"Fale powierzchniowe w auksetykach"

Instytut Fizyki Jądrowej im. H. Niewodniczańskiego

Polskiej Akademii Nauk

Dariusz Twaróg

Fale powierzchniowe

w auksetykach

Rozprawa doktorska wykonana

w Zakładzie Badań Strukturalnych IFJ PAN

pod kierunkiem doc. dr. hab. Piotra Zielińskiego

Praca przygotowana w ramach projektu

„Europejski Fundusz Społeczny

dla Międzynarodowego Studium Doktoranckiego w Instytucie Fizyki Jądrowej

im. H. Niewodniczańskiego PAN w Krakowie”

Projekt wspófinansowany ze środków Unii Europejskiej i budżetu państwa

Pragnę podziękować promotorowi doc. dr. hab. Piotrowi Zielińskiemu za

zaangażowanie oraz okazaną pomoc w czasie pisania niniejszej rozprawy,

a także za czas poświecony licznym dyskusjom dotyczącym zjawisk

powierzchniowych.

SPIS TREŚCI

I. Wstęp

1.1. Fale harmoniczne w ośrodkach nieograniczonych...6

1.2. Fale w ośrodku ograniczonym płaską powierzchnią – pasmo fal objętościowych ...7

1.3. Fale powierzchniowe...10

1.4. Lokalna gęstość stanów...10

1.5. Rezonanse powierzchniowe...12

1.6. Auksetyki...12

1.7. Rodzaje fal powierzchniowych...14

1.8. Założenia i cele pracy...15

II. Izotropowy ośrodek ciągły z płaską powierzchnią

2. Równania ruchu, wektory polaryzacji...18

2.1. Model powierzchni, warunki brzegowe...21

2.2. Fale objętościowe, fale powierzchniowe...22

3. Wyjątkowa fala powierzchniowa (ESW), zakres występowania...24

3.1. Przypadek σ >0 oraz γ_ES >γ_AS...26

3.2. Przypadek σ <0 oraz γ_ES <γ_AS...27

4. Przykłady fal ESW w ośrodku ciągłym...33

4.1. Auksetyk pokryty warstwą γ_AS <γ_ES...33

III. Ośrodek dyskretny w polu zewnętrznym

6. Model ośrodka dyskretnego...46

7. Przybliżenie fal długich...50

7.1. Warunki stabilności...53

7.2. Współczynnik Poissona...56

7.3. Stałe sprężyste...57

8. Zależność prędkości fal akustycznych od pola zewnętrznego...59

9. Zależność widma fal sieciowych od pola zewnętrznego...61

9.1. Ośrodek dla (1,0) (1,0) L T c c > ...62 9.2. Ośrodek dla (0,1) (0,1) L T c c > ...68 9.3. Ośrodek dla (1,0) (1,0) L T c c > , (0,1) (0,1) T L c >c ...73

10. Wyjątkowa fala powierzchniowa (ESW)...79

10.1. Model powierzchni...79

10.2. Lokalna gęstość stanów...83

11. Przykłady fal ESW w ośrodku dyskretnym...86

11.1. Fala ESW dla (1,0) (1,0) L T c c > ...86

11.2. Fala ESW dla (1,0) (1,0) T L c <c ...92

12. Wnioski...97

IV. Podsumowanie:

najważniejsze wyniki i perspektywy dalszych badań...98

I. Wstęp

1.1. Fale harmoniczne w ośrodkach nieograniczonych

Zgodnie z twierdzeniem Blocha [1], w każdym nieograniczonym przestrzennie ośrodku wykazującym niezmienniczość translacyjną, ciągłą lub dyskretną, mogą się rozprzestrzeniać fale płaskie o ogólnej postaci:

u r tr r

( )

, =Ser exp

(

i t ikrω − rr . (1.1)

)

Symbolem u_n

( )

rr oznaczono tu chwilowe wychylenia ośrodka w punkcie o wektorze ,t

wodzącym rr i w chwili czasu t. Wielkość ω jest (kołową) częstością fali, a wektor kr, wektorem falowym. Wektor er zwany jest wektorem polaryzacji i jest zazwyczaj unormowany do jedności, a liczba S oznacza amplitudę fali. Spełniona zwykle

niezmienniczość względem odwrócenia czasu, powoduje, że jeżeli istnieje fala o wektorze falowym kr, to istnieje również fala o wektorze falowym przeciwnym −kr.

Fale o podanej postaci (1.1) są rozwiązaniami równań ruchu ośrodka w nieobecności oddziaływań zewnętrznych, o ile te równania ruchu są liniowe. Wówczas dla każdego

W przypadku fal mechanicznych częstość ω jest pierwiastkiem takiej wartości własnej, a w przypadku fal opisujących kwantowe stany, np. elektronowe ω =E/_h jest wprost wartością własną. Wektory falowe kr przyjmują dowolne wartości z całej przestrzeni o wymiarze równym wymiarowi rozpatrywanego ośrodka. W przypadku

ośrodków charakteryzujących się dyskretną niezmienniczością translacyjną, tj. okresowością przestrzenną, wektory falowe różniące się wektorami sieci odwrotnej

opisują dokładnie taka samą fale i dlatego wystarczy rozpatrywać wektory falowe zawarte w komórce prostej sieci odwrotnej zwanej pierwszą strefą Brillouina. Ważne jest ze zarówno w ośrodkach ciągłych jak i dyskretnych wektor falowy przyjmuje w sposób ciągły wartości z pewnego spójnego obszaru przestrzeni, co jest równoważne kwantowo mechanicznemu twierdzeniu o ciągłym widmie stanów w układach przestrzennie nieograniczonych.

Związek miedzy wektorem falowym a częstością jest zwany relacją dyspersji. Relacje dyspersji są określone przez równania ruchu ośrodka. Otrzymujemy je przez diagonalizację macierzy propagacji (macierzy dynamicznej). Geometrycznie, relacje dyspersji są powierzchniami określonymi w obszarze zmienności wektora falowego. Liczba relacji dyspersji jest równa wymiarowi macierzy propagacji, a ten z kolei jest równy liczbie stopni swobody ośrodka. Przykładowo w zwykłym ciągłym ośrodku sprężystym liczba stopni swobody jest równa liczbie współrzędnych wychyleń elementów ośrodka. W przypadku materiałów bardziej złożonych np. ze sztywnych cząsteczek posiadających rotacyjne stopnie swobody, liczba relacji dyspersji jest odpowiednio większa.

1.2. Fale w ośrodku ograniczonym płaską powierzchnią

– pasmo fal objętościowych

Kiedy rozpatrywany ośrodek zajmuje podprzestrzeń ograniczoną płaską powierzchnią, układ przestaje być translacyjnie niezmienniczy w kierunku prostopadłym do tej powierzchni. Twierdzenie Blocha obowiązuje wówczas tylko w kierunkach równoległych do powierzchni. Wszystkie możliwe rozwiązania równań ruchu ośrodka mają zatem postać fal:

u r tr r

( )

, =Sw zr

( )

exp

(

i t ik rω − r_||r , (1.2)

)

gdzie wektor falowy kr_|| jest równoległy do powierzchni a współrzędna (z) jest do niego

prostopadła i skierowana w głąb materiału. Bez szczegółowej znajomości materiału wektorowa funkcja wr

( )

z nie może być wyznaczona. W większości przypadków rozpatrujemy w praktyce równania ruchu w znacznej odległości od powierzchni tj. dla

0

z

z≥ gdzie z jest pewną skończoną odległością od powierzchni. Wtedy zwykle ₀

równania te są zgodne z równaniami obowiązującymi w ośrodku nieskończonym. W takiej sytuacji w głębi ośrodka (ang. bulk) rozwiązania równań ruchu są kombinacją liniową fal płaskich będących rozwiązaniem równań ruchu dla ośrodka nieskończonego.

Współczynniki tych kombinacji są takie, aby spełnione były równania ruchu dla strefy przypowierzchniowej z< z₀. Zbiór równań ruchu dla z< z₀ można traktować jako uogólnione warunki brzegowe. W wyniku tego, dla każdego wektora falowego

||

kr r= −k kr_⊥ gdzie kr_⊥ >0 można utworzyć falę:

ur_inc

( )

r tr, =S e_{inc inc}r exp

(

i t ik r ik zω − r_||r+ r_⊥

)

, (1.3) będącą rozwiązaniem równań ruchu dla ośrodka nieskończonego. Jest to w istocie fala padająca na powierzchnię od strony ośrodka pod kątem θ =arctan

(

k_||/k_⊥

)

.

Rys. 1. Wektory falowe fali padającej i fal odbitych w przypadku, gdy istnieją dwie fale odbite i jedna fala pola bliskiego. Cześć urojoną wektora falowego odłożono na ujemnej półosi rzędnej. k3_| k|| k1 | k2_| k_|| k_|| k_| R e ( k_|) θ

Każdej takiej fali padającej towarzyszy zawsze pewna liczba fal odbitych posiadających tę samą składową k_|| wektora falowego, co wynika z prawa zachowania składowej pędu (pseudo quazi - pędu) równoległej do powierzchni. Z kolei prawo zachowania energii wymaga, aby częstość wszystkich odbitych fal była równa częstości fali padającej. Oczywiście wszystkie fale odbite musza być także rozwiązaniami równań ruchu dla ośrodka nieskończonego. Oznacza to że wektory falowe fal odbitych

(

_{k k||}, n

)

⊥ , n=1,2,..n

n - liczba fal odbitych spełniają relacje dyspersji obowiązujące w rozpatrywanym

ośrodku. Pozwala to obliczyć wszystkie składowe prostopadłe _kn

⊥ wektorów falowych

fal odbitych. W przypadku gdy liczba rzeczywistych składowych _kn

⊥ odpowiadających

ustalonej składowej k_|| i częstości ω jest mniejsza niż liczba fal występujących w układzie dla każdego wektora falowego (tj. mniej niż liczba relacji dyspersji) pozostałe wektory _kn

⊥ spełniające równanie relacji dyspersji okazują się zespolone.

Urojone części zespolonych wektorów falowych _kn

⊥ muszą być ujemne Im

( )

k⊥n <0, aby

odpowiednie rozwiązanie znikało w głąb materiału, a nie rosło do nieskończoności. Wówczas zamiast fali odbitej tworzy się tzw. pole bliskie (ang. nearfield). Jest to w istocie fala rozchodząca się po powierzchni z amplitudą, która wykładniczo maleje w miarę oddalania się od powierzchni. Zatem ogólnym wynikiem odbicia dowolnej fali padającej z wnętrza materiału na jego powierzchnię jest pewna liczba rzeczywistych fal odbitych oraz pewna liczba pól bliskich (rysunek 1). Obszary na płaszczyźnie

( )

k_||,ω , w których istnieje przynajmniej jeden czysto rzeczywisty wektor falowy _kn

⊥ nazywa się

pasmem objętościowym. Fale o całkowicie rzeczywistym wektorze falowym

(

_{k k}n

)

⊥

−

,

||

(falą taką może być zarówno fala padająca jak i odbita

(

_{k k}n

)

⊥

,

|| ) nazywamy falą

objętościową (rysunek 1). Jak wynika z powyższego opisu w poszczególnych obszarach pasma fal objętościowych może występować różna liczba fal w zależności od liczby rzeczywistych składowych _kn

⊥ odpowiadających zadanym wartościom składowej k||

1.3. Fale powierzchniowe

W pewnych obszarach przestrzeni

( )

k_||,ω wszystkie składowe _kn

⊥ mają

niezerową część urojoną. Zgodnie z przyjętą definicją obszary te leżą poza pasmem fal objętościowych. Istotną cechą obszarów poza pasmem objętościowym jest to, że nie może tam istnieć żadna fala padająca. Wszystkie fizycznie dopuszczalne rozwiązania równań ruchu poza obszarem przypowierzchniowym mają wówczas charakter pól bliskich. Liczba tych pól bliskich jest równa liczbie relacji dyspersji, czyli liczbie stopni swobody elementów ośrodka. Aby otrzymać jakieś rozwiązanie równań ruchu ośrodka z powierzchnią poza pasmem objętościowym należy zbudować taką kombinację liniową pól bliskich dla danego

( )

k_||,ω , która na granicy ośrodka i warstwy powierzchniowej spełniałaby także równanie ruchu tej warstwy. Ponieważ liczba takich równań jest także równa liczbie stopni swobody, problem sprowadza się do jednorodnego układu równań liniowych z niewiadomymi będącymi amplitudami możliwych dla danego

( )

k_||,ω pól bliskich. Warunkiem rozwiązywalności takiego układu równań jest zerowanie się odpowiedniego wyznacznika, co może się zdarzyć dla pewnych ściśle określonych częstości, lub nie zdarzyć się w ogóle. Tego rodzaju rozwiązania, jeżeli istnieją nazywają się falami powierzchniowymi.

1.4. Lokalna gęstość stanów

Lokalna gęstość stanów (LDOS) wyraża liczbę takich drgań własnych układu przypadających na jednostkę częstości, w których udział bierze wybrany stopień swobody. Matematycznym narzędziem przydatnym w obliczaniu lokalnej gęstości stanów jest funkcja Greena [5]. Jej znaczenie najłatwiej jest prześledzić na przykładzie pojedynczego tłumionego, wymuszonego oscylatora harmonicznego. W takim przypadku spełnia on równanie ruchu:

gdzie T jest to stała siłowa oscylatora, Γ jest jego stałą tłumienia, a przyłożona siła zewnętrzna ma charakter oscylujący. Wówczas po wygaśnięciu stanów nieustalonych rozwiązaniem jest także drganie harmoniczne u=u₀exp

(

−iωt

)

. Funkcja Greena (funkcja odpowiedzi), jest z definicji ilorazem zespolonej amplitudy wychylenia u do ₀

amplitudy siły wymuszającej f , stąd:

( )

(

)

0 2 1 u G f ≡ ω = T m− ω − Γiω , (1.5) gdzie część urojona:

( )

₍

₎

( )

ω ω ωω ω L m T G = Γ + − Γ = _{2 2 2} Im , (1.6)

Na rysunku 2 przedstawiona została ImG

( )

ω będąca krzywą Lorentza. Gdy Γ→0

funkcja L

( )

ω dąży do δ

(

ω− T /m

)

. W tej granicy na całej osi częstości występuje dokładnie jeden stan drgań o częstości ω = T /m . Gęstość stanów η

( )

ω związana z jedynym stopniem swobody u dana jest wtedy funkcją δ

(

ω− T /m

)

, zatem:

( )

( )

(

ω ξ

)

π ω ω π ω ω η = m G = m G +i → Γ Im 2 Im lim 2 0 , (1.7)

gdzie ξ jest wielkością nieskończenie małą.

Rys. 2. Krzywa Lorentza ImG

( )

ω ,

szerokość połówkowa Γ. 0.0825 0.0850 0 5 10 15 Im G ( ω ) ω [rad s-1] Γ

Lokalna gęstość stanów η

( )

ω jest proporcjonalna do pracy wykonanej w ciągu jednego okresu przez siłę wymuszającą. Dowolny układ harmoniczny jest zespołem wielu oscylatorów, w tym przypadku lokalną gęstość stanów obliczamy używając funkcji Greena układu u_n

( )

ω =G_nm

( ) ( )

ω f_m ω :

( )

(

ω ξ

)

π ω ω η mn G_nn i n = Im + 2 . (1.8)

Poza pasmem objętościowym tak zdefiniowana lokalna gęstość stanów posiada niekiedy nieskończone maksimum typu funkcji δ ω ω

(

− _S

( )

k_||

)

gdzie ω_S

( )

k_|| jest częstością fali powierzchniowej.

1.5. Rezonanse powierzchniowe

Wewnątrz pasm objętościowych lokalna gęstość stanów także może wykazywać maksima, ale nie są one na ogół nieskończone. Te maksima lokalnej gęstości stanów obrazują tzw. rezonanse powierzchniowe (Pseudo Surface Mode - PSM [6, 7]), są to fale o częstościach zespolonych, gdzie Re

( )

ω odczytujemy z położeń maksimów η

( )

k_||

w skali częstości, natomiast Im

( )

ω odczytujemy z szerokości połówkowej maksimum rezonansowego. Część urojona częstości jest odwrotnością czasu życia rezonansu τ , zatem rezonanse powierzchniowe charakteryzują się skończonym czasem życia.

1.6. Auksetyki

Współczynnik Poissona opisuje zmniejszenie liniowych rozmiarów materiału w płaszczyźnie prostopadłej do osi przyłożonego naprężenia rozciągającego. Swobodne trójwymiarowe ośrodki izotropowe pozostają w stanie mechanicznej stabilności gdy

wszystkich kierunkach (ang. completely auxetic), lub wykazywać σ <0 tylko dla niektórych kierunków (ang. axial auxetics) [9, 10]. Pierwszy piankowy materiał wykazujący σ <0 został wyprodukowany przez Lakesa [11]. Odtąd właściwości auksetyków stały się przedmiotem szerszego zainteresowania [12 – 18]. Friis [19] opisał proces w którym ośrodek o strukturze plastra miodu (rysunek 3a), charakteryzujący się dodatnim współczynnikiem Poissona przekształcany jest w auksetyk (rysunek 3b).

Rys. 3. Materiał o strukturze plastra miodu (a), przekształcony w auksetyk (b).

Widoczne na rysunku 3 czarne pogrubione linie reprezentują sztywne pręty połączone za pomocą elastycznych sprężyn charakteryzujących się stała siłową α. Poddając ośrodek widoczny na rysunku 3b naprężeniu rozciągającemu w kierunku x ₁

obserwujemy rozszerzanie ośrodka zachodzące w kierunku x , dla przeciwnego ₂

kierunek naprężenia obserwujemy zmniejsza rozmiaru ośrodka w kierunku x . Zatem ₂

reakcja na naprężenie auksetyków jest całkowicie przeciwne w stosunku do materiałów charakteryzujących się dodatnim współczynnikiem Poissona.

W ciągu ostatnich dwóch dekad odkryto lub wyprodukowano szereg materiałów wykazujących ujemny współczynnik Poissona. Materiały auksetyczne występują w każdej skali długości, ujemny współczynnik Poissona wykazują zarówno pianki komórkowe [20], polimery [21] jak i niektóre tkanki np. kości [22], a nawet gwiazdy neutronowe [23]. Auksetycznewłaściwości wykazuje wiele kryształów [24 – 26] oraz

izotropowych kompozytów [27]. Auksetyki znalazły ostatnio zastosowanie w medycynie jako selektywne filtry przepuszczające jedynie wybrane molekuły [28]

oraz w przemyśle włókienniczym. Ponadto niektóre trójwymiarowe metamateriały poddane zewnętrznemu naprężeniu mogą wykazywać wartości współczynnika Poissona

α (b) α x₁ x₂ (a)

σ znacznie mniejszy od -1 lub większy od ½ [29, 30]. W podpunkcie 7.1 został omówiony dwuwymiarowy ośrodek dyskretny, dla którego maksymalne dopuszczalne wartości σ osiągane w kierunkach wysokiej symetrii (1,0) oraz (0,1) dążą do +/- nieskończoności. Pomimo tego ośrodek jest mechanicznie stabilny, ponieważ znajduje się po działaniem zewnętrznego pola.

1.7. Rodzaje fal powierzchniowych

Pierwsza akustyczna fala powierzchniowa (Surface Acoustic Wave - SAW) rozchodząca się na nieobciążonej powierzchni ośrodka izotropowego została odkryta w 1885r. przez Rayleigha [31]. Amplituda wychyleń fal Rayleigha maleje wykładniczo wraz z głębokością ośrodka stając się zaniedbywalna na głębokości równej kilku długościom fal [7, 32]. Natura i zachowanie fal powierzchniowych zależą od właściwości powierzchni na której zachodzi rozchodzenie się fal. W przypadku gdy ośrodek izotropowy zostanie pokryty warstwą materiału obserwujemy rozchodzenie się tzw. zaburzonej fali Rayleigha (Perturbed Rayleigh Wave – PRW [33]) spolaryzowanej w płaszczyźnie strzałkowej. Z powodu istnienia skali długości będącej wynikiem wprowadzenia warstwy powierzchniowej prędkość fazowa zaburzonej fali Rayleigha zależy od częstości, natomiast długość fali jest porównywalna z grubością warstwy powierzchniowej. Fale powierzchniowe mogą także rozchodzić się wzdłuż granicy oddzielającej dwa ośrodki krystaliczne. Za przykład może posłużyć fala Stoneleya [34] charakteryzująca się amplitudą malejąca wykładniczo w obu sąsiednich ośrodkach. W przypadku granicy ośrodek krystaliczny - ciecz obserwujemy rozchodzenie się fali Scholtea [35]. W ośrodku anizotropowym ograniczonym z jednej strony powierzchnią oprócz fal powierzchniowych rozchodzą się także rezonanse powierzchniowe (Pseudo Surface Mode - PSM [6, 7]) o relacji dyspersji położonej w obszarze pasm objętościowych. Rezonanse powierzchniowe są tłumione, jednak współczynnik tłumienia bywa mały zatem mogą one być łatwo wykrywane w eksperymencie.

fal PSM mogą się także rozchodzić fale pseudo – powierzchniowe wysokiej częstości (High Frequency Pseudo Surface Mode - HFPSM). Są one znacznie mocniej tłumione od fal PSM oraz rozchodzą się z prędkościami większymi od szybszej fali poprzecznej natomiast wolniej od fali podłużnej. W przeciwieństwie do PSM fale HFPSM są szerokimi rezonansami rozchodzącymi się jedynie w ośrodku izotropowym [36]. Pozostaje to w analogii do przykładów rezonansów powierzchniowych przedstawionych w rozdziale II niniejszej pracy.

1.8. Założenia i cele pracy

Pomimo, że w wytwarzaniu, zastosowaniu a także w zrozumieniu właściwości fizycznych auksetyków dokonał się od lat 80-tych XX duży postęp [37], brak jest jak dotąd prac poświęconych strukturze i dynamice powierzchni takich materiałów. Wynika to być może ze złożoności procedur technologicznych wykorzystywanych do produkcji auksetyków, a co za tym idzie także z trudności w otrzymywaniu dobrze scharakteryzowanych ich powierzchni. Z drugiej strony materiały te nigdy nie mogą być przestrzennie nieograniczone. Co więcej, w wielu zastosowaniach, np. w pokrywaniu elementów urządzeń technicznych, a przede wszystkim w protetyce, najistotniejszą rolę odgrywają złącza materiału auksetycznego z chronionym, lub uzupełnianym podłożem, oraz mniej lub bardziej swobodna powierzchnia zewnętrzna auksetyka. Trzeba dodać, że w większości zastosowań materiały auksetyczne podlegają wpływowi pól zewnętrznych.

W tej rozprawie zbadano własności powierzchniowe dwóch typów ośrodków mogących w pewnym zakresie swych parametrów wykazywać właściwości auksetyczne. Są to, w rozdziale II, izotropowy ośrodek swobodny, tj. nie podlegający wpływom zewnętrznym, oraz w rozdziale III, dyskretny model nawiązujący do struktury zaproponowanej w 1987r. przez Lakesa [11]. W tym ostatnim przypadku wprowadzenie pola zewnętrznego jest szczególnie proste, gdyż sprowadza się do nadania występującym tam sztywnym elementom momentu dipolowego oddziałującego z polem zewnętrznym. W obydwu przypadkach rozpatrywano najprostsze modele powierzchniowe. Są to modele powierzchni niezrekonstruowanych i niezrelaksowanych. Oznacza to, że struktura pozostaje w pobliżu powierzchni identyczna ze strukturą w głębszych warstwach materiału. Natomiast sama warstwa

objętościowych. Odpowiada to zjawisku chemisorpcji, fizisorpcji, segregacji atomów ku powierzchni itp.

W rozdziale II pomimo tego, że jest to problem dobrze znany w literaturze przypomniano zjawisko rozchodzenie się fal płaskich w trójwymiarowym izotropowym ośrodku ciągłym. Opisano relacje dyspersji fali podłużnej i poprzecznej oraz wpływ współczynnika Poissona na prędkości rozchodzenia się fal. W dalszej części wyprowadzone zostały warunki brzegowe uwzględniające pokrycie ośrodka nieskończenie cienką warstwą powierzchniową charakteryzującą się różną od zera gęstością powierzchniową, powierzchniowym modułem Younga oraz modułem zginania. Dla pewnych parametrów tak zdefiniowane pokrycie umożliwia rozchodzenie się rezonansów powierzchniowych w obszarze pasma objętościowego fal poprzecznych. Zbadana została również możliwość otrzymania we wspomnianym obszarze tzw. wyjątkowej fali powierzchniowej (Exceptional Surface Wave – ESW [38]), będącej w istocie skrajnym przypadkiem rezonansu powierzchniowego o nieskończonym czasie życia. W tym celu korzystając z warunków brzegowych otrzymano obszary parametrów materiałowych wymaganych dla istnienia fali ESW. Przykłady rozchodzenia się fal ESW zostały przedstawione dla dwóch zestawów parametrów materiałowych. W pierwszym przykładzie przedstawiona została pojedyncza fale ESW rozchodzącą się w auksetycznym ośrodku pokrytym cienką warstwą powierzchniową o zerowym module zginania oraz różnej od zera gęstości powierzchniowej. Jest to z pewnością najprostszy oraz najbardziej dostępny układ wymagany dla istnienia fal ESW. Prezentowane są także efekty występujące przy odbiciu fal od zadanej powierzchni na której może rozchodzić się fala/fale ESW. W punkcie 5 przedyskutowano praktyczne aspekty dotyczące budowy układów umożliwiających rozchodzenie się dwóch fal ESW, omówiony został przykład prostego makroskopowego metamateriału, dla którego wartość modułu zginania przewyższa powierzchniowy moduł Younga. Jest to właściwość niezgodna z relacją Cauchyego [4]. Ponadto w niniejszej pracy prezentowane są również inne konsekwencje wynikające z zastosowania materiału charakteryzującego się ujemnym współczynnikiem Poissona wpływające na dynamikę powierzchni.

obecności zewnętrznego poziomo skierowanego pola K. W dalszym ciągu badano wpływ pola K na wartości prędkości fazowych fal akustycznych, współczynnika

Poissona oraz polaryzację fal akustycznych. Przedstawiona została również możliwość uzyskania pasma wzbronionego dla fal sieciowych. W dalszej części pracy przedstawiony został model nieskończenie cienkiej warstwy powierzchniowej będącej w istocie łańcuchem powierzchniowym mogącym wykazywać właściwości różne od objętościowych. Możliwość rozchodzenia się fal oraz rezonansów powierzchniowych dla tak zdefiniowanej warstwy powierzchniowej została zbadana dla dwóch zestawów parametrów materiałowych. Omówiona została również możliwość istnienia wyjątkowej fali powierzchniowej (ESW) położonej w obszarze, w którym może rozchodzić się pojedyncza fala objętościowa [39]. Między innymi w odróżnieniu od swobodnego ośrodka ciągłego zbadano obszar pasma objętościowego, w którym istnieją tylko fale podłużne a nie poprzeczne. Zjawisko rozchodzenia się fal ESW zostało zbadane dla dwóch różnych wartości pola zewnętrznego przy czym oba badane przykłady należą do najprostszych układów wymaganych dla istnienia poszukiwanej fali. Ponadto prezentowane są również inne konsekwencje wynikające ze zmiany wartości K, wpływające na rozchodzenie się fal oraz rezonansów powierzchniowych.

Prezentowane relacje dyspersji zostały otrzymane poprzez badanie maksimów lokalnej gęstości stanów, której poszczególne fragmenty w obszarze długofalowym zostały szczegółowo omówione.

II. Izotropowy ośrodek ciągły z płaską

powierzchnią

W tej części pracy zbadany zostanie model izotropowego auksetyka pokrytego cienką warstwą powierzchniową. Współczynnik Poissona wybieramy tak by badany materiał znajdował się w obszarze mechanicznej stabilności −1≤σ ≤1/2. Jak zostało pokazane w podpunkcie 1.6 takie materiały mogą być zarówno pochodzenia naturalnego jak i sztucznego. Natomiast model powierzchni stanowi rozwinięcie teorii cienkich powłok [40], które nie wykazują oporu na zginanie. W przybliżeniu fal długich cienkie warstwy o pewnej strukturze wewnętrznej mogą być jednak traktowane jako nieskończenie cienkie. Dzięki wewnętrznej strukturze mogą one wykazywać pewien opór na zginanie, ponadto jego wartość może przewyższać wartości powierzchniowego modułu Younga.

2. Równania ruchu, wektory polaryzacji

W obecnej części przypomniana zostanie ogólna forma fal powierzchniowych rozchodzących się w ośrodku izotropowym, omówione zostaną polaryzacje oraz unormowanie fal w płaszczyźnie strzałkowej, podsumowane zostaną również założenia obecnego modelu. W ośrodku ciągłym wektor przemieszczenia u r t , n = 1,2,3_n( , ) jest funkcją położenia r=( , , )x x x_{1 2 3} oraz czasu t, w przybliżeniu harmonicznym dynamikę ośrodka opisujeukładrównań Christoffela [32, 40].

2 3 2 2 , , 1 n k nmkl m k l m l u u C t x x ρ = ∂ ₌ ∂ ∂

∑

∂ ∂ , (2.1)

Współczynnik E jest modułem Younga. W przypadku nieograniczonego ośrodka

rozwiązaniem układu równań (2.1) jest fala płaska postaci:

( )

, exp

(

)

n n

u r tr =Se i t ikrω − rr , n = 1,2,3. (2.3)

W niniejszej pracy położenie ośrodka zostało wybrane w ten sposób by płaska powierzchnia była równoległa osi x natomiast sam ośrodek położony jest dla ₁ x₃ >0. W tym układzie składowa wektora falowego k₁||x₁ natomiast wartość składowej k ₃

rośnie wraz z x .₃ Zatem w płaszczyźnie

(

x x₁, ₃

)

wstawiając fale płaską (2.3) do równania Christoffela (2.1) otrzymujemy:

(

)

(

)

2 2 1 1 11 1 44 3 12 44 1 3 2 2 2 2 2 12 44 1 3 44 1 11 3 , , u u C k C k C C k k u u C C k k C k C k ρω  + +     =  _{+ +}            , (2.4)

gdzie wektor falowy 2 2

1 3

k= k +k , podstawiając k₁ =0 lub k₃ =0 do równania (2.4) otrzymujemy relację dyspersji fali podłużnej ω =c k_{L 1} oraz fali porzecznej ω =c k_{T 1}. Korzystając z równania (2.2) otrzymujemy prędkość fali podłużnej:

(1 ) (1 )(1 2 ) L E c σ σ σ ρ − = + − , (2.5)

natomiast prędkość fali poprzecznej wynosi:

2(1 ) T E c σ ρ = + , (2.6)

gdzie ρ jest gęstością ośrodka.

W obecności powierzchni możliwe są też fale o charakterze pola bliskiego. Wtedy wygodniej jest rozłączyć wektor falowy na składową równoległą k₁ oraz prostopadłą do powierzchni k₃. Zatem relacja dyspersji dla fali podłużnejo polaryzacji strzałkowej na powierzchni ośrodka zapisujemy jako:

2 2 2

( )

2 1 3 L L c k k ω = _ + _  . (2.7)

Wektor polaryzacji _eL _{fali podłużnej jest równoległy do wektora falowego e}L_||k,

zatem zgodnie z relacją równoległości wektor polaryzacji _eL _{spełnia warunek:}

_{e e3}L/ ₁L _=k3L/_{k1, (2.8)}

gdzie składowa _k3L _{jest rzeczywista lub zespolona. W przypadku gdy składowa}

3L

k jest rzeczywista także wektor polaryzacji jest rzeczywisty i równoległy do wektor falowego

1 3

( ,_{k k}L)_{. Jest to fala płaska, której relacja unormowania wektora polaryzacji}

( ) ( )

_{2 2} 1/ 2

1 3 1

L L L

e =_ e + e _ = odpowiada jednostkowej amplitudzie fali. Powyższa relacja unormowania nie obejmuje przypadku gdy ₃L

L

k = −iκ , gdzie κ_L >0.W tym przypadku

wychylenia w kierunkach x₁ oraz x₃ są przesunięte w fazie o π/ 2, zgodnie z równaniem (2.8). W tym przypadku fala jest spolaryzowana eliptycznie w płaszczyźnie strzałkowej. Amplituda takiej fali jest dana przez długość dłuższej

półosi elipsy. Jak wynika z równania (2.7) dłuższa półoś jest zawsze równoległa do kierunku x₁ dla jakiejkolwiek rzeczywistej częstości 2 2 2 2

1 ( ) 0 L L c k ω = −κ > gdzie 1 L

k >κ . Zatem, aby fala miała jednostkową amplitudę jedynie na powierzchni w punkcie x₃ =0, należy przyjąćnormalizację _e1L ₌1_.

Relacja dyspersji fali poprzecznej spolaryzowanej w płaszczyźnie strzałkowej w stosunku do powierzchni orazspełniającej równanie (2.1),zapisujemy jako:

2 2 2

( )

2 1 3 T T c k k ω = _ + _. (2.9)

gdzie _k3T _{jest rzeczywistą składową wektora falowego}

1 3

( ,_{k k}T) _{prostopadłą do}

powierzchni. W przypadku gdy składowa _k3T _{jest urojona}

3T T

k = −iκ , gdzie κ_T >0, wówczas fala jest spolaryzowana eliptycznie. Amplituda w punkcie x₃ =0 odpowiada normalizacji jednostkowej _e1T ₌1_{. Relacje dyspersji, równania (2.7) oraz (2.9) oraz} relacje pomiędzy wektorami polaryzacji (równania (2.8) oraz (2.10)) są utrzymane dla rzeczywistej składowej wektora falowego k1 oraz zespolonej składowej k3 gdzie

( )

L

L

k₃ =κ

Im oraz

( )

_kT _=κT

3

Im . W ogólnym przypadku relacje normalizacji odpowiadające jednostkowej amplitudzie w płaszczyźnie powierzchni można wyrazić jako

{

( )

( )

}

1/ 2 2 2 1 Re 3 1 L L e +_ e _ = oraz

{

( )

( )

}

1/ 2 2 2 1 Re 3 1 T T e +_ e _ = .

2.1. Model powierzchni, warunki brzegowe

W ośrodku izotropowym powierzchniowe wzbudzenia, stacjonarne lub rezonansowe są kombinacjami liniowymi podłużnej oraz poprzecznej fali płaskiej:

( , ) [ L Lexp( ₃L ₃) T Texp( ₃T ₃)]exp( _{1 1})

n n n

u r t = S e −ik x +S e −ik x i t ik xω − , (2.11)

gdzie współczynniki _SL _{oraz S}T _{(amplitudy fal podłużnej oraz poprzecznej) są}

wyznaczane z warunków brzegowych odzwierciedlających właściwości powierzchni. W obecnym modelu zakładamy że powierzchnia ma własną gęstość powierzchniową ρ_S (wyrażoną w jednostkach: kg m-2), powierzchniowy moduł Younga Esurf (w

jednostkach: N m-1) oraz powierzchniowy współczynnik Poissona σ_surf . W przeciwieństwie do teorii cienkich powłok [40] zakładamy istnienie niezerowego powierzchniowego modułu zginania A_S (w jednostkach: N m-1). W rozdziale 5 pokażemy że nie jest to założenie niewykonalne. Energia zdeformowanego ośrodka jest

proporcjonalna do kwadratu gradientu wychylenia w kierunku u₃. Zatem w płaszczyźnie powierzchni parametr zginania A_S jest modułem ścinania w płaszczyźnie

(

x₁, x₃

)

. Mimo tego, w naszym przybliżeniu można rozpatrywać

mieć wewnętrzną strukturę zapewniającą utrzymanie wartości modułu zginania A_S

różnego od zera. Powierzchniowy moduł zginania A _S charakteryzuje się zazwyczaj

mniejszą wartością od powierzchniowego modułu Younga E_surf , własność ta wynika z uogólnionej relacji Cauchy'ego [4]. W niniejszej pracy rozpatrzymy możliwość

istnienia tzw. metamateriałów dla których A_S >E_S.Badany model zachowuje słuszność zarówno dla ośrodków w skali mikroskopowejjak i makroskopowej pod warunkiem że zarówno ośrodek jak i warstwa powierzchniowa zachowują ważność w przybliżeniu ośrodka ciągłego. Definiując wyraz E_S jako

1 surf S surf E E σ = − warunki brzegowe zapisujemy w postaci: 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 3 1 s s u u u E u E t x x x ρ ∂_∂ = ∂_∂ + _+σ _∂∂ +∂_∂   , (2.12) 2 2 3 3 3 1 2 2 1 3 1 (1 ) (1 )(1 2 ) s s u u E u u A t x x x ρ σ σ σ σ   ∂ ₌ ∂ _{+ −} ∂ ₊ ∂   ∂ ∂ + − _ ∂ ∂ _. (2.13)

Obecny model został otrzymany dla przybliżenia fal długich dla którym długość fal jest znacznie większa od grubość warstwy powierzchniowej. Zatem wpływ złącza położonego powyżej oraz poniżej warstwy powierzchniowej na rozchodzenie się fal jest nieistotny.

2.2. Fale objętościowe, fale powierzchniowe

Wstawiając do równań (2.12) oraz (2.13) kombinację liniową fal płaskich (2.11) wraz z relacjami dyspersji (2.7) oraz (2.9) otrzymujemy jednorodny układ równań linowych zawierający amplitudy _SL _{oraz S}T_{. Wyznaczając warunki dla których}

poprzecznych tj. obszaru w którym _kT

3 jest rzeczywista oznaczona została linią (cT).

Oba pasma objętościowe powyżej linii (c_L) pokrywają się zatem w tym obszarze rozchodzą się dwie fale objętościowe podłużna i poprzeczna. W obszarze pomiędzy granicami pasm (c_L,c_T) fala podłużna staje się falą pola bliskiego rozchodząca się wzdłuż powierzchni ale tłumioną wykładniczo w głąb ośrodka, gdzie urojona składowa

( )

L

L

k3 =κ

Im jest współczynnikiem tłumienia. W obszarze pola bliskiego tj. pasma objętościowego fal poprzecznych ale poniżej pasma objętościowego fal podłużnych jedynie składowa _kT

3 pozostaje rzeczywista. Obie składowe 3

L

k , _k3T _{stają się urojone}

poniżej dolnej granicy pasma objętościowego fal poprzecznych, gdzie

( )

_kL _=κL

3

Im ,

( )

T

T

k₃ =κ

Im są współczynnikami tłumienia fali podłużnej oraz poprzecznej, są one wyznaczone z równań (2.7) oraz (2.9). Poza pasmem objętościowym mogą rozchodzić się jedynie fale powierzchniowe np. fale Rayleigha [31, 33].

Rys. 4. Granice pasma objętościowych (c c_L, _T) dla E=106 _{N m}-2_{, ρ =10 kg m}-3_{, σ =−0.29,}

fala powierzchniowa Rayleigha c_R (dla nieobciążonej powierzchni) oraz tzw. zaburzona fal

Rayleigha - PRW (dla pokrytej powierzchni ρ_S =0.01 kg m-2_,

S

E =90 N m-1_,

S

A =0.0 N m-1_). Wartość częstości unormowana do objętościowego modułu Younga E.

Wraz ze zmniejszaniem wartości współczynnika Poissona stosunek prędkości /c c_{L T}

maleje dążąc do 2 3 / 3 . Na rysunku 4 było by to widoczne jako zmniejszenie pola powierzchni zawartego pomiędzy granicami pasm objętościowych (c_L,c_T).

0.0 0.5 1.0 1.5 c_L c_T ω Ε −1 [r ad m 2 s -1 N -1 ] PRW 1.0x103 2.0x103 3.0x103 _4.0x103 5.0x103 0 k₁ [m-1] c_R

3. Wyjątkowa fala powierzchniowa (ESW), zakres

występowania

Okazuje się, że dla pewnych parametrów modelu rozwiązaniem warunków brzegowych (2.12) oraz (2.13) jestwyrażenie (2.11) gdzie rzeczywista ω leży w paśmie objętościowym fal poprzecznych ale poza obszarem fal podłużnych, natomiast amplituda fali poprzecznej _ST ₌0_{. Takie rozwiązanie może istnieć w obszarze} pasma objętościowego fal poprzecznych ale poniżej dolnej granicy pasma objętościowego fal podłużnych. Na rysunku 4 wspomniany obszar zawarty jest pomiędzy liniami ( ,c c_{T L}). Omawiane rozwiązanie (wzbudzenie powierzchniowe) charakteryzuje się tylko jednym wyrazem wykładniczo malejącym dla x₃ >0. Ponieważ może ono wystąpić tylko dla pewnej określonej wartości k₁ oraz ω zjawisko to otrzymało nazwę wyjątkowej fali powierzchniowej (Exceptional Surface Wave –

ESW [38]). Współczynnik tłumienia κ_L =ik₃L dla fali ESW został wyznaczony z układu równań (2.12), (2.13) gdzie wstawiając wyrażenie (2.11) oraz uwzględniając

0 T S = otrzymujemy:

(

)

₍

₎

(

)

(

)

(

1

)

2

(

1 2

)

(

1

)

1 0 1 2 1 2 1 2 2 2 = +       − + − − + −       + +       − − L ES AS s L s AS ES _σ γ σ γ σ κ σ ρ ρ σσ κ ρ ρ γ γ σσ (3.1) gdzie S ES S E E ρ γ ρ = oraz S AS S A E ρ γ ρ = .

Obliczając parametr κ_L z równania (3.1) a następnie wstawiając otrzymane rozwiązanie do równania (2.12) otrzymujemy następujące wyrażenie na składową k₁

wektora falowego równoległą do powierzchni:

2 2 2 LE

c κ

Istnienie fali ESW wymaga jednoczesnego spełnienia równań (3.1) oraz (3.2) dla dodatniej wartości κ_L oraz rzeczywistej wartość k . W tym przypadku otrzymujemy ₁

rzeczywistą wartości częstości (równanie (2.7)), gdy κ_L ≤k₁. Z analizy równania (3.2) widać że zapewnienie rzeczywistej składowej wektora falowego k wymaga spełnienia ₁

warunku ρ_{S L}c2 >E_S. Zatem rozchodzenie się fal ESW wymaga istnienia warstwy powierzchniowej charakteryzującą się różną od zera gęstością powierzchniową ρ_S.Ten sam warunekprzekształcony za pomocą równania (2.5) przyjmuje formę nierówności:

(

)

(

σ

)(

σ

)

σ γ 2 1 1 1 − + − < ES . (3.3)

Spełnienie warunku (3.3) oznacza istnienie dodatniej wartości parametru κ_L ≤k₁

będącego rozwiązaniem równania (3.1) opisującym rozchodzenie się fal ESW.

Równanie kwadratowe (3.1) może posiadać dwa, jedno lub nie posiadać żadnych dodatnich rozwiązań κ_L, liczba rozwiązań zależy od znaku wartości współczynników występujących przy wyrazach κ_L oraz 2

L

κ . Równanie (3.1) posiada jedno dodatnie rozwiązanie gdy

(

γES −γAS

)

/σ <0, czyli wartość współczynnika stojącego przy wyrazie 2

L

κ jest ujemna.Zatem istnienie pojedynczej fali ESW wymaga, by ośrodek był auksetykiem σ <0 pokrytym warstwą powierzchniową γ_ES >γ_AS lub aby warstwa wierzchnia materiału charakteryzującego się dodatnim współczynnikiem Poissona

0

>

σ spełniała warunek γ_ES <γ_AS. W tym przypadku nierówność (3.3) jest jedynym ograniczeniem. Podsumowując rozchodzenie się pojedynczej fali ESW jest możliwe w przypadku zwykłej warstwy powierzchniowej ρ_S >0 oraz γ_ES >γ_AS pokrywającej auksetyczny ośrodek. Rozchodzenie się pojedynczej fali ESW jest także możliwe w przypadku metamateriałowej powierzchni γ_AS >γ_ES pokrywającej nieauksetyczny ośrodek. W przypadku gdy

(

γES −γAS

)

/σ >0 oraz gdy istnieje wystarczająco duży ujemny współczynnik stojący przy wyrazie κ_L, równanie (3.1) posiada dwa dodatnie rozwiązania. Poniżej zostały omówione możliwości istnienia dwóch fal ESW dla każdego z wyżej wymienionych przypadków.

3.1. Przypadek

σ

>

0

oraz

γ

ES

>

γ

AS

W tym podpunkcie omówiona zostanie możliwość rozchodzenia się fali ESW dla nieauksetycznego ośrodka pokrytego zwykłą warstwą powierzchniową tj. taką, której moduł rozciągania wykazuje większą wartość niż moduł zginania. Współczynnik stojący przy wyrazie κ_L (równanie (3.1)) przyjmuje ujemną wartość gdy:

₍

(

₎₍

)

₎

(

₍

)

₎

γ_ES γ_AS σ σ σ σ σ − < − + − + − 2 1 2 1 2 1 1 2 1 , (3.4)

uwzględniając warunek γES −γAS >0 nierówność (3.4) przekształcamy do postaci:

(

)

(

1

) (

3 1

)

0 1 _{+ − <} + − ES γ σ σ σ _{, (3.5)}

nierówność (3.5) jest spełniona gdy

3 1 < σ oraz

(

)

(

σ

)(

σ

)

σ γ 3 1 1 1 − + − > ES . (3.6) Jednakże

₍

(

₎₍

)

₎

> − + − σ σ σ 3 1 1 1

(

)

(

σ

)(

σ

)

σ 2 1 1 1 − + − dla 3 1 <

σ , zatem warunki (3.3) oraz (3.6) są wzajemnie przeciwstawne. Zatem rozchodzenie się dwóch fal ESW w przypadku nieauksetycznego ośrodka pokrytego zwykłą warstwą powierzchniową γ_ES >γ_AS jest niemożliwe. W dalszej części zbadamy przypadek dla którego współczynnik stojący przy wyrazie 2

L

3.2. Przypadek

σ

<

0

oraz

γ

ES

<

γ

AS

W tym podpunkcie zostanie zbadana możliwość rozchodzenia się dwóch fal ESW dla przypadku auksetycznego ośrodka pokrytego cienką warstwą metamateriału. Współczynnik stojący przy wyrazie κ_L w równaniu (3.1) osiąga ujemną wartość gdy:

(

)

(

)(

)

(

(

)

)

1 1 2 1 1 2 2 1 2 ES AS σ σ _{γ γ} σ σ σ − − + > + − − . (3.7) uwzględniając 0γES −γAS < otrzymujemy:

(

)

(

σ

)(

σ

)

σ γ 3 1 1 1 − + − < ES . (3.8)

Warunek (3.8) jest konieczny, ale nie wystarczający dla rozchodzenia się dwóch fal ESW. Warunkiem wystarczającym jest istnienie dodatniej wartości wyróżnika równania (3.1) stąd:

(

) (

)

(

)

[

(

)(

)

]

(

1

)

[

1 2

(

1

)

(

1

)

8

]

0 1 2 1 1 4 1 4 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 ≥ − − + + + − + + + − − − − + + − ES ES ES ES AS AS σγ σ γ σ γ σ σ σ γ σ σ γ σ σ γ (3.9)

Lewa strona nierówności (3.9) jest funkcją γ_AS, opisuje ona parabole otwartą do góry. W zależności od wartości przyjmowanych przez wyróżnik obliczony z nierówności (3.9) parabola może przecinać oś γ_AS w dwóch punktach lubleżeć całkowicie powyżej tej osi. Okazuje się że w przypadku gdy istnieją dwa punkty przecięcia, jedynie obszar wyznaczony przez mniejszą wartość punktu przecięcia osi γ_AS (spełniający nierówność (3.9)) spełnia nierówność (3.7) w obszarze stabilnego izotropowego auksetyka

0 1≤ <

− σ . W zależności od wartości parametru γ_ES rozchodzenie się dwóch fal ESW jest możliwe jedynie w jednym z trzech obszarów materiałowych (a) –(c):

(a) Dla zakresu parametrów 0<γES <1/2+ 3/4 górną granicę wartości γAS

wyznaczamy z obszaru ograniczonego przez mniejszą wartość na osi γ_AS (spełniającego nierówności (3.9)). Leży on poniżej górnej granicy dopuszczalnych wartości γ_AS wyznaczonych z nierówności (3.7), dla dowolnej wartości w obszarze

0 1≤ <

− σ . W widocznym na rysunku 5a obszarze materiałowym wyznaczonym przez granice nierówności (3.7) oraz (3.9) istnieją dwa dodatnie rozwiązania równania (3.1) wymagane dla istnienia dwóch fal ESW.

(b) Gdy 1/2+ 3/4≤γES <1 wtedy istnieją dwa obszary charakteryzujące się

ujemnym współczynnikiem Poissona dla których równanie (3.1) posiada dwa dodatnie rozwiązania. Granice obszarów wyznaczone zostały przy pomocy nierówności (3.8) stąd otrzymujemy dwa obszary −1<σ <σ₁ =

[

1−2γ_ES − 16γ_ES

(

γ_ES −1

)

+1

]

/

(

6γ_ES

)

oraz σ₂ =

{

_1 2− γ_ES + 16γ_ES

(

γ_ES− +1 1 / 6

)

_

(

γ_ES

)

}

< <σ 0. W innym przypadku nierówność (3.7) narzuca na parametry γ_AS, γ_ES wartości sprzeczne z warunkiem

AS ES

γ >γ .Otrzymane z pomocą nierówności (3.7) oraz (3.9)obszary materiałowe γ_AS oraz σ umożliwiające rozchodzenie się dwóch fal ESW zostały przedstawione na rysunku 5b.

(c) Dla 1γ_ES ≥ nierówności γ_AS >γ_ES oraz (3.7) są spełnione w dolnym obszarze parametrów γ_AS wyznaczonych przez nierówność (3.9) jedynie wtedy gdy

(

)

[

γES γES γES

]

(

γES

)

σ σ 1 2 16 1 1 / 6 1< < ₁ = − − − + − . Przykładowe obszary

odpowiadające temu przypadkowi zostały przedstawione na rysunku 5c,d, wartym odnotowania jest fakt że dla γ_ES =1 otrzymujemy σ₁ =−1/3.

Rys. 5. Obszary wyznaczone przez granice nierówności (3.7) oraz (3.9) w płaszczyźnie

( ,σ γ_AS) dla γ_ES =0(a), γ_ES =0.96>1/2+ 3/4 (b), γ_ES =1 (c) oraz γ_ES =1.5 (d).

Obszary γ_AS zostały zdefiniowane przez nierówność (3.9), leżą one poniżej krzywej ciągłej

oraz powyżej krzywej przerywanej. Kropkowana krzywa reprezentuje górną granicę wartości

AS

γ otrzymanych z nierówności (3.7). Krzywa przerywana kropkami wskazuje wartość

(

1−σ

) (

/

[

1+σ

)(

1−2σ

)

]

jest to górna granica wartości γ_ES wymagany przez nierówność (3.3). Rozchodzenie się dwóch fal ESW jest możliwa w obszarze zakreślonym diagonalnie.

Podsumowując, warunki zdefiniowane w powyższych punktach (a), (b) oraz (c) razem z górną granicą obszaru wyznaczonego przez mniejszy z parametrów γ_AS spełniających nierówność (3.9) są wystarczające dla istnienia dwóch fal ESW. Jak było wspomniane w podpunkcie 3.2 rozchodzenie się dwóch fal ESW jest możliwe dla auksetycznego ośrodka pokrytego cienką warstwą metamateriału γ_AS >γ_ES.

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 (a) γAS σ -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 γAS σ (b) σ₁ σ₂ -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.9 1.0 1.1 σ₁=-1/3 (c) γAS σ -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 γAS σ (d) σ₁

Fala/fale ESW rozchodzą się w obszarze pasma objętościowego fal poprzecznych [38]. Są to wyjątkowe fale powierzchniowe charakteryzujące się nieskończonym czasem życia w przeciwieństwie do rezonansów. Poniżej obszaru pasma objętościowego fal poprzecznych również istnieją rozwiązania układu równań (2.12), (2.13) dla _ST ₌0_, znalezione rozwiązania (relacje dyspersji) zostały również określane nazwą ESW jednak są one położone w obszarze typowym dla tzw. prawdziwych fal powierzchniowych. Wyjątkowość tych fal jest jedynie odbiciem faktu zawierania przez pole bliskie tylko jednego wyrazu malejącego wykładniczo. W pozostałej części tego rozdziału prezentowane są obszary parametrów materiałowych umożliwiających wystąpienie częstości fal ESW w zasięgu oraz poniżej obszaru pasma objętościowego fal poprzecznych. Zostały oneuzyskane po przez porównanie częstości fal ESW z dolną granicą pasma objętościowego fal poprzecznych ω=c k_{T 1}. Tabela I przedstawia parametry wymagane dla wystąpienia częstości fal ESW w zasięgu ω_ESW >c k_{T 1} oraz poza pasmem objętościowym fal poprzecznych ω_ESW <c k_{T 1}, w przypadku rozchodzenia się pojedynczej fali ESW, która wymaga spełnienia warunku

(

γ_ES −γ_AS

)

/σ <0. Tabela II przedstawia podobne warunki dla przypadku rozchodzenia się dwóch fal ESW. Dwie faleESW mogą być położone w zasięgu pasma objętościowego fal poprzecznych gdy ω_ESW1, ω_ESW2 >c k_{T 1}, poniżej pasma dla

1, 2 1

ESW ESW c kT

ω ω < . Możliwe jest również wystąpienie jednej fali ESW w obszarze pasma podczas gdy druga fala położona jest poniżej ω_ESW1<c k_{T 1}<ω_ESW2.

TABELA I. Położenie ω_ESW względem dna pasma obj. Obszar parametrów powierzchniowych 1 ESW c kT ω > (w paśmie objętościowym) 1 ESW c kT ω < (poniżej pasma objętościowego) 1/ 4 AS γ < oraz 0<γ_AS <γ_ES σ <0 4 / 1 0<γES <γAS < σ >0 1/ 4<γ_AS <1/ 3 oraz 4 1 2(1 ) AS ES γ γ σ − < − 0< <σ 1/ 2 1/ 4<γ_ES <γ_AS <1/ 3 oraz 4 1 2(1 ) AS ES γ γ σ − > − 0< <σ 1/ 2 2 / 1 3 / 1 <γ_ES <γ_AS < oraz

₍

₎

σ γ γ − − < 1 2 1 4 _AS ES 0< <σ 1/ 2 2 / 1 3 / 1 <γ_ES <γ_AS < oraz

₍

₎

σ γ γ − − > 1 2 1 4 _AS ES 1 0 1 2 _AS σ γ < < − 1/ 2<γ_AS <γ_{ES − < <1 σ 0} 1/ 2<γ_AS oraz γ_ES <γ_AS 0< <σ 1/ 2

TABELA I. Warunki wystąpienia częstości pojedynczej fali ESW w obszarze (ω_ESW >c k_{T 1})

TABELA II. Położenie ESW względem dna pasma obj. Obszar parametrów powierzchniowych 1, 2 1 ESW ESW c kT

ω ω > ωESW1, ωESW2 <c kT 1 ωESW1<c kT 1<ωESW2

0<γ_AS <1/ 4 rozchodzenie się _{dwóch fal ESW}

możliwe jest dla dowolnych parametrów 1/ 4<γ_AS <1 1 1 2γ_AS − <γES <γAS 1 1 2 ES AS γ γ < − 1<γ_AS 1 1 2 ES AS AS γ γ γ < − < 1 1 2γ_AS − <γES <γAS

TABELA II. Warunki które muszą być spełnione dla istnienia dwóch fal ESW. Wystąpienie

częstości dwóch fal ESW w obszarze (ω_ESW1, ω_ESW2 >c k_{T 1}), poza pasmem

(ω_ESW1, ω_ESW2 <c k_{T 1}) oraz jednej fali ESW w obszarze pasma objętościowego fal

poprzecznych (ω_ESW1<c k_{T 1}<ω_ESW2). Puste komórki odpowiadają parametrom dla których

4. Przykłady fal ESW w ośrodku ciągłym

4.1. Auksetyk pokryty warstwą

γ

AS

<

γ

ES

W obecnym przykładzie omówimy rozchodzenie się pojedynczej fali ESW, która została otrzymany dla następujących parametrów E=106 N m-2, 10ρ = kg m-3,

29 . 0 − = σ , 0.01ρ_S = kg m-2, E_S=90 N m-1, A_S=0.0 N m-1. Powyższe parametry opisują auksetyczny ośrodek pokryty cienką warstwą powierzchniową wykazującą różną od zera gęstość powierzchniową ρ_S, powierzchniowy moduł Younga E_S oraz zerowy moduł zginania A_S. Taka warstwa powierzchniowa odpowiada powszechnie stosowanemu przybliżeniu cienkich powłok [40].

Rys. 6. Dolna granica pasma objętościowego fal podłużnych

( )

c_L oraz poprzecznych

( )

c_T , relacja dyspersji zawierająca fale ESW (krzywa ciągła), relacja dyspersji zaburzonej fali Rayleigha (PRW) (a). Urojona część częstości relacji dyspersji zawierającej fale ESW (b).

Wartość częstości unormowana do objętościowego modułu Younga E. 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1x103 _2x103 _3x103 _4x103 _5x103 0.0 5.0x10-4 1.0x10-3 ω_ESW c_L c_T (a) Re ( ω ) E -1 [r ad m 2 s -1 N -1 ] PRW (b) k_1ESW Im( ω ) E -1 [r ad m 2 s -1 N -1 ] k₁ [m-1]

Górna ciągła krzywa widoczna na rysunku 6a przedstawia relacje dyspersji zawierającą fale ESW. Dla pewnej wartości k₁ przecina ona dolną granice pasma objętościowego fal poprzecznych. W obszarze pasma objętościowego częstość jest zespolona,natomiast składowa k₃L jest urojona (równanie (2.7)). Fala ESW rozchodzi się dla wartości składowej wektora falowego k₁ =k_1ESW =1131.585...m-1 oraz unormowanej do objętościowego modułu Younga E rzeczywistej częstości czyli

... 357 . 0 1 ₌ − E ESW

ω rad m2 _s-1 _N-1 _{dla której obserwujemy zanik części urojonej częstości}

(rysunek 6b). Druga krzywa widoczna na rysunku 6a położona jest w całości poniżej pasma objętościowego, przedstawia ona relację dyspersji tzw. zaburzonej fali Rayleigha - PRW [33].

W powyższym przykładzie relacja dyspersji zawierająca fale ESW przecina dolną granicę pasma objętościowego fal poprzecznych. Nie jest to ogólna właściwość układów umożliwiających rozchodzenie się pojedynczej fali ESW jednakwystępuje ona gdy:

(

1

)

2 1 AS ES γ γ σ < < + lub

(

)

1 2 1 ES AS γ γ σ > > + , (4.1)

zatem gdy parametry γ_AS oraz γ_ES są jednocześnie mniejsze lub większe od

(

)

1/ 2 1+σ . Pierwsza nierówność odpowiada parametrom materiałowym typowym dla klasycznego modelu cienkich powłok [40], dla którego γ_AS =0. W przypadku gdy warunek (4.1) nie jest spełniony, relacja dyspersji zawierająca fale ESW jest położona całkowicie w obszarze pasma objętościowego fal poprzecznych. Tam pozostaje rezonansem powierzchniowym charakteryzującym się skończonym czasem życia z wyjątkiem punktu w którym występuje fala ESW.

Zgodnie z warunkami brzegowymi (2.12) oraz (2.13) fala ESW rozchodzi się gdy amplituda fali poprzecznej ST =0. Na rysunku 7 przedstawiony został stosunek

Rys. 7. Stosunek amplitud SL/ST wzdłuż relacji dyspersji zawierającej fale ESW.

Lokalna gęstość stanów (LDOS) warstwy powierzchniowej może być łatwo uzyskana przez porównanie jednorodnego układu równań (2.12) oraz (2.13) z wyrazami reprezentującymi zewnętrznie przyłożoną siłę o amplitudzie jednostkowej skierowanej wzdłuż osi x₁ lub x₃. W ten sposób zgodnie ze wzorem (1.8) obliczamy lokalną gęstość stanów η₁ oraz η₃ spolaryzowaną w kierunkach x₁ lub x₃. Widoczne na rysunku 8 lokalne gęstości stanów η₁ oraz η₃ zostały przedstawione w funkcji częstości (unormowanej do objętościowego modułu Younga E) dla trzech wektorów falowych o wartościach bliskich k_1ESW oraz dla tego samego zbioru parametrów jak rysunek 6. Podczas gdy dla wartości wektora falowego k_1ESW obserwujemy „gładką” ciągłą krzywą to już dla wartości nieznacznie różnych od k_1ESW widoczne są wyraźne maksima rezonansowe. Maksimum η₁ znajduje się za głębokim minimum (różnym od zera) dla k₁ <k_1ESW, przekroczenie minimum następuje dla k₁ >k_1ESW (rysunek 8a).

Wyraźniejsza sekwencja zmienności gęstości stanów występuje dla η₃ (rysunek 8b), gdzie w obszarze wartości k₁ <k_1ESW obserwujemy rezonans poprzedzony antyrezonansem odwrócenie tej sekwencji następuje dla wartości k₁ >k_1ESW.

0 1000 2000 3000 4000 5000 0 20 40 60 80 100 S L /S T k₁ [m-1] k_1ESW

Rys. 8. Lokalna gęstość stanów η₁ (a) oraz η₃ (b) w funkcji częstości (unormowanej do objętościowego modułu Younga E) dla trzech wektorów falowych w pobliżu fali ESW.

Obecność fali ESW przejawia się również we współczynniku odbicia fali poprzecznej wysłanej z głębi ośrodka. W ogólności dwie fale, podłużna oraz poprzeczna są wynikiem zjawiska odbicia [41] zachodzącego dla kąta padania

arcsin( / )

G c cT L

θ θ< = . Kiedy kąt padania jest większy od wartości θ_G odbita fala podłużna staje się polem bliskim. W tym obszarze fala ESW występuje dla wymaganej częstości znajdując się w zasięgu pasma objętościowego fal poprzecznych ale poniżej pasma objętościowego fal podłużnych. Na rysunku 9 przedstawione zostały współczynniki odbicia amplitud fali poprzecznej oraz podłużnej _SRT _{oraz S}RL _w

funkcji kąta padania θ dla trzech częstości bliskich fali ESW, otrzymane dla tego samego zbioru parametrów jak rysunek 6. Amplituda odbitej fali podłużnej w obszarze pola bliskiego jest gładką krzywą dla częstości (unormowanej do objętościowego modułu Younga E) odpowiadającej fali ESW _E−1 ₌0.357...

ESW

ω rad m2 s-1N-1, wyraźne anomalie są obserwowane poniżej oraz powyżej tej wartości. W szczególności dla

ESW

ω ω< rad s-1 widoczne jest minimum położone przed wyraźnym maksimum dla wartości kąta padania odpowiadającego wartości wektora falowego k₁ =ωsin /θ c_T

0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.00 2.50x10-6 5.00x10-6 7.50x10-6 1.00x10-5 η 1 ω E -1 [rad m2 s-1 N -1 ] (a) k₁ = 1111 [m-1 ] k_1ESW = 1131.585... [m-1 ] k₁ = 1151 [m-1 ] 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.0 1.0x10-4 2.0x10-4 3.0x10-4 4.0x10-4 5.0x10-4 η 3 ω E -1 [rad m2 s-1N -1] (b) k₁ = 1111 [m-1 ] k_1ESW = 1131.585... [m-1 ] k₁ =1151 [m-1 ]

Rys. 9. Współczynniki odbicia amplitud fali poprzecznej (SRT) oraz podłużnej (SRL) w funkcji kąta padania fali poprzecznej spolaryzowanej w płaszczyźnie strzałkowej dla trzech częstości

bliskich fali ESW. Współczynnik odbicia SRT dla tych trzech przypadków jest praktycznie taki

sam.

4.2. Auksetyk pokryty warstwą

γ

AS

>

γ

ES

W tym przykładzie omówimy rozchodzenie się dwóch fal ESW, które zostały otrzymane dla następujących parametrów E=106 _{N m}-2_{, 10ρ = kg m}-3_{, σ =−0.03,}

0.01

S

ρ = kg m-2, E_S=500 N m-1, A_S=640 N m-1. Auksetyczny ośrodek pokryty został cienką warstwą charakteryzującą się różną od zera gęstością powierzchniową ρ_S oraz modułem zginania A_S, którego wartość przewyższa powierzchniowy moduł Younga

S

E .Relacje dyspersji otrzymane dla powyższych parametrów zostały przedstawione na rysunku 10.Obie fale ESW są częścią relacji dyspersji położonej całkowicie w obszarze pasma objętościowego fal poprzecznych (Tabela II). W obszarze fal długich relacja dyspersji zawierająca dwie fale ESW przecina dolną granicę pasma objętościowego fal podłużnych. Pierwsza fala ESW położona jest w punkcie

... 561 . 1342 1 1ESW = k m-1, 1 0.408... 1E− = ESW

ω rad m2 s-1 N-1 natomiast druga fala ... 251 . 2721 2 1ESW = k m-1, 1 0.779... 2E− = ESW

ω rad m2 s-1 N-1. Poza tymi punktami relacja dyspersji jest rezonansem powierzchniowym charakteryzującym się skończonym

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Wsp ó lc zyn ni ki od bi ci a 3π/8 π/8 π/4 SRL _ω E -1 =0.38 [rad m2 s-1 N-1 ] SRL ω E -1 =0.34 [rad m2 s-1 N-1 ] SRL ωESW E -1 θ θ_G SRT π/2 0

czasem życia. Część urojona częstości Im

( )

ω jest odwrotnością czasu życia rezonansu powierzchniowego. Na rysunku 10b została ona przedstawiona w funkcji wektora falowego k₁. Stosunek amplitudy SL/S w obszarze pola bliskiego zostały T

przedstawione na rysunku 11, fale ESW są spolaryzowane eliptycznie w płaszczyźnie strzałkowej, uwidaczniają się gdy amplituda ST =0.

Rys. 10. Dolna granica pasma objętościowego fal podłużnych

( )

c_L oraz poprzecznych

( )

c_T , położenie fal ESW1,2 oraz dwie relacje dyspersji (dolna jest trudno odróżnialna od dolnej granicy fal poprzecznych

( )

c_T ) (a).Urojona część częstości relacji dyspersji zawierającej fale

ESW (b). Wartość częstości unormowana do objętościowego modułu Younga E. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 1x103 2x103 3x103 4x103 5x103 0.0 1.0x10-5 2.0x10-5 3.0x10-5 4.0x10-5 5.0x10-5 (a) _c L cT ω_ESW2 ω_ESW1 Re ( ω ) E -1 [r a d m 2 s -1 N -1 ] (b) k1ESW1 k1ESW2 Im ( ω ) E -1 [r a d m 2 s -1 N -1 ] k₁ [m-1]

Rys. 11. Stosunek amplitud SL/ST otrzymany wzdłuż relacji dyspersji zawierającej dwie fale ESW.

Lokalna gęstość stanów przedstawiona została na rysunku 12 w funkcji częstości, poszczególne krzywe otrzymane zostały dla trzech wartości składowej wektora falowego k₁ bliskich wartościom wymaganym dla rozchodzenia się fal ESW.

W obecnym przykładzie ponownie obserwujemy ostre maksima położone za minimami lub poprzedzające ich występowanie. Wpływ fal ESW na zjawisko odbicia fal został przedstawiony na rysunku 13 w funkcji kąta padania, ostre maksimum położone jest za minimum lub jest zlokalizowane tuż przed nim. Właściwość ta zależy od tego czy częstość jest mniejsza lub większa od wartości wymaganej dla rozchodzenia się fal ESW. W tym przypadku wspomniany efekt pojawia się dla dwóch wartości częstości oraz dwóch wartości kątów padania odpowiadających składowym wektora falowego k₁

bliskim falom ESW. Sekwencje maksimów oraz minimów obserwowane są zarówno dla lokalnej gęstości stanów η₁ oraz η₃, jak i dla amplitud fal odbitych, ulegają one wzajemnemu odwróceniu dla każdej z fal ESW.

0 1000 2000 3000 4000 5000 0 500 1000 1500 2000 S L /S T k₁ [m-1 ] k_1ESW1 k_1ESW2