Elektrodynamika
Część 4
Magnetostatyka
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Spis treści
5 Magnetostatyka 3
5.1 Siła Lorentza . . . 3
5.2 Prawo Biota-Savarta . . . 14
5.3 Dywergencja i rotacja B . . . 22
5 Magnetostatyka
5.1 Siła Lorentza
5.1.1 Pole magnetyczne
pr¡d
5.1.2 Siły magnetyczne I I v B F przewodnik 1 przewodnik 2
Fmag = Q(v × B) siła Lorentza
Przykład:
Ruch cyklotronowy. W stałym polu magnetycznym B ładunek Q
porusza się po okręgu o promieniu R lub po spirali
x y z R Q v B B F x y z Q v B B F QvB = mv 2 R , p = QBR wzór cyklotronowy
Przykład:
Ruch po cykloidzie. Obok stałego pola magnetycznego B działa
prostopadłe do B pole elektryczne E.
x y z B E a b c
(0, y(t), z(t)) wektor położenia v = (0, ˙y, ˙z) wektor prędkości
v × B = ˆ x yˆ zˆ 0 y˙ z˙ B 0 0 = B ˙z ˆy − B ˙y ˆz F = Q(E + v × B) = Q(E ˆz + B ˙z ˆy − B ˙y ˆz) = ma = m(¨y ˆy + ¨z ˆz) QB ˙z = m¨y, QE − QB ˙y = m¨z ω ≡ QB m częstość cyklotronowa ¨ y = ω ˙z, z = ω¨ E B − ˙y , równania ruchu
y(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt + EB t + C3 z(t) = C2 cos ωt − C1 sin ωt + C4 rozwiązania ˙
y(0) = ˙z(0) = 0, y(0) = z(0) = 0, warunki początkowe
y(t) = E ωB (ωt − sin ωt), z(t) = E ωB (1 − cos ωt), rozwiązania R = E ωB , definiujemy (y − Rωt)2 + (z − R)2 = R2,
równanie okręgu o promieniu R, którego środek (0, Rωt, R) porusza się wzdłuż y ze stałą prędkością (patrz: animacja)
v = ωR = E B
Siły magnetyczne nie wykonują pracy. dWmag = Fmag · dl = Q(v × B) · v dt = 0 5.1.3 Prądy v v∆t P λ
Ładunek liniowy o gęstości λ poruszający się z prędkością v daje prąd
I = λv
Fmag = Z (v × B) dq = Z (v × B)λ dl = Z (I × B) dl Fmag = Z I( dl × B) siła magnetyczna Fmag = I Z
dl⊥
przepływ K
K ≡ dI
dl⊥ powierzchniowa gęstość prądu K = σv Fmag = Z (v × B)σ da = Z (K × B) da
Sprzeciw: indukcja magnetyczna B jest nieciągła na powierzchniach, po których płyną prądy powierzchniowe! Musimy posługiwać się
J da⊥
J ≡ dI
da⊥ objętościowa gęstość prądu J = ρv Fmag = Z (v × B)ρ dτ = Z (J × B) dτ
I = Z S J da⊥ = Z S
J · da natężenie prądu płynącego przez
powierzchnię S I S J · da = Z V
(∇ · J ) dτ całkowity ładunek wypływający z
obszaru V w jednostce czasu
Z V (∇ · J ) dτ = − d dt Z V ρ dτ = − Z V ∂ρ ∂t ! dτ ∇ · J = −∂ρ ∂t równanie ciągłości
5.2 Prawo Biota-Savarta
5.2.1 Prądy stałe
Ładunki stacjonarne ⇒ stałe pole elektryczne: elektrostatyka
Stałe prądy ⇒ stałe pole magnetyczne: magnetostatyka
∂ρ
5.2.2 Pole magnetyczne liniowego prądu stałego x y z I dl′ r R P B(r) = µ0 4π Z I × ˆR R2 dl 0 = µ0 4π I Z dl0 × ˆR R2 prawo Biota-Savarta µ0 = 4π · 10−7 " N A2 #
1 T = 1
"
N Am
#
indukcja magetyczna B mierzona jest w teslach 1 T = 104 gausów
Przykład:
Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu I.
I
dl
′P
l
′R
s
θ
α
I . | {z } P l′ R s θ1 θ2 fragment przewodnikawektor ( dl0 × ˆR) ma długość dl0 sin α = dl0 cos θ
l0 = s tgθ ⇒ dl0 = s
s = R cos θ 1 R2 = cos2 θ s2 B = µ0I 4π θ2 Z θ1 cos2 θ s2 ! s cos2 θ cos θ dθ = µ0I 4πs θ2 Z θ1 cos θ dθ = µ0I
4πs(sin θ2 − sin θ1) dla fragmentu
B = µ0I
I
1I
2d
(1)
(2)
Fmag = I Z ( dl × B) siła Lorentza F = I2 µ0I1 2πd ! Zdl całkowita siła jest nieskończona
f = µ0
2π
I1I2
Przykład:
Znaleźć pole magnetyczne na prostej przechodzącej przez środek kołowej pętli o promieniu R z prądem stałym o natężeniu I,
prostopadłej do płaszczyzny pętli, w odległości z od tej płaszczyzny.
I dl′ θ θ R z R B dB B(z) = µ0 4π I Z dl0
dl0 i ˆR są prostopadłe, cos θ i R2 są stałe, Z dl0 = 2πR B(z) = µ0I 4π cos θ R2 2πR = µ0I 2 R2 (R2 + z2)3/2 B(r) = µ0 4π Z K(r0) × ˆR R2 da 0 dla prądów powierzchniowych B(r) = µ0 4π Z J (r0) × ˆR R2 dτ 0 dla prądów objętościowych
5.3 Dywergencja i rotacja B 5.3.1 Prądy prostoliniowe B I B · dl = I µ 0I 2πs dl = µ0I 2πs I
dl = µ0I rotacja jest różna
B = µ0I 2πs ˆ φ, we współrzędnych walcowych (s, φ, z) dl = ds ˆs + s dφ ˆφ + dz ˆz I B · dl = µ0I 2π I 1 ss dφ = µ0I 2π 2π Z 0 dφ = µ0I
Przy założeniu, że kontur okrąża przewodnik tylko raz.
kontur
przewodnik
φ1
φ2
Jeśli kontur nie otacza przewodnika to R dφ = 0; φ zmienia się od φ1 do
I1
I2
I3
I4
I5
I6 wiązka przewodników; każdy przewodnik otaczany przez kontur daje wkład równy
±µ0I; przewodnik nie otaczany przez
kontur nie daje wkładu
I
B · dl = µ0Ic, Ic jest całkowitym natężeniem prądu
Ic =
Z
J · da, J — objętościowa gęstość prądu
Z
(∇ × B) · da = µ0
Z
J · da, z twierdzenia Stokesa
5.3.2 Dywergencja i rotacja B (x, y, z) R dτ′ (x′, y′, z′) B(r) = µ0 4π Z J (r0) × ˆR R2 dτ 0 , prawo Biota-Savarta R = (x − x0) ˆx + (y − y0) ˆy + (z − z0) ˆz dτ0 = dx0 dy0 dz0 ∇ · B = µ0 4π Z ∇ · J × ˆ R R2 ! dτ0
∇ · J × ˆ R R2 ! = ˆ R R2 · (∇ × J ) − J · ∇ × ˆ R R2 !
∇ × J = 0, J nie zależy od nieprimowanych zmiennych
∇ × Rˆ
R2 = 0
∇ · B = 0
∇ × B = µ0 4π Z ∇ × J × ˆ R R2 ! dτ0 ∇ × J × ˆ R R2 ! = J ∇ · ˆ R R2 ! − (J · ∇) Rˆ R2 | {z } =0 ∇ × (A × B) = (B · ∇)A | {z } =0 −(A · ∇)B + A(∇ · B) − B(∇ · A) | {z } =0
Pochodne J są równe zeru bo J nie zależy od nieprimowanych zmiennych.
∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) ∇ × B = µ0 4π Z J (r0) 4πδ3(r − r0) dτ0 = µ0J (r) prawo Ampère’a
−(J · ∇) Rˆ
R2 = (J · ∇
0) Rˆ
R2 pokażemy, że się zeruje
(J · ∇0) x − x 0 R3 = ∇0 · x − x 0 R3 J − x − x 0 R3 (∇0 · J ) | {z } =0 skorzystaliśmy z ∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · (∇f ) " −(J · ∇) Rˆ R2 # x = ∇0 · (x − x 0) R3 J Z V ∇0 · (x − x 0) R3 J dτ0 = I S (x − x0) R3 J · da 0 = 0 Na brzegu obszaru J = 0.
5.3.3 Zastosowanie prawa Ampère’a ∇ × B = µ0J prawo Ampère’a Z (∇ × B) · da = I B · dl = µ0 Z J · da I
B · dl = µ0Ic całkowa postać prawa Ampère’a
Ic — całkowity prąd otoczony konturem
Elektrostatyka: prawo Coulomba → prawo Gaussa Magnetostatyka: prawo Biota-Savarta → prawo Ampère’a
Przykład:
Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego
przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd stały o natężeniuI.
I B s kontur Ampère’a I B · dl = B I dl = B 2πs = µ0Ic = µ0I, z prawa Ampère’a B = µ0I 2πs
Przykład:
Znaleźć indukcję pola magnetycznego od nieskończonej płaszczyzny z prądem powierzchniowym K = K ˆx. płynącym w płaszczyźnie xy.
x y z K l kontur Ampère’a prąd powierzchniowy I B · dl = 2Bl = µ0Ic = µ0Kl B = +(µ0/2)K ˆy dla z < 0 −(µ0/2)K ˆy dla z > 0
5.3.4 Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki + E B ∇ · E = 1 0 ρ prawo Gaussa ∇ × E = 0 ∇ · B = 0 ∇ × B = µ0J prawo Ampère’a
5.4 Magnetyczny potencjał wektorowy 5.4.1 Potencjał wektorowy ∇ · B = 0, ∇ · (∇ × A) ≡ 0 B = ∇ × A ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A = µ0J ∇ · A = 0 A = A0 + ∇λ, ∇ · A = ∇ · A0 + ∇2λ ∇2λ = −∇ · A0
λ = 1 4π Z ∇ · A 0 R dτ 0, jeśli ∇ · A 0 znika w nieskończoności
Możemy zawsze wybrać ∇ · A = 0
∇2A = −µ0J prawo Ampère’a A(r) = µ0 4π Z J (r0) R dτ 0
jeśli J znika w nieskończoności A(r) = µ0 4π Z I R dl 0 = µ0I 4π Z 1 R dl 0 , dla prądów liniowych
A(r) = µ0 4π Z K R da 0 , dla prądów powierzchniowych Przykład:
Powierzchnia sferyczna o promieniu R naładowana ładunkiem
powierzchniowym σ wiruje z prędkością kątową ω. Znaleźć potencjał wektorowy w punkcie r. x y z Ψ r R ω x y z Ψ θ′ φ′ r′ da′ r R ω
A(r) = µ0 4π Z K(r0) R da 0 K = σv, R = pR2 + r2 − 2Rr cos θ0, da0 = R2 sin θ0 dθ0 dφ0 v = ω × r0 = ˆ x yˆ zˆ ω sin Ψ 0 ω cos Ψ
R sin θ0 cos φ0 R sin θ0 sin φ0 R cos θ0
= Rω[−(cos Ψ sin θ0 sin φ0) ˆx
+ (cos Ψ sin θ0 cos φ0 − sin Ψ cos θ0) ˆy + sin Ψ sin θ0 sin φ0z]ˆ
2π Z 0 sin φ0 dφ0 = 2π Z 0 cos φ0 dφ0 = 0
A(r) = −µ0R 3σω sin Ψ 2 π Z 0 cos θ0 sin θ0 √ R2 + r2 − 2Rr cos θ0 dθ 0 yˆ u ≡ cos θ0 +1 Z −1 u √ R2 + r2 − Rru du = − R2 + r2 + 2Rru 3R2r2 p R2 + r2 − 2Rru +1 −1 = − 1 3R2r2 h (R2 + r2 + Rr)|R − r| − (R2 + r2 − Rr)(R + r)i A(r) = µ0Rσ 3 (ω × r) dla r < R µ0R4σ 3r3 (ω × r) dla r > R ω × r = −ωr sin Ψ ˆy
Po przejściu do „naturalnych” zmiennych gdzie ω jest wzdłuż osi z, mamy A(r, θ, φ) = µ0Rωσ 3 r sin θ ˆφ dla r ≤ R µ0R4ωσ 3 sin θ r2 φˆ dla r ≥ R B = ∇ × A = 2µ0Rωσ 3 (cos θ ˆr − sin θ ˆθ) = 2 3µ0σRω ˆz = 2 3σRω Pole indukcji B wewnątrz sfery jest jednorodne.
5.4.2 Magnetostatyczne warunki brzegowe B⊥ nad B⊥ pod K ∇ · B = 0 ⇒ I B · da = 0 Bnad⊥ = Bpod⊥
Bnadk Bpodk K l I B · dl = (Bnadk − Bpodk )l = µ0Ic = µ0Kl Bnadk − Bpodk = µ0K Bnad − Bpod = µ0(K × ˆn)
Anad = Apod potencjał wektorowy jest ciągły
∇ · A = 0 gwarantuje ciągłość składowej normalnej
∇ × A = B ⇒ I A · dl = Z B · da = Φ ciągłość składowej stycznej ∂Anad ∂n − ∂Apod ∂n = −µ0K
5.4.3 Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego x y z I O θ′ dr′ = dl′ r r′ R P 1 R = 1 √ r2 + r02 − 2rr0 cos θ0 = 1 r ∞ X n=0 r0 r !n Pn(cos θ0)
A(r) = µ0I 4π I 1 R dl 0 = µ0I 4π ∞ X n=0 1 rn+1 I (r0)nPn(cos θ0) dl0 A(r) = µ0I 4π 1 r I dl0 + 1 r2 I r0 cos θ0 dl0 + 1 r3 I (r0)2 3 2 cos 2 θ0 − 1 2 dl0 + · · · # I
dl0 = 0, nie ma monopola magnetycznego Adip(r) = µ0I 4πr2 I r0 cos θ0 dl0 = µ0I 4πr2 I ( ˆr · r0) dl0 I ( ˆr · r0) dl0 = − ˆr × Z da0
Adip(r) = µ0 4π m × ˆr r2 m ≡ I Z
Przykład:
Znaleźć magnetyczny moment dipolowy pętli z prądem o natężeniu I przedstawionej na rysunku. x y z I w w w m = Iw2y + Iwˆ 2zˆ
x y z θ P m r φ Adip(r) = µ0 4π m sin θ r2 ˆ
φ potencjał dipola m umieszczonego
w początku układu współrzędnych
Bdip(r) = ∇ × A = µ0m
y z
⊗ z
y
pole „czystego” dipola pole „fizycznego” dipola
Bdip(r) = µ0 4π
1
r3 [3(m · ˆr) ˆr − m]
indukcja magnetyczna dipola w postaci niezależnej od