{ Uogólnienia pewnych własności macierzy uniwersalnej

J

H

, J

K

Poznań

Uogólnienia pewnych własności macierzy uniwersalnej

W stęp . Dla dowolnej macierzy rzeczywistej A, przez r(A ), AT oraz A+

będziemy oznaczać odpowiednio rząd macierzy A , transpozycję macierzy A oraz odwrotność Moore’a-Penrose’a macierzy A, tzn. macierz określoną jed- noznacznie przez warunki AA+ A = A, A+ AA+ = A+ , (A A + )T = AA+ i (A + A )

= A+ A. Ponadto, przez /*, 1* oraz Ot,/ będziemy oznaczać odpo- wiednio macierz jednostkową stopnia k, wektor k x 1-wymiarowy o wszyst- kich składowych równych jedności oraz macierz zerową k X /-wymiarową.

Przypomnimy teraz pojęcie macierzy uniwersalnej wprowadzonej przez Hellwiga [1].

D

. Macierz kwadratową G = (gij) stopnia k nazywamy macie- rzą uniwersalną, jeżeli dla i ,j =

gdzie n , . . . , r* są współczynnikami korelacji, tzn. r, £ [— 1,1], i = 1, • • ., k.

Celem tej pracy jest rozszerzenie pewnych własności macierzy uniwersal- nej rozważanych przez Kolupę [2, 3], które dotyczą problemu jej nieosobli- wości oraz problemu zgodńości znaków współrzędnych wektora r i wektora rozwiązań b układu równań liniowych Gb = r. Rozszerzenia te podane są w formie wniosków z wyników ogólniejszych, w których rozważa się rząd ma- cierzy uniwersalnej, odwrotność Moore’a-Penrose’a macierzy uniwersalnej oraz ogólne rozwiązanie układu równań liniowych Gb = r. 2

( Praca wpłynęła do Redakcji 1Ą.3.1989)

9 ij — { riTj gdy i ± j, ^{1 gdy i = j,}

2. R ząd m acierzy uniw ersalnej. Zauważmy, że macierz uniwersalną

G można zapisać w postaci

(1) G = D + rrT ,

gdzie rT = ( r i , . . . , rk) oraz D = diag(l - r \, . . . , 1' - r\). Z (1) jest jasne, że macierz G jest określona nieujemnie. Dodatnia określoność macierzy G jest zatem równoważna jej nieosobliwości. W celu przeanalizowania rzędu macie- rzy G zapiszmy wektor r w postaci uporządkowanej jako rT = ( l j , r j , - l j ) , gdzie r j = (ra+1, . . . , ra+b) jest wektorem o składowych ra+i € (- 1 , 1 ) , i = 1 ,...,6 , a ponadto a + b + c = k. Wówczas D — Diag(0a)(X, Db, 0C)C), gdzie D b = diag(l - r 2a+1, . . . , 1 - r2a+h).

T

1. Niech G będzie macierzą uniwersalną stopnia k. Wów- czas

(G) = l k gdy a = c = 0,

K ' \ 6 + l w wypadku przeciwnym.

D o w ó d . Ponieważ

G = D + rrT = A 2 + rrT = (A, r)(A, r )T , gdzie A = Z)1/ 2, więc

r(G) = r(zl, r ) .

Korzystając z wyniku podanego np. w twierdzeniu 19 w pracy Marsaglii i Styana [4] otrzymujemy równość

r(G) = r(A ) + r(Q Ar ) = r(D) + r(QDr ) , gdzie Q d = Ik — D D + . Z uwagi na fakt, że

D+ = D iag(0a,ni£it- ‘ ,0 c,c), dostajemy

Q D — ^6,6} Ic) i

a stąd

( Q u r f = ( lr.O^.-lD-

Tak więc, jeśli a = c = 0, to Q d t — 0^,1 i wtedy r(G) — r(D) — k , zaś jeśli a / 0 lub c ^ 0, to r(Q Dr) = 1, a zatem r(G) = b + 1, co kończy dowód twierdzenia. ■

Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia 1 jest następujący wniosek, który uogólnia twierdzenie 3 z pracy Kolupy [2] oraz twierdzenie 1 z pracy Kolupy [3].

W

1. Macierz uniwersalna G stopnia k jest określona dodatnio

wtedy i tylko wtedy, gdy co najwyżej jeden spośród współczynników korelacji

ri, i = 1 spełnia warunek || = 1.

3. P rob lem zgod n ości znaków . Kolupa [2, 3] rozważał problem po- równania znaków współrzędnych wektora rozwiązań b układu równań linio- wych

(2) Gb = r

ze znakami współrzędnych wektora r związanego z macierzą uniwersalną G.

Przy założeniu, że r* ^ 0 oraz |r;| ^ 1, i = 1 ,...,& , wykazał on (patrz [3, twierdzenie 2]), że sgn(6z) = sgn(rj) dla i = 1,.. . ,&. Założenie r* / 0 jest nieistotne z matematycznego punktu widzenia, natomiast założenie |r*| ^ 1, i = 1,.. zostało przyjęte dla zapewnienia nieosobłiwości macierzy G. Z twierdzenia 1 wyprowadzonego w poprzednim paragrafie wiemy, że macierz G może być nieosobliwa, a tym samym układ (2) może mieć dokładnie jedno rozwiązanie również wtedy, gdy jedna ze współrzędnych r* jest co do war- tości bezwzględnej równa jedności. Nasze uogólnienie wspomnianego wyżej wyniku Kolupy idzie jednak dalej, nie ograniczając się do przypadku z nie- osobliwą macierzą G. Oczywiście, jeśli G jest macierzą osobliwą, to układ równań (2), który jest zawsze niesprzeczny, posiada nieskończenie wiele roz- wiązań. Spośród nich wyróżniać będziemy rozwiązanie będące wektorem o minimalnej normie, które jest określone za pomocą wzoru

b = G+r .

Główne wyniki tego paragrafu podamy w formie serii twierdzeń i wnio- sków.

T wie r d z e n ie 2. Odwrotność Moore’a-Penrose’a macierzy uniwersalnej G = D + rrT jest postaci

(3) G+ = G~l = D~l - D~~xrrTD V ( l + rT D 1r), gdy r{ E ( —1,1) dla każdego i = 1,.. ., k, natomiast jest postaci

/ e lal l -d la rfD ^ 1 - e l al«f \ (4) G+ = 1 / £ - d D ^ n l l d D ^ r t f

\ - e U T dlcr jD b 1 Ciele /

gdy d — a + c > 1, przy czym e — 1 -f r jD b 1rf). \ D o w ó d . Teza powyższego twierdzenia wynika z paragrafu 2.4 pracy Minamide [5], przy czym część pierwsza rozważanego tam przypadku 2 pro- wadzi do wzoru (3), a z przypadku 1 otrzymujemy

G+ = ( 4 - QDrrT/rTQDr)D +(Ik - rrTQD/rTQDr) + QDrrTQ ^d / (rTQDr)2 ,

co prowadzi do rezultatu (4).

T wie r d z e n ie 3. Niech b — G+r, gdzie r jest danym k x 1 -wymiarowym

wektorem współczynników korelacji) a G jest macierzą uniwersalną odpowia-

dającą temu wektorowi. Wówczas

( 5 ) b = i r 1 r / ( l + rTi r 1 r ), gdy a = c = 0 , natomiast

( 6 )

gdy d = a + c > 1 .

D o w ó d . Postacie (5) i ( 6 ) wynikają odpowiednio ze wzorów (3) i (4).

W

2. Niech b = G+r. Wówczas

( 7 ) sgn( 6 j) = sgn(r,) dla każdego i = 1 , . . . , k wtedy i tylko wtedy, gdy

ri G ( — 1,1) dla każdego i = 1 ,..., k albo

|rj| = 1 lub = 0 dla każdego i = 1 , . . . , k .

D o w ó d . Jeżeli a — c — 0, to macierz diagonalna D jest określona dodatnio i l + rTD -1 r > 0; więc ze wzoru (5) wynika relacja (7). Jeżeli zaś a > 1 lub c > 1, to ze wzoru ( 6 ) wynika, że równość znaków (7) może zachodzić tylko wtedy, gdy r* G { - 1 , 0 , 1 } co kończy dowód wniosku. ■

Okazuje się, że problem zgodności znaków można rozważyć również w odniesieniu do zbioru wszystkich rozwiązań układu równań Gb = r.

W

3. Niech b° będzie rozwiązaniem układu Gb = r, w którym a + c < k. Wówczas relacja

( 8 ) sgn( 6 °) = sgn(rt) dla każdego i = 1 , . . . , k

jest spełniona dla wszystkich rozwiązań b° wtedy i tylko wtedy, gdy rj G ( —1,1) dla każdego i = 1,... ,k .

D o w ó d . Rozwiązanie ogólne układu równań (2) jest postaci

(9) b° = G+r + (Ik - G +G )z,

gdzie 2 jest dowolnym wektorem k X 1-wymiarowym. W konsekwencji, jeśli

|r,| ^ 1 dla każdego i = l , ...;fc , to b° jest postaci takiej, jak w (5) i zachodzi relacja ( 8 ). Natomiast jeśli istnieje taki wskaźnik i, że |rj| = 1, to na podstawie ( 6 ) i (9) otrzymujemy

6 ° = 1/d la "ł" (lalcT dla)za lale - l c + ( l cl j - dlc)zc - l cllZ a

gdzie zT = ( z l , z j , z l ) , co pokazuje, że w przypadku, gdy ra+i = 0 dla

i = relacja ( 8 ) nie jest spełniona przy pewnych doborach za, z5 ,

zc. W przypadku przeciwnym relacja (8) nie jest spełniona niezależnie od doboru za, Zb, zc. m

U w a g a . W przypadku zdegenerowanym, gdy a + c = k tzn. wektor r ma pierwsze a składowe równe 1 i pozostałe c składowe równe —1 relacja (8) jest spełniona tylko dla tych rozwiązań równania

t= l j= a + 1

dla których 6* > 0, i = 1 , . . . , a oraz bj < 0, j = a + 1 ,..., k.

Zauważmy dodatkowo, że ze względu na twierdzenie 1 układ równań Gb = r posiada jednoznaczne rozwiązanie również wtedy, gdy tylko jedna za składowych ri spełnia warunek \rĄ = 1.

Literatura

[1] H. H ellw ig, Przechodniość relacji skorelowania zmiennych losowych i płynące stąd wnioski ekonometryczne, Przegląd Statystyczny 23 (1976), 4-20.

[2] M. K o lu p a , Dowód pewnego twierdzenia Z. Hellwiga i pewne własności macierzy uniwersalnej, Przegląd Statystyczny 24 (1977), 315-318.

[3] — , O pewnych własnościach macierzy uniwersalnej, Przegląd Statystyczny 24 (1980), [4] G. M a r s a g lia i G. P. H. S tyan , Equalities and inequalities for ranks of matrices, 3-7.

Linear and Multilinear Algebra 2 (1974), 269-292.

[5] N. M in a m id e, An extension of the matrix inversion lemma, SIAM Journal on Al- gebraic and Discrete Methods 6 (1985), 371-377.

Summary

The generalization of some properties of universal matrices

We consider an k x k universal matrix G introduced by Hellwig (1976). The matrix G = (gij) is defined as follows: gu

for i =

. . ., k , gij

r,rj for i ^ j, i, j

1 , . . . , k , where r,- denote coefficients of correlatioh (|r,j < 1). We analyze two problems:

the nonsingularity of the matrix G and the sign-consistency of the elements of the vector

r = (r,) and of the solutrion b = (6;) to the system Gb = r. Obtained results generalize

the results presented by Kolupa (1977, 1980).