Heaving and pitching of a ship in a norrow channel

Summary

A harmonic solution is given of the equations of motion and continuity which describe the motion of the fluid and a ship lying in the axis of a narrow channel. The aim is to in-vestigate the utility of these equations for a numerical solution. Special attention has been paid to the interaction of the motion of the ship and the motion of the fluid. The theoretical results, concerning wave ampli-tudes and phases at the side of the ship and in the channel and the constants in the equa-tions of motion for the ship, have been proved by some model experiments.

i

Introduction

During the filling of a ship lock through the gates two phenomena are important for the motion of a locked ship.

Firstly, due to the high entrance-velocities

C. KRANENB1JRG

Scientific Officer, Laboratory of Fluid Mechanics, Delft University of Technology, Delft, Netherlands

Résumé

Les auteurs présentent une solution harmo-nique des équations de mouvement et de continuité définissant le mouvement du fluide et d'un bateau dans l'axe d'un chenal étroit. L'étude a pour objet de se rendre compte dans quelle mesure ces équations peuvent fournir une solution numérique. On porte

une attention toute particulière à

l'inter-action des mouvements, d'une part du ba-teau, et d'autre part du fluide. Les résultats théoriques, relatifs aux amplitudes et aux phases des ondes aux flancs du bateau et dans le chenal, ont été vérifiés à l'aide d'essais sur modèles, ainsi que les constantes intervenant dans les équations de mouvement du bateau.

i

Introduction

Il se produit, pendant le remplissage d'une

écluse par les portes, deux phénomènes

dont l'influence est importante sur le bateau se trouvant dans l'écluse.

Lab.

_{y. Scheepsbouwkunde}

Technische Hogeschool

Deift

HEAVING AND PITCHING OF A SHIP IN A NARROW CHANNEL

LE PILONNEMENT ET LE TANGAGE D'UN NAVIRE DANS UN CHENAL ETROIT

by

J. P. TH. KALKWIJK

Senior Scientific Officer, Laboratory of Fluid Mechanics,

Deift University of Technology, Delft, Netherlands

-I-and

Received December 10, 1968. Reçu le 10 décembre, 1968.

ARCHIEF

/

the water s,iirface next to the gates drops. As a result of this drop of the water surface the ship will tend to move to the gates. Further-more the incoming jets will push the ship in the opposite direction. This causes undesired motion of the ship in the lock; in many model investigations the main aim was to construct a device which reduces the entrance velocities. In this way it is possible to decrease both the drop of the water surface next to the gates and the momentum of the incoming jets.

Secondly, due to the lifting of the valves in the gates a translatory wave is generated. This long wave comes into contact with the ship and is 'partially reflected at the bow or at the stern (assuming that there is only one big ship in the lock), resulting in a horizontal force which acts on the ship. The rest of the translatory wave propagates past the ship and causes varying pressures to act on the ship. These pressures will tend to move the ship, but on the other hand the motion of the ship influences the motion of the water [I].

The principal aim of this study is to deter-mine the influence of the accelerations of the water particles perpendicular to the axis of the channel on the horizontal motion of the water and the pitching and heaving of the ship.

A harmonic solution is determined from the equations derived, which solutión is

proved by some model experiments. This

investigation was carried out in order to

arrive at a basis for a more general approach concerning the motion of water and ship in a narrow channel, in which a translatory wave occurs.

Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. I

Le premier de ces phénomènes consiste en l'abaissement du plan d'eau au voisinage des portes d'écluse, du fait des vitesses d'entrée élevées. Cette baisse du niveau fait que le bateau tend à se déplacer vers les portes de l'écluse, alors que par contre, les jets d'eau entrant dans l'écluse le repoussent dans le sens opposé, de sorte que le bateau se trouve animé d'un mouvement défavorable à l'inté-rieur de l'écluse. De nombreuses études sur modèle ont eu pour objet primordial la mise au point d'un dispositif assurant la réductioñ des vitesses d'entrée et permettant ainsi dè réduire en même temps la baisse du plañ d'eau au vOisinage des portes et la quantité de mouvement des jets.

Le deuxième phénomène correspond à la formation d'une onde de translation, du fait de la hausse des vannes des portes. Cette onde longue atteint le bateau, et se trouve partielle-ment réfléchie par l'étrave, ou la poupe (dans l'hypothèse qu'un seul grand bateau occupe l'écluse), engendrant ainsi une force horizon-tale sollicitant le bateau. Le reste de l'onde de translation se propage au-delà du bateau, et soumet celui-ci à l'action de pressions variables; celles-ci tendent à le déplacer, mais, par contre, le mouvement du bateau influe également sur celui de l'eau [I].

La présente étude a pour objet essentiél la détermination de l'influence des accélérations des particules d'eau, dans la direction per-pendiculaire à l'axe du chenal, d'une part sur le mouvement horizontal de l'eau, et d'autre part sur les mouvements de pilonnement et de tangage du bateau.

On détermine une solution harmonique à partir des équations déduites au cours de l'étude, et on vérifie cette solution à l'aide de quelques essais sur modèle. Cette étude a été effectuée en vue d'aboutir à une base

per-mettant l'élaboration d'une solution plus

Kalk wi/k and Kranenburg / Heaving and pitching of a ship in a narrow channel 3

2 Equations of continuity and motion Let us take a ship lying in the axis of a channel with a horizontal flat bottom and vertical parallel walls.

Each cross-section of the ship has a rec-tangular shape. The ship is fastened in such a manner as to make horizontal displace-ments impossible; only heaving and pitching are taken into consideration. (see Fig. I).

Use as independent variables the spacial coordinates x, y, z and the time variable t. The x-axis lies in the axis of the bottom of the channel, the y-axis represents the hori-zontal direction perpendicular to the x-direction and the z-axis is perpendicular to the x- and y-axes. The centre of gravity of the ship lies on the positive z-axis.

The dependent variables are the velocities v, vi,,, y2, the elevation of the fluid level 'i the displacement of the ship z and the pres-sure p in the fluid, which is taken to be zero at the surface of the fluid.

Consequently it is possible to arrive at the

y

Cross-section of ship and channel. Section transversale du bateau et du canal.

teau et de l'eau dans un canal étroit et étant le siège d'une onde de translation.

2 Les équations de continuité et du mouvement

Considérons un bateau se trouvant dans l'axe d'un chenal et présentant un fond horizontal plat et des flancs parallèles et verticaux, de sorte que tous les couples soient des rectangles. Soit ce bateau amarré de manière à rendre impossible tout déplacement horizontal, et tenons compte uniquement des mouvements de pilonnement et de tangage (voir la fig. 1). Prenons pour les variables indépendantes les coordonnées d'espace x, y, z,

ainsi que la

variable de temps, t. L'axe des x est situé au fond du chenal, et correspond à l'axe de celui-ci; l'axe des y représente la direction horizon-tale perpendiculaire à la direction x, et l'axe des z est perpendiculaire à la fois à l'axe des x, et à celui des y. Le centre de gravité du bateau se trouve sur l'axe positif des z.

Nos autres variables comprennent: les vi-tesses v, v, v, la surélévation du niveau du

fluide , le déplacement du bateau z, et la

pression p au sein du fluide, celle-ci étant censée être nulle à la surface du fluide. Par

Il

X

Fig. 1. Longitudinal-section of ship and channel. Section longitudinale du bateau et du canal.

4 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. I

equations of motion and continuity and it is clear that in this way a very complicated system arises [21. That is why we introduce several assumptions which enable us to sim-plify the equations.

Firstly, the fluid is presumed to be ideal and incompressible. This assumption means that viscous effects can be ignored. Secondly, the pressure gradients or accelerations acting in

x-direction are presumed to be great

compared, with the pressure gradients or accelerations acting perpendicular to this direction.

This implies that the distribution over a cross-section of the horizontal velocity is homogeneous.

In the equation of motion for the x-direc-tion the contribux-direc-tion due to pressure gra-dients perpendicular 'to this direction is not ignored. This method is similar to the second order approximation of shallow water theory. The assumptions can be verified with the final results. If these results are not at variance with the assumptions one. may conclude that a certain solution to the problem has been attained. We may not state that this is the general solution: an experiment must prove the utility of the theory.

2.1 Equations of continuity and motion in

- x-direction

Applying the law of conservation of mass to a fluid element between two close cross-sections provides the following equation of continuity:

conséquent, il est possible d'obtenir les équations du mouvement et de continuité, et il est évident qu'il en découle un système très complexe [2]. Ceci nous a conduit à introduire un certain nombre d'hypothèses qui nous änt permis de simplifier les équations.

La première de ces hypothèses admet un fluide idéal et incompressible, c'est-à-dire pour lequel nous pouvons négliger les

phénomènes de viscosité. Par ailleurs, nous supposons que les gradients de pression, ou les accélérations, agissant dans la direction x, sont importants devant ceux agissant dans la direction perpendiculaire à x. Par conséquent, la répartition des vitesses horizontales est homogène sur une section transversale don-née.

Dans l'équation du moUvement pour la direction x, nous ne négligeons pas la contri-bution des gradients de pression agissant perpendiculairement à cette direction. Cette méthode est semblable à l'approximation du deuxième ordre intèrvenant dans la théorie valable en eau peu profonde.

Les résultats définitifs de l'étude permettent de vérifier les hypothèses, et si ces résultats ne sont pas en désaccord avec les hypothèses, nous pouvons conclure que nous avons abouti à une certaine solution du problème. Nous ne pouvons affirmer qu'il s'agit de la solution générale: la voie expérimentale nous est in-dispensable pour nous permettre de justifier de l'utilité de la théorie.

2.1 Les équations de continuité et du mouve-ment dans la direction x

L'application de la loi de conservation

massi-que à un élément fluide situé entre deux

sections transversales à faiblé distance l'une de l'autre conduit à l'équation de continuité: _ [(D + i)a + (d + z)b]

_+.L

v[(D + i)a + (d +z)b5] = O

in which -D = the still-water depth,

a(x) = the width between wall and ship, d(x) = keel clearance at still water,

2b5(x) = the width of the ship.

The application of the law of conservation of momentum in x-direction to the same fluid element results in the expression:

gg(D+i1dz

)2.

±

öx ' g b(D + ìi d

-in which

g = the fluid density,

g = the acceleration due to gravity.

Furthermore F0 represents the deviation from the hydrostatic force on the cross-section considered. lt is induced by the accelerations of the fluid perpendicular to the x-direction. If Pa represents the deviatioñ from the hy-drostatic pressure, then:

Fa = JJ p0dA5

The use of the equation of continuity and ¿3a/x = - ab5/ax will change the above equa-tion after some rearrangement into:

2.2 Equations of continuity and motioñ in directïòns perpendicular lo the x-axis The cross-section is divided into three regions, namely:

atthe side of the ship, with v=v(x,z,t); under the ship, with v=v(x,y,t); a transition region, where regions i and 2 come into contact (see Fig. 2).

Ka1kwk and Kranenburg / Heaving and pitching of a ship in a ,thrrow chdnnel .5

dans laquelle ç

D = la hauteur d'eaü au repos, a(x) la distance de la paroi au bateau, - dcx) = la hauteur sous quille en eau au repos,

2b5(x) la largeur du bateau.

L'application de la loi de conservation de la quantité de mouvement dans la direction x à ce même élément fluide conduit à l'expression:

5(d+ z5)

+ gv[(D + )a + (d + z5)b5] + - gv[(D + ii)a + (d± z5)b =0 dans laquelle

g la masse spécifique du fluide, g = l'accélération due à la pesanteur.

Par ailleurs, F0 correspond à la déviation par rapport à la force hydrostatique à laquelle est soumise la section considérée, é.tant engendrée par les accélérations du.fluide. dans la direc-tion perpendiculaire à x.

Soit p0 la déviation par rapport à la pres-sion hydrostatique; nous avons:

(see section 2.4/voir chapitre 2.4)

L'utilisation dè l'équation de continuité, avec aa/ax = ab5/ax, modifiera l'équation pré-cédente, après quelques remaniements, de sorte qu'elle preñdra la fôrme:

+ g + i = o

a + OX ax ax

2g[(D+)a+(d+z5)b5] 3x

22 Equations de continuité et du mouvement dans les directions perpendiculaires par rapport à l'axe des x

On partage la section transversale en 3 zones:

la première au flanc du bateau, avec

y. = v.(x, z, t).;

la deuxième sous le bateau, avec

6 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

p3(x,b,d+25,t) = p1(x,b5,d+z5,i) = p2(x,b5,d+z5,t) The subscripts 1, 2 and 3 refer to the region

considered. The laws of conservation of mass and momentum, applied to elements of region 1 and region 2 (see Fig. 2) give the following results:

region 1:

equation of continuity:

equation of motion in z-direction:

av av

+ -=0

_{ax az}

av.. v. i 5Pi

_:+

= ----g

8

-az

8x

gaz

Fig. 2. Subdivision of wet cross-section. Découpage de la section transversale.

Les indices inféreiur 1, 2 et 3 désignent la zone considérée. L'application des lois de conser-vation de la masse et de la quantité de mou-vement aux éléments des zones i et 2 (fig. 2), nous donne les résultats suivants:

zone 1:

équation de continuité:

équation du mouvement en direction z: 3. une zone de transition, où les première et

deuxième zones se touchent (fig. 2). As an approximation we assume that the En première approximation, nous admettons hydrodynamic pressure Pa in region 3 does not que la pression hydrodynamique Pa régnant depend on y and z. dans la zone 3 n'est fonction ni de y, ni de z. This simplification is permitted because the Cette simplification est justifiée du fait de la region is small in comparison with the total petitesse de la zone devant l'ensemble de la wet cross-section. Choosing the assumption section mouillée. Le choix de cette hypothèse for region 3 in this way a relation which is pour la zone 3 permet de vérifier une relation determined in section 3.4 is satisfied. Further- déterminée au chapitre 3.4. Par ailleurs, la more the pressure in region 3 for y = b5 and

pression correspondant à y = b5 et à z =

KalkwUk änd Kranéíibug / Heaving and pitchinÉ of a shij3 in á nárrow chäñnel 7

boundary conditions:

- region 2:

equation of continuity:

=0

equatioñ of motion in y-direction:

boundary coñditions: 2.3 Liñearization Linearize by assuming: P2

with D = D+(bja)d

(9v (9v

i-±v

Y+v_J=

at

This means that only small fluctuatioñs are taken into consideration This limitation also pennits one to igilore the convective accelera-tion terms in the equaaccelera-tions of moaccelera-tion.

After this linearization the following system of equations arises:.

fôr x-direction:

+ b (9z5 at

-in Which A represents the wet area of a cross-section at the position of the ship, for region I at the side of the ship:

atid/et v zD+i

-

zone 2: équatiOn de contifluité: a az (av

av \

v

- (d ±;) + -

_±

+ ')(d + z) = O

conditions aux limites:

and/et v

équation du :m0U'ement en direction y: lap2 conditionsáiix limites: aq

=

+ ux cit ax

=0

2.3 Linéaristion

Pour linéariser, nous admettons que:

z5«d

and/et

7<D

Ainsi, nous ne tenons compte que de faibles fluctuations

Cette limitation permet par

ailleurs, de négliger les termes d'accélération de convection dans les equations du mouve-ment.

Elle conduit au système d'équations: direction x:

Dsx

O (1)

avec D = D+(b/a)d

5

i aF0

-(2)

dans laquelle Áreprésente la surface mouil-lée correspondant à une section aíi droit di bateau.

Nous avons, pour la zone I en flanc du bateau:

y=b

z=d+z. z=d+z y=o

i

p1(x,

Q

:For z d:this.yields (with /i = Dd):

y = fr,

y=O

2.4 The hydrodynamic force Fa

The equations for regions i and 2 enable us to determine the hydrodynarnic force Fa, ex-pressed in the ship's elevation z and the free sürface elevation .. 1ntegration is possible because the horizontal veIocit' distribütion over a cross-sectiòn is assumed to be homo-geneous.

The equations (3) and (5) yiéld':

the equations (4) (5), together with the above Èesult:

V: = (D_z)E +

2.4 La force hydrodynaniique Fa

Les équations valables pour les zones 1 et .2 nous permettent de determiner la force hydro dynamique Fa, iñtervenant. dans la sur-elévation du bateau z et dans celle de la surfäce libre . L'intégration est possible

grace a I hypothese d une répartition hori-zoñtale homogène des vitesses dans une section transversale donnée

Il vient des équations(3) et (5):

et les équations (4) et (5), avec le résultat précédent:

= (Dz)

(Dz)

+ g(Dz+i)

cxSt St

Ceci nous:donne 6ut z. d(avec h5.=Dd):

8 Journal of 1-lydraulic Resèarch / Journál de Recherches Hydrauliques8 (1970) no. ¡

5v 3v = o ___ + (3). O (4) Sx

az

Sv.. i 5Pi =

+ -

+ g St QSZ

with the boundary conditions: avec les conditions aux limites:

zD

= O. and/et-. V:

(5)

fOr region 2.tmder the ship: et poUr la zone 2. sous le bateau:

(6)

St

\Sx

_Syl

(7)

at _Q.ay

with the boundary conditions: avec les conditiöns aux limites:

Kalkwijk and Kranenburg/ Heaving and pitchiñg of a ship in a narro4' channel 9

I

p1 (x,d, t) =

Q

vs =.

-We get F0 by integrating the hydrodynamiç parts ofp1and P2 over the wet cross-section:

2

±

h_?-

+

(h±ij)

3xt

öl

From equations (6) and (8) follows: Les équations (6) et (8) conduisent à:

íövx

I öz\

from equations (7), (8), (9) and the above et nous tirons des équations (7), (8), (9), et du

result: résultat précédent:

P2(x,Y, ,

t) = 4(b

.2)(o-vx

+

i ô?s)

+ +h CVX

+

+ g(Dz±)

Q öxôt d at öxöt ät

F0 = $J p0dA

In this case we obtáin-: Et nous obtenons, dans ce cas:

2a

from which: d'où:

F =

2Q[(

-

adh +

hb5d'\1ô2v +(!!

+ adh5+ h5b5d

-L\ 6

3 2 2 Jäxöt

\ 2

jat2

3ät2

Equation (I) yields the relation: L'équation (1) fournit la relation

i (a2

b ä2z

âxät D5\ôt2

a öt2

The expression for F0 now changes into: L'expression définissant F0 se transforme en:

F=

inwhich: danslaquelle: ah

ah+db

e1 = h5 2 + a

-A5

- b

b+h

ah+db

A S A2 s s

NOus obtenons F par intégration des parties hydrodynamiques dep1 et dep2 sur la sectión mouillée:

/0 Journal_ofHydraulic ResearchfJournal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. i

The equation of motion expressed in deriva-tives of v, and z can be obtained by sub-stitutiñg this relation for F in equation (2).

Thus the equatiOns which describe the longitudinal fluid motion are:

For the sections of the channel where no ship is present (h3 D, b3 = 0) these equations are simplified as follows:

This is the same result as follows from liñ-earization of an equation dérived by Boussi-NESQ [3]. The subscripts e denote variables in the channel.

The equations (1) and (2') have tö be

solved simultaneously with the equations of motion for the ship. In the next section these equations are determined for heaving and pitching.

2.5 Equations of motion for the ship The equations of motion can be obtained on

the basis of the law of conservation of

momentum.

FOr heaving the result is:

in which

m = the mass of the ship,

u = the translation of the ship in z-direc-tion, + D = O a ôx

=0

at ax 3 axat2

mü = F3+F:3

On obtient l'équation du mouvement en déri-vées de v, et z3 par substitution de, la rela-tion, définissant F, dans l'équation (2).

Il s'ensuit les équations définissant le mOu-vement longitudinal du fluide:

Lorsqu'il s'agit de sections du canal sáns bateau h3 = D, b3 = 0), ces équations se simplifient en:

Ce résultat est identique à celui que l'on ob-tirit par linéarisatioñ d'une équation déduite par BOUSSJNESQ [3]. Les indices inférieurs e désignent des variables dans le canal.

On résoudra les équations (1) et (2') simúl-tanément avec les équations du mOuvement du bateau. Nous définissons au chapitre sui-vant ces équations pour les mouvements de pilonnement et de tangage.

Z. 5 Equations du mouvement du bateau Ces équations s'obtiennent sur la base de la loi de la conservation de la quantité de mou-vement.

Nous avons, pour le cas, du tangage, le résultat suivant':

d'ans .laquelle

m = la masse du bateau,

u = mouvement de translation du bateau en direction z, a_?li + = O

82z\

₌₀

(1) (2') at a at

+D5-

cx a

a /

a2 at ax 5x \. at2

at2!

(Ia)'

(2a)

Kalkwzjk and Kranenburg / Heaving and pitching of q ship in a narrow channel Ii

F25 5$ QgØ7 - z5)dA = Fza = 5$ Pa(X, y, d, t) dA

z5 = u+Ox in which

= the area of the horizontal

cross-section of the ship at still-water level, 1 +'2 the length of the ship,

O the inclination in x-direction.

With these relations the heaving equation changes into:

in which S represents the first moment of area A with respect to the y'-axis, which is

the transverse axis through the centre of

gravity.

For pitching one obtains:

j0O

in which J9 represents the moment of inertia with respect to the y'-axis. M9 and M0a are similarly defined as F and F.a.

Consequently:

M05 _{= J J}

gx( -

z5)dA = 2Qg

J x[(x,

t

AW 11

¡2 h(x)

Ii

O

F25 = la force sollicitant le bateau suivant z (en admettant une répartition hydro-statique des pressions), déduction faite du poids du bateau,

Fza la force hydrodynamique obtenue par intégration des composantes, suivant z, des pressions Pa sollicitant le bateau.. Nous avons, compte tenu de ces définitions:

12 2gg _{J [j(x,}t)z5(x,t)]b5(x)dx

il

¡2 b(x)

= 2 J

$ Pa(X, y, d, t) dxdy

li

O dans lesquelles

A.

l'aire de section horizontale du ba teaú dans le plan du niveau statique, '1 +/2 la longueur du bateau,

O = l'inclinaisoñ en direction x.

dans laquelle S représente le moment sta-tique de l'aire A par rapport à l'axe

trans-versal passant par le centre de gravité, c'est-à-dire l'axe des y'.

On Obtient pour le tangage:

M05± Møa

dans laquelle J9 représente le moment d'iner-tie par rapport à l'axe des y'. M95 et Møa se définissent comme F25 et Fa.

II vieñt:

¡2

- z5(x, t)]b5(x)dx

Møa = $SXPa(X,y,d,t)dAw = 2 J X J .p5(X,y,d,t)dXdy F:s = the force. acting in z-direction on the

ship assuming hydrostatic pressure dis-tribution, minus the weight of the ship, Fza = the hydrodynamic force obtàined byin-tegrating the components in z-direction of the pressures Pa on. the ship.

According to their defiñitjons:

Ces relations conduisent à. la transfOrmation de l'équation du pilonnernent en:

12 b(x)

mü+QgA u + ggSO = 2 $ dx[gii[x, t) b5(x) + 5 p0(x, y, d, t)dy]

(b)

¡2 Journal of Hydraulic Research f Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

Only vertical pressure components are con-sidered here.

The pitching equation becomes:

'2

JoO+c1gIO+QgSu = 2 J xdx

-

II

in which I represents the second moment of area A with respect to the y'-axis.

2.6 Outline ofthe work to be done

The most important thing which has to be investigated is the validity of the equations el), (2'), (10)-and (11). Solving these equations for varying boundary conditions, i.e. for arbitrary translatory waves, can

best be

carried out by means of -a method of numeri-cal numeri-calculus. Then the mixed derivative of ,i with respect to x and tin equation (2') causes mathematical difficulties. It is quite obvious that the numerical procedure can be simpli-fied if this term can be ignored. At the same time the investigation has to provide an ans-wer to the question as to the extent to which the one-dimensional approach, which in this way takes into account the accelerations per-pendicular to the x-axis, satisfies.

These questions can be answered partly by mathematical considerations and partly by experiments. Furthermore the experiments are needed to verify the assumptions intro-duced for the setting upof the equations. The assumption of no viscous losses, for example, must be checked. The schematization con-cerningthe velocity distributions in transverse and x-directions have to be verified as well by means of comparison of theoretical results with experimental results.

In the next sections attention will be paid

to questions like these with the aid of a

special solution of the system verified by experiments.

Ces relations tiennent compte uniquement des composantes de pression verticales.

L'équation du tangage prend la forme:

b(x)

[Q1i(x t) b3(x)

_{+ S}

pa(X,y, d,_i)dyl

o I

(11) dans laquelle I,, correspond au moment d'inertie de la surface A par rapport à l'axe des y'.

2.6 Aperçu général des études restant à fame

Le point le plus important qui reste encore à étudier a trait à la validité des équations (1), (2'), (10) et (Il). On résoudra le mieux ces

équations en fonctioñ de conditions aux

limites variàbles (ondes de translation arbi-traires) à l'aide d'un procédé de calcul numé-rique. La dérivée mixte de ¡ par rapport à x et t de l'équation (2') soulèvera alors des

difficultés d'ordre mathématique, mais il est tout à fait évident qu'il est possible de simpli-fier le procédé numérique, à condition de pouvoir négliger ce terme. Par ailleurs, l'étude doit pouvoir montrer dans quelle mesure le procédé uni-dimensionnel (qui, ainsi, tient compte des accélérations dans la directiOn perpendiculaire à l'axe des x) est valable.

La réponse à ces questioñs repose, d'une part sur des considérations d'ordre mathé-matique et, d'autre part sur des études expéri-mentales, auxquelles il est également néces saire d'avoir recours pour vérifier des hypo-thèses admises pour l'établissement des équations. On vérifiera, par exemple, l'hypo-thèse suivant laquelle il n'y aurait aucune

perte due à la viscosité et, de même, la sché-matisation des champs de vitesse dans les directions transversales et suivant x, en con-frontant les résultats du calcul et expéri-mentaux.

Les chapitres qui súivent abordent des questions de ce genre à l'aide d'une solution

lt is evident that the validity of the

equa-tions derived depends on the magnitude

of the accelerations of the fluid perpendicular to the x-axis. The steepness of the translatory wave is a measure for these accelerations, which can be so great that the velocity of propagation is influenced considerably. In the linearized system the translatory wave may be replaced by a sum of siñusoidal waves, each of them with different angular speed and amplitude. Therefore the transverse accelera-tions depend on the frequencies (and ampli-tudes) of the sinusoidal waves, which together form the translatory wave. That is why much attention wifl be paid to the harmonic solu-tion of the system of equasolu-tions.

The case of a ship heaving and pitching in a harmonic translatory wave is replaced by a case in which the ship carries out a forced har-monic oscillation, in this way generating sinusoidal waves. This is allowed because of the presumed linearity of the system. The aforementioned replacement is in accordance with the facilities afforded by the available test apparatus.

3 Harm Dnic solution

As it is not possible, even in the harmonic case, to solve the equations analytically we introduce the following simplifications:

.!O,

8d0

i.e. the ship gets a.rectangular profile. This schematization presénts some, problems in

Kalk wUk and Kranenburg / 1-leaving and pitching of a ship in a narrow channel 13

particulière du sytème, avec vérification ex-périmentale.

La validité des équations déduites dépend évidemment de la grandeur des açcélérations que subit le fluide en direction perpendiculaire à l'axe des x. La raideur de l'onde de trans-lation représente la mesure de ces accéléra-tions, qui peuvent être d'une importance telle qu'elles influent fortement sur la vitesse de propagation. On peut remplaòer l'onde de translation dans le système linéarisé par la somme d'ondes sinusoidales, d'ont chaque onde présente une vitesse angulaire et une amplitude différentes., Par conséquent, les accélérations transversales sont fonction des fréquences (et des amplitudes) des ondes. sinusoidales, qui constituent ensemble l'onde de translation. C'est pour cette raison que nous consacrerons beaucoup d'attention à la

réso-lution harmonique du système d'équations. Le cas d'un bateau animé de mouvements de pilonnement et de tangage dans une onde de translation harmonique est remplacé par

celui d'un bateau dont le muvnient

cor-respond à une oscillation harmonique fòrcée, et créant ainsi des ondes sinusoidales. Cette façbn de procéder est justifiée du fait de la supposition qu'il s'agit d'un système linéaire. La sUbstitution précédente est compatible avec les possibilités de l'installation expéri-mentale employée..

3 Solution harmonique

Etant donné l'impossibilité de résoudre ana-lytiquement les équations (même pour le cas harmonique), nous adoptons les simplifica-tions:

and/et 11= 12 i

correspondant à un profil rectangulaire du bateau. Cette schématisation entraîne

cepen-14 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

the transition zones from bow and stern to the channel. If necessary this. transition may be considered as being continuous.

In the case of harmonic motión of the fluid with circle frequency w:

at2

azs

= u+Ox,

at

Substituting these expressions into equations (1), (2'), (la) and (2a) the following equations arise: = O av

/

w2e1\ai 2

--+gl

_g + = O at ax

av+

_g g

)ax

It is remarkable that if w2e1/g > 1 or w24D/g > 1 the equations are of the elliptic type; in this case equation (2b) or (2c) cannot be valid. This phenomenon is caused by the assumption of homogeneous. disti9bution over a cross-section of the velocity in x-direction, done in section 2. As eL > kD the conclusion may be drawn that this theory can be best applied to those cases. for which:

2

w2 <!_

e1

dant quelques problèmes dans les zones de transition de l'étrave et de la poupe au canäl. Nous pouvons, si nécessaire, admettre. l'hypo-thèse d'uñe transition continue.

Considérons le cas du mouvement har-monique d'un fluide de vitesse angulaire w:

s

axat2

La substitution de ces relations dans les

équatioñs (1), (2'), (la) et (2a) nous conduit aux équations:

IXH

Il est remarquable que si w2e1/g > i óu

w2D/g > I,

les

équations sont du type

elliptique et, dañs ce cas, les équations (2b) ou (c) ne peuvent être valables. Ce phénomène découle de l'hypothèse (émise au chapitre 2), dc la répartition homogène, dans une section transversale, des vitesses en direction .x:

Puisque e1 > D, nous pouvons conclure

que cette théorie convient le mieux aix cas pour lesquels:

Due to the forced oscillation of the ship, an Compte tenu du mouvement d'oscillation external force F0(wt) and moment M0(wt) forcée animant le bateau, il est nécessaire de

Ka/kw jjk and Kranenburg/ Heaving and pitching of a ship in a nâJrov channel 15

which generate the oscillation have to be added to the equations of motion for theship. Furthermore these equations can be simpli-fied since S, n O, caused by the schematiza' tion of the shape of the s hip. Taking this into account and carrying out the integration of Pa this yields for the equations of motion for

the ship: (m ± Qe44)ü±QgA = y3g(2b) J (x t) dx + F0(wt) -t (J9 + Qe4! ,) O ± QgI,O = y3 Qg(2b) Ç xj(x, t) dx + M0(wt) =1 in which:

y3 = i

-e3 = 3.1 Boundary conditions

Two of the four boundary conditions, neces-sary for solving equations (lb) and (2b), are based on considerations of symmetry when the ship is heaving and of antimetry when the ship is pitching.

Heaving: v(O,t) = O, Pitching: w2e3 g b

e4=--f

faire intervenir, dáñs les équations du mouve-ment du bateau, la force extérieure F0(wt), et le moment extérieur M0(wt) donnant lieu au mouvement oscillatojre. Par ailleurs, puisque du fait de notre schématisation de la forme du bateau S, = O, nous pouvons sim-plifier ces équations. Compte tenu de ceci, et en intégrant Pa' nous obtenons les équations du mouvement du bateau: avec:

4h b

D3 b5 D,,

3.1 Conditions aux ¡imites

Deux des quatre conditions aux liiites né-cessaires à la résolution des équations (lb) et (2b) reposent sur des considerations de syme-trie lorsque le bateau est animé d'un mouve-ment de pilonnernent, ou sur des conditions d'antimétrie en cas de tangaje.

Pilonnernent:

ô,i(O,t)

-Tangage:

16 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) ,io.

The two remaining boundary conditions are derived from the laws, of conservation of mass and of energy at the bow (or stern). We assume that a single harmonic wave is gen-erated. at the bow.

The law of conservation of mass gives: A5v(l, t) = in which

= the velocity of the fluid particles in the channel,

AC = the area of the transverse cross-section of the channel.

The energy losses at the bow (stern) are

negligible in view of the fact that the fluid particles carry out very small oscillations about an equilibrium position and moieover the transition from ship to channel is con-sidered as being gradual.

The general formua for the transport of energy through a stationary cross-section, with area A is [4]:

in which p represents the velocity potential. Here

ap/3t is given by Bernoulli's law:

dE ççáq

'dA

3t an

ôq, 5q,

an ax

ag/at étant donnée par la loi de Bernoulli;

ap. V2 p 'V2 _Pa

--= ---gL= ---g,

Q,

Les deux autres conditions aux limites s

déduisent des lois de la conservation de mnass et d'énergie à l'étrave (ou à la poupe). Nous admettons la formation d'une onde harmo-nique solitaire à l'étrave

Suivant la loi de conservation de la masse.:

ACvC(1,t) . l2)

dans laquelle

v = la vitesse des particules fluides dans le

canal,

= la section transversale de ce dernier.

Il ne se produit qu

des pertes d'énergie négligeables à la poupe, du fait que d'une part les particules flúides sont animées de très petites oscillations seulement par rappo à une position d'équilibre, et d'autre pârt que la transition du bateau au cànal est supposée être progressive.

La formule générale du transport d'énergie ayant lieu par une section transversale fixe dont l'aire est égale à A, est [4]:

dans laquelle p correspond au potentiel de

vitesse.

Dans le présent cas:

Kalkwjjkand Kranenburg f Heaving and pitching of a ship in a narrow channel 17

TherefOre thé law of conservation of energy, applied to the transition zOne from ship to channel, yields:

= -

(1, t) ₅₅ [pa(1' t) + Qgr7(l, t)] dA = - v(1, t)

5$ [p(l,

t) + ogn(l, t)] dA (13)

in which

= the deviation from hydrostatic pressure distribution in the channel,

the fluid level elevation in the channel.

Élimination of v(1,t) and v(1,t) from (12) and (13) together with some rearrangements yields:

From equation (Ic) and (2e) can be derived:

in which c, = J(gD).

Equations (12) and (13a) together with the above relation (14) yield the boundary coñdition:

(15) is an equation with ,double information': ïnphase and out of-phase components must be equal, therefore equatión (15) gives the second pair of boundary conditions.

D

t) = , v(1, t) ccvyo

y,i(l, t) +

z(l,

t) _,Jyo v(1, t)

Il s'ensuit que l'application de la loi de la con-servation d'énergie à la zone de transition du bateau au canal nous donne:

dans laquelle

= l'éáart par rapport à unerépartition

hy-drostatique des pressions dans le canal, la surélévation du plan d'eau dans ce dernier;

En éliminant v(1, t) et v(1, t) des relations (12) et (13), et après quelques remaniements, il vient:

(13a)

Et nOus pouvons tirer des équations (le) et (2e) la relation:

(14)

dans laquelle c, = ,..J(gD).

Cette dernière relatiOn, prise avec les équations (12) et (13a), nous fournit la con-ditiön aux limites:

(15)

Cette équation (15) est soumise à la con4ition de l'égalité des composantes en phase, et déphasées; par conséquent, elle nous fournit la deuxième paire de conditions aux limites. yq(l, t) + _!-2

_{z(l, t) = yn(l t)}

in which: dans laquelle

vi = i

-g

¡8 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. 1

The wave amplitude in the channel follows from equations (14) and (12):

3.2 Heaving

The harmonic heaving motioñ of the ship is defined by:

u =

As transient phenomena are not taken into consideration, v,, and ii must also be harmonic. Due to the oscillatioñ Of the ship, wave length and wave amplitude at the side of the ship are not constants, but depend on x. Therefore for

Ix! < I the following is stated:

From these expressions derivatives of v and , with respect to x and t can be derived. Substitute the relatioñs fOr these derivatives in equations (lb) and (2b) and let the real parts and the imaginary parts of both equa-tions equal zero. This gives four ordinary simultaneous differential equations in O, ,

,and1':

I

A5D.

LI() \'YO Ac í3(x)e»' - q,(x)) '1 =

L'amplitude d'onde dans le canal s'ob-tient à l'aide des équations (14) et (12):

3.2 Pilonnement

Le mouvement de pilonnement harmonique du bateau est défifli par:

and/et O O

d

w(stn

fr)

+ D ---(êcosq,) = O

d .

w(icos,b) D3--(stnç) = co----u

w(O sin

') + gy1 -(I)cosf) = O

- d

w(cost,) - gy1---(sin i) = O

Puisque nous négligeons les phénomènes transitoires, v et J dOivent également être de caractère harmonique.

Du fait de l'oscillation du bateau, ni la

longueur ni l'amplitude d'onde au flanc du

bateau ne sont des constantes, mais sont

fonctions de x, et par conséquent, nous pou-vons écrire, pour

Ix <

i:

Ensuite, nous pouvons tirer les dérivées de

v et de

par rapport à x, et à t. Si nous

substituons les relations correspondant à ces dérivées dans les équations (lb) et (2b), et nous disons que les parties réelles et imagi-naires des deux équations sont égales à zéro, nous obtenons quatre équations différen-tielles simultanées ordinaires en ê, , q et 4':

Kalkwjjk and Kranenburg / Heaving and pitching ola ship in a nthrow channel 19

Making use of the two conditions of symñíe Avec les deux .cönditions de symétrie don-try given in section 3.1 the solution of these nées au chapitre 3.1, la solution de ces

equations takes the form: équations prend la forme:

Hence for 1x1 < 1:

sin ( =

g.Jy1 Cs b5

-

uP sin X a b5. u Q sin x a b5. b5.

cos' =

uQcosx----u

b.

p7 sin ,,Li

uPcosixx

in which P and Q represent integration con- dans lesquelles P et Q correspondent à des

stants, and: constantes d'intégration, et:

= , c5 = j(gD5)

Cs"/y1

D'où nous obtenons, pour 1x1 <1:

û(P + iQ) sin ccxe1'

Qcosx) + iPcosx]e»'

The coñstants P and Q are derived from the Les constantes P et Q se déduisent à partir de boundary condition (15) This yields la condition aux limites (15) d ou

ac. y

bc

Yo ac5 2

-.

-

sinl J +CO5 1

y

bc

j

QY2

cosc1l

- ï

_{( ¡Y.}

S.Sjfll±CO52OE1

\

Vi bc

j

in which 2b represents the width of the chan- dans lesquelles 2b représente la largeur du

nel, and: canal,

et:-ei +(aj'b.je2 2 w2e3

20 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. I

It is surprising that Y2 is equal to y3. However, this is a requirement according to the energy balance of the system (see section 3.4). A consideration of Y2 and y3 shows that these coefficients depend on the way of schematiza-tion of the wet cross-secschematiza-tion. It is essential that steps in the pressure at the boundaries of the regions I, 2 and 3 are not introduced. In accordance with the assumed flow only the schematization applied here satisfies this condition.

Finally relations can be derived for wave amplitudes, wave phases, velocities and pressures. For wave amplitudes and wave phases one obtains, for instance:

3.2.1 Hydrodynamic coefficients in the heaving equation

Dealing with harmonic ship oscillations it is

I(x)

_{= \,/(P2+Q2)cos2x}

- 2Qcoscx+l

(b5/a)u P COS X

tg(x)

- Qcoscx-1

(

L'égalité de Y2 et de y est assez inattendùe, mais cette condition dépend du bilan éner-gétique du système, ainsi qu'il est démontré au chapitre 3.4. L'exameñ des coefficients Y2 et y nous révèle qu'ils dépendent du mode de schématisation de la section mouillée. Nous avons par ailleurs pour condition essen-tielle d'éviter l'introduction de tout ,,palier" de pression aux limites des zones 1, 2 et 3, et pour l'écoulement admis, seule la schémati-sation que nous avons appliquée respecte cette condition.

Enfin, nous pouvons établir des relations définissant les amplitudes d'onde, les vitesses et les pressions. Par exemple, nous obtenons pour les amplitudes et Is phases d'onde:

i i

Yi bc

j

Nous avons calculé les valeurs numériques de ces fonctions pour le cas étudié sur un modèle. Les valeurs de

a, b, d

et h soñt

déterminées au chapitre 4. Dans la figure 3,

I/[(b/a)û]

est représentée en fonctiòn du pa-ramètre sans dimensions wi/c5; les figures 4 et 5 représentent les amplitudes et les phases d'onde au flanc du bateau en fonction du même paramètre,

pour x = O,

x 0,651

etx = i.

3.2.1 Coefficients hydrodynamiques inter-venant dans l'équation du mouve-ment de pilonnemouve-ment

Dans les études des oscillations harmoniques

,c =j

(b/a)û Yo

i

The numerical values of these functions have been computed för the case investigated in a model. The values ofa, b, dandh are found

in section 4. In Fig. 3 I/[(b5/a)û] is

repre-sented as a function of the dimensionless parameter w1/c; Figs. 4 and 5 give a picture of the wave amplitudes and phases at the side of the ship as. a function of the same para-meter for x = O, x = 0.651 and x = 1.

Fig. 3. Wave amplitude in the channel. Amplitude d'onde dans le canal.

heavJng pii onn,men hydrodyn. part mcl. hydrodynamique considérée part igñorèd hydrodynamique négiIgé purne - - panic ---hydrodyñ.

VA Lr1LI

pllonrement

o&(exp.)

?ls(o)(exp) -=0.65

A

A

Iii

/ i .

i(x)

'Viû

V/4

v,', II

''o

wji

vLw5:.

ì(o) (exp..) m/i(x) (exp.) Xn/1 0.65

.0

____________

inhi=F+F0+F0

in the form: sous la fôrme suivante:

aü+bú±c.0

F0

Kalkwjjk añd Kranenburg / Heaving and pitching of a ship in a narrow channel 21

2 6 (1)! ce 4 5 6 wi cc

Fig. 4. Wave amplitudes at the side of the ship. Amplitudes d'onde au flanc du bateau.

Fig. 5. Wave-phases at the side of the ship. Phases d'onde au flanc du bateau.

usual to write the equation of motion for the d'un bateau, il

est de pratique courante

ship (see section 2.5): d'éárire l'équation du mouvement du bateaU

(vöiÌ chapitre 2.5) 2 6 (i)! C5 ' 2.0 t6 1.2 0.8 0.4 1.6ir 1.4ir 1.2 ir i Oir 0.8 ir O.6ir 0.4ir O.2ir 3.6 3.2 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2. 0.8 0.4 o

22 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

The coefficients a, b5 and c are defined here

by

a5 =

m_Re()

b5

_Re(F5)

C5

Physically real parts of the forces correspond to components in-phase with the ship motion, imaginary parts to 90 degrees out of-phase components.

The definition of the coefficients is chosen in this way to ensure that they do not depend on time; however, they do depend on fre-quency [5, 6 and 7].

From the formulas for F55 and Fza' given in section 2.5 and the solutions for pa(X,y,d, t) and 11(x,t) we get the expressions:

F55

QgAw[{(Q_iP)511

Fza = _QAwW2[e _{-{(Q- ¡P)}sin cxl

With these relations for F55 and Eza the equa-tioñs (16) change as follows:

a. b5(1

sin IQ

m h5 h a

l

bZ

-

cb sin cLl QCCAW - w Da cxl

- i +(

sinllQ)

CZ QgA

virtual mass/masse virtuelle

damping coefficient (16)/coefficient d'amortissement (16)

hydrostatic coefficient/coefficient hydrostatique

dont les coefficients a5, b. et CZ sont définis,

dans le présent cas, par les relations:.

-Les parties physiquement réelles des forces correspondent à des composantes en égalité de phase avec le mouvement du bateau, et les parties imaginaires à des composañtes en décalage de phase de 900.

Ce mode du choix de la définition de ces coefficients assute qù'ils ñe dépendent du

temps; par contre, ils sont fonction de la

fréquence [5, 6 et 7].

Nous tiroñs des formüles définissant F5 et Fza, données au chapitre 2.5, et des solutions de pa(X,y,d,t) et de (x,t), les expressions:

Ces relations modifient les équations (16) comme sùit:

(1 6a)

Kalkwjik and Kranenburg / Heaving and pitching ola ship in a narrow channel 23

3 4 5

For a graphical fepresentation of these rela-tions see Fig. 6; again the same values of a, b d and h5 have been used.

3.3 Pitching

The ship motion now is defined by:

6

O=

7

U,!

C,

With equations (lb), (2b) and boundary con-ditions we are agáin äble to give a solutiôn of the harmonic motion in quite the same way as is carried out in section 3.2 fòr the heaving ship.

Here it is sufficient to give the results:

Fig. 6. Coefficients in the. heaving-equation. Coefficients intervenant dans l'équation du piloñnement

La représentation graphique de ces équations est donnée en figure 6, toujours avec les mêmes valeurs de a, b5, d et h5.

3.3 Tangage

Le moUvement du bateau dans ce cas est défini par:

añd/et u = O

Moyeñnant les équations (lb) et (2b) et les conditions aux limites, nous pouvons de nou-veau obtenir la solution correspondant au mouvement harmonique par le même pr6-cédé que celui présenté au chapitre 3 2 pour le cas d'un bateau animé d'un mouvement de pilonnement.

II suffit, pour le présent cas, de donñer les résultats:

gIy' 1!?-[Pcosx

₊

_i(Qcosczx

-c5 a =

l[(Qsinx

-.

-

iPsinOEx]Ôe'0m.

(x <1)

-i ° heaving pilon femen, (exp.) forces b2 -from forces déduit des o from j, dédi d (exp.) 2A0 b2

/\

E?/ \

____

in1r.

.

.-.

ogA 14 12 lo 6 4 2

24 Journal of HydraulicResearch / Journal de Recherches Hydrauliques 8(1970) no. I

with the integration constants: et avec ceux-ci, les constantes d'intégration: sin cL!

COSI cd

(

v

_f-.cosl'+sin2l

bc

j

/ ¡Yo ac5 cos cl

sinl+( /---j

_bcj

_cd

Yi/'Yo ac

\2 I I s cd I + Sin cd v

bc

j

One obtains for the wave amplitude in the d'où noUs obtenons, pour l'amplitUde d'onde

channel: dans le canal:

tgcLl

cxl

tg2cxl

I¡Yo. ac5 ¼N1Yl bc)

For the hydrodynamic áoefficients

in the

Et, pour les

coefficients hydrodynamiques pitching equation of the ship intervenant dans i equation de tangage du

bateau: a0Ö+b9O+c90 = M0(),

defined by: définis par:

a9 = Je_Re(M100)

b9 = - Re

(Mes+Mea)

c9=

_Re('05)

One Obtains the expressions: nous obtenons les expressions: = +

QIh[e4

+ j, e3

-

e3 Q(sin aLl

J9 J9 [h a h5 q h5 cxl \ aLl b9

_-

Y b5c P (sin cd a) cd coscd ce ₌

-

(Sifl ri! -. - coscxl QgI a

a cd

ciel ,)

I

Yo

i

Fig. 7. Wave amplitude in the channeL Amplitude d'onde dans le canal.

w!

ce

Fig 8. Wave amplitudes atthe side of the ship. Amplitudes d'onde au flanc du bateau.

1.47r l.2t 10m 0.8ir 06m 0.4ir 02m o

Fig. 9. Wave-phases at theside of the ship. Phases d'onde-au flanc du bateau

I /1 0k-! (xe)

/'

_WI

O fr(xg) (exp.) X0!! =0.65 /0 /0

--pitching tangage o --- (exp.) .0(0 o x0/! =0.65

I'

I'

I

'

(xo) ¡

I

b

LVio. \

.4

s(!) W

o from déduit c from déduit pitching tangage (exp.) forces des forues de ,i c0 -(exp.) -I I

\

\

a0

ti

j

5 6 w! Cs

Kalkwjjk and Kranenburg / Heaving and pitching ola ship in a narow channel 25

2 6

w!

Cs

Fig. 10. Coefficients in the pitching equation. Coefficients intervenant dans l'équation du tangage. 12 10 6 4 2 o 3.2 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4

26 Journal of ifydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

The graphical representation of the relations determined is given in the Figs. 7, 8, 9 and 10, for the same values of a, b, d and h as for heaving.

3.4 Energy balance

In this paper no energy losses have been taken into account ; obviously the work done by the ship in a periòd is equal to the radiated energy in the form of waves in that period.. However, it

is usefûl to set up an energy

balance, for it provides a check on the ap-proximation in section 2.2, which was in-trcduced to determine the hydrodynamic pressures in region 3.

The energy radiated

in two directions

during one period amounts to:

Because of equation (14) one obtains:

E = 2Qc/yo J dt JJ vdA

Et nous obtenons, à caùse de l'équation (14): yo'Jyo

E = 47rQgbc

(L)

In the case of the heaving ship the work done by the ship in one period follows from

t=T T

E =

J. F0(t)du = J(aü±bû+cu)tdt

which changes after integration into: dont l'intégration donnç: = irbwû2

Application of the law of conservation of L'application de la loi de conservation de

energy yields: . . l'énergie nous fournit:

E=E

La représentation graphique des relations d'éterminées se trouve sur les figures 7, 8, 9 et 10, tóujours pour les mêmes valeurs de a, b, d et h que dans le cas du pilonnement.

3.4 Bilan énergétique

Nous n'avons tenu compte d'aucune perte d'énergie dans cette étude; il est évident que le travail fourni par le bateau au cours d une période est égal à l'énergie rayonnée sous forme d'ondes pendant cette même période. Cependant I etablissement d un bilan ener-gétique présente un intérêt certain, car il permet de vérifier l'approximation faite au chapitre 2.2, dont l'introduction avait pour objet de permettre la détermination des pres-sions hydrodynamiques régnant dans la zone 3 L'énergie rayonnée däns deux directions au cours d'une période est donnée par:

Dans le cas d'un bateau animé d'un.mouve-ment de tangage le travail fourni par le ba teau au cours d'une période se détermine à. partir de l'expression: /

Kalkwjjk and Kraneñburg / Heaving aAd pitching of a ship in a narrow channel 27

For pitching one obtains in the same way:

Substitution of the expressions for b, b9 and derived in sections 3.2 and 3.3, gives both for heaving and pitching:

It is readily, verified that the relations for e1, e2 and e3 given in sections 2.4 and 3 satisfy this condition.

3.5 Circumstances under which the

hydro-dynamic pressures can be ignored

In section 2.6 it was pointed out that the

question as to when the hydrodynamic pres-sures may be ignored is of importance for a

numerical solution. Here we go into this

question for the harmonic motion.. The condi-tions will be derived for the heaving motion; similar expressions can be determined for the pitching mOtion.

=

4QbcccYoYo()

b9 = 4gbcyoJyo

()2

= y3

Et de même, pour le tangage:

La substitution des expressions définissant

b b9 et i

deduites au chapitre 3 2 et 3 3, cOnduit à l'égalité, suivante, tant pour le pilonnement que pour le tangage:

e3 e1 '+

On vérifie aisément que les relations définis-sant e1, e2 et e3 donnees aux chapitres 2 4 et 3, respectent cette condition.

.3.5 Circonstances dans lesquelles il est

pos-sible de négliger les pressions

hydro-dynamiques

Nous avons signalé au chapitre 2.6 que la question de savoir quand il est possible de. négliger les pressions hydrodynamiques' pré-sente une certaine importance lorsqu'il s'agit d'aboutir à une solution numérique.. D's le présent cas, nous examinoñs cette question sous l'aspect du mouvement harmonique:. nous déduirons d'abord les conditions cor-respondant au mouvement de pilonnement, et nous pourrons ensuite déterminer des ex-pressions añalogues pour le mouvement de tangage.

or: soit:

28 Journal of Hydraulic Resea,ch / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

3.5A Ignoring the hydrodynamic pressures

in the equation of motion of the

fluid (2')

The hydrostatic pressure gradient dominates the hydrodynarnic pressure gradient if:

in which e represents a number much smaller than unity. Making use of the expression for Fa given in sectioñ 2.4 and the fact that the motion is harmonic this inequality changes into:

3.5.2 Ignoring the hydrodynamic pressures in the heaving equation

The formulas for the hydrostatic and hydro-dynamic forces F55 and F5a, given in section 3.2.1, show that so far as out of-phase corn-ponents are concerned a condition similar to that of 3.5.1 is obtained, namely:

The in-phase components lead to a more com-plicated condition for the ignoring of the hydrodynamic part of the heaving force:

e3bS('QsinOEl

e4a\

cil

j

w2

e4

aFa ax <CQgA5

/wl\2

12

(I

<e-\ C,

_J

(ojl\2

¡2

II <2-

_{\ c J}

_e3D,

3.5.1 Nous négligeons les pressions hydro-dynamiques intervenant dans l'équa-tion du mouvement du fluide (2') Le gradient de pression hydrostatique est pré-pondérant par rapport au gradient hydro-dynamique lorsque la condition suivante est respectée:

ax

dans laquelle e représeñteun nombre très

in-férieur à l'unité. Moyennant

l'expression définissant Fa, donnée au chapitre 2.4, et compte tenu de ce que le mouvement est harmonique, l'inégalité précédente se traùs-forme en:

e1 D,

3.5.2 Nous négligeons les pressions hydro-dynamiques intervenant dans l'équa-tion du pilonnement.

Les formules données au chapitre 3.2.1 pour les forces hydrostatiques et hydrodynamiqües (F,, et F,a) montrent qu'en ce qui concerne les composantes déphasées, on aboutit à une condition analogue à celle indiquée en 3.5.1, à savoin

Les cömposantes en égalité de phase con-duisent à une condition plus complexe pour le cas où l'on veut négliger la partie hydro-dynamique de la force de pilonnement:

.< e

bs(Qsincd

i)_i

i «ir/2); in this case it is easy to show that:

The condition formulated above now sim-plifies into:

For a narrow channel the constant e4 is con-siderably greater than the constants e1 and e3 which means that this condition is a more stringent one than those above.

4 Model experiments

To prove the relationships determined in the foregoing sectioñ 3, some tests have been car-ried out iñ a rectangular fiume, which had at

both ends a device to damp waves, this

preventing reflection against the ends of the flume. The ship model was situated in the axis of the flume at equal distances from the wave dampers. A standard measuring device of the laboratory of naval architecture of the Technological University at Deift was used in order to excite the ship. A description of this apparatus can be found in [8]. The mechanical part of the instrument can excite

the ship harmonically, both heaving and

pitching, while the electronic part measures the force components needed for the excita-tion. The in-phase and 90 degrees out of-phase components of several harmonics can be measured.

A series of tests have been carried out with a Todd-60 ship model (equivalent length 2/ = 1.78 m, width 2b5 = 0.322 m, draught h5 = 0.129 m). The keel clearance was kept constant at 0.03 m, while the width between

the wall and the ship was 0.089 m. The

bs(Qsinl

_i)

_«i

/wl\2

12

lI

<e-\ C5)

e4D3

fréquences (a1/c5 «ir/2), pour lesquelles on démontre aisément que:

et la condition précédente se simplifie et devient:

Dans le cas d'un canal étroit, la conStante e4 est beaucoup plus grande que les constantes e1 et e3, ce qui signifie que cette condition est plus rigoureuse que les précédentes.

4 Etude sur modèle

Dans le but de vérifier les relations détermi-nées au chapitre 3, nous avons effectué uñ certain nombre d'essais dans un canal de section rectangulaire et comportant des amor-tisseUrs d'onde à chaque extrémité, ayant pour objet d'éviter toute réflexion à ces en-droits. La maquette du bateau se trouvait dans l'axe du canal, à mi-distance entre. les deux amortisseurs d'onde. L'excitation de la maquette a été effectuée à l'aide d'un dispo-sitif de mesure d'emploi courant au labora-toire d'architecture navale de l'Université Technologique de Delft. Nous renvoyons le lecteur à la référence bibliographique [8]

pour la description de ce dispositif. Les élé-ments mécaniques de l'appareil permettent i excitation harmonique du bateau (pilonne

ment et tangage), alors que les éléments

électroniques mesurent les composantes de force requises pour l'excitation. Ce système permet la mesure des composantes d'égalité de phase, ou déphasées de 90°, de plusieurs harmoniques différentes.

Nous avons effectué une série d'essais avec la maquette d'un bateau ,,ToId-60"

30 Journal of Hydraulic Research / Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. I

excitation amplitude amounted for heaving to 0.005 m and for pitching. to 0.01 rad.

In the case of several angular speeds the exciting force components (first harmonic), the wave in .the chanflel. generated by the ship and the wave amplitudes and phases at two points at the side of the ship Were measured. The measurements at the side of the ship served to determine the a- and e-coefficients in the equations of motion for the ship.

The results of the tests have been set out in Figs. 3 to 10, which also show the relevant theoretical resul ts.

5 Discussion of results

Due to the limited time in which the test apparatus was available the model test had to be carried out under rather unfavourable conditions. The ship thodel used for the os-cillation tests was a normal one, consequently the bow and stern had no rectangular shape and the ship was not symmetrical. There is no doubt that this will cause some unpredict-able anomalies with the harmonic theory. A demonstration of this fact was given by the wave height at the side of the ship for x = 0, when the ship was pitching. Theoretically this wave height has to be equal to zero; how-ever, in the pitching tests small waves occur at this point with a frequency equal to the excitation frequency.

Moreover the flume used was relatively short, while wave dampers at the ends of the

gueur équivalente 21 1,78 m, largeur 2b = = 0,322 m, tirant d'eau h 0,129 m). La,

hauteur sous quille à été maintenue à la

valeur constante de 0,03 m, et la largeur

entre le bateau et la paroi du canal était égale à 0,089 m. L'amplitude d'excitation était égale à 0,005 m pour le pilonnement, et à 0,01 radian pour le tangage.

Nous avons mesuré, pour plusieurs vitesses angulaires différentes, les composantes de: la fôrce excitatrice (harmonique du 1er ordre), l'onde créée dans le canal par le bateau, et les amplitudes et

les phases d'onde en deux

points différents au flanc de ce dernier. Les

mesures au flanc du bateau avaient pour

objet de permettre la détermination des coef-ficients a et e, intervenant dans les équations du mouvement du bateau.

Les résultats de ces essais sont présentés sur les figures 3 à 10, où elles sont confron-tées avec les résultats théoriques correspon-dants.

5 Examen des résultats

Etant donné que nous ne disposions de l'in-stallation expérimentale que pour un temps limité, il nous a fallu effectuer les essais dans des conditions assez défavorables La ma-quette employée pour l'étude des mouvements oscillatoires était-d'un type tout à faitnor-mal, c'est-à-dire que ni son étrave, ni sa poupe, n'étaient de forme rectangulaire, et le profil du bateau n'était pas symétrique. Dans ces conditions, on pouvait s'attendre à des ano-malies imprévisibles, par rapport-à la théorie harmonique. Par exemple, alors que tléo-riquement, l'amplitude d'onde au fiance du bateau devait être nulle pour x = 0, et dans des conditions de tangage, on constatait sur le modèle l'apparition de petites vagues en ce point, dont la fréquence était égale à la fré-quence d'excitation.

flume had to prevent reflections As is com-monly known it is practically, impossible to design such a device which gives a satisfactory damping of long low waves. Although the measurements were made as short as possible some reflection of the waves against the ends of the flume was not excluded for low angular speeds of excitation. After these general re-marks about possible anomalies of theory and experiments the results according to the

Figs. 3 through IO will be discussed.

All theoretical curves are drawn in the same frequency range. The theoretical point of failure of the theory is given by: wl/c, 7.

Fig. 3, wave amplitude in the channel (heaving)

The results of theory and experiments agree rather well. It is surprising that for a certain frequency, w = ir(c5yj/l), no wave is ra-diated, which phenomenon also was shown by the model. Consequently the excitation does not consume energy. However, this frequency cannot be considered as being the natural frequency; an excitation force is

ñeeded to generate this motion, but this force is exactly 180 degrees out of phase with the deviation of the ship u.

The results of a computation in which

only hydrostatic pressures were taken into account, set out in the same figure, illustrate the importance of the hydrodynamic part of the pressure depending on frequency.

En outre, notre canal était relativement court, et comportait des amortisseurs d'onde à chaque extrémité; or, on sait bien qu'il est pratiquement impossible de réaliser un tel dispositif pouvant assurer l'amortissement convenable d'ondes longues de faible ampli-tude. Bien que nous nous soyons efforcés d effectuer nos mesures aussi rapidement que possible, nous n'avons pu éviter quelques réflexions d'ondes aux extrémités du canal aux faibles vitesses angulaires d'excitation.

Ceci dit au sujet de la possibilité d'écarts anormaux entre les résultats théoriques et expérimentaux , nóus passons maintenant à l'examen des résultats présentés sur les figures '3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10.

Toutes les courbes tracées correspondent à la même gamme de fréquence. La limite theorique de la validite de la theorie est don née par: wl/c 7.

Examen de la figure 3, amplitude d'onde dans

le canal

pilonnement

Les résultats théoriques et expérimentaux s'accordent assez bien sur cette figure.

L'ab-sence de toute onde rayonnée lorsque la

fréquence

est donnée par w

_ir(c.,/y1/l) surprend, mais ce phénomène s'est égale-ment manifesté sur le modèle. L'interpréta-j tion en est que l'excitation ne consomme au-cune énergie. Cependant, nous ne pouvons pas admettre que cette fréquence corresponde à la fréquence propre; la génération de ce mouvement nécessite une force excitatrice, mais il se trouve que celle-ci est déphasée d'exactement 180 ° par rapport à la. dévia-tion ü du bateau.

Les résultats d'un calcul ne tenant compte que des pressions hydrostatiques sont égale-ment présentés sur cette figure; ils metteflt en évidence l'importance de la part hydrodynami-aue des pressions dépendant de la fréquence..

32 Journal of Hydraulic Research I Journal de Recherches Hydrauliques 8 (1970) no. ¡

Fig. 4, wave amplitudes at the side of the ship (heaving)

Fig. 4 shows three theoretical curves, namely for x = 0, x = 0.651 and x = 1. Due to the schematization of the ship it is not possible to show measured wave amplitudes at x = i, because of the fact that this point lies in the transition zone from ship to channel. The points taken from the measurements agree rather well, with the theory,, except for those frequencies which give rise to high waves (w = l.6c/1 and w = 3.9c/1). In the model these sharp peaks do not occur, the waves in the model cut off these extremes. The most probable explanation is the occurrence of waves during the excitation, which were al-ready so high that second order effects can play a role.

A peculiar póint of the theoretical wave amplitude at x = ¡ is that, for the frequency at which nowave is generated in the channel, the waye amplitude is not equal to zero (see Fig. 3). The introduction of the accelerations perpendicular to the x-axis causes this effect.

Fig. 5, wave phases at the side of the ship (heaving)

Similar 'to Fig. 4, Fig. 5 shows theoretical curves and results of experiments for x = 0,

x = 0,65 ¡ and x = i.

Unfortunately the experimental determination

of the

wave phases is not very easy. Small unimportant secondary waves can cause great anomalies. Nevertheless experiment and theory agree rather well.

At the point w = 7t(c5/y //) the three theo-- retical curves intersect at a phase of 180

Examen de la figure 4, amplitudes d'onde au flanc du bateau pilonnement

Cette figure présente trois courbes théoriques, correspondant à x = 0, à x = 0,65!, et à x = i. La schématisation du bateau interdit la représentation d'amplitudes d'onde mesu-rées correspondant à x = 1, étant donné que ce point se situe dans la zone de transition du bateau au canal. Les points de mesure s'ac-cordent assez bien avec les résultats théori-ques, à l'exception des fréquences donnant lieu à des ondes de forte amplitude (w =

= l,6cj1 et w = 3,9c/l). Les résultats

ob-tenus sur le modèle ne présentent pas ces mêmes sommets accentués, qui sont écrêtés par les ondes présentes dans le canal, et très vraisemblablement par celles présentes pen-P dant l'excitatioñ, dont l'amplitude était déjà suffisamment importante pour que des phéno-mènes du 2ème ordre puiswnt jouer un rôle.

Une constatation intéressante en ce qui concerne l'amplitude de l'onde dant à x = / est que i'amplitude correspon-dant à la fréquence pour laquelle aucune onde n'est engendrée dans le canal, est non-nulle (fig. 3). Ce phénomène est dû à l'intro-duction des accélérations en, direction per-pendiculaire par rapport à l'axe des x. Examen de lafigureS, phases d'onde au flanc

du bateau (pilonnement)

Comme la figure 4, la figure 5 présente des courbes théoriques, ainsi que des résultats expérimentaux, correspondant à x = 0, à x = Q,651, et à' x = 1. Mais, malheureuse-ment, la détermiñation des phases d'onde n'est guère aisée, car même des ondes secon-1 daires de faible importance sont susceptibles de provoquer d'importantes anomalies. Ce-pendant, les résultats théoriques et expéri-mentaux s'accordent encore assez bien. Au