Magnetostatyka (pdf),

Elektrodynamika

Część 4

Magnetostatyka

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Spis treści

5 Magnetostatyka 3

5.1 Siła Lorentza . . . 3

5.2 Prawo Biota-Savarta . . . 14

5.3 Dywergencja i rotacja B . . . 22

5 Magnetostatyka

5.1 Siła Lorentza

5.1.1 Pole magnetyczne

pr¡d

5.1.2 Siły magnetyczne I _I v B F przewodnik 1 przewodnik 2

F_mag = Q(v × B) siła Lorentza

Przykład:

Ruch cyklotronowy. W stałym polu magnetycznym B ładunek Q

porusza się po okręgu o promieniu R lub po spirali

x y z R Q v B B F x y z Q v B B F QvB = mv 2 R , p = QBR wzór cyklotronowy

Przykład:

Ruch po cykloidzie. Obok stałego pola magnetycznego B działa

prostopadłe do B pole elektryczne E.

x _y z B E a _b c

(0, y(t), z(t)) wektor położenia v = (0, ˙y, ˙z) wektor prędkości

v × B =          ˆ x yˆ zˆ 0 y˙ z˙ B 0 0          = B ˙z ˆy − B ˙y ˆz F = Q(E + v × B) = Q(E ˆz + B ˙z ˆy − B ˙y ˆz) = ma = m(¨y ˆy + ¨z ˆz) QB ˙z = m¨y, QE − QB ˙y = m¨z ω ≡ QB m częstość cyklotronowa ¨ y = ω ˙z, z = ω¨  E B − ˙y  , równania ruchu

y(t) = C₁ cos ωt + C₂ sin ωt + E_B t + C₃ z(t) = C₂ cos ωt − C₁ sin ωt + C₄    rozwiązania ˙

y(0) = ˙z(0) = 0, y(0) = z(0) = 0, warunki początkowe

y(t) = E ωB (ωt − sin ωt), z(t) = E ωB (1 − cos ωt), rozwiązania R = E ωB , definiujemy (y − Rωt)2 + (z − R)2 = R2,

równanie okręgu o promieniu R, którego środek (0, Rωt, R) porusza się wzdłuż y ze stałą prędkością (patrz: animacja)

v = ωR = E B

Siły magnetyczne nie wykonują pracy. dW_mag = F_mag · dl = Q(v × B) · v dt = 0 5.1.3 Prądy v v∆t P λ

Ładunek liniowy o gęstości λ poruszający się z prędkością v daje prąd

I = λv

F_mag = Z (v × B) dq = Z (v × B)λ dl = Z (I × B) dl F_mag = Z I( dl × B) siła magnetyczna F_mag = I Z

dl⊥

przepływ K

K ≡ dI

dl_⊥ powierzchniowa gęstość prądu K = σv F_mag = Z (v × B)σ da = Z (K × B) da

Sprzeciw: indukcja magnetyczna B jest nieciągła na powierzchniach, po których płyną prądy powierzchniowe! Musimy posługiwać się

J da⊥

J ≡ dI

da_⊥ objętościowa gęstość prądu J = ρv F_mag = Z (v × B)ρ dτ = Z (J × B) dτ

I = Z S J da_⊥ = Z S

J · da natężenie prądu płynącego przez

powierzchnię S I S J · da = Z V

(∇ · J ) dτ całkowity ładunek wypływający z

obszaru V w jednostce czasu

Z V (∇ · J ) dτ = − d dt Z V ρ dτ = − Z V ∂ρ ∂t ! dτ ∇ · J = −∂ρ ∂t równanie ciągłości

5.2 Prawo Biota-Savarta

5.2.1 Prądy stałe

Ładunki stacjonarne ⇒ stałe pole elektryczne: elektrostatyka

Stałe prądy ⇒ stałe pole magnetyczne: magnetostatyka

∂ρ

5.2.2 Pole magnetyczne liniowego prądu stałego x y z I dl′ r R P B(r) = µ0 4π Z _{I × ˆ}R R2 dl 0 = µ0 4π I Z _dl0 × ˆR R2 prawo Biota-Savarta µ₀ = 4π · 10−7 " N A2 #

1 T = 1

"

N Am

#

indukcja magetyczna B mierzona jest w teslach 1 T = 104 gausów

Przykład:

Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu I.

I

dl

P

l

R

s

θ

α

wektor ( dl0 × ˆR) ma długość dl0 sin α = dl0 cos θ

l0 = s tgθ ⇒ dl0 = s

s = R cos θ 1 R2 = cos2 θ s2 B = µ0I 4π θ₂ Z θ₁ cos2 θ s2 !  s cos2 θ  cos θ dθ = µ0I 4πs θ₂ Z θ₁ cos θ dθ = µ0I

4πs(sin θ2 − sin θ1) dla fragmentu

B = µ0I

I

I

d

(1)

(2)

dl całkowita siła jest nieskończona

f = µ0

2π

I₁I₂

Przykład:

Znaleźć pole magnetyczne na prostej przechodzącej przez środek kołowej pętli o promieniu R z prądem stałym o natężeniu I,

prostopadłej do płaszczyzny pętli, w odległości z od tej płaszczyzny.

I dl′ θ θ R z R B dB B(z) = µ0 4π I Z dl0

dl0 i ˆR są prostopadłe, cos θ i R2 są stałe, Z dl0 = 2πR B(z) = µ0I 4π  cos θ R2  2πR = µ0I 2 R2 (R2 + z2)3/2 B(r) = µ0 4π Z _K(r0_{) × ˆ}R R2 da 0 dla prądów powierzchniowych B(r) = µ0 4π Z J (r0) × ˆR R2 dτ 0 dla prądów objętościowych

5.3 Dywergencja i rotacja B 5.3.1 Prądy prostoliniowe B I B · dl = I µ 0I 2πs dl = µ₀I 2πs I

dl = µ₀I rotacja jest różna

B = µ0I 2πs ˆ φ, we współrzędnych walcowych (s, φ, z) dl = ds ˆs + s dφ ˆφ + dz ˆz I B · dl = µ0I 2π I ₁ ss dφ = µ₀I 2π 2π Z 0 dφ = µ₀I

Przy założeniu, że kontur okrąża przewodnik tylko raz.

kontur

przewodnik

φ1

φ2

Jeśli kontur nie otacza przewodnika to R dφ = 0; φ zmienia się od φ₁ do

I1

I2

I3

I4

I5

I6 wiązka przewodników; każdy przewodnik otaczany przez kontur daje wkład równy

±µ₀I; przewodnik nie otaczany przez

kontur nie daje wkładu

I

B · dl = µ₀I_c, I_c jest całkowitym natężeniem prądu

I_c =

Z

J · da, J — objętościowa gęstość prądu

Z

(∇ × B) · da = µ₀

Z

J · da, z twierdzenia Stokesa

5.3.2 Dywergencja i rotacja B (x, y, z) R dτ′ (x′_{, y}′_{, z}′₎ B(r) = µ0 4π Z _{J (r}0_{) × ˆ}R R2 dτ 0 , prawo Biota-Savarta R = (x − x0) ˆx + (y − y0) ˆy + (z − z0) ˆz dτ0 = dx0 dy0 dz0 ∇ · B = µ0 4π Z ∇ · J × ˆ R R2 ! dτ0

∇ · J × ˆ R R2 ! = ˆ R R2 · (∇ × J ) − J · ∇ × ˆ R R2 !

∇ × J = 0, J nie zależy od nieprimowanych zmiennych

∇ × Rˆ

R2 = 0

∇ · B = 0

∇ × B = µ0 4π Z ∇ × J × ˆ R R2 ! dτ0 ∇ × J × ˆ R R2 ! = J ∇ · ˆ R R2 ! − (J · ∇) Rˆ R2 | {z } =0 ∇ × (A × B) = (B · ∇)A | {z } =0 −(A · ∇)B + A(∇ · B) − B(∇ · A) | {z } =0

Pochodne J są równe zeru bo J nie zależy od nieprimowanych zmiennych.

∇ · Rˆ R2 ! = 4πδ3(R) ∇ × B = µ0 4π Z J (r0) 4πδ3(r − r0) dτ0 = µ₀J (r) prawo Ampère’a

−(J · ∇) Rˆ

R2 = (J · ∇

0₎ Rˆ

R2 pokażemy, że się zeruje

(J · ∇0)  x − x 0 R3  = ∇0 ·  x − x 0 R3 J  −  x − x 0 R3  (∇0 · J ) | {z } =0 skorzystaliśmy z ∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · (∇f ) " −(J · ∇) Rˆ R2 # x = ∇0 ·  (x − x 0₎ R3 J  Z V ∇0 ·  (x − x 0₎ R3 J  dτ0 = I S (x − x0) R3 J · da 0 _{= 0} Na brzegu obszaru J = 0.

5.3.3 Zastosowanie prawa Ampère’a ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a Z (∇ × B) · da = I B · dl = µ₀ Z J · da I

B · dl = µ₀I_c całkowa postać prawa Ampère’a

I_c — całkowity prąd otoczony konturem

Elektrostatyka: prawo Coulomba → prawo Gaussa Magnetostatyka: prawo Biota-Savarta → prawo Ampère’a

Przykład:

Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego

przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd stały o natężeniuI.

I B s kontur Ampère’a I B · dl = B I dl = B 2πs = µ₀I_c = µ₀I, z prawa Ampère’a B = µ0I 2πs

Przykład:

Znaleźć indukcję pola magnetycznego od nieskończonej płaszczyzny z prądem powierzchniowym K = K ˆx. płynącym w płaszczyźnie xy.

x y z K _l kontur Ampère’a prąd powierzchniowy I B · dl = 2Bl = µ₀I_c = µ₀Kl B =      +(µ₀/2)K ˆy dla z < 0 −(µ₀/2)K ˆy dla z > 0

5.3.4 Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki + E B    ∇ · E = _1 0 ρ prawo Gaussa ∇ × E = 0    ∇ · B = 0 ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a

5.4 Magnetyczny potencjał wektorowy 5.4.1 Potencjał wektorowy ∇ · B = 0, ∇ · (∇ × A) ≡ 0 B = ∇ × A ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A = µ₀J ∇ · A = 0 A = A₀ + ∇λ, ∇ · A = ∇ · A₀ + ∇2λ ∇2λ = −∇ · A₀

λ = 1 4π Z ∇ · A 0 R dτ 0_{, jeśli ∇ · A} 0 znika w nieskończoności

Możemy zawsze wybrać ∇ · A = 0

∇2A = −µ₀J prawo Ampère’a A(r) = µ0 4π Z J (r0₎ R dτ 0

jeśli J znika w nieskończoności A(r) = µ0 4π Z _I R dl 0 = µ0I 4π Z ₁ R dl 0 , dla prądów liniowych

A(r) = µ0 4π Z K R da 0 , dla prądów powierzchniowych Przykład:

Powierzchnia sferyczna o promieniu R naładowana ładunkiem

powierzchniowym σ wiruje z prędkością kątową ω. Znaleźć potencjał wektorowy w punkcie r. x y z Ψ r R ω x y z Ψ θ′ φ′ r′ da′ r R ω

A(r) = µ0 4π Z K(r0) R da 0 K = σv, R = pR2 + r2 − 2Rr cos θ0, da0 = R2 sin θ0 dθ0 dφ0 v = ω × r0 =          ˆ x yˆ zˆ ω sin Ψ 0 ω cos Ψ

R sin θ0 cos φ0 R sin θ0 sin φ0 R cos θ0

= Rω[−(cos Ψ sin θ0 sin φ0) ˆx

+ (cos Ψ sin θ0 cos φ0 − sin Ψ cos θ0) ˆy + sin Ψ sin θ0 sin φ0z]ˆ

2π Z 0 sin φ0 dφ0 = 2π Z 0 cos φ0 dφ0 = 0

A(r) = −µ0R 3_{σω sin Ψ} 2    π Z 0 cos θ0 sin θ0 √ R2 + r2 − 2Rr cos θ0 dθ 0   yˆ u ≡ cos θ0 +1 Z −1 u √ R2 + r2 − Rru du = − R2 + r2 + 2Rru 3R2r2 p R2 + r2 − 2Rru      +1 −1 = − 1 3R2r2 h (R2 + r2 + Rr)|R − r| − (R2 + r2 − Rr)(R + r)i A(r) =      µ₀Rσ 3 (ω × r) dla r < R µ₀R4σ 3r3 (ω × r) dla r > R ω × r = −ωr sin Ψ ˆy

Po przejściu do „naturalnych” zmiennych gdzie ω jest wzdłuż osi z, mamy A(r, θ, φ) =    µ0Rωσ 3 r sin θ ˆφ dla r ≤ R µ0R4ωσ 3 sin θ r2 φˆ dla r ≥ R B = ∇ × A = 2µ0Rωσ 3 (cos θ ˆr − sin θ ˆθ) = 2 3µ0σRω ˆz = 2 3σRω Pole indukcji B wewnątrz sfery jest jednorodne.

5.4.2 Magnetostatyczne warunki brzegowe B⊥ nad B⊥ pod K ∇ · B = 0 ⇒ I B · da = 0 B_nad⊥ = B_pod⊥

B_nadk B_podk K l I B · dl = (B_nadk − B_podk )l = µ₀I_c = µ₀Kl B_nadk − B_podk = µ₀K B_nad − B_pod = µ₀(K × ˆn)

A_nad = A_pod potencjał wektorowy jest ciągły

∇ · A = 0 gwarantuje ciągłość składowej normalnej

∇ × A = B ⇒ I A · dl = Z B · da = Φ ciągłość składowej stycznej ∂A_nad ∂n − ∂A_pod ∂n = −µ0K

5.4.3 Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego x y z I O θ′ dr′ = dl′ r r′ R P 1 R = 1 √ r2 + r02 − 2rr0 cos θ0 = 1 r ∞ X n=0 r0 r !n P_n(cos θ0)

A(r) = µ0I 4π I ₁ R dl 0 = µ0I 4π ∞ X n=0 1 rn+1 I (r0)nP_n(cos θ0) dl0 A(r) = µ0I 4π  1 r I dl0 + 1 r2 I r0 cos θ0 dl0 + 1 r3 I (r0)2  3 2 cos 2 θ0 − 1 2  dl0 + · · · # I

dl0 = 0, nie ma monopola magnetycznego A_dip(r) = µ0I 4πr2 I r0 cos θ0 dl0 = µ0I 4πr2 I ( ˆr · r0) dl0 I ( ˆr · r0) dl0 = − ˆr × Z da0

A_dip(r) = µ0 4π m × ˆr r2 m ≡ I Z

Przykład:

Znaleźć magnetyczny moment dipolowy pętli z prądem o natężeniu I przedstawionej na rysunku. x y z I w w w m = Iw2y + Iwˆ 2zˆ

x y z θ P m r φ A_dip(r) = µ0 4π m sin θ r2 ˆ

φ potencjał dipola m umieszczonego

w początku układu współrzędnych

B_dip(r) = ∇ × A = µ0m

y z

⊗ z

y

pole „czystego” dipola pole „fizycznego” dipola

B_dip(r) = µ0 4π

1

r3 [3(m · ˆr) ˆr − m]

indukcja magnetyczna dipola w postaci niezależnej od