Jan Acedański, Jolanta Bernais, Adrianna Mastalerz-Kodzis Dokładność wybranych metod prognozowania wynagrodzeń i liczby pracujących w Polsce

(1)

Bank i Kredyt 45(2), 2014, 163–196

Dokładność wybranych metod prognozowania

wynagrodzeń i liczby pracujących w Polsce

Jan Acedański

*

_{, Jolanta Bernais}

#

_{, Adrianna Mastalerz-Kodzis}

‡

Nadesłany: 16 kwietnia 2013 r. Zaakceptowany: 16 października 2013 r.

Streszczenie

Celem pracy była analiza dokładności wybranych metod prognozowania zmiennych opisujących polski rynek pracy w latach 1998−2013. Badaniu poddano następujące zmienne: liczbę pracujących w gospodarce narodowej według GUS, liczbę pracujących według BAEL oraz średnie miesięczne wynagrodzenie w gospodarce narodowej. W porównaniach uwzględniono: modele wektorowej autoregresji VAR, bayesowskie modele VAR, dynamiczne modele czynnikowe, modele wskaźników wyprzedzających oraz metody łączenia prognoz. Uzyskane wyniki wskazały, że w zdecydowanej większości przypadków największą dokładnością, mierzoną błędem średniokwadratowym prognoz wygasłych, cechowały się prognozy łączone, uwzględniające modele czynnikowe oraz modele wskaźników wyprzedzających. Te dwie klasy modeli dawały lepsze prognozy niż tradycyjne modele wektorowej autoregresji. Pokazano również, że napływ kolejnych danych miesięcznych nie prowadził do poprawy jakości prognoz na dany kwartał.

Słowa kluczowe: prognozowanie, rynek pracy, dynamiczne modele czynnikowe, modele

wskaźników wyprzedzających, prognozy łączone

JEL: C53, E24, E27

*_{Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach, Wydział Ekonomii; e-mail: jan.acedanski@ue.katowice.pl.} #_{Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach, Wydział Zarządzania.}

(2)

prowadzonych w ramach określonej polityki gospodarczej. Stąd też często pojawia się konieczność prognozowania sytuacji na rynku pracy, którego sposób funkcjonowania zależy miedzy innymi od decyzji o poziomie wydatków publicznych, siły działania systemu podatkowego, skuteczności polityki społecznej, atrakcyjności pracy i czasu wolnego, poziomu i struktury konsumpcji czy skłonności do inwestowania.

W ostatnich latach w literaturze obserwuje się wzrost zainteresowania metodami krótkookresowe-go prognozowania szeregów czasowych. Można do nich zaliczyć między innymi modele wektorowej autoregresji, dynamiczne modele czynnikowe oraz modele wskaźników wyprzedzających. Przy dużej liczbie możliwych podejść istotny jest wybór najlepszych metod prognozowania. Ponieważ dla danej zmiennej prognozowanej bardzo trudno ex ante wskazać najwłaściwsze podejście, konieczna jest zwy-kle analiza dokładności prognoz ex post uzyskanych różnymi metodami.

Celem pracy była analiza dokładności prognoz wybranych zmiennych opisujących polski rynek pracy, uzyskanych różnymi metodami. Wśród badanych zmiennych rozważano: liczbę pracujących w gospodarce narodowej według GUS, liczbę pracujących według BAEL oraz średnie miesięczne wyna-grodzenie w gospodarce narodowej. Analizowano dokładność takich metod, jak: modele wektorowej autoregresji VAR, bayesowskie modele VAR, dynamiczne modele czynnikowe (ang. dynamic factor

mo-dels – DFM), modele wskaźników wyprzedzających (ang. leading indicators – LI) oraz metody łączenia

prognoz.

W pracy rozważano dwie podstawowe hipotezy: (1) największą dokładnością, mierzoną błędem średniokwadratowym prognoz wygasłych, cechują się prognozy łączone oraz (2) prognozy uzyskane za pomocą modeli czynnikowych oraz modeli wskaźników wyprzedzających są dokładniejsze niż progno-zy generowane przez tradycyjne modele wektorowej autoregresji.

Od strony metodologicznej największą trudnością jest to, że zmienne prognozowane i zmienne ob-jaśniające mają różną częstotliwość obserwacji. Dane dotyczące zmiennych prognozowanych publiko-wane są co kwartał, natomiast wiele potencjalnych zmiennych objaśniających występujących w mode-lach DFM oraz LI mierzonych jest z częstotliwością miesięczną. W przypadku wspomnianych modeli pozwala to na formułowanie prognoz co miesiąc. Wykorzystanie bardziej aktualnych danych miesięcz-nych jest też źródłem potencjalnej przewagi modeli DFM oraz LI nad modelami autoregresyjnymi. W związku z tym w niniejszej pracy weryfikowano dodatkową, trzecią hipotezę, że wraz z napływem kolejnych danych miesięcznych wzrasta dokładność prognoz na dany kwartał, uzyskiwanych za pomo-cą modeli LI oraz DFM. Kwartalny charakter zmiennych prognozowanych sprawia, że pod względem metodologicznym prognozowanie zmiennych rynku pracy bardziej przypomina prognozowanie dyna-miki PKB i wyraźnie różni się od metodologii badań nad inflacją.

Istotnym problemem w prognozowaniu jest wybór właściwego schematu prognostycznego oraz długości próby. W związku z tym próbowano również ocenić, jak przyjęty schemat prognostyczny oraz różna długość prób wpływają na dokładność prognoz.

W literaturze dotyczącej prognozowania makroekonomicznego przedmiotem zainteresowania ba-daczy najczęściej jest dynamika PKB oraz inflacja (zob. Stock, Watson 1999; Banerjee, Marcellino, Ma-sten 2005; Eickmeier, Ziegler 2008; Barhoumi i in. 2008; Giannone, Reichlin, Small 2008; Baranowski,

(3)

Dokładność wybranych metod prognozowania...

165

Leszczyńska, Szafrański 2010; Angelini i in. 2011; Koop, Korobilis 2011). Zmienne te odgrywają decydu-jącą rolę w opisie gospodarki danego kraju, a także przy podejmowaniu decyzji w zakresie polityki pie-niężnej i gospodarczej. Badania nad prognozowaniem zmiennych opisujących sytuację na rynku pracy prowadzone są dużo rzadziej. Tymczasem potrzeby w tym zakresie są duże. W wielu krajach przyjęto na przykład, że o pozytywnej ocenie polityki gospodarczej nie decyduje wysokie tempo wzrostu gospo-darczego, ale pełne zatrudnienie. Z kolei dynamika wynagrodzeń odgrywa główną rolę w ocenie presji płacowej, wpływającej na poziom inflacji w gospodarce.

Prognozowaniem zmiennych opisujących rynek pracy zajmowali się między innymi Rapach i Strauss (2008; 2012). Rozważali metody łączenia prognoz w odniesieniu do zatrudnienia w Stanach Zjednoczonych i stwierdzili, że często dawały one dokładniejsze wyniki niż modele autoregresyjne. Prze-waga ta była szczególnie widoczna w okresach recesji. Gupta i in. (2012) zauważyli, że modele czynniko-we, uwzględniające długookresowe zależności opisane za pomocą mechanizmu korekty błędem, pozwa-lały na dokładniejsze prognozowanie dynamiki zatrudnienia sektorowego w Stanach Zjednoczonych w porównaniu z modelami VAR oraz BVAR. Siliverstovs (2013) rozważał natomiast znaczenie ankieto-wych badań koniunktury dla poprawnego prognozowania zatrudnienia w Szwajcarii. Marcellino, Stock i Watson (2003) badali dokładność prognoz stopy bezrobocia, a także inflacji oraz PKB w strefie euro i jej krajach członkowskich. W odniesieniu do stopy bezrobocia najlepsze prognozy w rozważanych przez nich warunkach generowane były przez modele czynnikowe oraz modele VAR. Z kolei Christof-fel, Warne i Coenen (2010) oceniali zdolności prognostyczne dużego modelu DSGE dla strefy euro, biorąc pod uwagę także zmienne opisujące rynek pracy. W odniesieniu do kwartalnej dynamiki za-trudnienia rozważany przez nich model cechował się bardzo dobrymi zdolnościami prognostycznymi w porównaniu z różnymi wersjami modeli VAR oraz BVAR. Jednak w przypadku płac nominalnych spi-sywał się wyraźnie gorzej od innych podejść.

Praca składa się z sześciu części. W części drugiej omówiono zmienne prognozowane i obja-śniające. Następnie przedstawiono zastosowane w pracy metody prognozowania. W części czwartej zaprezentowano metodologiczne aspekty porównywania dokładności prognoz. Część piąta zawiera wyniki badań.

2. Zmienne

Do prognozowania wybrano trzy zmienne charakteryzujące sytuację na rynku pracy: wynagrodzenia w gospodarce narodowej, liczbę pracujących w gospodarce narodowej oraz liczbę pracujących według Badania Aktywności Ekonomicznej Ludności (BAEL). Dokładne definicje poszczególnych zmiennych oraz sposób ich pomiaru można znaleźć w opracowaniach GUS (2008; 2010; 2013).

Zgodnie z definicją przyjętą w badaniach BAEL pracującym jest osoba wykonująca jakąkolwiek pracę, także w szarej strefie i dorywczą. Obejmuje ona zatem znacznie szerszą grupę osób niż oficjalna sprawozdawczość. Należy jednak pamiętać, że liczba pracujących według BAEL nie zawiera niektórych kategorii osób zaliczanych do pracujących w badaniach prowadzonych przez GUS. Są to na przykład pracujący, którzy mieszkają w hotelach robotniczych czy pracują za granicą na rzecz polskich pracodaw-ców. Dodatkowo zmienne te istotnie różnią się metodą gromadzenia danych. W przypadku pracujących w gospodarce narodowej dane pochodzą z oficjalnej sprawozdawczości przedsiębiorstw, a w BAEL − z badań ankietowych poszczególnych osób. Można więc uznać, że liczba pracujących w gospodarce

(4)

na-o częstna-otliwna-ości miesięcznej na-oraz 29 szeregów na-o częstna-otliwna-ości kwartalnej. Z pierwna-otnegna-o zbina-oru usu-nięto zmienne, dla których współczynnik korelacji liniowej Pearsona z innymi zmiennymi przekraczał 0,9, a także te, w których występowały wyraźne obserwacje odstające. Jak pokazały badania Boivina i Ng (2006), rozszerzanie zbioru zmiennych objaśniających w modelach czynnikowych nie musi prowa-dzić do poprawy jakości predykcji. Co więcej, obecność zmiennych wnoszących bardzo niewiele nowych informacji może nawet zmniejszać zdolności prognostyczne tych modeli. Po wstępnej selekcji pozostało 67 zmiennych, w tym 61 o częstotliwości miesięcznej i 6 o częstotliwości kwartalnej. Ostateczny zbiór zmiennych objaśniających zawierał zmienne dotyczące rynku pracy, sytuacji makroekonomicznej, ko-niunktury, handlu zagranicznego, a także zmienne opisujące sferę monetarną i zmienne mające cha-rakter syntetycznych wskaźników wyprzedzających. Ich szczegółową listę zawiera tabela 5.

Dane kwartalne obejmowały okres od II kwartału 1998 r. do II kwartału 2013 r. (61 obserwacji), natomiast miesięczne – od maja 1998 r. do sierpnia 2013 r. (184 obserwacje). W przypadku niektórych zmiennych objaśniających brakowało danych, szczególnie z początkowych okresów. Brakowało też da-nych na końcu próby, co wiązało się z różnym czasem publikacji dada-nych. Datą końcową, do której gro-madzono dane (ang. cut-off date), był 10 września 2013 r. W przypadku modeli DFM brakujące dane uzupełniano za pomocą algorytmu maksymalizacji oczekiwań (ang. expectations maximization – EM; zob. Stock, Watson 1998). W modelach wskaźników wyprzedzających duże braki danych na początku szeregu czasowego wykluczały daną zmienną jako potencjalny wskaźnik wyprzedzający ze względu na zbyt małą liczbę obserwacji do testowania modelu.

Wszystkie zmienne zostały odsezonowane za pomocą procedury TRAMO/SEATS z automatyczną identyfikacją modelu. W ustawieniach programu przyjęto wartość parametru RSA = 4 (zob. Gomez, Maravall 1998). Dodatkowo wiele zmiennych poddano przekształceniom, mającym na celu sprowadze-nie ich do postaci stacjonarnej. Wyrażone zostały więc jako stopy wzrostu bądź przyrosty. Bez zmian pozostały tylko wskaźniki koniunktury. Obserwacje kwartalne przekształcono do postaci miesięcznej, przyjmując takie samo tempo wzrostu badanej zmiennej w każdym miesiącu. Na koniec wszystkie szeregi poddano standaryzacji.

3. Modele

Wybrane metody są dość powszechnie stosowane do prognozowania i w miarę szeroko opisywane w literaturze. Dlatego w niniejszej pracy omówiono tylko ich najważniejsze cechy, koncentrując się na wskazaniu konkretnych wariantów metod zastosowanych w przeprowadzonym badaniu.

3.1. Modele wektorowej autoregresji

Tradycyjnym punktem odniesienia w badaniu zdolności prognostycznych różnych metod są modele wektorowej autoregresji o postaci:

(5)

Dokładność wybranych metod prognozowania...

167

) ( 1 ) 3 ( 3 0 ) 3 ( y t m i i t i t G Gy y = + + = = = = = = ≤ ≤ = _ ) 3 ( t y ui uj ij ijk wk ] [wij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = _t+ _t + _t t f f f Z , = 3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1 = a b , B₀= A₀, B₁= A₁+a₁A₀, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am +a1Am 1+a12Am 2, Bm1 = a1Am +a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

h t t h t h t h h h t d d y d x d x y(+33) = 0 + 1 (3) + 2 1 + 3 2 + +3 h t 3+ ) 3 ( tp Y

(

Y Y

)

MIN P R R t t tp + + = 1 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( tpi Y , i = 1, 2, 3, 4,

(

Yt wYtp wYtp wYtp wYtp

)

MIN 2 ) 3 ( 4 4 ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2 2 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( _, t L Z Z 1 2 ₌ _P ˆ = t t P 1 _H Z t H (P ) 1 = t H it L ) ( ) ( 1it max_l Xitl min_l Xitl m = , l = 1, 2, …, L _it

(

)

= = Lit l it l it it it _L X X m 1 2 ) ( 2 1 , it L l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 =max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1

Σ

ε σ σ σ θ θ θ φ φ φ σ

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →_∞ = gdzie ) ( 1 ) 3 ( 3 0 ) 3 ( y t m i i t i t G Gy y = + + = = = = = = ≤ ≤ = _ ) 3 ( t y ui uj ij ijk wk ] [wij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = t + t + t t f f f Z , =3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1 = a b , B0= A0, B1 = A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am +a1Am1+a12Am 2, Bm1= a1Am +a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

h t t h t h t h h h t d d y d x d x y(+33) = 0 + 1 (3)+ 2 1 + 3 2 + +3 h t 3+ ) 3 ( tp Y

(

Y Y

)

(

)

MIN 2 ) 3 ( 4 4 ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2 2 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( _, t L Z Z 1 2 ˆ = P = t t P 1 _H Z t H (P ) 1 = t H it L ) ( ) ( 1it max_l Xitl min_l Xitl m = , l = 1, 2, …, L _it

(

)

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →_∞ =

oznacza wektor zmiennych prognozowanych, a G_i są macierzami parametrów.

Ponieważ dwie zmienne opisujące zatrudnienie dostarczały informacji o podobnym zakresie, uwzględnianie ich obu w modelu (1) przy krótkich próbach stosowanych do estymacji parametrów mo-gło prowadzić do zwiększenia błędów oszacowań parametrów i w konsekwencji zmniejszyć dokładność prognoz. W związku z tym jedną z nich wyłączano z modelu. Do prognozowania dynamiki wynagro-dzeń i liczby pracujących w gospodarce narodowej zastosowano zatem jeden model, a do prognozowa-nia dynamiki liczby pracujących według BAEL drugi model, w którym jako drugiej zmiennej użyto dy-namiki wynagrodzeń.

W pracy wykorzystano dwie metody szacowania parametrów modeli autoregresyjnych: klasyczną metodę najmniejszych kwadratów oraz podejście bayesowskie. Wobec modelu w wersji bayesowskiej zastosowano zmodyfikowane podejście zaproponowane przez Doana, Littermanna i Simsa (1984). Za-łożyli oni, że rozkład a priori estymowanych parametrów jest rozkładem normalnym z wartością ocze-kiwaną równą 1 dla parametrów stojących przy opóźnionych wartościach zmiennej objaśnianej w da-nym równaniu oraz 0 dla wszystkich pozostałych parametrów. Ponieważ prognozowane zmienne nie cechują się wysoką autokorelacją, w niniejszej pracy przyjęto, że wartość oczekiwana parametrów sto-jących przy opóźnionych wartościach zmiennej objaśnianej wynosi 0,25 (por. Bańbura, Giannone, Reichlin 2010). Z kolei odchylenie standardowe rozkładu a priori przyjmuje postać:

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = t+ t + t t f f f Z , b0 = 3a0(1+a1+a12), b1 = a13, B0= A0, B1= A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am +a1Am 1+a12Am 2, Bm1 =a1Am +a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

(

)

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →∞ = (2)

gdzie: _{i jest numerem równania, j – numerem zmiennej, k reprezentuje rząd opóźnienia, θ, φ oraz} ma-cierz ) ( 1 ) 3 ( 3 0 ) 3 ( y t m i i t i t G Gy y = + + = = = = = = ≤ ≤ = _ ) 3 ( t y ui uj ij ijk wk ] [w_ij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = t + t + t t f f f Z , b0 =3a0(1+a1+a12), b1= a13, B0 =A0, B1 = A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , 2 ₂ 1 1 1 2 = m+ m + m m A aA a A B , 2 ₁ 1 1 1= m+ m m aA a A B , m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

(

)

= = Lit l it l it it it X X L m 1 2 ) ( 2 1 _, Lit l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 =max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →∞ = są hiperparametrami, natomiast ) ( 1 ) 3 ( 3 0 ) 3 ( y t m i i t i t G Gy y = + + = = = = = = ≤ ≤ = _ ) 3 ( t y ui uj ij ijk wk ] [wij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = _t + _t + _t t f f f Z , =3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1 =a b , B₀= A₀, B₁ = A₁+a₁A₀, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am +a1Am1+a12Am 2, Bm1= a1Am +a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

MIN 2 ) 3 ( 4 4 ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2 2 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( _, t L Z Z 1 2 ₌ _P ˆ = t t P 1 H Z t H (P ) 1 = t H it L ) ( ) ( 1it max_l Xitl min_l Xitl m = , l = 1, 2, …, L _it

(

)

= = Lit l it l it it it _L X X m 1 2 ) ( 2 1 , it L l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 = max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

oznacza oszacowanie odchylenia standardowego

składnika losowego w jednowymiarowym modelu AR dla zmiennej j.

Hiperparametr ) ( 1 ) 3 ( 3 0 ) 3 ( y t m i i t i t G Gy y = + + = = = = = = ≤ ≤ = _ ) 3 ( t y ui uj ij ijk wk ] [w_ij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = _t + _t + _t t f f f Z , b0 =3a0(1+a1+a12), b1= a13, B0= A0, B1 = A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , 2 ₂ 1 1 1 2 = m+ m + m m A aA a A B , 2 ₁ 1 1 1= m+ m m aA a A B , m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

(

)

= = Lit l it l it it it _L X X m 1 2 ) ( 2 1 _, Lit l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 =max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →∞ =

określa ogólnie wielkość odchylenia standardowego w całym rozkła-dzie a p riori. Hiperparametr

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = _t + _t + _t t f f f Z , =3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1 =a b , B₀ = A₀, B₁ = A₁+a₁A₀, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am +a1Am1+a12Am 2, Bm1= a1Am +a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

MIN 2 ) 3 ( 4 4 ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2 2 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( _, t L Z Z 1 2 ₌ _P ˆ = t t P 1 H Z t H (P ) 1 = t H it L ) ( ) ( 1it max_l Xitl min_l Xitl m = , l = 1, 2, …, L _it

(

)

= = Lit l it l it it it _L X X m 1 2 ) ( 2 1 , it L l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 = max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

determinuje tempo zmniejszania się niepewności w roz-kładzie a p riori wraz ze wzrostem opóźnienia określonego przez m w modelu (1). Wskazuje zatem,

że zmienne objaśniające w danym równaniu będą miały niewielki wpływ na zmienną objaśnia-ną. Elementy macierzy wag W wskazują na większą niepewność co do wartości parametrów stoją-cych przy opóźnionych zmiennych objaśnianych (elementy na głównej przekątnej macierzy) w sto-sunku do parametrów stojących przy zmiennych objaśniających (elementy poza główną przekątną). W pracy przyjęto standardowe wartości omawianych parametrów.

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = t+ t + t t f f f Z , =3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1 = a b , B0= A0, B1= A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am+a1Am1+a12Am 2, Bm1 = a1Am+a12Am1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

(

)

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →_∞ = (3) (1)

(6)

3.2. Dynamiczne modele czynnikowe

Istotą dynamicznych modeli czynnikowych jest wykorzystanie w prognozowaniu zmiennych syntetycz-nych, reprezentujących informacje zawarte w dużych zbiorach danych (zob. Stock, Watson 1998). Proce-durę prognozowania na podstawie modeli DFM można podzielić na trzy etapy:

− wyodrębnienie niezależnych zmiennych syntetycznych – czynników, − ustalenie zależności pomiędzy czynnikami a zmienną prognozowaną, − wykorzystanie oszacowanej zależności do budowy prognoz.

W niniejszej pracy na pierwszym z wymienionych etapów wykorzystano statyczną metodę głów-nych składowych. Jeżeli K jest liczbą zmiennych objaśniających, a T oznacza liczbę obserwacji, to

ma-cierz obserwacji zmiennych objaśniających X ma wymiar T × K. Poszukuje się macierzy czynników F

o wymiarze T × K oraz K-wymiarowej kwadratowej macierzy ładunków czynnikowych L − takich, aby

spełniona była zależność: = = = = = = ≤ ≤ _ ui uj ij ijk wk ] [wij W uj ˆ ˆ ˆ 0 > 1 0 1 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 W FL X

(

1

)

) 1 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y

(

3

)

) 3 ( ₌_ln _/ t t t Y Y y ) 1 ( t y a f t ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 0 ) 1 ( 1 t v i i t i t t a a y y = + + + = f A 0 ) 3 ( 3 1 0 ) 3 ( v1 i i t i t t b b y y = + _ + _ + = Z B 2 1 = t + t + t t f f f Z , =3 (1 2) 1 1 0 0 a a a b + + , 3 1 1= a b , B0= A0, B1= A1+a1A0, 0 2 1 1 1 2 2 = A A A B +a +a , Bm 2 = Am+a1Am1+a12Am 2, Bm1 = a1Am+a12Am 1, m m a A B 2 1 = , ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 3 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 3 ( ₌ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ ₍₁ ₎ m t m t t t t t t + +a + +a +a + +a +a + +a +a + +a _ … ) 1 ( 1 t y 0 1 1=b = a ) 3 ( t y a ft ) ( 1 2 f t v i i t i t Cf f = + = } 5 , 4 , 3 , 2 ,1 { = k , v1=

{

0

,

1

}

, v2={1

,

2

,

3

}

(

Y Y

)

(

)

(

)

= = Lit l it l it it it _L X X m 1 2 ) ( 2 1 , it L l l it it it _L X X 1 ) ( 1 it i i m m1 =max 1 = = T t it i _T m m 1 2 2 1 σ σ σ θ θ θ φ φ φ σ

Σ

ε ) 1 ( t ε ) 3 ( t ε ε ε ε ε ε ε ε

Σ

P R R t + + =

Σ

1 P R R + + =

Σ

1

Σ

Δ ε ε Ω χ τ t L Δ τ t L Δ τ ε – – – – – – – → → →∞ = (4) Poszukiwane macierze dobierane są w taki sposób, aby czynniki reprezentowane przez kolum-ny macierzy F były od siebie niezależne liniowo. Ponadto ustawiono je w takiej kolejności, że dany

czynnik wyjaśnia mniejszy lub taki sam odsetek zmienności zmiennych objaśniających w porównaniu z poprzedzającym go czynnikiem.

Gdyby w macierzy X nie występowały braki danych, rozwiązanie powyższego problemu

sprowa-dzałoby się do stosunkowo prostych obliczeń z zakresu algebry. Ponieważ jednak brakuje niektórych obserwacji, konieczne jest ich uzupełnienie. W tym celu zastosowano procedurę maksymalizacji ocze-kiwań (zob. Stock, Watson 1998), która połączona jest z procesem estymacji macierzy F oraz L i ma

charakter rekurencyjny. Początkowo przyjęto pewne startowe wartości macierzy F(0)_oraz_L(0)_{i na}

pod-stawie równania (1) oszacowano brakujące elementy macierzy X. Korzystając z kompletnej macierzy X,

oszacowano macierze F(1)_oraz_L(1)_{przy zastosowaniu standardowej procedury algebraicznej.}

Postępo-wanie powtarza się do momentu, w którym różnice pomiędzy kolejnymi oszacowaniami F(i) _oraz_L(i)

są mniejsze od założonej wartości granicznej. Dobre wartości początkowe można uzyskać przez zasto-sowanie zwykłej procedury głównych składowych do macierzy utworzonej z kompletnych wierszy ma-cierzy X.

Najpopularniejszą alternatywą wobec statycznej metody głównych składowych są metody dyna-miczne, w których przyjmuje się zmienną strukturę zależności pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a czynnikami lub rozszerza się macierz F o opóźnione czynniki. Jak jednak dowodzą na przykład wy-niki przedstawione w pracy Boivina i Ng (2005), wybór metody wyznaczania czynników nie ma więk-szego wpływu na jakość generowanych prognoz, co potwierdzają również Baranowski, Leszczyńska i Szafrański (2010) w odniesieniu do polskiej gospodarki.

Podstawowy problem z ustalaniem zależności pomiędzy czynnikami a zmiennymi prognozowany-mi w niniejszej pracy wynika z tego, że czynniki są obserwowane co prognozowany-miesiąc, a zprognozowany-mienne prognozowane raz na kwartał. Rozwiązanie tego problemu polega na wykorzystaniu faktu, że zmienne prognozowane