Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna

Rozwiązywanie układów

równań liniowych

jednorodnych o stałych

współczynnikach, gdy ...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest

Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest

diagonalizowalna

diagonalizowalna

Autor: Julian Janus

Rozważmy układ równań postaci

gdzie

Z kursu algebry liniowej wiemy, że macierz jest diagonalizowalna jeżeli dla każdej watrości własnej wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej tej wartości jest równy jej krotności.

Niech będzie wartością własną macierzy o krotności i wymiar podprzestrzeni własnej jest równy .

Jeżeli układ wektorów jest bazę przestrzeni to następujące funkcje są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu .

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Przyjmujemy

Przyjmujemy następujące oznaczemia dotyczące operacji na macierzach następujące oznaczemia dotyczące operacji na macierzach : zapis oznacza, że mnożymy wiersz -ty przez i wiersz -ty przez i wynik zapisujemy w wierszu -tym. Analogicznie w przypadku kolumn zapis

oznacza, że mnożymy kolumnę -tą przez i kolumnę -tą przez i wynik zapisujemy w kolumnie -tej.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu gdy

Wyznaczamy wartości własne macierzy :

jest wartością własną o krotności jeden i jest wartością własną o krotności dwa. Wyznaczymy teraz kolejno podprzestrzenie własne i odpowiadające wartościom własnym i Jeśli Jeśli

(t) = A ⋅ x(t),

x

′

A =

⎡

,

∈ R, x(t) =

.

⎣

⎢⎢

a

11

⋮

a

n1

⋯

⋱

⋯

a

1n

⋮

a

nn

⎤

⎦

⎥⎥ a

ij

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

1

⋮

(t)

x

n

⎤

⎦

⎥⎥

A

λ

A

k > 1

= {x : (A − λI) ⋅ x = 0}

V

λ

k

{ , …, }

v

1

v

k

V

λ

(t) =

, …,

(t) =

x

1

v

1

e

λt

x

k

v

k

e

λt

(1)

a ⋅

w

i

+ b ⋅

w

j

i

a

j

b

j

a ⋅ + b ⋅

k

i

k

j

i

a

j

b

j

(1),

A =

⎡

.

⎣

⎢

−2

1

2

−2

1

2

2

2

1

⎤

⎦

⎥

A

|A − λI| =

∣

∣

∣

∣

1 − λ

−2

2

−2

1 − λ

2

2

2

1 − λ

∣

∣

∣

∣ =

w1−w2

∣

∣

∣

∣

3 − λ

−2

2

−3 + λ

1 − λ

2

0

2

1 − λ

∣

∣

∣

∣ =

k1+k2

= (3 − λ)

= −(λ − 3 (λ + 3) = 0,

∣

∣

∣

∣

3 − λ

−2

2

0

−1 − λ

4

0

2

1 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

_∣∣

−1 − λ

₄

_{1 − λ}

2

∣

_∣∣

)

2

= −3

λ

1

λ

2

= 3

V

1

V

2

λ

1

λ

2

.

= −3.

λ

1

Wtedy

Rozwiązujemy układ równań

Zatem

Funkcja

jest rozwiązaniem układu odpowiadającym wartości własnej Jeśli

Jeśli Wtedy

Rozwiązujemy układ równań

Zatem

Przestrzeń jest generowana przez wektory

które są liniowo niezależne. Więc wymiar przestrzeni jest równy krotności wartości własnej . Stąd wynika, że następujące funkcje

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu odpowiadającymi wartości własnej . Fundamentalnym zbiorem rozwiązań dla układu są funkcje

Rozwiązanie ogólne układu ma postać

gdzie są to dowolne liczby rzeczywiste.

= {x : (A + 3I) ⋅ x = 0, } gdzie x =

.

V

1

⎡

⎣

⎢

x

x

12

x

3

⎤

⎦

⎥

(A + 3I) ⋅ x = 0 :

⋅

=

⟺

⟺

⎡

⎣

⎢

−2

4

2

−2

4

2

2

2

4

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

x

x

12

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

0

0

0

⎤

⎦

⎥

_⎩

⎨

⎧

4 − 2 + 2 = 0

−2 + 4 + 2 = 0

x

1

x

1

x

2

x

2

x

3

x

3

2 + 2 + 4 = 0

x

1

x

2

x

3

{

⟺ {

⎧

⎩

⎨

2 − +

− + 2 +

x

x

11

x

2

x

2

x

3

x

= 0

3

= 0

+ + 2 = 0

x

1

x

2

x

3

⟺

+ w3 w2

2 − +

x

₁

x

₂

x

₃

= 0

3 + 3 = 0

x

2

x

3

= −

x

1

x

3

= − .

x

2

x

3

=

=

,

∈ R

i

=

.

V

1

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎡

⎣

⎢

−x

−x

33

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

−1

−1

1

⎤

⎦

⎥x

3

x

3

⎫

⎭

⎬

⎪

⎪

v

1

⎡

⎣

⎢

−1

−1

1

⎤

⎦

⎥

(t) =

=

x

1

v

1

e

−3t

⎡

⎣

⎢

−1

−1

1

⎤

⎦

⎥e

−3t

(1)

λ

1

.

= 3.

λ

2

= {x : (A − 3I) ⋅ x = 0}.

V

2

(A − 3I) ⋅ x = 0 :

⋅

=

⟺

⟺

= − + .

⎡

⎣

⎢

−2

−2

2

−2

−2

2

2

2

−2

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

x

x

12

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

0

0

0

⎤

⎦

⎥

_⎩

⎨

⎧

−2 − 2 + 2 = 0

−2 − 2 + 2 = 0

x

x

11

x

x

22

x

x

33

2 + 2 − 2 = 0

x

1

x

2

x

3

x

1

x

2

x

3

=

=

+

,

∈ R

.

V

2

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎡

⎣

⎢

− +

x

x

22

x

3

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

−1

1

0

⎤

⎦

⎥x

2

⎡

⎣

⎢

1

0

1

⎤

⎦

⎥x

3

x

2

⎫

⎭

⎬

⎪

⎪

V

2

=

i

=

v

2

⎡

⎣

⎢

−1

1

0

⎤

⎦

⎥

v

3

⎡

⎣

⎢

1

0

1

⎤

⎦

⎥

V

2

λ

2

(t) =

,

(t) =

x

2

⎡

⎣

⎢

−1

1

0

⎤

⎦

⎥e

3t

_x

₃

⎡

⎣

⎢

1

0

1

⎤

⎦

⎥e

3t

(1)

λ

2

(1)

{ (t),

x

1

x

2

(t),

x

3

(t)}.

(1)

x(t) =

c

1

⎡

+

+

⎣

⎢

−1

−1

1

⎤

⎦

⎥e

−3t

_c

₂

⎡

⎣

⎢

−1

1

0

⎤

⎦

⎥e

3t

_c

₃

⎡

⎣

⎢

1

0

1

⎤

⎦

⎥e

3t

, ,

c

1

c

2

c

3

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:20:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=155c63d4b18a19ae9dee6d516bbe0dab