Magnetostatyka. Cewki indukcyjne ROZDZIAŁ 5

Elektrotechnika podstawowa ⁹¹

ROZDZIAŁ 5

M a g n e t o s t a t y k a . C e w k i i n d u k c y j n e

Pole magnetyczne powstaje w wyniku przemieszczeń (zmian) ładunków elektrycznych. Mówi się więc o wytwarzaniu tego pola przez źródłowe elementy prądowe.

Najczęściej rozważa się przypadki pól magnetycznych występujących wokół przewodów z prądem.

Między położonymi blisko siebie przewodami z prądem występują siły (oddziaływanie elektrody- namiczne).

Stosując materiały o szczególnych własnościach magnetycznych (ferromagnetyki) uzyskuje się kon- centrację strumieni magnetycznych wzdłuż określonych dróg, tworzących obwód magnetyczny.

Analiza obwodów magnetycznych jest utrudniona z powodu nieliniowości charakterystyk magne- sowania ferromagnetyków.

Fundamentalne znaczenie odgrywa w elektrotechnice prawo indukcji elektromagnetycznej. Wskutek zmiany strumienia skojarzonego z cewką, indukuje się w niej napięcie. Jeśli strumień skojarzony z cewką pochodzi od prądu tejże cewki, to występuje zjawisko samoindukcji, a jeśli od prądu innej cewki – zjawisko indukcji wzajemnej.

Dzięki indukcji wzajemnej możliwe jest przenoszenie energii z jednego obwodu elektrycznego do drugiego obwodu elektrycznego na drodze magnetycznej. Taki proces zachodzi w transformatorze.

Posługując się wielkością zwaną przekładnią transformatora, sprowadza się jego schemat dwu- obwodowy do schematu jednoobwodowego.

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 5 a odległość od przewodu z prądem

B indukcja magnetyczna

Br remanencja (indukcja szczątkowa, po- zostałość magnetyczna)

B_s indukcja nasycenia

eind siła elektromotoryczna (sem) induko- wana

F_µ siła magnetomotoryczna

∆^F wartość bezwzględna siły działającej na element prądowy

F siła

∆∆∆∆^F siła działająca na element prądowy Hc koercja (natężenie koercji, natężenie

powściągające)

H natężenie pola magnetycznego i prąd

iL hipotetyczny prąd Lenza I prąd stały

k współczynnik sprzężenia magnetycz- nego

l długość przewodu; długość drogi stru- mienia

∆^l długość elementu prądowego

∆^l wektor długości elementu prądowego L indukcyjność własna

Lg indukcyjność główna Ls indukcyjność rozproszenia

L_µ indukcyjność główna (magnesująca) transformatora

M indukcyjność wzajemna

M polaryzacja magnetyczna (magnetyza- cja)

∆^M wartość bezwzględna momentu działa- jącego na dipol magnetyczny

∆∆∆∆^M moment działający na dipol magne- tyczny

p_µ dipolowy moment magnetyczny

∆^Q ładunek elementu prądowego

r odległość

r wektor odległości; promień

RFe rezystancja poprzeczna schematu trans- formatora

R_µ.k reluktancja (opór magnetyczny)

S pole powierzchni; pole przekroju rdze- nia (magnetowodu)

∆^S pole elementu powierzchni; pole pła- skiej pętli prądu

∆^S wektor normalny do elementu po- wierzchni ∆^S

t czas u napięcie

uind napięcie indukowane U_µ napięcie magnetyczne

∆^v objętość przestrzeni elementarnej v prędkość; prędkość ładunku elementu

prądowego

W_µ energia pola magnetycznego z liczba zwojów uzwojenia (cewki) ϑ przekładnia transformatora κ podatność magnetyczna Θ przepływ prądu

Λµ.k permeancja (przewodność magnetycz- na)

µ przenikalność magnetyczna

µr przenikalność magnetyczna względna µ0 stała magnetyczna (przenikalność ma-

gnetyczna próżni)

ρ_Wµ przestrzenna (objętościowa) gęstość energii pola magnetycznego

Φ strumień magnetyczny; strumień ma- gnetyczny przenikający przez po- wierzchnię S

∆Φ strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię ∆^S

Ψ strumień skojarzony

Literatura do rozdziału 5 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8]

5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne ⁹³

Wykład XI. POLE I OBWODY MAGNETYCZNE

Pole magnetyczne i jego źródła

Występowanie oddziaływań magnetycznych (pól magnetycznych) wią- że się z prądem elektrycznym. Źródłami pola magnetycznego są tzw.

elementy prądowe, mianowicie: ładunki poruszające się z określoną prędkością (rys. a); odcinki przewodów z prądem elektrycznym (rys. b); płaskie pętle, tj. zamknięte obwody, zwoje, ramki, w których płynie prąd elektryczny (rys. c).

Małą, płaską pętlę prądu nazywamy dipolem magnetycznym. Można go traktować jako układ elementarny dwóch biegunów magnetycznych.

Każdy z występujących w przestrzeni elementów prądowych przyczynia się do powstania wypadko- wego pola magnetycznego, a gdy sam znajduje się w polu magnetycznym pochodzącym od innych elementów prądowych, podlega określonemu działaniu tego pola. Na pole magnesu trwałego składa- ją się w głównej mierze pola związane ze spinowymi ruchami elektronów.

Indukcja magnetyczna

Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest indukcja magnetyczna B. Definiu- jąc tę wielkość korzysta się z zależności określających siłę lub moment, z jaką pole magnetyczne działa na próbne elementy prądowe. Podobnie – za pomocą siły działającej w polu elektrycznym na próbny ładunek – zostało określone natężenie pola elektrycznego (rozdz. 1).

Próbny element prądowy określonego rodzaju wyraża się ilościowo jako:

- iloczyn małego ładunku elektrycznego ∆Q i wektora jego prędkości v (rys. a),

- iloczyn prądu I płynącego w krótkim, prostoliniowym odcinku przewodu, i wektora jego długości ∆l o zwrocie zgodnym ze zwro- tem prądu (rys. b),

- iloczyn prądu I i wektora pola powierzchni ∆S płaskiej pętli prądu, nazywany dipolowym momentem magnetycznym; przy czym moduł ∆S równa się polu powierzchni ∆S, kierunek ∆S jest zgodny z normalną do powierzchni, a zwrot – ustalony względem zwrotu prądu zgodnie z regułą korkociągu (rys. c).

Siła ∆^{F (moduł} ∆F) lub moment ∆^{M (moduł} ∆M), działające na próbne elementy prądowe, to ilo- czyny wektorowe wyrażających je wielkości przez indukcję magnetyczną B:

- siła ∆F (N), nazywana siłą Lorentza, z jaką pole magnetyczne działa na ładunek elektryczny

∆Q (C), poruszający się z prędkością v (m s^-1) B v F =∆Q⋅ ×

∆ , ∆F =∆Q⋅v⋅B⋅^sinα , (5.1a, a’) - siła ∆F (N), nazywaną siłą Ampere’a, z jaką pole magnetyczne działa na mały, prostoliniowy odcinek przewodu z prądem I (A), o długości skierowanej ∆^{l (m)}

B l F = ⋅∆ ×

∆ ^I , ∆F =I⋅∆l⋅B⋅^sinα , (5.1b, b’) - moment ∆M (N m), z jaką pole magnetyczne działa na dipol magnetyczny o prądzie I (A) i po- wierzchni ∆^{S (m2)}

B p B S

M = ⋅∆ × = _µ×

∆ ^I , ∆M =I⋅∆S⋅B⋅^sinα , (5.1c, c’) przy czym dipolowy moment magnetyczny p_µ =I⋅∆S . (5.1c”) Jak widać, między miarami elementów prądowych i modułami sił lub momentów, działających na te elementy w polu magnetycznym, zachodzi proporcjonalność wyrażona współczynnikiem (B⋅sinα). Moduły sił ∆F i momentów ∆M osiągają największe wartości, jeśli wielkości występujące w iloczy-

a)

b)

c)

∆Q v

∆^l I

I

∆^S

S

N

a) ∆^Q⋅^v

b) I⋅∆∆∆∆^l

c) I⋅∆∆∆∆^S

∆^Q v B

∆∆∆∆^F α

I ∆^S

p_µ B

∆^M α

∆∆∆∆F

∆∆∆∆l I

B ^α

nach wektorowych zależności: (5.1a), (5.1b) oraz (5.1c), są do siebie prostopadłe (α = π/2). Zakłada- jąc prostopadłość wektorów odpowiednich wielkości (odpowiednie ustawienie elementu prądowego w polu magnetycznym), definicję indukcji B można uformować – wg zależności: (5.1a’), (5.1b’) oraz (5.1c’) – na podstawie granicznych wartości modułów:

v Q B F

Q ⋅

= → ∆

∆

∆

max 0

lim ,

I l B F

l ⋅

= → ∆

∆

∆

max 0

lim ,

I S B M

S ⋅

= → ∆

∆

∆

max 0

lim . (5.2a, b, c) Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T), wyrażana w jednostkach innych wielkości jako we- ber na metr do kwadratu (Wb⋅m^-2) albo wolt razy sekunda na metr do kwadratu (V⋅s⋅m^-2).

Jeśli moduł, kierunek i zwrot siły lub momentu pochodzenia magnetycznego, jakie działają na okre- ślony element prądowy, są stałe w dowolnym miejscu rozważanej przestrzeni (przy jednakowym zorientowaniu elementu względem osi układu współrzędnych), to indukcja magnetyczna jest stała co do modułu, kierunku i zwrotu. Pole magnetyczne występujące w tej przestrzeni jest polem równo- miernym.

Krzywe styczne we wszystkich punktach do wektora indukcji magnetycznej, zgodnie z nim skiero- wane, noszą nazwę linii pola magnetycznego. Efekt działania pola na elementy prądowe jest najsil- niejszy, jeśli są one skierowane pod kątem prostym do linii pola magnetycznego.

Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa siła skierowana prostopadle do płaszczyżny wyznaczonej przez linie pola i wektor prędkości ładunku. Tor ruchu cząstki w stałym, równomiernym polu magnetycznym ulega więc zakrzywieniu. Przykładem takiego działania jest odchylanie wiązki elektronów w lampie kineskopowej.

Na odcinek przewodu prostoliniowego z prądem działa siła wypychająca go w kierunku prostopa- dłym do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i przewód.

Na płaski zwój przewodu z prądem działa moment obracający go prostopadle do płaszczyzny wy- znaczonej przez linie pola i normalną do płaszczyzny zwoju.

Strumień magnetyczny

Strumień magnetyczny ∆Φ przenikający przez powierzchnię ∆^S , tzn. strumień wektora indukcji magnetycznej B przez element powierzchni ∆S (rys.), jest skalarem

α

∆

∆

∆Φ =B⋅ S =B⋅ S⋅^cos . (5.3a) gdzie ∆^{S =} ∆^S⋅1_n – wektor normalny do elementu powierzch-

ni ∆S (w przypadku powierzchni zamkniętej – skierowany na zewnątrz tej powierzchni).

Strumień magnetyczny Φ przenikający przez powierzchnię S, tzn.

całka powierzchniowa B po S, jest skalarem

∫

=

S

dS

Φ B . (5.3b) W równomiernym polu magnetycznym strumień Φ przez po- wierzchnię S prostopadłą do B (moduł: B) jest równy iloczynowi

S B⋅

Φ = . (5.3c) Jednostką strumienia magnetycznego jest weber (Wb) czyli wolt razy sekunda (V⋅s).

Strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru

=0

∫

S

S

B d . (5.4) Wynika z tego, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym (solenoidalnym), a jego linie są li- niami zamkniętymi. Stwierdzenie to wyraża tzw. zasadę ciągłości linii pola magnetycznego.

W przestrzeni ograniczonej liniami pola magnetycznego strumień ma stałą wartość. Można więc tworzyć „rurki” („komórki”) strumienia magnetycznego, z nich zaś – obwód magnetyczny, przypo- minający obwód elektryczny. Rola strumienia magnetycznego w analizie obwodów magnetycznych jest podobna do roli prądu elektrycznego w analizie obwodów elektrycznych.

∆^S B

∆S 1n

S

α

∆Φ

∆S S

Φ

5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne ⁹⁵

Natężenie pola magnetycznego. Przenikalność magnetyczna

Wektor indukcji magnetycznej B pola wytworzonego przez określony układ elementów prądowych zależy od własności magnetycznych środowiska.

Wielkością magnetyczną, która nie zależy od własności środowiska, a tylko od rodzaju i układu geometrycznego elementów prądowych wytwarzających pole, jest natężenie pola magnetycznego H.

W środowisku izotropowym wektory B i H mają ten sam kierunek i zwrot, a związek ten wyraża się zależnością (wektorowo i skalarnie):

H

B=µ⋅ ^{, B}=µ⋅^H . (5.5a, b) Występująca w nim wielkość µ to przenikalność magnetyczna, będąca iloczynem stałej magnetycznej (przenikalności magnetycznej próżni) µ0 i przenikalności magnetycznej względnej środowiska µr:

µr

µ

µ = ₀⋅ . (5.5c) Przenikalność magnetyczna µ jest podstawową stałą materiałową magnetyka.

Jednostką natężenia pola magnetycznego jest amper na metr (A⋅m^-1). Odwołując się do jednostki indukcyjności – henra (H) czyli omosekundy (Ω⋅s), stałą magnetyczną µ0 i przenikalność magne- tyczną µ wyraża się w henrach na metr (H⋅m^-1) czyli omach razy sekunda na metr (Ω⋅s⋅m^-1).

Stała magnetyczna ma wartość µ0 = 4π⋅10 ^{– 7} H/m.

Prawo Biota-Savarta-Laplace’a. Prawo przepływu prądu (prawo Ampere’a)

W środowisku jednorodnym i izotropowym obowiązuje zasada superpozycji pól magnetycznych pochodzących od różnych źródeł. Natężenie pola pochodzące od przewodu z prądem jest równe su- mie natężeń pochodzących od odcinków tego przewodu. Wkład (przyczynek) dH – elementarnego odcinka przewodu dl z prądem i – do natężenia pola magnetycznego H w punkcie położonym w odległości r od dl (rys. a), zapisuje się w postaci wektorowej albo skalarnej:

) (

4 ) (

4 ³ r^{2 dl r}

dl d i

r

dH i l r ⋅ 1 ×1

⋅

= ⋅

×

⋅ ⋅

= π π , (5.6a)

α sin 4 ² ⋅

⋅

= ⋅ r π

dl

dH i . (5.6b)

Powyższa formuła słowna oraz zależności analityczne (5.6a) i (5.6b) wyrażają prawo Biota-Savarta-Laplace’a.

Całka liniowa wektora natężenia pola magnetycznego H po krzywej zamkniętej (całka okrężna) równa się sumie prądów przenikających (przepływowi prądu Θ) przez powierzchnię roz- piętą na tej krzywej (rys. b):

∫ ∑

=

=

=

⋅

L

n

k

ik

d

1

Θ l

H . (5.7) Powyższa formuła słowna oraz zależność analityczna (5.7) wyra- żają prawo przepływu prądu (prawa Ampere’a).

Wartość całki we wzorze (5.7) jest w ogólnym przypadku różna od zera. Pole magnetyczne jest więc polem wirowym.

Linie pola magnetycznego wokół nieskończenie długiego prze- wodnika z prądem układają się koncentrycznie (rys. c).

Przykład. Na podstawie praw Biota-Savarta-Laplace’a oraz Ampere’a, zostanie wyprowadzony wzór na natężenie pola magnetycznego H w odległości a od nieskończenie długiego przewodu z prądem i.

α i dl

dH r

a)

b)

c)

H dl ik

k=1, 2, ...

I

B, H

B, H I

I sposób. Z rys. c’ wynikają zależności:

(

)

ctg − =− ⋅

⋅

=a a

x ,

α sin r= a ,

zatem α

α ^d dx= a₂ ⋅

sin ,

α

2 2 2

sin r = a ,

a po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (5.6b) otrzymuje się

a d i

a H i

= ⋅

⋅

⋅ ⋅

=^π

∫

0

. II sposób. Z rys. c” i wzoru (5.7) wynika równanie

i H a⋅ = π⋅

2 , stąd

a H i

= ⋅ π

2 .

Oddziaływanie elektrodynamiczne. Definicja jednostki prądu elektrycznego

Położone blisko siebie przewody z prądem przyciągają się lub odpychają. Oddziaływania tego rodzaju zwykło się określać jako elektrodynamiczne.

W przypadku dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich, biegnących równolegle do siebie, cien- kich przewodów z prądem (rys. poniżej oraz wzór otrzymany w przedstawionym wyżej przykładzie):

- siła Ampere’a działająca na jednostkę długości pierwszego prze- wodu, pochodząca od prądu drugiego przewodu

2 1 2

1 2 1 1

2

2 i i

a a

i i B l i

F ⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

⋅

=

⋅

= π

µ

µ π , (5.8a)

- siła Ampere’a działająca na jednostkę długości drugiego przewo- du, pochodząca od prądu pierwszego przewodu

2 1 1

2 1 2 2

2

2 i i

a a

i i B l i

F ⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

⋅

=

⋅

= πµ

µ π , (5.8b)

więc ^{1 2} _{1 2}

2 i i

a l

F l

F ⋅ ⋅

= ⋅

= πµ

. (5.8c) Widać, że przewody odpychają się przy przeciwnym zwrocie prądów, a przyciągają – przy zgodnym.

Jeśli: i₁ =i₂ =1A, µ =µ₀ =4π⋅10⁻⁷H/m, a = 1 m, to =2⋅10⁻⁷ l

F N/m.

W ten sposób, za pomocą siły oddziaływania elektrodynamicznego przewodów z prądem elektrycz- nym, definiuje się podstawową jednostkę elektryczną: amper (A) jest natężeniem prądu, który pły- nąc w dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o pomijalnie małym przekroju kołowym, umieszczonych w próżni i biegnących równolegle do siebie w odległości 1 m, wywołuje między nimi siłę równą 2⋅10^-7 N na każdy metr długości.

Diamagnetyki i paramagnetyki

O magnetycznych właściwościach ciał decyduje budowa atomów i ich przestrzenne, wzajemne uło- żenie. Wspomniane wcześniej prądy molekularne, odpowiadające orbitalnym i spinowym ruchom elektronów oraz przypisanym im orbitalnym i spinowym momentom magnetycznym, są głównym źródłem wypadkowych pól magnetycznych atomów. Ruchom protonów i neutronów wewnątrz jąder atomów odpowiadają wypadkowe momenty magnetyczne jąder, ale są one około 2000 razy mniejsze od orbitalnego i spinowego momentu elektronu.

Jeśli atomy ciała nie wytwarzają wypadkowego pola magnetycznego w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego, czyli pola orbitalne oraz spinowe atomów kompensują się, to ciało takie zali- cza się do diamagnetyków.

c’)

c”)

i x

y dH, H a

r

dx 1r

1x

0 x

π-α α

H i a

B2 ∆^l1 i1

B1 ∆^l2

∆F1

∆^F2

a i2

B2

∆^{l1 i1}

B1

∆^l2

∆^F1

∆^F2

a i2

5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne ⁹⁷

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego występują w nich niewielkie zmiany wypadkowych momentów magnetycz- nych par elektronów, które zajmują w atomach te same poziomy energetyczne (rys. obok). Reakcja każdej pary elektronów na zewnętrzne pole magnetyczne jest podobna. Powstaje słabe, wy- padkowe wewnętrzne pole magnetyczne, skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Efekt ten, wyrażający się osłabieniem w nikłym stopniu pola zewnętrznego, określa się jako efekt diama- gnetyczny.

Jeśli atomy ciała wytwarzają wypadkowe pole magnetyczne, czyli pola orbitalne oraz spinowe ato- mów nie kompensują się, a kierunki i zwroty pól w ramach tworzonych przez cząsteczki struktur przestrzennych są zupełnie dowolne, to ciało takie zalicza się do paramagnetyków.

Atomy paramagnetyków można przedstawić jako elementarne magnesy, które dążą do zajęcia położenia zgodnego z polem ze- wnętrznym (rys. obok). Działanie to, utrudniane w znacznym stopniu przez ruchy cieplne cząsteczek, prowadzi do powstania wypadkowego wewnętrznego pola magnetycznego, skierowane- go zgodnie z polem zewnętrznym. Wynikiem jest niewielkie wzmocnienie pola zewnętrznego, określane jako efekt parama- gnetyczny. W paramagnetykach występuje również efekt diama- gnetyczny, ale jest on słabszy od paramagnetycznego.

Zewnętrzne pole magnetyczne nie wpływa zatem wyraźnie na zmianę ustawienia dipoli magnetycz- nych w dia- i paramagnetykach. Ciała te nie mają szczególnych własności magnetycznych. Przeni- kalność magnetyczna względna diamagnetyków jest znikomo mniejsza, a paramagnetyków – zni- komo większa od 1 (np. srebro ma µr ≅ 0,99998, zaś aluminium 1,00002). Diamagnetyki są przez magnes słabo odpychane, a paramagnetyki słabo przyciągane.

Ferromagnetyki

Nadzwyczajne właściwości magnetyczne wykazują ferromagnetyki. Ich kryształy dzielą się na ele- mentarne przestrzenne obszary samorzutnego namagnesowania, w których atomowe pola magne- tyczne (typu paramagnetycznego) są zorientowane zgodnie, chociaż w różny sposób w poszczegól- nych obszarach. Obszary te nazwano domenami magnetycznymi. Domeny wyraźnie reagują na poja- wienie się zewnętrznego pola magnetycznego. Dążą do zorientowania swych pól zgodnie z polem zewnętrznym (dotyczy to głównie momentów spinowych elektronów) przez przejmowanie i podpo- rządkowanie tej orientacji części cząsteczek sąsiednich domen i przez „poprawę” własnego ustawie- nia. Nazywa się to poglądowo obrotem i rozrostem domen, chociaż jedno i drugie zjawisko polega w zasadzie na tym samym: zmianie orientacji momentu dipoli magnetycznych. Efektem tego „prze- orientowania” jest magnesowanie się ciała. Ferromagnetyk nienamagnesowany jest silnie przyciąga- ny przez magnes, bowiem w wyniku przeorientowania domen sam staje się magnesem.

Po usunięciu zewnętrznego pola pozostaje w ferromagnetyku jakieś namagnesowanie. Zależnie od tego, jak jest ono duże, mówi się o materiale, że jest magnetycznie miękki albo magne- tycznie twardy. Materiałów magnetycznie twardych używa się do wyrobu magnesów trwałych.

Zależność B = f(H) materiałów ferromagnetycznych przedstawia krzywe magnesowania pierwotnego i pętle histerezy (rys. obok).

Przenikalność magnetyczna względna µr różnych ferromagnety- ków – statyczna bądź dynamiczna poniżej punktu nasycenia – zawiera się w przedziale wartości od kilkuset (nikiel – ok. 600) do kilkuset tysięcy (czyste żelazo – ok. 200 tysięcy).

B = 0

p_µ 1 = p_µ 2  pµ = pµ 1 +pµ 2 = 0

B ≠ 0

p_µ 1’< p_µ 2’ pµ’= pµ 1’+pµ 2’≠ 0

p_µ 2

p_µ 1

p_µ 2’ pµ 1’ B

B = 0

B ≠ 0

××××

××××

H B

0 Bs

Br

Hc

Bs– indukcja nasycenia Br– remanencja Hc– koercja

wierzchołek pętli histerezy

pętla histerezy krzywa magneso-

wania

Polaryzacja magnetyczna (magnetyzacja)

Zjawisko powstawania wewnętrznego pola magnetycznego pod wpływem pola zewnętrznego nazywa się polaryzacją magnetyczną lub magnetyzacją – przez analogię do polaryzacji elektrycznej w dielektrykach.

Na zasadzie podobnej analogii wprowadza się pojęcie wektora polaryzacji magnetycznej, krótko: pola- ryzacji magnetycznej lub magnetyzacji M (oznaczenie rezerwowe J), określonego wzorami:

v

v 0

lim

∆

p .

M

→

= . (5.9) H

M =κ⋅ , (5.10) gdzie: ∆v – objętość,

p_µ.∆v - suma momentów dipoli magnetycznych cząsteczek zawartych w objętości ∆^v, κ - podatność magnetyczna środowiska, wielkość bezwymiarowa.

Wypadkowe wewnętrzne pole magnetyczne może być skierowane – względem pola zewnętrznego – zgodnie (paramagnetyki i ferromagnetyki) lub przeciwnie (diamagnetyki), zatem κ może przybierać wartości dodatnie i ujemne.

Indukcja magnetyczna wyraża się wzorem

H M

H H

B =µ₀⋅µr ⋅ =µ₀⋅ +µ₀⋅ =µ₀⋅(1+κ)⋅ , (5.11a) czyli µ_r =1+κ . (5.11b)

Prawa dotyczące obwodów strumienia stałego (magnetostatycznych)

Pole magnetyczne związane z prądem stałym jest nazywane polem magnetostatycznym (magnetycz- nym statycznym). Polem magnetostatycznym jest także pole magnetyczne wytworzone przez magnes trwały. Zazwyczaj rozważa się przypadki pola magnetostatycznego w rdzeniu ferromagnetycznym (magnetowodzie) i występujących w nim szczelinach powietrznych. Stosowanie ferromagnetyka pozwala uzyskać koncentrację strumieni magnetycznych wzdłuż założonych dróg, które tworzą ob- wód magnetyczny (pojęcie to odnosi się do układów ze strumieniami stałymi w czasie i wolno- zmiennymi).

Obwód magnetyczny jest to zespół elementów tworzących drogi zamknięte dla strumieni magne- tycznych, wraz ze źródłami tych strumieni, którymi są prądy elektryczne w uzwojeniach lub magne- sy trwałe. Z powodu stosowania ferromagnetyków, obwody magnetyczne są z reguły nieliniowe.

Gałęziami obwodu magnetycznego są odcinki o stałym strumieniu, zaś węzłami – miejsca rozgałę- ziania się strumieni gałęziowych. Gałęzie składają się na ogół z odcinków o stałym przekroju. Przyj- muje się, że pole magnetyczne jest w tych przekrojach równomierne.

Suma strumieni magnetycznych w węzłach jest równa zeru (I prawo Kirchhoffa dla obwodu magne- tycznego), co zapisuje się następująco:

∑

k

k 0

Φ , (5.12) przy czym strumienie dopływające k-tych gałęzi bierze się tradycyjnie ze znakiem „plus”, a odpły- wające – ze znakiem „minus”.

Zgodnie z prawem Ampere’a, wzdłuż oczek obwodu magnetycznego – z uzwojeniami jako źródłami pola – obowiązują następujące, równoważne zależności (II prawo Kirchhoffa dla obwodu magne- tycznego):

∑

∑

k

k k k

k

k l I z

H ,

∑

∑

k k k

U_µ.k Θ ^,

∑

∑

k k k

k F

U_{µ. µ.} , (5.13a, b, c) przy czym: U_µ.k =H_k ⋅l_k , Θ_k =F_µ.k =I_k ⋅z_k , (5.13d, e) gdzie: H_k – natężenie pola magnetycznego w magnetyku k-tej gałęzi należącej do oczka,

l_k – długość drogi strumienia w magnetyku k-tej gałęzi należącej do oczka, Ik – prąd elektryczny w uzwojeniu k-tej gałęzi należącej do oczka,

zk – liczba zwojów uzwojenia k-tej gałęzi należącej do oczka,

5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne ⁹⁹

U_µ.k – napięcie magnetyczne (mierzone w amperach) k-tej gałęzi należącej do oczka, Θk – przepływ prądu, inaczej wzbudność (w amperach) k-tej gałęzi należącej do oczka, F_µ.k – siła magnetomotoryczna (inaczej nazwany i oznaczony przepływ prądu) k-tej gałęzi

należącej do oczka.

Dla k-tych liniowych części (gałęzi) obwodu magnetycznego, np. szczelin powietrznych, wprowadza się pojęcia reluktancji (oporu magnetycznego) R_µ.k i permeancji (przewodności magnetycznej) Λµ.k :

k k

k

k S

R l

= ⋅

µ. µ ,

k k k k

k l

S R

= ⋅

= µ

Λ

µ µ

. .

1 , (5.14a, b)

gdzie: l_k – długość rozważanej, liniowej k-tej gałęzi obwodu magnetycznego,

Sk – powierzchnia przekroju poprzecznego, przez którą przenika strumień k-tej gałęzi, µk – przenikalność magnetyczna materiału k-tej gałęzi.

Jednostką permeancji jest henr (H) czyli omosekunda (Ω⋅s).

Jednostką reluktancji jest odwrotność henra (H^-1) czyli simens na sekundę (S⋅s^-1).

Skoro

S H B

= ⋅

= µΦ

µ , więc _{k k k}

k k

k k

k

k R

S l l

H

U Φ Φ

µ ^µ

µ ⋅ = ⋅

= ⋅

⋅

= _.

.

(rys. a), zatem liniowej częściobwodu magnetycznego odpowiadają następu- jące zależności (prawo Ohma dla obwodu magnetycznego – rys. b):

µ Φ

µ =R ⋅

U , Φ =Λ_µ⋅^U_µ , (5.15a, b) zaś nierozgałęzionemu liniowemu obwodowi magnetycznemu można przy- pisać równania (rys. c):

Φ

Θ =R_µ⋅ , Φ =Λ_µ ⋅Θ , (5.16a, b) gdzie: Θ – przepływ całkowity, tzn. sumaryczny przepływ prądów uzwojeń;

Rµ i Λµ – reluktancja i permeancja części albo całego obwodu liniowego.

Obwód magnetostatyczny nierozgałęziony

Uzwojeniu nawiniętemu na rdzeń ze szczeliną powietrzną (rys. a) odpowiada nierozgałęziony obwód magnetyczny, złożony z dwóch części (rys. b): nieliniowej pasywnej (żelazo) i liniowej aktywnej (uzwojenie i szczelina powietrzna). Aby wyznaczyć Φ^{, znając} Θ i wykres zależności nieliniowej Bż(Hż), można skorzystać z metody przecięcia charakterystyk, znanej z teorii obwodów elektrycz- nych. W układzie współrzędnych U_µ ,Φ wrysowuje się charakterystyki części nieliniowej Φż(U_{µ .}ż) i liniowej Φ p (Uµ .ż), a następnie określa parametry odpowiadające punktowi ich przecięcia (rys. c).

Charakterystykę części nieliniowej pasywnej Φż(U_{µ .ż}) uzyskuje się z przeskalowania charaktery- styki magnesowania żelaza B(H), wg wzorów: U_µ.ż =H⋅l_ż , Φ_ż =B⋅S_ż ^.

Charakterystyka części liniowej aktywnej Φ p (U_{µ .}ż) wynika z równania obwodu:

p U ż

U_{µ. µ.}

Θ = + , czyli Θ = R_µ.p ⋅Φ_p +U_µ.ż , zapisanego jako równanie prostej

p ż p ż

p R

U U

. . . )

(

µ

µ Θ µ

Φ

Φ = = ⁻ , gdzie stałymi są Θ =z⋅i ⁱ

p p

p S

R l

= ⋅

0

. µ

µ .

a)

b)

c)

Uµ .k

Rµ .k

Φ k

Uµ

R_µ Φ

Θ Rµ

Φ

a) b) c)

lp

lż

Sż

Sp

z i

B, H

Φ Φ p =Φ Φ ż =Φ

Θ

U_µ .p

U_µ .ż

Rµ .p

(R_µ .ż)

U_µ .ż

Θ 0

Θ R_µ .p

Φ p ,Φ ż

Φ

U_µ .ż

Φ ż (U_µ .ż) Φ p (U_µ .ż)

Zwykle nie przeskalowuje się danej wykreślnie charakterystyki magnesowania żelaza Bż (Hż), tylko pozostaje przy współrzędnych H_ż , B_ż , dostosowując do nich charakterystykę części liniowej:

p ż ż ż p ż

p ż

ż ż p ż

S R

l H S

R H U S

H H

B ⋅

⋅

= −

= ⋅

=

. .

. ( )

) ) (

( '

µ µ

µ Θ

Φ (rys. obok).

Punkt przecięcia charakterystyk B_ż(H_ż) i B_p’(H_ż) wyznacza szukaną wartość indukcji magnetycznej B_ż , stąd Φ = B_ż ⋅S_ż ^. Jeśli zależność nieliniowa Bż (Hż) dana jest w postaci numerycznej,

to zwykle wyznacza się charakterystykę wypadkową Φ⁽Θ), też w postaci numerycznej.

Dla wartości B_ż i H_ż oblicza się wartości: Φ =B_ż⋅S_ż ^, _p

p ż

p ż

ż l

l S H U

U + = ⋅ + ⋅ ⋅

= Φ

Θ _{µ µ} µ

0 .

.

1

.

Szukaną wartość Φ, przy danej wartości Θ, wyznacza się dokładnie na zasadzie interpolacji.

Obliczanie wartości Θ, przy danych wartościach Bż lub Φ, jest dużo łatwiejsze, albowiem punktem wyjścia jest wielkość, do której bezpośrednio odnosi się związek nieliniowy.

W powyższych rozważaniach pominięto wpływ grubości płytek na rdzeniu przy szczelinie powietrznej, ustalających powierzchnię jej przekroju (jeśli jest ona różna od powierzchni przekroju rdzenia).

Przykład. W rdzeniu stalowym ze szczeliną powietrzną o danych: Sż =Sp =25 cm², lż =120 cm, lp =2 mm, uzwojenie wytwarza przepływ Θ =2600 A. Szukana jest wartość strumienia Φ^.

Charakterystyka magnesowania rdzenia jest zadana numerycznie:

B (T) 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 H (A/m) 299 359 423 488 568 668 812 1002 1317 1806 2846 5134 Wyznacza się wartości Φ ⁱ Θ dla spodziewanego fragmentu wypadkowej charakterystyki Φ⁽Θ^{), po} czym znajduje wartości skrajne przedziałów, w którym są wartości: zadana Θ i szukana Φ^.

B (T) H (A/m) Φ ^{(10-3 Wb)} Θ ^(A)

0,8 488 2,00 1811

0,9 568 2,25 2114

1,0 668 2,50 2393

1,1 812 2,75 2725

Obliczenie wartości Φ ^dla Θ =2600 A:

656 , 2393 2 2725

2393 ) 2600

5 , 2 75 , 2 ( 5 ,

2 ≅

−

⋅ −

−

+ ;

Φ =2,656⋅10^-3 Wb .

Obwód magnetostatyczny rozgałęziony

Przykład. W rdzeniu stalowym ze szczeliną powietrzną (rys.) o danych: S1 =S2 =Sp =25 cm², S₃ =10 cm², l₁ =l₂ =60 cm, l₃ =40 cm, l_p =2 mm, uzwojenie wytwarza przepływ Θ =2600 A. Szu- kana jest wartość indukcji B_p . Charakterystyka magnesowania rdzenia jest zadana numerycznie (jw.).

Φ2

Φ_p =B_p ⋅S_p = ; B₂ =B_p → H2 ;

0 2

2 . 2

3 _{µ µ} µ

µ U U p l H lp Bp

U = + = ⋅ + ⋅ ;

3 3 3 U l

H = _µ → B3 ; Φ₃=B₃⋅S₃ ^; Φp

Φ

Φ1= 3 + ; B₁=Φ₁ S₁ → H1 ;

3 1 1 3

1

_{µ µ µ}

Θ =^U +^U = ^l ⋅^H +^U .

Bp (T) Φp (mWb) H2 (A/m) U_µ3 (A) H3 (A/m) B3 (T) Φ1 (mWb) B1 (T) H1 (A/m) Θ ^(A)

0,6 1,50 359 1170 2925 1,503 3,00 1,20 1002 1771

0,7 1,75 423 1368 3420 1,525 3,28 1,31 1366 2188

0,8 2,00 488 1566 3915 1,547 3,55 1,42 2014 2774

0,77 ← wynik interpolacji 2600

Bż

Hż

0 Θ Rµ .p⋅Sż

Bż

Hż

Bż (Hż)

Bp’(Hż) Θ

lż

Θ

Φ1

lp

l2 /2

l2 /2 l3

l1 Φ2

Φ3

Θ

U_µ 1

U_µ 3

(R_µ )

Φ1

Uµ .p

Rµ .p

Uµ 2

(R_{µ .2})

(Rµ

) Φ2

Φ3