4. Caªki - przygotowanie do sprawdzianu
Zad. 4.1 Obliczy¢ caªki RAf (x)µ(dx),gdzie
1. A := R, f (x) := cos(πx), µ := ∞ P k=0 32k+1 (2k + 1)!δk, 2. A := [1, ∞), f (x) := x−2, µ := l + ∞ P k=1 δk, 3. A := {1, 2, 3, 4, 5}, f(x) := exp(x sin(x)), µ := l. Zad. 4.2 Zbada¢, czy okre±lone s¡ caªki RAf (x)µ(dx),gdzie
1. A := R, f (x) := cos(πx), µ := ∞ P k=1 δk k, 2. A := R+, f (x) := exp(−x)x10, µ := l + ∞ P k=1 2kk10δk.
Zad. 4.3 (*) Niech miary µ i ν maj¡ posta¢ µ := n X k=1 φkδxk oraz ν := m X k=1 ψkδyk,
gdzie xk, yk ∈ R, φk, ψk ∈ R+, a δx oznacza jednostkow¡ mas¦ Diraca skupion¡ w x.
Znale¹¢ warunki na to, by
Z
f dµ ≥ Z
f dν dla ka»dej funkcji f : R → R+.
Zad. 4.4 (*) Dla dwóch miar probabilistycznych µ, ν na (Ω, =) oznaczmy d(µ, ν) := sup
A∈=
|µ(A) − ν(A)|.
Jest to tzw. odlegªo±¢ wariacyjna pomi¦dzy miarami µ i ν. Pokaza¢ »e 1. d(·, ·) jest metryk¡ na przestrzeni miar probabilistycznych na (Ω, =); 2. d(µ, ν) = 1
