Rok I Temat 3 WYZNACZNIKI. MACIERZE C.D. 1 Definicja wyznacznika 2 Własności wyznaczników 3 Macierz odwrotna 4 Rząd macierzy Definicja
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =
[ ]
×
aij n n stopnia n nazywamy wielomian zmiennych aij przyporządkowany tej macierzy. Jeżeli elementy macierzy A są liczbami wówczas wyznacznik tej macierzy jest liczbą.
Wyznacznik oznaczamy symbolami:
a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . .
, detA, A , (determinant – łac. wyznacznik)
Wyznacznik det A macierzy A definiujemy indukcyjnie w następujący sposób:
1. n=1, A=
[ ]
a11 det A = a11. 2. n > 1 det A= A∗ =( )
− A = + =∑
ai i∑
a i n i i i i n 1 1 1 1 1 1 1 1 .Wzór ten nazywamy rozwinięciem wyznacznika macierzy A względem elementów pierwszego wiersza. Aij∗ = − 1
( )
i+jAij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A, natomiast Aij– podwyznacznikiem (minorem) stopnia n −1 macierzy A otrzymanym przez skreślenie elementów i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A. Dla n =2 otrzymujemy( )
( )
det A A A A A A A = = + = − + − = = − = − = − ∗ ∗ + + a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 21 22 11 11 12 12 11 1 1 11 12 1 2 12 11 11 12 12 11 22 12 21 11 22 12 21 1 1Sposób Sarrusa
Wyznacznik stopnia trzeciego możemy obliczyć według następującego schematu. Z prawej strony wyznacznika dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę (lub pod wyznacznikiem dopisujemy pierwszy i drugi wiersz). Następnie (rys. 1) obliczamy iloczyny elementów z odpowiednim znakiem detA = ... − − − + + + = + − a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 12 21 22 31 32 11 22 33 12 21 33 Rys. 1
Własności wyznaczników ułatwiające ich obliczanie.
1. Wyznacznik możemy rozwijać względem dowolnego wiersza (kolumny)
( )
(
)
det . . . . . . . . . . . . . . . . . , , ... A= = A = − A = = ∗ + =∑
∑
a a a a a a a a a a a i n n i i in n n nn ij j n ij i j ij j n ij 11 12 1 1 2 1 2 1 1 1 1 22. Wyznacznik danej macierzy A równa się wyznacznikowi macierzy transponowanej detA=detAT
3. Jeżeli macierz B utworzona jest z macierzy A przez przestawienie miejscami dwóch wierszy (kolumn), to wyznacznik zmienia wartość na przeciwną
detB= −detA
4. Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer równa się zeru. 5. Mnożenie wyznacznika przez liczbę λ polega na mnożeniu elementów jednego
dowolnego wiersza (kolumny) przez tę liczbę.
6. Wyznacznik macierzy, w której dwa wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne równa się zeru.
7. Wartość wyznacznika nie zmienia się, gdy do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę.
Twierdzenie
Suma iloczynów elementów wiersza (kolumny) i przez dopełnienia algebraiczne elementów wiersza (kolumny) j równa się wartości wyznacznika, gdy i = j oraz równa się zeru gdy
j i ≠ : ≠ = = + + + . , 0 , , det ... * * 2 2 * 1 1 j i j i A A a A a A ai j i j in jn ≠ = = + + + . , 0 , , det ... * * 2 2 * 1 1 j i j i A A a A a A ai j i j ni nj Twierdzenie (tw. Cauchy’ego)
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych A i B równa się iloczynowi wyznaczników tych macierzy. B A AB) det det det( = Definicja
Macierz kwadratową A=[aij]nxn nazywamy macierzą nieosobliwą, gdy detA≠0. Jeżeli detA=0, to macierz A nazywamy macierzą osobliwą.
Twierdzenie
Macierz odwrotna −1
A do macierzy kwadratowej A istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą.
Definicja
Macierzą dołączoną D
A macierzy kwadratowej A=[aij]nxn nazywamy macierz T
ij D
A
A =[ *] , gdzie [Aij*] jest macierzą dopełnień algebraicznych elementów a ij
macierzy A.
Twierdzenie
Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą (detA≠0), to AD
A A det 1 1= − . Twierdzenie
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi nieosobliwymi tego samego stopnia, to
1 1 1
)
(A⋅B − =B− A− .
Twierdzenie (wybrane własności macierzy odwrotnej)
1. ( −1) ( )−1 = T T A A , 2. A A det 1 det −1= , 3. −1 −1=A ) (det . Rząd macierzy
Definicja
Rzędem macierzy A=[aij]nxm nazywamy najwyższy stopień jej dowolnego podwyznacznika (minora) różnego od zera.
Rząd macierzy A oznaczamy symbolem R(A) (lub (r(A)). Z definicji rzędu macierzy wynika, że ) , min( ) ( 0≤R A ≤ n m . Definicja
Jeżeli macierz B=[bij]nxm powstaje w wyniku dokonania skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A=[aij]nxm, to A i B nazywamy macierzami równoważnymi (oznaczamy A~B).
Twierdzenie
Macierz A i B są równoważne wtedy tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe, czyli
A~B⇔R(A)=R(B)
Jeżeli macierz B równoważna macierzy A powstała w wyniku wielokrotnego wykonywania operacji elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A składa się z maksymalnej liczby zer, wówczas rząd macierzy A (R(B)=R(A)) równa się ilości kolumn (wiemy) macierzy B, w których są elementy różne od zera.
Przykłady
1. Na podstawie definicji obliczyć wyznacznik macierzy
[ ]
3 3x ij a A = stopnia trzeciego. Rozwiązanie det A= = A + A + A = A − A + A = = − + ∗ ∗ ∗ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 11 12 12 13 13 11 11 12 12 13 13 11 22 23 32 33 12 21 23 31 13 13 21 22 31 32
Ostatecznie (po obliczeniu wyznaczników stopnia drugiego) otrzymujemy
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 = + + + − − −
2. W oparciu o własności wyznacznika obliczyć wyznacznik macierzy − − = 1 1 1 1 3 5 2 1 1 2 0 1 4 1 3 1 2 1 5 2 1 4 3 2 1 A Rozwiązanie
Ponieważ w kolumnie piątej i wierszu trzecim występuje zero możemy np. otrzymać jeszcze trzy zera w kolumnie piątej wykonując następujące operacje elementarne na wierszach macierzy A:
dodajemy wiersz piąty do wiersza pierwszego i drugiego oraz dodajemy do wiersza czwartego wiersz piąty pomnożony przez 5.
Otrzymujemy wyznacznik 1 1 1 1 3 0 7 4 6 17 0 1 4 1 3 0 3 0 6 5 0 5 2 3 4 det − − − =
A . Następnie detA rozwijamy względem piątego wiersza kolumny
7 4 6 17 1 4 1 3 3 0 6 5 5 2 3 4 ) 1 ( 1 det 5 5 55 − − = − − = + A A
Stosując operacje elementarne na wierszach możemy otrzymać zera w kolumnie trzeciej. Mnożymy wiersz drugi przez 2 a następnie odejmujemy go od wiersza trzeciego i dodajemy do wiersza czwartego i otrzymujemy w kolumnie trzeciej trzy zera.
17 0 12 25 9 0 5 5 3 0 6 5 5 2 3 4 det − − − − =
A . Wyznacznik detA rozwijamy względem trzeciej kolumny.
. 1060 17 12 25 9 5 5 3 6 5 2 detA=− − − − =
3. Wyznaczyć macierz odwrotną −1
A do macierzy = 3 2 1 4 5 4 1 2 3 A .
Rozwiązanie 8 3 2 1 4 5 4 1 2 3
detA= = , ponieważ detA≠0 macierz odwrotna do macierzy A istnieje.
Wyznaczamy elementy macierzy dopełnień algebraicznych
[ ]
[
ij]
j i ij A A * = (−1)+ 1≤i, j≤3. 7 3 2 4 5 11 * 11 = A = = A , 8 3 1 4 4 12 * 12 = A− =− =− A , 3 2 1 5 4 13 * 13 = A = = A , 4 3 2 1 2 21 * 21 = A− =− =− A 8 3 1 1 3 22 * 22 = A = = A , 4 2 1 2 3 23 * 23 = A− =− =− A . 3 4 5 1 2 31 * 31 = A = = A , 8 4 4 1 3 32 * 32 = A− =− =− A , 7 5 4 2 3 33 * 33 = A = = A .[ ]
− − − − = 7 8 3 4 8 4 3 8 7 * ij A ,[ ]
, 7 4 3 8 8 8 3 4 7 * − − − − = = ij T D A A − − − − = − − − − = = − 8 7 2 1 8 31 1 1 8 3 2 1 8 7 7 4 3 8 8 8 3 4 7 8 1 det 1 1 D A A AMożemy sprawdzić, że .
1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 7 2 1 8 3 1 1 1 8 3 2 1 8 7 3 2 1 4 5 4 1 2 3 1 = − − − − = ⋅ − A A 4. Obliczyć rząd macierzy − − − − − − = 5 2 1 3 4 6 4 1 6 8 3 2 5 3 4 2 4 7 6 8 7 2 8 3 4 A .
Rozwiązanie
Stosujemy np. następujące operacje elementarne na wierszach macierzy A : od wiersza drugiego i czwartego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez 2 oraz odejmujemy wiersz pierwszy od wiersza trzeciego i piątego i otrzymujemy macierz B ( R(A)=R(B)):
− − − − − = 12 0 9 0 0 20 0 15 0 0 4 0 3 0 0 12 0 9 0 0 7 2 8 3 4 B .
Następnie od trzeciego wiersza macierzy B odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez 3 1
, od czwartego drugi pomnożony przez
3 5
oraz od piątego drugi.
Otrzymujemy macierz − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 9 0 0 7 2 8 3 4 C .
Ponieważ wiersz pierwszy i drugi macierzy nie zawierają odpowiednich elementów
proporcjonalnych nie otrzymamy kolejnego (pierwszego lub drugiego) wiersza zawierającego wyłącznie zera. Stąd R(C)=R(B)=R(A)=2. Zadania 1. Obliczyć wyznaczniki: a) 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 ;
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy: a) − − − − 24 29 27 34 41 38 1 1 1 ; 3. Określić rząd macierzy: a) − 8 3 5 3 1 3 1 2 1 0 5 4 3 2 1 13 7 8 5 2 ;
Odpowiedzi 1. a) 48− ; 2. a) − −2 3 5 4 3 6 7 5 2 ; 3. a) 2 ; Lp. Literatura Rozdział
1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie
I § 2 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
I § 1.2. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.
