A. Mróz Zad. 1 (a) Które z pier±cieni (Z, +, ·), (Q, +, ·) (R, +, ·), (C, +, ·), (Mn(k), +, ·), (Mn(Z), +, ·),
(Zn, ⊕n, n)s¡ ciaªami? Które s¡ dziedzinami caªkowito±ci (tzn. nie posiadaj¡ dzielników zera)?
Opisz elementy odwracalne w ka»dym z nich. (k jest dowolnym ciaªem, n ≥ 1). (b) Czy ukªad (Gln(k), +, ·) jest pier±cieniem?
(c) Czy zbiór Z[√2] = {a + b√2 : a, b ∈ Z} jest pier±cieniem? (d) Czy w ciele mog¡ by¢ dzielniki zera?
Zad. 2 (a) Czy zbiór Z[1 2] = {
a
2m : a ∈ Z, m ∈ N} z dziaªaniami arytmetycznymi +, · jest
pier±cieniem? Czy posiada dzielniki zera? (b) Opisz elementy odwracalne w Z[1
2].
(c) Czy zbiór Z jest ideaªem w Z[1 2]?
Uwaga. Odt¡d rozpatrujemy tylko pier±cienie przemienne.
Def.: (1) Ideaª I w pier±cieniu R taki, »e I 6= R nazywamy maksymalnym o ile dla dowolnego J z tego, »e I ⊂ J wynika, »e I = J. Ideaª I nazywamy pierwszym, o ile z tego, »e ab ∈ I, wynika »e albo a ∈ I albo b ∈ I, dla dowolnych a, b ∈ R.
(2) Ideaª I C R nazywamy ideaªem gªównym o ile jest generowany przez jeden element (tzn. istneje i ∈ R takie, »e I = (i)). Uwaga: (i) = Ri = {ri : r ∈ R}. Pier±cie« w którym wszystkie ideaªy s¡ gªówne nazywamy pier±cieniem ideaªow gªównych.
Zad. 3 (a) Opisz ideaªy w pier±cieniu Z. Czy Z jest pier±cieniem ideaªów gªównych? (b) Czy ideaª 6Z C Z jest maksymalny?
(c) Czy ideaª 0 C Z jest pierwszy? Ogólniej: dla dowolnego pier±cienia R, kiedy ideaª 0 C R jest pierwszy?
(d) Opisz ideaªy pierwsze i maksymalne w pier±cieniu Z.
(e) Znajd¹ (jeden!) generator ideaªu (4, 6)CZ. Ogólniej, jak znale¹¢ generator ideaªu (a, b)C Z, dla a, b ∈ Z?
Fakt. Niech I b¦dzie ideaªem w pier±cieniu R. Wówczas I jest pierwszy ⇔ R/I jest dziedzin¡ caªkowito±ci. Natomast I jest maksymalny ⇔ R/I jest ciaªem.
Zad. 4 (a) U»ywaj¡c powy»szego faktu uzasadnij, »e pZ jest ideaªem maksymalnym w Z, dla liczby pierwszej p.
(b) Wyka», »e ideaª maksymalny jest ideaªem pierwszym.
(c) Niech R b¦dzie pier±cieniem a R[x] pier±cieniem wielomianów o wspólczynnikach z R. Uzasadnij, »e zachodzi izomor zm pier±cieni R[x]/(x − 1) ∼= R.
(d) Niech k b¦dzie ciaªem. Wyka», »e ideaª (x − 1) w pier±cieniu k[x] jest ideaªem maksy-malnym.
Zad. 5 (a) Znajd¹ wszystkie elementy odwracalne w pier±cieniu k[x] (k - ciaªo). Czy ten pier±cie« jest dziedzin¡ caªkowito±ci?
(b) Wska» w pier±cieniu Z4[x] wielomian odwracalny stopnia ≥ 1. Czy ten pier±cie« jest
dziedzin¡ caªkowito±ci?
(c) Niech Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} ⊂ C. Czy zbiór Z[i] z dodawaniem i mno»eniem liczb zespolonych jest pier±cieniem? Opisz elementy odwracalne.
Zad. 6 Niech R, S b¦d¡ dowolnymi pier±cieniami. Oznaczmy przez Hom(R, S) zbiór wszystkich homomor zmów pier±cieniowych z R do S. Opisz nast¦puj¡ce zbiory:
(a) Hom(Z, R), gdzie R jest dowolnym pier±cieniem. (b) Hom(Z[√2], Z[√3]).
2 Zad. 7 Rozwa»my ideaªy I1= (x, y), I2 = (x) ⊂ k[x, y].
(a) Wyka», »e ideaª I1 jest maksymalny a ideaª I2 jest pierwszy.
(b) Czy ideaª I2 jest maksymalny?
Def. R-pier±cie«, a, b ∈ R. Mówimy, »e a dzieli b (ozn. a|b) o ile ist. c ∈ R taki, »e b = ca (zachodzi to wtw. (b) ⊂ (a)). Mówimy, »e a i b s¡ stowarzyszone (ozn. a ∼ b), o ile a|b i b|a (gdy R jest dziedzin¡ caªkowito±ci, jest to równowa»ne temu, »e ist. el. odwracalny u ∈ R taki, »e a = ub).
Zad. 8 (a) Niech R b¦dzie pier±cieniem oraz a, b ∈ R. Wyka», »e je»eli a|b, to ua|b, dla dowolnego odwracalnego u ∈ R.
(b) Czy wielomiany 2x2− 10x + 12oraz (x − 2)(x − 3) s¡ stowarzyszone w Q[x]? Czy s¡ one
stowarzyszone w Z[x]?
(c) Uzasadnij, »e wielomiany 3x2+ 4x + 5 oraz 7x2+ 2x + 8s¡ stowarzyszone w Z 11[x].
(d) Relacja stowarzyszono±ci ∼ jest relacj¡ równowa»no±ci. Jak wygl¡daj¡ klasy abstrakcji tej relacji w pier±cieniach: Z, Q, Z[x], Q[x] ?
Zad. 9 (a) Wykonaj dzielenie z reszt¡ wielomianu 5x4+ 4x3+ 3x2+ 2x + 1przez x2+ x + 1 w
pier±cieniu Q[x].
(b) Wykonaj powy»sze dzielenie w pier±cieniu Z6[x].
(c) Czy wielomian x3− 1jest podzielny przez 2x − 2 w Z[x]? Czy ta podzielno±¢ zachodzi w
pier±cieniu Q[x]?
(d) Uzasadnij, dlaczego wielomian x3− xjest podzielny przez x − 3 w Z
6[x], a w Q[x] nie.
(e) Ile pierwiastków ma wielomian x3− x ∈ Z 6[x]?
Zad. 10 (a) Czy ideaª (x2− 1) w R[x] jest maksymalny?
(b) Znajd¹ wszystkie ideaªy zawieraj¡ce ideaª (x2 + 1) w C[x]. Zrób to samo w R[x].
[Wskazówka: pier±cie« k[x] jest pier±cieniem ideaªów gªównych, gdy k jest ciaªem.] (c) Opisz wszystkie ideaªy maksymalne w pier±cieniach C[x] i R[x]
(d) Czy ideaª (x3− 2)w Q[x] jest maksymalny?
Zad. 11 (a) Znajd¹ d = nwd(320, 56) oraz takie a, b ∈ Z, »e d = 320a + 56b.
(b) Ustalmy f(x) = x3− x2+ 2x − 2, g(x) = x2− 1 ∈ R[x]. Oblicz d(x) = nwd(f(x), g(x))
oraz znajd¹ takie a(x), b(x) ∈ R[x], »e d(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x). Na tej podstawie znajd¹ generator ideaªu (f(x), g(x)).
(c) Znajd¹ generator ideaªu (2, x) w Q[x]. Czy istnieje generator ideaªu (2, x) w Z[x]? (d) Znajd¹ element odwrotny (o ile istnieje) dla warstwy x2−1+(x3−1)i x2−x−2+(x3−1)
w pier±cieniu Q[x]/(x3− 1).
(e) Opisz elementy odwracalne i dzielniki zera w pier±cieniu Q[x]/(x3).
Def. R - pier±cie«, 0 6= a ∈ R. Element a nazywamy rozkªadalnym, je±li istniej¡ nieod-wracalne b, c ∈ R takie, »e a = bc. Element a nazywamy nierozkªadalnym, o ile a nie jest odwracalny i nie jest rozkªadalny. Zatem zbiór R dzieli si¦ na cztery rozª¡czne podzbiory: {0} oraz odpowiednio podzbiory elementów odwracalnych, rozkªadalnych i nierozkªadalnych (trzy ostatnie podzbiory oznaczmy przez R∗, R(r), R(n)).
Zad. 12 (a) Opisz elementy zbiorów R∗, R(r) i R(n) dla pier±cienia R = Z, Q, R[x], C[x].
(b) Rozªó» na iloczyn elementów nierozkªadalnych wielomian x4− 2x3+ x2+ 2x − 2w R[x]
a nast¦pnie w C[x].
(c) Czy prawdziwe jest twierdzenie: je±li wielomian nieodwracalny f(x) ∈ R[x] nie ma pier-wiastków w R to jest nierozkªadalny.
