Hydrodynamische theorie van de scheepsbeweging in golven

HYDRODXI'4AMISCHE THEORIE VAN DE SCSBEWEGING IN GOLVEN.

M.D. HASKIND (Moskwa) Prikiadnaja Matematika I Mechanika - 1946.

In de problemen van de zeewaardigheid van een schip wordt een belangrijke

plaats iñgenomen door het onderzoek riaar de beweging van een echip, 'hetgeen on-misbaar is orn bet verschijnsel van de scheepsbeweging in het algenieen te

ver-klaren, evenal.s het ontwerp van ean soup te beinvloeden. '

.

Het Oplo8Sen van de belangrijke opgave van de scheepebeweging Is nauw verwant met het belangrijke probleem van de zeewaard.igheid; te weten: bet overnemen van water en de weeretandetoename op een golvend. vloeistofóppervlak.

De ge8ohiedeni8 van de ontwikkeling van de theorie van de 8oheepsbewe-ging begint reeds lang geleden. De eerste schrede op dit gebied werd gezet door W. Fraude, die een theorie ontwikkelde voor het alingeren- van schepen . in golven

Ci].

. In de theorie van Froude werd uitgegaan van de veronderstellizig, dat

de afmetingen van het achip klein zijn iii vergelijking met de golfiengte, zodat het gewichtszwaartepunt van het echip een zelfde cirkel beschrijft .. als een vloei8tofdeeltje, dat zieh daar zou bevinden. Een dergelijk

onder-zoek naar de rolbewegingen van schepen kan oak tegenwoordig nog met sucoes aangewend worden, aangezien de dwarsafmetingen s-an het schip aanzienlijk kleiner zijn dan de gebniikelijke lengte afmetingen van zeegolven.

Ongeveex 35 jaar later, in 1896, ontwikkelde AH. Krilov een theorie voor de stamp- en dompbeweging van een schip in golven (2). De noodzaak van een afzonderlijk onderzoek naar de langsscheepse beweging van een schip in golven werd veroorzaakt door het feit, dat de fundamentele aanname van Froude, dat de afmetingen van het schip klein zijn in vergelijking met de lengte afmetingen van de golven, duidelijk onjuiet is. Gewoonlijk zijn de lengte afmetingen van de golven van dezelfde grootte orde als de

scheeps-lengte.

In verband met het ond.erzoek van de langsscheepse beweging van het schip in golven, wordt In de hypothese van Krilov een ruimere verond.er-stelling gamaakt dan in de theorie van Froude,. en wel dat elk punt van het

ond.ergedompelde soheepslioha.am een druk ondervindt, die gelijk is aan de

druk in een overeenkomatig punt van de golvende vloeistof bij afwezigheid

van het sohip.

Deze hypothese, die zich fundamenteel onderscheidt van de

veronder-at'ellingen van Frou.de, geeft de mogelijkheid de krachten te bepalen, die

door de vloeistof op de soheepawand worden uitgeoef end, waarbij in bena-dering dé eindige lineaire afuietingen van het schip en de invloed van de

scheepavorm in rekening gebracht worden.

Iiettemin blijven de drukvariaties in het veld., die veroorzaakt

worden door het stathpen en de ].ineaire bewegingen van het schip, buiten besohouwing.

De verdere ontwikkeling van de theorie van langsscheepse beweging van het 8chip gaat van dezelfde veronderstellingen als Krilov uit, in een aantal gevallen in meer details tredend, zij het ook met terk Intuitieve

redeneringen.

In de onderhavige theoretische studie echter, wordt.in zeer &lge-mene zin een theorie afgeleid voor de beweging van een achip in golven,

order aanname van harmonische bewegingen mét 6 graden van vrijheid. In het resultaat treden een aantal krachten op, die werken op het bewegend liohaam, te weten: traagheidskrachten, dempingakrachten, her-.

stellende krachten en opwekkende krachten. De tr.agheidakrachten zijn

De ooefficienten in de veranellingsterm van de bewegingsvergelijking

van het soup spelen de rol van toegevoegde masa. (eventueel

traagheids-moment). Men kan deze coefficienten daarom opvatten als toegevoegd.e massa,

daarmee een begrip generaliserend uit de besohouwingen over de beweging

van een .lichaam in een oneindig medium.

De symmetrie eigensohappen van de toegevoegde massa, die gelden in

een oneindig medium, blijven alleen bewaard, indien de sxielheid van

scheepslichaam gelijk aan nul is..

In een numerieke u.itwerking hangt de toegevoegde massa hoofdzakelijk

af van de lengte en de rióh.ting van de aankomende golven, en de sneiheid

van het acheepalichaam.

De dempende krachten, veroorzaakt door hat voortdurend uitzenden

van energie in de vorm van golven, hangen lineair van de sneiheid van het

lichaam af. Vóor deze coefficienten gelden dezelfde symmetriebeachouwingeñ

als voor de. toegevoede massa.

Met de verkregenfcruuiles wordt de derapingacoefficierit van een

langeecheepabewegend achip bepaald als fu.notie van de langte en de hoek.

van de aankomende golveri, en de snelheid van het scheepslichaam, voor

verschillende waarden van de verticale

vheid,waterlijn coefficient

en prieniatisähe coefficient.

Bij vergelijking van de gegeven berekening kan men vaetstellen,

dat de dampIng door visceuze oorzaak, die men gewoonlijk bij theoretische

berekening van de langascheepse beweging in rekejdng brengt, klein is in

vergelijking met de demping, die veroorzaakt wordt door het uitstraien

van golfenergie.

I. Algeméne theorie van de beweging van het schip.

1. Fu.ndanientele vergelijkingen.

Besehouw het probleem van de gedwongen

beweging van een in eengolfveld drijvend lichaam, in de veronderstelling

dat de scheepssnelheid

eliik is a-an nu. We veronderstellen, dat het

liohaam wordt getroffen door voortschrijdende golven met een kleine

amplitude.

7e riemen a-an, dat de daardoor veroorzaakte beweging van het

êchip klein is, evenals de golfhoogte van de op het vrije oppervlak van

de zware v]oeistof aan alle zijden van het lichaam opgewekte golven.

Natuurlijk blijft eveneens de siielheid van de vloeistof in het beschoùwde

gebied begrened.

Ret probleem van het bepalen van de opgewekte vloeistofbeweging

kan opgelost worden door gebruik te ma-ken van de volgende benaderingen:

De randvoorwaarde op het opervlak van het lichaam wordt voldaan in de

punten van een oppervlak S, dat wegens de aangenomen kleine beweging

onbewegelijk wordt gedacht; de randvoorwaarde op het vrije

vloeistof-opperviak wordt verticaal verachoven na-ar een horizontaal via-k, dat

eamenvalt met het ongestoorde vloeistofoppervlak; a-an deze

randvoorwaar-den wordt sleohts tot in de aerate orde vòldaan.

Stel o:xyz een vast coordinaten syetaem. Ret viakOxy is

horizon-taal en valt samen met hat ongestoorde vloeistofoppervlak, waarbij Z

-na-ar boyen wijst.

Ivy

f

f

-

2-FI

.1.

We moeten een snelheidspotentiaal '°(xyz) bepalen voor de

vloei-stofbeweging, die voldoet a-an de genoemde ranLvoorwaarden.

Op het opperviak S geldt de snelheidsvoorwaarde

£

(x,y,,

ich

4(xyzt) de storingspotentiaal van de vloeistofbeweging, die veroorzaakt

worden door de bewegingen van het lichaam en de refleotie van de

aan-komende golven, en

«(xyzt) de snelheidspotentiaal van de aankornende

golven zeif:

(1,5), waarüi.

waarin k,de bewegingafrequentie van de vloeistofdeeltjes, c =

g,4c =

.voortplantingsanelheid van de aankomende golven,

V

==

golffre-.quentie,

=?\ golfiengte, h = hi + ih2 complexe amplitude (i = V)

en f de hoek tuasen de bewegingsrichting van de golven en de

negatieve

x-richting. In hot vervoig letten we in de complexe uitdrukking,:.de

samengestelde factor

alleen op bet reeele gedeelte.

De functiea(xyzt) en

*(xyzt).voldoen afzonderlijk a.an de

voor-waal'de (1,4) en op bet opperviak S geldt de voorwaard.e

(M,)

=

(1,6),

=

Y.Vt

0,bl.-Q

i.c,è

'V2 +

¿ v(xcQE

.

(1,7)

waarin M een variabel pint van bet opperviak S en

V

de normaalsnelheid

in hot betrokken punt. De normaal op hot opperviak moet gerekend worden

in de richting van de vloeistof. De functie

V

bangt af van de

instroininge-eneiheid, van de hoekaneiheid en van de sneiheid van de lichaamedeformaties.

In het volgende beperkeri we one tot hat geval van bewegingen van

starre liáhamen:

-.Vj-r0n.-Il

₁₉₂₎

waarin

V

_UL1.Uj#Uk

)

-fl-= u- Uj3#

UbIK

de sneiheidavector van de oorsprong van het coordinatenaysteein, en de

vector tengev-olge van de momentane hoekeneiheid, i,j,k en n de

eenheicls-vectoren langa de coordinaataesen en de normaal op hat opperviak S en

r0 = 0M de vectorradiu8 van hot punt M.

7'egens de tweede saniengestelde randvoorwaardernaken we gebriik

van de Lagrange integraal voor de inwendige d.ruk in de vloeistof:

ïoZ.

p-,,e

-f' --: - r

-.j°

(1,3)

waarin

p0

= atmospherische druk, Q. =

dichtheid. van de vloeistof en

g = versnelling zwaartekracht.

Op hot vrije vloeistofoppervlak is de drLzk gelijk aan de

atmos-pherisohe druk. Daarom maken we later gebruik van, de gelineariseerde

randvoorwaarde

____

O

voor

De snelheidspotentiaal van de vloeiatofbeweging kan voorgesteld worden

door:

Bij beschouwing van de gedwongen beweging ván het drijvend lichaam, nemen we een bepaalde ongedempte trilling aan:

Vve

VP,

ii

UP, ¿IIC&

v.. ,2...6)

Bij berekening

van

de veroorzaakte vloeistofbeweglng stellen we:

(xyz)Lyz)e.

Bij deze aanname van de harmonische functie p(cyz) worden wegens (1,4) eri (1,7) de randvoorwaarden:

Yz-,-L?c

'4Pt-

ydsç)

_v=a

z

q(.vzr)

+4

waarin

(y...i,)t. (*3)

op

s

(i,io)

op z = 0 (1,11)

en de voorwaarde in oneindig: de afgeleide van de functie p(xyz) is begrensd

en

gaat

naar nul voor z - -00.

Men moet enige beperking

aan

de functie (xyz) stellen, orn een

be-paalde oplossing te verkrijgen, aangezlen men een willekeurig

aneiheids-potentiaal

van

een systeem

van

voortlopende golven op de oplossing

_kan

superponeren. Echter, indien dit nodig 18, bepaalt de eis, dat de golven álzijdig door het lichaam gereflecteerd moeten worden, volledig de

func-tie p(xyz)..

Mathematisch wordt deze voorwaarde a13 limietuitdrukking gef

orma-leerd met

[4J

z

v(-+tve'o

;

1

.v';çzi.yz

_1,12)

Een snelheidspotentiaal

_Ç&cya

i3 ) , die overeenkoint met de

vloeistofbeweglng, Indien in een punt (',3Jvan de onder haifruimte een pulserende bron ter sterkte eikt wordt geplaatet, en die voldoet aan de voorwaarden (1,11), (1,12) en in oneindig, wordt gegeven door de

uttthuk-king: (i),E)

en een harmonische funotie in de onder halfrajrnte

voorstelt, gegeven door:

7o(e)

c

o)

Hierin Is

'/0ÜLRc)een

Besselfunctie, R0 = , en meet geintegreerd. worden

lanes

de weg L, die de punten u = o en

ii

O verbindt,

waarbij het singuliers

pant

u V aan. de bovenzijde gepasseerd moet worden.

(1,14)

R

-5-Een asymptotisôhe vooretelling voor de Í"unctie G kan zonder moeite

afgeleid worden uit de formules (1,13) en (1,15), voor de oirkel met straal

R:

waarin R

\jx2

..i.

y2, en 1)= bgtg

(poolcoordinaten), en O()de notatie

voor

de ternien die van kleiner orde zijn.

Ret bepalen van de pulserende bronnen op het opperviak S, en het probleem

van de bepaling van de sterkte van de bronnen, kan men herleiden tot een

Fredhoimse integralvergelijk1ng van de 2e soort.

Voor voldoende kleine en grote waarden van de parameter V

,

bestaat er

een oplossing van het probleem en men kan die door een reeks voorstellen.

De harmonische funotiè p(xyz), in de volgende beschouwing, is begrensd buiten

het opperviak S, en in de ander haifruimte, en gaat naar nul

_{voor z}

--Deze methode voor de oplossing van het probleem is volkomen analoog

met de methode van het bepalen van de verstoring van een ander het

vloeistof-opperviak bewegend .lichaam [4).

e kunrien de aigernene f ormule opstellen, waardoor de harmor.ische

functie p(xyz) wordt voorgesteid,, indien op het opperviak S zijn

gegeven de

afgeleide en de funátie zeit

Wé beschou.wen daartoe het gebied D, dat ugt tussen het 'opperviak S + E en de

bol

0' met een oneind1g kleine strasi

E ,

met middelpunt in het. punt P(xyz),

waarbij het opperviak £ bestaat uit het verticale cylinderoppervlak met

hoogte h0, straal R rond de as z, en verder het opperviak van de cirkel

met

straal R rend de as z, die ugt ter diepte h0, en tenslotte het gedeelte

van het vrije vloeistofoppervlak, dat omvat word.t doàr de cirkel R en de

construotie waterlijn van het lichaam.

i

¿R' °

Bij toepassing van de formule van Green voor de in het gebied D

harmonische fuzictie G en p, verkrijgen we:

£

-

)as

4 -e

)ts

Aangezien de furictie O wegens de term 1/r verechilt van een in het

:onderhalfruim harmonische functie, verkrijgen we voo

de tweede integraal,

omdat we een bol

rond het punt P(xyz) hebben getrokken, de waarde

4 Wp(xyz). Verder maken we gebruik van het feit, dat de functie

p en G

moeten voldoen aan de voorwaarde (1,11), de voorwaarde in oneindig,

_{en de}

geteÏde asymptotisohe formules (1,12) en (1,16), zodat we vinden:

In dit geval vezkrijgen we een algemene voorstelling voor de functie

(i, 17)

(1, 18)

1,16)

+

*rr

ea

-

'

(

(

Ve

Sul)

_j

-i.'- . (L)

welke op de straal R geefts

in de vorm van een formale van Green voor een oneindige vloeistof:

-

.1

_H

(1,19)

s

De verkregen vorm van.het algemerie resultaat wordt in het volgende gewijzigd.

We maken d.aárbij gebruik van de uitdrukking:

i-IT _)).J1ii2)J (1,20) ( .-&4L[

%LcR-!-

e

2FF

-Ir

r i

Çt3 _Lx-%)

_

d

(z

<o)

(1,21)

-rr'

en de door E.E. Kochin gebrixikte functie:

k

[Ç

e

-11;:: W)(k,y)

_oIS

_(1,22)

Substitutie van de fu.nctie G in de uitdrukking (1,19) en verwiseeling van

de integratlevolgorde, geeft:

z_L

&

p

We bepalen het8ymptotische karakter van de verstoorde vloeistofbeweging. Gebruikmakend van de formules (1,16) en (1,19) vinden we voor de functie p met een asymptotiache ontwikkeling op de straal R:

-vz-

¿(vR+ff)

cv,y,z).---

.-4(iì,

ZffR

waarin men duidelijk ziet, dat voldaañ wordt aan de voorwaarde (1,12). Na bepaling van de functïe H(V,l) ), kan men de vorm van het vrije vloeistofoppervlak vinden, uitgaande van de formale:

1

¿

(x,yo) e

b& 2O

_(1,25)

(1,25)

waarin:

3e

LÇk-.i'v(»t

*y.it)

o

waarin de streep boyen de letter de normale notatie voor de overgang op de geconugeerde complexe waarda voorstelt.

Daarvan gebruikmakend, vinden we na uitvoering van de berekening:

Ri-B-i-C-t-D

waarin:

-t'i

R

f

lk'M

-if

=

Vx_' 6?

2rr

-7--e.

Op deze gereflecteerde golven kan men de voortlopende golven _{superponeren.} Op de 8traal R zijnde golven dus bepaáld, zowel de lengte van de voortlo-pende golven, als ook van aan alle zijden van hat lichaam teruggekaatete golven. We zullen de gemiddelde energie berekenen, die door de golven per tijdseenheid weggevoerd wordt. Men kan de energie berekanen, door de arbeid te beachouwen die door de zwaartekracht op een verticale cirkel _cylinder wo'dt uitgeoefend, die zichvan hat vrije opperviak uitstrekt _naar on-eindig in de z-richting en met grote straal R.

Dan is:

H7 o

t.1-.--f

L(Ptc)

ca

Re

ftp

(yz)

¿cé

_e

v

-

H()

k-R-)

2rr1

We berekenen de gemiddelde hoeveelheid energie, die door de golven wordt weg-gevoerd over een bewegingeperiode

2n/k.

We merken daarbij op, dat indien twee grootheden _{geven zijn, die} periodiek veranderen volgens de harmonische wet u

u'e1',

y = vtelkt, het gemiddelde voorgesteId wordt door het reeele gedeelte van hat product _{van de}

waarden over de periode 2it/ks

(Lv)

fctvé

«c_

í/ç

ç'y1

-t'r

-Ii

vRCt/-fl

-+

-)4'

(vi)e

-V

t,r

(1,26) (1,27) (1,28) 1,30) (1,32)

(1,33)

0(4)

(1,29)

-8-AR

_L°(')

-

e!j(w(vMro)

P.-

Qrr

¿YRc45:(2))

-IT

De functie H( Y

17) hangt lineair

af van de aangenomen complexe amplitude, en

van de hoekeneiheden en van de amplitude van de aankomende golven. Zodoend.e

wordt de energie, die per tijdseenheid uitgestraald wordt door de golven,

bepaald door een kwadratische vorm, die van de amplitude afhangt.

2. Overzicht krachten.

In hat voorgaande werd het probleem van het bepalen

van de veroorzaakte vloeistofbeweging herleid tot het bepalen van een

har-nionische funotie p(xyz), die moest voldoen aan de voorwaarden (1,10), (1,11),

(1,12), de liniietvoorwaarde voor de afgeleide van de Í\inctie p(xyz), en die

naar nul moest gaan voor z

Gezien de ingevoerde linearisatie, kan men stellen:

T

(:

.V+I

.L)

_(2,1)

waarin

en

_{2 de vectoriele voorstelling van de projecties op de}

desbe-treffende coordinaten q,p2,p

en P4'P5'P6 Op het opperviak van hat

lichaam geldt de randvoorwaardez

(1,37)

-,

-

_.=p,

a -&x

_e

VII

-z»,

Op het vrije opperviak voor z = O:

u/e.,10

(»I:O).,

,)

Uit bovenstaande analyse volgt, dat voor de cirkel R de functie pm(xyz)

asymptotisch voorgesteld kan worden door de forim.üe:

-

_J

_V

(R)

.o(i\

(2,4)

2I7I

's)

(2,2)

(2,3)

c(R)]

_(1,34)

Eenvoudig ziet men dat B

O

(1,55)

Toepassing van de methode vari de stationnaire phase, geef t voor de cirkel R:

cc

oi)

(1,56)

zodoende, overgaande op de limiet voor R -9

, krijgen we:

svr

waarin:

).ffe

{

-

¿ (wiy)

s

(2,5)

De functies (xyz)eilCt (m = 1, 2, . . ., 6) bepalen de snelheidspótentiaal

van de vloeistofbeweging, die door het bewegend lichaain vèroorzaakt wordt, waarin de sneiheidsoomponenten dezelfde amplitude hebben; de functie

ichp0xyz)eikt is de snelheidapotentiaal van de opgewekte vloeistofbeweging, voor hat geva]. dat het drijvend lichaam verhinderd wordt golven uit te.

stralen.

De functies 9m(xyz) hangen af van de vorm van het opperviak S en

van de parameter Y. Sen symmetrisch opperviak S bepaalt een..óvereenstèrnniende

symmetrie in de etructuur van de Í'unoties p(xyz), afgezien van de afhanke-lijkheid van de parameter Y

In dit geval stellen we hat opperviak S symmetrisch ten opzichte van

het vlak.xz, waardoor de randvoorwaarde (2,2) geef t:

(\ Jcf\

;

__

--(SJ3,

b ki

'..

/'1'

'

h7,1 -

(

-i;--

4'., 6

waarin M en M' ten opziohte van het viak xz symmetrisch gelegen punten van het opperviak S zijn. Uit daze relatie voigt, dat voor de punten van het viak xz, die binnen de vloeistof liggen, de vergelijking geldts

- o ₍

!,3,)

(x,o,)

o

?.,4'., o) (2,7)

In de punten die symmetrisch ten opzichte van het v].ak xz zijn gelegen, geldt: y,z)..

(x,y,a)

_{-., (x,yz)}

_(, (2,8)

Is bovend.ien hat opperviak S symmetrisch ten opzichte van het 'u-lak yz, dan geldt:

(

J(e

v)

(Y)

(sz

_(2,9)

L&,

't

X,Y?2)

-JV))

(!)5J)

_(2,10)

waarin Q ön Q' ten opzichte van hot vlak yz symmetrisch gelegen punten van het opperviak S zijn.

waarin

(2,14)

(v.W)+p(o

_)-rr

_(2,15)

&e

¿x,y3z)

-(2,16)

Beechouwen we de voigende complexe coefficienteni

T

-

?

f

fi

s

(2,11)

Ret is duidelijk,.dat deze ooeff'ioienten

afhangen

van de geometrische eigenechap-pen

van

het opperviak S en van de in de functie voorkomende parameter

Y .

De matrix van de 6e orde, die uit deze.coefficienten gevormd kan worden, is symmetrisch, te

weten

Gjm

_{= Gmj.}

Daarom vinden wij bij toepassing van de

f orinu.le

van Green op het gebied dat ugt binnen de opperviakken S + Z (flg.2), de uitdrikking:

s+z

Wegens de voorwaarde (2,3) en de asymptotische f orile (2,4) voigt, dat

fl(d

en

r

dientengevoige, na overgang op de limiet, geldt:

f$('ed

/c(5o

(2,12)

s

en dit bewijst de symmetrie van de coefficienten matrix Cj.

Indien het viak xy een symmetrieviak

van

het oppervlak S voorste].t, versohillen. van de 21 constanten, die de coefuicienten matrix Cjm bepalen, siechte 12 coeïficienten

van

mU, d.wz. voor j = 1,3,5 en m 2,4,6 Cj O..

Indien, bovendien het opperviak yz een symmetrieviak

van

het opperviak

voorsteit, erschiien behaive de diagonaal coeí'ficienten ook nog de coef fi-cienten C15 en C24

van

nul.

Voeren we

thans

de analyse uit

van

de hyd.rodynamisohe krachten, die

op het bewegend lichaam werken.

Geven we met F de vector aaxi van de hydrodynamische krachten, die op het opperviak S werken, en met M hot moment van de krachten ten opzichte van de ooreprong

van

het coordinatensysteem, dan geldt de formale:

ÇJ(Po)6

t1

-

_ff(-fro)

4ui

cS

(213)

5

5

Berekenen we doze krachtén onder de

aariname

van grootheden van de eerate orde,

Substitutie

van

(2,15) in (2,13) geeft:

(2,17)

Hierin stellen de letters Fd en Md de

hyd.rod.ynamische

kracht en moment voor, die de bewegingen van het lichaam vèroorzaken.

N0

ikJJ(v*

4)4

oL (2,18)

s

de letters Fg en Mg de kracht en moment, van de trillingsopwekkende kracht.

en tenslotte geven de letters F5 en M de hydrostatische kracht en moment aan,

die de zogenaamde hersteilende krachten vormeri:

.

Ç-f

z,xn)oLS

(2,20)

Gebriikmakend van de notatie (2,11), vinden we voor de hydrodynamische krachten

en momenten: 5

(t

en dempende krachten: :

(Ç)

-(AbM

-;- ¿

r

&

M

T

, (41 11

M

s

waarin

Fdl, Fd2, Fd3 en Md4,

Md,

Md6 de projeoties van de vector van de hydrodynamische krachten en momenten van die kraohten voorstellen, en U =

uet.

Op deze wijze

kan

men de hydrodynamische krachten scheiden in traag-heidskrachten.

Uil

vj

WI.4

1-)

M Uil

ié

(2,21) 2,22) (2,23) 2,24)

U)

Iiq.: /J?,3

Voor de projecties van de

opwekkende kraht en moment voeren we de

notatie in:

F»

_£

(2,25)

waarin S0 _{het oppervlak van de waterlijn, D = deplacement,}

= complexe

coefficient, die afhangt van de geometrische eigenschappen _{van het drijvende} lichaam en van de parameter Y

Berekenen we eerst de hydrostatische kracht en het _{moment van deze}

kracht. Du.iden we met _{de verticale verplaatsing van het pant O aan,} en met ) _en '

de hoekverdraaiing van het liohaam rond de assen z en y, zodat

ak

(43

i

a

¿1

(2,26)

In de gemaakte veronderste].ling

werken de hydrostatische krachten in verticale richting naar boyen, als ondersteunende krachten, aangrijpend _{in het drukkings-.} pznt bet lichaam en de uitwendige

krachten tegenwerkend. Voor _{een lichaarn dat} beweegt met 6 graden _{van vrijheid bepalen siechte d.rie}

vrijheidsgraden

3 ,

en 'P de waarde van de

ondersteunende krachten en momenten. Houden we hier rekening mee, dan verkrijgt men voor de projecties van de hydrostatische _{krachten en}

momenten:

F:

2z0

(2,27)

Nsq

_{Yc-5D. 1Çy,cS}

$0

M,5

50 (2,28)

waarin xo,Yc,Zc de coordinaten _{van bet dru.kkingepu.nt in de}

betrokken toestand,

en

i.)y-/

de totale verticale verplaatajng van een element

_van

bet wateriijnopperv1a,

Berekening van de

integralen

it (2,27) en (2,28) geeft:

2,29)

ri4

D-p

_(2,30)

D¼

_t.j

_{-P 'M'}

_-

(ç:

"Iyc:

1'

Hierin zijn x0 en _{y0 de coordinaten van bet}

zwaartepunt van het

water].ijn-oppervlak, en J,J1 en I _{de traagheidsmomenten van dit opperviak.}

0m de beweg?.ngsvergelijkjngen

_van

het bewegende echip op te stellen, moeten de coefficienten /(J.,

voor de veranellingakrachten, die op het lichaam Werken, en die de rol van toegevoegde massa en traagheidamoment _spelen,

bepaald worden, en z, evenale de constanten _{die de dempingscoeffjcjen_.} én voorstellen. Men kan daarom de coefficjenten /11,,toegevoegde massa

:0

voov_ =4

-

13

-noemen, gebaraliserend een b6grip uit beachoawingen voor een oneindige

vloeistof.

Zoals-in hetvoorgaande reeds is gezegd, hangen de coefficienten

en

af van de geometrische eigenschappen van het lichaam en de

waarde van

.

In bet limiet geval V =

,

d.w.z. een hoogfrequent trillend

drijvend lichaam, geeft de randvoorwaarde (2,3) voor de funçtie p

voov_

z:o

(2,32)

De rand.voorwaard.e (2,23) is de gebriikelijke randvoorwaarde voor de

sneiheids-poteritiaal van de vloeistofbeweging in de theorie van een lichaam, dat op bet

watoroppervlak alaat

C71 .

Deze voorwaarde drtikt de elgenachap uit van de

gewichtsloosheid. van de vloeistof, d.w.z. in dat geva]. is in verhonding tot

de traagheidskrachten van een vloeistofdee].tje het vloeistofgewicht te

ver-waarlozen.

Op grond van de randvoorwaarde (2,32) kan men de functie q

voort-zetten in de boyen haifruimte, waardoor mende harmonische functie p

kan

bepalen voor de gehele ruimte buiten het opperviak S + S, waarin het

opper-viak S bet spiegelbeeld van het opperopper-viak S voorstelt in de bovenhaifruimte.

Uit.de voorwaarden (2,2) en (2,32) voigt, dat de toegevoegde massa,

betrokken op de verticale bewegingarichting van het lichaam, gelijk is aan

de helft van de toegevoegd.e massa's_van het dubbele lichaani, dat

voorge-steld wordt door het opperviak S + S en bewegend in oneindige vloeistof, en

de toegevoegde messa, betrokken op de horizontale bewegingsrichting van het

lichaam is gelijk aari de helft van de toegevoegde massa, afgeleid voor een

lichaam, dat in oneindige vloeistof beweegt.

In het andere limietgeva]. .

V

= o, d.w.z. laagfrequente trilhingen

van het drijvend lichasm, krijgt de voorwaarde (2,3) voor de functie

Pm(xyz) een enlgszins ander aspect, en wordt

Voorwaarde (2,35) drukt uit bet geval van een extreem zware vioeistof. In

dit geval is de vloeistof ultrazwaar. Het vrije opperviak wordt voorgesteld.

door een onbeweeglijk starre pleat.

Indien op grond van de voorwaarde (2,34) de functie pm(xyz)

voort-gezet word.t in het bovenhaifruim, verkrijgen we, evenals het voorgaande

geval, de stroming in een oneind.ige vloeistof rond een dubbel hichaain,

bepaald door het opperviak S + S. Voor dé toegevoegde massa,

corresponde-rende met een horizontale beweging van hichaam, krijgen we de halve waarde

vari de correspond.erende toegevoegde massa van het dubbel lichaam, en de

toegevoegde messa, oorresponderend.e met een verticale beweging van bet

lichaam, is gehijk aen de halve waarde van de overeenkom.stige toegevoegde

massa yoòr een dubbel opgebaawd liohaam, dat een tegengesteld teken voor de

verticale. resulterend.e sneiheid bezit.

(2, 54)

en dan bedraagt de waarde van de coefficient Cjm:

-P

L.,

De dempingadbeffcienten zijn voor V

_{o enV}

_{gelijk a nul.}

Dit betekent, dat in die gevallen de hydrodynamische krachten, die 'aoor

_de

beweging optreden, zich uitsluitend beperken tot traagheidskrachten. Toor

V i(

O en '' i( is het voortdurend verbruik van energie door

hetbe-wegend liohaain in de vorm van uitstralend.e golven, afhankelijk van de vloeistofweerstand., die werkt op bet liohaam.

Uitgaande van energiebesohouwingen, drukken we.de dempingecoefficient uit in de energie, die door de golven uitgestraald wordt per tijdseenheid,

Stel E- de mechanische energie, d.w.z. de kinetisohe en potentiele _energie van eenvloeistofdeeltje, beperkt tot bet oppervlak S + E (fig. 2). Dan erergiebeschouwingen toepassend op een vloeistofelementje, krijgen we:

--r-

P.V -r'i.-fl -(.1

(2,35)

waarin i- de energie, die door de golven weggevoerd wordt door het opperviak _E per tijdseenheid.

De totale energie E van een vloeiatofdeeltJe voor sen aligerende be-weging, is sen periodieke funotie van de tijd, zodat de gemiddelde waarde van

dE 2i . .

over eau trillingeperiode j- gelijk aan nu]. is. Hiervan gebruikmakend en

d.aarna in de liiniet overgaand voor R en

h0-°

_{(fig.2), verkrijgen we:}

(F.Vr't.fL)

cP

waarin de gedefinieerde formule (1,37).

Men ziet eenvoudig, dat de arbeid van de traagheidskrachten _{over een} trillingsperiode gelijk aan nul is. Op gelijke wijze kan men dit voor de formules (2,26) en (2,29) - (2,31) verkrijgen, zodat de arbeid van de

hydrostátische krachten over een trillingaperiode eveneens gelijk aan nul is. Dus men krijgt:

Aandacht schenkend aan (1,30) en de uitdrukking voor de dempende en de opwekkende krachten verkrijgen we:

À\qezA

'I

_!?o

.e11

2 2

Stellen we

(L

de phaseverachuiving tussen de opwekkende krachten en de corresponderende snelheden, dan kan de voorgaandè ver.gelijking gesohreven worden ala

N904

2A(L4t-

"LP&i.)

-.3

t?

S,Z\\1c (45)

-

\i,Uu,,I

5)h

(2,36) (2,37) (2,38) (2,39)

Hieruit vinden we onxniddellijk eon formule

_voor

_{rim voor iedere n en in:}

15

-i -ind-ien n

in

2 indien n =

in

De functie H( V,l):), die de opgewekte vloeìatofbeweging bepaalt, wordt

lineajr uitgedrukt in de functies H,

V,1) ):

6

J

U

(2,40)

(2,41)

(2,42)

2,43)

Si

Uit dynamische evenwicht voor de trilling Voigt, dat

_{de sneiheid U}

evenredig is niet de amplitude li. Gebniikmakencl van doze betrekking, tesamen

met de energievergeiijkjng (2,39), kan men in een bepaald geval een schatting

maken over de grootte van de opwekkende kraoht.

3. Langeecheepse beweingen Van het schip.

Stellen we oria een sohip voor, 4at nitaluitend verticale

_bewegingen

uitvoert op de golven. Ter vereenvoud.iging nomon we aan, dat het schip

syminetr5,soh is ten opzichte van het grootapant

_{en veronderstellen dat het}

gewichtezwaartepiint zich bevindt in dit symmetrievlak, zod.at in

evenwichte-toestand geen alegZij optreedt.

\Terder kiezen we een coordinaten systeem

_{als voigt: Laat het viak Oxz}

sarnenvallen met het diametraal viak, en het viak Oyz valt samen met het

grootspant. In dat geval versohillen

_{van de complexe coefficienten}

1\

(voor n ( in) alleen C15

en 024 van rzui

Stel

_{de onbekende verticale uitw'ijking van het gewichtszwaarte_}

punt van het lichaam, en Y de hoekverdraaiing

_{van hot bewegend lichaaxn rond}

het gewichtazwaartepu.nt, Voor de domp en stampbeweging van bet schip

geldt dan:

U: U(j

¿4=o

(3,1)

waarin a

_{de afstand tuasen het zwaartepunt}

_{en de ooraprong van het}

coordina-tensysteem; in dit geval ugt het punt O recht boyen

_{hot zwaartepunt,}

De formule voor de hydrodynamische krachten

_{geef t de volgendo}

verge-li jkingen:

F

/\ */tté\ '#\a

't

_"

d&J

_'S

_dk

_s.

(3,2)

Daarom voigt nit aubotitutie in (1,37):

t IT

=

q(r

1n het bijzondervoor n

in geldt:

-A c

-(393)

3,4)

(3,5)

Het moment van de hydrodynamische krachten rond een as door het gewichte-zwaartepunt wordt gegeven door de formule:

i'i;

.::..Iv1cty*a:v

f_

waarin

1y

_L(5.t

_f-a1L4,,)

dJ

(3,6)

-'l5S

2aA,

+

ctr',)

Voor de hydrostatische krachten verkrijgt men met behuip van de formules

(2,29) - (2,31):

'9;

i

(3,7)

waarin I* is het moment van de hydrostatische kracht rond een as door het gewichtswaartepunt, en h - de langemetacenterhoogte

1l-(3,8)

en a- de afetanci tussen het gewichtszwaartepunt en het drukkingspunt. De differentiaalvergelijking voor de langeecheepse scheepebeweging

wordt dus:

peck

_(3,9)

4

(4

* 2&/\ , --c\

)

_(3,10)

17

-w-aarin I het traagheidsmoment van hot schip voorsteit, _{en f en F de complexe}

coefficienten van de opwekkende krachten.

Uit de vergelijkingen (3,9)

_{en (3,10)}

_{kunnen we de stamp en}

dompbewe-gingen afleid.en: waarin

çkv

4cr

tLvLi Fe'

(4

/455- 21U,*

'\

We merken verder op, dat een berekening van de resonantie, door de bepaling van de maximale amplitudo van de bewegingen en en de frequentie,

waarbij resonantié optreedt, eon ingewikkeld onderzoek vormt, _{zodat we voor} de resonantie berekening een eenvoudig harmonisch geval _{nemen met 44n graad}

vari vrîjheid.

Thans interesseren we ono echter alleen voor de bepaling van de dem-pingscoefficient voor verticale bewegirig. Bij toepassing van de forniles (2,42) en (2,43) verkrijgen we

-s-FT

H5(v,)).i-a H1(v,)c

i\en A,1.,

Hierait voigt dat voor het bepalen van de coefficienten moeten maken van de functies:

-.5

waarin Pm moet voldoen aan de volgende randvoorwaarden: op bet oppervlak van het schip geldt de raridvoorwaarde

- - - ) (4)

Z'1

we gebruik

en op het vrije v]oeistof geldt de voorwaard.e voor constante druk:

(3,16)

Voor kleine

Y

kan xnezì op het vrije opperviak deze voorwaarde _{veranderen in}

de voorwaarde

a)-Hierop gebaseerd kan men voor de functies H(v)12)benaderde vergelijkingen geven, die nauwkeurig zijn tot en met de orde V.

(3,11)

(3,12)

(3,13)

3,14)

,2

J.

pkY)0

-.- (

(3,17)

oh')

_(3,18)

L -P

t

Q(v

(3,19)

e e

waarin

b de

grootte van

de indornpeling

van

het

drukkingspu.nt,

en-/J,, , /4' en

de toegevoegde

massa van

het

schip

voor kleine waarde

_van

de parameter Y v.

Gebruikmakendvanformuie (3,13) vinden

we een benaderde itdrukking voor de dempingacoefficient:

!?k[t2T(77)]

+

Ak[i

:'°I

+o(

pLy

PJ.y

J waarin - verticale voiheiclacoefficient,

zodat D =

pT%

, waarin T de d.iepgang.

_*

a =

-

a afstand tussen zwa.artepunt. an dru.kkingspunt, en voorgesteld wordt door de relatie O

--De toegevoegde massa's ,U,,en

/1,

zijn bijzönder klein, in verband met de geringe breedte

van

het achip ten opzice

van

de lengte. Rekerìing houdend

met het feit, datde grootheid

vI.

in.practische g vallen klein is, kan de formule voor

de

denipingscoèfficienten en geschreven worden:

z

T2/

ob

..Ly

I

Hierin betekerit de golvende lijn boyen de letter, dat de formulé geldt voor

grote

langte !an de golven, die het soup treffen (kleine trìllingsfrequentje).

Op deze wize

kan

men voor een schip met constante

lengte

en breedte

voor verachillende voiheden en traagheidamonenten

van

de lastlijn de dempings-coefficienten berekenen voor de verticale beweging

van

het.

schip.

Ne rekenen de dernpingscoefuicienten uit voor een Michell-schip. Stel = f(x2) - .het oppervlk

van

het schip. Voor een Michell schip is de breedte klein ten

opzichte van

de lengte en de

diepgang

en maakt de raaklin

in

elk punt van

het o1pervlak een kleine hoek met het xz-vlak, d.w.z. de afgeleiden en zijn klein, zodat de randvoorwaarde (3,15)wordt

c

-(3,20)

(3,21)

(3,22)

a-

___,'--

-

₍₃₂₃₎

Z

:»

Deze.voorwaarde geldt vervolgens voor

_y

= O op het diametraalvlak,waarvan de normaal samenvalt met de positieve en negatieve y-as. Uit de voorwaarde (3,23) voigt, dat de afgeleide (m = 1,3,5) ononderbroken doorgaat door hei

-19-diarnetraalvlak, en, dientengevolge, is de functie pm(xyz) juist _{continue op} deze overgang. Hiermede rekening houdend, en met de opperviakte _integraal

in f orunile (3,14) over het dianietraal. viak, wordt

SII

Y(-fL)(L))

L41

c,.S

s,

waarin S'- diametraal. viak vari het schip.

Voor eeri verdere berekening van defuncties

_'Mstenen

_{we het} diametraalvlak reclithoekig van vorm, en geven we het scheepsopperviak in de vorm y.:-waarin B - de breed de waterlijn voor, Berekenen we vervol formule (3,24): -

BL.

waar.in

L-aL

is de scheepsiengte.

en 0<.. = waterlijn coefficient.

Voor de dempingscoeffioient ge].dt dus de volgende formule waarin

te van het schip.

In

deze formule stelt yl(x) = BX(x)

en y2(z) = jBZ(z) het grootspant.

gens de functie b1(v,t)). Substitueren _{we (3,25) in}

K?(I") P(3.)

Ç)(&')

(4,)XatX

waarin

\-de

dempingacoefficient

en en

A

-

coefficienten voor korte golven, met

IP2()o)

voor lange golven, die op het lichaam werken,

o

De grootheid

I2-»(--T

stelt voor de welbekende correctie coefficient in de theorie vari de scheeps-.

-Voor een numerieke berekening etellen we het grootepant voor door een funotie (vgl. fig.

3)

t-X-

(3,32)

Substitueer (3,32) in (3,27), en dit geeft:

'e

-Tz

Na integratie vinden we de recurrente relatie

-,-tT

't

'-vT

-Voor 1 _{, d.w.z. voor , krijgt raeì:}

()(337)

L

z) 21

2

waarin (u) - de fout integraal (Irampa functie)

I

-e

2 Ç

(?)

_(3,38)

o

Voor n =. i, d.w.z. voor , geeft het resultaat

(3,39)

Met behuip van de recurrente betrekking (3,36), kan en

de

waarde van

:;.de functie berekerien voor positieve hele getallen n, en voor breuken, die vaiS n de waarde 1/2 verschilleri.

Voor kleine waarden van , kan sien de uitdnikking

benaderen door de relatie

-TT( J_T

Iii fig. 3 is de uitdru.kking <z - weergegeven .voor verachillende

waarden van de verticale

volheid.scoeTicient.

(3,40)

(3,33),

waarin

(3, 34)

(3,35)

Ji

(3,36)

Aangezien

Ç2ccz-

Y

-m

Men ziet hieruit, dat blj vermindering van de verticale voiheidacoefficient de waarde van K _{toeneemt. Dit betek-ent, dat bij verscherpen van de} spant-vorm een versterkt dempen van de verticale béweging ontwikkeld wordt.

Voor een berekening van de coefficient K; _{, die afhangt vari de} verhouding L/è _{en vari de waterlijn coefficient, stelt men de waterlijn} voor door de vorm

voor 1/2 <'< 2/3

voor 2/3 <p' < 1: .- _-

_(ir,

W)

- C) M

-

'1 GØ) 1- (.47)141

-

21 -Si. r _0,64

FIC

In fig. _{4 zijn de waterlijnkrornmen weergegeven voor verschillande}

voiheden , daarin de overgang tot uitdrukking brengend vari de sinusoidale

waterlijnen op parabolische,

- Voor het .geval er een cylindrisch

middengedeelte van het schip is,

kan de waterlinweergegeven worden door

{.- n

(om Tr)(34.1)

)

voor

O(x<Ç

Voor

(3,43)

0.5 2.

6

zod.at we krijgen:

v,i7)=

2L

Çz)l(Yxcd1)

- - - -

pavabo1SChC vorm

-j--.

re

Ln9e vorm

Bij eeli analyse van de berekening kan men

vaststellen dat voor ß = Ode

coefficient K3 langzaam toeneenit, indien

groter wordt. Beginnende met een

waarde voor het cylindrisch gedeelte van

0,4, wordt de irivoed van de

vorm van het voor en achterschip op de coefficient

K

geringer.

We gaan nu over tot sen berekening van de dempir1gscoefficient.

We voeren de notatiein:

4(-v,i))

t

? -11(v)O)

-i t(o(-,_

(3,45)

(3, 4)

De volheidscoefficieflt Q( wordt gegeven

door:

w

_(3,44)

l+b'

Gebraikmakend van het analytisch karakter van bovengaande waterlijn

formule, ktuinen we gemakkelijk functie p(g.) berekenen, waarna de numerieke

waarde van de coefficient

t(.

bepaald kan worden, en zodoende de fìuictie

voor versehilleride waarden van

de voiheidecoefficient

en lengte van

het cyliridrische ged.eelte (p), voorgesteld in fig0

5

en fig.

6.

23

-Gebruikmakend van de vooratelling (3,25), krijgen weg

[i

()

R

(()Z ÇX&)ix

¶(

₍₃

Çxxx

(v

waarin

de grootheid ' wordt voorgesteld door een zekere functievan de

volheidscoefficient oc

(3,49)

en de grootheid t) is een lineaire functie van K2(

I)

die afhangt van de

relatieve plaate van ìet zwaartepunt van het schip:

1---6'vTt

TSVT__I)

(3,50)

i'a toepassing van vergeli3king (3,47) en forx1e (3,13) verkrijgen we:

1

o#=

(3,51)

waarin

de weerstandecoefficient voorstelt, gedeuinieerd voor lange golven

voor het geval het zwaartepunt samenvalt met het dii.ikkingspunt (a

= o),

en

wordt voorgesteld door de for1e

ir12

fR)2oL7

V:

.T1Zç,

+K2I')KJ

(3,52)

De functies eri _{icinnen voor de waterlijnen, die door (3,41), (3,42) en}

(,.43) gegeven zijn, op elementaire wijze berekend worden.

Voor de berekening van de grootheid

L(,

stellen we deze in de. gedaarte (3,47)

(3,48)

waarin K en K%L vooreste1d door functies, die van de lengte L/

eri de waterlijncoeffioient o( afhangen:

.

2è2

f

R(

In practiach voorkomende gevallen, is de grootheid TA klein en ugt in de

buurt vari 0,04 - 0,1, zodat men voor bij benadering de formule kan gebruiken:

-z&(2-(vT)2

(3, ) ( çz

'I,

()

Indien we bij de schatting van de coefficienten en meest voorkoinénde

waarden van L4en c

namen, door

L/,\ = i en

oÇ = 0,8,

dan _{= 0,0290,}

K,#= 0, 1900.

-Gebruiken we deze waarden,

dan

kunnen we in formule

_(3,53)

wegens de

kleine-grootheden , en I de tweede en derde component

verwaarlozen. In dat

gavai wordt de dempingecoefficient ) bepaald door de formule

In fig. ₇ en 8 zijn de grootheden K. uitgezet voor

_{verschil].ende.}

_{waarden vail} de coefficient . , en een cylindrisch middenschip ter grootte 3.

ij toenanie van

de lengteparameter L/\ neemt de coefficient kt betrekkelijk enel af meer dan de coefficient

7O

_-

_L(P

z

-

25

-IL Beweging van een varend schi? in golven.

4 Grond.vergelijkingen.

In hot voorgaande hebben we de therie van de langsecheepse beweging van een schip in golven afgeleid zonder de sneiheid van het schip in

aanmer-king te nernen.

Voor een bewegend. schip in golven, is de horizontale sneiheid van het scheepszwaartepunt niet constant, en de trilling vmndt plaats rond een zekere gemiddelde (A. dat we de scheepssnelheid noenaen.

Voor de bestud.ering van dé bewegingen van hot bewegend lichaam in golven gebruiken we een bewegend coordinaten systeem Oxyz, dat we laten bewegen met de geimiddlde horizontale snelheid u.. We nemen het viak Oxy

horizontaal, en laten het eamenvallen met het oorspronkelijkongestoorde vloeistofoppervlak, waarbij x in de richting van de sneiheid , en de

as ! verticaal naar boyen.

Voor de bepaling van de vloeistofbeweging, maken we, evenals in het voorgaande, gébruik van de lineaire theorie van de go1ven

-Voor de snelheidspotentiaal '°(xyzt) voôr de absolute beweging van de als zwaar verondersteide vloeistof gelden de volgende voorwaarden.

Op bet .oppervlak van het bewegend lichaam geldt;

v1, w. c.&vvc) op

S

:(41)

waarin. + normaal component van de sneiheid van'

een willekeurig punt'axi het opperviak S, en

V, (M,t)

de normaal

compo-nent iran de add.itionele sneiheid, die veroorzaakt wordt door de tril1inger

van het lichaam.

Voor een beweging met 6 graden van vrijheid geldt:

vLM,)

V.h#flx

_o-

(k0).-

_(4,2)

waarin V = de snelheidsvector van het zwaartepunt

van het

bewegend

schip,

r3 radiusvector van het punt

N

, en r0 = OC = de vectoriele afstand van bet zwaartepunt ten opzichte van de oorsprong van het coordinaten systeem en-ft = ho&sneiheidsvector.

Op bet vrije vloeistofoppervlak z = O geldt de gelineariseerde voor-waa±de voor constante druk

--:

' (4,3)

Eierth etelt de afgeleide naar de tijd voor het onbeweeglijke

'coordinaten systeem voor.

Indien betekent de afgeleide naar de tijd, in de veronderstelling dat de functie een functie is van de' tijd en de coordinaten van de punten van het bewegend coordinaten systeem, verkrijgen we

(4,4)

Daarom wordt (4,4) voor een bewegend 000rdinateñ systeem

en aangezien . = constant:

2Lc.

jj°2

¿

°=o

yoor

o

¿»Z

₇

2

De 3nelheidspotentiaal °(.xyzt) kan voorgesteld. worder in de vorm:

4°&yze)r

ç4

waarin 4'0(xyz) de snelheidspotentiaal, die overeenkomt met de eenparige vloei3tofbeweging onder de invloed van een met de constante sneiheid

bewegend gefixeerd opperviak van het schip, d.e fu.nctie xyzt) 8telt de snelheid.spotentiaal voor van de ophet achip stotende golven, terwiji de

functie _{(xyzt) de snelheidspotentiaal is van de door de golven verstoorde}

vloeistofbeweging.

In dit onderzoek beperken we ons echter tot het bepalen van de snelheidspotentiaal (xyzt), die moet voldoen aan de randvoorwaarden

vO'i,&)

010

5

.fr7

2 ¿..

.-

q

._r

O

¿»

De snelheidspotentiaal 7(xyzt) ten opzichte van een vast coordinaten

systeern, wordt gegeven in for.ruule (1,6):

c1Lch

k*vtí

waarin X,:Xf'(.. - abscj

van

het onbeweeglijk coordinaten systeern.

Daarom word.t de sr.elheidspotentlaa]. '(xyzt) ten opzichte

_van

het bewegend

coordinaten systeern

¿- 1(i¿.1

vCx

'çi y.,

e .

(.4,10)

waarin

k,

= de schijnbare frequentie van de beweging van de vloeistofdeeltjes, weergegeven door de f ornle

¡Ç: k

vt.Y?f:

k1iZ0)

;

z

'Vij bekijken het geval dat het lichaam een gedwongen beweging uitvoert, waarbij de vrije trillingen gedempt zijn:

v&'1) e

Daarom stellen we de veroorzaakte vloeistofbeweglng voor door:

z'yth)=

_'z)e

_(4,13)

en (4,9) schrijven we de randvoorwaardens

Voor het bepalen van de. harmonische í\inctie q(xyz) met behuip _{van (4,8)}

-(4,14)

ck

Ç

?-

21T

'tei-L

ro

Oz

_ax

V00fr -i £ ...)

(4,12)

(4,11)

(4,15)

(4,6)

(4,7)

(4,8)

(4,9)

wearin

_Z::

(.Lk

- r,(I1L r0

C4Z)E)

z

.:

/ t i,

(45?')

2

bovendien moetaan de limietvoorwaarde voor de afgeleide van Í'urictie ç voldaan

worden in het beschouwde vloeistofgebied, en moet deze naar nul gaan voor

Ter eliminatie van de oxthepaaldheid in de opiossing van het probleeni,

voeren we fictieve dissipatieve kracht in - /.h'V0, evenredig met sneiheid

van een deeltje, waarin

/4.'

_{een positieve coefficient voorstelt, die in het}

eindresultaat nul wordt.

-Plierrnee rekening houdend. wordt de randvoorwaarde (1.,6) thans:

ç

vOor

o

en de voorwaarde (4,15) voor de functie p krijgt nu de gedaante

-

7

_'(_

!_

voor

o

If

(4 18)

/ -I

waarin

z4

Aan de voorwaarde (4,18) kan niet voldaan worden door een harmonische

functie, die beperkt is tot de onderhalfruiinte, d.w.z. deaanwezigheid van de

dissipatieve kracht .zondert de mogelijkheid uit vari het optreden van een vrij

gaifsysteern.

5. Algemene formules.

We beschouwen eerst een eenvoudigér probleem. En wel, geplaatst in een

punt

_{Û1 (t,i7,V,}

van de onderhaifruirute bevindt zich een pulserende hron-raet

bronsterkte

'

¿c

_{, die zich beweeg met een constante sneiheid}

_u.

_De

snelheidspotentiaal

_ÇL'y

i,)e'«'

,

die overeenkomt met de veroorzaakte

vloeistofbeweging, kan geschreven worden in de vorm

Ç.:

_{;._ ;'}

.1p- Ç,1Xy?)

waarin r en r' overeenkômen met (1,14) en

4

een in de onderhaifruimte

harmonische functie.

Aangeziexi

¿)

_,

2) _{t .}

_z)"

_I

-

r- -

- - . -

voov

Z 't

'

¿ix"

4

»c"'

_(5,2)

wordt de voorwaarde z = O, voor de bepaling van de harmonische functie

i'

2r'.(,_ij3) £i' '2(i_2/J3)Ç,

c)x?

2V,

-,

Maar aangezien voor beide boyen opgesohreven gedeeltes de ?iinoties, die

har-monisch zijn voor iedere onderhaifruimte, aan elkaar gelijk zijn, zijn de

-

27

-(4,17)

fukcties voor beide onderhalí'ruirntên geldig.

0m aan vergelijking (5,3) te voldoen, maken we gebruik van de voorstelling ! *(?(-%

c,'Ot--a

a die geldig is de

voor . Het is duidelijk, dat de functie

A

_)y)c,-)

,ìí

(

_/\

_)

-'7 ()

sen harmonische functie voorstelt, die voldoet aan vergelijking

_(5,3)0

_Opdat in het eindresultaat de grootheid naar nul kan gaan, mosten we onderzoeken welke singu.lariteiten de noemer vande uitd.rukking (5,5) bezit.

Ret is duidelijk, dat deze singulariteit gegeven wordt door de ver-gelijking

t?À?cd,z) -

T(i-J)i)i-i3

A .

Oplossing van daze vergelijking geeft

¡j-

zr(i-J)

Cs)t)t [I*ijT

7r([3cP1) -T3'i)

2T2

.(5,7)

Voor 3 = O worden de wortels van de vergelijking (5,6) _{van eenvoudiger vorm}

Voor een nader onderzoek gelegen, en bepaald door

Voor alle andere waarden Onderzoeken we nu waarden van , die aan

1u'. ak,₁₃ dan is:

/12Tcd-,'?t)± tH-'jTc(i2)'

J

2T2c4511)

we in de grootheid

i2t7

_{in het interval (0,n/ )}

de formules: î-

o

I

(i

4cm_L

voor

'SIT)

-voo r-(5,4) (5,6) (5,8) (5,9)

Dan blijkt eenvoudig, dat de wortels

_A,

en reeel en positief zijn voor waarde t) , die bepaald wordt door de ongelijkheid

R <cr-i)0

1.100r

cc) k)

L)

voov

(5,10)

van

t)

in het interval

(it

+it)

zijn de wortels complex. de waarden van de wortels \,'en

A'

. Beechouwen we de de ongelijkheid (5,10) voldoen, en kleine waarden

-A

-

C 2 CC?1)

V

i

f7t'7ì)

5,5)

i (5,11)

Hieruit voigt,

afhangt van

de

waarde

van

de grootheid

-frequentie k, ,

maar

waarin

dat de waarde voor het imaginaire gedeelte van de grootheid

A,

van cos

_z)

, en dat de waarde

_van

het imaginaire gedeelte

afliangt van

_Y,

dw.z.

van

de

waard.e

van de schijnbare niet afhankelijk is van de grootheid )

Daaroni wordt voor kleine

:

1fI.

,Ly):

J

(&'-A21)(A-A,')

7)

-ir-i?,

til

-IrTJ

F2 (uiz) -

-(c\,'Aa')(/\t\

₎ ci-h _A,

-

s e")

)

S ff., A2 . -

4ffr1

T

(5,12)

We sobri jven nu voor de functie G,, die voor ) O voorgesteld wordt

in de vorm:

4,:

éúcy

y-)

+ F,Óy).

(5,13)

2(t))

'>I,2 (L)-t.lT)

-

29 --L)

.

(5,14)

(5,15)

(5,16)

(5,17)

Ret is duideiijk,.dat in de lirniet voor

_/-

',

_{die naar nul'gaat, we voor}

de waarden vari O , die gegeven zijn door de ongelijkheid (5,10), de integratie-weg

naar

in de formules voor de fu.ncties F en

F

moeten wijzigen in áen kronlijnig,opdat we op een geschikte wijze de singuliere punten A,.en

_i\

,'die

op de reeele as zijn gelegen,

_ku.nnen

vermijden.

Deze overgang volledig invoerend. verkrijgen we

iLT (

i /

A(7*f-L) ¡

(i\e

WI

-

_/

_{(ì-i\,)\t.i«»t' _)}

_I

_(i\7,)

J$'iT«Ii7

(L,)

-w

io

4ff-l2

Ç

°1

)

_(LZ)

(AA)Vt-jras7

-fl-t1.74) O (5,18)

(5,19)

t,

/

t?)

(1\-X1) (A-V1')

-v.z+

;(R-O

-

30

-en

dan

wordt de funotie

van

de gedaante

-.OE

i.r

z

Ae

/

k

' -

f

f

J

f

/\

...,- o (t,)

-ir

_(L1) z 2

Uit de onderzoekingen van Eavelock, Hogner 18) en

_[9],

en andere onderzoekers is bekend, dat de voornaamate golfverstoring van de vloeistof beperkt blijft

(5,20)

()

.,\

I,? ¿

)T)

waarin de contour L1 de punten

A

O en

A = °Q

verbindt en hat singuliere

punt

s

_{= A.}

, vermijdt

lange

de bovenkant, de contour t., dezelfde punten

verbirìd.t, het singuliere

pant

À= A,

_{vermijdend lange de onderzijde, en de}

contour LL bet punt

A = A.

vermijdt langs de bovenzljde.

In deze en de volgende waarden voor de integraal, Lnoet de verlegging

van

de integratieweg oevat worden als aen limietuitdrukking, behalve _voor

het ïnterval (

t2,, t-o

_).

Analoog bepaalt men de einduitdrakking voor de functie c, indien Bij een fundamentele afleiding

_van

de formale voor de functie

_Ç

_kan

men het asymptotlsohe kar.kter

_van

_{de vloeistofbeweging bestuderen.}

Bekijken we hat gavai

van

kleine

r

, weergegeven door de ongelijk-heid _{-( (} ,

dan

vinden we vervolgens de asymptotische formale

R

+. O()(521)

waarin het bovenste teken overeenkomt met een positieve waarde T, en het

onderste teken met een negatieve waarde,

xR,yR)

1 - poolcoordinaten, d.w.z.

Uit de gedante

van

bovenataande voigt, dat voor kleine - op het

vrije thppervlak de .go].ven een golfeysteem voorstellen, dat alzijdig wordt uitgezonden door een piilserende bron.

Inhet bijzonder voor

r0o.,

d,w.z. voor een stilstaande puiserende bron, wordt bet eindresuitaat

(5,22)

waarin het bovenst taken overeenkonit met een positieve

k

, en hat onderste met een negatieve k.

In het andere limietgeval voor het bepalen

van

de vloeistofbeweging

onder invloed.

van

een bron met constante intensiteit, hebben de wortels

_A1,

*

i,T1T2

31

-op sen cirkel R tot een kleine hoek, ter grootte 58°56'. De vloeistofbeweging binnen de kleine hoek op een cirkel R, kan ontbonden worden in twee golf-systemen (transversale en uitwa.aiend), in het geval vaneen bewegende bron.

In het geval van een pulsereride, bewegende bron kan wegens het asyinptotische 1akter de vloeistofbeweging ontbonden worden in twee inter-ferende golfsystemen, van sen enigszins algemener type, dan de golven, die in het speciale geval.bekeken werden.

Nemen we op he.%oervlak Seen stel pulserende bronnen aan, ter

sterkte '

, dazi vind.en we voor de flinctie p(xyz), wa.aru.it

de oploseing van het gestelde probleem gevonden kan wordens

tevz)

-

Jfqc(s

(25)

s

Definieren we de uitdrukking

*

FF

(5,26)

en veranderen we de integratie volgorde:

L

\aS

+

'fir

₎₎

'L

'L'/

H (A,'.))

_{dz.2d,t p'}

i i

)

()

A-A,)

V,*r2

IT4(

_\

(?L-y17j

HA,

¿? )

₎

-AAt1))

I7z

('l-'\ì)

V

i*iafli2

°

'

?-Ly")

/-7Ç(A,z))

¿-

) ()'

(5,27)

5Jxvz)

°

6.

gpen en stampen van een schip, dat vaart in eau golfve].d9

In het volgende interes8eren we one alleen voor hat dampen en stampen

van eau.

schip, wanneer het

vaart

in een golfveld. We nemen daartoe in het

vervoig een coordinatenaysteem,

waarvan

hat viak Oxz samenvalt met het

d.iametraal viak

van

het schip en

waarvan

de

oorsprong

ugt in het

zwaarte-pant van

de waterlijn.

Gayen

we met

Ve..

de verticale sneiheid

van het

scheeps-¡I

zwaartepunt aan, en mét de

hoekeneiheid, d.& word.t de

randvoorwaarde voor de functie p(xyz)

:VLÖ) &1l) t

w4L2_20')

Cø)Ú) _(

-0)w,(i-cck

¿;1-s'

(6,

i)

waarin = a* - de coordinaaat van het soheepszwaartepunt.

De functie p(xyz) kan men in de volgende gedaante weergeven:

(6,2),

waarin

de functie p1, P2 en p0 op het scheepsopperviak S moeten voidoen aan

'de voorwaarden

!

-co,Lblz);

-L3

Dii

Dii,

1

De fancties Pi en P2 bepalen de vloeistofbeweging, die veroorzaakt wordt

door het bewegen vari hat schip, terwiji de furicties p0 en p de vloeistof-beweging voorstellen, die voigt uit de vloeistof-beweging van het vastgehouden schip over het golvende vloeistofoppervlak. leder van deze functies kan

voorge-steld worder. door de reeds bepaalde functies (5,27).

Voor het bepalen

van

de stamp- en dompbeweging, is het noodzakelijk de verticale component van de d.rukkrachtevector te berekenen, die op het schip werkt, en het moment van daze kracht rond eau' horizontale as, door

het gewichtszwaartepu.nt

-M

*

L p-jo)

(-o)

*DCfr) - £'

o-jao-5

Rekening houdend met de formales (4,7)

en (6,2),

kan men sohrijven

z.2,,

+??2+2

r».- í'i,'i,

iM2*

ri

(6,7)

Hierin betekenen , en

(l0de

kracht en het moment, die werken op het lichaam

voorhet onderhou.den. van eau eenparige beweging; ?, ent1 zijn

dehydrodyna-mische kracht en moment, die de stamp- en dompbeweging van het

schip-veroor-zaken:

)fr1!1wtw2)d1.?we

s

(6,8)

(6,3) N-(6,4) (6,5) (ßS) It Z (6,6)

- 33 -

-¿ '(g -¿

M1

pve

Jfhiu.± '1J

(-)c»ix

-

£x-)

ioL5

òc J

Ç,

j(kiz_t

(-o) aS)L1X) --x0) ii)? S

4

en

M,

stellen de krachten voor, die wegens de hydrostatische druk op het schip werken, en die worden in dit geval:

terwiji tenslotte 23 en 113 de verstoringskracht en -moment voorstellen, die

bepaald worden door de anelheidspotentiaal

Lci

¿ki&j [*i

Thans berekenen we de hydrodynamische krachten, die veroorzaakt worden door de bewegingen van een Michell schip. In dat geval geldt voor de fu.ncties Pi en p, op het diametraa].vlak van het opperviak S de voorwaarde:

-1

-?-;

!3: f--?)

$.()...Xo)

Invoering in de for.iles voor de kracht en het moment over het diame-traalvlak

van

het opperviak S geintegreerde functies p en p geeft:

k1H'(r

. I

-* ;

p

1511 £i) Ç

(2) (

-o(

x

s'

s"

LfLLff

_{1,fe1 (%3)}

_(K)

(

_-i.)

xza%o

ç,

s'

+

I(e4,LLj

--('x--x1)

Cd)W2)?)O(S

(6,9)

(6,11) 6,12)

(6,13)

(6,14) (6,16)

(6,17)

(6,18)

-p

.

L

._xe+)

-Dl,'

SOxo)D

_(6,10)

- &l7

- Nl2 -

f/, '3

-

?? d(f. (6,15)

-

2}

ç

fc-

f\)

_{-\,) V'i+''r'i'7}

-L1

î)'

i\Wj He

J

_J

-q '

_

y°

_'

I

₍

,ki))'

(H

)

j

1A,)Zffr

_JJ

X)

(6,20)

5,,

In dit geval, indien we de gedwongen beweging van een soup, dat in een golfveld vaart besehouwen, geven de formules (6,14) en

(6,15)

de afzoriderljjke

krachten, die voor de beweging verantwoordelijk zijn, te wetan traagheids-krachten, die lineair afhankeiijk zijn van de vereneiling, en de dempende krachten, die lineair van de sneiheid afhangen. De coefficienten

á"j- stellen

voor de toegevoegde massa, en de grootheden ')'zijn de dempingacoefficienten. Voor een echip dat in een golfveid vaart, bangen s en faf van de geo-.

metrische eigensohappen van bet schip, van de ieng1e en de richting van de aankomende golven, en van de sneiheid van het schip.

Asymmetrie, ingevoerd in de beweging van bet schip, die de

vloeistof-beweging rond eezi gedwongen stainpend schip bepaalt, voert ook een asymmetrie

in de waarden van de ooefficienten en /V/( in, d.w.z. voor het geval het soup met een sneiheid vaart is bn21

_'

» en _/'/, "/,2

Gemakkelijk voigt, dat voor de coefficienten ei,J en9 de 'betrekking = _en

CJ

= - C#j

_{geldt, wegens}

C71-C,'Z

_'

_"\"dj

_{¿j;' IY21-L21C}

/Y,?.-L.,?-t.

C

(6,21)

De coefficienten I'I,,en/Yv?karakteriaeren de dempingawaarden voor zuivere

domp-en zuivere stampbewegingdomp-en v-an het schip. Voor deze coefficidomp-entdomp-en geidt met gebniik van de formies (6,18) de, vol1ende vergeiijking

.,.Ir-. o z

7

,7 ti7

f * 1I 4» t)

/V1:

_{7762?J.

₍

,d)1))I

)(')VGl)

-'r

\J I-,Tc&1)

tLr

7

f(

J

V ITCOIQ

(6,19)

(6,22)

oL

-

35

-Beochouwen we het geval van sen schip, dat synrnetrischis ten opzichte

van

het g'rootspant, en waarbij het gewichtszwaartepunt in het middenvlak ugt.

Dar x0

= O en functie f1 is een evenfunctje

van x

en ₂ is eon oneven functie van

Dan is functie I-4tLA,i2,)een reeele funotie, en de f\inctie

i-4A,i))

een.ixnaginaire

functie.

H%,)-

¡?,'

c»L'\X1))0t1(?

c-I

ií?)

_zJj

e-i&\x'))

o(o(z

s'

Wegens de formales

(6,17)

en (6,19) voigt eenvoudig, dat

ru0

'

('IIl3+IM2I

oU- 0(1:2

(t4

_"L\

+

_-

_1iI

-

t'1

Aldus blijkt, dat voor een varend symmetrisch schip de domp en otampbewegingen van elkaar afhankelijk zijn.

(6,23)

(6,

24) en, bijgevolg 2l '

r'/,.r'Ir

/z-.c

(6,25)

(6, 27)

(6,28)

X.

We vormen de dynamische .vergeiijkingen voor de domp en stampbeweging van een ochip, dat beweegt in goiven.

Dario:

7

-o(Z

(6,26)

waarin 9

en de complexe coefficienten voorsteilen van de opwékkende krachten, die afhangen van de geometrische karakteristieken van het schip, van de lengte en de rióhting van de aankomende golven, en van de sneiheid

van hot schip.

In het geval van een schip, dat symmetrisch is ten opzichte van hot midden, en waarvan 1et zwaartepant ugt in het middenviak, heeft _deze ver-gelljking de vorm