, że w energetyce nie analizuje się żadnej fali stojącej. Długość fali wynosi tam 6000 km, ale ta fala istnieje. Teoretycznie można przeprowadzić eksperyment, polegający na zmierzeniu pojemności, np. 10 km rozwartego kabla współosiowego. Pojemność zmierzona dla 50 Hz będzie nieco różna od pojemności statycznej, świadcząc o istnieniu fali stojącej6.
5 Tor jest liniowy, jednorodny, jednorodzajowy i bez nieciągłości. Takie założenia można bezpośrednio przenieść na sytuację energetycznych linii przesyłowych prowadzących tzw. falę TEM.
6 Dla kabla z izolacją teflonową (
r = 2,05) o długości L = 10 km i o impedancji Z0 = 50 pojemność
statyczna wynosi 0 cZ L C r S
= 953,333 nF, (c – prędkość światła w próżni), a pojemność dla f = 50 Hz,
obliczona jak dla linii długiej wyniesie:
0 50 2π π 2 tg fZ c fL
C r = 953,409 nF, co daje różnicę 76 pF przy dokładności pomiaru 29 pF (wg Francuskiego Instytutu Metrologii).
Innym efektem, wyjaśnionym dalej, jest zmiana współczynnika mocy (cosφ) z odległością, ale możliwość obserwacji tego zjawiska wymaga dalszych analiz. W przypadku energetyki obserwator znajduje się tuż przy obciążeniu7 i nie wie, czy
fala wypadkowa, w miarę oddalania się od obciążenia, maleje, czy rośnie, czy pozostaje niezmieniona. Może on jedynie zmierzyć wypadkową amplitudę i fazę prądu oraz napięcia. Zakłada się, że stosunek wymiarów analizowanej struktury w stosunku do długości fali wynosi zero, choć w rzeczywistości jest bardzo mały, ale jednak jest on skończony.
W dalszej analizie wspomniane dwie fale zostaną opisane za pomocą napięć i prądów. W przypadku energetyki rozchodzące się fale są falami typu TEM i ich opis napięciami oraz prądami jest całkowicie wystarczający. Zakłada się również pobudzenie jedną częstotliwością harmoniczną sinusoidalną.
Sprawa wygląda podobnie z punktu widzenia fizyki zjawisk, gdyby analizować sieć trójfazową (w układzie trzy fazy i zero). Różnica polega na tym, że w takiej sytuacji będą trzy napięcia i trzy prądy fali padającej i tak samo dla fali odbitej. Wynika to z rozwiązań równania Laplace’a. W poniższym artykule analizowano tylko układ dwuprzewodowy.
1. METODA MIKROFALOWA – PODSTAWY TEORETYCZNE
Wymienione powyżej dwie fale poruszające się w przeciwnych kierunkach i interferujące ze sobą najczęściej zapisuje się w postaci amplitud zespolonych8.
Analizując rozkład przestrzenny, pomija się dla uproszczenia mnożnik e jt
, pamiętając, że on istnieje9. Dla fali padającej, poruszającej się (w prowadnicy,
w linii) w kierunku +x, mamy:
j j x pad0 x j pad0 pad x U U Uˆ ˆ e epad0e (1)i dla fali poruszającej się w kierunku –x, tzw. fali odbitej, zapisuje się:
j j x odb0 x j odb0 odb x U U Uˆ ˆ e eodb0e , (2) gdzie:Upad0 i Uodb0 – amplitudy rzeczywiste napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej,
β = 2π/λ – stała fazowa,
x – zmienna przestrzenna wzdłuż linii,
φpad0 iφodb0 – fazy amplitud zespolonych napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej w punkcie x = 0.
7 „Tuż przy obciążeniu” w technice mikrofalowej oznacza, że odległość od obciążenia jest niezmiernie mała w stosunku do długości fali.
8 Liczby zespolone oznacza się znakiem ^ nad literą. 9Zostanie on przywrócony w punkcie 3.1.
Fale zapisane równaniami (1) i (2) wygodnie jest traktować jako dwa wektory wirujące w przeciwnych kierunkach na płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową x10. Wypadkowa fala w linii jest sumą wyrażeń (1) i (2). Dodając te wyrażenia,
można wypadkowe zespolone napięcie w linii Uˆ
x zapisać w postaci:
j x
odb0 pad0 x j U U x Uˆ e ˆ ˆ e2 . (3)Do zbadania zachowania się wypadkowej amplitudy napięcia w linii wystarczy przeanalizować wyrażenie w nawiasie. Ilustrację graficzną tego wyrażenia na płasz-czyźnie zespolonej pokazano na rysunku 1. Analizując rysunek, należy pamiętać, że długość wektora Uodb może się zmieniać od 0 do Upad.
Przykładowe zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x pokazano na rysunku 2.
Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest
Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest zespolony współczynnik odbicia ˆ, zdefiniowany jako stosunek amplitud zespolo-nych fali odbitej do fali padającej:
10 Iloczyn βx jest nazywany długością elektryczną, często oznaczany jako lub . Jest to zwykła długość fizyczna (x) odniesiona do długości fali λ i mierzona w radianach: = 2x/λ = x. Jest ona równa 0, gdy x = 0 oraz gdy λ = . Ponieważ λ = c/f, można zapisać: =x = xf∙2/c. Zmienność więc od długości elektrycznej może być traktowana, w zależności od sytuacji, jako zmienność od położenia lub od częstotliwości.
Rys. 1. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej relacji pomiędzy wektorami
reprezentującymi napięcia padające, odbite i wypadkowe w linii długiej. Dla ustalonego momentu czasu, różnica fazy pomiędzy napięciem fali padającej i odbitej przy przesuwaniu się wzdłuż linii zmienia się jak 2βx, czyli 2 razy szybciej
niż faza pojedynczej fali. Tak samo zmienia się faza współczynnika odbicia zdefiniowanego wzorem (4)
Fig. 1. Relations between the voltage vectors (in a transmission line) of the incident, reflected and the resulting waves in a complex plane is presented. The phase difference between the voltages of the incident and the reflected waves, for fixed time,
is changing along the line as 2βx, i.e. 2 times faster than a phase of the single wave. The phase of the reflection coefficient, defined by (4), is changing in the same manner
x j j pad odb x U x U 2 0e e ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ 0 , (4) gdzie φ0 = φodb0 + φpad0 jest fazą współczynnika odbicia w miejscu x = 0, więc przy
braku odbicia (Uodb0 = 0) otrzymamy ˆ = 0, a przy pełnym odbiciu Uodb0 = Upad0
i wtedy |ˆ| = 1. Miejscem geometrycznym współczynnika odbicia11 na płaszczyźnie
zespolonej ˆ jest wnętrze koła jednostkowego12.
Ponieważ współczynnik odbicia jest zdefiniowany napięciowo, używa się też
współczynnika odbicia mocy Γp, który jest kwadratem modułu współczynnika
odbicia Γp Γˆ2.
Rys. 2. Zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x. Przyjęto Upad0 = 1 oraz Uodb0 = 0,2.
Współczynnik fali stojącej (WFS = r) definiowany jako Umax/Umin wynosi 1,5, a moduł
współczynnika odbicia |Γ| = (r –1)/(r +1) = 0,2. Moc odbita Γp = 4%. Przy takiej niewielkiej
mocy odbitej pofalowania U(x) wynoszą aż ±20%. Stosunek napięcia do prądu, czyli impedancja, zmienia się wraz z x. Występują więc obszary, w których przeważa charakter indukcyjny impedancji lub pojemnościowy – nawet dla obciążeń rzeczywistych.
W miejscach, gdzie występują ekstrema amplitudy U(x), impedancja jest rzeczywista
Fig. 2. Changes of the U(x) amplitude vs. a x position. It was assumed that Upad0 = 1
and Uodb0 = 0.2. A voltage standing wave ratio (VSWR = r), defined as Umax /Umin, is equal
1.5 and a reflection coefficient absolute value |Γ| = (r –1)/(r +1) = 0.2. The reflected power Γp = 4%. Despite so small reflected power, U(x) ripples achieved high rate ±20%.
As it results from fig. 4, the voltage/current ratio, i.e., impedance, is changing along x. As it is shown, there exists an area with an inductive or capacitive character of impedance,
even for resistive load. In the places where the extreme values of U(x) occurs, the impedance is always real
11 Dla układów pasywnych. 12 Jeśli znormalizuje się U
pad0 = 1, to konstrukcja pokazana na rys. 1 jest fragmentem tego koła, a środek
okręgu kropkowanego jest środkiem koła jednostkowego.
Inny sposób obliczenia współczynnika odbicia, który będzie wykorzystany, zostanie podany bez wyprowadzania13, a dotyczy on sytuacji, gdy w jakimś punkcie
linii (np. x0) znana jest impedancja widziana z tego punktu w kierunku obciążenia
(np. ZL) oraz impedancja charakterystyczna linii lub (przypadek energetyki)
impedancja źródła (np. ZW = Z0, por. rys. 3):
j W L W L Z Z Z Z x ˆ e ˆ 0 . (5) 2. PRZYPADKI SZCZEGÓLNE 2.1. Rzeczywiste obciążenie liniiW pierwszym przypadku szczególnym rozpatrzono prostą sytuację odcinka linii o rzeczywistej impedancji charakterystycznej Z0, obciążonej obciążeniem
rzeczy-wistym RL (w płaszczyźnie odniesienia 2-2’)14, pobudzonej generatorem (w
płasz-czyźnie odniesienia 1-1’) o rzeczywistej impedancji wewnętrznej RW = Z0 (rys. 3).
Jeżeli teraz zastosuje się wzór (5) do położenia 2-2’ na rysunku 3, to otrzyma się wartość rzeczywistą:
1 1 ' 2 2 W L W L W L W L R R R R R R R R . (6)
Ważne szczególne przypadki tego wzoru są następujące: a) dopasowanie, gdy RL = RW – wtedy Γ2-2’ = 0,
b) zwarcie, gdy RL = 0 – wtedy Γ2-2’ = –1,
c) rozwarcie, gdy RL = ∞ – wtedy Γ2-2’ = +1.
We wszystkich powyższych przypadkach moc czynna padająca wysyłana przez źródło (poprzez zaciski 1-1’) jest stała i wynosi:
Ppad =
U
b2/
8
R
W (7)niezależnie od obciążenia. Jest ona równa mocy dysponowanej źródła, określonej na zaciskach 2-2’ w stanie dopasowania (RL = RW).
13 Sposób wyprowadzenia jest wyjaśniony w punkcie 3.1.
14 Płaszczyzna odniesienia jest ważnym pojęciem w technice mikrofalowej, gdyż jeśli przesuniemy się wzdłuż jednorodnej linii długiej do innego przekroju, czyli innej płaszczyzny odniesienia, impedancja widziana ogólnie zmieni się, chyba że nie było fali odbitej.
Moc odbita Podb w przypadku a) wynosi 0, a w przypadkach b) i c) jest równa
mocy padającej Ppad. Moc odbita dla dowolnej wartości RL wynosi
Podb = Ppad |Γ2-2’|2, (8)
a moc zaabsorbowana przez obciążenie:
PL = Ppad (1-|Γ2-2’|2). (9)
Podstawiając do wzorów (8) i (9) relacje (6), otrzyma się dobrze znane wzory teorii obwodów.
Przykład liczbowy, typowy dla techniki mikrofalowej (zgodny z danymi na
rys. 2 i 3):
Obciążenie rzeczywiste RL = 60 Ω
Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 40 Ω
SEM źródła Ub = 2 V
Współczynnik odbicia w przekroju 2-2’ Γ22'0.2 wg (6).
rzeczywisty
Współczynnik odbicia mocy Γp Γˆ 2 0.04.
Moc padająca Ppad = 12,5 mW wg (7)
Moc wydzielona w obciążeniu PL = 96% Ppad = 12 mW
Moc odbita Podb = 0,5 mW
x 0
Rys. 3. Podłączenie obciążenia RL do generatora o oporności wewnętrznej RW
równej impedancji linii zasilającej Z0. Napięcie Upad0 jest równe Ub/2. Uodb0 jest
zależne od stosunku RL do RW wg wzorów (4) i (6). Umax 2Ub, Umin 0.
Przykładowo, dla Ub = 2 oraz RL = 60 Ω i RW = 40 Ω otrzymamy rozkład U(x),
pokazany na rysunku 2
Fig. 3. The resistive load RL is connected to the generator with internal resistivity RW,
which is equal to a transmission line impedance of Z0. Voltage Upad0 is equal Ub/2.
Uodb0 depends on ratio RL to RW according to (4) and (6). E.g., for Ub = 2, RL = 60 Ω
and RW = 40 Ω one can obtain U(x) distribution shown in the fig. 2
= 0,2 wg (6) 0,04
Napięcie całkowite na obciążeniu UL = 1,2 V15
Napięcie fali padającej na obciążeniu Upad = 1,0 V
Napięcie fali odbitej na obciążeniu Uodb = 0,2 V
Maksymalna moc bierna16 Q
max=5mVar(wg(18))
Przykład energetyczny (dla obciążenia rzeczywistego):
Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω, do którego przyłożono
Napięcie skuteczne UL = 230 V (50 Hz)
Prąd skuteczny IL = 2,3 A, płynie przez obciążenie
Moc czynna wydzielona PL = 529 W
Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 1 Ω (założenie)
Współczynnik odbicia w 2-2’ Γ22'0.98, jest rzeczywisty wg (6).
Współczynnik odbicia mocy Γp Γˆ 2 0.961. To oznacza, że
Moc wydzielona w obciążeniu, PL = 3,92% mocy padającej,
która wynosi Ppad = 13 491 W
Moc odbita Podb = 12 962 W
(cd. przykładu w p. 2.3)
Wniosek. W sytuacjach energetycznych mamy do czynienia z obwodami
bliskimi rozwarcia. To powoduje istnienie dużej fali padającej, wynikającej z dużej mocy dysponowanej źródła i dużej fali odbitej, powodowanej przez współczynnik odbicia o module bliskim 1. W przypadku obciążenia rzeczywistego maksimum fali stojącej występuje przy obciążeniu. Napięcie na obciążeniu jest prawie podwojonym napięciem źródła (dla fali padającej na zaciskach 1-1’), a prądy fali odbitej i padającej są w przeciwfazie i prawie się znoszą, co powoduje, że pomiarowo można wykryć tylko różnicę pomiędzy falą padającą i odbitą (patrz p. 2.3).
2.2. Relacja pomiędzy napięciem i prądem w obszarze między źródłem i obciążeniem
Dokładniejsze wyjaśnienie zjawisk fizycznych w linii wymaga przeanalizo-wania relacji napięcia do prądu. Wyrażenia na prąd w obszarze pomiędzy źródłem i obciążeniem są analogiczne do równań (1) i (2). Dla fali padającej mamy:
15 1 1 2 2 2 W L W L b W L L b W L W L b b b odb pad L R R R R U R R R U R R R R U U U U U U 16 Gdy (φΓ + 2βx) = (2n+1)π/2, n = 0, ±1, ±2, ±3,…, gdzie φ
Γjest fazą współczynnika odbicia
wg wzoru (5).
= 0,961
= 0,98, jest rzeczywisty wg (6) To oznacza, że
j j x pad0 j j x pad0 x j pad0 pad Z U I I x Iˆ ˆ e e p ad0e e p ad0e 0 (10) i dla fali poruszającej się w kierunku –x, zapisuje się:
j j x odb0 j j x odb0 x j odb0 odb Z U I I x Iˆ ˆ e e p ad0e e p ad0e 0 (11) gdzie Ipad0 i Iodb0 są amplitudami rzeczywistymi prądu, odpowiednio, fali padająceji odbitej.
Korzystając z relacji (1), (2), (3), (4), (10) i (11), można wzory na wypadkowy rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii zapisać w postaci:
j x
j x
pad0 U x Uˆ ˆ e 1ˆe2 . (12)
pad0 j x
j x
Z U x I 2 0 e ˆ 1 e ˆ ˆ . (13)Rys. 4. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej zmian kąta fazowego pomiędzy prądem
i napięciem w linii. Przyjęto Z0 = 1 oraz Upad0 = 1. Γˆ(x) = ∙exp(+2jx+). Stosunek prądu
do napięcia jest rzeczywisty tylko, gdy x + φΓ= nπ, (n= 0, 1, 2,…), gdzie φΓjest fazą
współczynnika odbicia wg wzoru (5)
Fig. 4. An image of the phase angle between a voltage and a current, illustrated on the complex plane. It was assumed that Z0 = 1 and Upad0 = 1.
Γˆ(x) = ∙exp(+2jx+ φΓ). The current to voltage ratio is real only if x + φΓ = nπ, (n= 0, 1, 2,…), where φΓis reflection coefficient phase according to (5)
Z relacji powyższych wynika, że nawet gdy wszystkie występujące impedancje są rzeczywiste (jak w przykładzie w p. 2.1), to faza pomiędzy prądem i napięciem zmienia się w funkcji x, co powoduje, że impedancja bieżąca w linii zdefiniowana jako:
) ( ˆ ) ( ˆ ˆ x I x U x Z , (14)będzie wielkością zespoloną.
Ilustrację graficzną zmiany kąta pomiędzy prądem i napięciem w funkcji długości elektrycznej 2x pokazano na rysunku 4. Widać na nim, że impedancja
xZˆ jest wielkością rzeczywistą jedynie w przypadku, gdy 2x + φΓ = nπ (n – liczba
całkowita), co odpowiada wartościom maksymalnym lub minimalnym napięcia w linii.
2.3. Moce czynne, bierne, zespolone i pozorne oraz przykład
Znając wyrażenie na prąd i napięcie, można teraz zapisać wyrażenie opisujące zmiany mocy wzdłuż linii. Korzystając z (12) i (13), moc zespoloną ˆˆ*
2 1 ˆ UI
P
można zapisać jako17:
2 β
2 β
* 0 2 0 * e ˆ 1 e ˆ 1 2 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 1 ˆ pad j x j x Z U x I x U x P , (15) skąd po przekształceniach otrzymamy:
1ˆ 2 ˆ sin( 2 ) 2 ˆ 2 0 2 0 x j Z U x P pad . (16)Wartość średnia tego wyrażenia na moc zespoloną jest równa części rzeczywistej i jest mocą czynną przenoszoną w linii, która jest wielkością niezależną od położenia: 2 0 2 0 ˆ 1 2Z U Pcz pad . (17)
Jak widać, mamy dwa składniki odpowiedzialne za moc padającą: 0 2 0 2Z U
PczPad pad i moc odbitą: 2 0 2 0 ˆ 2 Z U PczOdb pad .
Moc bierna, będącą częścią urojoną wyrażenia (16):
sin( 2 ) ˆ 0 2 0 x Z U x Q pad , (18)ma wartość średnią, w każdym przedziale o długości /2, równą zeru. Moc pozorna jest modułem wyrażenia (16). Jej wartość minimalna jest równa wyrażeniu (17), a wartość maksymalna w przypadku stanu bliskiego rozwarciu, jest zbliżona do wartości mocy biernej według wzoru (18).
W przypadku energetyki wartość x jest praktycznie do pominięcia, gdyż dla 50 Hz wartość = 1,05x10-6. Dla obciążenia czysto rzeczywistego, jak w
przykła-dzie w punkcie 2.1, wartość fazy współczynnika odbicia φΓzgodnie ze wzorem (6),
wynosi przy obciążeniu 0, tak jak być powinno. Natomiast maksymalna wartość Q (wzór (18)) wystąpi dla wartości φΓ x = (2n+1)π/2. Jeśli φΓ będzie to w odległości /8 od rzeczywistego obciążenia.
Dzieląc moc czynną przez moc pozorną, otrzymuje się relację wiążącą współczynnik mocy (cos φ) z położeniem w linii i wartością modułu współczynnika odbicia: 2 2 2 2 ˆ 1 ) 2 ( sin ˆ 4 1 1 cos x . (19)
Ilustrację tej funkcji, dla przypadku obciążenia rzeczywistego (φΓ poka-zano na wykresie na rysunku 5 dla przypadku energetycznego (f = 50 Hz). Prawa część tego wykresu nie ma żadnego znaczenia w warunkach Polski, gdyż najdłuższa linia energetyczna liczy 222 km. Koniec osi odciętych (750 km) odpowiada maksymalnej wartości funkcji sinus we wzorze (19). Dalsza część wykresu jest lustrzanym odbiciem względem linii pionowej 750 km, tak więc dla 1500 km ponownie uzyskuje się wartość cos φ = 1 dla wszystkich wartości Γ.
Można również dokonać symetrycznego odbicia wykresu względem linii 0 km. Nie jest to bezsensowne (wystąpią ujemne kilometry), gdyż przypadek obciążenia zespolonego może być uwzględniany poprzez proste przesuwanie osi odciętych w prawo lub lewo przy nieruchomym wykresie. Warto natomiast zwrócić uwagę na krzywą |Γ| = 0,98, która odpowiada rozpatrzonemu w punkcie 2.1 przykładowi energetycznemu z obciążeniem rzeczywistym. Jest to najniższa krzywa na wykresie, która zmienia się gwałtownie na pierwszych kilkunastu kilometrach od obciążenia. Zjawisko to wymaga zbadania, czy jest ono dostrzegalne w praktycznych sytuacjach. Tu analizowano idealną linię bez strat. Prawdopodobnie własna indukcyjność przewodów i ich rezystancja zmniejszą powyższy efekt.
Tu należy powrócić jeszcze raz do poprzedniego przykładu energetycznego, aby przeanalizować dane liczbowe, uzupełnione teraz o napięcia, prądy i moce bierne obliczone według wzorów z ostatnich dwóch punktów.
Przykład energetyczny cd.
Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω Amplituda prądu fali padajacej Ipad = 164,26 A
Impedancja toru (źródła) RW = Z0 =1 Ω Amplituda prądu fali odbitej Iodb = -161,00 A
Napięcie skuteczne na obc. ULsk = 230 V Maks. napięcie w linii Umax=325,27 V
Amplituda napięcia na obc. UL = 325,27 V dla x = nπ (n=0, 1, 2,…)
Napięcie skuteczne źródła Usk = 232,3 V Min. napięcie w linii Umin=3,2527 V 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 C o si n u s φ
Odległość od obciążenia rzeczywistego w [km]
Г = 0,1 Г = 0,2 Г = 0,3 Г = 0,4 Г = 0,5 Г = 0,6 Г = 0,7 Г = 0,8 Г = 0,9 Г = 0,98
Rys. 5. Współczynnik mocy (cos φ) w funkcji odległości od obciążenia rzeczywistego [km] dla różnych wartości modułu Γ. Częstotliwość 50 Hz
Fig. 5. Power coefficient vs a distance [km] from a resistive load, calculated for different modulus of the reflection coefficient Γ. Frequency 50 Hz
Amplituda napięcia na źródle
Ub = 328,52 V dla x = (2n+1)π/2
Prąd skuteczny na obc. ILsk = 2,30 A Maks. prąd w linii Imax=325,27 A
Amplituda prądu na obc. IL = 3,2527 A dla x = (2n+1)π/2
Moc czynna w obciążeniu PLcz = 529 W Min. prąd w linii Imin=3,2527 A
Moc czynna na RW PWcz = 5,29 W dla x = nπ
Współczynnik odbicia
(obciąż.) 2-2’ = 0,9802 Rezyst. w przekroju U
max Rmax = 100 Ω
Współczynnik odbicia mocy p = 0,9608 Rezyst. w przekroju Umin Rmin = 0,01 Ω
Moc padająca Ppad = 13 491 W Maks. mocy biernej Q = 26 452 VAr
Moc odbita Podb = 12 962 W dla x = (2n+1)π/4
Amplituda napięcia fali padającej
Upad = 164,26 V Min. mocy biernej Q = 0 VAr
Amplituda napięcia fali odbitej
Uodb = 161,00 V dla x = nπ/2
Minimum mocy pozornej |Pˆ|min = 529 VA Maks. mocy pozornej |Pˆ|max = 26 457 VA
Zwraca uwagę fakt, że wartość maksymalna mocy biernej jest równa sumie mocy padającej i odbitej, podczas gdy moc czynna jest różnicą tych mocy. Zazwyczaj kojarzy się moc bierną z nadmiarowymi wartościami prądu w sieci, które nie mają pokrycia w przesyłanej mocy. W tym przypadku największa wartość prądu w linii (325,27 A) wypada w miejscu, gdzie wartość mocy biernej wynosi zero (minimum fali stojącej, x = (2n+1)π/2). W miejscu tym lokalny stosunek napięcia do prądu wynosi jedynie 0,01 Ω.
2.4. Zespolone obciążenie linii
Poniżej zbadano zachowanie się układu przy obciążeniu zespolonym. W oma-wianym przykładzie dobrano wartość obciążenia ZL = 64+j48 Ω w taki sposób, aby
uzyskać taki sam stosunek mocy padającej do odbitej jak w przykładzie poprzednim dla obciążenia rzeczywistego, ale przy wartości cos φ = 0,8. Fizycznie, pokazany poniżej przykład odpowiada sytuacji, w której wydłużono by linię z poprzedniego przykładu o długość elektryczną 2x = 0,015 i tam przeniesiono początek osi x, naz-wano ją x’ oraz włączono zespoloną impedancję ZL. Wtedy w miejscu 2x’ = 0,015,
odpowiadającym dawnemu x = 0, czyli miejscu włączenia rezystancji 100 Ω w poprzednim przykładzie, nic się nie zmieni. Lokalny stosunek napięcia do prądu też będzie wynosił 100 Ω i dalej w kierunku generatora wszystko pozostanie bez zmiany. Z punktu widzenia sieci energetycznej wygląda to tak, że przy linii o dłu-gości 7,16 km (odpowiednik 2x = 0,015) zakończonej obciążeniem, wytwarza-jącym cosφ = 0,8 w miejscu włączenia, na wejściu linii cosφ = 1. Niestety, zmiana tej długości spowoduje ponowne pojawienie się cosφ < 1. Dla obciążeń o różnych wartościach cosφ będą istniały różne wartości długości linii, na których wejściu cosφ = 1.
Poniżej zestawiono wartości liczbowe dla tego przypadku. Wielkości, które uległy zmianie wyróżniono wytłuszczoną czcionką. Zmiany dotyczą sytuacji w miejscu włączenia zespolonego obciążenia lub przesunięcia początku osi x.
Przykład energetyczny dla obciążenia zespolonego
Obciążenie zespolone ZL = 64+j48 Ω Amplituda prądu. fali pad. Ipad = 164,26 A
Impedancja toru, źródła RW = Z0 =1 Ω Amplituda prądu. fali odb. Iodb = 161+j2,4 A Napięcie skuteczne na obc. ULsk = 230 V Maks. napięcie w linii Umax=325,27 V
Amplituda nap. na obc. UL = 325,3+j2,4 V dla x’ = nπ +0,015
Napięcie skuteczne źródła Usk = 232,3 V Min. napięcie w linii Umin=3,2527 V
Amplituda napięcia
na źródle Ub = 328,52 V dla x’ = (2n+1)π/2+0,015
Prąd skuteczny na obc. ILsk = 2,30 A Maks. prąd w linii Imax=325,27 A
Amplituda prądu. na obc. I = 3,27- j2,41 A dla x’ = (2n+1)π/2+0,015
Moc czynna w obc. PLcz = 529 W Min. prąd w linii Imin=3,2527 A
Moc bierna w obc. QL = 397 Var dla x’ = nπ+0,015
Współczynnik odbicia
(obciąż.) 2-2’ = 0,98ej0.015 Rezyst. w przekroju Umax Rmax = 100 Ω
Współczynnik odbicia
mocy p = 0,9608
Rezyst. w przekroju Umin
Rmin = 0,01 Ω
Moc padająca Ppad = 13 491 W Maks. mocy biernej Q = 26 452 VAr
Moc odbita Podb = 12 962 W dla x’ = (2n+1)π/4+0,015
Amplituda napięcia fali
padającej Upad = 164,26 V Min. mocy biernej Q = 0 VAr
Amplituda napięć fali
odbitej Uodb = 161+j2,4 V dla x’ = nπ/2+0,015
Moc pozorna w obc. |Pˆ| = 661 VA cos φ = 0,8
3. OBWÓD PRĄDU STAŁEGO 3.1. Asymptotyczne dążenie do f = 0
Po zaznajomieniu się z metodą mikrofalową i jej zastosowaniu do energetyki można zanalizować, co będzie się działo, gdy częstotliwość będzie asymptotycznie dążyć do zera. Analizę tę przeprowadzono w trzech krokach.
1
) Długość elektryczna βx. W wielu wzorach poprzednich punktów występująwyrażenia opisujące zmianę fazy fali lub współczynnika odbicia w postaci jx e lub
x j 2
e , gdzie β = 2π/λ jest stałą fazową. W miarę jak f dąży do zera, a więc i do ∞, oba czynniki dążą do 1. Już dla 50 Hz, jak wspomniano, wartości x są praktycznie do pominięcia, gdyż = 1,05x10-6. W związku z tym we wzorach oraz
na rysunkach 1 i 4 można przyjąć ≈ 0. Oznacza to, że przy przesuwaniu się od obciążenia
do generatora lub odwrotnie, nie zmienia się faza ani fali padającej ani odbitej. Nie jest to jeszcze częstotliwość 0, lecz częstotliwość bardzo bliska 0.
2) Faza współczynnika odbicia. Przesunięcie fazowe pomiędzy falą padającą
a odbitą zależy teraz (tzn. gdy ≈ 0) jedynie od fazy współczynnika odbicia w miejscu włączenia obciążenia (φ0 lub φΓ). W przypadku obciążenia rzeczywistego
możliwe wartości, jakie może przyjmować faza, to albo 0 albo π, według wzoru (5). Na rysunkach 1 i 4 wszystkie wektory zespolone będą teraz leżały na osi rzeczy-wistej18.
Na częstotliwościach energetycznych, np. przy obciążeniach indukcyjnych, to przesunięcie fazowe jest istotne. Jeśli jednak istotnie zmniejszy się częstotliwość, to części reaktancyjne możliwych obciążeń, jak XL = L, czy XC = 1/C, będą
dążyły, odpowiednio, do zwarcia i rozwarcia. W efekcie pozostaną tylko rezystancje, a więc poprzedni przypadek obciążenia rzeczywistego.
3) Moduł współczynnika odbicia. Należy jeszcze zbadać, co dzieje się ze wzorem
(6), opisującym rzeczywisty współczynnik odbicia dla impedancji rzeczywistych w miarę zbliżania się do częstotliwości 0, czy pozostaje on nadal słuszny. Wzór (6) można otrzymać bezpośrednio ze wzorów (12), (13) i (14), pomijając wzór (5), jeśli wybierze się x jako miejsce włączenia RL oraz przyjmie x = 0. Problem polega na
tym, że we wzorach (12) i (13) występują amplitudy zespolone napięcia i prądu. W miarę zmniejszania się do zera x i φΓ mogłoby się wydawać, że amplitudy stają
się rzeczywiste. Jednak jest jeszcze wymieniony w rozdziale 1 i nieuwidoczniony czynnik e jt. Współczynnik odbicia Γ jest już rzeczywisty (≈ 0, φ
Γ = 0) i można go
teraz zapisać w postaci:
) ( ) ( ) cos( ) cos( e e ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 t U t U t U t U U U U U Γ pad odb pad odb t j pad t j odb pad odb
. (20)Prawidłowość tego zapisu wynika bezpośrednio z faktu, że Uodb0 i Upad0 mogą
być wyłącznie w fazie lub przeciwfazie. Znak fali odbitej jest określony zależnością:
W L W L odb odb R R R R U U 0 0 . (21)
Główna myśl związana z zapisem (20) jest następująca:
Jeżeli w miarę obniżania częstotliwości zmiany fazy z odległością są już bardzo małe (≈ 0), jeżeli wszystkie reaktancje stały się już zwarciem lub rozwarciem (L ≈ C ≈ 0) i w wyniku tego faza współczynnika odbicia φΓ
wynosi 0 lub π, to wartość współczynnika odbicia, który jest już wielkością rzeczywistą, może być określona jako stosunek rzeczywistych wartości chwilowych fali odbitej do fali padającej.
18 Nie oznacza to, że zapis za pomocą liczb zespolonych staje się niemożliwy. Przecież liczby rzeczywiste są częścią liczb zespolonych.
Wniosek powyższy staje się bardzo istotny, gdy analizuje się przebiegi niezwykle wolno zmienne (np. gdy okres fali trwa tydzień lub miesiąc). Może wtedy nie być możliwości zbadania, jaka jest amplituda fali, ale w dalszym ciągu określenie współczynnika odbicia według wzorów (20) i (6) jest możliwe.
Jeżeli teraz taka bardzo wolno zmienna fala będzie się zatrzymywać i osiągnie f = 0, nie zmienią się ani zjawiska fizyczne ani z równania, które zachowują swoją ważność. Dalej będzie istniała fala padająca i odbita, tyle że ich pomiar nie będzie już możliwy.
3.2. Pobudzenie uskokiem napięcia
Kolejnym argumentem potwierdzającym hipotezę, że w obwodach prądu stałego istnieją fale padająca i odbita, które w idealnym stanie ustalonym nie są możliwe do wykrycia, a których istnienie wynika z ciągłości zjawisk fizycznych, są zjawiska związanie z pobudzeniem uskokiem napięcia prostego obwodu, składającego się ze źródła o rezystancji wewnętrznej RW, jednorodnego odcinka linii
długiej o impedancji charakterystycznej Z0 = RW oraz obciążenia końcowego
rezystancją RL (rys. 6, u góry). W momencie t = t0 jako SEM podane zostaje skokowo
napięcie 2 V, które później już nie ulega zmianie. Długość linii jest taka, że czas przejścia energii poprzez linię (od przekroju poprzecznego a do przekroju c) wynosi 2. W dolnej części rysunku 6 pokazano przebiegi czasowe w trzech punktach linii długiej (początek – a, środek – b i koniec – c).
W momencie t = t0 źródło widzi impedancję Z0, więc wysyła w linię moc
dysponowaną, a skok napięcia w przekroju a wynosi 1 V. Po wysłaniu w linię impulsu jednostkowego przez okres 4 w przekroju a, czyli na wejściu linii nic się nie zmienia.
Z rzeczywistym uskokiem związane jest jego widmo19, jeśli jednak linia jest
dostatecznie długa, np. tak, aby po czasie, krótszym niż 2 uzyskać stan ustalony, przez następny czas 2 źródło wysyła w linię falę padającą o stałej amplitudzie równej 1. Po okresie impuls dochodzi do środka linii, a po okresie 2 do jej końca. Tutaj następuje odbicie fali zgodnie z relacją (22) lub (6). W zależności od stosunku RL/RW fala odbita jest w fazie lub przeciwfazie z falą padającą, co powoduje
zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy fali wypadkowej.
Skrajnymi sytuacjami są zwarcie i rozwarcie linii, które skutkują falą odbitą o amplitudzie, odpowiednio, –1 V lub +1 V. Fala wypadkowa będzie więc miała amplitudę 0 V lub 2 V.
Podsumowując, widać, że źródło wysyła falę padającą, której amplituda jest stała. Przybycie fali odbitej do określonego przekroju modyfikuje napięcie, które jest już napięciem wypadkowym, o wartości zależnej od rezystancji na końcu linii. Napięcie to dalej się nie zmienia. Po powrocie fali odbitej do źródła pozostaje stan
ustalony, który nie pozwala już na oddzielny pomiar fali padającej i odbitej20.
Ale fala padająca (określona przez moc dysponowaną) dalej istnieje.
Można by zadać pytanie: Jakie nowe zjawisko musiałoby powstać nagle w momencie uzyskania stanu ustalonego, które by zastąpiło opisane powyżej zjawisko fizyczne?
Oczywiście, nie ma praktycznej potrzeby wprowadzania fal stojących w analizę obwodów prądu stałego, natomiast dobrze jest wiedzieć, że to zjawisko istnieje, choć nie jest już mierzalne.
20 Jeśli nie byłby spełniony warunek Z
0 = RW, powstałoby kolejne odbicie, nakładające się na falę
padającą i cały proces dochodzenia do stanu ustalonego istotnie zostałby wydłużony.
Rys. 6. Przebiegi czasowe w bezstratnej linii długiej pobudzonej uskokiem napięcia
PODSUMOWANIE
W pracy pokazano, jak rozumienie zjawisk zachodzących w sieciach energe-tycznych może być pogłębione poprzez spojrzenie z punktu widzenia techniki mikrofalowej, operującej jedynie falami czynnymi: padającą i odbitą. W szczegól-ności wykazano, że współczynnik mocy w linii (cos φ), w której stosunek rezystancji obciążenia do rezystancji źródła jest wysoki, może się zmieniać szybko z odległością na dystansie pojedynczych kilometrów (wzór (19) i rys. 5), które są bardzo małe w stosunku do długości fali wynoszącej 6000 km.
Pokazano też na dwa sposoby, poprzez asymptotyczne dążenie do f = 0 i poprzez pobudzenie uskokiem napięcia, że w obwodach prądu stałego też istnieją, praktycznie niemierzalne, fale stojące, gdyż zjawiska fizyczne nie mogą się zmieniać nagle.
LITERATURA
1. Cekareski Z., Emanuel A.E., On the physical meaning of nonactive powers in three-phase systems, Power Engineering Review, IEEE, Vol.19, 1999, No. 7, s. 46–47.
2. Czarnecki L.S., Could power properties of three-phase systems be described in terms of the Poynting Vector? IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 21, 2006, No. 1, s. 339–344. 3. Czarnecki, L.S., Currents’ Physical Components (CPC) in circuits with nonsinusoidal voltages and
currents. Part 1: Single-phase linear circuits, Journal on Electric Power Quality and Utilization, Vol. XI, 2005, No. 2, s. 37–48. Part 2: Three-phase linear circuits.
4. Czarnecki L.S., Energy flow and power phenomena in electrical circuits: illusions and reality, Archiv. für Elektrotechnik, Vol. 82, 1999, No. 4, s. 10–15.
5. Czarnecki L.S., Harmonics and power phenomena, Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, John Wiley & Sons, Supplement 1, 2000, s. 195–218.
6. Czarnecki L.S., Misinterpretations of some power properties of electric circuits, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 9, 1994, No. 4, s. 1760–1770.
7. Czarnecki L.S., On some misinterpretations of the Instantaneous Reactive Power p-q Theory, IEEE Transactions on Power Electronics, Vol.10, 2004, No. 3, s. 828–836.
8. Czarnecki L.S., Oscylacje energii a moce nieaktywne w świetle Teorii Składowych Fizycznych Prądu (CPC) oraz Twierdzenia Poyntinga, „Przegląd Elektrotechniczny”, 2006, nr 6, s. 1–7. 9. Emanuel A.E., About the rejection of Poynting vector in power systems analysis, Journal on Electric
Power Quality and Utilization, Vol. XIII, 2007, No. 1.
10. Emanuel A.E., Power definitions and the physical mechanism of power flow, John Wiley, Hoboken, New Jersey 2010.
11. Emanuel A.E., Powers in nonsinusoidal situations. A review of definitions and physical meaning, IEEE Transactions on Power Delivery, 1990, No. 5(3).
12. Emanuel A.E., Poynting Vector and physical meaning of nonactive powers, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurements, Vol. 54, 2005, No. 4, s. 1457–1462.
13. Ferrero A., Leva S., Morando A.P., An approach to the nonactive power concept in terms of the Poynting-Park Vector, European Transactions on Electric Power, ETEP, Vol. 11, 2001, No. 5, s. 301–308.
14. Piotrowski T.S., Spór o sens fizyczny mocy biernej, VI Konferencja „Elektrotechnika – prądy niesinusoidalne”, materiały konferencyjne, Zielona Góra 2002, s. 47–54.
MICROWAVE TECHNIQUE BORDERS – THE REACTIVE POWER
OSCILLATING IN ELECTRIC POWER ENGINEERING
AND THE WAVES IN DC CIRCUITS
Summary
The paper describes the use of microwave technique methods in the power phenomenon in electric power lines, which do not belong to the microwave technique at all. Starting from the assumption that Maxwell’s equations explain all macroscopic electromagnetic effects, the microwave method to the 50Hz circuits has been applied and the results have been illustrated by examples. Finally, it is explained that waves in DC circuit also exist, although, it is impossible to measure them. The reason to claim such conclusion results from the fact that physics does not change instantly.
Keywords: reactive power, active power, complex power, apparent power, microwave method, power oscillations, reflected wave, standing waves, reflection coefficient, maximal available power, resistive load, complex load, power coefficient (cos φ), DC.
