Elektrostatyka (pdf),

(1)

Elektrodynamika

Część 1

Elektrostatyka

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

(2)

Spis treści

1 Literatura 3

2 Elektrostatyka 4

2.1 Pole elektryczne . . . 4

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego . . . 11

2.3 Potencjał elektryczny . . . 28

2.4 Praca i energia w elektrostatyce . . . 40

(3)

1 Literatura

Wykład oparty jest na podręczniku:

D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001

W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tego podręcznika.

Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor, np. E oznacza ~E w pisowni ręcznej.

Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celach dydaktycznych.

(4)

2 Elektrostatyka 2.1 Pole elektryczne 2.1.1 Zasada superpozycji q1 q2 qi Q

ładunki źródła ładunek próbny

(5)

x y z Q q R r r′ R = r − r0

(6)

2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 4π₀ qQ R2 Rˆ ₀ = 8, 85 · 10−12 " C2 Nm2 #

przenikalność elektryczna próżni

ˆ

R = R

R =

r − r0

|r − r0_|

wersor wskazujący kierunek i zwrot wektora R

(7)

2.1.3 Pole elektryczne

Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q₁, q₂, . . . , q_n

odległych od Q o R₁, R₂, . . . , R_n F = F₁ + F₂ + . . . = 1 4π0 q₁Q R2₁ Rˆ 1 + q₂Q R2₂ Rˆ 2 + . . . ! = Q 1 4π₀ q₁ R2₁ Rˆ 1 + q₂ R2₂ Rˆ 2 + q₃ R2₃ Rˆ 3 + . . . ! F = QE

(8)

x y z P qi q1 q2 q3 Ri r r′ E(r) ≡ 1 4π0 n X i=1 q_i R2_i Rˆ i

(9)

2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku E(r) = 1 4π₀ Z 1 R2 Rˆ dq dq =            λ dl0 ładunek liniowy σ da0 ładunek powierzchniowy ρ dτ0 ładunek objętościowy E(r) = 1 4π₀ Z P λ(r0)

(10)

E(r) = 1 4π0

Z

S

σ(r0)

R2 Rˆ da0 pole od ładunku powierzchniowego

E(r) = 1 4π₀

Z

V

ρ(r0)

(11)

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego

2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa

Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy

E(r) = 1 4π₀

q r2 ˆr

Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku maleje jak 1/r2.

(12)

(13)

− +

(14)

+ +

(15)

da

E

Strumień pola E przez powierzchnię S

ΦE ≡

Z

S

E · da

(16)

Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu

współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi

I E · da = Z 1 4π0 q r2 ˆr · r2 sin θ dθ dφ ˆr = 1 ₀ q Wynik nie zależy od promienia sfery.

(17)

Prawo Gaussa

Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/₀ I E · da = n X i=1 I E_i · da = n X i=1 1 ₀ qi I E · da = 1 ₀ Qwew

Strumień pola przez dowolną

powierzchnię zamkniętą jest równy Q_wew/₀

(18)

I S E · da = Z V (∇ · E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Q_wew = Z V ρ dτ Z V (∇ · E) dτ = Z V ρ ₀ dτ ∇ · E = 1

(19)

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 4π0 Z cała przestrzeń ˆ R R2 ρ(r0) dτ0 ∇ · E = 1 4π0 Z ∇ · Rˆ R2 ! ρ(r0) dτ0 ∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) delta Diraca ∇ · E = 1 4π₀ Z 4πδ3(r − r0)ρ(r0)dτ0 = 1 ₀ ρ(r) Z V ∇ · E dτ = I S E · da = 1 ₀ Z V ρ dτ = 1 ₀ Qwew

(20)

2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa

Przykład:

Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r I S E · da = 1 ₀ Qwew, Qwew = q

(21)

I S E · da = I S |E| da = |E| I S da = |E|4πr2 |E|4πr2 = 1 ₀ q E = 1 4π0 q r2 ˆr

Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowego umieszczonego w środku kuli.

(22)

Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię.

• Symetria sferyczna • Symetria osiowa

(23)

Przykład:

Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością

powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę. E E A I E · da = 1 ₀ Qwew

(24)

od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy

Z

E · da = 2A|E|

boki pudełka nic nie wnoszą, więc 2A|E| = 1 ₀ σA stąd E = σ 20 nˆ ˆ

(25)

2.2.4 Rotacja E

E = 1

4π0 q r2 ˆr

dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych

x y z a b q rb ra

obliczmy całkę krzywoliniową

b

Z

a

E · dl

(26)

E · dl = 1 4π0 q r2 dr b Z a E · dl = 1 4π0 b Z a q r2 dr = − 1 4π0 q r r_b r_a = 1 4π0 q r_a − q r_b ! I

E · dl = 0 całka po krzywej zamkniętej

jest równa zeru (r_a = r_b)

Z

S

(∇ × A) · da = I A · dl twierdzenie Stokesa ∇ × E = 0 z twierdzenia Stokesa

(27)

Dla wielu ładunków

E = E₁ + E₂ + . . .

∇ × E = ∇ × (E₁ + E₂ + . . .)

= (∇ × E₁) + (∇ × E₂) + . . . = 0

(28)

2.3 Potencjał elektryczny

2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale

a

b

(ii)

(i)

∇ × E = 0 ⇒ H E · dl = 0; całka od punktu a do punktu b nie zależy od drogi całkowania.

V (r) = − r

Z

O

E · dl definiujemy funkcję V (r);

O jest punktem odniesienia.

(29)

Różnica potencjałów V (b) − V (a) = − b Z O E · dl + a Z O E · dl = − b Z O E · dl − O Z a E · dl = − b Z a E · dl V (b) − V (a) = b Z a

(∇V ) · dl twierdzenie dla gradientów b Z a (∇V ) · dl = − b Z a E · dl ⇒ E = −∇V

(30)

Przykład:

Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki o promieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punkt odniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.

R _rP

Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi

E = 1

4π0 q r2 ˆr

(31)

Dla (r > R) V (r) = − r Z O E · dl = − 1 4π0 r Z ∞ q r02 dr 0 ₌ 1 4π0 q r0 r ∞ = 1 4π0 q r Dla (r < R) V (r) = − 1 4π0 R Z ∞ q r02 dr 0 ₋ r Z R (0)dr0 = 1 4π0 q r0 R ∞ + 0 = 1 4π0 q R

(32)

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a E = −∇V ∇ · E = ρ ₀ , ∇ × E = 0 ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∆V ∆V = − ρ ₀ równanie Poissona ∆V = 0 równanie Laplace’a ∇ × E = ∇ × (−∇V ) = 0 tożsamość wektorowa

(33)

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku

V (r) = 1

4π₀

q r

potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych

V (r) = 1

4π₀

q

R ogólnie, ładunek w punkcie r0 V (r) = 1 4π0 n X i=1 q_i Ri

dla wielu ładunków

V (r) = 1

4π0

Z 1

R dq dla rozkładu ciągłego V (r) = 1

4π0

Z _ρ(r0)

(34)

2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce

Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:

E⊥ nad E⊥ pod A

σ

_ε

I S E · da = 1

(35)

Z prawa Gaussa, dla ε → 0, mamy (E_nad⊥ − E_pod⊥ )A = 1

₀ σA

E_nad⊥ − E_pod⊥ = 1 ₀ σ

Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego

(36)

Rozważmy ramkę: E_nadk E_podk

l

σ

_ε

I

E · dl = 0, albo ∇ × E = 0 pole statyczne (E_nadk − E_podk )l = 0 przy ε → 0

E_nadk = E_podk

(37)

Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem E_nad − E_pod = σ

₀ nˆ

ˆ

n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni skierowanym od „dołu” do „góry”.

(38)

Jak zachowuje się potencjał? a b σ V_nad − V_pod = − b Z a E · dl = 0, dla |b − a| → 0

Potencjał jest ciągły na powierzchni.

Ponieważ E = −∇V , to gradient potencjału jest nieciągły.

∇V_nad − ∇V_pod = − σ

(39)

∂V_nad ∂n − ∂V_pod ∂n = − σ ₀ ∂V ∂n = ∇V · ˆn pochodna normalna

(40)

2.4 Praca i energia w elektrostatyce

2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku

q1 q2 qi Q

a

b

W = b Z a F · dl = −Q b Z a E · dl = Q V (b) − V (a)

(41)

Wynik nie zależy od drogi.

V (b) − V (a) = W Q

Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku od a do b.

(42)

2.4.2 Energia układu ładunków punktowych

Przenosimy kolejne ładunki q₁, q₂,. . . z nieskończoności do punktów r₁, r₂, . . . r1 r3 r2 R12 R13 R23 q1 q2 q3

(43)

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W₁ = 0 W₂ = 1 4π₀ q2 q₁ R₁₂ W₃ = 1 4π₀ q3 q₁ R₁₃ + q₂ R₂₃ W₄ = 1 4π₀ q4 q₁ R₁₄ + q₂ R₂₄ + q₃ R₃₄ Całkowita praca W = W₁ + W₂ + W₃ + W₄ = 1 4π0 q₁q₂ R12 + q₁q₃ R13 + q₂q₃ R23 + q₁q₄ R₁₄ + q₂q₄ R₂₄ + q₃q₄ R₃₄

(44)

W = 1 4π₀ n X i=1 n X j=1 j>i q_iq_j Rij , n ładunków W = 1 4π₀ 1 2 n X i=1 n X j=1 j6=i q_iq_j Rij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa

W = 1 2 n X i=1 q_i n X j=1 j6=i 1 4π0 q_j Rij ! potencjał W = 1 2 n X i=1 q_iV (r_i)

(45)

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 Z ρV dτ ρ = ₀∇ · E, z prawa Gaussa W = 0 2 Z (∇ · E)V dτ W = 0 2 − Z E · (∇V ) dτ + I V E · da całkujemy przez części = 0 2 Z V E2 dτ + I S V E · da !

(46)

W = 0 2 Z cała przestrzeń E2 dτ Energia pola Przykład:

Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.

W = 1 2 Z σV da, V = 1 4π0 q R W = 1 2 1 4π₀ q R Z σ da = 1 4π₀ 1 2 q2 R

(47)

2.5 Przewodniki

2.5.1 Podstawowe własności

• Wewnątrz przewodnika E = 0 • Wewnątrz przewodnika ρ = 0

• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na powierzchni przewodnika

• Potencjał w przewodniku jest stały

• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni

(48)

2.5.2 Ładunki indukowane − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + ++ + przewodnik

+q

(49)

−

− − −

−

+

+ + + +

+

przewodnik

+q

E6= 0

E= 0

powierzchnia

Gaussa

(50)

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik 1 2σ/ǫ0 1 2σ/ǫ0 Einne σ ˆn E_nad − E_pod = σ ₀ nˆ E = σ

₀ n,ˆ tuż przy powierzchni przewodnika (Epod = 0) σ = −₀ ∂V

(51)

f = σE siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E_nad, E_pod, . . .

f = σE_średnie = 1 2(Enad + Epod) E = E_element + E_inne E_nad = E_inne + σ 2₀ nˆ E_pod = E_inne − σ 2₀ nˆ E_inne = 1

(52)

Poprzednia argumentacja (E = E_średnie) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku

E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ₀ n,ˆ na zewnątrz przewodnika E_średnie = 1 2 σ ₀ nˆ + 0 = σ 20 nˆ f = σ σ 20 nˆ = 1 20 σ

2_n,_ˆ _{siła na jednostkę powierzchni}

P = 0 2 σ ₀ 2 = ₂0 E2 ciśnienie elektrostatyczne