Index of /rozprawy2/10442

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIAŁ INŻYNIERII METALI I INFORMATYKI PRZEMYSŁOWEJ KATEDRA INFORMATYKI STOSOWANEJ I MODELOWANIA. ROZPRAWA DOKTORSKA Lechosław Trębacz. Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Promotor: Prof. dr hab. inż. Maciej Pietrzyk. Kraków, 2011.

(2) Składam serdeczne podziękowania wszystkim Pracownikom Katedry Informatyki Stosowanej i Modelowania za okazaną pomoc i stworzenie przyjacielskiej atmosfery ułatwiającej mi wykonanie tej pracy. Szczególne wyrazy wdzięczności kieruję do Prof. dr hab. inż. Macieja Pietrzyka za opiekę, życzliwość, wyrozumiałość oraz cenne dyskusje i wskazówki udzielane mi w czasie wykonywania badań i opracowywania wyników..

(3) Spis treści WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ. 5. 1 WSTĘP. 6. 2 ZJAWISKO PĘKANIA W PROCESACH PLASTYCZNEJ PRZERÓBKI METALI. 9. 2.1. PODSTAWY MECHANIKI PĘKANIA. 11. 2.1.1. Podstawowe równania teorii sprężystości ..........................................................................12. 2.1.2. Modele pękania materiału ..................................................................................................15. 2.2. MECHANIKA PĘKANIA CIAŁA O MODELU LINIOWO-SPRĘŻYSTYM. 15. 2.2.1. Stan naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny - Rozwiązanie Westergarda .....................16. 2.2.2. Uplastycznienie materiału w obszarze wierzchołka szczeliny.............................................20. 2.2.3. Teoretyczna i rzeczywista wytrzymałość materiału.............................................................24. 2.2.4. Energia Griffitha.................................................................................................................27. 2.2.5. Krzywa R.............................................................................................................................30. 2.3. MECHANIKA PĘKANIA CIAŁA O MODELU SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM. 31. 2.3.1. Krytyczne rozwarcie wierzchołka CTOD ............................................................................32. 2.3.2. Całka J ................................................................................................................................33. 2.4. KRYTERIA PĘKANIA. 34. 2.4.1. Empiryczne kryteria pękania ..............................................................................................34. 2.4.2. Mikrostrukturalne kryteria pękania ....................................................................................37. 2.5 2.5.1 2.6. PĘKANIE W APLIKACJACH NUMERYCZNYCH. 40. Zestawienie wartości krytycznych kryteriów pękania .........................................................56 ZAAWANSOWANE MODELOWANIE PĘKANIA. 59. 2.6.1. CAFE – połączenie automatów komórkowych z MES ........................................................59. 2.6.2. eXtended Finite Element Method (xFEM) ..........................................................................63. 2.7. PODSUMOWANIE. 65. 3 TEZA I CEL PRACY. 67. 4 MODEL FIZYCZNY I NUMERYCZNY PĘKANIA. 69. 4.1. PRÓBA SICO. 69. 4.2. PRÓBA ŚCISKANIA. 72. 4.3. MATERIAŁY UŻYTE DO BADAŃ. 72. 4.4. PRÓBA SICO DLA RÓŻNEJ TEMPERATURY I ZAWARTOŚCI MIEDZI W PRÓBKACH. 73. 4.5. PRÓBA ŚCISKANIA DLA RÓŻNYCH WARTOŚCI TEMPERATURY I PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA. 75. 4.6. PRÓBA SICO DLA RÓŻNYCH WARTOŚCI TEMPERATURY I PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA. 76. 4.7. MODEL NUMERYCZNY. 77. 4.7.1. Symulacja próby SICO dla różnej temperatury i zawartości miedzi w próbkach ...............79. 3.

(4) 4.7.2. Symulacja próby ściskania ................................................................................................. 86. 5 IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW W KRYTERIUM PĘKANIA PLASTYCZNEGO. 87. 5.1. WYBÓR PARAMETRÓW PROCESU DO ANALIZY. 87. 5.2. KORELACJA MIĘDZY PARAMETRAMI W KRYTERIUM PĘKANIA. 88. 5.3. ISTOTNOŚĆ PARAMETRÓW W KRYTERIUM PĘKANIA. 89. 5.4. METODA ODWROTNA W IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW. 94. 5.4.1. Metoda sympleksów............................................................................................................ 96. 5.4.2. Symulowane wyżarzanie..................................................................................................... 96. 5.5. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW REOLOGICZNYCH STOPU INCONEL. 98. 5.6. IDENTYFIKACJA WSPÓŁCZYNNIKÓW CIEPLNYCH. 99. 5.7. OPRACOWANIE NOWEGO KRYTERIUM PĘKANIA PLASTYCZNEGO. 100. 6 WERYFIKACJA OPRACOWANEGO KRYTERIUM PĘKANIA. 105. 7 ZASTOSOWANIE. 106. 8 PODSUMOWANIE I WNIOSKI. 113. SPIS RYSUNKÓW. 116. LITERATURA. 118. 4.

(5) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Wykaz ważniejszych oznaczeń. E. - moduł Younga. υ. - współczynnik Poissona. ρ. - gęstość. v. - prędkość. J3. - trzeci niezmiennik dewiatora stanu naprężeń. n. - współczynnik umocnienia. PSN. - płaski stan naprężenia. PSO. - płaski stan odkształcenia. σ. - naprężenie zastępcze (intensywność naprężenia). σ&. - prędkość naprężenia. σ&. - intensywność prędkości naprężenia. σ max. - maksymalne naprężenie główne. ε. - odkształcenie zastępcze (intensywność odkształcenia). ε&. - prędkość odkształcenia. ε&. - intensywność prędkości odkształcenia. σH, σm. - naprężenie średnie. η=. σm σ. - współczynnik trójosiowości naprężeń. K. - współczynnik intensywności naprężeń. Re. - granica plastyczności. a. - długość szczeliny (pęknięcia). G. - siła powodująca rozprzestrzeniania się pęknięcia. CTOD. - krytyczne rozwarcie wierzchołka szczeliny. σ 1 ,σ 2 ,σ 3. - naprężenia główne. ε1,ε 2 ,ε 3. - odkształcenia główne. 5.

(6) Lechosław Trębacz. 1 Wstęp. Procesy przeróbki plastycznej są procesami, których celem jest osiągnięcie założonych kształtów i wymiarów wyrobów oraz nadanie tym wyrobom wymaganych własności. Procesy te zachodzą pod wpływem przyłożonych sił, wywołujących w metalu określone naprężenia, powodujące jego przejście w stan plastyczny, jednak bez zmiany jego gęstości i naruszenia spójności. Najważniejszymi procesami w przeróbce plastycznej są walcowanie, kucie, ciągnienie, wyciskanie oraz tłoczenie. Przeróbka plastyczna dotyczy materiałów, które są plastyczne, czyli zdolne do ulegania nieodwracalnym odkształceniom pod wpływem sił zewnętrznych działających na ten materiał. Nieodwracalne odkształcenia, czyli plastyczne, powstają na skutek działania na ciało stałe naprężeń mechanicznych przekraczających zakres, w którym jest ono zdolne do odkształceń sprężystych i jednocześnie na tyle małych, że nie powodują zniszczenia ciągłości jego struktury. Jeżeli jednak podczas przeróbki plastycznej lub eksploatacji naprężenia przekroczą pewną krytyczną granicę dochodzi w materiale do pękania, czyli częściowego lub całkowitego rozdzielenia na części materiału (elementów konstrukcji lub maszyn). Praca ta poświęcona jest przewidywaniu pękania w trakcie przeróbki plastycznej, dlatego pierwsza część poświęcona jest zjawisku pękania, typom pękania oraz modelom matematycznym pękania. Pojawienie się nieoczekiwanego pęknięcia w trakcie przeróbki plastycznej oznacza wzrost zapotrzebowania na surowiec i energię potrzebną do ponownego wytworzenia produktu, co wiąże pękanie z pojęciem zrównoważonego rozwoju [43,48]. Zrównoważony rozwój jest procesem mającym na celu zaspokojenie aspiracji rozwojowych obecnego pokolenia w sposób umożliwiający realizację tych samych dążeń następnym pokoleniom. Ze względu na wielość i różnorodność czynników, wpływających na to zjawisko, wyodrębniono trzy główne obszary na których należy skoncentrować się przy planowaniu skutecznej strategii osiągnięcia zrównoważonego rozwoju. Są to: ochrona środowiska i. 6.

(7) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. racjonalna gospodarka zasobami naturalnymi (m. in. ograniczanie zanieczyszczenia środowiska, promocja odnawialnych źródeł energii), wzrost gospodarczy i sprawiedliwy podział korzyści z niego wynikających (m. in. ułatwienie dostępu do rynków dla państw rozwijających się, finansowanie rozwoju, zmiana nieracjonalnych wzorców konsumpcji i produkcji) oraz rozwój społeczny (m. in. walka z ubóstwem, dostęp do edukacji, ochrony zdrowia).. Rysunek 1.1 Zrównoważony rozwój jako wynikowa trzech składowych: społeczeństwa, środowiska i ekonomii. W sferze produkcji zrównoważony rozwój objawia się wykorzystywaniem technologii, które nie stanowią zagrożenia dla środowiska oraz poprzez minimalizację ilości surowców oraz energii koniecznych do wytworzenia produktów. Możliwość dokładnego przewidywania pękania i zapobieganie pęknięciom pozwala na poprawę niezawodności procesu, co skutkuje ograniczeniem ilości wyrobów, które nie spełniają kryteriów jakościowych odbiorcy. Dzięki temu ogranicza się ilość odpadów produkcyjnych i poprawia wyniki ekonomiczne przedsiębiorstwa. Na dzień dzisiejszy początek pękania modeluje się na dwa sposoby. Pierwszy z nich to kryteria makroskopowe. Mają one postać całek, zawierających funkcje naprężenia i odkształcenia, uzależnionych od stałej C. Są one proste w zastosowaniu, ale jednocześnie bez wyznaczenia wartości stałej materiałowej C nie można uzyskać wyników ilościowych, lecz jedynie jakościowe. Drugie podejście do modelowania początku pękania to zaawansowane numerycznie metody takie jak CAFE lub xFEM, które dają lepszą dokładność przewidywania pęknięcia, jednak są one zdecydowanie trudniejsze do zastosowania i znacznie zwiększają czas obliczeń.. 7.

(8) Lechosław Trębacz. Celem tej pracy jest opracowanie prostego, makroskopowego kryterium pękania uwzględniającego oprócz naprężeń i odkształceń także takie parametry procesu jak temperatura i prędkość odkształcenia. Kryterium to powinno znacznie poprawić dokładność przewidywania momentu powstawania pęknięcia, a z drugiej strony powinno charakteryzować się łatwą implementacją w programach MES i nie powodować znacznego wzrostu kosztów obliczeń.. 8.

(9) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. 2 Zjawisko pękania w procesach plastycznej przeróbki metali. Zjawiskiem pękania materiałów w procesach plastycznej przeróbki materiałów naukowcy zajmują się już od wielu lat. Powstało wiele modeli o różnym stopniu skomplikowania opisu matematycznego i o różnych możliwościach obliczeniowych. Rozdział ten ma na celu opisać zjawisko pękania materiałów odkształcanych plastycznie oraz przybliżyć teoretyczne podstawy modelowania zjawiska pękania. Dla kompletności opisu w niniejszym rozdziale rozważano pełny zakres zagadnień związanych z pękaniem, od pękania materiałów w stanie sprężystym aż po pękanie spowodowane dużymi odkształceniami plastycznymi. Zjawiska pękania możemy podzielić na trzy etapy. Na samym początku powstawania pęknięcia dochodzi w materiale do inicjacji wad struktury materiału. W następnej fazie obserwuje się ich stopniowy rozwój i łączenie w pęknięcia, natomiast ostatni etap to powstanie dominującego pęknięcia prowadzącego do uszkodzenia elementu. Pękanie materiału może nastąpić w trakcie przeróbki plastycznej lub w trakcie eksploatacji konstrukcji, pod wpływem obciążeń dynamicznych, wtedy mówimy o pękaniu zmęczeniowym. Powstaje ono w wyniku cyklicznie zmieniających się naprężeń eksploatacyjnych (znacznie mniejszych od wytrzymałości na rozciąganie), w wyniku których w materiale gromadzą się uszkodzenia prowadzące do pęknięcia. Pękanie można klasyfikować według intensywności odkształcenia plastycznego podczas pękania na: Pękanie plastyczne (ciągliwe) – rozprzestrzenianiu się pęknięcia towarzyszy intensywne odkształcenie plastyczne. Wymaga ono stałego doprowadzania energii z zewnątrz (zwiększania naprężenia). Pękanie kruche – zachodzi bez zauważalnych śladów odkształcenia plastycznego (zarówno przed pękaniem, jak i w czasie pękania). Charakteryzuje się małą energochłonnością procesu – nie wymaga zwiększania naprężenia dla propagacji pęknięcia. Na rysunku 2.1 pokazano różnicę między przełomem kruchym a plastycznym.. 9.

(10) Lechosław Trębacz. Rysunek 2.1 Przełom kruchy i plastyczny. Inną klasyfikacją pękania jest kryterium strukturalne: pękanie transkrystaliczne – pęknięcie rozprzestrzenia się przez ziarna (plastyczne lub kruche – łupliwe), pękanie międzykrystaliczne (międzyziarnowe) – pęknięcie rozprzestrzenia się wzdłuż granic ziarn. Przebieg zjawiska pękania w przeróbce plastycznej jest w dużym stopniu określony przez charakter wcześniejszego odkształcenia. Pękanie zależy od właściwości materiału, warunków prowadzonego procesu takich jak temperatura, prędkość odkształcenia, tarcie, itp. Odporność materiału na pękanie jest bardzo istotną cechą w wielu procesach kształtowania metali, wpływającą na koszt procesu. Podatność materiału na pękanie można wyznaczyć doświadczalnie lub poprzez zastosowanie wybranego kryterium pękania w symulacji badanego procesu. Problem pękania w trakcie przeróbki plastycznej jest istotny zwłaszcza dla materiałów o małej plastyczności, ale o dobrych własnościach użytkowych, np.: stop Inconel (stop NiCr) o dużej żaroodporności i odporności na korozję w wysokich temperaturach, ale trudny do formowania. Obecnie pękanie w procesach przeróbki plastycznej modeluje się wykorzystując do tego oprogramowanie oparte głównie na metodzie elementów skończonych, w której zaimplementowano empiryczne, mikrostrukturalne kryteria pękania lub inny model przewidujący początek i rozprzestrzenianie się pękania. Obróbkę cieplno-plastyczną materiałów można symulować w takich aplikacjach jak: ABAQUS, Forge, Adina, itp. Opro-. 10.

(11) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. gramowanie to oblicza pola naprężeń, odkształceń i temperatur w całej objętości materiału, a dodatkowo pozwala określić wartość wybranych kryteriów pękania. Niektóre z programów modelujących obróbkę plastyczną umożliwiają także wprowadzenie do nich własnych kryteriów. Przed zastosowaniem kryteriów pękania należy przeprowadzić ich identyfikację czyli tak dobrać parametry empiryczne, aby dane kryterium poprawnie przewidywało początek i rozprzestrzenianie się pęknięcia. Parametry te mają różne wartości w zależności od typu procesu, rodzaju materiału, temperatury, prędkości odkształcenia, stąd identyfikacja kryteriów pękania jest zadaniem trudnym w realizacji. Celem tej pracy jest opracowanie kryterium pękania, które w połączeniu z metodą elementów skończonych umożliwiłoby określenie momentu powstania pęknięcia plastycznego w trakcie przeróbki plastycznej. Pozwoliłoby ono ograniczyć ilość prób doświadczalnych koniecznych do identyfikacji tego kryterium. W celu stworzenia podstaw teoretycznych dla budowy kryterium w następnych rozdziałach przedstawiono teorię mechaniki pękania, która próbuje odpowiedzieć na pytanie, w jaki sposób dochodzi w materiale do pęknięć.. 2.1 Podstawy mechaniki pękania Dzięki mechanice pękania możemy uzyskać ogólny obraz parametrów umożliwiających opis pękania oraz poznać czynniki decydujące o powstaniu pęknięcia w materiale. Zjawisko pękania możemy podzielić na trzy etapy. Na samym początku powstawania pęknięcia dochodzi w materiale do inicjacji wad struktury materiału. W następnej fazie obserwuje się ich stopniowy rozwój i łączenie w pęknięcia, natomiast ostatni etap to powstanie dominującego pęknięcia prowadzącego do uszkodzenia elementu. Mechanika pękania jest interdyscyplinarną dziedziną nauki z pogranicza mechaniki i materiałoznawstwa, której przedmiotem zainteresowania jest proces pękania materiału. Zadaniem mechaniki pękania jest: poznanie natury fizycznego zjawiska, jakim jest pękanie, stworzenie narzędzi umożliwiających określenie wytrzymałości materiału zawierającego defekty,. 11.

(12) Lechosław Trębacz. określenie parametrów opisujących właściwości materiału, umożliwiających optymalizację procesu projektowania. Mechanika pękania jest teorią powstałą w XX wieku, która opisuje zjawisko powstawania oraz rozprzestrzeniania się pęknięcia w ciałach o różnej plastyczności. Pękanie nie jest do końca zbadanym i wyjaśnionym procesem, dlatego na obecnym etapie mechanika pękania nie rozwiązuje wszystkich związanych z tym zjawiskiem problemów, a jedynie przybliża nas do poznania mechanizmów powstawania pęknięcia. Z drugiej strony pozwala ona określić czynniki mające wpływ na zjawisko pękania i dlatego przedstawiona jest w tym rozdziale.. 2.1.1 Podstawowe równania teorii sprężystości Teoria mechaniki pękania wykorzystuje równania teorii sprężystości. Poniżej przytoczono najważniejsze z tych równań, stanowiące podstawę matematyczną mechaniki pękania [34,54]. Równania równowagi. Równania te możemy wyprowadzić z prawa zachowania pędu, które mówi, że w dowolnej chwili czasu t, dla dowolnego podobszaru ω wewnątrz Ω, całka iloczynu gęstości i prędkości jest stała:. ∫ ρvdω = const. (2.1). ω. Druga zasada dynamiki mówi, że pochodna względem czasu z pędu jest równa sumie przyłożonych sił: d ρvdω = ∫ σ • ndγ + ∫ ρgdω dt ω∫ γ ω. (2.2). gdzie: n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni zewnętrznej bryły. W równaniu (2.2) siły zewnętrzne wynikają z tensora naprężenia σ oraz z sił objętościowych związanych z polem wektorowym g, którym zwykle jest pole grawitacyjne. Zakładając, że gęstość ciała nie zmienia się w czasie równanie (2.2) przyjmuje postać: dv. ∫ ρ dt dω = ∫γ σ • ndγ + ω∫ ρgdω ω. (2.3). Podstawiając przyspieszenie a = dv/dt do równania (2.3) otrzymujemy:. ∫ ρadω = ∫γ σ • ndγ + ω∫ ρgdω. ω. 12. (2.4).

(13) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że dla każdego pola wektorowego zdefiniowanego w obszarze ω ograniczonym powierzchnią γ zachodzi zależność:. ∫ div(w)dω = ∫γ w • ndγ. (2.5). ω. przekształcamy pierwszą całkę po prawej stronie równania (2.4):. ∫γ σ • ndγ = ω∫ div(σ)dω. (2.6). Wykorzystując zależność (2.6) modyfikujemy równanie (2.4) do postaci:. ∫ ρadω = ω∫ div(σ)dω + ω∫ ρgdω. (2.7). ω. Równanie (2.7) możemy zapisać jako:. ∫ [ρa − div(σ) − ρg]dω = 0. (2.8). ω. Równanie (2.8) musi być spełnione w każdym podobszarze ω w Ω, czyli funkcja podcałkowa musi się zerować:. ρa = div(σ) + ρg. (2.9). Zakładając brak sił bezwładności (a = 0), otrzymamy równanie równowagi: div(σ ) + ρg = 0. (2.10). Równania równowagi (2.10) spełniają następujące warunki brzegowe: Dirichleta δx = 0 na ΓN. (2.11). Neumanna σ ⋅ n = f na ΓN. (2.12). gdzie: ΓD, ΓN – część powierzchni zewnętrznej, na której zadane są warunki brzegowe odpowiednio Dirichleta lub Neumanna, fi – składowe sił zewnętrznych działających na bryłę, ni - składowe wektora jednostkowego prostopadłego do powierzchni zewnętrznej bryły. Równania równowagi są podstawą rozwiązań numerycznych w modelach procesów kształtowania materiałów. Z rozważań wynika, że w równaniach tych występuje sześć niewiadomych, a równań jest trzy. Aby możliwe było rozwiązanie problemu należy uwzględnić warunki odkształcenia oraz zależności między odkształceniami i naprężeniami określone przez własności ośrodka.. 13.

(14) Lechosław Trębacz. Prawo zachowania momentu pędu. Moment pędu to iloczyn wektorowy pędu i wektora r zaczepionego w punkcie według którego liczymy moment pędu. Mnożąc równanie (2.4) przez powyżej wymieniony wektor otrzymujemy zależność:. ∫ω r × ρadω = ∫γ r × σ • ndγ + ω∫ r × ρgdω. (2.13). Wiedząc, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch niewspółliniowych wektorów jest wektor prostopadły do nich c: ci = (a × b )i = ε ijk a j bk. (2.14). gdzie εijk - symbol Levi-Civita:. ε ijk.  0  = 1  −1 . gdy i = j lub j = k lub k = i gdy jest to parzysta permutacja gdy jest to nieparzysta permutacja. (2.15). Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego (2.5) oraz zależności (2.14) przekształcamy pierwszy człon prawej strony równania (2.13) do postaci:. ∫γ r × σ • ndγ = ω∫ div(εrσ )dω = ω∫ [εσ + r × div(σ )]dω. (2.16). Podstawiając teraz równanie (2.16) do (2.13) otrzymujemy:. ∫ r × ρadω = ω∫ (εσ + r × div(σ))dω + ω∫ r × ρgdω. ω. ∫ [r × (ρa − ρg − div(σ)) − εσ]dω = 0. (2.17). ω. Wykorzystując zasadę zachowania pędu (2.8) otrzymujemy ostatecznie:. ∫ εσdω = 0. (2.18). ω. Równanie (2.18) musi być spełnione w każdym podobszarze ω w Ω, zatem prawdziwe jest równanie w postaci indeksowej:. ε ijk σ jk = 0. (2.19). Trzy składowe pod całką muszą się zerować. Te składowe to:. σ 12 − σ 21 = 0 σ 23 − σ 32 = 0 σ 31 − σ 13 = 0 Równanie (2.20) jest dowodem symetryczności tensora stanu naprężenia.. 14. (2.20).

(15) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. 2.1.2 Modele pękania materiału Mechanika pękania wyróżnia trzy podstawowe typy szczelin w zależności od sposobu w jaki przemieszczają sie względem siebie brzegi szczeliny na skutek działającego obciążenia (Rysunek 2.2): Typ I - Rozrywanie – powierzchnie szczeliny rozchodzą się w kierunku prostopadłym do frontu szczeliny. Typ II - Poprzeczne ścinanie – powierzchnie szczeliny ślizgają się po sobie w kierunku prostopadłym do frontu szczeliny. Typ III - Podłużne ścinanie – powierzchnie szczeliny przesuwają się po sobie w kierunku równoległym do frontu szczeliny. Modele przewidujące pękanie powstają dla konkretnych typów pękania lub też mogą mieć charakter ogólny, czyli mieć zastosowanie dla każdego z nich.. Rysunek 2.2 Typy obciążeń szczelin. 2.2 Mechanika pękania ciała o modelu liniowo-sprężystym W rozdziale tym przedstawiono model pękania dla ciała o bardzo małej plastyczności, w którym w wyniku działania naprężeń nie powstaje strefa uplastycznienia w wierzchołku szczeliny. Wprawdzie niniejsza praca dedykowana jest pękaniu podczas przeróbki plastycznej, w wyniku której dochodzi do uplastycznienia się materiału, ale mechanika pękania dla ciała plastycznego wywodzi się z mechaniki pękania dla ciała liniowo-sprężystego, która została opisana w tym rozdziale.. 15.

(16) Lechosław Trębacz. 2.2.1 Stan naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny - Rozwiązanie Westergarda Westergard [110] użył funkcji zespolonych i równań Cauchy’ego-Riemanna do rozwiązania problemu wyznaczenia naprężeń w otoczeniu szczeliny o długości 2a, znajdującej się w paśmie o nieskończonych wymiarach (szczelina wpływa na pole naprężeń i odkształceń tylko lokalnie, dlatego to założenie ma niewielki wpływ na poprawność rozwiązania w praktycznych zastosowaniach). Rozważano w tym przypadku płaski stan naprężenia i płaski stan odkształcenia, wywołany obecnością na brzegach pasma naprężeń σ11 = σ22 = σ0 (Rysunek 2.3). σ0 x2. x1. σ0. σ0. a. σ0 Rysunek 2.3 Szczelina w paśmie materiału w dwuwymiarowym stanie naprężeń. W celu określenia, czy szczelina będzie się rozprzestrzeniać pod wpływem sił przyłożonych do próbki, należy określić naprężenia działające w otoczeniu szczeliny. Zastosowano w tym celu współrzędne biegunowe pokazane na rysunku 2.4.. 16.

(17) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Rysunek 2.4 Szczelina w biegunowym układzie współrzędnych. Westergard określił naprężenie w pobliżu szczeliny jako:. σ 11 = σ. θ θ a 3θ  cos 1 − sin sin  2r 2 2 2 . σ 22 = σ. a 3θ  θ θ cos 1 + sin sin  2r 2 2 2 . σ 12 = σ. a θ θ 3θ sin cos cos 2r 2 2 2. (2.21). Williams korzystając z techniki rozwinięcia funkcji naprężeń [114] przeprowadził analogiczne rozwiązanie jak Westergard i otrzymał równania:. θ θ 3θ  cos 1 − sin sin  + ... 2 2 2  2πr KI θ θ 3θ  = cos 1 + sin sin  + ... 2 2 2  2πr KI θ θ 3θ = sin cos cos + ... 2 2 2 2πr. σ 11 = σ 22 σ 12. KI. (2.22). Pozostałe składowe naprężeń dla płaskiego stanu naprężenia (PSN) wynoszą:. σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0. (2.23). natomiast dla płaskiego stanu odkształcenia (PSO):. 17.

(18) Lechosław Trębacz. σ 13 = σ 23 = 0 σ 33 = ν (σ 11 + σ 22 ). (2.24). Porównując obydwa rozwiązania otrzymujemy zależność opisującą współczynnik intensywności naprężeń K: K = σ 2πa [MPa m ]. (2.25). Z równania (2.25) możemy wyznaczyć krytyczny współczynnik intensywności naprężeń K c:. K c = σ c πa. (2.26). Naprężenie krytyczne σc jest naprężeniem granicznym, którego przekroczenie powoduje nagłe rozprzestrzenienie się pęknięcia na cały przekrój elementu. Doświadczenia wykazały, że krytyczny współczynnik intensywności dobrze charakteryzuje skłonność materiału o modelu liniowo-sprężystym do pękania. Poniżej przedstawiono równania dla składowych naprężeń [15] dla wszystkich typów szczelin w kartezjańskim oraz biegunowym układzie współrzędnych (Rysunek 2.5).. Rysunek 2.5 Oznaczenie składowych naprężeń wokół wierzchołka szczeliny w układzie kartezjańskim (x1, x2) oraz biegunowym (r, θ). 18.

(19) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Szczelina I typu (rozrywanie):. σ 11  cos(θ / 2)[1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2)] KI     σ 22  = cos(θ / 2)[1 + sin(θ / 2) sin(3θ / 2)] 2πr  σ    12   sin(θ / 2) cos(θ / 2) cos(3θ / 2)  σ 33 = ν ' (σ 11 + σ 22 ), σ 13 = σ 23 = 0. [. ]. (2.27). cos(θ / 2) 1 + sin (θ / 2)  σ rr  KI     cos 3 (θ / 2) σ θθ  =   2πr  2 σ    rθ   sin(θ / 2) cos (θ / 2)  σ zz = ν ' (σ rr + σ θθ ), σ rz = σ θz = 0 2. Szczelina II typu (poprzeczne ścinanie):. σ 11  − sin(θ / 2)[2 + cos(θ / 2) cos(3θ / 2)] K II     σ 22  =  sin(θ / 2) cos(θ / 2) cos(3θ / 2)  2πr  σ    12   cos(θ / 2)[1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2)]  σ 33 = ν ' (σ 11 + σ 22 ), σ 13 = σ 23 = 0. [. ]. [. ]. (2.28).  sin(θ / 2) 1 − 3 sin 2 (θ / 2)  σ rr  K II     2 σ θθ  =  − 3 sin(θ / 2) cos (θ / 2)  2πr  2 σ    rθ  cos(θ / 2) 1 − 3 sin (θ / 2)  σ zz = ν ' (σ rr + σ θθ ), σ rz = σ θz = 0 Szczelina III typu (podłużne ścinanie): σ 13  K III − sin(θ / 2)  =   2πr  cos(θ / 2)  σ 23  σ 11 = σ 22 , σ 12 = 0 (2.29) σ rz  K III  sin(θ / 2)   =   2πr cos(θ / 2) σ θz  σ rr = σ θθ = σ zz , σ rθ = 0 W równaniach (2.27), (2.28) i (2.29) przyjęto oznaczenie: v ′ = 0 dla płaskiego stanu naprężeń, v ′ = v dla płaskiego stanu odkształceń.. 19.

(20) Lechosław Trębacz. 2.2.2 Uplastycznienie materiału w obszarze wierzchołka szczeliny Z wcześniejszego opisu liniowo-sprężystego modelu ciała wynika, że przy dowolnie małym obciążeniu naprężenie w wierzchołku szczeliny osiąga nieskończenie wielką wartość. Jednak w rzeczywistych ciałach wartość naprężenia jest ograniczona przez granicę plastyczności (w ciałach plastycznych) lub siły wiązań kohezji (dla ciał kruchych). W celu dokładniejszego opisu ciała w pobliżu szczeliny należy uwzględnić uplastycznienie strefy przy wierzchołku szczeliny. Model Irwina Wraz z pojawieniem się strefy plastycznej u wierzchołka szczeliny materiał zmniejsza swoją sztywność, a więc zachowuje się tak jakby sama szczelina była dłuższa niż w rzeczywistości. Irwin [46] nazwał tę długość efektywną długością szczeliny: a ef = a + ∆a. (2.30). Irwin założył, że proces spiętrzania się naprężeń przenosi się z wierzchołka szczeliny na efektywny wierzchołek szczeliny, gdzie następuje ich relaksacja na obszar strefy uplastyczniającej do wartości granicy plastyczności materiału, powodując dalsze uplastycznienie wierzchołka na odległość rpl (Rysunek 2.6).. Rysunek 2.6 Model uplastycznienia wierzchołka szczeliny wg Irwina. Irwin określił współczynnik intensywności naprężeń jako: K = σ 11 2πr = Re 2πrpl. (2.31). Udowodnił także, że obszar lokalnego odkształcenia rpl przed wierzchołkiem szczeliny efektywnej jest równy przyrostowi długości szczeliny ∆a. Sumując obie te wielkości. 20.

(21) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. można powiedzieć, że wielkość lokalnego pola odkształcenia plastycznego przed wierzchołkiem szczeliny o długości a wynosi 2rpl (długość tą można wyprowadzić z równania 2.32): 1K 2rpl =  I π  Re.   . 2. (2.32). Uwzględniając podaną powyżej definicję efektywnej długości szczeliny, można w dalszej kolejności zdefiniować efektywny współczynnik intensywności naprężeń:. K ef = σ πaef =. σ πa 1 σ 1 −  2  Re.   . 2. (2.33). Z równania (2.33) można wywnioskować, że zasięg strefy odkształcenia plastycznego wokół wierzchołka jest wprost proporcjonalny do wartości σ / Re . Wzrostowi strefy odkształcenia plastycznego towarzyszy lokalny wzrost współczynnika intensywności naprężeń w tym obszarze w porównaniu z materiałem idealnie sprężystym, co pokazano na rysunku 2.7.. Rysunek 2.7 Wartości naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny w materiale idealnie sprężystym oraz wg modelu Irwina. Im większa jest strefa odkształcenia uplastyczniającego tym większą wartość muszą mieć naprężenia, aby doszło do pęknięcia. Wielkość strefy odkształcenia plastycznego dla materiału będącego w płaskim stanie naprężenia jest trzy razy większa niż dla mate-. 21.

(22) Lechosław Trębacz. riału w płaskim stanie odkształcenia, czyli materiał będący w płaskim stanie naprężenia jest bardziej odporny na pękanie od materiału w płaskim stanie odkształcenia [15]. Model Dugdala-Barenbłatta Dugdale i Barenbłatt założyli, że na obu krańcach szczeliny o długości fizycznej 2a znajdują się obszary o długości ∆a, na które działają siły równoważące naprężenia przyłożone na krawędzi pasma (Rysunek 2.8).. Rysunek 2.8 Model uplastycznienia wierzchołka szczeliny wg Dugdale’a i Barenbłatta. W modelu Dugdale’a [29] siły te są równoważne granicy uplastycznienia materiału, natomiast w modelu Barenbłatta [10] są siłami spójności (kohezji) materiału. Współczynnik intensywności naprężeń dla obu wierzchołków szczeliny możemy wyrazić poprzez równania: K Iprawy wierzchoek = K. lewy wierzchoek I. =. P. πa P. πa. a+x a−x a−x a+x. (2.34). gdzie: P – siła działająca na wierzchołek szczeliny. Przy założeniu jednostkowej grubości pasma, równanie na siłę powstrzymującą uplastycznienie materiału (Dugdale) lub utrzymującą jego spójność (Barenbłatt) możemy zapisać w postaci: P = − Re dx. 22. (2.35).

(23) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Znak ‘-’ świadczy o tym, że P jest siłą dążącą do zmniejszenia szczeliny. Wartość współczynnika intensywności naprężeń stanowi sumę wartości tego współczynnika dla obu końców szczeliny (suma równań (2.34)): K=. a + ∆a. Re. π (a + ∆a ) ∫ a. − 2 Re − 2 Re. a + ∆a. π a + ∆a. π.   . a + ∆a. (a + ∆a ) + x + (a + ∆a ) − x dx = (a + ∆a ) − x (a + ∆a ) + x  dx. ∫ (a + ∆a ). 2. a. − x2. =. (2.36).  a  cos −1    a + ∆a . Całkowanie w równaniu (2.36) odbywa się w strefie uplastycznienia (od wierzchołka fizycznego szczeliny a do końca strefy uplastycznienia a+∆a). Współczynnik intensywności naprężeń wywołany naprężeniami σ0 przyłożonymi do krawędzi zewnętrznej próbki to:. K I = σ 0 π (a + ∆a ). (2.37). Naprężenia wewnątrz materiału są równoważone przez naprężenia σ0 wywołane siłami przyłożonymi do krawędzi zewnętrznej próbki.. Porównując oba współczynniki intensywności naprężeń, równania (2.36) i (2.37), otrzymujemy:. σ 0 π (a + ∆a ) = −2 Re. a + ∆a. π.  a  cos −1    a + ∆a .  πσ  a = cos 0  a + ∆a  2 Re . (2.38). Model zakłada, że jeśli ∆a dąży do nieskończoności (uplastycznienie obejmuje cały przekrój pasma) to naprężenia σ0 osiągną wartość granicy plastyczności Re. Rozwijając.  πσ  wyrażenie cos 0  w szereg Taylora oraz uznając za istotne tylko dwa pierwsze czło 2 Re  ny tego rozwinięcia, wyliczamy długość strefy uplastyczniającej: ∆a =. π 2σ 02 a 8 Re2. =. π  KI    8  Re . 2. (2.39). Z równań (2.32) i (2.39) wynika, że dla płaskiego stanu naprężenia strefa uplastycznienia dla modelu Dugdale’a-Barenbłatta jest nieco większa niż w modelu Irwina. Dla modelu Dugdale’a-Barenbłatta efektywny współczynnik intensywności naprężeń wynosi:. 23.

(24) Lechosław Trębacz.  πσ K ef = σ πa sec  2 Re.   . (2.40). Obserwując rzeczywiste materiały, dla których rozmiar strefy uplastycznienia jest mniejszy niż w modelu Dugdale’a-Barenbłatta, Burdekin i Stone’a [19] zmodyfikowali równanie opisujące współczynnik intensywności naprężeń do postaci:. K ef = Re.  πσ  ln sec π2  2R e 8.   . (2.41). Porównanie efektywnych współczynników intensywności naprężeń dla różnych modeli w zależności od stosunku. σ Re. przedstawiono na rysunku 2.9.. Rysunek 2.9 Efektywny współczynnik intensywności naprężeń Kef dla różnych modeli. 2.2.3 Teoretyczna i rzeczywista wytrzymałość materiału W celu określenia teoretycznej wytrzymałości materiału na pękanie należy rozważyć materiał bez defektów jako zbiór atomów tworzących sieć krystalograficzną o odległości między atomami równej b0. Działanie zewnętrznych sił P na materiał powoduje wyprowadzenie układu atomów ze stanu równowagi, który charakteryzuje się minimalną energią U. Siłę P potrzebną do rozerwania wiązań atomowych otrzymujemy poprzez zróżniczkowanie energii U względem odległości międzyatomowej b0. Praca tych sił na. 24.

(25) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. rozdzielenie materiału równa się energii powierzchniowej γ dwóch nowo powstałych powierzchni pęknięcia (Rysunek 2.10).. Rysunek 2.10. Energia potrzebna do pokonania wiązań w krysztale a) obciążenie komórki, b) energia potencjalna układu, c) siły wiązań w komórce krystalograficznej, d) energia potrzebna do pokonania wiązań w krysztale.. Definiując odkształcenie sieci krystalicznej jako:. ε=. x b0. (2.42). gdzie x – przemieszczenie atomu, oraz korzystając z prawa Hooka:. σ = Eε. (2.43). otrzymujemy zależność naprężenia od przemieszczenia atomów:. σ =E. x b0. (2.44). 25.

(26) Lechosław Trębacz. Moduł sprężystości E określamy jako styczną do funkcji siły wiązań atomowych P=dU/db w punkcie o współrzędnych (x = b0, P = 0) (Rysunek 2.10). Funkcję naprężeń σ można aproksymować poprzez funkcję sinus o długości fali λ:. σ = σ c sin. 2πx. (2.45). λ. gdzie: σc - naprężenie krytyczne, powodujące zerwanie wiązań międzyatomowych. Pracę potrzebną do powstania pęknięcia obliczamy jako całkę z naprężenia: W=. λ/2. λ/2. 0. 0. ∫ σdx = ∫. λ/2. 2πx. λ 2πx   σ c sin σ c − cos dx = λ λ  0 2π . =. λ σc π. (2.46). Praca W wykonywana podczas powstania pęknięcia zmienia się w energię powierzchniową γ dwóch nowo powstałych powierzchni szczeliny:. λ σ c = 2γ π. (2.47). W celu wyliczenia naprężeń krytycznych różniczkujemy równanie (2.45) względem odległości między atomami x i otrzymujemy: dσ 2πx 2πx = σ c cos λ dx λ Przyjmując, że dla małych wartości x wyrażenie cos. 2πx. λ. (2.48). ≈ 1 , możemy zapisać:. dσ 2πx ≈ σc λ dx. (2.49). Po zróżniczkowaniu równania (2.44) otrzymujemy:. dσ E = dx b0. (2.50). Porównując równania (2.49) i (2.50) otrzymano:. 2π. λ. σc =. E b0. (2.51). Można teraz wyeliminować λ, poprzez wykorzystanie wyrażenia (2.47):. σc =. Eγ b0. (2.52). Jest to teoretyczna odporność materiału na pękanie, jednakże rzeczywista wartość tej odporności jest zdecydowanie niższa, co spowodowane jest obecnością w materiale. 26.

(27) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. defektów takich jak dyslokacje, mikropęknięcia oraz wtrącenia. Wartość odporności materiału na pękanie próbowano urealnić poprzez wyprowadzeniu równań dla materiału z nieciągłościami. Griffith, opierając się na równaniu opracowanym przez Inglisa [45] wyprowadził zależność wytrzymałości materiału od obecności w nim nieciągłości w postaci szczelin o kształcie elipsy: . a.  σ 11 = σ 1 + 2  ρ  . (2.53). gdzie: a - długość szczeliny, ρ - promień zaokrąglenia szczeliny o długości równej stałej sieciowej b0. Wielkość szczeliny jest wielokrotnie większa od stałej sieciowej i w związku z tym można zapisać:. a. >> 1. 2. ρ. σ 11. a = 2σ b0. (2.54). Zakładając kryterium pękania materiału σ 11 = σ c i korzystając z równania (2.52) otrzymujemy wartość naprężeń, które powodują pęknięcia w rzeczywistym materiale:. σc =. Eγ 4a. (2.55). Równanie to z powodu przyjętych przybliżeń jest tylko ogólnym oszacowaniem rzeczywistej odporności materiału na pękanie. Zakładając, że defekty spotykane w materiale mają wielkość około 0.5 µm, rzeczywiste naprężenia krytyczne (równanie (2.55)) są około dwa rzędy wielkości niższe od wartości naprężeń teoretycznych (równanie (2.51)). Wynika stąd, że defekty mikrostrukturalne odgrywają olbrzymią rolę w tworzeniu się pęknięć [15].. 2.2.4 Energia Griffitha Griffith podał równanie stanu energetycznego dla nieskończenie wielkiej płyty o grubości jednostkowej, na którą działają naprężenia σ i która zawiera szczelinę o długo-. ści 2a:. 27.

(28) Lechosław Trębacz. U = U0 + U a + Uγ − F. (2.56). gdzie: U0 – energia sprężysta napiętej tarczy bez szczeliny, Ua – zmiana energii sprężystej wywołana przez powstanie szczeliny, Uγ – energia powierzchniowa związana z powstaniem dwóch powierzchni szczeliny, F – praca wykonywana na płycie przez siły zewnętrzne. Korzystając z rozwiązania Inglisa, Griffith określił zmianę energii potencjalnej Ua: Ua = −. πσ 2 a 2 E. (2.57). oraz zmianę energii powierzchniowej w wyniku powstania szczeliny: U γ = 2(2aγ e ). (2.58). gdzie: 2a – powierzchnia szczeliny o grubości jednostkowej, γe – stała materiałowa sprężystej energii powierzchniowej związana z siłami wiązań międzyatomowych [J/m2]. Przy założeniu, że praca wykonywana przez siły zewnętrzne wynosi zero, możemy zapisać:. U = U0 −. πσ 2 a 2 E. + 4 aγ e. (2.59). Równanie (2.59) można przedstawić graficznie, jak to pokazano na rysunku 2.11. Z przedstawionego na rysunku 2.11a wykresu wynika, że wraz ze wzrostem długości szczeliny wzrasta liniowo energia powierzchniowa oraz maleje nieliniowo energia sprę-. żysta układu. Suma tych dwóch energii posiada lokalne maksimum, które określa krytyczną długość szczeliny, powyżej której wielkość szczeliny rośnie spontanicznie. Długość krytyczną szczeliny ac określamy z warunku zerowania się pochodnej dU/da.. 28.

(29) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Rysunek 2.11 Bilans energetyczny w tarczy ze szczeliną wg Griffitha. a) suma energii sprężystej odkształcenia i energii powierzchniowej, b) długość krytyczna szczeliny. Stąd otrzymujemy wartości naprężeń prowadzących do pęknięcia:.  d  πσ 2 a 2  − + 4aγ e  = 0 da  E . πσ 2 a E. = 2γ e (2.60). 2 Eγ e σF = πa. σF =. dla PSN. 2 Eγ e πa 1 −ν 2. (. ). dla PSO. Korzystając z równania (2.60) można zdefiniować dwie wielkości: szybkość uwalniania energii G: G=. πσ 2 a E. (2.61). odporność materiału na pękanie R: R = 2γ e. (2.62). Korzystając z definicji współczynnika intensywności naprężeń (2.26) możemy określić związek między współczynnikiem intensywności naprężeń K [MPa*m1/2], energią powierzchniową γe oraz szybkością uwalniania energii G [MNm-1]:. 29.

(30) Lechosław Trębacz. K2 = 2γ e = G dla PSN E K 2 1 −ν 2 = 2γ e = G dla PSO E. (. ). (2.63). Wykorzystując równania (2.63) możemy określić zależności między współczynnikami w modelu liniowym, a współczynnikami w modelu liniowym z uplastycznieniem.. 2.2.5 Krzywa R Warunkiem rozwoju szczeliny jest przewaga dostarczanej do układu energii nad pracą zużywaną do rozdzielenia materiału. Wartość energii dostarczanej do układu charakteryzuje szybkość uwalniania energii G, natomiast pracę zużytą na rozdzielenie materiału charakteryzuje parametr R związany z odpornością danego materiału na pękanie. Wraz ze zmianą długości szczeliny zmieniają się obie te wielkości. Krzywa R jest reprezentowana przez wykres na którym przedstawione są zmiany dwóch wymienionych wielkości w funkcji długości szczeliny. Na rysunku 2.12 przedstawiono krzywą R dla materiałów kruchych oraz dla materiałów ze zwiększoną plastycznością. Niestabilna propagacja szczeliny wg krzywej R następuje w momencie, kiedy wartość uwalnianej energii sprężystej G przewyższa wartość odporności na pękanie materiału R [15]. W ciałach kruchych znajdujących się w PSO charakterystyka R jest płaska i nie zależy od długości szczeliny, natomiast G ma charakter prostej wychodzącej z początku układu współrzędnych. Niestabilna propagacja szczeliny następuje w momencie przewyższenia wartości odporności na pękanie materiału przez wartość uwalnianej energii sprężystej G. Dla materiałów o zwiększonej ciągliwości będących w PSN charakterystyka R jest krzywą rosnącą. Przy wzroście naprężeń od σ1 do σ2 obserwuje się stabilny wzrost długości szczeliny ∆a. Natomiast po przekroczeniu σc, kiedy prosta siły napędzającej wzrost szczeliny G stanie się styczna do krzywej R, następuje niestabilne pękanie materiału.. 30.

(31) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. a). b). Rysunek 2.12 Krzywa R dla: a) materiałów kruchych pękających w PSO b) materiałów ze zwiększoną plastycznością pękających w PSN. W oparciu o mechanikę pękania dla ciał liniowo-sprężystych stworzono mechanikę pękania dla materiałów o modelu sprężysto-plastycznym opisanych w następnym rozdziale.. 2.3 Mechanika pękania ciała o modelu sprężysto-plastycznym Przedstawione wcześniej modele zachowania się materiału podczas pękania dotyczyły materiałów, w których obszar uplastycznienia był niewielki. W przypadku materiałów bardziej plastycznych należy zastosować model pękania, który prawidłowo opisuje zachowanie materiału plastycznego a jednocześnie poprawnie modeluje ciała kruche. Wielkości opisujące model sprężysto-plastyczny to krytyczne rozwarcie wierzchołka szczeliny CTOD (Crack Tip Opening Displacement) oraz energia uwalniana w procesie pękania, czyli całka J. W niniejszej pracy opracowane zostało kryterium pękania, które służy do przewidywania momentu powstania pęknięcia w materiale plastycznym w trakcie odkształcenia.. 31.

(32) Lechosław Trębacz. Rozdział ten opisuje zjawisko pękania ze strefą uplastyczniania przy wierzchołku pęknięcia, w celu przybliżenia opisu pękania w materiale plastycznym.. 2.3.1 Krytyczne rozwarcie wierzchołka CTOD Jedną z miar odporności materiału na pękanie jest rozwarcie wierzchołka szczeliny CTOD. Jest to odległość między krawędziami szczeliny w kierunku y w odległości równej długości szczeliny w osi x (Rysunek 2.13).. Rysunek 2.13 Efektywna długość szczeliny oraz sposób pomiaru wierzchołkowego rozchylenia krawędzi szczeliny CTOD. Im większa wartość CTOD zostanie osiągnięta przez materiał przed pęknięciem, tym wyższa będzie odporność danego materiału na pęknięcie. Równanie na CTOD możemy wyrazić w postaci [15]: CTOD =. 4σ E. 2ar pl + r pl2. (2.64). Przy założeniu, że długość szczeliny a jest znacznie większa niż długość strefy uplastycznionej rpl, możemy napisać: CTOD ≈. 4σ E. 2arpl. (2.65). Podstawiając równanie (2.32) do równania (2.65) otrzymujemy:. 4σ CTOD ≈ E CTOD ≈. 32. a  KI  π  Re 2 I. 4K EReπ.   . 2. (2.66).

(33) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Korzystając z równania (2.63) otrzymujemy: CTOD ≈. 4G πRe. (2.67). Za pomocą tych równań można przeliczyć odporność na pękanie wyrażoną poprzez współczynnik intensywności naprężeń K lub poprzez siłę rozprzestrzeniającą pęknięcie. G na wartości odporności na pękanie wyrażone za pomocą rozwarcia wierzchołka szczeliny CTOD [15].. 2.3.2 Całka J Całka J jest parametrem opisującym szybkość uwalnianej energii podczas pęknięcia dla materiału z nieliniową sprężystością. Można ją określić jako zmianę energii potencjalnej dUp w funkcji przyrostu długości szczeliny:. J =−. dU p. (2.68). da. Energia potencjalna Up jest równa różnicy energii sprężystej układu i pracy sił zewnętrznych. Energia sprężysta układu jest równa całkowitej energii odkształcenia W, całkowanej w obszarze A ze szczeliną otoczoną dowolnym konturem Γ:. U a = ∫ WdΩ = ∫∫Wdxdy Ω. (2.69). Ω. Natomiast praca sił zewnętrznych jest wyznaczana przez całkowanie iloczynu wektora sił Ti skierowanego prostopadle do zewnętrznego konturu Γ i składowej wektora przemieszczenia ui:. F = ∫ Ti u i dΓ. (2.70). Γ. Z czego wynika, że energia potencjalna układu jest równa:. U p = ∫ WdΩ − ∫ Tiui dΓ Ω. (2.71). Γ. Stosując teoremat Greena mówiący o zamianie całki podwójnej na odpowiednią całkę brzegową oraz stosując zamianę da = -dx możemy zapisać:. J =−. dU p da. = ∫ Wdy − ∫ Ti Γ. Γ. ∂u i dΓ ∂x. (2.72). 33.

(34) Lechosław Trębacz. Równanie to jest szeroko stosowane w metodzie elementów skończonych. Dla obszaru bez szczeliny wartość całki J jest równa zero. Dodatkowo wartość całki nie zależy od wyboru drogi całkowania co ma duże znaczenia dla obliczeń wykonywanych metodą elementów skończonych. Zależność między całką J a innymi parametrami pękania wynosi [15]: K2 J = σ Re CTOD = G = E. (2.73). Równanie to jest bardzo użyteczne przy przeliczeniach rozwarcia wierzchołkowego szczeliny CTOD na wartości całki J, na siłę rozprzestrzeniającą szczelinę G oraz współczynnik intensywności naprężeń K (w modelu liniowo-sprężystym ciała).. 2.4 Kryteria pękania W tym rozdziale zaprezentowane są kryteria pękania bazujące na założeniu, że pękanie rozwija się na skutek odkształcenia, które powoduje narastające uszkodzenie w materiale. Kryteria te będą podstawą na której zostanie opracowane nowe kryterium, będące celem niniejszej pracy. Kryteria pękania można podzielić na dwie grupy: kryteria empiryczne, które bazują na parametrach makroskopowych i nie uwzględniają zmian w mikrostrukturze materiału podczas odkształcenia, kryteria mikrostrukturalne, według których pęknięcia powstają z wtrąceń w materiale, które podczas odkształcenia rosną i łączą się ze sobą, powodując uszkodzenie materiału. Kryteria te można zaimplementować w programie obliczającym pole naprężeń i odkształceń, dzięki czemu możliwe jest określenie, według danego kryterium, momentu powstania pęknięcia w odkształcanym materiale.. 2.4.1 Empiryczne kryteria pękania Kryteria empiryczne opierają się na parametrach makroskopowych. Zakładają one, że pojawienie się pęknięcia następuje w momencie, kiedy wartość danego kryterium przewyższy pewną stałą krytyczną. Kryteria te mają postać całki z funkcji reprezentującej wpływ wybranych parametrów procesu podczas odkształcenia:. 34.

(35) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. ε f (t ). ∫ f (parametry procesu )dε ≥ C. (2.74). 0. Funkcja podcałkowa w empirycznych kryteriach pękania zależy przeważnie od naprężenia i odkształcenia. Naprężenie reprezentowane jest najczęściej przez naprężenie zastępcze, średnie lub ścinające. Powszechnie stosowanym empirycznym kryterium pękania jest kryterium Lathama-Cockcrofta [26]: ε f (t ). ∫σ. max. dε ≥ C. (2.75). 0. Kryterium to uzależnione jest od całki z największego naprężenia głównego. Według tego kryterium pęknięcie powstanie kiedy całka z równania (2.75) przekroczy pewną stałą C, ustaloną dla danego materiału, w danej temperaturze i dla danej prędkości odkształcenia. Poniżej przedstawiono inne empiryczne kryteria pękania (stała C przyjmuje różne wartości w różnych kryteriach): Tresca. -. σ1 ≥ C. (2.76). Intensywność naprężenia. -. σ ≥C. (2.77). Naprężenie średnie. -. σH ≥ C. (2.78). Odkształcenie główne. -. ε1 ≥ C. (2.79). Intensywność odkształcenia. -. ε =. Odkształcenia graniczne. -. ε 1 f + ε 2 f = −ε 3 f ≥ C. (2.81). Trzecie odkształcenie główne. -. ε3 ≥ C. (2.82). 2 2 ε 1 + ε 22 + ε 32 ≥ C 3. (2.80). σ − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ 1  Maksymalne naprężenie ścinające- τ max = max  1 , ,  ≥ C (2.83) 2 2   2 ε f (t ). Clift [25]. -. ∫ σ dε ≥ C. (2.84). 0. Hancock&Mackenzie [42]. -.  3σ exp H  2σ. Ghosh [35]. -. (1 + α )σ 12 ≥ C.  ε f ≥ C . (2.85) (2.86). 35.

(36) Lechosław Trębacz. ε f (t ). ∫. zmodyfikowany McClintock [66] -. 0. Bressan&Williams [16]. -. σH dε ≥ C σ. 1+ r σ1 ≥ C 1 + 2r ε f (t ). LeRoy [61]. (2.87). ∫ (σ. -. (2.88). − σ H )dε ≥ C. max. (2.89). 0. ε f (t ). Oyane [78]. ∫. -. 0. σ    1 + A H  dε ≥ C σ  . ε f (t ). Brozzo [18]. ∫ 3(σ. -. 0. ε f (t ). Oh [76]. ∫. -. 0. Johnson-Cook [47]. ε f (t ). ∫ 0. (2.90). 2σ max dε ≥ C max − σ H ). (2.91). σ max dε ≥ C σ. (2.92). ε f ≥ C1 + C 2 exp(C 3η ). dε ≥C F (η , ξ ). (. (2.93). )(. Wierzbicki-Xue [112] - ε f = F (η , ξ ) = C1e −C2η − C1e −C2η − C 3 e −C4η 1 − n ξ. ). n. (2.94). ic ε axisymmetr = C1e −C η , ξ = 1 f 2. ε fplane strain = C 3 e −C η , ξ = 0 4. (2 − A)µ dε ≥ C ∫0 (1 − aσ )λ H. ε f (t ). Model Wilkinsa [115]. -. σ σ  A = max  2 , 2  σ 1 σ 3  a, µ , λ - stale materialowe. (2.95). d 0 e −3cη + d 1e 3cη ≥ ε ductile f d 2 e − fθ + d 3 e fθ ≥ ε shear f CrachFEM [111]. -. c, k s , f, d 1,2,3,4 - stale materialowe. θ=. 36. σ τ max. (1 − 3k sη ). (2.96).

(37) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. ε f (t ). Osakada i Mori [77]. ∫ B + ε + Dσ. -. H. dε ≥ C. (2.97). 0. ε f (t ). Norris [74]. ∫. -. 0. 1 dε ≥ C 1 − Cσ H. (2.98). ε f (t ). Freundenthal [81]. ∫ σ dε ≥ C. -. (2.99). 0. ε f (t ). Rice&Tracey [84].  3σ H   dε ≥ C  2σ . (2.100).  3  1 (1 − n ) σ 1 + σ 2 dε ≥ C sinh  σ  1− n  2. (2.101). ∫. -. α exp. 0. ε f (t ). McClintock [66]. -. ∫ 0. Wykorzystanie kryteriów pękania wiąże się z koniecznością identyfikacji wartości stałej C przy której dochodzi do pęknięcia. Wartość ta zależy od parametrów procesu oraz parametrów materiałowych, co jest to powodem konieczności przeprowadzenia każdorazowo prób doświadczalnych dla każdego zestawu warunków procesu i własności materiałowych. Celem niniejszej pracy jest stworzenie nowego kryterium pękania. Kryterium to będzie miało postać całki, w której funkcji podcałkowa opiera się na funkcjach podcałkowych kryteriów pękania przedstawionych w tym rozdziale.. 2.4.2 Mikrostrukturalne kryteria pękania W materiałach używanych w obróbce plastycznej pękanie najczęściej powstaje poprzez tworzenie się pustek, ich wzrost i późniejsze ich łączenie. W wyniku łączenia się pustek tworzą się większe pęknięcia, które samoczynnie rozprzestrzeniają się na cały materiał. Proces zarodkowania (tworzenia się) pustek związany jest z obecnością wtrąceń i cząstek innej fazy w materiale. Mikropustki mogą powstawać albo poprzez dekohezję na styku osnowa-cząsteczka drugiej fazy lub poprzez pękanie cząsteczek drugiej fazy. W procesie przeróbki plastycznej powstają również w materiale mikropustki bez udziału wtrąceń. Dzieje się tak w przypadku, gdy odkształcenia są wystarczająco duże aby mógł zadziałać mechanizm dyslokacji z tworzeniem się wakansów. Utworzone lub istniejące pustki podlegają wzrostowi, który dokonuje się przez sprężyste i plastyczne. 37.

(38) Lechosław Trębacz. odkształcenie w materiale osnowy. Trzecia faza rozwoju pustek czyli łączenie się pustek prowadzi do lawinowego rozdzielenia się (zniszczenia) materiału [75]. Kryteria mikrostrukturalne próbują opisać proces powstawania, wzrostu i łączenia się mikropustek w pęknięcia. Gurson [39] zaproponował model zmiany objętości pustek w materiale ξ& jako sumę wzrostu objętości wynikającej z zarodkowania mikropustek ξ&n i powiększania się pustek ξ&g :. ξ& = ξ&n + ξ&g. (2.102). Jest to ogólne równanie na wzrost objętości pustek w materiale. Poniżej opisano wybrane modele zarodkowania i wzrostu oraz łączenia się pustek.. Kryteria powstawania pustek Istniejące modele nukleacji pustek można pogrupować, ze względu na użyte kryterium powstawania pustek, na trzy kategorie: modele wykorzystujące kryterium energetyczne, kryterium krytycznego lokalnego naprężenia lub kryterium krytycznego lokalnego odkształcenia. W literaturze spotyka się również modele zawierające elementy z więcej niż jednego kryterium, i przez to tworzące kryterium bardziej złożone. Modele bazujące na kryterium energetycznym określają powstanie pęknięcia lub pustki, w momencie gdy zgromadzona energia sprężysta w otoczeniu cząstek drugiej fazy lub wtrącenia jest równa lub większa od energii wymaganej do utworzenia powierzchni pustki. To kryterium jest traktowane jako warunek konieczny (nie jest to warunek wystarczający) powstania pęknięcia, pustki (szczeliny). Kryterium krytycznego lokalnego naprężenia mówi, że pustki utworzą się, gdy naprężenia normalne wewnątrz cząsteczek lub na granicy faz cząsteczka-osnowa osiągnie pewną krytyczną wartość, która przewyższa wytrzymałość na pękanie cząsteczki lub wytrzymałość połączenia międzyfazowego. Model nukleacji pustek bazujący na kryterium krytycznego lokalnego odkształcenia, dotyczy koncentracji dużego odkształcenia, które mogą się tworzyć w niedeformujących się cząsteczkach drugiej fazy w płynącej plastycznie osnowie. Takim obszarom skoncentrowanego lokalnie odkształcenia może towarzyszyć narastanie dyslokacji oraz mniej lub bardziej jednolicie rozłożone nieciągłości przemieszczeń na granicy faz cząsteczka-osnowa. W każdym przypadku mamy do czynienia z dużymi naprężeniami lokalnymi, które prowadzą do uformowania się pustki [75].. 38.

(39) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Korzystając z tych kryteriów opracowano liczne modele powstawania pustek, m.in.: modele McClintocka [65] i Argona [3] pękania twardych, kruchych cząstek drugiej fazy w plastycznie deformującej się osnowie (modele mikromechaniczne), modele opracowane przez Ashby’ego [5], Browna i Embury’ego [17] oraz Argona [4] opisujące dekohezję połączenia cząsteczka-osnowa, model Fishera [30] pękania cząstek sferycznych, znajdujących się w pobliżu lub na granicy ziaren. model Gursona opisujący zarodkowanie pustek w procesach quasi-statycznych (składowa równania 3.102):. ξ&n = C1 f up dε. (2.103). gdzie: C1 – stała materiałowa, fup – objętościowy udział cząstek niepopękanych, dε przyrost odkształcenia zastępczego. Modele analityczne wzrostu pustek W pracy Rice'a i Traceya [84] szczegółowo analizowano wzrost pustki sferycznej lub cylindrycznej w próbie rozciągania. W pracy tej rozważa się pojedynczą wyizolowaną sferoidalną lub cylindryczną pustkę o powierzchni SV i promieniach R1, R2 i R3 w kierunkach głównych. Zakłada się, że pustka jest bardzo mała w porównaniu z wymiarami ciała, które jest z nieściśliwego i sztywno-plastycznego materiału, a na ciało działa jednolite, oddalone od pustki, pole prędkości odkształcenia ε&ij . Rice i Tracey określili względną prędkość wzrostu pustki sferycznej o promieniu R w jednym z kierunków głównych: R& l = A1ε&l + A2ε& Rl. gdzie: l - numer kierunku głównego, ε&ij. ε&ij∞ =. (2.104). - prędkość odkształcenia próbki,. 2 ε&ij ε&ij , A1 - parametr uwzględniający zwiększoną prędkość powiększania się 3. pustki w kierunku przyłożonego pola prędkości odkształcenia i własności umacniania się otaczającego pustkę materiału, w zakresie. 5 ,2 , A2 - funkcja naprężenia hydro3. stycznego σ kk .. 39.

(40) Lechosław Trębacz. Wyniki prac Needlemana [71], Traceya [101], Nemat-Nassera i Taya [73], Anderssona [2] wskazują na to, że: pustki przyspieszają moment osiągnięcia przez obciążenie maksymalnej granicznej wartości oraz redukują znacznie całkowite odkształcenie, analiza stanu odkształcenia i naprężenia wokół pustki pozwala wyznaczyć obszary uplastycznienia materiału wokół niej, wzajemne oddziaływanie pustek przyspiesza ich wzrost, stosowane metody opisują prawidłowo sam początek zmiany odległości między pustkami wraz z odkształceniem i nie są w stanie określić momentu łączenia się pustek. Modele łączenia się pustek Końcowym etapem wzrostu sąsiadujących ze sobą pustek jest ich łączenie. Jako kryterium łączenia się sąsiadujących pustek Ashby i inni [6] oraz Brown i Embury [17] przyjeli kryterium krytycznej odległości do której zbliżają się wzrastające pustki. W pracach Brown i Embury [17], Goods i Brown [37] oraz Andersson [2] stwierdzono, że łączenie pustek w materiałach ciągliwych następuje gdy względna miara objętościowa pustek ξ osiąga wartość z przedziału (0,15; 0,25). W pracach Tvergaarda [104,105] i Tvergaarda z Needlemanem [106] wprowadzono funkcję porowatości ξ * = f (ξ ) i określono, że dla ξ * =. 2 w materiale następuje całkowita utrata zdolności przenoszenia na3. prężeń.. 2.5 Pękanie w aplikacjach numerycznych Obróbkę cieplno-plastyczną materiałów można symulować w takich aplikacjach jak: ABAQUS, Forge, Adina i wiele innych. Programy te wykorzystując metodę elementów skończonych pozwalają określić pola naprężeń, odkształceń i temperatur w całej objętości materiału. Poprzez wprowadzenie do tych programów kryteriów pękania można próbować określić, czy w danym procesie i dla danego materiału dojdzie do pęknięcia. Wiele komercyjnych pakietów MES ma zaimplementowane w kodzie różne kryteria pękania, a część z pakietów umożliwia także wprowadzenie własnych kryteriów pękania. 40.

(41) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. poprzez kompilację procedur użytkownika. Poniżej przedstawione są wyniki wykorzystania wybranych pakietów MES modelujących procesy obróbki plastycznej w celu przewidywania pęknięcia. Przy wyborze pakietów kierowano się ich popularnością w dostępnej literaturze. ABAQUS ABAQUS został napisany przez firmę ABAQUS Inc. Jest to pakiet programów metody elementów skończonych, składających się między innymi z części Standard, Explicit oraz CAE, przeznaczony do analizy złożonych zagadnień inżynierskich. Pakiet ten zawiera bogatą bazę modeli materiałów oraz bibliotekę elementów skończonych, które pozwalają na modelowanie praktycznie dowolnego kształtu analizowanego obszaru. ABAQUS/Standard jest programem metody elementów skończonych ogólnego przeznaczenia pozwalającym na analizę szerokiej gamy problemów naprężeniowoprzemieszczeniowych. ABAQUS/Explicit pozwala na analizę szybkich procesów dynamicznych. Umożliwia przy tym bardzo efektywny opis zagadnień kontaktowych. Jest także bardzo efektywnym narzędziem w przypadku analiz quasi-statycznych. ABAQUS/CAE jest graficznym środowiskiem do modelowania i wizualizacji. Jest to pre i postprocesor do programów obliczeniowych (Complete ABAQUS Environment). Stanowi środowisko graficzne do tworzenia modelu, uruchamiania obliczeń oraz wizualizacji wyników. W zakresie modeli pękania ABAQUS umożliwia wykorzystanie modelu JohnsonaCooka, kryterium mikrostrukturalnego, kryterium pękania wynikającego z pasm ścinania, wykresu odkształceń granicznych FLD i wykresu odkształceń granicznych Müschenborn-Sonne. ABAQUS pozwala też na zaimplementowanie przez użytkownika procedury VUMAT (vectorized user material subroutine), w której użytkownik samodzielnie definiuje kryterium pękania. Wierzbicki i in. [111] zidentyfikowali (ustalili parametry w danym kryterium) siedem kryteriów pękania (kryterium stałego odkształcenia zastępczego, FFLD, maksymalnego naprężenia ścinającego, Johnsona-Cooka, Xue-Wierzbickiego, modelu Wilkinsona, CrachFEM), poprzez porównanie wyników uzyskanych z doświadczalnych procesów spęczania,. ścinania. i. rozciągania. z. symulacją. tych. prób. na. platformie. ABAQUS/Explicite. Wyniki najbardziej zbliżone do doświadczenia uzyskano dla kryterium maksymalnego naprężenia ścinającego. Dodatkową zaletą tego rozwiązania jest. 41.

(42) Lechosław Trębacz. konieczność wykonania tylko jednego doświadczenia w celu identyfikacji parametrów w modelu. Kryterium to dobrze przewiduje pęknięcie, jeśli jest ono poprzedzone lokalizacją ścinania (w płaskim stanie odkształceniu). Model Xue-Wierzbicki [112] także poprawnie przewiduje moment rozpoczęcia pękania i to we wszystkich stanach naprężenia. Wadą tego modelu jest to, że trzeba wykonać cztery testy w celu znalezienia optymalnych wartości parametrów. Kryterium Wilkinsona przewiduje poprawnie pęknięcie tylko w zakresie dużych współczynników trójosiowości naprężeń η: 0.33 < η < 0.66 albo małych η: -0.33 > η > -0.66, ale nie jednocześnie w obydwu zakresach. Kryterium CrachFEM stworzone w centrum badawczym BMW oraz MATFEM w Monachium [111] bazuje na podstawach fizycznych i odróżnia pęknięcie ciągłe, które powstaje jako skutek wzrostu pustek oraz pęknięcie powstałe w wyniku ścinania. Jego zalety i wady wynikają właśnie z oddzielenia od siebie tych zjawisk. Przykładowo uzależnienie odkształcenia pękania od naprężenia średniego powoduje brak rozróżnienia między dwuosiowym rozciąganiem a płaskim odkształceniem poprzecznym. Ogólnie rzecz biorąc kryterium CrachFEM jest prostsze niż kryterium maksymalnego naprężenia ścinającego. Pozostałe kryteria (kryterium stałego odkształcenia zastępczego, FFLD, Johnsona-Cooka) poprawnie przewidują pęknięcie jedynie dla wąskiego zakresu współczynnika trójosiowości naprężeń η. Kryterium FFLD znajduje zastosowanie dla jedno- i dwuosiowego ściskania. Praca Tenga i Wierzbickiego [99] jest kontynuacją poprzednio omówionej pracy [111] i skupia się na ocenie poprawności wyników kryteriów pękania uzyskanych dla procesów zachodzących z dużą prędkością. Wykorzystując pakiet ABAQUS przeanalizowano zachowanie się blach ze stali Weldox 460 E i płyt ze stopu aluminium 2024-T351, które były uderzane pociskami z płaską końcówką z prędkością od 185 do 400 m/s. Kryterium Johnsona-Cooka poprawnie przewiduje proces pękania, poza przypadkiem kiedy dominującym obciążeniem jest ścinanie. W kryterium Lathama-Cockcrofta należy określić wartość tylko jednej stałej, lecz nie jest zdefiniowane w jakiej próbie należy przeprowadzić tą identyfikację. Wybór próby definiuje wartość stałej C w kryterium pękania, która bezpośrednio określa moment pęknięcia. Jeżeli do identyfikacji posłuży test nieadekwatny do analizowanego procesu, przewidywany moment pęknięcia będzie błędny. W pracy Tenga i in. [100] analizie numerycznej poddano mechanizm pękania w trakcie próby Taylora na podstawie kryterium Bao-Wierzbickiego. Odtworzono dwa możliwe mechanizmy pękania, a mianowicie ograniczone pękanie w cylindrach i pękanie skośne. 42.

(43) Identyfikacja kryteriów pękania plastycznego w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. na bocznej powierzchni. Wszystkie one zostały porównane z danymi dostępnymi w literaturze. W konkluzji Autorzy stwierdzają, że kryterium pękania daje dokładniejsze rezultaty, jeśli zawiera ono pewien próg wskaźnika naprężeń, poniżej którego pęknięcie na pewno nie wystąpi w trakcie spęczania walców. Na podstawie doświadczalnego spęczania stopu aluminium 2024-T351 oraz stali 1045 i symulacji numerycznej w oprogramowaniu ABAQUS (w której wykorzystano kryterium Oha) ten próg został określony przez autorów [9] jako równy -1/3. Azhdari i Nemat-Nasser [8] analizowali pękanie w ciele kruchym anizotropowym. Wykorzystano próbki z karbem zrobione z arkusza szafiru (bardzo kruchy materiał) z sześcioma różnymi płaszczyznami poślizgu. Materiał był poddawany naprężeniom termicznym poprzez podgrzanie próbki. Wynikiem tej analizy było stwierdzenie, że kryteria pękania opierające się na naprężeniu rozciągającym dają znacznie lepsze rezultaty niż kryteria opierające się na prędkości uwalniania energii dla ciał kruchych złożonych z pojedynczych kryształów. Chung i Cheng [24] przeprowadzili wytłaczanie dla bardzo plastycznego stopu Ti-6Al-4V w temperaturze 900°C. Proces pękania w tym materiale jest zdeterminowany przez plastyczne płynięcie, a nie przez wielkość szczelin. W celu przewidywania pęknięć autorzy wprowadzili do pakietu ABAQUS współczynnik lokalizacji płynięcia FLF, który umożliwia jakościowy opis lokalizacji niestabilnego płynięcia plastycznego. Dla dwuosiowego rozciągania współczynnik FLF - ξbiaxial opisany jest równaniem:. ξ biaxial =. (. 4 1+ ρ + ρ 2 3. a=. ρ=. 1 − aγ −1 m. ). (2.105). ε&2 ε&1. gdzie γ - współczynnik umocnienia odkształceniowego, m – współczynnik wrażliwości na prędkość odkształcenia. W celu określenia początku procesu pękania Chung wprowadził kryterium: ε f (t ). ∫ Jdε ≥ C 0. + 1 dla ξ biaxial > −1 ξ J =  biaxial 0 w przeciwnym wypadku. (2.106). 43.

(44) Lechosław Trębacz. Dla materiałów niewrażliwych na wielkości szczelin, pękanie zależy od akumulacji odkształcenia plastycznego podczas obróbki. Stała C w równaniu (2.106) jest stałą materiałową zależną od jego składu chemicznego, wielkości ziarna i temperatury. Dla przeprowadzonych testów dla różnych wielkości obciążeń, grubości blachy oraz kształtu narzędzi, kryterium (2.106) poprawnie przewiduje początek pękania. Weng i Sun [109,101] wprowadzili do programu ABAQUS nowe kryterium pękania nazwane Global-Local Fracture Criterion (GLFC). Według tego podejścia kryterium składa się z dwóch podkryteriów: globalnego i lokalnego. Globalnym podkryterium jest całka J, która charakteryzuje początek procesu pękania. W następnym etapie kryterium pękania przełącza się na kryterium określone przez parametry lokalne (przyrost pracy plastycznej, naprężenie i odkształcenie zastępcze) w punkcie, gdzie doszło do powstania pęknięcia. Kryterium GLFC poprawnie przewiduje proces pękania materiałów plastycznych. Zostało ono stworzone na podstawie próby rozciągania próbek ze stali nierdzewnej ASTM A240 typu 304 w temperaturze 288°C ze szczeliną w środku lub na brzegu próbki. Huang i Cheng [44] zaproponowali nowe kryterium dla materiałów porowatych, oparte na gęstości energii maksymalnego głównego odkształcenia (FPSED). Zawiera ono mechanizm ewolucji pustek: ε 1 f (t ). exp(mf ) ∫ σ 1dε 1 ≥ C. (2.107). 0. gdzie: f - chwilowy ułamek objętościowy pustek w materiale, m – stała materiałowa, opisująca wrażliwość ułamka f na krytyczną wartość FPSED materiału, ε1 – pierwsze naprężenie główne, ε1f – wartość pierwszego naprężenia głównego przy którym doszło do pęknięcia. Z powyższego kryterium wynika, że wraz ze wzrostem ilości pustek maleje odkształcalność materiału. Jeśli przyjmiemy zerowanie się wielkości f, można próbować przewidzieć pękanie dla materiałów nieporowatych. Wartość krytyczną C oraz stałą materiałową m określono doświadczalnie, poprzez rozciąganie i ściskanie próbek walcowych z proszku miedzi o różnych gęstościach. Kryterium to zweryfikowano korzystając z próby spęczania w różnych warunkach tarcia. Wykorzystanie tego kryterium pękania daje lepsze rezultaty niż rezultaty uzyskaniu przy pomocy innych kryteriów.. 44.