Über fehler von übertragungsfunktionen für schiffsbewegungen, die durch versuche in natürlichem seegang bestimmt werden

Lab.

y.

Schepzboiun

Tech&sche Hcscho

De!ft

Uber Fehler von Ubertragungslunktionen für

Schiffsbewegunen, die durch Versuche in natürlichem

Seegang besthimt werden

O. Krappinger

1. Einführung

An eine Arbeit von St. Denis und Pierson (1953)

anknüp-fend sind Methoden entwickelt worden, urn die

Einfluß-funktionen von Schiffshewegungen aus Versuchen in natür-lichem Seegang bestimmen zu können. Bei Modeliversuchen hat man für den verfolgten Zweck die Wahl zwischen

Ver-suchen in regelmäßigen und unregehnäßigen Wellen. Letztere

haben den Vorteil, daß man mit einer weitaus geringeren

Zahl von Schleppfahrten auskommt, was das zunehmende Interesse an solchen Versuchen erklärt (siehe z. B. Gerritsma

[1960]). Großversuche sind grundsätzlich nur in natür-lichem Seegang möglich (siehe z. B. Canham u. a. [1962]).

Es liegt in der Natur der Sache, daß die Ergebnisse von

Versuchen in natürlichem Seegang mit gewissen Fehlern

behaftet sind, die bei Versuchen in regelmäßigem Seegang

nicht auftreten. Im folgenden wird untersucht, wie sich

solche Fehler - es handelt sich dabei um sog. Auflösungs-fehler und um statistische Fehler - bei der Bestimmung der

Einfluß funktionen von Schiffsbewegungen auswirken. Meß

-fehler bzw. -ungenauigkeiten sowie Ungenauigkeiten bei der numerischen Auswertung von Versuchsergebnissen bleiben hierbei unberücksichtigt. Ebenso wird auf in Wirklichkeit

u. U. auftretende Abweichungen von folgenden

Voraus-setzungen hicht eingegangen:

I. Der Seegang ist stationär. 2. Der Seegang ist

zwei-dimensional (d. h. er besteht nur aus Elementarwellen

gleicher Fortschrittsriehtung).

tïber dio Ermittlung von Spektren des Seeganges und von

Schiffshewegungen sowie der dabei auftretenden statistischen

und Auflösungsfehler hat kürzlich Keil (1964) berichtet.

Diese Arbeit wird als bekannt vorausgesetzt. Einige Ergeb-nisse daraus sind hier ganz kurz in Abschnitt 2

zusammen-gestellt.

2. Fehler bei der Ermittlung von Seegangs- bzw.

Bewegungsspektren aus Registrierungen

endlicher Lunge

u(t) sei die Registrierung eines Gaul3'schen zufälligen

Prozesses. Es kann sich dabei um die Seegangsfunktion oder um irgendeine Schiffsbewegurig (Translation oder Winkel

oder deren erste oder zweite Ableitung) handeln. Da der

Vorgang als stationär vorausgesetzt wird, ist t . Für

diesen Fall ist die Autokovarianzfunktion von u(t)

T

('r) = um

T-TJ

±

Ç u(t) u (t + ) dt (1) o

und dio Spektraldichte des Energiespektrums von u(t)

S0(c) -

{R('r)} 1) (2)

In Wirklichkeit hat man es immer mit endlichen Regi. strierzeiten zu tun. Fur diese Beschränkung gibt es zwei

Gründe: Der wirkliche Seegang ist nicht stationär, sondern

ändert sich mit der Zeit, Wenn man aher nicht zu große

Zeitintervalle betrachtet, kann man dafür den Seegang mit

guter Näherung als einen Ausschnitt aus einem fiktiven

stationären Seegang auffassen. Der zweite Grund dafür, daß man T nicht zu groß wählt, ist, daß der Aufwand für Regi-strierung und Auswertung mit T anwächst.

Aus einer endlichen Registrierung von u(t) mit O

t

T

kan n man nicht

die wirkliche Autokovarianzfunktion

nach (1), sondern nur eine scheinbare Autokovarianzfunktion [siehe z. B. Keil (1964), Gleichung (14)]:

TI

i

T

-

$ u(t) u (t + J) dt

o

für H Tm <T

(3)

berechnen. Im Bereich I'r Tm stellt R'00('r) eine Schätzung

der wirklichen Autokovarianzfunktion R0 dar. Für H > Tm

ist R'00 nicht definiert. Es wird nun die sog. modifizierte

Autokovarianzfunktion = D1('r) R'u(r) (4) mit2) Di(o) = i

Di('r) = D1( 'r)

D1('r) = Ofürl'rJ > Tm

eingeführt, die für J 'r definiert ist. Wenn man darauf die Foui'iertransformation anwendet, erhält man [siehe z. B.

Keil (1964), Gleichung (15)]:

Suu(c) =

{R"uu('r)} (5)

Es kann gezeigt werden, daß S0 eine Schätzung von

E {Suu(u) } = f S(c) [Gj(u - u) + G1 ( + c.)] dco (6)

ist. S() in Gleichung (6) bedeutet dabei die wirkliche

Spektraldichte und Gj() ist dio Fouriertransformation von

D1('r).

Die nach Gleichung (3), (4) und (5) berechnete dichte unterscheidet sich gegenüber der wirklichen

Spektral-dichte S() auf zweierlei 'Weise:

i. ist E {S"uu(o)} ein mit den Gewichten [Gj( -

+

Gi(u + oh)] gebildetes Mittel aus Werten von Suu(cú). Mati spricht in diesem Zusammenhang von einem

Auflösungs-fehler.

{ } bedeutet: Fouriertransforination von

') Die Funktion D1('r) wird oft als Zeitfenster bezeichnet. N9heres darüber siehe hei Kell (1904) und bel Blackinau und Tukey (1050).

R'uu(r)

2. treten zufällige Abweichungen des berechneten Wortes

S(c) von E {S(o) } auf (statistischer Fehler). Diese

beiden Fehler sind nicht von einander unabhängig: Der

Bereich, in dem die Gewichtsfunktion in (6) wesentlich von Null verschieden ist und über den effektiv gemittelt wird, ist umgekehrt proportional 'rm. Um den Auflösungsfehler

klein zu halten, sollte also Tm möglichst groß sein. Dio Größe

y S(u)/E {Suu(o)}

ist teh einer 2-Verteilung mit niherungsweise

2T

Tm

Freiheitsgraden verteilt [siehe z. B. Blackman und Tukey

(1958)]. Da die Varianz eine 2-Verteilung mit y Freiheits-graden gleich 2 y ist, wird die Streuung von S"uu(u) gleich

o_suu = E {Suu(u)} V2/v

oder näherungsweise gleich

E {Suu(c)} VTm/T. (8a)

Um die Streuung klein zu halten, sollte in diesem Fall also

Tm möglichst klein soin. Um einen möglichst kleinen

Gesamt-fehler zu erhalten, muß man bei der Wahl von Tm im

allgemeinen einen Kompromiß schließen.

3. Fehler bei der Ermittlung der Einflußfunktionen

der Schiffsbewegungen aus voneinander unabhängig

bestimmten Seegangs- und Bewegungsspektren

An einer Stelle eines Seegebietes sei eine Seegangsregi. striereinrichtung (z. B. eine Meßboje, siehe z. B.

Longuet-Higgins u. a. 1961) ausgelegt. Ein mit Einrichtungen zur

Registrierung der Schiffshewegungen (siehe z. B. Keil [1962],

Canham u. a. [1962]) ausgerüstetes Schiff durchfährt in der Nachbarschaft der Boje eine Meßstrecke. Während der Zeit Tr wird der Seegang r(t) und während der Zeit T werden die Schiffsbewegungen x(t) (x kann irgend eine Translation oder einen Winkel oder eine Ableitung davon bedeuten) registriert

(siehe auch Bild 1).

Bild i

Die an der Stelle der Boje über die Zeit T gemessene

Seegangsfunktion kann als Stichprobe aus einer sehr großen

Zahl (einem Kollektiv) von über die Zeit T,. gemessenen

Seegangsfunktionen des herrschenden Seegangs aufgefaßt

werden.

Die Elemente des Kollektivs von Seegangsfunktionen

unterscheiden sich voneinander; die Unterschiede sind

zufällig.

Die während der Zeit T gemessenen Schiffsbewegungen kann man sich durch eine über die Zeit T,. gehende Stich-probe desselben Seegangs verursacht denken. Bei Versuchen in einem Seegebiet wird diese Stichprobe im allgemeinen unabhängig von der an der Stelle der Meßhoje bestimmten Stichprobe sein und ihr gegenüber zufällige Unterschiede aufweisen. Die in der Zeit T gemessenen Schiffshewegungen

MelI boje

weichen deshalb auch von den Bewegungen ah, die das

Schiff während dieser Zeit in dem an der Stelle der Meßhoje bestimmten Seegang machen würde. Wenn man nun aus den voneinander unabhängigen Seegangs- und Bewegungs. messungen die Einfiußfunktion bestimmt, wird sie mit

zufallsbedington Fehlern behaftet sein. Diese Fehler können aus Untersuchungen der statistischen Eigenschaften der aus den über Tr bzw. T gehenden Seegangs- bzw. Bewegungs-registrierungen ermittelten Spektren ermittelt werden.

Hätte man es mit einer unendlich langen Registrierzeit zu tun, so könnte man die Dichte des Seegangsspoktrums und

des Spektrums der Schiffsbewegungen S() genau bestim-men (c ist dabei die Begegnungsfrequenz). Aus diesen Spektren kann man auch das Quadrat des Betrages der

Einflußfunktion genau berechnen:

Sxx(o)

=

Srr(u)

Wegen der beschränkten Meßzeiten T und T kann man

praktisch aber nur S'rr(e) und Sx(c) [vergi. Gleichung (5)] und daraus

Y

rx(c)I =

_{S rr(u)}

bestimmen. Welche Beziehungen bestehen zwischen der

richtigen

Einûußfunktion jYrx(u)I und der tatsächlich

berechneten Y,.(o) ? Um diese Frage zu beantworten, wird zunächst die Verteilung von Y"rx(c) untersucht. Mit

2T 2T,.

Vx=

"mx und Vr - Tnir (11)

kann man feststellen, daß die Größen V Sxx(e)/E {Sxx(c)} bzw. Vr Srr(u)JE {S"rr(o)} nach 2-Verteilungen mit bzw.

Vr Freiheitsgraden verteilt sind. Man kann zeigen, daß die

Größe

F S'xx(co)

E {Srr()}

Irx(u)I2

(12)

Srr(u)

E {()}

IY*() 2

nach einer F-Vorteilung mit (Vr, Vr) Freiheitsgraden verteilt

ist. Y *,.(fl2 bedeutet dabei

E {So)}

Y*r(2 =

. (12a)

E {S rr(o)}

Die F-Verteilung mit (Vr, _{Vr) Freiheitsgraden hat den}

Mittelwert

E {F} = (vr > 2) (13)

und die Varianz

2VF3(VX + y_ 2)

E {(FE (F))2) =

(Vr >4). (14)

Vx(Vr 2)2(Vr 4)

Bezeichnet man die Verteilungsdichte der F-Verteilung mit

f(F), dann kann man für die Verteilungsdichte f1(!Y,.(c.fl2) der nach Gleichung (10) berechneten Größe schreiben (zur

Abkürzung wird im folgenden für Yrx(e)I2 einfach Y geschrieben und entsprechend audi Y für Yrx(u)j2 und

Y* für lYrx*(u)12):

f1(Y") = f

Mit Hilfe von (13) und (14) findet man für Mittelwert und

Varianz vomi Y'

Vr

Vr - 2

(16)

2V2x(vx ± Vr2)

E {(Y - E {Y})2} =

Y2.

(J7)

- 2)(Vr 4)

-Mit Gleichung (9) und (12a) sowie nach sinngemäßer

Anwendung von Gleichung (6) kann man für Y* schreiben:

Frx((2Srr(u)[,2_uo)+ G(uo ±

=

(18)

n

SSrr(u) {G(u - uo) + G(uo + u)] du

o

Setzt man (18) in (15) bzw. in (16) und (17) ein, so ist der

gesuchte Zusammenhang zwischen Y" und Y hergestellt:

Die berechnete Einflußfunktion Y" ist eine zufällige Variable,

deren Mittelwert, Streuung und Verteilung gemäß den

Gleichungen (16), (17) und (15) sowie Gleichung (18) von der

wirklichen Einflußfunktion Y abhängen. Außer Y spielen

dabei auch noch dio Zeiten T, Tmx, Tr, Tmr eine Rolle [siehe

die Gleichungen (11)]. Die angegebenen Beziehungen sind jedoch ziemlich unübersichtlich und für eine unmittelbare

praktische Anwendung kaum geeignet. Sie können jedoch als

Ausgangspunkt für weitergehende Untersuchungen benutzt

werden.

4. Optimale Wahl von Tu

Nach den Angaben im Abschnitt 3 hängen die

Abweichun-gen von Y" von Y bei gegebenem Tr und T nur von Tmi

und ah. Es soll hier untersucht werden, wie Tm zu

wählen ist, damit Y möglichst wenig von Y abweicht. Der Einfachheit halber werden für das Schiff und die Seegangs-meßboje gleiche Zeiten Tr = T, = T und Tmr Tux = Tm angenommen. Eine exakte Lösung dieser Aufgabe aufgrund der im Abschnitt 3 gebrachten Beziehungen wäre sehr auf-wendig und unübersichtlich. Man kann erwarten, daß eine assymptotische Lösung, die exakt nur für T -* gilt, auch für praktisch vorkommende T-Werte brauchbare, außerdem aber auch übersichtliche Ergebnisse liefert.

Als optimaler Wert von Tm wird der gewählt, für den die mittlere quadratische Abweichung der berechneten Einfluß-funktion Y" von der wirklichen Y ein Minimum wird. Die Untersuchung wird zunächst auf eine bestimmte Frequenz u

beschränkt. Mit Y"(u0) 2 = Y0 und Y(u0) 2 = Y0 lautet die

Optimalbedingung:

s2 = E {(Y"0 Y)2) = Mm! (19)

Es gilt

s2 = E {(Y0 - E(Y"0) )2) + (E{Y"0} - Y0)2 (20)

Für sehr große Zeiten T erhält man für Gleichung (16)

bzw. (17) E {Y0} Y*o (21) 4

E {(Y"0E {Y0fl2 =

(22) V 2T Dabei ist y

=

und *0 = Y*(uo)2. 2ir

Die Gewjc}ìtsfunktion G() ist nur für

<

Tm

wesentlich von Null verschieden. Wenn T sehr groß ist, wird

auch Tm »2 ir und " .

1. FürE <

kann man dann

auch setzen ( = u - u0; vergi. auch Bild 2):

lYrx(u)j2 = Yo ± a (23)

Srr(u) 2 = Srro + h.

(24)

In diesen Gleichungen bedeutet

(d(IYrx(u)12) du

Ju=uo

G() =

i Bild Z b

(d Srr(u))

= u0

\, du S rro = S rr (uo).

Für G() wird die von J. von Hann angegebene Funktion

sin (27r

)

(25)

2x[1_4(

)2]

verwendet.

Setzt man die Gleichungen (23), (24) und (25) in

Glei-chung (18) ein, so ergibt sich

it2ah i

*,=0 1+

S T,2

(26)

Dabei bedeutet = Sxx(uo) = YoSrro; ferner wurde

davon Gebrauch gemacht, daß G (e,) = O für > * und daß

G() symmetrisch und .G() schiefsymmetrisch sind.

Mit den Gleichungen (21),

(22) und (26) sowie mit

ir2ab

S = K erhält man aus Gleichung (20)

2_ 2

(1+

+

Y02. [

Tm/

k2

k)l]

T ' Tm2 Tm2 (27) k T..

In Bild 3 ist

über für verschiedene Werte

-T T2

aufgetragen. Man kann dem Bild folgendes entnehmen: Bei konstanter Meßzeit T fällt die mittlere quadratische Abweichung 82 der berechneten Einflußfunktion Y von der

wirklichen Einflußfunktion Y unabhängig von k mit Tm

09 o >-, 06 V) 0.4 0,2 BIld 3 l02'17fT - 77 - Scuilstechnik Bd.14 - 19137 Heft 72

zunächst stark ab. Bei großen Werten von Tm wächst sie

dann wieder nahezu proportional zu Tm.

Das Minimum von s2 hängt von k, d. h. von der Steigung des Quadrates der Einflul3funktion, der Steigung des

See-gangsspektrums und dem Wert der Spektraldichte des

Spektrums der Schiffsbewegungen ab. Es liegt bei kleinem k (entsprechend einem flachen Verlauf von Seegangsspektrum

und/oder Einflußfunktion sowie einem großen Wert der

Spektraldichte) bei kleineren Werten von Tm und wandert mit wachsendem k zu größeren Werten von Tm.

Bei praktischen Rechnungen wird Tm nicht für jede

einzelne Frequenz co optimal bestimmt, sondern unabhängig

von n mit einem festen Wert Tm gerechnet. Es scheint

zweckmäßig, bei der Wahl von Tm wie folgt vorzugehen:

Es wird zunächst der maximal mögliche Wert von k

ab-geschätzt und dafür das Minimum von s2/Y aufgesucht. Aus

dem dazu gehörenden Verhältnis Tm/T ergibt sich der

gesuchte Wert für Tm. Man kann sich leicht überlegen, daß

bei einem solchen Vorgehen für fast alle Frequenzen die

mittlere quadratische Abweichung ungefähr gleich der

Varianz von Y wird und zwischen dem Erwartungswert von

Y und dem wirklichen Wert der Einfiußfunktion Y mit

guter Näherung für fast alle n folgende Beziehung gilt:

V V

=

y

v-2

v-2

5. Konfidenzbereich für Einflußfunktionen

Mit Hilfe der in Abschnitt 3 abgeleiteten Zusammenhänge kann man sehr leicht Konfldenzbereiche bestimmen, die die

aus dem Ervartungswert des Bewegung- bzw.

Seegangs-spektrums folgende Einflußfunktion {verg.. Gleichung (12a)]

mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1 überdecken. F sei eine nach einer F-Verteilung mit (vi, vr) Freiheits-graden verteilte Zufallsgröße. Mit = I - f3 kann man die-jeruige Quantile F und F0 bestimmen, die die Beziehungen

W {F0

F) =

W {F < F0) = i

-erfüllen. Aus den Gleichungen (28) folgt auch:

W {F0

F < F0} = I - = (3

(29)

JY"rx(n) 2

Da _*

2 nach einer F.Verteilung mit (Vx, vr)

Frei-Y rx(n)

heitsgraden verteilt ist [vergl. Gleichung (12)], kann man aus

Gleichung (29) folgende Beziehungen ableiten

Schi ftstechnik Bd. 14 - 1987 Heft 72

(28) 78 -Y, 50

'wi

I i VF0 2 400 600 900 --_-_5/, =)oo OE7 0.6 Bild 4 W {Fu

Irrx(n)2

jY*(n)O

< F0} = P oder

jY(n)j < ¡y*(co)j

_'

Y(co) = (3.(30)

VF0

Das in den geschwungenen Klammern stehende Intervall

ist ein Konfidenzbereich für Y *rx (co) zum Konfidenzniveau (3.

F und F0 sind dabei mit Hilfe von Tafeln der F-Verteilung

den Gleichungen (28) entsprechend zu bestimmen. Die

Freiheitsgrade (vx, Vr) der F-Verteilung folgen aus den

Gleichungen (11).

Wenn Tm nicht zu klein gewählt worden ist (dies trifft zu,

wenn Tm nach den Angaben im vorstehenden Abschnitt

bestimmt wird) kann man in Gl. (30)

IY*rx(co)I durch

Yr,c(co)I ersetzen. Diese Gleichung liefert dann auch mit

guter Näherung einen Konfidenzbereich für [Yrx(co)I.

Bild 4 zeigt einige Beispiele für Konfìdenzgrenzen bei

verschiedener Zahl von Freiheitsgraden für die Seegangs- unti Bewegungsmossung.

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