Bescherming van het onderstel eener zuigermachine tegen de veranderlijke reacties van het draaimoment

^ - £ £ ^

BESCHERMING VAN HET ONDERSTEL

EENER ZUIGERMACHINE

TEGEN DE VERANDERLIJKE REACTIES

VAN HET DRAAIMOMENT.

Proefschrift ter verkrijging van den graad

van Doctor in de Technische Wetenschap

aan de Technische Hoogeschool te Delft, op gezag van den Rector Magnificus, Dr. W. Reinders, Hoogleeraar in de Af-deeling der Scheikundige Technologie, voor een commissie uit den Senaat te verdedigen op Donderdag 20 Juni 1935, des namiddags

te 4 uur, door

HERMAN C O E N R A A D OLIVIER,

Werktuigkundig Ingenieur, geboren te Amsterdam.

Hfdst.

Inleiding I De verschillende trillingsoorzaken II

Bewegelijke ophanging van den motor in het onderstel III

Torsietrillingen IV Vereenvoudigende aannamen en bespreking daarvan. V

Bespreking der verschillende motoropstellingen, en

daarbij aangenomen praktische waarden VI Keuze tusschen de exacte en de benaderde

bereke-ningsmethode VII De amplitude van het onderstel bij ophanging van den

motor volgens (III-34) letter a VIII De amplitude van het onderstel, voor een zescylinder

motor, onder zooveel mogelijk gelijke omstandigheden IX De amplitude van het onderstel bij ophanging van den

motor volgens (III-34) letter b X De amplitude van het onderstel bij ophanging van den

motor volgens (III-34) letter e XI Eliminatie der trillingen van het onderstel tengevolge

van de VRD XII Overige reacties van het draaimoment XIII

De stijfheid van den moment-steun XIV Grafische voorstelling der uitslagen XV Opmerking omtrent het belang der gebleken zeer

kleine amplituden XVI Een tweetal toepassingsschema's XVII

Toepassing by Diesel-electrisch treinrijtuig XVIII

Uitgevoerde toepassingen XIX Kritiek op uitgevoerde toepassingen XX

De rotor als g^Toscoop XXI Overzicht der amplituden van het onderstel, door de

VRD verwekt XXII Overzicht der gebruikte afkortingen en symbolen, hun

beteekenis en hun eenheden XXIII Overzicht van in deze studie genoemde litteratuur . . . . XXIV

Verwijzingen in den tekst hebben betrekking op hoofdstuk en alinea. Zoo verwijst b.v. (III-34) naar hoofdstuk III, en naar alinea 34. De alinea's zijn ter zijde van den tekst genummerd.

Inleiding.

1 In het jaar 1925 kreeg schrijver dezes opdracht van de Dodge Bros. Motor Car Cy. te Detroit, tot het opsporen, bestudeeren en zooveel mogelijk ondervangen der trillingsoorzaken bij haar viercylinder automobiel.

2 Het bleek, dat een zeer belangrijke oorzaak van trilling van het onderstel gevormd werd door de veranderlijkheid van het door de machine uitgeoefende draaimoment.

3 Er werden middelen gevonden om deze trillingen, hetzij weg te nemen, hetzij te verminderen, welke middelen tevens van toepassing kunnen zijn op elke machine, welke een periodiek veranderlijk draaimoment heeft en gedragen wordt door een betrekkelijk licht en bewegelijk onderstel.

4 Het resultaat der studie werd in 1925 aan de Dodge Cy., en daarna nog weer in 1928 aan de Amerikaansche automobiel-industrie voorgelegd. Sinds 1931, wat Amerika, en sinds 1932, wat Europa betreft, worden bedoelde middelen, zij het on-volledig en in gebrekkigen vorm, op automobielen toegepast. In het begin van 1933 is verreweg het grootste deel der auto-mobielen, welke in de wereld vervaardigd worden, van der-gelijke onvolledige en gebrekkige constructies voorzien. 5 Andere machines, welke zich uitstekend zouden leenen tot

toepassing der constructie — als hoedanig genoemd mogen worden: trein- en tramrijtuigen, door daarin aangebrachte zuigermachines voortbewogen; vliegtuigen; luchtschepen; vaartuigen — maken echter nog geen gebruik van de moge-lijkheid, de bovenbedoelde trillingen weg te nemen of te ver-minderen.

6 Beide feiten: de gebrekkige toepassing op automobielen, en het vrijwel volslagen gebrek aan toepassing op andere con-structies, zijn te verklaren uit de omstandigheid, dat aan de

reacties van het veranderlijk draaimoment als trillingsoor-zaak, noch in de praktijk, noch in de litteratuur, voldoende aandacht is geschonken en dat er omtrent de middelen tot wegneming of verzwakking dezer trillingsoorzaak nooit eenige wetenschappelijke behandeling is verschenen.

7 Het meest gecompliceerde toepassingsgeval vormt wel de autoinobiel, op grond waarvan dan ook die bijzondere toe-passing is verkozen ter behandeling in deze studie.

De verschillende trillingsoorzaken.

Met verwaarloozing van dié bewegingen van het onderstel, welke het gevolg zijn van oneffenheid van het wegoppervlak, moge hieronder een volledige, zij het ook beknopte behande-ling der verschillende mogelijke trilbehande-lingsoorzaken volgen.

Vrije massakrachten en -momenten.

Voor zoover deze veroorzaakt worden door de heen en weer gaande machinedeelen, moge naar de omvangrijke litteratuur verwezen worden, in het bijzonder naar: „Gleichgang und Massenkrafte bei Fahr- und Flugzeugmaschinen" door Dr. Ing. Otto Kölsch.

Bij den onderzochten, normaal geconstrueerden, viercylinder motor was uitsluitend sprake van vrije secundaire massa-krachten en van vrije massa-momenten. Door gebruik-making van de bekende, in figuur 1 schematisch weergegeven constructie, werden de vrije massakrachten als zoodanig ge-ëlimineerd. De bedoelde constructie bestaat uit twee gelijke, tegen elkaar in wentelende hiilpmassa's, m' en m", welke met het dubbele toerental der krukas wentelen en welker ge-zamenlijke vrije massakracht ten allen tijde evenwicht maakt met de oogenblikkelijke vrije secundaire massakracht der heen en weer gaande deelen van den motor.

Het vrije massamoment van een normaleA viercylinder motor is evenwijdig aan het moment, door de gasdrukkingen ver-wekt en kan in zijn werking op den motor geheel overeen-komstig het gasdrukmoment bestudeerd worden. Het is ge-bruikelijk te werken met het resulteerend draaimoment uit gasdrukkingen en traagheidskrachten. Ook in deze studie zou zulks mogelijk zijn, maar omdat het moment der traag-heidskrachten in het onderzochte geval, bij de kleine

om-wentelingssnelheid en de groote gasdrukkingen, welke zullen blijken beslissend te zijn (zie onder VI-25) van de orde van grootte van 1 % van het moment der gasdrukkingen is, wordt het moment der traagheidskrachten verder niet in aanmer-king genomen.

Vrije massakrachten of -momenten treden ook op door on-voldoend gebalanceerd zijn van wentelende deelen. Volkomen evenwicht (z.g. „dynamisch evenwicht") vereischt, dat de rotatie-as een natuurlijke as zij. De deelen, welke bij een automobiel uit dit oogpunt beschouwd of onderzocht moeten worden, zijn: de krukas, het vliegwiel, de drijfassen, de wagenwielen. Voor het dynamisch evenwicht van krukas en drijfassen werd gezorgd, terwijl de betrekkelijk geringe axiale afmeting van het vliegwiel en de wagenwielen, veroorloofde te hunnen opzichte te volstaan met de zorg voor het statisch evenwicht.

Een bijzonder soort vrije massakrachten wordt gevormd door dié, welke ontstaan door:

Elastische vervorming.

De verschillende vormen, waaronder deze soort krachten zich bij een automobiel kunnen voordoen, zijn:

krukas-buigingstrilling; drijfas-buigingstrilling;

torsietrillingen van het stelsel: krukas, vliegwiel, drijfassen, achterwielen, banden, grond.

Deze trillingen zijn alleen van beteekenis wanneer ze kritische of nagenoeg kritische verschijnselen zijn.

De invloed van de krukas-buigingstrilling onder invloed van de massa van het vliegwiel, werd vastgesteld door een vlieg-wiel met ongeveer het dubbele traagheidsmoment van het oorspronkelijke vliegwiel, aan te brengen. In het algemeen worden vliegwielen zeer dicht bij hun zwaartepunt onder-steund. De as, waarop het vliegwiel bevestigd is, heeft daartoe zoo dicht mogelijk bij het vliegwiel een kussenblok. In radiale richting is de as en dus het vliegwiel in een dergelijk kussen-blok zeer stijf ondersteund, maar het kussenkussen-blok zelf en ook de as in dat kussenblok, kunnen zich eenigszins schuin stellen. De as, waaromheen het vliegwiel bij krukas-buigingstrilling schommelt, bevindt zich dan ook zeer dicht bij het

zwaarte-punt van het vliegwiel, zoodat het traagheidsmoment van het vliegwiel om die schommelas beslissend is voor de frequen-tie der trilling. Daar dergelijke vliegwielen omwentelings-lichamen zijn, kan men dus ook het traagheidsmoment van het vliegwiel om zijn eigen as als vergelijkingsgrootheid be-schouwen. Daar de andere massa's, welke bij krukas-buigings-trilling in beweging zijn, te verwaarloozen zijn ten opzichte van de massa van het vliegwiel, dienden trillingen van het onderstel, welke veroorzaakt werden door krukas-buigings-trilling, thans bij een lager motorsnelheid op te treden, en wel bij ongeveer s/.^ van de snelheid, waarbij die trillingen anders voorkwamen. Op deze wijze werden de trillingen, veroorzaakt door krukas-buiging, onderkend.

Berekening had reeds aangetoond, dat de massieve langs-drijfas tuschen motor en achteras bij wagensnelheden van 60 tot 70 k m / u u r in kritisclie buigingstrilling moest geraken, en de vervanging van deze as door een buisvormige elimi-neerde de trillingen uit dezen hoofde volkomen. Ten over-vloede werd deze buisvormige as afzonderlijk door een electro-motor aangedreven bij alle snelheden, welke zij in de automobiel kon verkrijgen, en onder overigens dezelfde om-standigheden als de massieve drijfas. Hierbij bleek, dat thans geen kritische buigingstrilling meer optrad.

Torsietrillingen zijn niet, zooals gedacht schijnt te worden, beperkt tot de krukas alleen, maar kunnen optreden in het stelsel: krukas, vliegwiel, drijfassen, achterwielen, banden, grond. Welke ook de torsietrillingen zijn, wanneer men een stelsel van twee massa's, door een slappe as verbonden, be-schouwt, dan kunnen deze trillingen toch niet op het onder-stel overgebracht worden. Men denke zich b.v. een stoom-turbine, welke door een slappe as een dynamo rechtstreeks aandrijft, terwijl de eenige samenhang tusschen de as met de beide rotoren eenerzijds, en het fundament anderzijds, door de kussenblokken waarin de as rust, geboden wordt, terwijl beide rotoren elk voor zich, alsook de verbindingsas ver-ondersteld worden zich in dynamisch evenwicht te bevinden. Wanneer nu door eenigerlei oorzaak kritische torsietrilling ontstaan is van beide rotoren ten opzichte van elkaar, dan bestaat er geen mogelijkheid, dat dit verschijnsel zich op het onderstel uit. Het verschijnsel kan hoorbaar zijn, het kan tot

plaatselijke verhitting, tot vervorming, tot breuk leiden, doch het is voor een waarnemer niet aan het fundament voelbaar. 10 Anders is het evenwel, wanneer in de overbrenging tusschen

twee of meer wentelende lichamen, tandraderen, riemen, of dergelijke organen zijn aangebracht. In dat geval zullen de kussenblokreacties de torsietrilling op het fundament over-leiden.

11 Dit geval nu doet zich bij automobielen voor, omdat daarbij torsietrilling van het stelsel: krukas, vliegwiel, drijfassen, achterwielen, banden, grond, zich door de kussenblokken, welke de tandwielen in de achteras ondersteunen, op het onderstel kan voortplanten door tusschenkomst van de or-ganen, welke de verbinding vormen tusschen de achteras en het onderstel.

12 Indien zich in het bedoelde geval kritische torsietrillingen zouden hebben voorgedaan, dan moesten deze zich, na de onder II-8 besproken vervanging van de massieve drijfas door een buisvormige, bij hoogcr tocrental hebben voorgedaan, immers de buisvormige as was aanmerkelijk stijver tegen torsie dan de massieve as. Een dergelijk verschil was echter niet waarneembaar, op welken grond dan ook kon worden geconcludeerd, dat de bedoelde torsietrillingen, zoo deze zich al als kritisch verschijnsel voordeden, voor het doel van het onderzoek konden worden verwaarloosd.

13 Pulsaties in inlaat en uitlaat.

De pulseerende inlaat- en uitlaatwerking van den motor kan, door voort])lanting der golven door de omringende lucht, trilling van deelen van het onderstel, b.v. groote oppervlakken van staalplaat of glas, veroorzaken. Deze trillingsoorzaak werd verzwakt door de uitlaatleiding tot achter het raam te verlengen en door de inlaatleiding een, als expansiekamer werkende, groote lengte te geven, eveneens tot achter aan het raam. Medetrillen van groote metalen vlakken werd be-moeilijkt door deze met dik vilt te bekleeden.

14 De afremming van vliegtuigmotoren op een balans heeft voorts de aandacht gevestigd op den invloed van de gas-uitlaatpoorten, waardoor de afgewerkte gassen met een be-trekkelijk lioogen druk uit den cylinder ontwijken en een reactie uitoefenen op den motor, welke evenzeer trillingen

zal verwekken. Daar echter de instrooming van lucht en de uitstrooming der afgewerkte gassen reeds om andere redenen, als onder (11-13) genoemd, gelijkmatig diende te zijn, kan de invloed van deze periodiek veranderlijke drukkingen in in-laat en uitin-laat, verwaarloosd worden.

Veranderlijke reacties van het draaimoment.

Onder „draaimoment" worde in deze studie verstaan het moment der gasdrukkingen tusschen stator en rotor, in zijn werking op den rotor. Onder „reactie van het draaimoment" dient dan eenige reactie te worden verstaan, welke door het draaimoment ergens wordt opgewekt. De reactie, waartoe het draaimoment het allereerst aanleiding geeft, is die op den stator. Deze reactie in het bijzonder moge verder gemaks-halve met de letters VRD (veranderlijke reactie van het draai-moment) aangeduid worden.

Op zijn weg naar de drijfwielen verwekt het draaimoment nog meerdere reacties, en wel ten eerste die, als gevolg van de tandwieloverbrenging in de achteras, en ten tweede de reactie van den grond op de drijfwielen.

De VRD als oorzaak van trilling is door enkele schrijvers als zoodanig genoemd. Zoo schrijft Rudolf Bestehorn in het Z.d.V.D.I. van 10 Januari 1920, op bladzijde 42:

„Die Ursachen, welche die ruhige Lage von Maschinen mit Kurbelgetriebe im Betriebe dauernd storen, sind:

1. die Schwerpunktswanderung der Massen des Kurbelge-triebes mit Kolben (statische Wirkungen),

2. die Massendrücke sammtlicher Getriebeteile (dynamische Wirkungen),

5. die Schwankungen des Drehmomentes der Maschine." En verderop:

„zu 5: Das der Maschinenart eigene Drehkraftdiagramm kann nur durch Vermehrung der Zylinder, bzw. Triebwerke unter Versetzung der Perioden gleichmassiger aestaltet werden;

wieweit eine solche verteuernde Massnahme gerechtfertigt ist, muss von P'all zu Fall, insbesondere mit Rücksicht auf Punkt 1 und 2 entschieden werden. Das Drehmoment erzeugt Winkelbeschleunigungen der gesamten Massen; wegen des gewühnlich grossen Tragheitsmomentes dieser Massen, be-zogen auf die Kurbelachse, hat diese Ursache in der Regel aber ebenfalls geringere Bedeutung."

Afgezien van de onjuiste aanname, dat het traagheidsmoment bepaald moet worden ten opzichte van de krukas, mogen de conclusies van den schrijver bij den toenmaligen stand der techniek aannemelijk geweest zijn, vooral ook daarom, dat kennelijk in de eerste plaats groote, stationnaire machines be-schouwd worden. Het belang van die machines, waarbij het onderstel bewegelijk en betrekkelijk licht is, vereischt echter dat de tweede conclusie van den schrijver weersproken worde. Wat de eerste conclusie betreft, zal het onderstaande doen uitkomen, dat er zeer eenvoudige middelen bestaan om de VRD op het onderstel zeer veel minder ongelijkmatig te maken, of zelfs geheel daarvan weg te nemen.

Een studie van de hand van Dr. Ing. Fritz Huber (Verlag Oldenbourg, 1920) onder den naam: „Erschütterungen schwerer Fahrzeugmotoren", behandelt, afzonderlijk en ge-combineerd, de beweging van den motor in het raam onder invloed van massakrachten en VRD. Bij deze studie wordt ten onrechte en onuitgesproken aangenomen, dat de motor een hoofdtraagheidsas heeft, welke evenwijdig met de krukas loopt. Het belang van deze fout zal uit het onderstaande blijken. De studie van Dr. Ing. Huber roert overigens de moge-lijkheid om de VRD minder ongelijkmatig op het onderstel over te brengen of daarvan verwijderd te houden, niet aan. Verder is er nog een artikel van Dr. Ing. H. Schrön, publiceerd in „der Motorwagen" van 20 Sept. 1925 e.v., ge-titeld: „Gleitbahndruck, Zündfolge und Pendelung ein- und mehrreihiger Viertakt Verbrennungsmotoren". Onder ver-wijzing naar het artikel zelf, moge hier slechts de conclusie, waartoe Dr. Ing. Schrön komt, weergegeven en gekritizeerd worden. Deze conclusie luidt:

„Die Seitendrücke der Kolben mehrzylindriger Ausführungen bedingen eine Drehung des Motors um die lotrechte Schwer-punktachse. Da es nicht von vornherein feststeht, ob diese

Hoofdstuk n

Erscheinung durch Aenderung der Zündfolge gemildert wer-den kann, ist eine diesbezügliche Untersuchung notwendig." Dr. Ing. Schrön schijnt zich niet bewust te zijn geweest, dat de gasdruk in een zuigermachine behalve den „Gleitbahn-druck" nog een gelijke, doch tegengesteld gerichte reactie verwekt tusschen krukas en stator, tengevolge waarvan de gasdruk geen vrije kracht, doch een vrij moment op den stator uitoefent, de hierboven genoemde VRD. Het is voor de be-weging van den stator van geen beteekenis, of dit moment in de richting van zijn as verplaatst wordt, m.a.w. welke de „Zündfolge" is. Door deze vergissing verliest het bedoelde artikel echter elke beteekenis.

Voorts publiceerde Prof. Dr. Ing. O. Föppl een artikel: „Lagerung des Antriebsmotors in Gummi" in het Automobil-technische Zeitschrift van 10 Augustus 1934. Ook deze schrij-ver neemt ten onrechte aan, dat een hoofdtraagheidsas van den motor evenwijdig aan de krukas loopt, ja, dat de motor zelfs om de krukas zelve zal willen schommelen. Deze publi-catie heeft dan ook niet de beteekenis, die men er op grond van den naam van den schrijver aan zou meenen te mogen toekennen.

De reacties, voortspruitend uit de kussenblokdrukkingen bij de tandwieloverbrenging in het huis der aangedreven as, en welke reacties evenzeer trilling van het onderstel kunnen verwekken, zijn in geen publicatie uit dit oogpunt bezien, ter-wijl de verschillende wijzen, waarop bij automobielen het noodzakelijk verband tusschen aangedreven as en onderstel is uitgevoerd, er op schijnen te wijzen, dat deze reacties niet als trillingsoorzaken onderkend zijn.

Nadat bij den viercylinder Dodge motor de trillingsoorzaken, genoemd onder (II-2, II-6) en (11-13) hetzij weggenomen, hetzij onderkend, hetzij belangrijk verzwakt waren, of gebleken was dat zij voor het onderzoek van geen belang waren, bleven alleen de trillingen, voortkomend uit de oorzaak, genoemd onder (11-15), over. Het bleek, dat deze trillingsoorzaak niet alleen geenszins te verwaarloozen was, doch zelfs als de specifieke trillingsoorzaak voor den onderzochten motor te beschouwen was. De tot toen vrij algemeen heerschende meening, dat hoofdzakelijk de vrije massakrachten van den viercylinder motor verantwoordelijk waren voor de veel

krachtiger trillingen van dit motortype vergeleken bij b.v. den zescylinder motor, bleek onjuist.

25 Het heeft geen zin een vergelijking te maken tusschen de grootten der momenten, welke de verschillende trillingsoor-zaken vormen, ten eerste omdat een zoodanige vergelijking slechts zou gelden voor één bepaald motor toerental, terwijl het onderwerp dezer studie in het bijzonder van belang is voor voertuigmotoren, welke dus groote veranderingen van snelheid moeten kunnen verdragen, ten tweede omdat deze vergelijking afhankelijk zou zijn van zeer veel constructieve details en daardoor geen algemeene geldigheid zou hebben, ten derde omdat, naast de grootte der momenten, welke de verschillende trillingsoorzaken vormen, het feit van het be-staan dier momenten van beteekenis is met het oog op het verwekken van kritische trillingen.

Bewegelijke ophanging van den motor in het onderstel.

1 De onder (1-3) bedoelde middelen ter vermindering of tot het wegnemen van den invloed der VRD op het onderstel be-staan daarin, dat de motor bewegelijk wordt opgehangen en voorzien van veerende ondersteuning tegen zijn verdraaiing. Daardoor wordt bereikt dat de VRD zich hoofdzakelijk uit in een schommelende beweging van den motor, terwijl de veerende ondersteuning nog slechts een zeer gering deel van de VRD ondervindt. Het komt er daarbij op aan, dat ten gevolge van de schommelingen van den motor geen veranderlijke reacties in de ophangingspunten opgewekt worden, dat het moment der gasdrukkingen geen reacties in deze ophangingspunten hebbe en dat ten gevolge van de veerende ondersteuning geen kritische trillingen ontstaan. 2 Het is uit de theoretische mechanica welbekend, dat de

schommelingen van den motor slechts dan geen reacties in de ophangingspunten vermogen op te wekken, wanneer deze ophangingspunten een as bepalen, welke voor den motor een natuurlijke as is. Ook is het bekend, dat het moment der gas-drukkingen slechts dan geen reacties in de ophangingspunten zal veroorzaken, wanneer de door deze ophangingspunten be-paalde as loodrecht staat op het vlak van dat moment. Hieruit volgt onmiddellijk, dat de ophangingspunten geen reactie zul-len ondervinden, noch van de schommelingen van den motor, noch van het moment der gasdrukkingen, wanneer deze op-hangingspunten een schommelas bepalen, welke voor den motor een natuurlijke as vormt en tevens evenwijdig loopt aan de hartlijn der krukas.

3 Het nader (onder XX) te kritizeeren feit echter, dat alle uit-gevoerde constructies een schommelas hebben, welke niet aan dezen dubbelen eisch voldoet, maakt het noodzakelijk de

v r a a g te o n d e r z o e k e n , of wellicht nog een a n d e r e s c h o m m e l a s mogelijk is.

4 I m m e r s , is de s c h o m m e l a s geen n a t u u r l i j k e as, d a n zullen de s c h o m m e l i n g e n v a n den m o t o r reacties in de s t e u n p u n t e n ver-w e k k e n . Is de s c h o m m e l a s b o v e n d i e n niet evenver-wijdig a a n de hartlijn der k r u k a s , d a n zal h e t m o m e n t d e r g a s d r u k -k i n g e n eveneens reacties in de s t e u n p u n t e n v e r o o r z a -k e n . Het is geenszins a p r i o r i onmogelijk, d a t b e i d e reacties een r e s u l -t a n -t e n u l h e b b e n , en er d u s m e e r d a n é é n s c h o m m e l a s zou b e s t a a n , welke geen reacties op het o n d e r s t e l zou overleiden. 5 O m op o n d u b b e l z i n n i g e wijze de as(sen) te v i n d e n , w a a r o m de vrij g e d a c h t e m o t o r z o n d e r oplegreacties (behalve d a n die, w e l k e h e t gevolg zijn van het gewicht v a n d e n m o t o r ) o n d e r invloed v a n het, als u i t w e n d i g m o m e n t te b e s c h o u w e n m o m e n t der g a s d r u k k i n g e n zal bewegen, w o r d e , op de b e -k e n d e wijze, een r e c h t h o e -k i g c o ö r d i n a t e n s t e l s e l a a n g e n o m e n , w a a r v a n de X-as een gezochte as m o g e wezen. Vervolgens w o r d t d e m o t o r vrij g e m a a k t d o o r in twee p u n t e n v a n de X-as, w a a r v a n het eene in d e n o o r s p r o n g moge liggen, opleg-r e a c t i e s a a n te b opleg-r e n g e n . W a n n e e opleg-r h e t p u n t in d e n o o opleg-r s p opleg-r o n g

tot oplegreacties heeft de k r a c h t e n U, V en W , zijnde de ont-b o n d e n e n v a n d e w e r k e l i j k e r e a c t i e volgens d e X, Y en Z-assen, en h e t t w e e d e p u n t de o n t b o n d e n e n U^, V^ en W ^ ; w a n n e e r v o o r t s h e t u i t w e n d i g m o m e n t o n t b o n d e n e n heeft L, M en N, terwijl de a f s t a n d langs de X-as tusschen de opleg-p u n t e n l g e n o e m d w o r d t , d e m a s s a v a n d e n m o t o r A en zijn t r a a g h e i d s m o m e n t o m de X-as I; zijn de c o ö r d i n a t e n v a n h e t z w a a r t e p u n t XQ, yo en ZQ; is de h o c k s n e l h e i d v a n den m o t o r , bij w e n t e l i n g o m de X-as 0 ' en de h o e k v e r s n e l l i n g ©", d a n volgt n a eenig o m r e k e n e n uit de bewegingsvergelijkingen v a n d ' A l e m b e r t op b e k e n d e wijze: 6 U + Ui = : O 7 V + Vi = ^ A (Zo (-)" + yo 0 ' ' ) 8 W + Wi = A (y,e" - Zo © ' ' ) 9 L = I 0 " 10 -^ Wi 1 + M = — 0 ' 2^ m x y + 0 ' ^ m X z 11 Vi 1 + N = — 0 " 2" m X z — 0 ' ' 2- m X y

verschil-lende waarde, heeft het lichaam een eindig en van nul ver-schillend traagheidsmoment (I), dan zal 0', de hoeksnelheid van het lichaam, verschillende waarden doorloopen voor be-paalde waarden van het moment (L, M, N) en van 0".

13 De eisch, dat de oplegreacties nul moeten worden, beteekent dat:

U = V = W = U, = V , = W , = 0 14 Vult men in W i ^ Vi i^ O in 10 en 11, dan komt er:

M = — 0 ' 2 ' m x y - l - 0 ' ' 2 ' m x z N = — © ' ^ - m x z — 0 ' ^ 2 m x y

15 Deze vergelijkingen zijn slechts dan met 12 te rijmen, wan-neer de factoren van0'^gelijk zijn aan nul, dus:

2" m x z = O 2 m X y = : O

16 Deze waarden beteekenen, dat de X-as een hoofdtraagheidsas voor den motor moet zijn.

17 De waarden uit 15 ingevuld in 14 geven tot resultaat: M - O

N = O

18 Deze waarden beteekenen, dat de X-as loodrecht moet staan op het vlak van het moment der gasdrukkingen.

19 Wordt thans volgens 13 ingevuld V = W = V^ = W i = O in 7 en 8, dan komt er:

O = - A (zo 0" + yo &') O = A (yo 0" - Zo e'') 20 en, daar A niet nul is, volgt hieruit:

Z o 0 " + Yo 0 ' ' = O y o 0 ' - Zo &'' = O 21 waaruit door eliminatie van ZQ'.

r"

23 De factor van yo in 21 en de factor van ZQ in 22 zijn beide positieve waarden, zoodat alleen aan 21 en 22 voldaan kan worden door:

yo = O

en

Zo = O

24 Deze waarden beteekenen, dat de X-as door het zwaartepunt van den motor moet gaan.

25 (Blijkens de formules 6 tot en met 11 staan U en Ui niet in eenig verband tot de andere grootheden. De eisch 13 kan dus, wat U en U] betreft, niet worden vervuld door eenige waarde dier andere grootheden. Zoolang trouwens U + U^ ^ O, wat volgens 6 steeds het geval is, is hun resultante nul, en dus hun invloed op het onderstel eveneens nul. U en Uj zijn krachten, welke b.v. door montagespanningen kunnen worden verwekt. Ze zijn voor de verdere beschouwingen van geen beteekenis.) 26 Uit het bovenstaande blijkt, dat er slechts één ophangingsas

aan den eisch voldoet dat de oplegreacties nul worden, en dat deze ophangingsas een natuurlijke as voor den motor moet zijn en evenwijdig moet loopen aan de hartlijn der krukas. (Een andere afleiding hiervoor vindt men in: Appell, „Traite de Mécanique Rationelle, Paris 1896, deel II, blzz. 129 tot 134). 27 Daar de schommelas, in verband met de verdeeling der

massa's bij normale motoren, in het algemeen de grootste as van de centrale traagheidsellipsoide zal zijn, is de beweging van den motor om deze as dus stabiel. Indien ze al niet een stabiele as ware, dan zou dit nochtans geen bezwaar op-leveren, daar de schommelas in kussenblokken rust en de motor dus toch slechts om deze as schommelingen kan uit-voeren.

28 In het algemeen zal een motor geen natuurlijke as hebben, welke tevens evenwijdig is aan de krukas. Dit is echter nood-zakelijk, en men dient dan ook bij het ontwerp, door gunstige verdeeling der massa's, eventueel door het aanbrengen van hulpmassa's, er steeds voor te zorgen, dat een natuurlijke as van den inotor evenwijdig zij aan de rotoras. Stermotoren, als veelal in vliegtuigen gebruikt, zullen wel de geringste ver-anderingen behoeven om aan dezen eisch te voldoen, en wel omdat bij dit motortype de massa's vrij gelijkmatig om de

Hoofdstuk m

rotoras verdeeld zijn en de rotoras daardoor reeds nagenoeg een natuurlijke as zal vormen.

Een eenvoudige wijze van onderzoek, of voor een bepaalden motor een, bij wijze van proef gekozen, door het zwaartepunt gaande en evenwijdig aan de rotoras loopende as een natuur-lijke as is, vormt het onderzoek naar het dynamisch even-wicht van den motor om de gekozen as. Toestellen voor der-gelijk onderzoek zijn in den handel (Men verder-gelijke b.v. het artikel van D. Hofmann in „der Motorwagen", 1929, Heft 10, blzz. 212 e.v.; van Nórman Fletcher: „Balancing Equipment" in „The Automobile Engineer", 1931, blzz. 179 e.v.; de litte-ratuuropgaven in Dr. W. Hort: „Technische Schwingungs-lehre", 1922, biz. 794).

Wanneer dus de motor om bovenbedoelde as in het onder-stel opgehangen wordt, dan kan de VRD door de op-hangingspunten geen invloed hebben op het onderstel. Doch, evenzeer als de rotor onder invloed van het draaimoment, zal nu de stator onder invloed van de reactie van het draai-moment gaan wentelen. Dit moet, zooals vanzelf spreekt, tegengegaan worden en de organen, welke hiertoe dienen, zullen als een gedeelte der motorondersteuning beschouwd moeten worden. De kussenblokken, welke de ophangingsas bepalen, en tevens het gewicht van den motor dragen, mogen „gewicht-steun" genoemd worden, terwijl de organen, welke beletten dat de stator onder invloed van de reactie van het draaimoment vrij kan wentelen, „moment-steun" genoemd mogen worden.

Er doen zich nu verschillende mogelijkheden voor de con-structie van den moment-steun voor. Het eenvoudigste geval is voorgesteld in figuur 2. Dit is tevens de eenig mogelijke wijze van constructie bij vaartuigen, vliegtuigen en lucht-schepen, in het algemeen voor dié gevallen, waar geen prak-tisch volkomen vast fundament ter beschikking staat, zooals bij automobielen, tram- en treinrij tuigen door de onmiddel-lijke aanwezigheid van weg of rail, wel het geval is. Volkomen

eliminatie der trillingen door de VRD is in het geval van figuur 2 weliswaar onmogelijk, doch door voldoende slapheid van den moment-steun kan iedere gewenschte vermindering verkregen worden, zooals uit de analyse van dit geval blijken zal onder (X). Het kenmerk van dezen uitvoeringsvorm van

den moment-steun is, dat hij is aangebracht tusschen den stator en het bewegelijk onderstel.

Volkomen eliminatie der trillingen van het onderstel, ten gevolge van de VRD, is daarentegen mogelijk wanneer, be-halve het bewegelijk onderstel, nog een praktisch volkomen vast fundament ter beschikking staat, waarop de VRD kan worden overgeleid geheel buiten het onderstel om. Dit is, zooals blijken zal onder (XII), het geval bij toepassing der constructie op automobielen, tram- en treinrijtuigen.

In dit geval wordt gebruik gemaakt van een draagas, welke, onder invloed der VRD, als volkomen vast met weg of rail verbonden mag worden beschouwd. De VRD kan in dat geval onmiddellijk op deze as overgeleid worden, geheel buiten het onderstel om. Voor zoover echter rubber banden gebruikt worden, onverschillig of deze tusschen de baan en de wielen, dan wel in de wielen zijn aangebracht, moet aangenomen worden, dat de draagas onder invloed der VRD wel degelijk in trilling zal komen en deze trilling op het onderstel zal worden overgebracht, door tusschenkomst van de wagen-veeren of de andere organen, door middel waarvan de draagas met het onderstel verbonden is. Nochthans is ook hier eliminatie der trillingen van het onderstel ten gevolge der VRD, zooals blijken zal bij de analyse van dit geval onder (XII), mogelijk. In deze omstandigheden dient de moment-steun dan aangebracht te worden tusschen den stator en een

aangedreven draagas, terwijl de constructie dan nog aan

be-paalde voorwaarden zal blijken te moeten voldoen.

Met inbegrip van de tot voor korten tijd gebruikelijke vaste verbinding tusschen motor en onderstel, doen zich thans de volgende mogelijkheden van opneming van den motor in het onderstel voor:

a. de motor is vast met het raam verbonden.

b. de motor is draaibaar in het raam opgenomen en door den

veerenden moment-steun met het raam verbonden.

c. de motor is draaibaar in het raam opgenomen en door den veerenden moment-steun met een niet aangedreven draagas verbonden.

d. de motor is draaibaar in het raam opgenomen en door den

veerenden moment-steun met een wel aangedreven draagas verbonden.

Hoofdstuk m

Het analytisch onderzoek der gevallen, hierboven onder a,

b en c opgenoemd, kan met voordeel geschieden met behulp

van een nieuwe wijze van behandeling der torsietrillingen, terwijl het geval onder d genoemd, zeer eenvoudig aan de hand van de bekende frillingsleer onderzocht kan worden. Deze nieuwe wijze van behandeling der torsietrillingen moge in algemeenen vorm aan het onderzoek der bepaalde ge-vallen a, b en c voorafgaan.

Torsietrillingen.

De materie waarmee het analytisch onderzoek van torsie-trillingen zich bezig houdt, mag wel zoo goed bekend ver-ondersteld worden, dat hier met een korte omschrijving daar-van volstaan kan worden.

De trillende lichamen worden gereduceerd gedacht tot een aantal massaschijven met bepaald traagheidsmoment ten op-zichte van de as, waaromheen ze trillen. Deze lichamen zijn opeenvolgend verbonden door massa-looze assen, welke ver-wringen kunnen en welker wringingsstijfheid bekend is. Het moment, waarmee deze assen zich tegen verwringing verzot-ten, wordt geacht evenredig te zijn met den hoek van wringing

en omgekeerd evenredig met de lengte dier assen. Wrijving wordt afwezig geacht, doch demping kan aanwezig zijn. Het moment, door de demping opgewekt, wordt evenredig gesteld aan de hoeksnelheid, welke bestaat tusschen de lichamen, waartusschen de demping optreedt. Deze demping kan extern zijn, waaronder demping te verstaan valt, welke bestaat tus-schen een trillend lichaam en een vast lichaam, of ze kan

intern zijn, waaronder demping tusschen twee trillende

lichamen verstaan worde. De zoodanig verbonden massa-schijven mogen, tezamen met de verbindende assen, een keten genoemd worden. Is deze keten ergens met een vast lichaam verbonden, dan worde ze verankerd genoemd. In het andere geval moge ze zwevend genoemd worden.

In figuur 3 is zulk een keten voorgesteld, welke zoowel bij 1 als bij 1' verankerd is. De massaschijven zijn genummerd, terwijl de verbindingsassen torsiestijfheden hebben (onder torsiestijfheid te verstaan het wringend moment per eenheid van verwringingshoek), welke voorgesteld zijn door Cj, Ca, c'i, c'o, etc.

4 Verondersteld wordt, dat op de massaschijven geen ander uitwendig moment werkt dan dat, door de verwringing der verbindingsassen opgewekt. Voorts wordt verondersteld, dat de massaschijven zich in harmonische trilling bevinden. 5 Uit de trillingsleer is dan bekend, dat de frequentie der

tril-ling voor alle massaschijven gelijk zal zijn.

6 Blijkens de definitie van verankerde keten, is de uitslag van 1 en van 1' gelijk aan nul. Met het oog op het onder 5 op-gemerkte, kan de uitslag der verschillende massaschijven nu als volgt genoemd worden:

die van 2 : aj sinmt die van 2' : ag sin cot die van 3 : ag sincot etc.

De beteekenis van a^, as, a'2 etc. is dus die van een amplitude. 7 Het traagheidsmoment van massaschijf 2 om haar trillingsas

bedrage I2, dat van massaschijf 2': r 2 , etc.

8 Het evenwicht van massaschijf 2 wordt uitgedrukt door: C2 (^3 — 82) sincot — Cl a2 sincot + a^ '2 '^^ sincot = O 9 Hieruit volgt:

oogenblikk. uitslag van 3 _ a 3 sincwt _ a 3 _ amplitude van 3 _ oogenblikk. uitslag van 2 a2 sincot a^ amplitude van 2~

Cl -|- C2 — I2 « ^ c^

10 Deze waarde, zijnde de verhouding van de amplitude van een massaschijf tot de amplitude van de volgende massa-schijf, worde genoemd: de reductiefactor van de eerste tot de tweede schijf, dus in dit geval de reductiefactor van 3 tot 2, geschreven: R3,2

11 Evenzoo vindt men uit de evenwichtsvergelijking voor massaschijf 3:

C 2 ( l — - p ) + C 3 — I3 « 2

12 Wanneer de getalwaarde van R3,2 groot is ten opzichte van 1, dan kan de benaderde waarde van R4,3 en welke ge-noemd mag worden R''4,3, geschreven worden:

b ^2 + C3 — '3 f"^ »<4,3 - C3

13 Deze vorm is overeenkomstig die, welke onder 9 gevonden werd voor R3,2, waaruit volgt, dat men R''4,3 bepalen kan als R4,3 wanneer men slechts aanneemt, dat massaschijf 2 vast is. 14 De exacte, algemeene waarde van den reductiefactor van

massaschijf n tot massaschijf n—1 is dus:

^ n - 2 ( ^ - R - —— r ) + ' ^ n - l - ' n - 1 ^ " / I ^ n 1 ' n 1 ^ " 2

-(n-1) , ( n - 2 )

•n, (n—1)- c. _{n —1}

15 De benaderde, algemeene waarde van den reductiefactor van massaschijf n tot massaschijf n—1 is dus:

b '^n —2 + ^ n - - l ~ ^ n —1 '" '

R1

16 (Het is geenszins noodig, dat massaschijf n in het midden der keten ligt. Vorenstaande redeneering gaat op, waar men massaschijf n ook kieze).

17 Wanneer de keten slechts aan een kant, of aan geen van beide kanten verankerd is, stelt men: Ci of c'^, dan wel:

Cj e n c', = O

18 Thans worde verondersteld, dat op eenige massaschijf een harmonisch moment werkt, nml. M sinwt op massaschijf n. Met deze waarde van u> (welke verondersteld wordt een andere te zijn dan bedoeld onder 6 tot en met 15) kunnen nu de reductiefactoren:

^3,2 . ^4,3 ' etc, tot en met R^^ ^^_^ en

R ' „ , R ' „ , etc, tot en met R' ,, 3,2' 4,3' n, (n—1) uitgerekend worden.

19 Daar voor het bepalen der reductiefactoren de oorzaak der harmonische trilling van massaschijf 11 niet ter sprake kwam, immers het evenwicht van deze schijf niet behoefde te worden nagegaan, daar slechts de evenwlchtsvergelijkingen der massaschijven tot en met die van rangorde (n—1) resp. (n—1)' noodig waren, blijven de, als hierboven, uitgerekende waar-den der reductiefactoren onveranderd, welke ook de oorzaak

der harmonische trilling van massaschijf n zij. Thans eerst stellen we de evenwichtsvergelijking voor deze schijf o p : 20 M sin (« t + l aj^ co ^ sin w t — Cj^ i sin füt(a —aj^ j)

+ c „ _ i s i n r o t ( a ^ _ _ j ~ a „ ) = 0 21 waaruit: 23 M ^n=- 2

' = n - l ( l - R - 7 ~ ; ^ ^ + ' n - l ( ^ " R - - ^ ^ ^n«

als bedoeld onder 18, kunnen nu bij bepaalde waarde van het moment M sinwt de waarden der amplituden voor alle massaschijven uitgerekend worden. Uit de teekens der waar-den der reductiefactoren volgt, of twee opeenvolgende massa-schijven in phase, of tegen elkaar (dat is met een pliase-verschil TT) trillen, zoodat alle knooppunten, en daarmee dus de trillingsvorm, volledig bekend zijn.

Wanneer de getalwaarden van R / |\ en van R / |\ groot zijn ten opzichte van 1, dan kan blijkens de onder 21 gevonden uitdrukking de benaderde uitslag van massa-schijf n, als volgt uitgedrukt worden:

b M

a. — _{n . 2}

C n _ i + C n _ l - I n ^ ' ^

zoodat deze benaderde waarde bepaald kan worden alsof schijf (n—1) en schijf (n—1)' vast waren.

24 De exacte waarden der uitslagen der massaschijven worden dus:

a^= bovenstaande waarde (onder 21)

1 ^n—1—^n'^ R n , ( n - 1 ) 1 ^ n - 2 = ^ n ^ R n , ( n - 1 ) R ( n - l ) , ( n - 2 ) ,^ enz.

25 De benaderde waarden der uitslagen der massaschijven worden dus:

a = bovenstaande waarde (onder 23)

26 27 28 b l = ^ n ^ 1 R enz. 'n, (n—1)

Aan de hand van figuur 4 moge bovenstaande exacte behan-deling aan een voorbeeld toegelicht worden.

Het uitwendig moment grijpe aan op schijf 5 en zij 10 sin 2 TT t (in meters, kilogrammen en seconden). De waarden der traag-heidsmomenten zijn: = 2 kg sec ^ m = 3 = 4 = 5 = 6 . = 7 „ Voor de torsiestijfheden zij aangenomen:

Cl = 11 kgm / radiaal C2 = 12 C3 = 13 C4 = 14 C 4 = 15 C 3 = 16

Allereerst worden nu de reductiefactoren bepaald. Men vindt hiervoor, afgerond tot op 1 decimaal:

er is dus een knooppunt tusschen: 4 en 3 5 en 4 4' en 3' 5' en 4' •^3,2 = ^4,3 = ^5,4 = •^4,3 = 8,6 - 7,4 - 9,4 —16,5 R _5,4 - 1 3 , 9

30 31 32 arden: an 5 : „ 4 : „ 3 : „ 2 : „ 4 ' : „ 3 ' : 29 De uitslagen worden — 0,06 radiaal + 0,0064

— 0,000865

— 0,0001

+

0,0043

— 0,00026

Uit de negatieve waarde voor den uitslag van 5 blijkt, dat 5 een phaseverschil van TT radialen heeft ten opzichte van het uitwendig moment.

Aan de hand van dezelfde figuur 4, en voor dezelfde aan-genomen waarden, als opgenoemd onder 27, mogen nu de benaderde reductiefactoren, en daaruit de benaderde uit-slagen bepaald worden.

Voor de benaderde reductiefactoren vindt men:

Rb _ R _4,3 5,4 R b _ 5,4 ^3,2 - 7,3 - 9,5 •^4,3 - 13,9 = 8,6 =: — 16,5

33 De benaderde uitslagen vindt men hieruit met de waterden: — 0,058 radiaal + 0,0062 — 0,000843 „

— 0,000098 „

+ 0,0042

— 0,000255 „

34 Vergelijking der uitkomsten onder 29 en 33 leert — zooals niet anders te verwachten was — dat de benaderde uit-komsten betrekkelijk weinig van de exacte uituit-komsten af-wijken.

35 De hierboven bepaalde waarden stellen de amplituden der verschillende massaschijven voor. Hare oogenblikkelijke

uit-van » » » » tj 5 : 4 : 3 : 2 : 4 ' : 3 ' :

slagen vindt m e n d a a r u i t d o o r v e r m e n i g v u l d i g i n g m e t

s i n Cl t.

36 . W a n n e e r het u i t w e n d i g m o m e n t w e l periodisch, doch niet h a r m o n i s c h is, d a n w o r d t het eerst d o o r h a r m o n i s c h e a n a l y s e in zijn h a r m o n i s c h e c o m p o n e n t e n o n t b o n d e n , op elk w a a r v a n b o v e n s t a a n d e m e l h o d e w o r d t toegepast, gevolgd door s u p e r -positie d e r p a r t i c e l e uitslagen.

37 W a n n e e r i n p l a a t s v a n èèn, m e e r d e r e p e r i o d i s c h e m o m e n t e n op een of op m e e r d e r e schijven w e r k e n , d a n w o r d t b o v e n -s t a a n d e m e t h o d e toegepa-st op elk m o m e n t afzonderlijk, ge-volgd door s u p e r p o s i t i e .

38 D e h i e r b o v e n uiteengezette behandelingswijze v a n torsietrillingen, is blijkens (IV2) v a n toepassing op een keten, b e -s t a a n d e uit opeenvolgend v e r b o n d e n ma-s-sa-schijven. V a a k echter is een massaschijf niet alleen v e r b o n d e n m e t één voora f g voora voora n d e en m e t één opvolgende schijf, m voora voora r m e t nog m e e r -d e r e schijven. D e behan-delingswijze blijft -d a n echter in be-ginsel dezelfde, onverschillig h o e v a a k , en in hoeveel p u n t e n , de k e t e n zich v e r t a k t .

39 E e n dergelijke k e t e n m o g e gesplitste keten w o r d e n g e n o e m d , w a a r v a n figuur 5 een schematisch voorbeeld geeft. Schijf n, w a a r v a n de v e r t a k k i n g g e d a c h t w o r d t uit te g a a n , is zoo-d a n i g m e t zoo-de schijven n-j 1, (n—1)^ en (n—1)2 v e r b o n zoo-d e n , d a t de v e r b i n d e n d e assen bij trilling d e r schijven u i t s l u i t e n d v e r w r o n g e n , d o c h n i e t v e r b o g e n w o r d e n . (Constructief is een zoodanige v e r b i n d i n g gemakkelijk te verwezenlijken, b.v. door m i d d e l van t a n d w i e l e n , c a r d a n i s c h e k o p p e l i n g e n en dergelijke e l e m e n t e n ) . E l k e afgelakte k e t e n k a n w e e r wille-k e u r i g gesplitst zijn, z o o d a t figuur 5 u i t s l u i t e n d een splitsing m e t h a a r n a a s t e omgeving voorstelt. De t a k k e n k u n n e n al d a n niet v e r a n k e r d zijn.

40 D e w a a r d e n d e r r e d u c t i e f a c t o r e n Rj^ ( n + l ) '^n (n 1) ^n R / 1^ k u n n e n b e p a a l d w o r d e n volgens (IV-14) en de b e n a d e r d e w a a r d e n volgens (IV15). I m m e r s , tot het b e -p a l e n dier r e d u c t i e f a c t o r e n is de k e n n i s d e r evenwichtsver-gelijking v a n schijf n niet n o o d i g (IV-19).

41 Tot h e t b e p a l e n d e r r e d u c t i e f a c t o r e n R/n-i-n n'^^n 1^ n ^^ R / ^^x n '^ b e t echter noodig, de evenwichtsvergelijking v a n schijf 11 op te stellen. Deze l u i d t :

Hoofdstuk rv

^ ( ^ n + l - ^ n ) s'"'^* - ' ^ ( n - l ) j 3 n - ^ ( n - l ) J «inojt

- ' ^ ( n - l ) J ^ n - > - l ) J >< s'"«t + ^ n ^ n ^ ' sin«t = 0

'^(n-f l),n =

^ " '^n,(n —1), ^ '~ '^n,(n —1)2 _

43 Gaan van een schijf n meer dan drie takken uit, dan is de algemeene, exacte waarde van den reductiefactor:

'^(n + l),n =

^ ( n - l ) J ^ - R / , J + " ( n - l ) J ^ - R / , J + " * " + ' ^ n - I n « '

'^ '^n,(n—1), '^n,(n—1)2

—

44 De R-waarden, in den teller voorkomend, kunnen alle on-middellijk volgens (IV-14) bepaald worden.

45 Wanneer de getalwaarden der reductiefactoren in den teller groot zijn ten opzichte van 1, dan vindt men de algemeene, benaderde waarde:

^ b _ ' ( n - l ) , + ^ ( n - l ) 2 + '^(n-l)3+ ^^^ + ^^n-^n ^' (n+l),n ^^ 46 Daar de van een splitsing uitgaande takken der keten, voor

bovenstaande berekening alle een gelijk karakter hebben, kan men vergelijkingen (IV-43) en (IV-45) door verandering van indices bezigen tot het bepalen van den reductiefactor van eenige naastbijgelegen schijf tot de schijf, waar de split-sing van uitgaat.

47 De reductiefactoren leenen zich tot het bepalen der eigen frequenties eener keten, hetzij deze verankerd is of zwevend, gesplitst of niet gesplitst. Veelal ook veroorloven de reductie-factoren een gemakkelijke wijze tot het oplossen der hoogere graads vergelijkingen, waaruit de waarden voor Ü)2 bepaald kunnen worden.

48 Een keten toch, welke bij een eigen frequentie trilt, is in evenwicht. Werkt op een der schijven een periodisch moment

v a n gelijke frequentie, d a n w o r d t d a t evenwicht v e r b r o k e n , o m eerst bij o n e i n d i g groote a m p l i t u d e n h e r s t e l d te w o r d e n . In het a l g e m e e n b e h o u d e n daarbij de r e d u c t i e f a c t o r e n eindige w a a r d e n (een oneineindige w a a r d e voor een r e d u c t i e -factor, en d u s een w a a r d e n u l voor het o m g e k e e r d e v a n dien reductiefactor, t r e e d t op, w a n n e e r een schijf zich toevalliger-wijze in een k n o o p p u n t b e v i n d t . Z o o d a n i g e schijf k a n d a n echter, voor den b e s t a a n d e n trillingsvorm, verwijderd wor-den, z o n d e r de b e w e g i n g d e r k e t e n te b e ï n v l o e d e n ) .

49 Heeft d u s het m o m e n t M sin w t (IV-18) een f r e q u e n t i e gelijk a a n een eigen f r e q u e n t i e d e r k e t e n , d a n w o r d t de a m p l i t u d e a„ (IV-21) o n e i n d i g groot, dus, bij eindige w a a r d e v a n M, w o r d t :

'^n-iH-R-y—r) + ^ n - i O - - r - - ' ) - i „ « ^ ^ o

" ' ( " - ! ) ' ^ n , ( n - l ) 50 B e h a l v e over deze vergelijking, beschikt m e n over de w a a r

-d e n voor -de verschillen-de r e -d u c t i e f a c t o r e n , en w e l tot een a a n t a l , gelijk a a n het a a n t a l schijven m i n u s 1. Uit deze, en uit vergelijking (lV-49), v i n d t m e n d a n v o o r «2 evenveel w a a r d e n als er schijven in de k e t e n v o o r k o m e n . Is de k e t e n z w e v e n d , d a n is e c h t e r een d i e r w a a r d e n gelijk a a n n u l . 51 (Dat uit elke w a a r d e v a n «2 twee w a a r d e n v a n u> volgen,

be-teekent slechts een p h a s e v e r s c h i l ter grootte van n voor b e i d e d a a r d o o r g e k e n m e r k t e t r i l l i n g s t o e s t a n d e n ) .

52 Het o n d e r (IV-47) tot en m e t (IV-51) o p g e m e r k t e , moge a a n een e e n v o u d i g voorbeeld toegelicht w o r d e n . F i g u u r 6 stelt, schematisch, een z w e v e n d e , gesplitste k e t e n v o o r m e t vier schijven. Men d e n k e zich het m o m e n t M sin u> t a a n g r i j p e n d op b.v. schijf 1. Zij v o o r t s : Il = 1 kg sec^ m, l. = 20 I3 = 300 I. = 40 - 1 2 kgm/ radiaal, C3 = 20 Ca = 600

Volgens (IV-14): ^ 2 , 3

-S - l 3 ' « '

"R ) + S(^ R -) + c , - I .

56 Uit deze vergelijkingen (IV-53, 54 en 55) vindt men voor 0)2 de volgende wortels: c o ^ = 0 o (0^= 0,546 co 2 = 2,000 co 3 =33,054

57 Voor de verschillende reductiefactoren, bij deze waarden van 0)2 behoorende, vindt men:

Reductiefactor: •^2,3 — ^ 2 , 4 = R l , 2 = 2 co = 0 1 1 1 0,546 0,727 — 0,092 2,2 2,000 0 — 3 00 33,054 — 15,527 — 65,108 — 0,0589

58 Voor 0)2 = 2, doet zich het o n d e r (IV-48) b e d o e l d e geval voor, d a t een d e r schijven, in dit geval schijf 2, zich in een k n o o p -p u n t b e v i n d t . Schijven 1 en 3 trillen tegen e l k a a r en schijven 2 en 4 b e v i n d e n zich in rust.

59 Veelal doet zich h e t geval voor, dat een of m e e r d e r e r e d u c t i e -factoren w a a r d e n h e b b e n , w e l k e groot zijn ten opzichte v a n 1, a n d e r e d a a r e n t e g e n , w e l k e klein zijn ten opzichte v a n 1. V a n deze o m s t a n d i g h e i d k a n m e n partij t r e k k e n , door, bij wijze v a n proef, in vergelijking (IV-53) R2,3 en R2,4 gelijk te stellen a a n n u l , en in vergelijking (IV-54) Ri^2 gelijk te stellen aan nul, en de quotiënten ^ — en ^ — eveneens n u l te stellen.

1^2,4 1^2,3

Voorts stelt m e n in vergelijking (IV-55) het q u o t i ë n t ^ — •^1,2 gelijk a a n n u l . Op deze wijze zou m e n bij wijze v a n proef de volgende w o r t e l s v i n d e n :

, ^ 2 " = 0,500

coj ^ 2,000 « 2 =31,100

( o m d a t i n d e r d a a d voor Ü)2 = 2 de w a a r d e v a n R2,3 gelijk is a a n nul en de w a a r d e v a n R],2 gelijk aan 00, v i n d t m e n d e n

9 b

w o r t e l (0^ = 2 tot zijn exacte w a a r d e ) .

60 D e w a a r d e n , volgens (IV-59) bij wijze v a n proef b e p a a l d , d i e n e n steeds d o o r de exacte b e r e k e n i n g getoetst te w o r d e n . Ze d i e n e n o m eenige aanwijzing o m t r e n t d e grootte d e r e x a c t e w a a r d e n te geven, en k u n n e n v a a k de oplossing d e r vergelijkingen a a n m e r k e l i j k v e r g e m a k k e l i j k e n .

61 W a n n e e r de trilling v a n een der schijven g e d e m p t is, d a n v e r o o r l o v e n de r e d u c t i e f a c t o r e n op eenvoudige wijze de a m p l i t u d e d e r g e d e m p t e trilling dier schijf te b e p a l e n . 62 Volgens de trillingsleer is de a m p l i t u d e v a n een trillend

l i c h a a m , z o n d e r d e m p i n g , o n d e r invloed van een u i t w e n d i g h a r m o n i s c h m o m e n t :

M c —Ico^

63 Is de trilling echter gedempt en de dempingsfactor = k, dan bedraagt die amplitude:

M

] / (C —IC02)2-l-k2cü2

64 In het bijzondere geval dat de demping aperlodische trilling veroorzaakt en de waarde van k, volgens de trillingsleer, dus gelijk is aan 2 V e I, wordt die amplitude:

M c + lc«2

65 De demping bewerkt dus een vermindering der ongedempte amplitude, in de verhouding:

C —Ictf^

] / (C —Ico2)2+k2co2 en voor het geval van aperlodische trilling:

c -l-lco2

66 Voor een bepaald geval dienen hierin de waarden van I, <» en k als bekend te worden aangenomen. De waarde van c is, in het algemeen, echter niet zonder meer aan te geven. Is de trillende schijf door de veerende verbinding verankerd, dan is de torsiestijfheid dier verbinding gelijk aan haar werke-lijke torsiestijfheid, maar is daarentegen de trillende schijf veerend verbonden met een andere trillende schijf, dan kan de torsiestijfheid dier verbinding niet ongewijzigd in reke-ning worden gebracht, doch dient men de gelijkwaardige

torsiestijfheid cs in aanmerking te nemen.

67 Het begrip „gelijkwaardige torsiestijfheid" moge aan de hand van figuur 7 toegelicht en quantitatief bepaald worden. Daar-in is 1 een schijf, waarvan de trillDaar-ing gedempt, is, en welke door een veerende verbinding met de werkelijke torsiestijf-heid c met schijf 2 verbonden is.

68 Wanneer nu schijf 1 trilt en daarbij verwringing van de veerende verbinding veroorzaakt, zal ten gevolge daarvan

schijf 2 eveneens trillen. Het door de veerende verbinding op schijf 1 uitgeoefende moment is dus niet alleen het gevolg van de verwringing dier verbinding (hetgeen bij verankerde verbinding het geval zou zijn) doch ook van de trilling van 2. Onder een veerende verbinding met gelijkwaardige torsie-stijfheid et' dient nu een verankerde veerende verbinding verstaan te worden, met een zoodanige torsiestijfheid, dat, bij gelijkblijvende beweging van schijf 1, het door die verankerde verbinding op 1 uitgeoefende moment ten allen tijde gelijk is aan het moment, door de werkelijke veerende verbinding, op grond van haar verwringing en van den invloed der beweging van schijf 2, op schijf 1 overge-bracht.

Wanneer de waarde van R,,2 negatief is, dan is er een knooppunt tusschen 1 en 2 (IV-22), welks plaats uit de waarde van Ri^2 volgt. De gelijkwaardige torsiestyfheid is in dit geval gelijk aan de torsiestijfheid der veerende verbinding, vanaf schijf 1 tot het knooppunt.

Wanneer de waarde van Ri^2 oneindig groot is, dan bevindt zich het knooppunt ter plaatse van schijf 2. De gelijkwaardige torsiestijfhcid is dan gelijk aan de werkelijke torsiestijfheid c. Wanneer de waarde van Ri^2 positief is, dan bevindt zich een denkbeeldig knooppunt voor schijf 1 of voorbij schijf 2. De gelijkwaardige torsiestijfheid is dan gelijk aan de torsie-stijfheid, welke de veerende verbinding hebben zou, wanneer ze tot dat denkbeeldig knooppunt verlengd ware.

De waarde van cs is uit te drukken door: eg = c ( l — ^ )

'<l,2 of, in algemeenen vorm (figuur 3):

waarvan men zich gemakkelijk overtuigt door te bedenken, dat de torsiestijfheid omgekeerd evenredig is met de ver-wringende lengte.

Is de getalwaarde van R groot ten opzichte van 1, dan kan bij benadering de gelijkwaardige torsiestijfheid gelijk gesteld worden aan de werkelijke torsiestijfheid.

(IV-65) v i n d t m e n de v e r h o u d i n g tusschen de a m p l i t u d e n d e r o n g e d e m p t e , en d e r g e d e m p t e trilling. Men k a n d u s voor-eerst de a m p l i t u d e b e p a l e n alsof de trilling o n g e d e m p t w a r e , en achteraf de d e m p i n g in r e k e n i n g b r e n g e n d o o r v e r m e n i g -vuldiging d e r g e v o n d e n a m p l i t u d e m e t de w a a r d e (IV-65). 76 Het is wenschelijk, hier te w a a r s c h u w e n tegen een onjuiste

toepassing van h e t b e g r i p „ r e d u c t i e f a c t o r " , en wel als volgt: 77 In (IV-4) w e r d v e r o n d e r s t e l d , d a t op de b e s c h o u w d e k e t e n

geen u i t w e n d i g e m o m e n t e n w e r k t e n . Bij het b e p a l e n v a n eenigen r e d u c t i e f a c t o r R / ,^ geldt d u s dezelfde t o e s t a n d als bij h e t b e p a l e n v a n d e n r e d u c t i e f a c t o r R / i» . Hieruit volgt, d a t v o o r het o n d e r (IV-4) v e r o n d e r s t e l d e geval R / ,\ gelijk m o e t zijn a a n !

R ( n - l ) , n

78 E c h t e r is de trillingstoestand, b e d o e l d o n d e r (IV-4), slechts mogelijk als eigen trillingstoestand d e r keten, z o o d a t de h i e r o n d e r (IV-77) b e d o e l d e gelijkheid slechts k a n b e s t a a n voor dié w a a r d e n van e>, w e l k e o v e r e e n k o m e n m e t eigen f r e q u e n -ties der keten. (Terloops zij hierbij o p g e m e r k t , d a t deze gelijk-heid d u s k a n dienen tot het b e p a l e n dier eigen frequenties). 79 E e n i g e a n d e r e w a a r d e v a n ui is echter slechts mogelijk, w a n

-n e e r deze a a -n ee-nige schijf d e r k e t e -n w o r d t o p g e d r o -n g e -n , d u s d o o r een u i t w e n d i g m o m e n t . M a a r d a a r d o o r geldt voor het b e p a l e n v a n R ,^ |v geenzins m e e r dezelfde t o e s t a n d als voor het b e p a l e n v a n B.,^ |x ^, z o o d a t t h a n s Rj^ /^ j \ niet m e e r gelijk k a n zijn a a n ! ^ ^ _

' ^ ( n - l ) , n

80 Dit m o g e a a n de h a n d v a n figuur 7 m e t een voorbeeld toe-gelicht w o r d e n . Het t r a a g h e i d s m o m e n t v a n schijf 1 b e d r a g e 1 kg sec2 m , en v a n schijf 2 zij het 2 kg sec^ in. De torsiestijf-h e i d c zy 10 kg m / r a d i a a l .

81 Voor Ri,2 vindt men de waarde l ^ I Z ? ! ^ en voor Ro,:: — 82 Stelt m e n :

10 10 10—2co2 10

10 d a n v i n d t m e n h i e r u i t :

<o^^ = o

«2 = ^5

welke beide waarden dus die zijn, behoorende bij de eigen frequenties der keten.

83 Dwingt men thans de keten te trillen met een waarde voor 0)2 gelijk aan b.v. 30, dan wordt:

R l , 2 = - 5 R2,l = - 2

zoodat Ri,2 niet meer gelijk is aan het omgekeerde van R2,i-84 Thans dient nog te worden nagegaan, welke de grootste

waarde kan zijn der fout, die door de benadering, bedoeld onder (IV-12), 23 en 45), wordt veroorzaakt.

85 Schrijft men de exacte en de benaderde waarden (IV-11 en 12) in algemeenen vorm, dan wordt:

^ 4 , 3 —

( 1 - - ^ ) + x

en:

R ^ = ^ + '^

4,3 y

De verhouding tusschen de exacte en de benaderde waar-den bedraagt dus:

R 4 , 3 _ 1

Rb - ^ ~ R l T + ^

4,3

Ware deze verhouding gelijk aan 1, 'dan ware R''4,3 gelijk aan 1^4,3. Hoe grooter dus de getalwaarde van den term:

1

R(l+x)

hoe grooter de fout, door de benadering veroorzaakt. Voor bepaalde waarde van R, doch afhankelijk van de waarde van x, bestaat dus voor x ^ O de grootste waarde der fout, en daarmee wordt de ongunstigste verhouding tusschen exacte en benaderde waarde: 1

86 Wanneer men in (IV-21) de grootste fout bepaalt, welke ont-1

staat door b.v. D te verwaarloozen ten opzichte van Rn, ( n - 1 )

1, en men schrijft de exacte waarde (IV-21) en de benader-de waarbenader-de (IV-23) in algemeenen vorm, dan wordt:

a - y n - 1 ( l - - ^ ) + x en: .b _ y a n 1 -f-x

De verhouding tusschen de benaderde en de exacte waarde bedraagt dus:

«^

" = 1 ' «n R ( l + x )

Overigens is de redeneering analoog aan die onder (IV-85). 87 De invloed van de verwaarloozing van b.v : ten

op-R n , ( n - l ) i

zichte van 1, in (IV-43), wordt bepaald door B/p-l-Dn en R/ 1 j» in algemeenen vorm te schrijven:

( l - - l ) + x

R(n + l ) , n = y b _ l + x

R ( n + l ) , n 7

-Deze vormen gelijk zijnde aan die onder (IV-85), kan verder daarheen verwezen worden.

Vereenvoudigende aannamen en bespreking daarvan.

Alvorens door middel van de in hoofdstuk IV uiteengezette methode de gevallen genoemd onder (III-34) te onderzoeken, is het gewenscht de volgende vereenvoudigde aannamen te maken:

Alle torsiemomenten zijn evenredig met de torsiehoeken. Voor zoover de veerende organen bestaan uit normale blad- of spiraalveeren, geldt deze aanname met groote nauwkeurigheid. De banden vertoonen echter geen lineaire verhouding tusschen indrukking en weerstand. Met het oog echter op de zeer kleine bandvervormingen, die uit de hier beschouwde trillingen voortspruiten, en welke van de orde van grootte van 0,5 min zijn, moge voor dat gebied de lineaire verhouding voldoend nauw-keurig gelden.

Alle demping is evenredig met de trillingssnelheid. Volgens 2 en 3 voldoen dus de optredende trillingen aan de bekende vergelijking:

I (p" + k ip' + C99 = M s i n i o t

Hierbij valt op te merken, dat de werking der gebruike-lijke dempers gedeeltelijk op vloeistofwerveling, gedeel-telijk op viscositeit berust. Deze laatste geeft lineaire, de eerste daarentegen quadratische demping. Met het oog echter op de zeer kleine uitslagen der dempers onder invloed der VRD, welke uitslagen van de orde van grootte zijn van 0,25 mm, terwijl dergelijke dempers geconstru-eerd zijn voor uitslagen van de orde van grootte van 100 mm, moge ook hier lineaire demping voldoend nauw-keurig gelden. De demping, door de banden opgeleverd, hangt van zeer veel factoren af, zooals van de

rubber-samenstelling, de canvasconstructie, den luchtdruk, de temperatuur, de frequentie der trillingen, etc. (Wat deze eigenschap der banden betreft, zij verwezen naar: „Dy-namische und Statische Untersuchungen von Kraftwagen-reifen", proefschrift van Dipl. Ing. Ulrich, Berlijn, 1927. Voorts naar: „Onderzoekingen omtrent het gedrag van autobanden op een effen weg", proefschrift van ir. H. Misset, Delft, 1932). Op grond van de veranderlijkheid der demping, door de banden opgeleverd, zal deze niet quantitatief in aanmerking worden genomen, hoewel onder het oog zal worden gezien, van welken aard en welken relatieven invloed die demping is.

De dempers zijn paarsgewijs aangebracht, en wel één paar tusschen onderstel en vooras, en één paar tusschen onderstel en achteras. De afstelling der dempers is zoodanig, dat bij gelijke hoekverdraaiing van liet onderstel ten opzichte van deze assen, het door elk paar dempers op het onderstel uitge-oefende dempingsmoment gelijk is.

De gebruikelijke dempers zijn regelbaar, zoodat aan deze aanname voldaan kan worden. Bovendien is een afstel-ling der dempers, als hier bedoeld, voor een goede wer-king daarvan gewenscht.

Het onderstel met carrosserie, etc, is volkomen stijf tegen-over de verwringende momenten, welke door de VRD erop worden uitgeoefend.

De stijfheid van een raam wordt in hoofdzaak bepaald in verband met het optreden van ongelijke wielbelasting door oneffenheden van het wegoppervlak, waarbij deze ongelijke wielbelasting een scheluwtrekken van het raam veroorzaakt. Bij een automobiel, waarvoor de onder (VI) aangenomen praktische waarden gelden, zal het totaal-gewicht ongeveer 1500 kg bedragen. Hiervan mogen 900 kg op de beide achterwielen tezamen drukken. Bij een hartafstand der achterwielen ten bedrage van 140 cm kan, wanneer de belasting van 900 kg gedurende korten tijd door wegoneffenheid op slechts één achterwiel rust, het wringend moment op het raam dus 63.000 kg cm bedragen. Het is duidelijk, dat het onder (VI-18) met 1500 kg cm aangegeven draaimoment van den motor dan ook slechts een zeer geringe verwringing van het raam zal

veroorzaken. Bovendien is in het navolgende de stijfheid van het raam van belang in verhouding tot de stijfheid der ondersteuning van het onderstel door de wagen-veeren en de banden. Uit den aard van de taak dezer wagenveeren en banden is het duidelijk, dat daartegen-over het raam als uitermate stijf mag gelden.

6 De schommelende beweging van den motor verloopt onge-dempt.

Verwezenlijking van het denkbeeld dat in deze studie behandeld wordt, vereischt een zoo gering mogelijke wrijving of anderen weerstand van dien aard, tusschen motor en onderstel. Door juiste constructie van den ge-wicht-steun van den motor, kan en dient deze aanname benaderd te worden.

7 De demping tusschen onderstel en draagassen onder invloed van de dempers is zoodanig, dat de schommeling van het onderstel om een langsas, aperiodisch is.

Dezelfde toelichting, als onder (V-4) gegeven, is hier toe-passelijk.

8 De harmonisch ontbondenen van de VRD zullen tot en met die van de zesde orde in aanmerking komen.

Bij toenemende frequentie, en dus toenemende waarde van O), nemen in het algemeen de reductiefactoren toe, zooals bij de analytische behandeling der gevallen, op-genoemd onder (III-34), zal blijken. Alleen de moge-lijkheid van critische trilling vermag bij toenemende frequentie verkleining van de waarde van den reductie-factor te veroorzaken, maar uit de analytische behande-ling zal blijken, dat deze omstandigheid voor deze studie niet van beteekenis is. De amplituden van de harmonisch ontbondenen der VRD zullen blijken (VI-25) met toe-nemende frequentie kleiner te worden. De kleinste fre-quentie levert dus inderdaad de beslissende waarden op. In de eindelooze serie harmonisch ontbondenen der VRD moet uit praktische overwegingen ergens een grens ge-steld worden, waar voorbij de ontbondenen verwaarloosd zullen worden. In overeenstemming met Dr. Ing. H. Wyd-ler: „Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen", Berlijn 1922, is de harmonisch ontbondene van de zesde orde nog in de analytische behandeling opgenomen.

Eveneens in overeenstemming met Wydler wordt in deze studie onder de harmonisch ontbondene van de n-de orde uit de VRD, dié ontbondene verstaan, welker frequentie per tijdseenheid gelijk is aan n keer het toerental der machine per gelijke tijdseenheid.

9 Ten behoeve der behandeling van het op zichzelf staande geval der constructie volgens letter d (III-34) mogen nog de volgende bijzondere aannamen gelden:

10 De traagheidsmomenten der drijfwerkdeelen tusschen rotor en grond kunnen verwaarloosd worden ten opzichte van het traagheidsmoment van den rotor.

Bij de analytische behandeling van geval d zal hier nog nader op worden ingegaan.

11 Demping, hetzij demping in engeren zin als bedoeld onder (V-3), hetzij wrijving, hetzij eenige andere, periodische of niet periodische weerstand welke tusschen stator en rotor bij hun onderlinge beweging optreedt, wordt geacht de eenige dem-ping te zijn, welke op rotor en drijfwerk aangrijpt, maar mag elke waarde en elk verloop vertoonen.

Deze aanname houdt dus rekening met de wrijving tus-schen zuigers en C3'linders. De overige weerstanden in het drijfwerk zijn, dank zij het vrijwel uitsluitend gebruik van rol- en kogelblokken, uiterst klein.

Bespreking der verschillende motoropslellingen, en daarbij aangenomen praktische waarden.

1 Ten behoeve der analytische behandeling der gevallen, doeld onder (III-34), is het gewenscht deze nader te be-spreken en praktische waarden vast te stellen. Een en ander moge geschieden aan de hand van de opstellings-schema's, figuren 8, 9, 10 en 11.

2 Figuur 8 geeft schematisch de tot voor kort gebruikelijke opstelling weer, waarbij de motor vast met het onderstel verbonden is. Het gezamenlijk traagheidsmoment van motor en onderstel, om de as, waaromheen zij onder invloed van de VRD schommelen wordt I, genoemd en bedraagt 20 kg sec2 m. De as van schommeling wordt geacht evenwijdig te zijn aan de rotoras. Door de gebruikelijke verdeeling der massa's bij deze constructie, en den gebruike-lijken stand van de rotoras, mag deze veronderstelling vrij nauwkeurig geacht worden. Een volkomen juiste bepaling, van algemeene geldigheid, is trouwens niet mogelijk met het oog op de veranderlijkheid van de belasting van de auto-mobiel, door veel of weinig passagiers, groote of kleine lading, en door de onzekerheid omtrent de verdeeling der belasting over het onderstel.

3 De onmogelijkheid vooropstellend, dit traagheidsmoment een nauwkeurige, algemeen voor de onderzochte automobiel geldende waarde toe te kennen, kan Ii voldoend nauwkeurig door een slingerproef bepaald worden. Daartoe worden de dempers afgekoppeld, de veeren zorgvuldig gesmeerd, waar-na de slingertijd van het onderstel op de wagenveeren, om een langsas, gemeten wordt. Uit de bekende stijfheid der veeren en hun ouderlingen afstand volgt de grootte van het terugwerkend moment. Uit de bekende formule:

T = 2 . ] / 1 L

waarin T de gemeten slingertijd, c het berekende terugwer-kende moment per radiaal uitwijking van het onderstel, volgt de waarde van I^.

4 Het bedoelde moment c, dat is dus het moment door de wagenveeren uitgeoefend wanneer het onderstel over 1 radiaal om een langsas uitwijkt, zij per stel veeren Ci en worde de torsiestijfheid der veeren genoemd. Beide achter-veeren hebben dus een torsiestijfheid Ci en beide voorachter-veeren eveneens. Weliswaar zijn de voorveeren doorgaans belang-rijk stijver dan de achterveeren, maar daar staat tegenover dat de onderlinge afstand der voorveeren belangrijk kleiner is dan de onderlinge afstand der achterveeren, zoodat in het algemeen de torsiestijfheid van een paar voorveeren gelijk mag worden geacht aan die der achterveeren. Voor c^ moge gelden:

C| = 1500 kg m / radiaal.

5 Om aan te geven, dat de schommeling van het onderstel ten opzichte van de draagassen gedempt is (V-7) zijn de sche-matisch aangegeven draagveeren als twee zware lijnen ge-teekend. Daar de draagassen geen vaste lichamen zijn, immers door de banden veerend met den grond verbonden zijn, is dit een geval van interne demping (IV-2).

6 Het traagheidsmoment der vooras om de langsas, waarom-heen de vooras onder invloed van de VRD schommelt, wordt I2 genoemd. De constructie van een dergelijke vooras en de stand van de rotoras ten opzichte van de vooras verzekeren dat de schommelas evenwijdig is aan de rotoras. Voor I2 wordt een waarde aangenomen van 1 kg sec2 m, welke be-paald wordt door een slingerproef. De vooras wordt daartoe bifilair opgehangen, en haar slingertijd vergeleken met dien van een staaf van bekend traagheidsmoment, welke identiek opgehangen is.

7 Voor het traagheidsmoment der achteras, en de ligging der schommelas van deze, moge hetzelfde gelden als voor de vooras. Weliswaar bevat de achteras in het midden belang-rijke iTiassa's, in den vorm van het tandwielmechanisme, maar daar deze massa's dicht bij de schommelas liggen,

hebben ze betrekkelijk geringen invloed op het traagheids-moment. Daarentegen heeft de vooras aan haar uiteinden de stuurdeelen, zoodat de gelijkstelling van de traagheids-momenten der beide assen — welke overigens slechts ten doel heeft de berekening iets eenvoudiger te maken — ge-rechtvaardigd is.

De banden verzetten zich tegen schommeling der voor- en achteras, en het moment per radiaal uitwijking van een dezer assen volgt uit den specifieken bandweerstand, ver-menigvuldigd met den ouderlingen afstand der beide voor-wielen, resp. achterwielen. Dit moment moge de torsiestijf-heid der banden genoemd worden, en aangeduid met C2. Als waarde geldt:

c„ = 15000 kg m / radiaal.

Figuur 9 geeft schematisch de motoropstelling weer, zooals

deze sinds enkele jaren algemeen gebruikelijk is geworden. Het traagheidsmoment van den motor zij I3. Ter bepaling van de waarde hiervan dient men te bedenken, dat de rotor draaibaar in den stator is opgenomen, en het moment van den motor dus bestaat uit het traagheids-moment van den stator, vermeerderd met het product van de massa van den rotor en het quadraat van den afstand tusschen schommelas en zwaartepunt van den rotor. De waarde van I3 zij 1,5 kg sec2 m.

De stator is draaibaar om zijn schommelas in het raam op-gehangen. De moment-steun verzet zich tegen verdraaiing van den stator ten opzichte van het raam. De torsiestijfheid van den moment-steun, dat is dus het moment, waarmede deze zich verzet tegen uitwijking van den stator over een radiaal, bedrage 1000 kg m/radiaal en worde C3 genoemd. Het traagheidsmoment van het raam, I4, zal kleiner zijn dan Il (VI-2) en wel, omdat de stator thans, in tegenstelling met geval a, niet meer geheel deelneemt aan de schomelingen van het raam. Echter dient de massa van den motor, vermenig-vuldigt met het quadraat van den afstand tusschen de schommelas van den stator tot de schommelas van het raam, als aandeel van den motor in het traagheidsmoment van het onderstel, in rekening te worden gebracht, evenals zulks be-doeld is onder (VI-9). De waarde van I4 zij 18,5 kg sec2 m.