S
10. 4. RÓWNANIE OKRĘGU
Okrąg
Równanie okręgu o środku
S
=
( )
a
,
b
i promieniu r
(
x
−
a
) (
2+
y
−
b
)
2=
r
2Przykład 10.4.1. Napisz równanie okręgu o środku
S
=
(
−
1
,
2
)
i promieniu 5.
Rozwiązanie
Komentarz
(
) (
2)
2 25
2
1
+
−
=
+
y
x
(
x
+
1
) (
2+
y
−
2
)
2=
25
Wykorzystujemy wzór(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
i wykonujemy podstawieniea
=
−
1
,
b
=
2
,
r
=
5
Przykład 10.4.2. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu
a)
(
x
−
3
) (
2+
y
+
5
)
2=
4
b)
x
2+
y
2=
3
c)
x
2+
y
2−
2
x
+
4
y
+
1
=
0
Rozwiązanie
Komentarz
a)a
=
3
,
b
=
−
5
⇒
S
=
(
3
,
−
5
)
r
2=
4
⇒
r
=
2
b)a
=
0
,
b
=
0
⇒
S
=
(
0
,
0
)
r
2=
3
⇒
r
=
3
Wykorzystujemy wzór(
x
−
a
) (
2+
y
−
b
)
2=
r
20
1
4
2
2 2+
y
−
x
+
y
+
=
x
0
4
4
4
1
2
2 2−
x
+
+
y
+
y
+
−
=
x
(
x
−
1
) (
2+
y
+
2
)
2=
4
)
2
,
1
(
2
,
1
=
−
⇒
=
−
=
b
S
a
r
2=
4
⇒
r
=
2
Równaniex
2+
y
2−
2
x
+
4
y
+
1
=
0
doprowadzamy do postaci(
x
−
a
) (
2+
y
−
b
)
2=
r
2 wykorzystując wzory skróconego mnoŜenia:(
a
+
b
)
2=
a
2+
2
ab
+
b
2(
a
−
b
)
2=
a
2−
2
ab
+
b
2 Odczytujemy S i r.Przykład 10.4.3. Napisz równanie okręgu , którego średnicą jest odcinek AB, gdzie
(
−
5
,
2
)
;
=
( )
7
,
4
=
B
A
Rozwiązanie
Komentarz
Wykonujemy rysunek pomocniczy.
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
( )
1
,
3
2
6
,
2
2
2
4
2
,
2
7
5
=
=
−
+
+
=
S
Wyznaczamy środek okręgu.
Środkiem okręgu jest środek średnicy
AB.
Do wyznaczenia środka wykorzystujemy wzór
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
i wykonujemy podstawienie :4
,
7
,
2
,
5
=
=
=
−
=
A B B Ay
x
y
x
(
) (
)
37
37
4
2
1
148
2
1
4
144
2
1
2
12
2
1
2
4
5
7
2
1
2
1
2 2 2 2=
⋅
=
=
+
=
+
=
−
+
+
=
=
AB
r
Wyznaczamy promień okręgu.
Promieniem okręgu jest połowa długości średnicy
AB.
Do obliczenia długości średnicy stosujemy wzór(
) (
2)
2 A B A Bx
y
y
x
AB
=
−
+
−
(
x
−
1
) (
2+
y
−
3
)
2=
37
Piszemy równanie okręgu , wykorzystując wzór(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
Przykład 10.4.4. Napisz równanie okręgu o środku
S
=
(
−
1
,
0
)
stycznego do prostej
0
5
2
:
x
−
y
+
=
k
.
Rozwiązanie
Komentarz
Wykonujemy rysunek pomocniczy.
0
,
1
)
0
,
1
(
5
,
2
,
1
0
5
2
:
=
−
=
⇒
−
=
=
−
=
=
⇒
=
+
−
S Sy
x
S
C
B
A
y
x
k
( )
( )
5
4
2
1
5
0
2
1
1
2 2+
−
=
+
⋅
−
−
⋅
=
r
Wyznaczamy długość promienia okręgu – odległość punktu S od stycznej .
Wykorzystujemy wzór
( )
2 2,
B
A
C
By
Ax
k
S
d
S S+
+
+
=
(
)
5
16
1
2+
2=
+
y
x
Piszemy równanie okręgu , wykorzystującwzór
(
x
−
a
) (
2+
y
−
b
)
2=
r
2Przykład 10.4.5. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie
)
3
,
4
(
);
3
,
0
(
);
5
,
2
(
=
=
=
B
C
A
.
Rozwiązanie
Komentarz
(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
Wykorzystujemy wzór(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
Aby wyznaczyć równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC musimy obliczyć a, b ,r.
)
5
,
2
(
=
A
(
) (
2)
2 25
2
−
a
+
−
b
=
r
Punkt A naleŜy do okręgu , zatem jego współrzędne spełniają równanie
(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
. Wykonujemy podstawieniex
=
2
,
y
=
5
)
3
,
0
(
=
B
(
) (
2)
2 23
0
−
a
+
−
b
=
r
Punkt B naleŜy do okręgu , zatem jego współrzędne spełniają równanie
(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
. Wykonujemy podstawieniex
=
0
,
y
=
3
)
3
,
4
(
=
C
(
) (
2)
2 23
4
−
a
+
−
b
=
r
Punkt C naleŜy do okręgu , zatem jego współrzędne spełniają równanie
(
) (
2)
2 2r
b
y
a
x
−
+
−
=
. Wykonujemy podstawieniex
=
4
,
y
=
3
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
2 2 2 2 2 2 2 2 23
4
3
0
5
2
r
b
a
r
b
a
r
b
a
Zapisujemy układ równań.(
) (
2) (
2) (
2)
23
4
3
0
−
a
+
−
b
=
−
a
+
−
b
(
0
−
a
) (
2+
3
−
b
) (
2−
4
−
a
) (
2−
3
−
b
)
2=
0
(
16
8
2)
0
2−
−
+
=
a
a
a
2
8
:
/
16
8
0
8
16
2 2=
=
=
−
+
−
a
a
a
a
a
Porównując lewe strony drugiego i trzeciego równania ,po zredukowaniu wyraŜenia
(
)
23 b
−
otrzymujemy równanie z niewiadomą a. Obliczamy a.(
) (
2)
2 25
2
2
−
+
−
b
=
r
(
) (
2)
2 23
2
0
−
+
−
b
=
r
(
) (
2) (
2) (
2)
23
2
0
5
2
2
−
+
−
b
=
−
+
−
b
2 26
9
4
10
25
0
+
−
b
+
b
=
+
−
b
+
b
0
6
9
4
10
25
−
b
+
b
2−
−
+
b
−
b
2=
( )
3
4
:
/
12
4
0
12
4
=
−
−
=
−
=
+
−
b
b
b
Obliczoną wartość a podstawiamy do pierwszego i drugiego równania.
Porównujemy lewe strony tych równań i obliczamy b.
(
) (
2)
2 23
0
−
a
+
−
b
=
r
(
) (
2)
2 23
3
2
0
−
+
−
=
r
2
4
2=
=
r
r
Obliczone wartości a i b podstawiamy do pierwszego równania i obliczamy r.
(
x
−
2
) (
2+
y
−
3
)
2=
4
Obliczone wartości a , b i r podstawiamy do równania okręgu.Ć
WICZENIA
Ćwiczenie 10.4.1. (1pkt.) Napisz równanie okręgu o środku
S
=
(
0
,
−
2
)
i promieniu 3 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie równania okręgu.
1
Ćwiczenie 10.4.2. (2pkt.) Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu
(
x
−
4
)
2+
y
2=
2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie środka okręgu.
1
2 Podanie promienia okręgu.
1
Ćwiczenie 10.4.3. (2pkt.) Napisz równanie okręgu o środku
S
=
(
0
,
2
)
i przechodzącego przez
punkt
A
=
(
−
4
,
3
)
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Obliczenie promienia okręgu.
1
2 Podanie równania okręgu.
1
Ćwiczenie 10.4.4. (2pkt.) Napisz równanie okręgu o środku
S
=
(
1
,
−
2
)
stycznego do osi OX.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Obliczenie promienia okręgu.
