Dynamiczny algorytm optymalizacji hipotetycznej - możliwości zastosowania w eksploatacji obiektów mieszkalnych

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A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S _ _ _ _ _ _ _ _ _ F O L I A O E C O N O M I C A 1 03 , 1 9 9 0 J e r z y T y m i ń s k i * D Y N A M I C Z N Y A L G O R Y T M O P T Y M A L I Z A C J I H I P O T E T Y C Z N E J -M O Ż L I W O Ś C I Z A S T O S O W A N I A W E K S P L O A T A C J I O B I E K T Ó W -M I E S Z K A L N Y C H O l b r z y m i e z a p o t r z e b o w a n i e n a m e t o d y o p t y m a l i z a c y j n e w o s t a t n i c h l a t a c h s p o w o d o w a ł o o p r a c o w a n i e c a ł e g o s z e r e g u a l g o r y t m ó w , k t ó r e z r ó w n y m p o w o d z e n i e m to z a p o t r z e b o w a n i e z a s p o k a j a j ą 1 . R ó ż n o r o d n o ś ć p o d e j ś c i a ( t j . w y k o r z y s t a n i e r ó ż n y c h z a s a d p o s t ę  p o w a n i a w p r o c e s a c h e k s t r e m a l i z a c j l ) p o w o d u j e o g r a n i c z o n o ś ć s t o s o -o w a n i a t y c h m e t o d d o p e w n e j k l a s y p r o b l e m ó w . . Z n a n e m e t o d y p r o g r a m o  w a n i a m a t e m a t y c z n e g o b a z u j ą n a w i e l u z a ł o ż e n i a c h ( g ł ó w n i e w o d n i e  s i e n i u d o f u n k c j i c e l u ) , p r z e z c o s ą m a ł o u n i w e r s a l n e 5 . Z a s i ą g i c h s t o s o w a l n o ś c i j e s t o g r a n i c z o n y j e d y n i e d o p e w n e j g r u p y p r o b l e m ó w Q o s p o d a r c z y c h 4 . O c z y w i ś c i e t a k i e j s y t u a c j i n i e m a , j e ż e l i c h o d z i o m o d e l e l i n i o w e . Z n a n e są m e t o d y p r o g r a m o w a n i a l i n i o w e g o ( s z c z e g ó l  n i e r ó ż n e w a r i a n t y m e t o d y s i m p l e k s ) , p o z w a l a j ą c e n a r o z w i ą z a n i e teo r e t y c z n i e w s z e l k i c h p r o b l e m ó w t e c h n i c z o - e k o n o m i c z n y c h , b y l e b y b y ł y

f

t

O r , a d i u n k t w Z a k ł a d z i e E k o n o m i k i B u d o w n i c t w a i I n we s t y c j i UL. 1 M i k r o e k o n o m i c z n e p r o b l e m y b a d a ń o p e r a c y j n y c h , W a r s z a w a 1 9 7 7 s. 7 - 1 2 . W. G r a b o w s k i , P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e , W a r s z a w a 1 9 8 0 ; P. J ę d r z e j o w i e z, W y b r a n e m o d e l e d y c y z y j n e w p r o  d u k c j i i e k s p l o a t a c j i , W a r s z a w a 1 9 8 0 ; S. K r y ń s k i . M i n i m a l i  z a c j a f u n k c j i w k l ę s ł e j n a w i e l o ś c i a n i e w y p u k ł y m , " M a t e m a t y k a S t o s o  w a n a " 1 9 7 8 ; W. I. Z a n g w i 1 1 , P r o g r a m o w a n i e n i e l i n i o w e , War s z a w a 1 9 7 4 . ^ J ę a r z e j e w i c z , W y b r a n e m o d e l e s. 2 0 7 - 2 2 4 . Z a-n g w i 1 1 , P r o g r a m o w a n i e n i e l i n i o w e . . . , s. 5 1 - 5 2 . 4 J ę d r z e j e w i c z , W y b r a n e m o d e l e . . . , s. 69 ; P o d s t a w y o r g a n i z a c j i z a r z ą d z a n i a i t e c h n o l o g i i w budownictwie, Warszawa 1985,s. 40.

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o n e ( s c h a r a k t e r y z o w a n e za p o m o c ą u k ł a d u z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h p o z o  s t a j ą c y c h w z a l e ż n o ś c i a c h l i n i o w y c h ^ . S p r a w a s i ę j e d n a k i e k o m p l i k u  j e, j e ż e l i m a m y d o c z y n i e n i a z p r o b l e m a m i n i e l i n i o w y m i . S z c z e g ó l n e p r o b l e m y , np. z a d a n i e p r o g r a m o w a n i a k w a d r a t o w e g o , m o ż n a r o z w i ą z a ć m. in. t a k ż e m e t o d ą s i m p l e k s , o p r a c o w a n ą p r z e z E. M. L. B e a l e a ć . W i n n y c h p r z y p a d k a c h n a l e ż y s i ę g n ą ć d o r ó ż n y c h - w z a l e ż n o ś c i o d r o  d z a j u z a g a d n i e ń o p t y m a l i z a c y j n y c h - m e t o d p r o g r a m o w a n i a m a t e m a t y c z  n e g o 7 . W p r o b l e m a c h , w k t ó r y c h z m i e n n e d e c y z y j n e p r z y j m u j ą p o s t a ć l i c z b c a ł k o w i t y c h , m a z a s t o s o w a n i e m e t o d a p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń (moż n a t u t a j t eż w y m i e n i ć m e t o d ę p ł a s z c z y z n o d c i n a j ą c y c h , m e t o d ę drzew d e c y z y j n y c h , m e t o d y h e u r y s t y c z n e i i n n e ) U . J e ż e l i c h o d z i o g ó l n i e o t e o r i ę p r o g r a m o w a n i a n i e l i n i o w e g o , n i e j e s t o n a z b y t b o g a t a . W s z c z e g ó l n o ś c i riie i s t n i e j ą w z a s a d z i e o g ó l  n e m e t o d y p r o g r a m o w a n i a n i e l i n i o w e g o d l a z a g a d n i e ń , k t ó r e n i e są U p r o b l e m a m i p r o g r a m o w a n i a w y p u k ł e g o . U s z c z e g ó l n o ś c i n i e z n a n e są m e t o d y , k t ó r e w s k o ń c z o n e j l i c z b i e k r o k ó w - p o z w o l i ł y b y u z y s k a ć roz w i ą z a n i e o p t y m a l n e , c h o c i a ż są o n e z b i e ż n e w n i e s k o ń c z o n e j l i c z b i e i t e r a c j i 1 0 . S t o s o w a n i e z a ś m e t o d p r o g r a m o w a n i a w y p u k ł e g o d o p r o b l e  m ó w p r o g r a m o w a n i a n i e l i n i o w e g o n i e w y p u k ł e g o j e s t c o n a j m n i e j r y z y  k o w n e ( n i e z a p e w n i a j ą z b i e ż n o ś c i w s k o ń c z o n e j l i c z b i e i t e r a c j i ) . J e d n a k w s z y s t k i e p r a w i e z n a n e m e t o d y p r o g r a m o w a n i a n i e l i n i o w e g o z a  k ł a d a j ą r ó ż n i c z k o w a l n o ś ć ( s p e ł n i e n i e w a r u n k ó w K u h n a - T u c k e r a ) i c i ą  g ł o ś ć f u n k c j i c e l u 1 1 . I s t n i e j e c o p r a w d a d z i a ł p r o g r a m o w a n i a m a t e  m a t y c z n e g o - p r o g r a m o w a n i e d y n a m i c z n e , k t ó r y o b e j m u j e w i e l e m e t o d r o z w i ą z a n i a k o n k r e t n y c h p r o b l e m ó w z a r ó w n o w k l ę s ł y c h , j a k i w y p u k  G r a b o w s k i , P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , ч 21; K r y ń s k i , M i n i m a l i z a c j a f u n k c j i . . . , s. 35. 6 G r a b o w s k i, P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , s 251, 7 Z a n g w i 1 1 , P r o g r a m o w a n i e n i e l i n i o w e . . . , s. 1 1 0 , 134, 1 6 3 , 1 95 , 2 1 9 , 2 5 0 , 29 0. 0 G r a b o w s k i , P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , s. 3 3 2 ; M i  k r o e k o n o m i c z n e p r o b l e m y b a d a ń . . . , s. 94. 9 G r a b o w s k i. P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , s. 2 9 0 ; K r у ń s к i, M i n i m a l i z a c j a f u n k c j i . . . 10 G r a b o w s к i , P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , s. 2 23 . 11 I b i d e m .

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ł y c h . N i e s t e t y , p r o g r a m o w a n i e d y n a m i c z n e m o ż e b y ć s t o s o w a n e t y l k o 12 d o p e w n e j k l a s y p r o b l e m ó w , z m a ł ą l i c z b ą z m i e n n y c h i o g r a n i c z e ń J a k d o t y c h c z a s n i e o p r a c o w a n o m e t o d w m i a r ą u n i w e r s a l n y c h , tj. t a  k i c h , k t ó r e u m o ż l i w i a ł y b y r o z w i ą z y w a n i e r ó ż n e j k l a s y p r o b l e m ó w . P r e z e n t o w a n y w t e j p r a c y D y n a m i c z n y A l g o r y t m O p t y m a l i z a c j i H i  p o t e t y c z n e j 0 A Ü H z e w z g l ę d u n a j e g o u n i w e r s a l n o ś ć m o ż e b y ć p r z y d a t  n y w s z c z e g ó l n o ś c i d o r o z w i ą z y w a n i a w i e l u n i e t y p o w y c h z a d a ń c h a  r a k t e r y z u j ą c y c h s i ę d u ż ą l i c z b ą o g r a n i c z e ń . A l g o r y t m e m O A O H m o g ą b y ć r o z w i ą z y w a n e r ó ż n e g o t y p u p r o b l e m y o - p t y m a l i z a c y j n e p r o g r a m o w a n i a n i e l i n i o w e g o i l i n i o w e g o , t j . p r o b l e  m y : a) o d o w o l n e j k o n s t r u k c j i f u n k c j i c e l u ; b ) o d o w o l n e j k o n s t r u k c j i o g r a n i c z e ń i i c h l i c z b i e ( j e ż e l i m a  ją p o s t a ć ( l b ) i ( l c ) ; c ) o c o n a j m n i e j t r z e c h z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h , j e ż e l i p r o b l e m p o s i a d a j e d y n i e t y l k o d w i e z m i e n n e , to m o ż n a w p r o w a d z i ć t r z e c i ą s z t u c z n ą ( z a r ó w n o d o f u n k c j i c e l u , j a k i o g r a n i c z e ń ) ; d ) o c o n a j m n i e j j e d n y m o g r a n i c z e n i u m o d e l o w y m l e w o s t r o n n y m ( w z ó r 4a) ( j e ż e l i t a k i e g o o g r a n i c z e n i a r o z w i ą z y w a n y p r o b l e m n i e p o  s i a d a , to n a l e ż y w p r o w a d z i ć w a r u n e k s z t u c z n y , z a k ł a d a j ą c d o s t a t e c z  n i e d u ż ą w a r t o ś ć M ([)-A l g o r y t m O ([)-A O H p o z w a l a n a r o z w i ą z y w a n i e p r o b l e m ó w p r o g r a m o w a n i a m a t e m a t y c z n e g o ; a) c a ł o l i c z b o w y c h ; b) c i ą g ł y c h p r o b l e m ó w o p t y m a l i z a c j i l i n i o w e j i n i e l i n i o w e j w i ą  ż ą c y c h s i ę z a r ó w n o z m a k s y m a l i z a c j ą , j a k i m i n i m a l i z a c j ą ; n a l e ż y w p r z y p a d k u m i n i m a l i z a c j i p r z e k s z t a ł c i ć f u n k c j ę c e l u ( p o r . wzór 1), p o p r z e z p r z e m n o ż e n i e j e j p r z e - 1 , -nie j e s t p r z y t y m i s t o t n e czy funk c j e t e d l a F ( X ) i Gj(X) ( p o r . w z o r y l a i l b ) p o s i a d a j ą c i ą g ł e p o  c h o d n e c z ą s t k o w e p i e r w s z e g o i d r u g i e g o r z ę d u ) ; c ) p r o b l e m ó w z u j e m n y m i w a r t o ś c i a m i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h ( X ^ s j O ) , n a l e ż y w ó w c z a s d o k o n a ć p e w n y c h d r o b n y c h w e r y f i k a c j i a l g o -R . E . B e l l m a n , S. E. D r e y f u s , P r o g r a m o w a n i e d y n a m i c z n e , W a r s z a w a 1 9 6 7 , s. 2 4 2 . G r a b o w s k i , P r o g r a  m o w a n i e m a t e m a t y c z n e . . . , s. 139.

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r y t m u p o l e g a j ą c y c h n a w p r o w a d z e n i u r ó w n o l e g ł y m (z c i ę g i e m k r o k ó w d o d a t n i c h ) w e k t o r a k r o k ó w u j e m n y c h , z a ś w p r o c e d u r z e e k 3 t r e m a l i z a - c j i w p r o w a d z i ć w a r t o ś c i m o d u ł o w e . S t r u k t u r a m a t e m a t y c z n a a l g o r y t m u n i e j e s t z ł o ż o n a , d a j e s i ę o n ł a t w a o p r o g r a m o w a ć (n p. p r o g r a m e m c w d w ó c h o p c j a c h : c a ł o l i c z b o w e j i c i ą g ł e j z o s t a ł o p r a c o w a n y w O ś r o d k u I n f o r m a t y k i U n i w e r s y t e t u łódz k i e g o i b y ł w i e l o k r o t n i e z p o w o d z e n i e m u ż y t k o w a n y ) . A l g o r y t m e m D A Q H m o g ę b y ć r o z w i ą z y w a n e p r o b l e m y o p t y m a l i z a c y j n e z e s t o s u n k o w o m a ł ą l i c z b ę z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h ( l i c z b a z m i e n n y c h X w p ł y w a n a c z a s o b l i c z e ń ) , a l e d u ż ą l i c z b ę o g r a n i c z e ń . S t ę d s z c z e g ó l  n i e p r z y d a t n y m o ż e b y ć d l a p r o b l e m ó w p r o d u k c y j n o - e k s p l o a t a c y j n y c h c h a r a k t e r y z u j ą c y c h s i ę d u ż ą l i c z b ą o g r a n i c z e ń n i e w y m a g a j ą c y c h d u  ż y c h d o k ł a d n o ś c i . A l g o r y t m D A O H n i e z a k ł a d a ż a d n y c h i s t o t n y c h z a ł o ż e ń n a f u n k c j ę c e l u , a t a k ż e n a w a r u n k i o g r a n i c z a j ą c e , j e ż e l i są o n e p o s t a c i : F ( X Ł , X 2 . . . X n ) ( l a ) G j í X p X 2 , . . .. . X n ) ^ , < C j (J = 1, 2, ... . U ) ( l b ) X j, X 2 , . . . X n > b t (i = 1, 2, . . . n ) ( l c ) Z a l e ż n o ś c i ( l a ) , ( l b ) , ( l c ) o z n a c z a j ą o d p o w i e d n i o f u n k c j ę c e l u w i e  lu z m i e n n y c h ( n > 3 ) , o g r a n i c z e n i a m o d e l o w e o r a z z m i e n n e d e c y z y j n e p r z y j m u j ą w a r t o ś c i d o w o l n e ( t a k ż e c a ł o l i c z b o w e ) , p r z y c z y m f u n k c j e F i G- m o g ą b y ć z a r ó w n o l i n i o w e , j a k i n i e l i n i o w o . K o n s t r u k c j a a l g o r y t m u o p a r t a j e s t n a w i e l o e t a p o w e j r e k u r e n c j i i w y k o r z y s t u j e e l e m e n t y t e o r i i p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o 1 5 . R o z  w i ą z a n i e p r o b l e m u u z y s k u j e s i ę p o ś r e d n i o p o p r z e z e k s t r e m a l i z a c j ę z b i e ż n e j - d o f u n k c j i c e l u ( l a ) - f u n k c j i k r y t e r i a l n e j r o z w i ą z y w a  n e g o p r o b l e m u , b ę d ą c e g o h i p o t e t y c z n ą f u n k c j ą c e l u p r o b l e m u , a z w a  n e j w d a l s z y m c i ą g u r o z w a ż a ń f u n k c j o n a ł e m k r y t e r i a l n y m . 15 B e 1 1 m a n, O r e y f u s , P r o g r a m o w a n i e d y n a m i c z n e , s. 2 0 - 2 1 , J. T y m i ń s k i , O p t y m a l i z a c j a p r o g r a m u r o z w o j u p r o  d u k c j i t o w a r o w e j w o p a r c i u o c z y n n i k i w z r o s t u w y d a j n o ś c i p r a c y , U - n i w e r s y t e t Ł ó d z k i 1 9 7 9 , s. 1 4 1 - ] Ь0 ( p r c a d o k t o r s k a ) .

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0 Л 0 Н s k ł a d a a i ą z p i ę c i u p r o c e d u r o b l i c z e n i o w y c h ( p o r . r y s . 1). 1. P r o c e d u r a t r a n s f o r m a c j i m o d e l u w y j ś c i o w e g o ( l a , lb, l c , ) r y s . 1 ( 1 ) . H a o n a n a c e l u u t w o r z e n i e f u n k c j o n a ł u k r y t e r i a l n e g o i s p r o w a d z a s i ę d o n a s t ę p u j ą c y c h p r o c e s ó w : a) u t w o r z e n i e n - t y c h c z ł u n ó w f u n k c j o n a ł u k r y t e r i a l n e g o w g z a s a  dy: h , L ( T i * s i 1 V h i IF ( T j T . . . f ^ T T F ( T . , T, * S 2 , .... ( T . ) h2 s ( т т т ^ г т г т ^ т -. F ( T 1 * T1...Г1 + V ( 2 )

hn

1 ГГТГ” Г;,

TjTj

g d z e Tj o z n a c z a p a r a m o t r s t a b i l i z u j ą c y p r z y b i e r a j ą c y w a r t o ś c i l i c z  b o w a w g z a s a d : T Q = N ( l i c z b a b a r d z o m a ł a , np. 0 , 0 0 0 0 0 1 ) T1 г H o * -• l 2 = h x , T 3 ‘ H 2 * i t d . ; o g ó l n i e ; 1^ - H ^ - l ^ *" ’ •'» ^ 1 Ü c z b a k r o k ó w o b l i c z e n i o w y c h ) , g d z i e : - z m i e n n a s t e r u j ą c a ( w p r o c e s i e w a r u n k o w e g o i b e z w a r u n k o w e g o s t e r o w a n i a o p t y m a l n e g o ) , fij - " h i p o t e t y c z n a “ z m i e n n a d e c y z y j n a , Kj - w a r t o ś ć l - t e g o k r o k u ( u s t a l a n a w g d r u g i e j p r o c e d u r y ) , b ) u t w o r z e n i e f u n k c j o n a ł u k r y t e r i a l n e g o o g ó l n e j p o s t a c i : F h 2 h l* h 2 ’ h n m a x

(6)

A l g o r y t m Q A U H r e a l i z u j e p o s z u k i w a n i a n a j w i ę k s z e j w a r t o ś c i funk c j i (3) w w i e l o w y m i a r o w y m o b s z a r z e ri z m i e n n y c h r z e c z y w i s t y c h z d e  f i n i o w a n y m p o p r z e z : - w a r u n k i m o d e l o w e : l e w o s t r o n n e L g (Xj , X ? . . . Х р ) « S ^ 1 4 , (g = 1, 2 . . . G ) (4a) p o z o s t a ł a Pv ( X p X 2 X n ) > Z v , ( v * 1, 2, .... V) (4b) - w a r u n k i b r z e g o w e : Х * > < Ь . ( 5) 2. P r o c e d u r a u t a l e n i a z m i e n n y c h ( c z y n n i k ó w h i p o t e t y c z n y c h ) h^ - r ys . l ( 2 a ) . R e a l i z a c j a p r o c e d u r y r o z p o c z y n a s i ę u d u s t a l e n i a w a r  t o ś c i k r o k u w s t ę p n e g o , b ę d ą c e g o r o z w i ą z a n i e m b a z o w y m . Mogą być t u t a j z a s t o s o w a n e r ó ż n e z a s a d y u s t a l e n i a H w , np . -H w * rain h2 . . . b n^ + a * d l a x j > 0 ) (*>) g d z i e a o z n a c z a s t a ł y p a r a m e t r ( np : 1,0, 0 , 5 , 0 , 1 i t d . ) . O t r z y m a n ą w a r t o ś ć w p r o w a d z a m y ( j a k o w s t ę p n ą , b a z o w ą , imien n ą d e c y z y j n ą ) d o l e w o s t r o n n y c h w a r u n k ó w m o d e l o w y c h ( 4 a ) , b a d a j ą c i c h d o p u s z c z a l n o ś ć d l a b a z o w e g o r o z w i ą z a n i a , p r z y H w * X, , H w - X 2 , H w = *n' J e i e l i z a c h o d z i z a l e ż n o ś ć ( 4 a ) , to w t e d y :

H. ■ «ľ

(7) <t> g d z i e o z n a c z a p i e r w s z y k r o k w p i e r w s z y m c y k l u o p t y m a l i z a c y n y m . O g ó l n i e >1, (m = l, 2, ..., M = n u m e r c y k l u o p t y m a l i z a c y j  n e g o ) . Z a l e ż n o ś ć (7 ) j e s t k o n s e k w e n c j ą u s t a l e n i a w a r t o ś c i w s t ę p n e g o ( b a z o w e g o ) , d o p u s z c z a l n e g o r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u . 14 O o l e w o s t r o n n y c h w a r u n k ó w m o d e l o w y c h n a l e ż y z a l i c z y ć j e d y n i e te o g r a n i c z e n i a l e w o s t r o n n e , k t ó r e w z a p i s i e p r z y zmiennych d e c y z y j  n y c h X 1 n i e p o s i a d a j ą z n a k u T e w s z y s t k i e o g r a n i c z e n i a , k t ó r e t e n z n a k p o s i a d a j ą , n a l e ż y p r z e n i e ś ć d o w a r u n k ó w p o z o s t a ł y c h , a r ó w  n o c z e ś n i e (w p r o b l e m a c h c i ą g ł y c h ) p o ż ą d a n e b y ł o b y d o w a r u n k ó w b r z e  g o w y c h . J e ż e l i j e s t n p . : X. + X.. - X, + ... + X < M to p o p r z e  k s z t a ł c e n i u - X. - X 2 + X, - ... - X - M w p r o w § d z a 8y tę n i e r ó w  n o ś ć d o b l o k u o g r a n i c z e ń p o z o s t a ł y c h , z a ś d o w a r u n k ó w b r z e g o w y c h m o ż e m y w p r o w a d z i ć d o d a t k o w o Xj w p o s t a c i X^ > b } - -M + X Ł + X2 ... ♦ + X . П

(7)

J e ż e l i n a t o m i a s t z a j d z i e z a l e ż n o ś ć : V X 1 ' (8) t o Н и z m n i e j s z a m y , np. d w u k r o t n i e , p o w t a r z a j ą c z a b i e g p r z e z w r a c a  n i e d u s p r a w d z e n i a z a l e ż n o ś c i ( 4 a ) . J e ż e l i w d a l s z y m c i ą g u o t r z y  m a m y z a l e ż n o ś ć ( 8 ), c z y n n o ś ć tę n a l e ż y p o w t ó r z y ć , z m n i e j s z a j ą c , n p. c z t e r o k r o t n i e , aż d o u z y s k a n i a z a l e ż n o ś c i ( 4 a ) . J e ż e l i r o z w i ą  z a n i e i s t n i e j e , t o p o s k o ń c z o n e j l i c z b i e t a k i c h k r o k ó w , u z y s k u j e m y ( 4 a ) . J e ż e l i n i e u z y s k a m y ( 4 a ) , to r o z w i ą z a n i e n i e i s t n i e j e i p r o  c e s s i ę k o ń c z y . O l a u z y s k a n i a n a s t ę p n y c h 1 - t y c h k r o k ó w (1 = 0 , 1 , 2, ..., k) m o  ż e m y z a s t o s o w a ć c i ą g l i c z b j e d n o s t a j n y c h ( r y s . l ( 2c ) ) , n p . : H( 1) . _H. 1 , H I1> '1 ' " w *» " 2 H w ' 2 ' " 3 b ą d ź t e ż w y k o r z y s t u j ą c s z y b k o r o s n ą c e c i ą g i l i c z b , j a k F i b o n a c c i e g o c z y w y k ł a d n i c z y , n p . : H(1) H . 3 w i td . ( 9) u Cl) . H1 - H w

* ? ' •

H\» 1 H3_{U) г Hw 2} H4(3,= Hw 3 H U) . 5 * Hw 5 u to H, _{= H« 2°} u 12> _ 2 ' Hw 21 H t3)-H3 ‘ H* 22 „ Ш . 4 * Hw 23 ltd. ( 10a) itd. ( 10b) O o u s t a l o n e j w t e n s p o s ó b w a r t o ś c i k r o k u d o d a j e m y k r o k z e r o w y usta l o n y a r b i t r a l n i e , d l a k t ó r e g o p r z y j m u j e m y w a r t o ś ć d o w o l n i e m a ł ą , b l i s k ą z e r u (np. Hj” - 0 , 0 0 0 0 0 1 ) . W p r o w a d z e n i e k r o k u z e r o w e g o jest z a b i e g i e m p o z w a l a j ą c y m na u z y s k a n i e (w d a l s z y c h p r o c e d u r a c h a l g o r y  t m i c z n y c h ) w a r i a n t u z e r o w e g o d l a k a ż d e j z m i e n n e j d e c y z y j n e j ( X j ) . D l a r o z w i ą z a n i a c a ł o l i c z b o w e g o w a r t o ś c i c a ł e g o z b i o r u k r o k ó w u - s t a l a m y a r b i t r a l n i e :

(8)

H о * N (np . r ó w n e 0 , 0 0 0 0 0 1 ) H 1 * 1 H 2 H 3 = 3

(

11

)

(k - w a r t o ś ć o s t a t n i e g o k r o k u r o z w i ą z a n i a d o p u s z c z a l n e g o ) . P o u s t a l e n i u c i ą g u k r o k ó w d l a p i e r w s z e g o c y k l u o p t y m a l i z a c y j n e g o Н (^ ( 1 = 0 , 1, 2 . . . к ) p r z e c h o d z i m y d o n a s t ę p n e j p r o c e d u r y . 3. P r o c e d u r a o p t y m a l n e g o s t e r o w a n i ą . T r z e c i a p r o c e d u r a e kstrema- l i z a c j i o p a r t a j e s t na e l e m e n t a c h t e o r i i p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e  g o 1 ^ i s k ł a d a s i ę z n a s t ę p n y c h p r o c e s ó w o b l i c z e n i o w y c h : a) u s t a l e n i e w a r u n k o w e g o s t e r o w a n i e o p t y m a l n e g o , b) u s t a l e n i e b e z w a r u n k o w e g o s t e r o w a n i a o p t y m a l n e g o . P r o c e s u s t a l a n i a w a r u n k o w e g o s t e r o w a n i a o p t y m a l n e g o (rys. l ( 3 a ) ) r o z p o c z y n a s i ę o d z e r o w e g o k r o k u d l a p i e r w s z e g o c z ł o n u funk c j o n a ł u F h , tj. p i e r w s z e j " h i p o t e t y c z n e j “ z m i e n n e j d e c y z y j n e j hj Z g o d n i e z w ł a ś c i w y m d l a p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o p o s t ę p o w a n i e m k o r z y s t a m y z r ó w n a n i a r e k u r e n c y j n e g o , k t ó r e d l a p i e r w s z e g o e t a p u o d p u w i a d a j ę c e g o h^ b ę d z i e n a s t ę p u j ą c e : P ® ( S , * )

₍

_{1 2}

₎

g d z i e : B e l l m a n , O r e y f u s , P r o g r a m o w a n i e * d y n a m i c z n e ... ; T y m i r t s k i , O p t y m a l i z a c j a p r o g r a m u . . .

(9)

P ^ ( S j ® ) - w a r u n k o w o o p t y m a l n a w a r t o ś ć f u n k c j o n a ł u kry- t e r i a l n e g o ; S ® - w a r u n k o w o o p t y m a l n a w a r t o ś ć z m i e n n e j s t e r u  j ą c e j w p i e r w s z y m e t a p i e ; Uj - z a p a s " ś r o d k ó w h i p o t e t y c z n y c h " , j a k i e m a m y d o d y s p o z y c j i w p i e r w s z y m e t a p i e , k t ó r e n a l e ż y o p t y m a l n i e p o d z i e l i ć ; H g 1* - w a r t o ś ć z e r o w e g o k r o k u d l a p i e r w s z e g o c y k l u o p t y m a l i z a c y j n e g o ( r ó w n e g o l i c z b i e b m a ł e j , b l i s k i e j z e r a ) . S y m  b o l в tu i w d a l s z y m c i ą g u o z n a c z a w a r u n k o w o o p t y m a l n y . D l a o b l i -(t) J ч П s t ę p u j ą c ą z a l e ż n o ś c i ą r e k u r o n c y j n ą : c z e n i a d r u g i e g o e t a p u z e r o w e g o k r o k u ( H '0 ) p o s ł u ż y ć s i ę n a l e ż y na-P 2* ( S 2* ) = m a x ( h 2 • P j * ( S 1 )) « ( F C T 0 , T ♦ S 2 T ) v

**„*(|pn„,"T^"**

7 '.':ľ; t„>l

**• pi* <v)**

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' 7 ~ { 0 * U2 } u 2 « { ° , h o ( 1 ) } Z a t e m : ( S ~ ® ) = m a x ■

(l

I Í - Lľ J j l Pq— » ,t q . p F( T o , I0 Т 0Т Г ^

A 1” >),

/ F <To > To + » o 15 •••• To \ N F < T n. T n T n )| ’Р 1 ( 0 ) / ( 1 4 ) W y r ó ż n i o n e w n a w i a s a c h { ] t r z y z a l e ż n o ś c i o d p o w i a d a j ą c e n a s t ę p u  j ą c y m w a r t o ś c i o m S , , ( S 2 = 0 ; U 2 = D ), ( S 2 * 0; U 2 = H Q (1^), ( S 2 = U 2 ; U 2 = H on ). O l a w s z y s t k i c h p o z o s t a ł y c h e t a p ó w ( c z y l i hj,

(10)

h 4 , h v az d o h n l ) w a r t o ś ć f u n k c j i P * ( s w ) o b l i c z a s i ę w g w z o r ó w ( 13) - ( 1 A ). O s t a t n i z a ś e t a p (t j. h f|) o b l i c z a m y w s p o s ó b n a  s t ę p u j ą c y : P n # (S * ) -- m a x ( < h n • p * ( S ) ) ( 1 5 ) S n * { » i u „ l tj. * • í / F T r>> •••• , n \ < s n > ■ » . - { ( т , - <;>i • > „ . > < " . " ’)• / F ( V T . . . T o • U \ , , . ] V | F ( > „ , I 0> ... Г„>| J ' - 1

’)]

(1 6) d l a S n * П i S n * H o *■1 ^ ( o d p o w i e d n i o ) . G w i a z d k a ( * ) o z n a c z a o s t a t e c z n e r e z u l t a t y ( b e z w a r u n k ó w ) . O l a u ł a t w i e n i a p r o c e s u o b l i c z e ń m o Z n a u t w o r z y ć d l a k a Z d e ^ o e t a  p u t a b l i c ę r e z u l t a t ó w . D l a p i e r w s z e g o e t a p u w a r u n k o w a w a r t o ś ć o p t y m a l n a b ę d z i e n a s t ę  p u j ą c a ( t a b . 1); T a b e l a 1 S t e r o w a n i e w a r u n k o w e - p i e r w s z y e t a p 4 s ‘ "■ \ 0 U 1 w SjU Jj) ® 9 P 1 (S1 > S ^ U , ® ) 0 1 1 0 - -" o “ ’ 1 A1 A1 H q ( D A1 . H u Ź r ó d ł o : O p r a c o w a n i e w ł a s n e .

(11)

( Aj > 1) z a ś w a r t o ś ć z m i e n n e j s t e r u j ą c e ) : » > , * ) . „ „ < » ( 1 7 ) ( 1 8 ) W y n i k i o b l i c z e ń d l a d r u g i e g o e t a p u p r z e d s t a w i a ta b. 2. W t y m e t a  p i e m a m y , d l a A 2 > A j ( p r z y : A 2> 1) T a b e l a 2 S t e r o w a n i e w a r u n k o w e d r u g i e t a p P 2>ifS2 ) = A 2 ( 1 9 ) o r a z S 2® ( U 2® ) - H Q ( 1 ) J e ż e l i zaś: A ; > A 2 (Aj > 1), . to <jb P 2 ( S 2 ) * A, o r a z 1 2 (dj ) 5 u (20)

(

2 1

)

(

22

)

w p r z y p a d k u Aj = A,, majiiy d w a a l t e r n a t y w n e r o z w i ą z a n i a (o j e d n a  k o w e j w a r u n k o w e j w a r t o ś c i o p t y m a l n e j ) . A n a l o g i c z n i e , j a k d l a d r u

(12)

-g i e -g o e t a p u , b ę d z i e d l a e t a p ó w n a s t ę p n y c h aZ d o n -1, n - t y e t a p j e s t p r z e d s t a w i o n y w t a b . J. T a b e 1 a 3 S t e r o w a n i e b e z w a r u n k o w e - n - e t a p \ U n * ” 1 O H o (.) • f Pn Sn Sn ‘ (Un*> H U > ‘‘V i 1 An-1 A • 1 П г An V - 1 0 V N*/ -O X Ź r ó d ł o : O p r a c o w a n i e w ł a s n e . J e Z e l i z a t e m w y n i k o p t y m a l n y ( w n - t y m e t a p i e b e z w a r u n k o w o o p t y  m a l n y ) u s t a l i s i ę na: P n * ( S n #) = A n -1 (Р Г 2 У

Vl > V

< 2 3 > t o z m i e n n a s t e r u j ą c a n a n - t y m e t a p i e p r z y j m i e w a r t o ś ć S n * ( 0 ) =■ S n * = 0 ( 24) J e ż e l i z aś : P n ‘< 0 = A n { 9 c,y A n > A n - 1} ( 2 5 ) to z m i e n n a s t e r u j ą c a p r z y j m i e w a r t o ś ć : S n ( H o ( U > = H 0 ( l ) ( 2 6 ) W a r t o ś c i s t e r o w a n i a o t y m a l n e g o o s t a t n i e g o e t a p u s ą w a r t o ś c i a m i o - s t a t e c z n y m i d l a z m i e n n e j d e c y z y j n e j X (), z a ś d l a p o z o s t a ł y c h z m i e n  n y c h tj. х п - 2 > X n - 2 * • •••> X 2 * *1 * c h w a r t Q ś c -i z n a j d u j e m y w p r o c e s i e s t e r o w a n i a b e z w a r u n k o w e g o .

(13)

P r o c e s b e z w a r u n k o w e g o s t e r o w a n i a (rys. l ( 3 b ) ) d l a p r z y p a d k u k i e d y S * - U b ę d z i e p r z e b i e g a ł n a s t ę p u j ą c o ;

v O *

9 „X'> ■ só

■ 0

V i V-/ o X u “ S n C l - s ń-i (C i С 2

=

u ń-i - с . H - 0 ■ H O O

• S „ 4 <1>> •

. < » ) . H ( 1 ) . o U 2 * u * - S * ( 0 ) * 0 - 0 S2 ( U j ) = s* ( 0) * o uJ = uJ - s j (0) = 0 - 0 = 0 s j = s j ( u J ) * s] ( 0) = s j o ( 2 7 ) J e ż e l i p r z e ś l e d z i m y - p r z y p a d e k , k i e d y z m i e n n a s t e r u j ą c a w o s t a t n i m e t a p i e s t e r o w a n i a w a r u n k o w e g o p r z y j m i e w a r t o ś ć S * = to wte" d y p r o c e s s t e r o w a n i a b e z w a r u n k o w e g o b ę d z i e n a s t ę p u j ą c y : < <u ń > = s ń (h o( 1)) = s n--* h o° u ň - i - u ń - s ň < h í i } ) - H o l) - h o u ^ ° J e ż e l i n a t o m i a s t z a j d z i e p r z y p a d e k U n ^ = 0, c a b ę d z i e m i a ł o m i e j s c e w t e dy , k i e d y P n _ A ^ sn _1 >. Р Г * у s n - i i U r,_i> = S n - l i 0 ^ ’ to o c z *~

(14)

V i ■ V i <Vi>

1 V i (0) ■

0

U 2 - S 2 ( U 2 ) = - S 2 ( 0) = o - o S ^ U j ) = 5 Х (0) = Sj = O

(

2 0

)

J e Z e l i w d r u g i m p r z y k ł a d o w y m p r z y p a d k u w s z y s t k i e ś r o d k i h i p o t e t y c z  n e o t r z y m a ł a z m i e n n a s t e r u j ą c a 5 (1 ( r e p r e z e n t u j ą c a z m i e n n ą d e c y  z y j n ą X n ), a p o z o s t a ł e z e r o , to w p i e r w s z y m p r z y p a d k u ś r o d k i to o- t r z y m y w a ł a z m i e n n a s t e r u j ą c a 5 n _j ( z m i e n n a d e c y z y j n a W p i e r w  s z y m z a t e m p r z y p a d k u m a k s y m a l n ą w a r t o ś ć f u n k c j o n a ł u (3) u z y s k u j e m y p r z y h j , h 2 , h n 2 , h n -- 1 o r a z h p j = A n l< S t ą d F h * h l ‘ h2 ‘ ’ • • ■ • ' h n - l ’ h n s 1 ' 1 > ••'* A n -1 ' 1 ~ * m a * (29) W d r u g i m p r z y p a d k u (t j. d l a b n = A n ) * h i

-h2

' ..."h n-l'h n * 1 ' 1 ... ' 1 ’ An ---- * m a * ’ g d z i e A n .j o r a z A (| o z n a c z a j ą o d p o w i e d n i o w a r t o ś ć n - i - t e g o o r a z n - t e g o c z ł o n u ( z m i e n n e j h i p o t e t y c z n e j ) f u n k c j o n a ł u F k , u w z g l ę d n i a - j ą c e g o ogólnie w a r t o ś c i S i = H1” (m = 1, 2, ..., M, 1 - 1, 2, ..., к; i * = 1, 2, n ). N a t y m k o ń c z y s i ę p r o c e s e k s t r e m a l i z a c j i d l a k r o k u z e r o w e g o ( H 0 ). W p o d o b n y s p o s ó b p r o c e s t e n p r z e b i e g a d l a k r o k ó w

Hi < ” az do k r o k u (gdzie k-ty krok oznacza dopuszczal

ną w a r t o ś ć z m i e n n e j s t e r u j ą c e j S i , c z y l i d o p u s z c z a l n e g o r o z  w i ą z a n i a , w p i e r w s z y m c y k l u o p t y m a l i z a c y j n y m ) s p e ł n i a j ą c y c h l e  w o s t r o n n e w a r u n k i m o d e l o w e p r o b l e mu. T e n o s t a t n i f a k t s t w i e r d z a s i ę j e d n a k ż e d o p i e r o p o p r z e p r o w a d z e n i u p r o c e d u r y r e t r a n s f o r m a c j i (oczy w i ś c i e d l a k a Z d e g o k r o k u o d r ę b n i e ) . 4. P r o c e d u r a t r a n s f o r m a c j i . C z w a r t a p r o c e d u r a a l g o r y t m u s k ł a  d a s i ę z n a s t ę p u j ą c y c h p r o c e d u r :

(15)

a) u s t a l e n i e w a r t o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h - 1- t e g o r o z w i ą z a  n i a ; b ) u s t a l e n i e d o p u s z c z a l n o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h z: - w a r u n k a m i b r z e g o w y m i , U s t a l e n i e w a r t o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h ( r y s . 1 U a ) ) d o k o n u j e m y p o z a k o ń c z e n i u p r o c e s u e k s t r e m a l i z a c j i d l a k a ż d e g o 1- t e g o k r o k u p o p r z e z p r z y r ó w n a n i e w a r t o ś c i z m i e n n y c h s t e r u j ą c y c h Sj d o w a r t o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h X,: D o k o n u j ą c n a s t ę p n i e s p r a w d z e n i a d o p u s z c z a l n o ś c i u z y s k a n e g o 1- - t e g o r o z w i ą z a n i a z w a r u n k a m i b r z e g o w y m i ( r y s . 1 ( 4 b ) ) s t w i e r d z i ć n a l e ż y , c z y r o z w i ą z a n i e to d a j e z a ł o ż o n ą z g o d n o ś ć ( l c ) . J e ż e l i j e d  n a z e z m i( in ny c h m e s p e ł n i ł a b y z a l e ż n o ś c i ( l c ) , n a l e ż y p r z y j ą ć a r  b i t r a l n i e « a r t o ś ć bj j a k o w a r t o ś ć X.. N a p r z y k ł a d , j e ż e l i d l a ( 3 3 ) b y ł o b y ; X n > b n ( 3 4 ) ( z g o d n i e z m o d e l o w y m i z a ł o ż e n i a m i ) , z a ś z o t r z y m a n e g o r o z w i ą z a n i a w y n i k a : ’ - w a r u n k a m i ( o g r a n i c z e n i a m i ) l e w o s t r o n n y m i m o d e l u . ( S j ) * Xj ( d l a 1- t e g o r o z w i ą z a n i a ) ( 3 1 ) T a k w i ę c p i e r w s z e r o z w i ą z a n i e ( d l a k r o k u z e r o w e g o , tj. b ę d z i e w y g l ą d a ł o n a s t ę p u j ą c o , d l a p r z e d s t a w i o n e g o p i e r w s z e g o p r z y p a d k u r o z w i ą z a n i a - w z o r y ( 2 7 ) i ( 2 9 ) : ф ( 3 2 ) D l a d r u g i e g o p r z y p a d k u - w z o r y ( 2 6 ) i ( 3 0 ) : ( 3 3 )

(16)

w t e d y n a l e ż y p r z y j ą ć 17

X n = b n ( 3 6 )

U s t a l e n i e d o p u s z c z a l n o ś c i r o z w i ą z a n i a z e w z g l ą d u n a o g r a n i c z e  n i a l e w o s t r o n n e ( r y s . 1 ( 4 c ) ) s p r o w a d z a s i ę d o sprawdzenia, czy speł n i o n y j e s t p i e r w s z y z w a r u n k ó w m o d e l o w y c h (4) X 2 , XQ ) ^ J e Z e l i n i e r ó w n o ś ć ta j e s t s p e ł n i o n a - r o z w i ą z a n i e j e s t r o z w i ą z a n i e m d o p u s z c z a l n y m p i e r w s z e j g e n e r a c j i ( r e z u l t a t p i e r w s z e g o p r z e b i e g u r e a l i z a c j i t r z e c i e j i c z w a r t e j p r o c e d u r y p o z w a l a j ą c y c h n a u z y s k a n i e r o z w i ą z a n i a d o p u s z c z a l n e g o d l a k r o k u H ^ 1 ^.) J e Z e l i z a ś n i e r ó w n o ś ć ( 4 a ) n i e j e s t s p e ł n i o n a - r o z w i ą z a n i e j a k o n i e d o p u s z c z a l n e j e s t o d  r z u c a n e . N a s t ę p u j e d a l e j a n a l o g i c z n a r e a l i z a c j a p r o c e d u r t r z e c i e j i c z w a r t e j d l a u z y s k a n i a r o z w i ą z a n i a d o p u s z c z a l n e g o , d l a k r o k u a p ó ź n i e j h ! * ^ i t d . , aż d o ( ( k * 1) - e r o z w i ą z a n i e n i e d o -p u s z c z a l n e ) . U z y s k a n e r o z w i ą z a n i a d o -p u s z c z a l n e d l a H , H , . . . . . ( 1) o > 1 > ' H k t w o r z ą m a c i e r z r o z w i ą z a ń d o p u s z c z a l n y c h p i e r w s z e j g e n e r a c j i , k t ó r a s t a n o w i p o d s t a w ę w y j ś c i o w ą d o r e a l i z a c j i p r o c e d u r y e k s t r e m a - l i z a c j i i - r e t r a n s f o r m a c j i (w n a s t ę p n e j d r u g i e j i d a l e j w i - t e j , aż d o n - t e j g e n e r a c j i r o z w i ą z a ń (i = 1, 2 , ..., n = i l o ś ć g e n e r a  c j i ) ) . P r o c e s o p t y m a l i z a c j i w d r u g i e j g e n e r a c j i p r z e b i e g a o d d z i e l n i e d l a k a Z d e g o r o z w i ą z a n i a d o p u s z c z a l n e g o z p i e r w s z e j g e n e r a c j i . R e a  l i z a c j a p r o c e s u t e g o w y m a g a p e w n e j k o r e k t y p r o c e d u r y e k s t r e r a a l i z a - c j i ( ś c i ś l e j - p o d p r o c e d u r y s t e r o w a n i a w a r u n k o w e g o ) . Z a u w a ż m y b o  w i e m , iż u s t a l e n i e w a r t o ś c i z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h w p i e r w s z e j g e n e  r a c j i r o z w i ą z a ń m u s i s t a n o w i ć w a r t o ś ć s t a ł ą , k t ó r a n i e m o ż e b y ć z m i e n i o n a w d r u g i e j i n a s t ę p n y c h g e n e r a c j i r o z w i ą z a ń . R o z w a ż m y j e  d e n z n a s z y c h p r z y k ł a d ó w ( 3 2 ) . Z a p i s j e g o p o w i n i e n b y ć n a s t ę p u j ą c y : J e ż e l i o g ó l n i e w p r o b l e m a c h c i ą g ł y c h ( d l a X. ^ b ) s t r u k t u r a o g r a n i c z e ń m o d e l o w y c h w y m a g a - c e l e m s k r ó c e n i a o b l i c z e ń 1 - w p r o w a d z e  n i a (- p o z a X , > b j ) c a ł e g o w e k t o r a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h (por. w z ó r 4 a ) , n p . : X > M - X 2 - X ♦ ... = b * X. > M - X. - X , ♦ ... = b. M , X i,> M g ’< X l 5 4X i + l ł = Ь Г > t0 b ę d l i e : X. пах (b b^ , bj , b^ ). J e ż e l i z a ś w j e d n y m w a r u n k u w e k t o r a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h z a m i a s t z a l e ż n o ś c i " > " w y s t ą p i z a l e ż n o ś ć to t e n w a r u n e k b ę d z i e s t a n o w i ł p u d s t a w ę z a l e ż n o ś c i X. = b. ( b e z k o n i e c z n o ś  ci w y b o r u w a r u n k u z m a k s y m a l n ą w a r t o ś c i ą ) . 1

(17)

zapis strukturalny ЧОСШ. WYJŚCIUWECU (flERWOTSgCO)

•— FUNKCJA CEŁU --- a) VAKU MCI LEWOśTWANE f>) WARĽNKI POZOSTAŁ» c) warunki b r z e g o m

Ж И Л SIENNE IDiVTTTtr.TXS

<U ; <hj) она; PARAMETrtY T,. '

FUNKCJONAŁ (fh> - *OWA Л Я Ш Л А с£ИI

~ Г ^ т ы й г Л м й й с Г ! “ * г‘"и м т в "w <2*> j KROKU WSTErSEL» I« > Г*

WARTOŚCI О О П » < V i

DLA PIERWSZEGO CYtl I DL* “ -VLI

WARUNKOWE STEROWANIE '■“ >! CPTYHA'.SE (4a I (íb) BEZWARUNKOWE STEROWANIE OPTYMALNE X

■ BANK ROZVI A.’AS DO PUSZCZALNYCH (DLA PO- / SŻCZECÓLNYCH GENERACJI»

USTALENIE WARTIŚCI ZMIENNYCH DECYZYJNYCH Uj) DLA i-TYCH SOZWlAZAji

n - l

~ L ”

j USTALENIE ropusze

Ub,i ROZWIĄZAŃ Z WARUNKAMI .. . . ” " X

■

CZAUíOáCI brzegowymi

{*»с) US7ALÜ?JIE DOP'bZCZAi NOSri ROZWIĄZAŃ _{Z OCkANICZENlAMl LEWOSTRONNYMI MCCELU}

кошет*

_J

TAK ‘ “ r“

-roí'wía.'an i e kliminowanx

NIF. <L-~

- DOPUSZCZALNI

ГА* »ONIEC PibRWSZSJ GENERACJI ROZWI4-

IKŠ i NASTĘPNYCH AŻ ПО п-I -WSZÍJ

- Kusi ЕС n TZJ » M i * U I ROZWIĄZAŃ SPRAWIENIE OOrUSľC.tALNOSCI ROZWIĄZAŃ n-TEJ GOfERACJl ZE WZGLfBU

NA OGRANICZENIA POZOSTAŁE

ROZWIĄZANIE ELIMINOWANE — ^iŁiJlÓfUSZCZAlJiE >

t. TAIC

WYBÓR NAJLEPSZEGO (GPTYMAL.4KG0) ; POZWÍА/АЧ1А Z« »ZGiEDU SA ľľNKCJE CEIU F

TAK

- Zakończknie p rocesu' .. , 'ÍPTYMALIZACJl DLA ROZWIĄZANIA

- OAŁOL ICZBCWKGO.

'""..WYNIK OSTATECZNY__

-NIE

/ BANK ROZWIĄZAŃ OPTYMALNYCH Z _ Df,'JGI_ CYtL OPTYMALIZACJI

t n-IYCH CYKLI

‘--- - - - 1 -USTALENIE BŁĘDU [ OPTYMALIZACJI (d)

fJIg (i > D) TRZECI I NASTĘPNE CYKLE OPTYMALIZACJI

(18)

0 0 n -1 ,(1)

<CX-,> ■

0 ■ »

<)7)

= o g d z i e □ o z n a c z a w a r t o ś ć stałą ( n i e z m i e n n ą w następnych g e n e r a c j a c h ) . O z n a c z a t o , i ż w p r o c e s i e o p t y m a l i z a c y j n y m d r u g i e j g e n e r a c j i , w p r o  c e d u r z e e k s t r e m a l i z a c j i , p o d p r o c e d u r z e s t e r o w a n i a w a r u n k o w e g o ( n - 1) - ty e t a p m u s i p r z e b i e g a ć n i e c o i n a c z e j ( p o r . t a b . A). T e n T a b e l a A S t e r o w a n i e w a r u n k o w e ( k o r e k t a ) - ( n - 1) e t a p . z a b i e g ( z a s t o s o w a n a z a s a d a k o r e k t y p r o c e d u r y e k s t r e m a l i z a c j i ) w p r o  w a d z o n y j e s t p o t o , b y w a r t o ś c i H ^ w n a s t ę p n y c h g e n e r a c j a c h m o g ł y s i ę l o k o w a ć n a p o z o s t a ł y c h z m i e n n y c h , z w y ł ą c z e n i e m z m i e n n y c h j u ż u s t a l o n y c h . D o t y c z y to w s z y s t k i c h i - t y c h z m i e n n y c h d e c y z y j n y c h (X^), d l a k t ó r y c h z o s t a ł y j u ż u s t a l o n e w a r t o ś c i ( S ^ ) . P o z a k o ń c z e n i u p r o  c e s u o p t y m a l i z a c j i w d r u g i e j g e n e r a c j i i u s t a l e n i u m a c i e r z y r o z w i ą  z a ń d o p u s z c z a l n y c h r o z p o c z y n a m y p r o c e s o p t y m a l i z a c j i w t r z e c i e j g e

(19)

-n e r a c j i w g t ej s a m e j z a s a d y ( J a k w g e -n e r a c j i d r u g i e j ) , a n a s t ę p n i e c z w a r t e j aż d o n - t e j g e n e r a c j i . Z a w s z e - d l a k a ż d e g o r o z w i ą z a n i a z p o p r z e d n i a j g e n e r a c j i - t w o r z o n y j e s t o d r ę b ny c i ą g r o z w i ą z a ń w n a  s t ę p n e j g e n e r a c j i . P p z a k o ń c z e n i u n - t e j g e n e r a c j i w s z y s t k i e u i y a k a - n e r o z w i ą z a n i a d o p u s z c z a l n e z o s t a n ą p o d d a w a n e p r o c e s o w i s p r a w d z a n i a d o p u s z c z a l n o ś c i ze w z g l ę d u n a p o z o s t a ł e o g r a n i c z e n i a ( 4 a ) . 5. S p r a w d z a n i e d o p u s z c z a l n o ś c i r o z w i ą z a ń z e w z g l ę d u n a o g r a n i  c z e n i a p r a w o s t r o n n e ( p o z o s t a ł e ) o r a z w y b ó r n a j l e p s z e g o r o z w i ą z a n i a z e w z g l ę d u n a f u n k c j e c e l u ( 1). N a p i ą t e j p r o c e d u r z e k o ń c z y s i ę p i e r w s z y c y k l o p t y m a l i z a c j i , w w y n i k u k t ó r e g o u z y s k u j e m y p i e r w s z e p r z y b l i ż e n i a r o z w i ą z a n i a o p t y  m a l n e g o ( r y s . 1 ( 5 b ) ) . D r u g i c y k l i n a s t ę p n e (m = 1, 2, . . . , ) r ó ż  ni s i ę j e d y n i e o d p i e r w s z e g o z a s a d ą u s t a l a n i a w a r t o ś c i c i ą g u k r o - ( 2 ) k ó w ( Hj ) - r ys . I ( 2 c ) Z a t e m d r u g i c y k l o p t y m a l i z a c j i r o z p o c z y  n a m y o d u s t a l e n i a w a r t o ś c i w e k t o r a w a r t o ś c i k r o k ó w d l a o t r z y m a n e g o n a j l e p s z e g o r o z w i ą z a n i a ( b ą d ź - n a j l e p s z y c h , j e ż e l i w y s t ą p i ł o k i l k a a l t e r n a t y w n y c h r o z w i ą z a ń , z e w z g l ę d u n a r ó ż n e w a r t o ś c i zmiennych X Ł , d l a T ( X j , X - . . . x n ) ---- ► m a x ) w p i e r w s z y m c y k l u o p t y m a l i z a c y j -n y c h . N i e k o r z y s t a m y t u t a j z c i ą g u l i c z b w y k ł a d -n i c z y c h , c z y - F i b o - n a c c i e g o . M o ż e m y s i ę p o s ł u ż y ć p o d z i a ł e m d z i e s i ę t n y m . W t a k i m r a z i e d r u g a p r o c e d u r a b ę d z i e p r z e b i e g a ł a n a s t ę p u j ą c o : (s = 1 , 2 , ..., 10) ( 3 8 ) g d z i e : -# z a ś 1 k r o k s t a n o w i ą c y o p t y m a l n ą w a r t o ś ć H. P r z y c z y m « я » t o š c k r o

(20)

-/ 2 \ k ó w H g ' u s t a l a s i ę o d r ę b n i e d l a k a ż d e j i - t e j z m i e n n e j d e c y z y j n e j o t r z y m a n e g o o p t y m a l n e g o r o z w i ą z a n i a w p i e r w s z y m c y k l u . Z a ł ó ż m y n p . : że o p t y m a l n e r o z w i ą z a n i e w p i e r w s z y m c y k l u j e s t n a  s t ę p u j ą c e ; *1 « 0 . *2 * H 3 l ) - X n -1 s b n - l * * n 1 H 21} < 3 9 ) U s t a l e n i e w a r t o ś c i k r o k ó w d l a d r u g i e g o c y k l u p r z e b i e g a ć b ę d z i e n a  s t ę p u j ą c o : d l a Xj - h £23 = 0,000001 H < 2 > = 0 ♦ 0 , 1 ( Н [ 1) - 0) H ^ 2) * 0 ♦ 0,2 ( h [ 1} - 0 ) - i t d . a ż d o h [ 2) dl a X2 - H<2) => ♦ 0, 1 <«<*>■- H^l ) ) H < 2 > -- hJ 1} + 0 , 2 ( H 6 (i) - Н 4Ч П ) i td . d l a x n .j * w a r t o ś c i k r o k ó w d l a w a r t o ś c i t e j z m i e n n e j p o m i j a m y H ( 2 ? .= h | 2) + 0,1 ( H ^ 1) - h | 1)) Hj2) = H ^ l) + 0 , 2 ( H j 1} - H j ‘ l t d - ( 4 0 ) d l a X n ” 1 N a s t ę p n i e u s z e r e g o w u j e m y o t r z y m a n y , z b i ó r k r o k ó w ( d l a w s z y s t k i c h ł- - t y c h z m i e n n y c h ) o d w a r t o ś c i n a j m n i e j s z e j d o n a j w i ę k s z e j i t a k i ciąg k r o k ó w w p r o w a d z a m y d o p r o c e s u e k s t r e m a l i z a c j i w d r u g i m c y k l u . P o p r z e p r o w a d z e n i u d r u g i e g o c y k l u o p t y m a l i z a c j i i u z y s k a n i u n a j l e p s z e  g o r o z w i ą z a n i a p r z y s t ę p u j e s i ę d o u s t a l e n i a b ł ę d u o p t y m a l i z a c j i . M o ż e t o b y ć , n p . : b i ą d w z g l ę d n y . W t e d y m o ż n a p o s ł u ż y ć s i ę n a s t ę p u  j ą c y m w z o r e m n a b ł ą d o p t y m a l i z a c j i : p ( 2 ) * _ F ( l ) * р Т 2р

(21)

g d z i e : ( i ) • F - o p t y m a l n a w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u ( i ) z p i e r w s z e g o c y k  lu, (2 )• F - o p t y m a l n a w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u (1) z d r u g i e g o c y k l u o p t y m a l i z a c j i . J e Z e l i z a c h o d z i z a l e ż n o ś ć : ( 4 2 ) g d z i e 0 o z n a c z a w a r t o ś ć z a ł o ż o n e g o b ł ę d u o p t y m a l i z a c j i ( n p . : 0,001, 0 , 0 0 0 5 i t d ) , to p r o c e s o p t y m a l i z a c j i k o ń c z y s i ę i o t r z y m a n e r o z -( 2 ) * w i ą z a n i e ( p r z y F ) w d r u g i m c y k l u j e s t r o z w i ą z a n i e m o s t a t e c z n y m . J e ż e l i n a t o m i a s t : to n a l e ż y p r z y s t ą p i ć d o n a s t ę p n e g o c y k l u u p t y m a 11z a c y j n e g o , u s t a l a  j ą c z b i ó r k r o k ó w H^"5 ^ w g p o d a n e j z a s a d y , u o g ó l n i o n e j w z o r e m ( 3 8 ) i e w e n t u a l n i e d o c z w a r t o g o o r a z d a l s z y c h , aż n i e z o s t a n i e s p e ł n i o n a n i e r ó w n o ś ć ( 4 2 ) . P r e z e n t o w a n y w o p r a c o w a n i u a l g o r y t m D A 0 H b y ł s t o s o w a n y w w i e l u o b l i c z e n i a c h p r a k t y c z n y c h i w y k a z a ł z n a c z n ą e f e k t y w n o ś ć d l a p r o b l e  m ó w p r o g r a m o w a n i a c a ł o l i c z b o w e g o , j e s t j e d n a k p r a c o c h ł o n n y w r o z  w i ą z y w a n i u p r o b l e m ó w c i ą g ł y c h ( s z c z e g ó l n i e d l a d u ż y c h d o k ł a d n o ś c i ) . N i e n a l e ż y z a t e m z a l e c a ć s t o s o w a n i a g o d o r o z w i ą z y w a n i a s t a n d a r d o  w y c h z a d a ń , g d y ż z n a n e s ą m e t o d y o w i e l e s z y b s z e . J e d n a k ż e g d y te k l a s y c z n e m e t o d y z a w i o d ą z e w z g l ę d u n a n i e s p e ł n i e n i e z a ł o ż e ń , 0 A 0 H m o ż e o k a z a ć s i ę s z c z e g ó l n i e p r z y d a t n y . d > D _{( 4 3 )} J e r z y T y m i ń s k i D Y N A M I C A L G O R I T H M O F H Y P O T H E T I C A L O P T I M I Z A T I O N - P O S S I B I L I T I E S OF I T S A P P L I C A T I O N IN E X P L O I T A T I O N OF 0 W E L L I N G S T h e D A H 0 ( D y n a m i c A l g o r i t h m o f H y p o t h e t i c a l O p t i m i z a t i o n ) is a c o m b i n a t i o n s a l g o r i t h m b a s e d o n m u l t i s t a g e r e c u r r e n c e a n d u t i l i z i n g e l e m e n t s of t h e d y n a m i c p r o g r a m m i n g t h e o r y . It m a y b e u s e d f o r s o l 

(22)

v i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h a r e l a t i v e l y s m a l l n u m b e r o f d e c i  s i o n - m a k i n g v a r i a b l e s ( n u m b e r o f v a r i a b l e s e x e r t s i t s i n f l u e n c e o n t i m e o f c a l c u l a t i o n s ) b u t a b i g n u m b e r o f c o n s t r a i n t s . H e n c e , it may b e u s e f u l e s p e c i a l l y f o r s o l v i n g p r o d u c t i o n - e x p l o i t a t i o n o p t i m i z a  t i o n p r o b l e m s (e. g. i n e x p l o i t a t i o n o f d w e l l i n g s c h a r a c t e r i z e d b y a b i g n u m b e r o f c o n s t r a i n t s ) . D u e t o t h e f a c t t h a t it d o e s n o t a s  s u m e f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n s f o r f u n c t i o n s o f g o a l ( a s w e l l a s con s t r a i n i n g c o n d i t i o n s ) it is q u i t e a u n i v e r s a l a l g o r i t h m a l l o w i n g to s o l v e p r o b l e m s o f b o t h n o n - l i n e a r a n d l i n e a r p r o g r a m m i n g . T h e 0 А Н 0 c o n s i s t s o f f i v e p r o c e d u r e s : 1) t r a n s f o r m a t i o n o f s t a r t i n g m o d e l , 2 ) d e t e r m i n i n g v a r i a b l e s ( h y p o t h e t i c a l f a c t o r s ) , 3) o p t i m a l s t e e r i n g ( i n c l u d i n g t h e d e t e r m i n i n g o f c o n d i t i o n a l a n d n o n c o n d i t i o n a l o p t i m a l s t e e r i n g ) , 4) r e t r a n s f o r m a t i o n ( i n c l u d i n g t h e d e t e r m i n i n g of v a l u e s o f d e  c i s i o n - m a k i n g v a r i a b l e s a n d a d m i s s i b i l i t y o f v a l u e s o f d e c i s i o n - m a  k i n g v a r i a b l e s w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d l e f t - s i d e d c o n s t r a i n t s o f t h e m o d e l ) , 5) c h e c k i n g a d m i s s i b i l i t y o f s o l u t i o n s d u e to r e m a i n i n g c o n s t  r a i n t s a n d c h o o s i n g t h e b e s t s o l u t i o n w i t h r e g a r d to t h e f u n c t i o n o f g o a l .