Metingen aan vrije supersone stralen

METINGEN AAN

VRIJE SUPERSONE STRALEN

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT. OP GEZAG VAN DE RECTOR MAG-NIFICUS OR. R. KRONlG. HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER TECHNISCHE NATUUR-KUNDE, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 28 OKTOBER 1959 DES NAMIDDAGS TE 2 UUR

DOOR

JOHAN ADRIAAN

WERKTUIGKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE HALSTEREN (N.BR)

INHOUD

Lijst van de meest gebruikte symbolen 7

Inleiding 9

Hoofdstuk I

A 1gemene aspecten van vrije supersone gasstralen 14

§ 1. Definities 14

§ 2. Enige elementaire relaties 15

§ 3. Indeling van vrije supersone stralen 17 A. Twee -dimensionale supersone stralen 18 § 4. De twee -dimensionale onderg'~ëxpandeerde straal

(Q

> 1), waarin

PI-Prn klein is 18 § 5. De twee-dimensionale onderge~xpandeerde straal

(Q

>

1), waarin PI-Prn groot is 19 § 6. De twee-dimensionale overgeëxpandeerde straal

(Q

<

1) 21

§ 7. De twee-dimensionale aangepaste straal (Q = 1) 21 B. Axiaalsymmetrische supersone stralen 22 § 8. De axiaalsymmetrische ondergeëxpandeerde straal.

Vergelijking met de twee-dimensionale

ondergeëx-pandeerde straal 22

§ 9. De axiaalsymmetrische overgeëxpandeerde straal

(Q

<

1) 25

§ 10. De axiaalsymmetrische aangepaste supersone straal. (Q

=

1). Algemene opmerkingen over het mengproces 26 § 11. Overzicht van de diverse straalvormen en hun

ken-merken 28

Hoofdstuk II

De menging van vrije stralen met de omgeving 30

§ 12. Inleiding 30

§ 13. De grond-integraalvergelijkingen voor de ronde

straal 30 § 14: § 15. § 16. § 17. Re atles tussen, [, q[, 'l .

oU

or

en ~ oT

Substitutie van (2.6) en (2.7) in de grondverge-lijkingen

Herleiding van de grondvergelijkingen een voor de meetresultaten toegankelijke vorm

Numerieke bewerkingen Hoofdstuk III

Beschrijving van de opstelling, de meetapparatuur en

31 33 35 36 de optiek 38 § 18. De opstelling 38 § 19. De meetapparatuur 41 § 20. De drukmetingen 42 § 21. De temperatuurmetingen 45 § 22. De optische waarnemingen 50

Hoofdstuk IV

Meetresultaten en conclusies 56

§ 23. Inleiding 56

§ 24. De mengparameter K 58

§ 25. Resultaten van serie 1 59

§ 26. Resultaten van serie 2 69

§ 27. Resultaten van serie 3 69

§ 28. Resultaten van serie 4 71

§ 29. Resultaten van serie 5 71

§ 30. Resultaten van serie 6 75

§ 31. Nauwkeurigheid der resultéiten 75

§ 32. Vergelijking der resultaten met die van anderen. Onderlinge vergelijking van de resultaten in de

zes 8eries 77

§ 33. Copclusies 79

Samenvatting 80

Summary 81

LIJST VAN DE MEEST GEBRUIKTE SYMBOLEN

Er is naar gestreefd de in de literatuur gebruikelijke notatie aan te houder... Daardoor is in enkele gevallen niet kunnen worden voorkomen, dat eenzelfde symbool voor de aanduiding van ver-schillende grootheden is gebruikt. Uit de tekst zal in die gevallen echter direct duide lij k zijn I we lke aanduiding van toepassing is.

symbool betekenis dimensie

a a A c cp,cv D e f h H i I k K,K' KIV 1 L M n p p' Pr q r r rb ro r'o R R s T T' geluidssnelheid warmtevereffeningscoëfficiënt doorsnedeoppervlak in de straalbuis constante

soortelijke warmte bij constante druk, resp. constant volume

diameter van de straalbuismond turbulent equivalent van àynamische viscositeit

constante

halve hoogte van de zone met verlopende lic htintensiteit

voorwerpshoogte lic htintensite it lichtintensite it

turbulent equivalent van warmtegeleidings-coëfficiënt

mengparameters

mengparameter volgens Warren straal van het broncirkeltje "golflengte" van een "cel" geta 1 van Mac h

bre kingsindex druk

druk achter eventuele schokgolf getal van Prandtl

warmtestroomdichtheid recovery factor

ordinaat in de straal halve straalbreedte halfwaarde straal van f:u halfwaarde straal Vél.n u

gasconstante per massa-eenheid straal van de optie k

entropie temperatuur

temperatuur achter een eventuele schokgolf

m /sec m 2 /sec m2 Nsec/m2 m m lux lux N /sec oK m/sec m m N/m2 N/m2 N /m sec mm mm mm mm Nm /kg oK m Nm/oK oK oK

U VI V W2 x y cc: y D. € À. v p

p'

cr

1: Q Indices axiale snelheid radiale snelheid voorwerpsafstand

t

M2 Y dy o I

'

r

M 0'

'fT'

y dy I

.

M

) ToWydy

abcis in de straal gerekencLvanaf de tuitmond in enige figuren

ordinaat in de straal

afbuigingshoek van een lichtstraal

verhouding der soortelijke warmten c /cv

afstand tussen voorwerpsvlak en lichtbron turbulent equivalent van de kinematische

viscositeitsco~ffici~nt

v

dynamische viscositeitsco~fficiënt

turbulent equivalent van de warmtevereffe -ningscoëfficiënt a

warmtegeleidingsco~ffici~nt

kinematische viscositeitscoHficiënt dichtheid

dichtheid achter eventuele schokgolf vervormingsspanning J.. oppervlak sc huif spanning

expansie getal

I ter plaatse van doorsnede I

*

of.keel kritische waarde van de betreffende groot-heid

g door meetinstrument aangegeven waarde van de betreffende grootheid

1 "laminaire" grootheid m omgevingstoestand o reservoirtoestand

r in radiale richting, ter plaatse van r s suskamertoestand

t "turbulente" grootheid

x ter plaatse van x, in axiale richting as waarde van de grootheid op de straalas

m/sec m/sec m mm2 mm cm mm m m2_/sec Nsec/m2 m2_/sec N/oK sec

rn2

/sec kg/m3 kg/m3 N/m2 N/m2

INLEID ING

Het gedrag van gasstralen - ook wel aangeduid met de angel-saksische benaming "jets" - geniet reeds vanaf het begin. van de ontwikkeling van de aerodynamica belangstelling. Deze belang-stelling vindt haar oorsprong deels in een zuiver. wetenschappelijk streven naar inzicht, deels in het feit, dat gas stralen op velerlei wijzen voorkomen in de techniek. Wij noemen hiervan slechts enige:

1. straalpompen (ejecteurs) 2. diverse typen turbines

3. problemen betrekking hebbende op vlammen 4, reactie-voortstuwingsapparaten (straalmotoren) 5. ventilatieproblemen.

Het indelen van stralen kan op diverse wijzen geschieden. Een belangrijk criterium is hierbij of het straalmedium als samen-drukbaar of als onsamensamen-drukbaar is op te vatten. Een ander niet minder belangrijk criterium is het al of niet supersoon zijn van de straal. Een derde belangrijke factor is de bewegingstoestand van het omringend medium.

Reeds in de tweede helft van de 1ge en het begin van deze eeuw verschenen verhandelingen over het gedrag van vrije - d. i. in de vrije atmosfeer uitstromende - stralen 1.2."3'.4.22.22a.

Tollmien 5 was één der eersten, die een geslaagde analytische beschrijving gaf van het turbulente mengproces bij een onsamen-drukbare gasstraal. Uiteraard bleven toen (1926) nog vele vragen onbeantwoord. Zijn theorie was gebaseerd op de impulstransport-theorie van Prandtl.

Howarth 6 gaf in 1938 een oplossing I welke gebaseerd was op

de werveltransport-theorie van Taylor. In hetzelfde jaar paste Tomotika 7 de z. g. "modified vorticity transport theorytt toe.

Kuethe 8 vestigde in 1935 de aandacht op het be staan van een z. g. potentiaalkern in de straal. Deze kern is bij een ronde straal kegelvormig, waarbij de basis samenvalt met het uitstroomvlak van de tuit, terwijl de top op de straalas is gelegen, op een af-stand van enige malen de tuitdiameter stroomafwaarts van de tuitmond.

Lin 9 gaf in 1947 een overzicht van de diverse theorieën, zowel voor laminaire als turbulente stralen. Hij gaf daarbij tevens een eigen oplossing voor de turbulente straal, welke op de turbulen-tie-theorie van Chou 10 is gebaseerd.

In 1948 verscheen een artikel van Hinze en Van der Hegge Zijnen ll,lla over een experimentele studie van de snelheids-, temperatuur- en concentratieverdeling in een ronde turbulente straal. Zij vergeleken hun resultaten met die van anderen en wel wat d.e snelheidsverdeling betreft met Trüpel 12, de experimenten

uitgevoerd bij het Aerodynamische Versuchanstalt te Göttin,

-gen 13, de p!oeven van Ruden 14 en van Reichardt ]5 en met de

re-sultaten van Corrsin 16. De overeenkomst in de resultaten was

redelijk te noemen. Het gevonden temperatuurverloop werd ver-geleken met de uitkom sten van Ruden 14 en Corrsin 16. Ook hierbij was sprake van goede overeenkomst.

Er kon worden geconcludeerd, dat er na enige tuitdiameters afstand stroomafwaarts een zeer hoge graad van affiniteit bestaat

tussen de op diverse afstanden van de tuitmond gelegen

snelheids-en temperatuurprofielsnelheids-en, hetgesnelheids-en volgsnelheids-ens Hinze en Van der Hegge

Zijnen ook geldt voor de concentratieverdeling van het gas in de

omringende atmosfeer,

Gevonden werd, dat de turbulente schuifspanningscoëfficiënt ~

kon worden uitgedrukt als functie van x en u_as en wel als volgt:

E

=

0,00196 (x

+

d) _{u as} 1.1

waarin d de fictieve afstand van de schijnbaar puntvormige

straal-bron tot de tuitopening voorstelt.

In een voortgezette studie (in 1947) maten Corrsin en Uberoi 16a

het getal van Prandtl Pr in een verwarmde straal en kwamen tot

de conclusie, dat dit "at a section in the fully developed jet away

from axis and edge is roughly constant".

Coaxiale, onsamendrukbare stralen werden op. overeenkomsti-ge wijze behandeld door Squire en Trouncer 7 in 1944, door Forstall en Shapiro 18 in 1950 (experimenteel) en door Acharya

in 1954 (experimenteel). Aan dit onderwerp zal echter nog veel

aandacht moeten worden besteed.

Bovenstaand overzicht van werk op het gebied van

onsamen-drukbare stralen is geenszins volledig, maar geeft wel in grote

trekken de ontwikkeling aan.

Het gedrag van stralen van

samendrukbare media

is veel

ge-compliceerder dan dat van onsamendrukbare stralen. Wij

behoe-ven slechts te wijzen op het feit, dat het aantal variabele

toe-standsgrootheden, dat het proces beheerst, met één (de dichtheid)

stijgt. Het is dan ook niet te verwonderen, dat zowel de theoreti-sche als de experimentele ontwikkeling op dit gebied relatief verre ten achter staat bij die van de onsamer:drukbare stralen.

Ten aanzien van de waarnemingen aan deze categorie van stra-len kan evenwel worden opgemerkt, dat het, juist door het intre-den van deze nieuwe variabele, mogelijk is optische waarnemingen te verrichten.

Wij kunnen zelfs vaststellen, dat tot dusver de meeste gege-vens over samendrukbare stralen langs optische weg zijn ver-kregen.

Bij het spreken over stralen van samendrukbare media wordt meestal gedacht aan supersone stralen. Evenwel dienen ook de hoog subsone stralen en de stralen, waarin grote temperatuur-gradiënten voorkomen tot deze categorie te worden gerekend. Deze gevallen, waarbij de effecten tengevolge van snelheid en

temperatuur op de dichtheid van het gas afzonderlijk beschouwd mogen worden, zijn theoretisch zeer uitgebreid behandeld door Abramovich 19. Hij vond, dat het effect van de samendrukbaar-heid op de fundamentele mengeigenschappen van de straal ver-waarloosbaar is~ zolang de straal su.bsoon is.

Su per s 0 n e s tra 1 en. fret gedrag van supersone stralen is in hoge mate verschillend van dat van subsone stralen. Een zéér belangrijk verschijnsel hierbij is het optreden van de z. g. cellen-structuur bij de niet-aangepaste

*

supersone straal. Een groot deel van het tot nu toe ovei' supersone stralen verschenen werk handelt dan ook over deze cellenstructuur.

In 1889 bestudeerden E. Mach en Salcher 2 door middel van slierten- en schaduwmethode (optisch) de cellenstructuur. L. Mach 3 maakte met behulp van de interferometer er! sliertenme-thode overeenkomstige studies, speciaal van het eerste deel van een supersone straal.

Emden 21 was de eerste, die een systematische studie van de supersone straal maakte (1899) en een empirische formule op-stelde over de "golflengte" van de periodieke structuur van een

supersone straal, welke in een rustend medium treedt.

In 1904 ontwikkelde Prandtl 22,22a een formüle voor de golf-lengte van een niet aangepaste supersone straal door middel van een gelineariseerde theorie.

Ook Von Kármán 23 en Lord Rayleigh 24 leverden bijdragen in

deze richting.

De eerste kwantitatieve metingen van de dichtheidsverdeling in

een supersone straal werden gedaan in 1914 door Cranz en Glat-zeI 25 en wel wederom optisch, n. 1. met een interferometer.

Stanton 26 deed in 1926 metingen met pitotbuizen in de nabijheid van de tuit en langs de as van een supersone straal.

In 1929 werd door Prandtl en Busemann 27 als eersten de

ka-rakteristieken-methode op de tweedimensionale supersone str3al

toegepast. Hun theorie bleef beperkt tot gevallen, welke weinig afwijken van de aangepaste toestand, dus met geringe statische

drukverschillen in de straal.

J. Hartmann en F. La:larus 28 deden drukmetingen langs de as en maakten sliertenfoto's van de schokgolven-formatie (zie hoofd-stuk I) van een niet-aangepaste sonische straal (1941) .

In 1947 verscheen een verhandeling van Sauer ~9 met een bere-kening van een axiaal-symmetrische supersone straal volgens de karakteristie ken -methode.

Pack 30 breidde in 1948 de rekenmethode van Prandtl èl1 Buse-mann uit tot grotere drukverschillen (tweedimensionaal).

Pack 31 kwam in 1950 met een correctie op de formule welke door Prandtl in 1904 was afgeleid (zie boven).

In 1949 maakten Gooderum, Wood ea Brevoort32 _een

experi-• Een supersone straal noemen we .. aangepast" als de statische ui ttreeJruk in dc tu itmond gelijk

mentele (interferometrische) studie van het dichtheidsverl-oop in het eerste deel van de mengzone van een supersone aangepaste straal.

Rousso en Kochendorfer 33,34 deden enige snelheids- en

tem-peratuurmetingen ter bepaling van de grens van een niet aange-paste (ondergeëxpandeerde) straal tot 8 tuitdiameters stroomaf-waarts.

Voorts is vermeldenswaard het vele theoretische werk van

Pai 35 over stralen, in het bijzonder zijn werk 36 over het gedrag

van supersone stralen in een in de richting van de straalas bewe-gend medium. Zijn conclusies zijn, dat de periodieke structuur in het geval van subsoon bewegend medium behouden blijft, maar bij supersoon medium verloren gaat. Dit laatste is experimenteel

bevestigd door Wilder en Hindersinn 37 en blijkt tevens uit het

werk van Rousso en Baughmann 38.

Van recente datum is het werk van Pai 39 over

warmtetrans-port in laminaire stralen.

Warren 40 deed enig theoretisch en experimenteel werk aan

axiaal-symmetrische stralen in nauwe samenwerking met Pitkin

4;

welke drukmetingen deed aan een aangepaste straal met MI = 2,6.

De laatste ondervond bij zijn metingen hinder van de lage uit-stroom kwaliteit van de straal. Warren nam een zeer eenvoudig

verband tussen de dichtheid p en de snelheid u in de straal aan,

n.1. :

PI

-

Pm

P

- Pm

= 2 u2

uI 1.2

(de. indices m en I duiden resp. de omgevingstoestand en de

toe-stand ter plaatse van de tuitmond aan), terwijl voor de snelheid

uas r

u

=

- 2 (1

+

cos TI - )

rb

werd aangenomen, waarin ~ de straalrand beschrijft.

1.3

(1. 2) en (1. 3) werden gesubstitueerd in de impulsvergelijking ..

Voor de schuifspanning 1" werd gesubstitueerd:

1.4 waarin Kween evenredigheidsfactor voorstelt met de dimensie van een snelheid. Na vergelijking met de metingen van Pitkin

vindt Warren: Kw/UI = 0,0033.

Voorts zijn temperatuurrnetingen aan supersone stralen bekend

van Sloop en Morrell 43. Zij deden enige temperatuurmetingen aan

twee dicht naast elkaar gelegen en interfererende ondergeëxpan-deerde stralen. Deze metingen waren echter zeer summier.

In 1956 verscheen van de hand van Krzywoblochi 44 een

opsom-ming en indeling van literatuur over stralen, waarin een grote mate van volledigheid is bereikt.

13 Het doel, dat wij ons hebben gesteld, is een bijdrage te leveren tot de gegevens over de vrije supersone straal. Gemeten werd aan twee groepen stralen met resp. MI

=

1,74 en MI

=

1,00. Zowel de aangepaste als de niet-aangepaste toestanden werden bestu-deerd.

In hoofdstuk I worden de belangrijkste kwalitatieve eigenschap-pen van vrije supersone stralen in het kort besproken, mede aan de hand van eigen fotografische opnamen.

In hoofdstuk II wordt de afleiding gegeven van de formules, waarmee de gemeten grootheden tot eindresultaten verwerkt kun-nen worden.

In hoofdstuk III wordt de gebruikte opstelling en de meettem -peratuur beschreven, waarbij enige interessante aspecten op de voorgrond treden.

In hoofdstuk IV te_nslotte zijnde resultaten systematisch ge-ordend vermeld. Bepaald werden in een deel van de stralen, het getal van Prandtl Prt, de schuifspanningscoëfficiënt e en de

warm-tegeleidingsc~fficiënt k. De invloed van het niet-aangepast zijn van een supersone straal wordt nagegaan.

De ·ëindresultaten blijken te kunnen worden uitgedrukt met be-hulp van een z. g. mengparameter K, welke sterke overeenkomst vertoont met de door Warren gebezigde grootheid Kw

lUI.

Hoofdstuk I

ALGEMENE ASPECTEN VAN VRIJE SUPERSONE GASSTRALEN

§ 1.

Definities

Onder een supersone straal verstaan wij een straal, waarvan de deeltjes bij het passeren van de einddoorsnede van de straal-buis een snelheid uI bezitten, welke groter is dan de plaatselijke

geluidssnelheid al.

Onder straalbuis dient hier te worden verstaan een leiding met een open uiteinde.

Een supersone straal ontstaat, wanneer het einddeel van de straalbuis is uitgevoerd in de vorm van een z. g. lavalbuis. Dit is een buis, waarvan. de doorsnede in de stromingsrichting achter-'eenvolgens convergeert en divergeert.

In het leidingsysteem denken wij ons - zo dicht mogelijk bij de lavalbuis - een z. g. suskamer aangebracht. Deze wordt veron:-dersteld zo groot te zijn, dat het gas er practisch in rust ver-keert. De toestandsgrootheden van het gas in deze suskamer worden met de index os aangeduid. Daarbij duidt 0 op de reser-voir·-toestand en s op de sus kamer .

De einddoorsnede van de lavalbuis duiden wij met doorsnede I aan. De daar heersende toestandsgrootheden van het gas dragen de index I (PI, PI,

Td.

In figuur 1.1 is het bovenstaande schema-tisch weergegeven.

_~-..ond I

I I ...

Fig. 1.1 Suskamer met IavaIbuis.

Indien nu pos boven een bepaalde waarde wordt gehouden, treedt in de leiding het volgende stromingsbeeld op. Vanuit de suskamer stroomt het gas in de convergerende leiding en wordt daarin ver-sneld tot het in de nauwste doorsnede (ukeeldoorsnede") de plaat-selijke geluidssnelheid bereikt

*.

Het divergerende buisdeel maakt het de stroming vervolgens mogelijk te expanderen tot een in stromingsrichting verder dalende druk. Dit gaat gepaard met een na de keel voortgezette versnelling tot snelheden boven de

ge-• Er kan eenvoudig worden bewezen, dat de snelheid in een keeldoorsnede maximaal gelijk aan de plaatselijke geluidssnelheid is.

luidssnelheid. Tenslotte treedt het gas in doorsnede I uit in de vorm van een supersone straal met een snelheid uI ) al'

Als karakteristieke grootheden voor de straal kunnen aange-merkt worden:

UI

I' het getal van Mach MI =

al 2, de temperatuur TI 3. de druk PI 4. de dichtheid PI ,r75'

vu'-,

5. de turbulentie graad (--) u I

6. de diameter D (in het tweedimensionaal geval de tuit-hoogte).

In het volgende veronderstellen wij, dat

(Vu"2")

zeer klein is.

, u I

Een straal wordt vrij genoemd, wanneer zij slechts wordt be

-invloed door het medium dat haar omringt, waarbij dat medium aan de volgende voorwaarden moet voldoen:

1. het moet zich onbegrensd uitstrekken; 2. het is op grote afstand van de straal in rust;

3. het ondervindt geen andere dan van de straal uitgaande in-vloeden.

De physische grootheden van het omringel1d medium worden gekenmerkt met de index m.

In het volgende zullen wij ons bepalen tot ideale gassen. Daar-voor luidt de toestandsvergelijking per massa-eenheid:

pip = RT 1.1

waarin p de druk, P de dichtheid, R de gasconstante per massa-eenheid en T de temperatuur betekent.

S

2.

Enige elementaire relaties

In deze paragraaf zullen wij de afleidingen geven van enige re-laties, welke bestaan tussen de in § 1 genoemde grootheden. Deze relaties zullen van belang blijken te zijn in het verdere betoog.

Wij gaan daarbij uit van de volgende veronderstellingen: 1. De stroming vanaf de suskamer tot doorsnede I is

isentro-pisch.

2. Het gas is als ideaal gas met constante soortelijke' warmte op te vatten.

3. Het gas bezit in de suskamer de reservoirtoestand.

4. De condities zijn zodanig, dat vanaf de keel tot doorsnede I

M)1.

5. De invloed van grenslagen wordt verwaarloosd.

waarin: a = de geluidssnelheid

s = de entropie

Voor een ideaal gas geldt bij isentropische stroming:

~= (L)Y

Po Po

1.2

1.3

waarbij y de verhouding van de soortelijke warmtè bij resp.

con-stante druk en constant volume voorst.elt (y

=

cp/cv), zodat (1.2)

voor een ideaal gas overgaat in: a2

₌

_y

E-P

1. 2a

De wet van behoud van energie langs een adiabatische stroom-lijn luidt:

cvT

+

~

+

î

u2

=

const.

=

cpTo 1.4

met

%

=

RT en Cp - Cv

=

R (gasconstante per massa-eenheid) wordt

dit:

Met behulp van (1. 1), (1.2) en (1. 3) gaat (1.5) over in:

Y.:l

y-1

Y..:1.

2 T o Po Y Po

1

+

2 M

=

T

=

(p)

=

(p) 1. 6

Het in doorsnede I bereikte Machgetal is alleen een functie van

de diameterverhouding van keel- en f.ünddoorsnede, zoals blijkt uit het volgende. Noemen wij de keeldoorsnede A* en de grootte van doorsnede I Al' dan luidt de continuïteitswet in dit geval:

waarin de index

*

de condities in de keel aanduidt.

Met behulp van (1. 6) wordt (1. 7):

1.7

M*~

M* A*

=

-p-u-

=

MI 'lyPI PI '

=

MI p* P* y+1 Po Po

=

_1_ [_2_ (1

+

r.:.!..

M 2)] 2(y -1) PI P I MI Y +1 2 I Po Po 1.8

Daarbij is gebruik gemaakt van de wetenschap, dat M* = 1. Voor

een bepaalde lavalbuis ligt MI dus vast, terwijl daaruit volgt, dat

17

_...L

Y..:...!

2 y-1

PI '" Pos (1

+

2 MI) 1.9 Hierbij is Pol = Pos gesteld, gezien de veronderstellingen 1 en 3 aan het begin van deze paragraaf.

Evenzo geldt:

T T (1

+

Y - 1 M 12) -1

1 = os -2- 1. 10

waarbij weer TOl = Tos is gesteld.

Is de stroming niet isentropisch maar wel adiabatisch, dan blijft (1. 10) geldig (TOl = To~). (1. 9) moet dan echter worden aan-gevuld met een correctieterm tiPI, omdat dan Pol

<

Pos.

In hoofdstuk III wordt deze correctie besproken. Zij blijkt slechts experimenteel te kunnen worden bepaald en in ons geval niet groot te zijn.

§ 3.

Indeling van vrije supersone stralen

Uit § 2 blijkt, dat voor een bepaalde lavalbuis de druk PI slechts een functie van Pos is, wanneer wordt aangenomen, dat MI

>

1

(formule 1. 9). •

Daaruit volgt, dat PI onder genoemde conditie geheel onafhan-kelijk van Pro is. Het blijkt nu, dat de verhouding:

Q =

.!2.

Pro 1.11

bepalend is voor het karakter van de vrije supersone straal. Wij onderscheiden:

1. Q

>

1; ondergeëxpandeerde straal.

De expansie is in doorsnede I nog niet voltooid en zet zich in de vrije straal voort.

2. Q

<

1; overgeëxpandeerde straal.

PI is nu lager dan Pro. Er zal een compressieproces moeten plaatsvinden.

3. Q = 1; aangepaste straal.

PI is nu juist gelijk aan Pro en de straal vertoont geen expansie- of compressieverschijnselen.

Q noemen we het expansiegetal.

In de volgende paragrafen worden deze drie typen stralen,

mede aan de hand van fotografische opnamen, nader bestudeerd. Daarbij zal het nodig blijken het twee-dimensionale en drie-di-mensionale geval afzonderlijk te beschouwen. Wij beperken ons in deze paragrafen tot kwalitatieve beschouwingen aan de hand van karakteristieken. Menging en wrijving worden daarbij voor-lopig verwaarloosd.

Een beknopt overzicht van de met de gelineariseerde poten-tiaal-theorie verkregen resultaten is te vinden in literatuur 31.

18

golflengten van de cellen in de niet-aangepaste straal. De golf-lengte L van de eerste cel blijkt te zijn:

1. 12

waarin k een constante (afhankelijk van de vorm van doorsnede I) en M het Mach-getal aan de straalrand voorstelt. (1. 12) blijkt slechts een zéér gering geldigheidsgebied te bezitten.

A. Twee-dimensionale supersone stralen

§ 4.

De twee-dimensionale ondergel!xpandeerde straal

(Q

>

1)~

waarin PI -

Pm

klein is

In de onder geëxpandeerde straal treedt een voortgezette ex-pansie op, welke in eerste instantie analoog is aan de bekende Prandt 1- Meyer expansie.

In fig. 1. 2 is een dergelijke straal geschetst. Daarbij is ver-ondersteld, dat PI slechts weinig hoger is dan Pm.

Fig. 1. 2 Onderge!!.xpandeerde twee-dimensionale straal (Busemann-straal).

Wij zien nu, dat er twee expansiewaaiers ontstaan, met A resp. A I als centrum, welke het overgangsgebied vormen tussen

het gebied 1, waar de snelheid, druk, temperatuur en dichtheid constant zijn (resp. uI, PI, TI en PI) en de gebieden 2, waarbinnen deze grootheden eveneens constant zijn (u2, P2, T2 en P2). Blijk-baar is P2 = Pm, want ook de grenslijn van de straal is een stroom-lijn en hier heerst de druk Pm, terwijl de expansie over de gehele expansiewaaier tot B constant is

*.

In de gebieden 1 en 2 zijn de stroom lijnen dus onderling evenwijdig. Op de as (bij B) snijden de expansiewaaiers elkaar. Dit gaat gepaard met een vergrote ex-pansie over elk 30. Voor kleine verschillen PI - Pm (voor die ge-vallen t waarin een gelineariseerde theorie opgaat) kan deze

ver-groting van de expansie, als zijnde van een orde lager dan de hoofdstoringen, verwaarloosd worden en snijden de expansie-waaiers elkaar dus zonder richtingsverandering. Aan de

straal-• In 3 is de druk dus lager dan Pm. Er blijkt dus een drukverval (Pm -P3) opgebouwd te zijn.

19 grens (bij Cresp. C ') worden de waaiers .,teruggekaatst'· in de vorm van compressiegolven; de straalgrens is n.1. een vlak van constante druk. De compressiegolven snijden elkaar vervolgens bij D, waarna de karakteristieken elkaar in het punt Eresp. E', op de straalgrens, weer snijden. Het blijkt dus, dat de straal onder genoemde condities (twee-dimensionaal, weinig onderge-expandeerd, wrijving.en menging verwaarlqosd) een in as-richting zuiver periodie k karakter heeft. A ls golflengte wordt AE aange-merkt. Wij zullen dit verschijnsel met IIcelvorming" aanduiden.

Het bovenbeschreven beeld (de z. g. Prandtl-Busemann o~los­ sing) vindt een fraaie bevestiging in de door diverse auteurs 1,22, 28 gedane optïsche waarnemingen aan twee-dimensionale stralen, waarin PI - Pm klein was.

§ 5.

De twee-dimensianale andergel!xpandeerde straal

(Q

>

1),

waarin PI -

Pm

groot is

Is het drukverschil PI - Pm groter, dan gaat het in de vorige alinea I s verwaarloosde effect bij de doorsnijding van twee expan-siewaaiers een rol spelen. Deze vergrote expansie manifesteert zich na de terugkaatsing in Cresp. C I in een vergrote compressie over de daar gevormde compressiegolven. Tengevolge daarvan zullen nu deze compressiegolven gaan interfereren tussen C enE' resp. C' en E. De aldus gevormde lijn, welke is op te vatten als een bundel samenvallende compressiegolven en waarover dus een eindige druksprong plaats vindt, wordt schokgolf genoemd. Deze (scheve) schokgolven ontstaan blijkbaar bij Eresp. E'. Wij krijgen dus het in figuur 1. 3 geschetste beeld.

Fig. 1. 3 Het ontstaan van de schokgolven in de twee-dimensionale ondergeexpandeerde straal.

De schokgolven kunnen bij voldoend grote waarden van PI - Pm doorlopen tot de as en zelfs verder. Dit laatste kan men ook op-vatten als een reflexie van de schokgolven tegen elkaar

*.

Dan krijgen we het beeld als in figuur 1. 4. Deze schokgolven hebben een in de richting van Eresp. E' toenemende sterkte. Onder be-paalde omstandigheden kan een dergelijke z. g. normale reflexie

Fig. 1.4 Reflexie van de schokgolven.

niet plaatsvinden. Er treedt dan een z. g. Mach-reflexie op, zoals

in figuur 1. 5.

~

-_ ._ ._ ._----_.

__

.

__

._

-Fig. 1. 5 Mach-reflexie in de tw ee-dimensionale ondergel!xpandeerde straal.

In het algemeen. treedt een Mach-reflexie op, wanneer aan de voorwaarden van een normale reflexie (zie figuur 1. Ba) niet kan worden voldaan. In ons geval zijn deze omstandigheden een

func-tie van MI en Pos.

In figuur 1. Bb is een Mach-reflexie aan een vaste wand

ge-schetst. Blijkbaar is de snelheid in 3 en 4 verschillend.

Daartus-sen bevindt zich een z. g. sliplijn. Voor een meer diepgaande be-handeling van de Mach-reflexie moeten wij verwijzen naar de

diverse handboeken 45,46.

Fig. 1. 6a Normale reflexie Fig. 1.6b Mach-IE;flexie

Op de na deze Mach-reflexie optredende zeer gecompliceerde processen gaan wij hier niet verder in.

§ 6.

De twee-dimensionale overgel!xpandeerde straal

(Q

<

1) Het beeld van de overgeëxpandeerde supersone straal is in vele opzichten te vergelijken met dat van de ondergeëxpandeerde straal. Wij behandelen deze straalvorm aan de hand van de figu-ren 1. 7 en 1. 8. In plaats van expansiewaaiers moeten nu

schok-Fig. 1.7 Twee-dimensionale overgel!Xpan-deerde straal met normale reflexie.

Fig. 1. 8 Twee-dimensionale overgel!X-pand eerde straal met Mach-reflexie.

golven aan de straalbuisranden ontstaan om de drl!kovergang

PI 4 Pm aan de straalrand te realiseren. De beide aldus ontstane scheve schokken kunnen nu weer öf een normale (figuur 1. 7) öf een Mach-reflexie (figuur 1.8) hebben. In het eerste geval (figuur 1.7) is de stroming in gebied 3 weer homogeen, terwijl voorts geldt:

P 3

>

P2

=

Pm

>

PI

=

PI 1. 13

Het deel, dat stroomafwaarts van gebied 3 is gelegen, gedraagt zich dus als een ondergeëxpandeerde straal zoals besproken in

§ 4 en § 5. Ook hierbij treedt dus periodiciteit op.

In het tweede geval (figuur 1. 8) is het beeld weer uiterst ge

-compliceerd. Gebied 3 is subsoon, terwijl in 4 en 4' een super-sone snelheid heerst. 4 en 4' zijn dan op te vatten als twee

asym-metrische supersone stralen. .

§ 7.

De twee-dimensionale aangepaste straal

(Q

=

1)

Is PI = Pm, dan treden geen expansie- of compressieverschijn-selen op. Ook de daaruitvolgende periodiciteit ontbreekt bij deze straalvorm . Wegens de afwezigheid van deze verschijnse len is de kwalitatieve behandeling geheel analoog aan het axiaalsYmmetri-sche geval (§ 10).

B. Axiaalsymmetrische supersone stralen

§ 8.

De axiaalsymmetrische ondergel!xpandeerde straal

(Q

>

1).

Vergelijking met de twee-dimensionale onde

rg

el!xpandeerde

straal

Een drie-dimensionale stroming is essentieel verschillend van een twee -dimensionale. In ve Ie axiaalsymmetrische gevallen kan echter, althans kwalitatief, een analoog beeld worden verwacht als in het overeenkomstige twee-dimensionale geval. Voorzich-tigheid blijft evenwel geboden, zoals uit het volgende moge blij-ken.

Bij de behandeling van de twee-dimensionale straal hebben wij de onderling evenwijdige karakteristieken welke t,uit" de straal-buis komen (zie figuur 1.9) geheel buiten beschouwing gelaten.

_ . -K.r_I.I~ .an .. ,. _

=} K.rakt.-I.I_ .an de 2· _ I

Fig. 1. 9 Twee-dimensionale ondergt::expandeerde straal met karakteristieken van de eerste soort.

Het blijkt n. 1., dat deze homogene bundels ook na de doorsnijding met de expansiewaaiers in de twee-dimensionale straal altijd onderling evenwijdig blijven. Daarom zijn de stroomlijnen in ge-bied 2 (figuur 1. 3, 1. 7 en 1. 9) evenwijdig en is de druk daar son-stant P2 = Pm. Deze "uit" de tuit komende evenwijdige karakteris-tieken, welke wij in het volgende zullen aanduiden met karakteris-tieken van de 1e soort, in tegenstelling tot de karakteriskarakteris-tieken van de 2e soort, de expansiewaaiers, spelen in de twee-dimen-sionale straal dus slechts een formele rol.

In het axiaalsymmetrische geval wordt hun betekenis. echter wel essentieel, althans bij de ondergeëxpandeerde straal. Zij treden nu op als omwentelingsoppervlakken, evenals de expansie-waaiers. Wij willen deze oppervlakken aanduiden met karakteris-tieke oppervlakken van de 1e soort resp. van de 2e soort. De doorsnijding van deze twee categorieën heeft tot gevolg, dat de karakteristieke oppervlakken van de 1e soort na de snijdmg niet meer evenwijdig zijn, maar een eindige divergentie bezitten. Dit wil zeggen, dat zij na de snijding als expansievlakken zijn op te vatten. Deze karakteristieke vlakken worden door de straalrand

teruggekaatst in de vorm van compressiegolven en wel zodanig, dat zij aanleiding geven tot een gebogen schokfront. Dit schokfront vormt tevens de begrenzing van de expansiezone (karakteristieke oppervlakken van de 2e soort). In fig. 1. 10 is het bovenstaande schetsmatig weergegeven. Klaarblijkelijk wordt de schoksterkte naar de as toe groter, zij is minimaal bij de rand. Bij de as treedt een reflexie van de schok op, welke. weer bi normaal bi een Mach-ref lexie kan zijn, zij het dan in axiaalsyrnmetrische vorm.

Karaklarl.tloko opporvlakkon VIII d. ," ooort

=

I KIr.ktwl.tlok • • pparvlakken van d. 2"ooort

Fig. 1.10 Axiaalsymmetrische ondergeexpandeerde straal.

Het bovenstaande laat zich ook physisch enigszins verstaan. In een axiaalsyrnmetrische straal moet in gebied 2 (zie fig. 1. 10) een versnelling optreden, gezien het ruimtelijk divergerende ka-rakter van de stroming. De druk kan in dit gebied dan ook niet constant zijn, zoals in gebied 2 van de twee-dimensionale straal (zie fig. 1.9), maar zal na de· karakteristieke oppervlakken van de 2e soort lager zijn dan Pm. Wij zien hier dus een op zichzelf merkwaardig feit, n.1. de expansie in het eerste straaldeel gaat "tetr ver, om daarna vertragingsdruk in petto te hebben. In zekere zin komt dit overeen met de werking van de onderdruk in gebied 3 van fig. 1. 2 (zie ook voetnoot op blz. 18, § 4). Bij de axiaalsY.In-metrische straal moet een dergelijke "drukreserve" dus reeds onmiddellijk na de karakteristieke oppervlakken van de 2e soort ("expansiewaaierstt) aanwezig zijn.

Ter illustratie van het bovenstaande is in fig. 1.11 een foto-grafische opname van een axiaalsyrnmetrische ondergeëxpan-deerde straal afgedrukt. De waarde van Q bedraagt hier 1,79, terwijl MI = 1,74. Duidelijk is het gekromde karakter van de schokgolf te zien. Fig. 1. 12a toont een opname van een straal uit dezelfde lavalbuis, maar nu met Q = 2,38. Er treedt nu een Mach-reflexie op. In de fig. 1. 12b en 1. 12c is in een meridiaanvlak van dezelfde straal een z.g. harkje opgesteld op enige afstand stroom-afwaarts van de Mach-reflexie. Hieraan is duidelijk te zien, dat een cylindervormig subsoon gebied, begrensd door het rechte

*

deel van de reflexie en een slipvlak, wordt omhuld door een

coaxi-• Dit deel is niet exact recht. resp. vlak. Eenvoudigheidshalve zullen wij het echter "het rechte

Fig. 1.11 Foto van axiaalsymmetrische ondergeexpandeerde straal. MI = 1,74, sr = 1,79. Normale reflexie.

Fig. 1.12a Foto van axiaalsymmetrische ond~~geexpandeerde straal; MI

=

1,74, SZ

=

2,38. Macrueflexle.

Fig. 1.12b Foto van dezelfde straal als in fig. 1. 12a met "harkje" achter de schokgolf; belichtingstijd ± 21"sec.

Fig. 1.12c Als fig. 1. 12b; belichtingstijd 50 fsec.

Fig. 1.14 Foto van axiaalsymmetrische overgeexpandeerde straal; MI = 1,74, Sl = 0,57. Normale reflexie.

Fig. 1.15 Foto van axiaalsymmetrische overgeexpandeerde straal; MI = 1,74, S2 = 0,57. Machreflexie.

Fig. 1.17a Foto van aangepaste straal; MI = 1,74.

1.I2a

1.12b

1.15

1.17a

25 aal supersoon gebied. In dit laatste gebied treden voor de tttanden'~

van het harkje losgelaten schokgolven op.

Wij vestigen er nog de aandacht op, dat het rechte deel van de Mach-reflexie zeer groot kan zijn. Zie bijvoorbeeld hoofdstuk III, fig. 3.21.

Wij zagen uit het voorgaande, dat een divergentie van de stroomlijnen bij een axiaalsymmetrische ondergeëxpandeerde straal aanleiding is tot het vormen van een schokgolf uom u de expansiewaaiers .

Bij de twee -dimensionale straal, welke met evenwijdige stroomlijnen uittreedt, is dit niet het geval en ook bij zeer hoge waarden van Q zullen de schokgolven nooit tot de straalbuisranden kunnen doorlopen (tenzij MI = 1).

Is echter de stroming in de twee-dimensionale lavalbuis reeds

divergerend (bijvoorbeeld buis met rechte wanden), dan zal het bovenstaande ook hier van toepassing zijn en krijgen wi~ een beeld als in fig. 1. 13. Dit verschijnsel wordt ook door Pai 3 vermeld,

zij het zonder verklaring.

Fig. 1.13 Twee-dimensionale ondergeexpandeerde straal met reeds in de lavalbuis divergerende stroming.

S

9.

De axiaalsymmetrische overgel!xpandeerde straal

(Q

<

1) Deze straalvorm vertoont kwalitatief grote overeenkomst met de twee -dimensionale straal met Q

<

1 (§ 6). Er treedt aan de straalbuisrand een nu gekromde schokgolf op, waarbij weer-afhankelijk van de om standigheden (MI, Q) - een normale of een Mach-reflexie optreedt. Deze twee gevallen zijn weergegeven in fig. 1. 14 (normale reflexie) en 1. 15 (Mach-reflexie). In fig. 1. 15 is tevens te zien, dat bij lage waarden van Q, door loslating van de stroming in de straalbuis, de effectieve straalbuisrand naar binnen wordt verplaatst.

Evenals in het twee-dimensionale geval zet de overgeëxpan-deerde axiaalsymmetrische straal zich na de eerste "ceP' voort als een ondergeëxpandeerde straal \ § 8).

§ 10.

De axiaalsymmetrische aangepaste supersone straal

(Q

=

1).

Algemene opmerkingen over het mengproces

De aangepaste straal is die straalvorm, waarin geen karakte-ristieken van de tweede soort voorkomen. Er treden dus geen expansie- of compressiegolven op en haar gedrag wordt alleen beheerst door het mengproces, dat plaats vindt tussen de omge-ving en de straal. Dit mengproces treedt uiteraard ook op bij de in de voorgaande paragrafen beschreven niet-aangepaste stralen. Tengevolge daarvan zal in de asrichting dan ook een vervaging en vervorming van het besproken beeld optreden en zal de periodici-teit een sterke demping ondergaan. Dit is ook aan de foto' s zeer duidelijk Waar te nemen. De complicaties, welke zich voordoen bij een gecombineerde beschouwing van menging en celvorming, lenen'zich echter zeer moeilijk voor een diepgaand theoretisch en experimenteel onderzoek. De hierbij optredende moeilijkheden dragen een soortgelijk karakter als die, welke optreden bij de interactie van een schok-, compressie- of expansiegolf met een grenslaag aan een vaste wand. Op het eerste deel van de niet aan-gepaste stralen (de eerste twee of drie cellen) heeft de mengzone nog geringe invloed en is het in de paragrafen 4-9 besprokene. van toepassing.

De aangepaste straal leent er zich bij uitstek voor om het mengproces zonder bijkomende complicaties te bestuderen. De metingen, welke wij uitvoerden, zijn aan deze straal dan ook het meest uitgebreid, terwijl van de niet aangepaste stralen alleen de menging ver stroomafwaarts van doorsnede I in onze experimen-tele en theoretische beschouwingen is betrokken.

In fig. 1. 16 is de aangepaste straal schematisch weergegeven, terwijl in fig. 1. 17a en b twee foto' s van aangepaste stralen zijn weergegeven met resp. MI = 1,74 en MI = 2,50.

Het menggebied is in fig. 1. 16 gearceerd aangegeven. Wij kunnen dit gebied opvatten als die zone van de straal, waarin de invloed van het omringende medium merkbaar is. Hierbij is afge-. zien van drukinvloeden; deze zijn in de aangepaste straal trouwens

niet aanwezig.

Fig. 1.16 Schema aangepaste straal.

Het menggebied draagt dus een overeenkomstig karakter als een grens laag, zij het met geheel verschillende randvoorwaarden

dan die, welke zich oij de gewoonlijk optredende grenslagen voor-doen.

Uit fig. 1. 16 blijkt, dat het menggebied bestaat uit twee ver-schillende delen en wel:

a. een "hol" menggebied, waarbinnen zich de z. g. potentiaal-kern bevindt;

b. het menggebied, stroomafwaarts gelegen van het vlakJ.. de straalas, door de top van de potentiaalkern. Dit vlak zul-len wij aanduiden met doorsnede Il. De straal is hier dus geheel als menggebied op te vatten.

Het verschil tussen de gebieden a en b komt duidelijk tot uit-drukking in de vorm van de Machgetal- en temperatuurverdelin-gen over een dwarsdoorsnede van de straal. In het gebied, in fig.

1. 16 links van doorsnede II gelegen, zijn de temperatuur- en Machgetalprofielen gekenmerkt door een recht stuk bij de as. Stroomafwaarts van doorsnede Il ontbreekt dit rechte stuk. Een en ander moge worden verduidelijkt door fig. 1. 18. In deze figuur is verondersteld, dat TI

<

Tm. Daarom hebben de T- en M-pro-fielen een t. o. v. elkaar omgekeerde vorm.

NT N.T NT

\0 _--r---I

I

- ' -..!...

•

L-L-

--L -,_

Fig. 1.18 Kwalitatief verloop van M en T in een aangepaste straal.

De lengte van de potentiaalkern,uitgedrukt in D (Xtop/D).1 blijkt

groter naarmate MI groter is, zoals blijkt uit fig. 1. 19.

(xjO)top

t

I 15 I x Pitkin (42)

•

10 Rietdijk 5 r 0.5 1.0 1.5 2,0 _2.5~ I

Fig. 1.19 (X/Dhop als functie van MI'

door massa-, impuls- en energietransport, welke ellr op zich reeds zeer in ge wikke ld zijn.

Het menggebied van een supersone straal kan zonder twijfel als volledig turbulent worden aangemerkt. Deze turbulentie zal in het algemeen inhomogeen en anisotroop zijn, gezien de algemene configuratie van het stromingsbee ld.

De turbulentie komt sterk tot uitdrukking op de in de vorige paragrafen besproken foto's. De belichtingstijd bedroeg ± 2 !p,sec. Bij een snelheid van ± 300 m /sec wordt in deze tijd door de deel-tjes een weg van 0,6 mm afgelegd. Is de belichtingstijd langer, dan vervaagt het turbulentiebeeld op de foto's. Ter illustratie hiervan is in fig. 1. 12c ongeveer hetzelfde beeld als in fig. 1. 12b weergegeven, maar nu met een belichtingstijd van ± 50 llsec. Het turbulentiebeeld is nu minder scherp. Bij nog langere belich-tingstijden worden ook de schokgolven minder scherp, waaruit blijkt, dat ook deze niet geheel stabiel zijn.

_ Het menggebied is in onze foto's axiaalsymmetrisch en wel hulsvormig. (A He foto' s tonen slechts menggebied a van de be-treffende straal). ~t gehele beeld is dus bedekt met "turbulen-tievlekken" . Daardoor blijkt het ondoenlijk de binnengrens van het menggebied (tevens grens van de potentiaalkern) aan de hand van foto' s te bepalen.

§ 11.

Overzicht van de diverse straalvormen en hun kenmerken

Tot slot van de kwalitatieve behandeling van de supersone stralen geven wij in fig. 1.20 een overzicht van de in het voor-gaande behandelde straalvormen.

Q TWEEI»ENSDIAAI AXIAAI..SYI+1ElRSCH

8ENAIoNl _{PHYSISCH BEElD}

§ .F1G PHVSISCH 8EEl.D § IG

~RDE

1~

-

K:

STRAAl toET 6 til 9 15

MAai - REFLEXIE ~

1~

-

~ -STRAAl toET 6 1.7 9 r.14 ~ REFlEXIE AANClERI<STE

1~

-

7 16

r:s;;

t16 10 ~.17 STRAAl. _{10 18} I~ _1.18 ~PAN'

-~

1.3

e:=><:

DEERDE STRAAl )1- , - - -- , 4 _1.9 8 1.10

1

-

~

_~

1.10 STRAAl IET S U

•

NORMALE REFlEXE 1.11 ~

C~

.::

STRAAL toET )1 - ,

~

-- - -;- S I.S

MACH - REFLEXE ~

De voornaamste kwalitatieve kenmerken zijn in de figuren tot uitdrukking gebracht. Tevens is verwezen naar de paragrafen, waarin de behandeling voorkomt en de daarbij behorende figuren.

30

Hoofdstuk II

DE MENGING VAN VRIJE STRALEN MET DE OMGEVING

§ 12.

Inleiding

De menging van een straal met de omgeving wordt beheerst door energie-, impuls- en continuïteitsoverwegingen. Wij zien in het volgende af van chemische reacties.

Voorts zullen wij ons bepalen tot axiaalsymmetrische stralen. De continuïteitsvoorwaarde biedt geen bijzondere problemen. De .energie- en impulsoverdracht evenwel zijn, vooral in een turbulente stroming als de onze, uitzonderlijk moeilijk te be-schrijven, aangezien de overdracht van deze grootheden wetten volgt, welke zich tot op heden nog niet volledig hebben laten ont-dekken. In dit en de volgende hoofdstukken zijn de bestaande, deels empirische, deels hypothetische "wetten", getoetst aan het gedrag van hogesnelheidsstralen. Daar de vergelijkingen, die in het volgende worden afgeleid, geschikt· moeten zijn voor substitu-tie van onze numerieke resultaten, gaan wij uit van de integraal-vergelijkingen, die het proces beheersen.

§ 13.

De grond-integraalvergelijkingen voorde ronde straal

Wij beschouwen een gesloten cirkelcylindervormig oppervlak ter lengte 1 en straal riO. De as van dit controle-oppervlak denken wij ons samen te vallen met de as van een ronde straal en wel zover stroomafwaarts van de schokgolven, dat de druk p als constant kan worden beschouwd (fig. 2.1). Druktermen zijn in het volgende dan ook weggelaten.

---~_~-~.---qrCrr 'l'., p. Po - _

--

~T.TO . .

;::::.-

. .

-

~ - - ---.--...x

'--..:.fU'.,...,-===,- _ _

ax

1

--

_--

_--

-

--Fig. 2.1 Het controle-oppervlak.

Door het controle-oppervlak vindt massa-, impuls- en ener-gietransport plaats.

Ten aanzien van de massa kunnen wij schrijven:

~

J.r pu 2ny dy = -2 1tr Pr V_r

.ox

o

2. 1

waarbij V_{r de radiale snelheidscomponent ter}' plaatse r is en Pr de

daar heersende dichtheid.

De impulsvergelijking, toegepast op het controle -oppervlak, leert ons in geval van stationaire stroming:

o .r 0 .r .r oOx

ox J P u2 21tydy = Ur ox

J

pu 21tydy

+

21tr't r (-

J

ox 21tydy)

o 0 0 2.2

De physische betekenis van (2.2) is de volgende. In het linkerlid

staat de toename in x-richting van de impulsstroom per tijds-eenheid door de eindvlakken van het controle-oppervlak.

In het rechterlid staan achtereenvolgens de door het cylinder-oppervlak in die tijd binnengetreden impulsstroom in x-richting,

de door de schuifspanning']; r op het cylinderoppervlak uitgeoefen

-de kracht en als laatste term -de resultante van -de in x-richting op het controle-oppervlak uitgeoefende kracht door de

vervor-mingsspanning 0x (.i de eindvlakken) . Deze laatste term wordt in

het volgende verwaarloosd, aangezien zij een orde kleiner is dan

de andere termen in ons geval (zie hoofdstuk IV, § 31).

Als derde belangrijke relatie hebben wij tenslotte de energie-vergelijking (stationaire beweging):

o

.r 0 .r

ox

J

pu cp Ta 21t ydy = cp Tor oX

j

pu 21t ydy

+

2rrr u r '];r

+

21tr <1r

o 0

o

(r

0

rr

-(vror 2nr

+

oX . Ox U 21tydy

+

oX . <Ix 21t ydy)

o 0

2.3

In zekere zin is (2.3) te vergelijken met (2.2). In (2.3) is de netto

toename van de reservoirenthalpie-stroom per tijdseenheid in x-richting gelijkgesteld aan de arbeid, welke in die tijd door de di-verse spanningen op het controle -oppervlak wordt verricht, ver-meerderd met de resulterende warmtestroom door het oppervlak.

De tussen haken geplaatste termen worden in het volgende

verwaarloosd, gezien hun lage waarde vergeleken. bij de overige

termen in dit speciale probleem (zie hoofdstuk IV, § 31).

1 .

oU

oT

§ 14.

Re atzes tussen

'];r,

qr,

or en

ar

In de vergelijkingen (2.2) en (2.3) komen de schuifspanning"

en de warmte stroomdichtheid q voor. In een laminaire stroming

kunnen wij deze grootheden schrijven als lineaire functies van de snelheids- resp. temperatuurgradiënt, dus:

32 Voor de schuüspanning

*:

"1 = Tl ('Ou

+

cv) 'Oy 'Ox 2.4 of "I =pv ('oU

+

cv) ,

'Oy 'Ox 2.4a

waarin Tl en v resp. de dynamische en kinematische viscositeits-coHficiënt voorstellen.

Voor de warmtestroom:

2. 5

of 2.5a

waarin f... de warmtegeleidingscoëfficiënt en a de warmtevereffe-ningscoëfficiënt is. De index 1 duidt op laminaire stroming. De 'coëfficiënten Tl, v, f... en a zijn stofeigenschappen en functies van druk en tem pe ratuur.

Voor een laminaire stroming zijn de relaties (2.4) en (2.5) vol-komen gefundeerd (moleculaire gastheorie). In een turbulente stroming, evenwel, blijken dergelijke eenvoudige wetten, althans voor de gemiddelde q, ", u en T, niet te gelden. Hieromtrent bestaan divel'se theorieën. Wij noemen hiervan slechts de meng-wegtheorie van Prandtl, de werveltransporttheorie van Taylor en de inductieve theorie van Reichardt, welke in de handboeken uit-voerig worden behandeld. Deze theorieën bewegen zich op het ge-bied van de onsamendrukbare stromingen. Uit experimenten blijkt, dat de hypothesen, welke aan deze theorieën ten grondslag

liggen, niet alle met de werkelijkheid overeenstemmen. Wat de onderhavige relaties in een samendrukbare stroming betreft, tasten alle onderzoekers nog vrijwel in het duister.

Op overeenkomstige wijze als voor het geval van laminaire stroming, schrijven wij nu voor een turbulente samendrukbare stroming:

"t

=

e -'ou

'Oy 2.6

of _"~ = _pf. 'ou _'Oy 2.6a

en

2.7

of 2.7a

waarbij de index t duidt op turbulente stroming.

e, E, k en x zijn het turbulente equivalent van resp. Tl, 'J, À en a. Terloops zij opgemerkt, dat e en k, resp. E en x moeten wor-den opgevat als te zijn opgebouwd uit een moleculair deel en een turbulent deel. Wegens de sterk overheersende rol van het turbu-lente deel in gevallen als deze, wordt het moleculaire deel hierin niet afzonderlijk beschouwd.

In het volgende zullen we gebruik maken van de eenvoudige

uit-drukkingen (2. 6) en (2. 7), welke niet méér empirisch zijn dan

(2. 6a) en (2. 7a). Na bepaling van de waarden van e en k in

hoofd-stuk IV zal dan blijken of in 'het samendrukbare geval de vormen

(2. 6a) en (2. 7a) de voorkeur verdienen. In onsamendrukbare stra-len is dit uiteraard slechts een zuiver formele kwestie.

Wij beschouwen e en k voorlopig nog als onbekende functies van x en y. Daar ook p, u, T en de turbulentiegraad functies van x en y zijn, kunnen e en k ook als functies van deze grootheden en eventueel van hun eerste en/of hogere afgeleiden worden opgevat en omgekeerd.

§ 15.

Substitutie van

(2.6)

en

(2. 7)

in de grondvergelijkingen

Substitutie van (2.6) en (2.7) in (2.2) en (2.3) en deling door 27t levert:

o

(r

0

(r

oU

"aX

_o

;:iUZydy = _{ur -::;-} P u ydy

+

re(-a-)

ox 0

y

r 2.8

en

"" fr

""

r

" " " " T

o P T d T o f P d

+

(ou)

+

rk (~o ) 2. 9

ox

à

uCp oY Y = cp or

ox

à

uy y r Ur e

oy

r oy r

Met behulp van de relatie (zie (1.5»:

t

uZ = cp (T 0 - T) 2. 10

kunnen we voor (2.9) na enige herleiding schrijven:

o

r 0 r oT 1 oT

~

r

puToydy

=

Tor-=;- f puydy

+

re(-==24

+

(1 - - P ) re ( - )

oX

à

oX

à

.

oy r rt

oy

r

2.11

waarin Prt = t e het getal.van Prandtl voor turbulente stroming

Gezien het karakter van e en k, waarover wij in de vorige

pa-ragraaf spraken, mogen wij aan dit getal van Prandtl niet zonder

meer die betekenis toekennen als aan het overeenkom stige getal

voor laminaire stroming. Dit laatste immers is essentieel een stofkenmerk: "het" getal van 'Prandtl Pr.

In ons geval moet Prt worden beschouwd als een functie van

dezelfde grootheden als waarvan e en k afhankelijk kunnen zijn.

Overigens is de verleiding groot om de vergelijkingen (2.9)

-(2.11) te benaderen via de veronderstelling: Prt = 1.

(2. 11) wordt dan:

.

f

r pu To ydy = Tor

ex

e

.f

r 2. 12

o 0

en vergelijking met (2.9) leert, dat:

T_o = A

+

Eu 2. 13

waarin A en B constanten zijn, welke worden bepaald door de randvoorwaarden van het betreffende probleem.

Wegens het ongetwijfeld continue karakter van T_o en u kunnen

wij als randvoorwaarden voor (2.13) nemen:

T o = Tom voor u = O.

2. 14

T o

=

TOl voor "u

=

UI· Hieruit volgt:

2. 15

Voor het bijzondere geval Tol = Tom - zoals in al onze proeven

het geval was - zouden we met Prt

=

1 dus verwachten:

To = Tom = constant 2. 16

Physisch betekent dit, dat er op elk punt in dit menggebied een evenwicht bestaat tussen het netto warmtetransport en de door de

schuifspanning in dat punt verrichte arbeid. De totale energie per

massa-eenheid is dan overal hetzelfde.

Het behoeft geen nader betoog, dat de aanname Prt = 1 een

verregaande vereenvoudiging van de probleemstelling inhoudt.

Omgekeerd volgt uit het voorgaande, dat Prt = 1 als To voldoet

aan (2. 15) resp." (2.16) en dat Prt =f 1 als dit niet het geval is.

Uit onze metingen blijkt"':'" wij lopen hier even op hoofdstuk IV

vooruit - dat _To onder de genoemde voorwaarde Tom = T o

aller-minst constant is, hetgeen b. v. duidelijk blijkt uit het verloop

Wij vonden daarin een maximale afwijking To - Tom - 15 oK, waarbij Tom = 295

ûK.

Uit fig. 4.1 blijkt tevens, dat To niet een functie van u (of M YT) alleen is. Wij moeten dus vaststellen, dat de veronderstelling Prt = 1 in een samendrukbare stroming zoals de supersone straal een te grote vereenvoudiging inhoudt en al-leen als zéér grove benadering kan worden gebruikt.

§ 16.

Herleiding van de grondvergelijkingentot een voor de

meet-resûltaten toegankelijke vorm

Teneinde een indruk te verkrijgen van de werkelijke waarde van Pr t , e en k, werken we (2.2) en (2.3) zodanig om, dat zij voor numerieke behandeling vatbaar zijn. Wij drukken daartoe alle variabelen uit in p, _{M, T en T o}. Wij merken op, dat:

u

=

Ma

=

M

Vy

RT ::;u

=

pMa

=

p M

Vb

pu2 _{= pM2}

_<i-

_{=y p M2}

pu To = P M T 0

V

J

T

2. 17

Substitutie van dez,e~itdrukkingen in (2.2) en (2.3) en deling door 2nyp resp. 2ncp p

Vn

levert:

o

rr 0 rr M r't

ox

a

M2 ydy = Mr

V"Fr

_ox

à

'fT

ydy +

~

2. 18 en rr M 0 rr M r't r T - d = T - - - d + - R M

a

0

\fT

y Y or

ox

a

VT y y CpP r

waarbij gebruik is gemaakt van (2.7). Ter vereenvoudiging stenen we:

.r

M2 ydy = W1 (x, r) o

r

r - y d y M = W₂ (x, r) à

VT

r

r T o ,fm M ydy = W3 (x, r) Ó yT

ffr+

rk (oT) r

cp

p

Vii

êly r 2.19 2.20

Daarmee wordt (2.18):

zodat we voor e na enige herleiding vinden:

awz.. e (x, r) = (ax-'r aW1 ({oW) _{2 r. x} - M

r VTrl

2.21

~p

r 2.22

(2.19) gaat na substitutie van (2.21) en enige herleiding over in: aT

aW3 aw_z aW1 aW2 1 (dY}r

ax--

Tor

~=

{~-

M r

VT;

~l

{(y-1).Mr

VT;

+

Pr

t

~)l

ay r waarbij gebruik is gemaakt van de re latie y R

=

y-l.

cp

Voor Prt vinden we dan tenslotte de uitdrukking:

~

aW3)

_ T )_1 .

'=:~~:;oi~=-r....:..,

_x _ _ o_r _ _ (y -1) M r

ffr)

( - ) M_r

'f"f;

aW2 r,x Prt (x, r) = 2.23 2.24

Hierin zijn W3 en W1 opgevat als functies van W2 bij een bepaalde r. Daarentegen is M

'fT

in dit geval op te vatten als functie van T bij een bepaalde x-waarde.

§ 17.

Numerieke bewerkingen

Tot slot van dit hoofdstuk geven wij in het kort aan hoe W1 • W2

en W3 zijn bepaald, benevens de wijze, waarop de diverse in (2.22) en (2.24) voorkomende eerste afgeleiden zijn berekend.

a) Bepaling van de integralen

~t

bleek niet mogelijk de functies

~(x,

r),

~

(x, r) en

T_o \fT (x, r) op bevredigende wijze te beschrijven in de vorm van eenvoudig integreerbare functies, zonder te vervallen in onge-wenst bewerkelijke reeksen met een aanzienlijk aantal termen.

M

M

Daar de opvolgende M2_, VT- en To VT-profielen in de door ons

bestudeerde straaldelen niet alle een voldoende mate van affini-teit vertoonden, leek het ook niet lonend, en tevens een concessie aan de benadering, om een dergelijke beschrijving uit te voeren. Daarom werd besloten tot de volgende werkwijze. De betrokken functies werden eerst grafisch geïnterpoleerd tot intervallen

37

6r

=

1 mm. (De metingen zijn uitgevoerd met intervallen 6r

=

3

mm). Daarna volgde numerieke integratie. Dit bleek tot

bevre-digende resultaten te leiden. Overigens zal het duidelijk zijn, dat

eventueel te grote intervallen bij deze int~ratie geenwrote fout

zullen introduceren bij de bepaling van

(~w.l)

en

(~W3)

(zie

o zr,x 0 Zr,x

2,24) .

b) Bepaling der eerste afgeleiden

De afgeleiden, voorkomende in (2.22) en (2.24), zijn bepaald

door middel van differentiequotiënten:

f'(aa)

=

f(au, aI) + (aa-aI) f(aa, al, az) + (aa-al)(aa-aZ) f(aa,al,aZ,a3) + ...

2.25

waarin f(a) de betrokken functie, opgevat als functie van a,

voor-f(al) - f(aa) stelt, terwijl f(aa, aI)

=

-'--....=.!....---'--....::!.

al-aa

Er bleek, om de nauwkeurigheid binnen 1% te houden, met 3

ter-men volstaan te kunnen worden. A Heen voor de bepaling van

(or::r

VT )

zijn 4 termen van (2.25) gebruikt. Voor de afleiding

oy r;=3

van dezé methode kan volledig worden verwezen naar lit. 55 pp.

65 e. v .. De aldus gevonden waarden werden door middel van

stro-ken nog enigszins gecorrigeerd (grafisch), zodat een betrekkelijk

Hoofdstuk III

BESCHRIJVING VAN DE OPSTELLING, DE MEETAPPARATUUR EN DE OPTIEK

§ 18.

De opstelling

De opstelling wordt gevormd door de volgende onderdelen (fig. 3.1):

1. Compressor met drooginstallatie.

2. Voorraadflessen,

3. Verwarmingsinstallatie.

4. Suskamer met manometer en thermometer. 5. Diverse lavalbuizen.

6. Regelapparatuur (debiet- en temperatuurregeling). 7. Traverseerinrichting in stroomgebied van de straal.

De compressor vult via afsluiter 1 de voorraadflessen tot een·

maximum druk van ± 200 atm .. De totale inhoud van de flessen

bedraagt ca ,6 'm3 . Via de afsluiters 2 en 3 kan de lucht de

sus-,kamer bereiken, waarna zij door een lavalbuis in de vrije

atmo-sfeer treedt. De druk in de suskamer kan geregeld worden d. m.v.

de regelafsluiters 2 en 3. Tussen deze afsluiters bevindt zich een regelbaar verwarmingselement (max. vermogen 6 kW). Met deze regelapparatuur bleek het mogelijk de suskamer-druken tempera-tuur binnen zeer nauwe grenzen constant te houden (max.

afwij-king resp. 103N /m2 en 0,2 oC).

Bij een luchtverbruik van ± 0,2 kg/sec, zoals dat bij de meeste

door ons uitgevoerde proeven voorkwam, kon ca 2 uur achtereen "geblazen" worden. Hierdoor werd het mogelijk de metingen zeer nauwkeurig uit te voeren. De insteltijd werd bij alle metingen zeer ruim genomen:

voor de drukmetingen: 0,5 minuut

voor de temperatuurmetingen: 1 minuut.

De suskamer vormt, met de daaraan verbonden lavalbuis, het hoofdbestanddeel van de opstelling.

De functie van de suskamer is het gas zo goed mogelijk tot rust te laten komen, teneinde de reservoircondities van het gas te kunnen bepalen en een geringe grenslaagdikte in de lavalbuis te krijgen. Door het aanbrengen van z. g. dempingsgazen is getracht de toestand van het gas in de suskamer zo homogeen mogelijk te maken.

Teneinde verwarring met de verschillende in de straal

voor-. komende reservoirtoestanden te vermijden, zullen wij de

resp. suskamerdruk, suskamertemperatuur en suskamerdicht-heid.

In fig. 3. 2 is de suskamer geschetst. In deze figuur is ook te zien, waar de manometer en de thermometer zijn geplaatst.

Fig. 3.2 De suskamer.

c-

--

+

~k

F

c::a

t

De gemiddelde snelheid in de suskamer bleef bij alle proeven lager dan 5 m

Isec,

zodat de meting van de suskamerdruk en-tem-peratuur als zeer nauwkeurig kunnen worden aangemerkt. Dwars-traverses met een thermokoppel toonden aan, dat 'er tijdens de experimenten binnen de suskamer geen meetbare temperatuur-verschillen heersten.

Om de lucht in de vorm van een zuiver evenwijdige supersone straal te doen uittreden, is men aangewezen op een z. g. lavalbuis. Dit is - zoals reeds in hoofdstuk I opgemerkt - een buis met ach-tereenvolgens convergerende en divergerende doorsnede. De nauwste doorsnede wordt "keel" genoemd.

De door ons gebruikte lavalbuizen zijn berekend volgens een door Foelsch 47 gegeven methode

*.

aangevuld met een geringe grenslaagcorrectie. Deze laatste bestond uit het vergroten van de berekende divergentie met 0~30. Zowel fotols als d. m. v. pitot-metingen verkregen resultaten tonen aan, dat voldaan is aan re-delijkerwijs te stellen eisen aangaande in het begin van de straal aanwezige storingen. Fig. 3.3 geeft een beeld van de homogeni-teit in het uitstroomvlak van de buis met l\II{

=

1,74, welke in onze experimenten is gebruikt. De gebruikte buis met MI = 1 is een convergerende buis met uittreediameter D = 15 mm.

Teneinde in het stroomgebied van de straal metingen te doen, is hier een traverseer-inrichting opgesteld, waarmede het moge-lijk is instrumenten snel van punt tot punt te verplaatsen, waarbij de plaats van het instrument nauwkeurig is bepaald (afwijkingen

<

0,1 mm). Deze coördinatenbank is zeer nauwkeurig evenwijdig aan de straalas opgesteld. Van tijd tot tijd werd deze stand ge-controleerd, waarna zonodig correcties in de stand werden aan-gebracht. Met dit apparaat is het mogelijk het horizontale vlak

• Dc hoofdafmetingen van deze lavalbuis zijn in fig. 3.4 aangegeven. De methode van Foelsch is zowel voor tw ee-als voor drie-dimensionale lavalbuizen geschikt. Zij is aanzienlijk min-der bewerkelijk dan de karakteristif'ken- methode.