Analiza i modelowanie sieci transportowych z wykorzystaniem sieci złożonych

Zbigniew Tarapata

Wojskowa Akademia Techniczna, Wydzia Cybernetyki

ANALIZA I MODELOWANIE SIECI

TRANSPORTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM

SIECI ZOONYCH

Rkopis dostarczono, kwiecie 2013

Streszczenie: W pracy przedstawiono podstawy teoretyczne oraz wyniki bada zwizanych z analiz

i modelowaniem sieci transportowych z wykorzystaniem sieci zoonych. Opisano wasnoci sieci zoonych (Scale Free i Small World) oraz zdefiniowano miary charakterystyk sieci. W tym kontekcie, przedstawiono wyniki bada zwizanych z charakterystykami sieci rozkadowych pocze lotniczych oraz ekspresowych pocze kolejowych InterCity i EuroCity w Polsce. Dla sieci pocze lotniczych w Polsce uzyskane wyniki skonfrontowano z wynikami bada tych sieci w USA, Chinach, Indiach, Woszech i Hiszpanii. Prac podsumowuj wnioski, w których starano si zinterpretowa otrzymane wyniki oraz okreli perspektyw rozwoju zastosowa sieci zoonych w kontekcie sieci transportowych.

Sowa kluczowe: modelowanie sieci transportowych, sieci zoone, analiza sieci, miary istotnoci

w sieciach

1. WPROWADZENIE

Opisywana w artykule problematyka zwizana jest z sieciami zoonymi, czyli specyficznymi modelami grafowo-sieciowymi obiektów rzeczywistych, których znaczenie w ostatnich latach gwatownie wzroso, kiedy to wyniki bada cech wielu wspóczesnych sieci rzeczywistych potwierdziy, e maj one pewne szczególne waciwoci - inne ni dotychczas sdzono. Badanie sieci zoonych (ang. complex networks), które modeluj ukady zoone [6], jest modym i aktywnym obszarem bada naukowych, w duej mierze

inspirowanym przez empiryczne badania rzeczywistych sieci, np. spoecznych1. Szeroki

przegld zastosowa sieci zoonych przedstawiono m.in. w pracach [6], [9]. Wynika z niego, e wiele sieci rzeczywistych z rónych obszarów ma wasnoci charakterystyczne dla sieci zoonych (potgowy rozkad stopnia wierzchoka, wysoki wspóczynnik klasteryzacji, stosunkowo ma redni odlegoci midzy dwoma dowolnymi wierzchokami w sieci). Wasnoci te krótko przypominamy w rozdziale 3.



1

Szereg wyników dotychczasowych bada ([1], [4], [5], [14]) wskazuje, e do tej grupy zaliczaj si równie sieci transportowe. Dla przykadu, na Rys. 1 przedstawiono sie pocze lotniczych w USA. Wierzchokami w tej sieci s porty lotnicze (miasta), a krawdzie cz te wierzchoki, midzy którymi odbywaj sie loty. Dodatkowo grubo krawdzi wiadczy o czstoci lotów na danym kierunku (im grubsza krawd, tym czstsze loty). Zwró my uwag, e w zwizku z tym, mamy do czynienia z sieci (jako specyficznym grafem), gdy na krawdziach grafu opisano funkcj "czsto lotów" (zamiast uywa krawdzi o rónej gruboci moemy na krawdzi napisa liczb, jako warto tej funkcji). Sie ta jest przykadem sieci posiadajcej pewne charakterystyczne

wasnoci, o których piszemy w rozdziale 3.

Rys. 1. Sie pocze lotniczych w USA, ródo: [15]

Celem niniejszej pracy jest zbadanie, czy wybrane sieci transportowe w Polsce wykazuj cechy wystpujce w sieciach zoonych. Wykazanie tych wasnoci pozwoli np. prognozowa kierunek ewolucji tych sieci, skorzysta w praktyce z praw rzdzcych nimi. Artyku zorganizowany jest nastpujco. W rozdziale 2 i 3 opisano podstawowe miary charakterystyk sieciowych oraz wasnoci sieci zoonych. Rozdzia 4 zawiera wynika bada sieci pasaerskich pocze lotniczych oraz ekspresowych pocze kolejowych InterCity i EuroCity w Polsce, w kontekcie cech sieci zoonych. We wnioskach starano si zinterpretowa otrzymane wyniki oraz okreli perspektyw rozwoju zastosowa sieci zoonych w kontekcie sieci transportowych.

2. MIARY ISTOTNYCH CHARAKTERYSTYK W SIECI

Zaómy, e struktura rozpatrywanej sieci opisywana jest grafem G V E, , gdzie V

jest zbiorem wierzchoków, a E zbiorem krawdzi bd uków (krawdzi skierowanych), ponadto niech |V|=N, |E|=M.

Powstaje zasadnicze pytanie: w jaki sposób mierzy charakterystyki sieci? Sposób tego pomiaru powinien umoliwia "wydobycie" takich jej cech, które istotne s z punktu widzenia analizy systemu zoonego. W literaturze definiuje si tzw. miary centralnoci

wierzchoków, które mierz ich pewne cechy charakterystyczne, jednoczenie okrelajc, który wierzchoek jest najwaniejszy w sieci z punktu widzenia okrelonej miary.

Znormalizowany stopie dci (ang. normalized degree) wierzchoka i:

 1 i i k dc N  (1)

gdzie: ki oznacza stopie wierzchoka i w grafie G.

Najwysz warto tej miary uzyskuje wierzchoek, który ma najwikszy stopie (a zatem ma najbardziej liczne ssiedztwo).

Acentryczno eci (ang. eccentricity) wierzchoka i [7]:

 _i max _ij

j V

ec d

  (2)

gdzie: d_ij – dugo najkrótszej drogi w grafie G midzy wierzchokami i oraz j (dugo

drogi w grafie midzy wierzchokami i oraz j = liczba krawdzi na drodze z i do j).

Im mniejsza warto tej miary, tym lepiej (im krótsza najdusza z najkrótszych dróg, tym lepiej). Warto tej miary jest odwrotnie proporcjonalna do promienia wierzchoka zdefiniowanego poniej.

Promie rci (ang. radius, graph centrality) wierzchoka i [3]:

1 1 max i ij i j V rc d ec  (3)

Najwysz ocen uzyskuje wierzchoek, który jest moliwie najbliej wszystkich najbardziej wysunitych wierzchoków sieci (odlego dzielca go od najdalszego wierzchoka jest najmniejsza).

Blisko cci (ang. closeness) wierzchoka i [3]:

 _i 1 ij j V N cc d  

¦

Wedle tej miary wierzchoek jest tym bardziej centralny, im jest rednio bliej wszystkich innych wierzchoków sieci. W efekcie miara ta pozwala stwierdzi , który z dowolnych dwóch wierzchoków wymaga mniej kroków, aby „skomunikowa ” si z dowolnym innym wierzchokiem sieci.

Obci enie sci (ang. stress) wierzchoka i [3]:

 _{i l i k, ,} l V k l V sc p  z 

¦ ¦

l,i,k – liczba najkrótszych dróg w grafie G midzy wierzchokami l oraz k

Wierzchoek ma tym wiksz warto tej miary im wicej najkrótszych dróg czcych dwa dowolne wierzchoki w sieci przez niego przechodzi.

Porednictwo bci (ang. betweenness, load) wierzchoka i [3]2:

 , , , l i k i l V k l V l k p bc p  z 

¦ ¦

gdzie: p_l,k – liczba najkrótszych dróg w grafie G midzy wierzchokami l oraz k.

Miara ta definiowana jest, jako uamek liczby najkrótszych dróg czcych dwa dowolne wierzchoki sieci, które zawieraj dany wierzchoek. Zazwyczaj wartoci tej miary normalizuje si poprzez uwzgldnienie maksymalnej moliwej liczby najkrótszych dróg

w grafie bdcym grafem penym3.

Wspóczynnik gronowania (klasteryzacji) gci (ang. clusterization) wierzchoka i [8],

[13]:  2 , 1 ( 1) i i i i i E gc k k k  !  (7) gdzie: E

i – liczba krawdzi midzy ssiadami wierzchoka i.

Miara ta opisuje „prawdopodobiestwo”, e pierwsi (tzn. najblisi) ssiedzi4 wierzchoka i

s równie swoimi pierwszymi ssiadami. Wspóczynnik gronowania (klasteryzacji)

odzwierciedla sytuacj, w której zliczamy stosunek trójktów5 wystpujcych w sieci, do

wszystkich trójktów mogcych potencjalnie wystpowa .

Charakterystyki poprzednio opisane dotyczyy wierzchoków grafu (sieci). Zdefiniujemy teraz podstawowe charakterystyki dotyczce sieci.

rednia odlego L (ang. average paths length, rednia dugoci dróg najkrótszych) w sieci [13]:

 1

( 1)i j V ij

L d

N N _{z }

¦

Wspóczynnik gronowania (redni) C (ang. clusterization coefficient) sieci [13]:



2 _{W grafach nieskierowanych warto tej miary dzielona jest przez 2 (midzy par wierzchoków x,y oraz y,x}

wystpuje zawsze ta sama liczba dróg najkrótszych).

3 _{Graf peny to taki graf, w którym kady wierzchoek poczony jest z kadym z pozostaych. W grafie o N}

wierzchokach moemy mie N(N-1) takich pocze.

4_{Potocznie, pierwszymi ssiadami danego wierzchoka nazywa si te wierzchoki, które s z nim poczone}

bezporednio krawdzi (ukiem). Dalszymi (drugimi, trzecimi, itd.) ssiadami nazywa si te wierzchoki, z którymi dany wierzchoek poczony jest porednio poprzez swoich ssiadów (bliszych i innych dalszych).

5

Trójkt w grafie (sieci) to taka jego cz (podgraf) skadajca si z trzech wierzchoków, w której kady wierzchoek z kadym z pozostaych dwóch jest poczony krawdzi (ukiem). Inaczej mówic jest to tzw. klika w grafie (podgraf, w którym kady wierzchoek z kliki z kadymi innym z kliki poczony jest krawdzi) o licznoci wierzchoków 3.

 1 _i

i V

C gc

N

¦

rednica (ang. graph diameter) sieci [7]:

 max i

i V

D ec

  (10)

Promie (ang. graph radius) sieci [7]:

 min _i

i V

R ec

  (11)

rednia stopni wierzchoków (ang. average nodes degree) sieci [13]: 1 i i V k k N

¦

3. PODSTAWOWE WASNOCI SIECI ZOONYCH

grafy regularne6, czy te grafy losowe, jak do niedawna sdzono. S to tzw. sieci zoone,

które posiadaj dwie podstawowe cechy: Small World i Scale Free.

Sieci Small World (sieci maego wiata) maj t cech, e rednia odlego (rednia dugoci dróg, definiowana przez (8)) midzy dwoma dowolnymi wierzchokami jest maa w porównaniu z liczb wierzchoków i sabo zaley od rozmiaru sieci:

 ~ln

ln

N L

k  (13)

Zgodnie ze spostrzeeniami Wattsa i Strogatza [13], sie moe by uwaana za sie maego wiata wtedy, gdy rednia odlego L w tej sieci jest porównywalna ze redni odlegoci w sieci losowej oraz posiada znacznie wiksz warto redniego wspóczynnika gronowania C (opisywanego przez (9)).

Model sieci Scale Free (sieci bezskalowe) [1] charakteryzuje si: staym wzrostem rozmiaru sieci (ewolucja, spontaniczno ); preferencyjnym doczaniem nowych wierzchoków do sieci; potgowym rozkadem stopnia (k) wierzchoka:

( ) ~

P k kJ (14)



6

gdzie: J jest parametrem rozkadu, np. dla sieci internetowej J # 2.5, dla sieci cytowa

artykuów naukowych z tzw. listy filadelfijskiej J# 3.15, dla sieci mocy trzsie ziemi

J# 1.88 [6]. W praktyce parametr J w sieciach rzeczywistych w zasadzie nie przekracza

wartoci 3. Potgowy rozkad stopnia wierzchoka jest podstawow cech tych sieci i decyduje o tym, e wikszo wierzchoków ma niski stopie, ale niektóre (stosunkowo mao wzgldem rozmiaru sieci) maj bardzo duy stopie. Sie typu Scale Free jest bardzo odporna na ataki losowe, ale jest bardzo nieodporna na ataki celowane [10]. Jeeli z kolei rozpatrujemy t sie z punktu widzenia propagacji informacji (plotki, opinii), to jest ona szybka, ale jednoczenie szybka jest propagacja bdu, wirusa, awarii.

4. CHARAKTERYSTYKI WYBRANYCH SIECI

TRANSPORTOWYCH W POLSCE

W rozdziale tym przedstawimy wyniki bada dwóch sieci rzeczywistych w Polsce: sieci krajowych pocze pasaerskich w ruchu lotniczym oraz sieci ekspresowych pocze kolejowych InterCity (IC) i EuroCity (EC). S to wprawdzie sieci maych rozmiarów, ale i dla nich mona zaobserwowa pewne ciekawe wasnoci.

Rys. 2. Sie S1 rozkadowych pocze lotniczych w Polsce, stan na III.2013 ródo: opracowanie wasne na podstawie danych Eurolot (LOT) i SprintAir

Sie S1 z Rys. 2, której charakterystyki wierzchoków przedstawiono w Tablicy 1,

posiada 10 wierzchoków oraz 12 krawdzi (na krawdziach opisano nazw przewonika). Rozkad stopnia wierzchoka w tej sieci (Rys. 3) jest zbliony do potgowego: istnieje jeden wierzchoek centralny (Warszawa), który ma bardzo duo krawdzi przylegych a zdecydowana wikszo wierzchoków tej sieci ma mao tych krawdzi.

Tablica 1

Charakterystyki wierzchoków sieci pocze lotniczych z Rys. 2

Wierzchoek i Degree ki Normalized degree dci Eccentricity eci Radius rci Closeness cci Betweenness bci Clusterization gci Bydgoszcz 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Gdask 3 0.33 2 0.2 1.67 0.5 0.67 Katowice 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0.17 Kraków 3 0.33 2 0.2 1.67 0.5 0.67 Pozna 2 0.22 2 0.2 1.78 0 1 Rzeszów 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Szczecin 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0 Warszawa 9 1 1 0.1 1 32 0.08 Wrocaw 2 0.22 2 0.2 1.78 0 1 Zielona Góra 1 0.11 2 0.2 1.89 0 0

Rys. 3. Rozkad stopnia wierzchoka dla sieci pocze lotniczych z Rys. 2

(ródo: opracowanie wasne)

Tablica 2

Charakterystyki wierzchoków sieci pocze lotniczych na wiecie [14] oraz w Polsce

Sie N M L C J wiat 3883 27051 4.4 0.62 1.0 USA 272 6566 1.9 0.73 2.63 Chiny 128 1165 2.07 0.73 4.16 Indie 79 442 2.26 0.66 2.2 Wochy 42 310 1.97 0.10 1.7 Hiszpania 35 123 1.84 0.78 - Polska 10 12 1.73 0.36 -

W Tablicy 2 dokonano porównania podstawowych charakterystyk sieci z Rys.2 z analogicznymi sieciami w kilku krajach wiata (troch inne wartoci parametrów z Tablicy 2 dla USA podano w [4], a dla Chin w [12]). Sie w Polsce charakteryzuje si

ma redni odlegoci midzy dowoln par wierzchoków (L=1.73; oznacza to, e rednio 0.73 przesiadki potrzeba, aby dosta si z dowolnego wierzchoka do innego w tej sieci) i jest to warto najmniejsza sporód sieci w tabeli, ale jednoczenie ma stosunkowo may wspóczynnik klasteryzacji (mniejszy posiada tylko sie we Woszech). Zgodnie z interpretacj wartoci tej miary, w sieci w Polsce "prawdopodobiestwo", e ssiedzi dwóch wierzchoków, midzy którymi istnieje bezporednie poczenie te maj bezporednie poczenie wynosi C=0.36.

Rys. 4. Sie S2 ekspresowych pocze kolejowych w Polsce, stan z 2007 roku, ródo: opracowanie wasne na podstawie http://www.intercity.pl

Tablica 3

Charakterystyki wierzchoków sieci ekspresowych pocze kolejowych z Rys. 4

Wierzchoek i Degree ki Normalized degree dci Eccentricity eci Radius rci Closeness cci Betweenness bci Clusterization gci Gdask 2 0.17 4 0.25 2.42 20 0 Gdynia 2 0.17 5 0.20 3.17 11 0 Gliwice 2 0.17 5 0.20 2.50 5 0 Katowice 4 0.33 4 0.25 2.17 17 0.17 Kraków 2 0.17 4 0.25 2.50 0 1 eba 1 0.08 6 0.17 4.08 0 0 Pozna 4 0.33 4 0.25 2.00 30 0 Rzepin 1 0.08 5 0.20 2.92 0 0 Szczecin 1 0.08 5 0.20 2.92 0 0 Warszawa 4 0.33 3 0.33 1.83 37 0.17 Wrocaw 3 0.25 5 0.20 2.42 14 0 Zebrzydowice 1 0.08 5 0.20 3.08 0 0 ary 1 0.08 6 0.17 3.33 0 0

Sie S2 z Rys. 4, której charakterystyki wierzchoków przedstawiono w Tablicy 3,

posiada 13 wierzchoków oraz 14 krawdzi (na krawdziach opisano rodzaj poczenia). Rozkad stopnia wierzchoka w tej sieci (Rys. 5) jest zbliony do potgowego: istnieje kilka wierzchoków centralnych (Warszawa, Pozna, Katowice), które maj stosunkowo duo krawdzi przylegych a zdecydowana wikszo wierzchoków tej sieci ma mao tych krawdzi. Sie ta charakteryzuje si stosunkowo ma redni odlegoci midzy dowoln par wierzchoków (L=2.72; oznacza to, e rednio 1.72 przesiadki potrzeba, aby dosta si z dowolnego wierzchoka do innego w tej sieci), ale jednoczenie ma bardzo may

wspóczynnik klasteryzacji (C=0.1). Tablica 4 zawiera porównanie charakterystyk sieci S1

i S2.

Rys. 5. Rozkad stopnia wierzchoka dla sieci S2 kolejowych pocze ekspresowych z Rys. 4, ródo: opracowanie wasne

Tablica 4

Charakterystyki sieci pocze lotniczych oraz kolejowych IC i EC w Polsce

Sie N M D R L C k J

S1 10 12 2 1 1.73 0.36 2.60 -

S2 13 14 6 3 2.72 0.10 2.15 0.71

5. WNIOSKI

Wyniki uzyskane w pracy pozwalaj stawia tez, e badane sieci transportowe w Polsce wykazuj cechy sieci zoonych. Wprawdzie niski wspóczynnik klasteryzacji

sieci S2 zmusza do zastanowienia si, czy sie ta posiada wasnoci sieci zoonych, to

jednak moe to wynika ze zbyt maych rozmiarów tej sieci. Skdind wiadomo, e niektóre sieci transportowe, np. sie uliczna w miecie, maj t cech charakterystyczn (im bliej centrum, tym bardziej widoczn), e stopie wierzchoka jest taki sam i wynosi 4 (prostopade skrzyowania), czyli s sieciami lokalnie regularnymi. Jak pokazuj jednak badania cho by w [2], [5], im wiksz skal przyjmiemy (z mikrosieci przechodzimy do makrosieci), tym lepiej wida cechy Scale Free i Small World sieci drogowych. Zwró my

wykonamy celowany atak na wierzchoek o najwikszym stopniu (Warszawa), to degradujemy (rozspójniamy) t sie ju po pierwszym ataku.

Na wiecie trwaj obecnie intensywne prace nad dokadnym badaniem sieci zoonych. Prace te próbuj znale odpowiedzi na nastpujce pytania:

x czy istniejce algorytmy w „zwykych” sieciach s tak samo skuteczne, wydajne, dokadne w sieciach zoonych?

x jakie jeszcze obiekty rzeczywiste (oprócz zbadanych) mona adekwatnie modelowa z wykorzystaniem sieci zoonych (Scale Free i Small World)?

x jak modelowa przebieg ewolucji sieci oraz adekwatno opracowanego modelu? x jak uwzgldnia charakterystyki ilociowe sieci przy takich analizach [11]?

Odpowiedzi na te pytania pozwol w stosunku do sieci zoonych, do których zaliczaj si równie sieci transportowe, z wiksz pewnoci i dokadnoci je modelowa , optymalizowa , przewidywa ich ewolucj.

Bibliografia

1. Barabási A.L., Albert R.: Emergence of scaling in random networks, Science, vol. 286 (1999), pp.509-512.

2. Berche B., von Ferber C., Holovatch T., Holovatch Yu.: Transportation Network Stability: A Case Study of City Transit. Advances in Complex Systems, 15 (2012), pp.1-19.

3. Brandes U.: A Faster Algorithm for Betweenness Centrality. Journal of Mathematical Sociology, 25 (2), 2001, s.163-177.

4. Cheung D., Gunes M.H.: A Complex Network Analysis of the United States Air Transportation. Proceedings of the 2012 IEEE/ACM International Conference on Advances in Social Networks Analysis and Mining, 26-29 August, 2012, Kadir Has University, Istanbul, Turkey, pp.699-701.

5. von Ferber C., Holovatch T., Holovatch Yu., Palchykov V.: Public Transport Networks: Empirical Analysis and Modeling. Eur. Phys. J. B, 68 (2009), s.261-275.

6. Fronczak A., Fronczak P.: wiat sieci zoonych: Od fizyki do Internetu. PWN, Warszawa 2009. 7. Hage P., Harary F.: Eccentricity and centrality in networks. Social Networks, 17 (1995), pp. 57-63. 8. Latapy M.: Main-memory Triangle Computations for Very Large (Sparse (Power-Law)) Graphs.

Theoretical Computer Science (TCS), 407 (1-3), 2008, s.458-473.

9. Tarapata Z.: Czy sieci rzdz wiatem? Od Eulera do Barabasiego. Biuletyn Instytutu Systemów Informatycznych, 10 (2012), s.31-51.

10. Tarapata Z., Kasprzyk R.: Graph-Based Optimization Method for Information Diffusion and Attack Durability in Networks. RSCTC 2010, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 6086 (2010), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, s.698-709.

11. Tarapata Z., Kasprzyk R.: An Application of Multicriteria Weighted Graph Similarity Method to Social Networks Analyzing. Proceedings of the 2009 International Conference on Advances in Social Network Analysis and Mining, 20-22.07.2009, Athens (Greece), IEEE Computer Society, s.366-368.

12. Wang J., Mo H., Wang F., Jin F.: Exploring the network structure and nodal centrality of China’s air transport network: A complex network approach. Journal of Transport Geography, 19 (2011), pp.712–721.

13. Watts D., Strogatz S.: Collective dynamics of ‘small-world’ networks. Nature, vol. 393 (4 June 1998), pp. 440-442.

14. Zanin M., Lillo F.: Modelling the Air Transport with Complex Networks: a short review. The European Physical Journal Special Topics, January 2013, vol.215, Issue 1, pp.5-21.

ANALYSIS AND MODELLING OF TRANSPORTATION NETWORKS USING COMPLEX NETWORKS

Summary: In the paper a theoretical bases and empirical results deal with analysis and modelling of

transportation networks using complex networks have been presented. Properties of complex networks (Scale

Free and Small World) and network's characteristic measures have been described. In this context, results of

empirical researches connected with characteristics of passenger air links network and express railway links network (EuroCity and InterCity) in Poland have been given. For passenger air links network in Poland results are compared with the same networks in USA, China, India, Italy and Spain. In the conclusion some suggestions, observations and perspective dealing with complex network in transport networks have been presented.

Keywords: modelling of transport networks, complex networks, network analysis, gravity measures