10.9.2019, kl 2b
Przygotowanie do sprawdzianu nr 1 Zadanie 1. Oblicz sumę
9
X
i=1 9
X
j=1 9
X
k=1
min{i, j, k}
Zadanie 2. Określ znaki a, b, c w funkcjach kwadratowych f (x) = ax2+ bx + c na wykresach poniżej:
Zadanie 3. Oceń wartość logiczną zdania:
(a) ∀x∈R∃y∈R,y>0x ¬ y2 =⇒ y < x2, (b) ∃y∈R,y>0∀x∈Rx ¬ y2 =⇒ y < x2.
Zadanie 4. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste a, dla których z nierówności ax2−2x−a+1 >
0 wynika nierówność −3 < x < 2.
Zadanie 5. W miejsce X wpisz formułę logiczną w zmiennych logicznych a, b tak, by uzyskane zdanie było tautologią lub wykaż, że taka formuła nie istnieje:
(a) ¬X ↔ (a → ¬b),
(b) (X ∧ (a → b)) ↔ ((¬X) ∨ (¬a ∧ b)).
Zadanie 6. Znajdź sumę wszystkich liczb trzy-cyfrowych, których wszystkie cyfry są niepa- rzyste.
Zadanie 7. Ile jest liczb pięcio-cyfrowych o parzystej sumie cyfr?
Zadanie 8. Co jest większe:√
2018 +√
2020 czy 2√ 2019?
Zadanie 9. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
|x + y| +q(x + 1)2+ (y − 3)2. Zadanie 10. Znajdź największą wartość wyrażenia |x + y|, jeśli
x2− 2xy + 2y2 = 4.
Zadanie 11. Oblicz x41x2+ x1x42, gdzie x1, x2 są pierwiastkami równania x2+ x − 1 = 0.
Zadanie 12. Sprawdź monotoniczność i różnowartościowość funkcji 1+8xx2 4, gdzie x > 2.
Zadanie 13. Znajdź największą wartość wyrażenia x1x22x33, przy czym x1+ x2+ x3 = 1 i liczby x1, x2, x3 są dodatnie.
Zadanie 14. Rozwiąż równanie
x2+ 5x + 4 − 5√
x2+ 5x + 28 = 0.
Zadanie 15. Znajdź wszystkie x ∈ R spełniające 1
x +√
2 − x2 + 1 x −√
2 − x2 2 3 Zadanie 16. Rozwiąż nierówność
x5− 3x4+ x3+ 5x2 − 6x + 2 ¬ 0.
Zadanie 17. Sformułuj definicję cos t. Ustaw od najmniejszej do największej liczby sin 1, cos 2, tg 3, ctg 4.
Zadanie 18. Niech k 2. Wykaż, że dla dowolnego n prawdziwa jest nierówność 1k+ 2k+ . . . nk ¬ (n + 1)k+1
k + 1 .
Zadanie 19. Niech n ∈ N. Wykaż, że z dowolnych 2n+1− 1 liczb całkowitych można wybrać takie 2n liczb, których suma dzieli się przez 2n.
Zadanie 20. Udowodnij, że liczba √ 2 +√
3 +√ 5 jest niewymierna.
Zadanie 21. Wykaż, że spośród liczb [2k√
2] jest nieskończenie wiele liczb parzystych.
Zadanie 22. Uprość wyrażenia (a)
q4
32√3 4 + 4
v u u t643
s1 2− 33
q
2√4 2 ,
(b)
2a +√ ab 3a
!−1 √
a3−√ b3 a −√
ab − a − b
√a +√ b
!
i oblicz dla a = 117, b = 0.09.
Zadanie 23. Rozwiąż równania:
(a) sin x + cos(3x) = 1 + sin x cos(2x), (b) sin x · sin(3x) = 12.
Zadanie 24. Rozwiąż równania (a) cos x · cos(2x) cos(3x) = 1, (b) sin(3x) + cos(2x) + sin x =
−1.
2
Zadanie 25. Przedstaw (x + 2)101 w postaci sumy funkcji parzystej i nieparzystej.
Zadanie 26. Wykaż, że jeśli funkcja f : R → R spełnia f (x + 13) − f (x) = f (x + 6) − f (x + 7) dla wszystkich x ∈ R, to jest funkcją okresową.
Zadanie 27. Dla jakich a, b ∈ R wielomian (a + b)x5 + abx2+ 1 dzieli się przez x2− 3x + 2?
Zadanie 28. Uzasadnij, że funkcja x − sin x jest ściśle rosnąca.
Zadanie 29. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x). Pokaż, że wielomian v(x) = w(xn) jest podzielny przez xn−1+ xn−2+ . . . + x + 1.
Zadanie 30. Dla jakich a ∈ R wszystkie rozwiązania równania (x − 2)2 − 12|x − a| = 1 są dodatnie?
Zadanie 31. Oblicz (a)
0, 2 : 0, 125 + 145 : 2254 − 0, 1·37
3
8 + 0, 5· 62514 : 0, 3 (b)
9log4 31 +12log34+ 27log5 31 + 16−log3 41 (c) bb jeśli ab = 8, bc= 10, ac= 2,
(d) log308 wyrazić przez a = log 5, b = log 3, (e) tg α, jeśli cos α = 45, gdzie 32π < α < 2π.
Zadanie 32. Rozwiąż równania (a)
2x2− 3x + 5
3x + 5 + 2(3x + 5)
2x2− 3x + 5 = 3, (b) 4 − 5x = |5x − 4|,
(c) |x + 1| + 1 = x+1|x| , (d) x2+ x − 2 = x + 2,
(e) √
x2 − 4x +√
x − x2−√ x = 0, (f) 16 · 23x= 4x−332 ,
(g)
q3
6 +√ 35
x
+
q3
6 −√ 35
x
= 12, (h) log(x2+ 2x + 1) = 1 + log2(x + 1),
(i)
log32x
log3(4x − 15) = 1, (j) cos(4x) = −2 cos2x,
(k) 2(1 − cos 2x) =√ 3 tg x,
3
(l) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0, (m) 2(x − 3) sin x = |x − 3|.
Zadanie 33. Dla jakich a ∈ R większy z pierwiastków równania x2 − (a + 1)ax + a3 = 0 jest większy niż 12?
Zadanie 34. Dla jakich a ∈ R równanie
4x|x| + (a − 7)x + 1 = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie 35. Rozwiąż nierówności (a) log1
4(x + 7) ¬ log1
2(x + 1),
(b) log2(2x+ 1) + log23 > log2(2x− 1) + x + 1, (c) 54sin2x +14 sin2(2x) > cos(2x),
(d) |2 + log1
5 x| + 3 = |1 + log5x|.
Zadanie 36. Czy wymierna jest liczba
q3
26 − 15√ 3 +√
3?
4
