Streszczenie—W pracy przedstawiono wyniki badań nad pro-blemem kwantowania informacji zewnętrznej, wytwarzanej przez dekodery składowe turbodekodera. Rozpatrzono optymal-ny i uproszczooptymal-ny algorytm dekodowania oraz dwie długości ram-ki. Prezentacja wyników poprzedzona jest przypomnieniem najważniejszych wiadomości o turbokodowaniu.
Słowa kluczowe—modulacja; przetwarzanie iteracyjne; turbo-kodowanie
I. WPROWADZENIE
roku 1974 Bahl, Cocke, Jelinek i Raviv zaproponowali optymalny algorytm dekodowania, nazwany od ich nazwisk algorytmem BCJR. W algorytmie tym decyzje po-dejmowane są wg reguły maksymalizującej prawdopodobień-stwo a posteriori (MAP – Maximum A Posteriori). W przeci-wieństwie do rozpowszechnionego już wówczas algorytmu Viterbiego, którego rezultatem była estymata ciągu danych, algorytm BCJR dostarczał informacji o wiarygodności po-szczególnych estymowanych bitów. Informacja ta była jednak bezużyteczna, toteż algorytm BCJR – jako znacznie bardziej złożony obliczeniowo od algorytmu Viterbiego – nie znajdy-wał początkowo praktycznego zastosowania.
Sytuacja uległa zmianie wraz z odkryciem turbokodów przez Berrou i in. [1] w roku 1993. W turbodekoderze, pomię-dzy dwoma dekoderami składowymi wymieniana jest infor-macja wspomagająca podejmowanie decyzji. Turbodekoder działa w sposób iteracyjny, a w każdej iteracji wiarygodność informacji wspomagającej rośnie, o ile proces dekodowania jest „zbieżny”, co ma miejsce w przypadku odpowiednio dużej wartości stosunku sygnału do szumu.
Informacja wspomagająca może przyjmować różną postać, zależnie od przyjętego sposobu reprezentacji danych. Może być wyrażona np. poprzez prawdopodobieństwa nadania po-szczególnych wartości binarnych dla kolejnych bitów ciągu
K. Andrzejewska jest absolwentką studiów magisterskich na kierunku elektronika i telekomunikacja, prowadzonym przez Wydział Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej (e-mail: katarzy-na_andrzejewska@outlook.com).
M. Krasicki jest adiunktem w Katedrze Radiokomunikacji Politechniki Po-znańskiej, ul. Polanka 3, 61-131 Poznań (e-mail: mkrasic@et.put.poznan.pl).
Niniejszy artykuł prezentuje wyniki badań wykonanych w ramach pracy dyplomowej magisterskiej K. Andrzejewskiej pt. „Badanie zależności pomię-dzy informacją wspomagającą turbodekodera a jakością podejmowanych przez niego decyzji”, obronionej w roku 2014 na Wydziale Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej.
Praca finansowana ze środków na działalność statutową.
danych lub też poprzez logarytmiczne wskaźniki wiarygodno-ści. Każdy ze sposobów reprezentacji ma jednak swoje ogra-niczenia, wynikające ze sposobu reprezentacji liczb w postaci cyfrowej. W niniejszej pracy autorzy podejmują problem zależności pomiędzy liczbą poziomów, na jakich kwantowana jest informacja zewnętrzna dekoderów składowych, dana w postaci logarytmicznych wskaźników wiarygodności, a jako-ścią decyzji, podejmowanych przez turbodekoder.
Dalsza część referatu jest zorganizowana następująco. W punkcie II przedstawione są najważniejsze wiadomości o algorytmie BCJR, realizującym regułę decyzyjną MAP i jego uproszczonej wersji, tj. max-log-MAP. Punkt III dotyczy istoty turbokodowania. W punkcie IV opisane są parametry symulacji i wyniki badań. Wreszcie, punkt V stanowi podsu-mowanie pracy.
II. ALGORYTM MAP A. Podstawy matematyczne [2]
Funkcjonowanie algorytmu MAP (Maximum A Posteriori probability) wygodnie jest opisać w oparciu o fragment kraty kodu splotowego, pokazany na rys. 1.
Zadaniem algorytmu dekodowania jest wybór takiej warto-ści , będącej estymatą -tego bitu ciągu danych (w formacie bipolarnym), że
, (1)
gdzie jest obserwowaną na wyjściu kanału sekwencją sym-boli BPSK, zniekształconych białym szumem gaussowskim. Prawdopodobieństwo ze wzoru (1) jest sumą prawdopodo-bieństw wystąpienia na kracie jednego z przejść związanych w
-tym takcie z bitem o wartości w ciągu danych:
. (2)
W powyższym wzorze, pojedyncze przejście jest jedno-znacznie identyfikowane poprzez parę stanów , przypa-dających, odpowiednio, na takt -szy i -ty.
Postać informacji zewnętrznej turbo-dekodera
a jakość podejmowanych decyzji
Katarzyna Andrzejewska, Maciej Krasicki
W
Prawdopodobieństwo obserwacji sekwencji na wyjściu kanału jest równoznaczne z obserwacją sekwencji w taktach poprzedzających rozpatrywany takt -ty, sygnału w takcie -tym oraz sekwencji , przypadającej na pozo-stałe takty:
(3)
Korzystając zaś z reguły Bayesa, otrzymuje się
(4) Przekształcenie w ostatniej linii wynika z obserwacji, że wystąpienie konkretnej sekwencji na wyjściu kanału zależy tylko od stanu w takcie -tym, nie zależy zaś od tranzycji na kracie kodu, występujących przed -tym taktem. Podobne przekształcenia można przeprowadzić dla czynnika
ze wzoru (4):
(5)
Podstawą do takiego przekształcenia jest obserwacja, że prawdopodobieństwo przejścia na kracie w takcie -tym ze stanu do stanu nie zależy od trajektorii, po której dekoder osiągnie stan .
Podstawiwszy (5) do (4) i następnie (4) do (3), otrzymuje się
(6)
Należy zauważyć, że powyższe czynniki odnoszą się do po-jedynczej krawędzi kraty: jest prawdopodobień-stwem osiągnięcia stanu , z którego dana krawędź wychodzi,
stanowi prawdopodobieństwo tego, że trajektoria deko-dowania od bieżącego taktu do końca kraty wybiega ze stanu
. Wreszcie, ma interpretację kosztu „przejścia” po rozpatrywanej krawędzi kraty, łączącej stany i .
Pierwsze dwa czynniki oblicza się następująco w sposób rekurencyjny:
(7)
(8)
Koszt przejścia po krawędzi kraty ma postać:
, (9) gdzie jest czynnikiem korygującym, o takiej samej wartości dla dowolnej pary , to wartość bitu ciągu danych, przypisana do rozpatrywanej krawędzi, a
(10)
stanowi logarytmiczny wskaźnik wiarygodności a priori dla tego bitu. Drugi z eksponencjalnych czynników w (9) repre-zentuje informację otrzymaną z kanału, dotyczącą bitów ciągu, które przypadają na rozpatrywany, -ty fragment kraty:
pełni funkcję skalującą ( to energia przypadająca na jeden bit ciągu danych, a wyraża wariancję szumu gaus-sowskiego), reprezentuje wartość -tego bitu, przyporząd-kowanego danej krawędzi kraty; wreszcie, to sygnał otrzymany z kanału, dotyczący -tego bitu ciągu kodowego, przypadającego na -ty fragment kraty. Wyrażenie (9) można przekształcić tak, aby ujawnić w nim czynnik związany z bitami systematycznymi, czyli bitami ciągu danych, które są transmitowane w sposób jawny w systemie z
turbokodowa-niem , oraz czynnik związany z tzw.
bitami kontroli parzystości:
(11)
Wykorzystując powyższe zależności, można podać finalną postać na prawdopodobieństwo a posteriori, które jest rezulta-tem działania algorytmu MAP. Tutaj występuje ono w postaci logarytmicznego wskaźnika wiarygodności:
(12)
W powyższym wzorze widać, że wskaźnik wiarygodności dla bitu ciągu danych zgodnie z regułą MAP składa się z trzech składników: prawdopodobieństwa a priori , metryki związanej z sygnałem odebranym z kanału, dotyczącym bitu systematycznego , oraz tzw. informacji zewnętrznej dekodera (extrinsic information), która wynika z za-leżności związanych z pamięcią kodera i dekodera.
B. Uwaga dotycząca informacji a priori
Zgodnie z (12), odbiornik powinien dysponować prawdo-podobieństwami a priori nadania poszczególnych bitów ciągu kodowego. Muszą one pochodzić z niezależnego źródła względem kanału, z którego odbierane są sygnały i sygna-ły odpowiadające bitom kontroli parzystości. Najczęściej odbiornikowi takie prawdopodobieństwa nie są znane. Wów-czas działaniem z wyboru jest przyjęcie
, co w dziedzinie wskaźników wiarygodno-ści daje . Jak zostanie pokazane w następnym punkcie, uzyskanie informacji a priori jest możliwe dzięki realizacji turbokodowania.
C. Uproszczony algorytm max-log-MAP
Obliczanie informacji zewnętrznej w sposób poka-zany w (12) jest procesem złożonym obliczeniowo. Wzór ten ma bowiem w istocie postać logarytmu z ilorazu sum wyrażeń eksponencjalnych. Inaczej można wyrazić jako różni-ca logarytmów z sum wyrażeń eksponencjalnych. Tymczasem wyrażenia typu są znane jako logarytmy Jakobie-go. Można pokazać, że
, (13)
co ma swoje zastosowanie w uproszczonym algorytmie deko-dowania, operującym wg reguły max-log-MAP [3]. Aby przedstawić jego działanie, wprowadza się nowe zmienne: , i , będące logarytmami naturalnymi, odpowiednio, z , i . Z ich użyciem, reku-rencyjne obliczenia, takie jak w (7) i (8), odbywają się nastę-pująco:
, (14)
. (15)
Natomiast
. (16)
Pierwszy ze składników w (16) nie ma wpływu na ostateczny wynik (można go pominąć), a sumę w ostatnim składniku, podobnie jak w (12), można rozdzielić na część związaną z informacją nt. bitu ciągu danych, odebraną z kanału i na in-formację zewnętrzną.
Z wykorzystaniem powyższych zmiennych, wskaźnik wiarygodności a posteriori przyjmuje postać
(17)
III. TURBOKODOWANIE
A. Nadajnik
Istotą turbokodowania równoległego (tylko o takim traktuje niniejszy artykuł) jest zastosowanie po stronie nadajnika dwóch koderów systematycznych, jak pokazano na rys. 2a.
Bity danych, podawane są na wejście jednego z nich, są naj-pierw przepuszczane przez układ przeplotu i (opcjonalnie) linię opóźniającą. W ten sposób, konkretny bit ciągu danych przypada na inny fragment kraty kodu w obu koderach. Bity kontroli parzystości, generowane przez poszczególne kodery, transmitowane są w różnych warunkach stanu kanału, co ma zasadnicze znaczenie w przypadku kanałów z zanikami. Bity systematyczne dolnego kodera nie są transmitowane.
B. Odbiornik
W odbiorniku, pokazanym na rys. 2b, stosuje się dwa deko-dery składowe. Każdy z nich otrzymuje z kanału informację dotyczącą transmitowanych bitów systematycznych
oraz odpowiednich bitów kontroli parzystości , a także informację a priori o bitach danych . Tę ostatnią stano-wi w turbodekoderze informacja zewnętrzna (extrinsic infor-mation) drugiego dekodera. Górny dekoder generuje informa-cję o prawdopodobieństwie a posteriori , na którą składają się ww. trzy elementy. Odejmując od niej informację a priori oraz informację otrzymaną z kanału nt. bitu systema-tycznego, otrzymuje się informację zewnętrzną górnego deko-dera , która – po przeplocie – służy jako informacja a priori dekodera dolnego. Należy zauważyć, że informacja ta jest wyznaczona wyłącznie na podstawie danych, którymi dekoder dolny nie dysponuje. Istotnie, uwzględnia tylko za-leżności wynikające dla bitów kontroli parzystości z kraty górnego dekodera (nie przypadkiem odejmowana jest infor-macja a priori, wygenerowana przez dekoder dolny oraz in-formacja nt. bitów systematycznych, którą dekoder dolny również posiada). Dekoder dolny, poza informacją a priori, dysponuje także wiedzą nt. bitów systematycznych, odebraną z kanału, a także nt. bitów kontroli parzystości, wygenerowa-nymi na podstawie przeplecionego ciągu danych. Wygenero-wana przez dolny dekoder informacja a posteriori, pozbawio-na składników zależnych od wcześniejszych decyzji dekodera
(a)
(b)
Rys. 2. Modele: kodera (a) i dekodera (b) turbodekodera (na podstawie [2])
górnego (informacja a priori) i takich, które dekoder górny otrzymuje wprost z kanału, stanowi (po przeplocie) zaktuali-zowaną informację a priori dekodera górnego. Następnie aktualizowana jest informacja zewnętrzna dekodera górnego, itd. Po wielu takich interakcjach pomiędzy dekoderami skła-dowymi, informacja a posteriori jednego z nich stanowi osta-teczną decyzję dotyczącą transmitowanych bitów danych.
IV. ZREALIZOWANE BADANIA
A. Problem badawczy
Poza fundamentalnymi przeszkodami dla zbieżności proce-su iteracyjnego dekodowania, związanymi z panującym w kanale stosunku mocy sygnału do mocy szumu, istnieją także ograniczenia wynikające ze sposobu reprezentacji informacji zewnętrznej. W zdecydowanej większości publikacji nauko-wych na temat turbokodów zakłada się, że informacja ze-wnętrzna jest reprezentowana przez liczby zmiennoprzecin-kowe o dużej precyzji. Tymczasem, w trakcie wstępnych badań, nawet w przypadku reprezentacji 64-bitowej typu zmiennoprzecinkowego, autorzy obserwowali nieprawidłowe działanie dekoderów składowych, skutkujące niemożnością podjęcia poprawnej decyzji. Dotyczyło to szczególnie przy-padków użycia optymalnych dekoderów MAP w sytuacji, gdy stosunek sygnału do szumu przyjmował duże wartości. Wów-czas, w liczniku i mianowniku wyrażenia z (12) wy-stępowały bardzo duże wartości, przekraczające zakres repre-zentacji liczb, jako skutek potęgowania liczby . Rezultatem dzielenia tych liczb, reprezentowanych jako nieskończoność, była wartość nieoznaczona.
Powyższa obserwacja stanowi tylko przyczynek do zrozu-mienia problemów związanych z ograniczeniami w reprezen-tacji informacji zewnętrznej. Reprezentacja informacji ze-wnętrznej z dużą precyzją, wiąże się z przesyłaniem pomiędzy dekoderami składowymi ogromnej liczby bitów, tym bardziej, że dla poprawnego funkcjonowania turbodekodera niezbędne jest przyjęcie ramek o dostatecznie dużej długości (z doświad-czenia autorów wynika, że jest to co najmniej kilkaset bitów). Przesyłanie takiej ilości danych może spowodować poważny wzrost opóźnienia w działaniu odbiornika, a należy jeszcze uwzględnić konieczność przeprowadzenia kilku-kilkunastu iteracji. W praktycznych realizacjach turbo dekoderów, opar-tych o proste i tanie podzespoły, nierealne może być w ogóle użycie reprezentacji zmiennoprzecinkowej, nie wspominając nawet o dużej precyzji.
Z powyższych uwag wynika potrzeba zbadania jak przebie-ga turbodekodowanie w razie użycia skwantowanej informacji zewnętrznej.
B. Założenia
W pracy rozważono następujące liczby poziomów kwanty-zacji: 2, 16, 32 i 64. Progi kwantyzacji rozmieszczono rów-nomiernie, biorąc pod uwagę zakres dynamiczny nieskwanto-wanej informacji zewnętrznej. Zastosowano ramki danych liczące 500 i 5000 bitów, a w trakcie każdej symulacji transmitowano bitów dla zachowania statystycznej wiary-godności wyników. Transmisja odbywała się w kanale
AWGN. Jako elementy turbodekodera zastosowano identycz-ne 8-stanowe kodery systematyczidentycz-ne opisaidentycz-ne wielomianami generującymi [13 15]8.
Symulacje wykonano w pakiecie Matlab, z wykorzystaniem biblioteki The Iterative Solutions Coded Modulation Library (ISCML) [4]. Jest to biblioteka na licencji pozwalającej na użycie i modyfikowanie oprogramowania, w zależności od potrzeb.
C. Wyniki
1) Odbiornik realizujący optymalną regułę MAP
a) transmisja ramek o długości 5000 bitów
Na rys. 3 przedstawiono wyniki referencyjne, dla przypad-ku bez kwantowania informacji zewnętrznej dekoderów. Wi-doczne jest opadanie kolejnych krzywych BER(SNR) w ko-lejnych iteracjach, co świadczy o zbieżności procesu iteracyj-nego.
Wyniki badania skutków kwantyzacji przy dwóch po-ziomach kwantyzacji dały negatywny rezultat: wartość bito-wej stopy błędu w rozpatrywanym przedziale SNR=[0, 4.5] dB nie opadała w kolejnych iteracjach poniżej
. Proces iteracyjny nie był więc zbieżny.
Dla innych wartości liczby poziomów kwantyzacji, tj. 16, 32 i 64, kolejne krzywe BER(SNR) w badanym przedziale SNR opadają, co można stwierdzić, obserwując pary przebie-gów o tych samych oznaczeniach z rys. 4a i 4b.
Na rysunkach widać, że liczba poziomów kwantyzacji ma istotny wpływ na wiarygodność zdekodowanych danych. Przykładowo, w ósmej iteracji strata SNR na poziomie BER=
w przypadku zastosowania 16 poziomów kwantyzacji względem systemu referencyjnego wynosi 3 dB.
b) transmisja ramek o długości 500 bitów
W rozpatrywanym przypadku wyniki uzyskane bez kwan-tyzacji informacji zewnętrznej (rys. 5) są nieco gorsze niż wówczas, gdy transmitowano ramki o długości 5000 bitów (rys. 3). Naturalnie, jest to związane z ograniczeniem głęboko-ści przeplotu. Związki pomiędzy liczbą poziomów
kwantyza-Rys. 3. Wyniki BER(SNR) dla odbiornika optymalnego (bez kwantowania) w kolejnych iteracjach (długość ramki: 5000)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER 1 iteracja 2 iteracje 3 iteracje 4 iteracje 8 iteracji
cji a wynikami BER(SNR) w iteracjach 1. i 8. są analogiczne jak w przypadku transmisji 5000-bitowych ramek, czego do-wodzą rysunki 6a i 6b. W ósmej iteracji, strata SNR na po-ziomie BER= w przypadku zastosowania kwantyzacji 16-poziomowej względem odbiornika referencyjnego wynosi znów ok. 3 dB. Dla przypadku dwóch poziomów kwantyzacji (nieuwzględnionego na rysunkach dla ich lepszej czytelności) nie obserwowano poprawy bitowej stopy błędu w kolejnych iteracjach.
2) Odbiornik realizujący regułę max-log-MAP
Wnioski dotyczące odbiornika wykorzystującego algorytm optymalny MAP, są ważne także w przypadku odbiornika, w którym dekodery składowe pracują wg reguły max-log-MAP. Prezentowane są tylko wyniki dla przypadku transmisji ramek o długości 5000 bitów: dla systemu referencyjnego, tzn. bez kwantowania informacji zewnętrznej (rys. 7), oraz dla systemu z kwantowaniem informacji zewnętrznej w pierwszej i ósmej iteracji (odpowiednio, rys. 8a i 8b).
(a)
(b)
Rys. 4. Wyniki BER(SNR) dla różnej liczby poziomów kwanty-zacji: ─ 16 poziomów, ─ 32 poziomy, ─ 64 poziomy, ─ odbiornik bez kwantyzacji (długość ramki: 5000 bitów)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER
Rys. 5. Wyniki BER(SNR) dla odbiornika optymalnego (bez kwantowania) w kolejnych iteracjach (długość ramki: 500)
(a)
(b)
Rys. 6. Wyniki BER(SNR) dla różnej liczby poziomów kwanty-zacji: ─ 16 poziomów, ─ 32 poziomy, ─ 64 poziomy, ─ odbiornik bez kwantyzacji (długość ramki: 500 bitów)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER 1 iteracja 2 iteracje 3 iteracje 4 iteracje 8 iteracji 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BE R
Porównując wyniki systemów referencyjnych: realizującego algorytm MAP (rys. 3) oraz tego, w którym wykorzystywany jest algorytm uproszczony max-log-MAP (rys. 7), zauważa się gorsze wyniki w tym drugim przypadku. Przykładowo, w ósmej iteracji BER = obserwuje się dla SNR ≈ 0,8 dB dla odbiornika MAP i dla SNR≈1,8 dB w przypadku odbiornika max-log-MAP.
Skutki kwantyzacji informacji zewnętrznej dekoderów operujących według reguły max-log-MAP są podobne, jak dla odbiornika realizującego regułę MAP: użycie dwóch pozio-mów kwantyzacji powoduje, że nie obserwuje się poprawy wiarygodności estymat wygenerowanych w kolejnych itera-cjach. Dla pozostałych analizowanych wartości liczby pozio-mów kwantyzacji poprawa w kolejnych iteracjach występuje, przy czym strata BER w stosunku do odbiornika bez kwanty-zacji informacji zewnętrznej jest znacznie mniejsza (jedynie ok. 1 dB w przypadku kwantyzacji 16-poziomowej na pozio-mie BER = ) niż w przypadku podobnego porównania dla odbiornika realizującego optymalny algorytm MAP.
V. PODSUMOWANIE
Uzyskane rezultaty pokazały, że kwantowanie informacji zewnętrznej dekoderów składowych turbodekodera ma bardzo duży wpływ na wiarygodność generowanych estymat danych. W szczególności, bezużyteczne okazało się rozwiązanie z dwoma poziomami kwantowania, oznaczające w istocie prze-kazywanie „twardej” decyzji pomiędzy dekoderami. Wraz ze zwiększaniem liczby poziomów kwantyzacji, uzyskiwano wyniki coraz bardziej zbliżone do tych dla systemu referen-cyjnego, tj. bez kwantowania. Rozpatrzono dwie reguły decy-zyjne dekoderów: MAP i max-log-MAP. W przypadku dru-giego z nich (uproszczonego), strata SNR związana z kwanty-zacją była mniejsza, jednak należy pamiętać, że samo uprosz-czenie algorytmu dekodowania prowadzi do degradacji uzy-skanych wyników.
BIBLIOGRAFIA
[1] C. Berrou, A. Glavieux and P. Thitimajshima, “Near Shannon limit error-correcting coding and decoding: turbo-codes,” in Proc. IEEE International Conference on Communications, 1993.
[2] L. Hanzo, T. Liew, B. Yeap i S. Ng, Turbo Coding, Turbo Equalisation and Space-Time Coding, wyd. 2, Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2011.
[3] P. Robertson, E. Villebrun and P. Hoer, “A Comparison of Optimal and Sub-Optimal MAP Decoding Algorithms Operating in the Log Domain,” in Proc. IEEE International Conference on Communications, 1995. [4] http://www.iterativesolutions.com/Matlab.htm.
[Data uzyskania dostępu: 15 09 2014]. Rys. 7. Wyniki BER(SNR) dla odbiornika bez kwantowania
informacji zewnętrznej w kolejnych iteracjach (długość ramki: 5000, dekoder max-log-MAP)
(a)
(b)
Rys. 8. Wyniki BER(SNR) dla różnej liczby poziomów kwanty-zacji: ─ 16 poziomów, ─ 32 poziomy, ─ 64 poziomy, ─ odbiornik bez kwantyzacji (długość ramki: 5000 bitów,
dekoder max-log-MAP) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BER 1 iteracja 2 iteracje 3 iteracje 4 iteracje 8 iteracji 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BE R 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 SNR [dB] BE R
